理论力学 第2章力系的简化习题解答
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第二章 力系的简化 习题解答
2-1在立方体的顶点A 、H 、B 、D 上分别作用四个力，大小均为F ，其中1F 沿AC ，2F 沿IG ，
3F 沿BE ，4F 沿DH 。试将此力系简化成最简形式。
解：各力均在与坐标平面平行的面内，且与所在平面的棱边成45°角。将力系向A 点简化，主矢'R F 在坐标轴上的投影为
045cos 45cos '21=-=
F F F Rx ，
F
F F F F F Ry 245cos 45cos 45cos 45cos '4321=+-+=
，
F F F F Rz 245cos 45cos '43=+= 。
用解析式表示为： ()k j F +=
F R 2'
设立方体的边长为a ，主矩A M 在坐标轴上的投影为 045cos 45cos 32=⋅+⋅-=a F a F M Ax ， Fa a F a F M Ay 245cos 45cos 42-=⋅-⋅-= ，
Fa a F a F M Az 245cos 45cos 42=⋅+⋅= 。
用解析式表示为：()k j M +-=
Fa A 2。因为，0'=⋅A R M F ，所以，主矢和主矩可以进一步简
化为一个力，即力系的合力。合力的大小和方向与主矢相同，'R R F F =；合力作用点的矢径为
()
i M
F r a F R R =⨯=2''，
所以，合力大小为2F ，方向沿对角线DH 。
2-2三力321,F F ,F 分别在三个坐标平面内，并分别与三坐标轴平行，但指向可正可负。距离
c b a ,,为已知。问：这三个力的大小满足什么关系时力系能简化为合力？又满足什么关系时能简化为
力螺旋？
解：这力系的主矢为
k j i 321'F F F F R ++=； 对O 点的主矩为
k j i a F c F b F M O 213++=。
当主矢与主矩垂直时，力系能简化为合力。即从
0'=⋅O R M F 得，
0231231=++a F F c F F b F F ，
简化为
03
21=++F c F b F a 。 当主矢与主矩平行时，力系能简化为力螺旋，即从0=⨯O R M F ' 得，
2
31231aF F cF F bF F ==。
题2.2图
2-3试计算图示分布力的合力大小和作用位置，已知q q q ,,21和l 。
解：分布力系合力的大小为分布力系组成的几何图形的面积，方向与q 平行，作用线通过几何图形的形心。由此得合力大小为：（a ）()2/21l q q +；（b ）ϑcos ql 。
2-4计算图示均质混凝土基础的重心位置。
解：将此均质混凝土基础分割成几个简单形体，而简单形体的形心我们是熟知的。列出以下表(题2-4表)，其中割去部分的体积为负。 按形心计算公式，有
)
m (319.19125431
95.2125.15475.33=+-+⨯+⨯-⨯+⨯=
∑∑=i i
i i i c V x V x )
m (333.39125437941235413=+-+⨯+⨯-⨯+⨯=
∑∑=i i
i i i c V y V y )
m (361.1912543195.1125.1545.03=+-+⨯+⨯-⨯+⨯=
∑∑=i i i i i c V z V z
2-5均质折杆及尺寸如图示，求此折杆形心坐标。
解：将图示折杆简化为折线计算。折杆有5段直线组成，每一段的长度及形心坐标如表所示。按形心计算公式，有
（a ） （b ） 题2-3图
题2-4图
)
mm (43.21100200100100200200
1001002000100)50(100)100(200=++++⨯+⨯+⨯+-⨯+-⨯=∑∑=
i i
i i i c L x L x
)
mm (43.21100200100100200100
100100200501000100)100(200=++++⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯=
∑∑=
i i
i i i c L y L y ， )mm (14.7100200100100200)50(1000200010001000200-=++++-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
∑∑=i i
i i i c L z L z
2-6计算图示平面图形的形心坐标。
解: 由对称性知，该图形的形心一定在x 轴上，即0=c y 。用负面积法计算其横坐标。此平面图形由2个圆组成，其面积和的形心坐标为
)mm (2002
21⨯=πA ，)m (01=x ，
)mm (80222⨯-=πA ，)m (1002=x 。 按形心计算公式，有
)
mm (05.19)80(200100)80(0200222
2-=⨯-+⨯⨯⨯-+⨯⨯=
∑∑=ππππi i
i i i c A x A x
2-7工字钢截面尺寸如图示，求此截面的形心坐标。
解：由对称性知，该图形的形心一定在x 轴上，即0=c y 。今用分割法计算图示截面的形心的横坐标。将图示截面分割成3个矩形，每一个矩形的面积和形心横坐标为，
)mm (40002020021=⨯=A ，)mm (101-=x ； )mm (40002020022=⨯=A ，)mm (1002=x
)mm (30002015023=⨯=A , )mm (2103=x
按形心计算公式，有
题2-5图
题2-7图