等差数列

等差数列

一：等差数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．递推公式：a n －a n －1＝d (n ≥2) [点睛] (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．

(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．

(3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列． 二：等差数列的通项公式

【例1】已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则通项公式为：a n ＝a 1＋(n －1)d (n ∈N *) [点睛] 由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可得a n ＝dn ＋(a 1－d )，如果设p ＝d ，q ＝a 1－d ，那么a n ＝pn ＋q ，其中p ，q 是常数．当p ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当p ＝0时，a n ＝q ，等差数列为常数列． 例1 在等差数列{a n }中，

(1)已知a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d ； (2)已知a 1＋a 6＝12，a 4＝7，求a 9.

[解] (1)∵a 5＝－1，a 8＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝－1，a 1＋7d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝－5，

d ＝1.

(2)设数列{a n }的公差为d .

由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1＋5d ＝12，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝1，

d ＝2.

∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，∴a 9＝2×9－1＝17. 跟踪训练1．2 018是等差数列4,6,8，…的( ) A ．第1 006项 B ．第1 007项 C ．第1 008项

D ．第1 009项

解析：选C ∵此等差数列的公差d ＝2，∴a n ＝4＋(n －1)×2，a n ＝2n ＋2，即2 018＝2n ＋2，∴n ＝1 008.

2．已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？

解：设首项为a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，

由已知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋(15－1)d ＝33，a 1＋(61－1)d ＝217，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝－23，

d ＝4.

所以a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27，

令a n ＝153，即4n －27＝153，解得n ＝45∈N *，所以153是所给数列的第45项. 二：等差中项

如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．这三个数满足的关系式是A ＝a ＋b 2

.

【例2】 ：已知等差数列{a n }，满足a 2＋a 3＋a 4＝18，a 2a 3a 4＝66.求数列{a n }的通项公式． [解] 在等差数列{a n }中，

∵a 2＋a 3＋a 4＝18，∴3a 3＝18，a 3＝6.

∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 4＝12，a 2·a 4＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝11，a 4＝1或⎩⎪⎨⎪⎧

a 2＝1，a 4＝11. 当⎩⎪⎨⎪⎧

a 2＝11，a 4

＝1时，a 1＝16，d ＝－5. a n ＝a 1＋(n －1)d ＝16＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋21.

当⎩⎪⎨⎪⎧

a 2＝1，a 4

＝11时，a 1＝－4，d ＝5. a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－4＋(n －1)·5＝5n －9. 跟踪训练

1．已知数列8，a,2，b ，c 是等差数列，则a ，b ，c 的值分别为________，________，________. 解析：因为8，a,2，b ，c 是等差数列， 所以⎩⎪⎨⎪

⎧

8＋2＝2a ，a ＋b ＝2×2，

2＋c ＝2b .

解得⎩⎪⎨⎪

⎧

a ＝5，

b ＝－1，

c ＝－4.

答案：5 －1 －4

2．已知数列{a n }满足a n －1＋a n ＋1＝2a n (n ≥2)，且a 2＝5，a 5＝13，则a 8＝________. 解析：由a n －1＋a n ＋1 ＝2a n (n ≥2)知，数列{a n }是等差数列，∴a 2，a 5，a 8成等差数列． ∴a 2＋a 8＝2a 5，∴a 8＝2a 5－a 2＝2×13－5＝21. 答案：21

四：等差数列证明方法

(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N*)⇔{a n }为等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列

【例3】已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1

a n －2.求证：数列{

b n }是等差数

列．

证明：[法一 定义法]

∵b n ＋1＝1

a n ＋1－2＝

1⎝⎛

⎭⎫4－4a n －2

＝a n

2(a n －2)， ∴b n ＋1－b n ＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝1

2，为常数(n ∈N *)．

又b 1＝1a 1－2＝1

2

，

∴数列{b n }是首项为12，公差为1

2的等差数列．

[法二 等差中项法] ∵b n ＝1

a n －2，

∴b n ＋1＝1

a n ＋1－2＝

1⎝⎛

⎭⎫4－4a n －2

＝a n

2(a n －2). ∴b n ＋2＝a n ＋12(a n ＋1－2)＝4－4a n 2⎝⎛⎭⎫4－4a n －2＝a n －1

a n

－2.

∴b n ＋b n ＋2－2b n ＋1＝

1a n －2＋a n －1a n －2－2×a n

2(a n －2)

＝0. ∴b n ＋b n ＋2＝2b n ＋1(n ∈N *)， ∴数列{b n }是等差数列．

跟踪训练 已知1a ，1b ，1

c 成等差数列，并且a ＋c ，a －c ，a ＋c －2b 均为正数，求证：lg(a ＋

c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )也成等差数列． 解：∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c ，

∴2b ＝a ＋c ac

，即2ac ＝b (a ＋c )． (a ＋c )(a ＋c －2b )＝(a ＋c )2－2b (a ＋c )＝(a ＋c )2－2×2ac ＝a 2＋c 2＋2ac －4ac ＝(a －c )2. ∵a ＋c ，a ＋c －2b ，a －c 均为正数，上式左右两边同时取对数得，lg[(a ＋c )(a ＋c －2b )]＝lg(a －c )2，即lg(a ＋c )＋lg(a ＋c －2b )＝2lg(a －c )， ∴lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )成等差数列． 五．等差数列的性质

若{a n }是公差为d 的等差数列， 1：通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d

2：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .（m ，n ，p ，q ∈N *）特别地，当p =q 即m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)时，a m ＋a n ＝2a p .

3：对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a 1＋a n ＝a 2