自主招生辅导--16计数原理
高中数学专题“计数原理”
高中数学“计数原理”教学研究一、对“计数原理”教学知识的深层次理解计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题问题的最基本、最重要的方法，它们为解决很多的实际问题提供了思想和工具.在本章学生将学习计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其应用，进行了解计数与现实生活的联系，会解决简单的计数问题.（一）知识结构图1．返璞归真地看两个计数原理，它们实际上是学生从小学就开始学习的加法运算与乘法运算的推广，它们是解决计数问题的理论基础．分类加法计数和分步乘法计数是处理计数问题的两种基本思想方法．2．排列、组合是两类特殊而重要的计数问题，而解决它们的基本思想和工具就是两个计数原理．教科书从简化运算的角度提出排列与组合的学习任务，通过具体实例的概括而得出排列、组合的概念；应用分步乘法计数原理得出排列数公式；应用分步计数原理和排列数公式推出组合数公式．对于排列与组合，有两个基本想法贯穿始终，一是根据一类问题的特点和规律寻找简便的计数方法，就像乘法作为加法的简便运算一样；二是注意应用两个计数原理思考和解决问题．3．二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的典型过程，其基本思路是“先猜后证”．如可以通过对中n取1，2，3，4的展开式的形式特征的分析而归纳得出；或者直接应用两个计数原理对展开式的项的特征进行分析．这个分析过程不仅使学生对二项式的展开式与两个计数原理之间的内在联系获得认识的基础，而且也为证明猜想提供了基本思路.（二）“计数原理”在高中数学知识体系中的地位和作用为了更好的把握计数原理的要求，首先需要明确整体定位.标准对计数原理这部分内容的整体定位如下：“计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际提供了思想和工具.在本摸块中，学生将学习计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其应用，了解计数与现实生活的联系，会解决简单的计数问题.”为了更好的理解整体定位，需要明确以下几个方面的问题：（Ⅰ）两个基本计数原理是计数原理的开头课，学习它所需的先行知识与学生已熟知的数学知识联系很少，通常教师们或者感觉很简单，一带而过；或者感觉难以开头.中学数学课程中引进的关于排列、组合的计算公式都是以分类加法计数和分步乘法计数原理为基础的，而一些较复杂的排列、组合应用题的求解，更是离不开两个基本计数原理，因此必须使学生学会正确地使用两个基本计数原理，学会正确地使用基本计数原理是这一章教学中必须抓住的一个关键.（Ⅱ）正确使用两个基本原理的前提是要学生清楚两个基本原理使用的条件.而原理中提到的分步和分类，学生不是一下子就能理解深刻的，这就需要教师引导学生，帮助他们分析，找到分类和分步的具体要求——类类互斥，步步独立.（Ⅲ）分类加法计数原理，分步乘法计数原理，单纯这点学生是容易理解的，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时必须做到既不重复，又不遗漏，找到分步的方法有时是比较困难的，这就要着重进行训练.（三）教学的重点和难点分析1．本章的重点是分类加法计数原理和分步乘法计数原理，排列和组合的意义，以及排列数、组合数计算公式，二项式定理.2．本章的主要难点是如何正确运用有关公式解决应用问题.在解决问题时，由于对问题本身和有关公式的理解不够准确，常常发生重复和遗漏计算、用错公式的情况.为了突破这一难点，教学中应强调一些容易混淆的概念之间的联系与区别，强调运用各个公式的前提条件，并对学生计算中出现的一些典型错误进行认真剖析.二、“计数原理”的教学策略（一）在”新课标”中的处理特点计数是人与生俱来的一种能力，也是了解客观世界的一种最基本的方法.计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数和分步乘法计数是处理计数问题的两种基本思想方法.虽然该部分内容新教材和传统教材没有太大的区别，但在处理方式上，新教材更突出计数原理的地位和作用，强调计数原理的思想和方法，将排列、组合、二项式定理作为计数原理的一个应用实例.要求教学中要引导学生根据计数原理分析、处理问题，而不是机械地套用公式，同时要避免繁琐的、技巧性过高的计数问题.由于计数原理的思想和方法是最基本的，所有的计数问题都不会超越分类和分步这两大类，因此要求在推导排列数公式和组合数公式的过程中让学生进一步理解计数原理的思想；在用排列组合公式和组合数公式解决实际问题时，也不要只是片面地将问题归结为排列、组合两类，而是引导学生学会用计数原理来分析问题.二项式定理是中学数学的传统内容，定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则.这个定理既是初中代数乘法公式的推广，也是进一步研究概率中二项分步的准备知识.学习二项式定理还可以深化对组合数的认识.新课标强调利用基本计数原理对二项式定理进行证明.（二）课程标准要求的具体化和深广分析1．如何认识“通过实例，总结分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理，解决一些简单的实际问题.”的含义.可以从以下两个方面来把握标准的要求：第一，通过具体问题情境和实际事例，让学生不断感悟和总结两个基本计数原理，仅仅由教材中的几个实例是不够的，教师必须补充与之匹配的事例充实教材，这样学生才能更深刻地领悟两个基本计数原理.第二，在理解具体问题时，着重分析题意，领悟题眼，用分类或者分步或两者都用，分类要做到“不重不漏”，分步要做到步骤完整，善于归纳用计数原理解决计数问题的方法，这样有利于充分利用两个基本计数原理解题.2．如何认识“通过实例，理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题.”第一，运用大量实例，理解排列的特殊性与组合的特殊性.排列的特殊性在于排列中元素的“互异性”和“有序性”，例如“从全班60名同学中选出4名同学，分别担任班长、学习委员、文艺委员、体育委员，”这就是一个排列问题.可以由学生思考为什么这个问题有元素的“互异性”和“有序性”的特点.与排列比较，组合的特殊性在于它只有元素的“互异性”而不需要考虑顺序，例如，上述问题如果改为“从全班60名同学中选出4名代表参加一项活动，”那么它就要变成一个组合问题了.本质上，“从n个不同元素中取出k个元素的组合”就是这几个不同元素组成的集合的一个k元子集.第二，排列数公式、组合数公式的推导是两个计数原理的一个应用过程，只有理解了排列、组合的概念，并会用两个计数原理解决实际问题，才能把排列数公式、组合数公式推导出来.第三，在教学中注意通过大量实例运用排列数公式、组合数公式解决，但是组合数的性质只作一般性的探究，至于应用不作重点要求，更不研究排列数的性质，在数学中必须引起注意.3．如何认识“能用计数原理证明二项式定理”利用计数原理求出的展开式的思维要点如下：第一，是个多项式乘法问题.根据多项式乘法，它的展开式的每一项，应是每一个多项式中某一项彼此相乘，所构成的单项式.第二，展开式的每一项是通过步乘积构成的，每一步有两种选择，因此，展开式的项数为.第三，展开式的每一项是由是由若干个和若干个的乘积构成，和的个数之和等于，它可以表示成：.第四，在展开式中，形如的同类项个数是多少呢？由于个来自不同的个多项式，它的个数是组合数.第五，在中，共有种不同的同类项，根据加法原理，其展开式为：（a+b）n=.这样，我们就通过乘法原理和加法原理证明了二项式定理，这是一种构造性的证明，即可以探索出问题的结果，同时可以证明出结果的正确性.4．如何理解“会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.”结合“杨辉三角”和从函数的角度来分析二项式系数的一些性质（①对称性②增减性与最大值③各二项式系数的和），在探究以上性质的过程中，实际上是二项式定理的应用，在教学中列举实例，将二项式系数的性质充分应用.（三）教学中的几个思维要点要点1：简单的计数问题讨论是有限集合所含元素的个数.排列数、组合数都是特定集合所含元素的个数，在讨论简单计数问题时，应明确所讨论的集合中元素的基本特征，这是解决简单计数问题的基点.要点2：正确使用基本计数原理是学习本部分内容的关键.中学数学课程中关于排列组合的计算公式都是以基本的计数原理为基础的，而一些较复杂的排列组合应用问题的求解，离不开两个计数原理，两个基本的计数原理是解决简单计数问题的通性通法，排列问题、组合问题以及二项式定理等都是依赖这些通性通法解决的.要点3：理解两个基本计数原理使用的条件是正确使用两个基本计数原理的前提.对于计数原理中的分布和分类，学生不是一下子就能理解深刻的，需要教师引导，帮助学生找到分类和分步的特征和要求：分类要“类类互斥”，分步要“步步独立”.（四）典型例题的教学1．分清两个原理掌握分类计数原理和分步计数原理是复习好本章的基础.其应用贯穿于本章的始终.正确运用两个原理的关键在于：（1）先要搞清完成的是怎样的“一件事”.例1.4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？分析：要完成的是“4名同学每人从三个项目中选报一项报名”这件事，因为每人必报一项，四人都报完才算完成，于是应按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有：3×3×3×3=34=81种报名方法.例2.4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？分析：完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步.而每项冠军是四人中的某一人，有4种可能情况，于是共有4×4×4=43=64种可能的情况.例3.乘积（a1+a2+a3）(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有多少项？分析：因为展开后的每一项为第一个括号中的一个，第二括号中的一个与第三个括号中的一个的乘积，所以应分三步m1=3,m2=4,m3=5，于是展开后共有m1×m2×m3=3×4×5=60项.例4.有4部车床，需加工3个不同的零件，其不同的安排方法有（）A.34B.43 C43 D.44分析：事件为“加工3个零件”，每个零件都加工完这件事就算完成，应以“每个零件”分步，共3步，而每个零件能在四部车床中的任一台上加工，所以有4种方法，于是安排方法为4×4×4=43=64种，故选B.例5.5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，则不同的选择种数是（）A.54B.45C.5×4×3×2D.分析：因为5名同学都去听讲座，这件事才能完成，所以应以同学进行分步，又因为讲座是同时进行的，每个同学只能选其中一个讲座来听，于是有4种选择，当完成时共有4×4×4×4×4=45种不同的选法，故选B.例6.设集合A=，B=，则从A集到B集所有不同映射的个数是（）A.81B.64C.12D.以上都不正确分析：因映射为从A到B，所以A中每一元素在B中应有一元素与之对应，也就是A中所有元素在B中都有象，因此，应按A中元素分为4步，而对于A中每一元素，可与B中任一元素对应，于是不同对应个数应为3×3×3×3=34=81，故选A.(2)明确事件需要“分类”还是“分步 .例7．用1,5,9,13任意一个数做分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可构造多少个不同的分数？可构造多少个不同的真分数？解：由分步计数原理，可构造N=44=16个不同的分数由分类计数原理，可构造N=4+3+2+1=10个不同的真分数例8. 已知集合，，映射,当且时，为奇数，则这样的映射f的个数是（）A．10个 B．18个 C．32个 D．24个分析当取-1时，，共有4种取法；当取0时，，有2种取法；当取1时，,显然是奇数，共有4种选法.因此，这样的映射f的个数是是：种.(3)“分类”是要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性.“分步”时要注意“步”与“步”之间的连续性.例9. 小李有10个朋友，其中两人是夫妻，他准备邀请其中4人到家中吃饭，这对夫妻或者都邀请，或者都不邀请，有几种请客方法?解：请客方法以“这对夫妻是否被邀请”可分两类：(1)请其中的夫妻二人，则还须从余下的8人中选请2个，有种方法.(2)不请其中的夫妻二人，则应从其余的8人中选请4人，有种方法.由分类计数原理请客方法共有＋＝98种.例10.有10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果.①4只鞋子没有成双的；②4只鞋中有2只成双，另两支不成双.解：①从10双鞋子中选取4双，有种不同选法；再在每双鞋子中各取一只，分别有取法，根据乘法原理，选取种数为：N==3360（种）②方法1：先选取一双有种选法，再从9双鞋种选取2双鞋有种选法，每双鞋各取一只，有种选法，根据乘法原理，选取种数为：N==1140（种）方法2：先选取一双有种选法，再从18只鞋中选取2只鞋有，而其中成双的可能性有9种，根据乘法原理，选取种数为：N=（-9）例11. 有红、蓝、绿三种颜色的卡片，每种颜色均有A、B、C、D、E字母的各一张，现每次取出四张，要求字母各不相同，三种颜色齐备，问有多少种不同的取法?分析：每次取出四张，所以有一种颜色的卡片取两张，这种颜色的取法数有，确定了颜色之后，再在这种颜色里取两个字母，方法数有；最后，在剩下的两种颜色的卡片及每种颜色下的三个字母中分别取一个，方法数有：故N=.2.分清是排列问题还是组合问题这两个概念共同点都是指从n个不同元素中进行不重复抽取的情况.分清一个具体问题是排列问题还是组合问题的关键在于看从n个不同元素取出m（m n）个元素是否与顺序有关，有序就是排列问题，无序则属于组合问题.例12．某街道有十只路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法有多少种？解：问题等价于在七只亮着的路灯产生的六个空档中放入三只熄掉的路灯，因此满足条件的关灯方法有种.例13.有7名同学排成一排，甲同学最高，排在中间，其它六名同学身高不相等，甲的左边和右边以身高为准，有高到低排列，共有排法总数是分析：此问题相当于求六个元素中取出三个元素的组合数. 所以满足条件的排法有：例14.从12名队员中组队打篮球比赛，要求其中一队的年龄最小的队员也比另一队中年龄最大的队员要大，问有多少种不同的组队方法?分析：从12名队员中选两名观战的每一种选法，对应着一种组队方法:=66例15. 从0，1，……9这十个数字中任取3个组成没有重复数字的三位数，且要求百位数大于十位数，十位数大于个位数，这样的三位数有多少个？分析：显然顺序只有一种，任取3个数的组合数就是这样的三位数的个数，即个.例16.从2，3，5，7四个数中任取不同的两数，分别作对数的底数和真数问：（1）可得多少个不同的对数值？（2）可得多少个大于1的对数值？分析：（1）与顺序有关，是排列问题.；(2) 与顺序无关，是组合问题. .例17. 甲乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者在与负方2号队员比赛，......直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程.那么，所有可能出现的比赛过程共有多少种？分析：设甲队：乙队：下标表示事先安排好的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序，比赛过程可类比为这14个字母互相穿插的一个排列.如：最后是胜队中不被淘汰的队员，如，和未参赛的队员，如所以比赛过程可表示为14个位置中取7个位置安排甲队队员，其余位置安排乙队队员.故比赛过程的总数：=3432.3.对复杂的排列组合问题，能正确解决的关键：做好分类，将复杂问题简单化.例18. 一天排语、数、外、生、体、班六节课（上午4节，下午2节），要求：第1节不排体育，数学课一定排在上午，班会一定排在下午，问这样的条件下，共有多少种排课表的方法？解法1：以数学课分类：（1）数学课排在第1节，则有种（2）数学课排在第2，3，4节之一，则有=108种由（1）（2）知，共有156种解法2：以体育课分类：（1）体育课在上午：=108种（2）体育课在下午：=48 .共有156种.例19. 在某次数学测验中，学号i（i=1，2，3，4）的四位同学考试成绩，且满足，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为解：分两类：①共有种；②共有种.例20. 如果三位数的十位数字既大于百位数字也大于个位数字，则这样的三位数一共有（）A、240个B、285个C、231个D、204个分析：①如果三个数字是不重复的：含0：=36；不含0：.共有204个.②如果可以重复：=36. 综合①②：共有240种.例21.在5名乒乓球队员中,其中有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答)解：两老一新时, 有种排法;两新一老时, 有种排法,即共有48种排法.例22.某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有 ( )A.16种B.36种C.42种D.60种解析：投资于2个城市的方案有；投资于3个城市的方案有种.所以，共60种.答案选D.三、学习目标的检测正确使用两个基本原理的前提是要学生清楚两个基本原理使用的条件。
2016年安徽自主招生数学模拟试题：分步乘法计数原理
2016年自主招生数学模拟试题:分步乘法计数原理【试题容来自于相关和学校提供】1：设集合，如果方程至少有一个根，就称方程为合格方程，则合格方程的个数为（）A、13B、15C、17D、192：已知集合，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，可得直角坐标系中第一、二象限不同点的个数是（）。
A、18B、16C、14D、103：设集合，记是的不同值的个数，其中且的最大值为，的最小值为，则( )A、B、C、D、4：用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数，其中有且只有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数是（）A、36B、48C、72D、1205：商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买上衣，裤子各一件，共有（）种不同的选法。
A、33B、15C、18D、2706：在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有个. 7：平面上有相异10个点，每两点连线可确定的直线的条数是每三点为顶点所确定的三角形个数的，若无任意四点共线，则这10个点的连线中有且只有三点共线的直线的条数为__________条。
8：四面体的顶点和个棱的中点共10个点，在其中取4各不共面的点，不同的取法有 9：甲、乙、丙3名学生各自写出3个不同的实数，然后从甲写的3个数中任取1个作为横坐标，从乙写的3个数中任取1个作为纵坐标，从丙写的3个数中任取1个作为竖坐标，则一共可以在空间直角坐标系中得到个点。
10：将3封信投入到5个，不同的投法数是______________.11：用1、2、3、4四个数字可重复地任意排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{a n}。
(1)写出这个数列的第8项；(2)这个数列共有多少项？(3)若a n＝341，求n.12：在平面直角坐标系，点的横、纵坐标都在{0，1，2，3}取值。
（1）不同的点P共有多少个？（2）在上述点中，不在坐标轴上的点有多少个？13：（本小题满分12分）用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的（1）四位奇数？（2）比3210大的四位数？14：有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限。
计数原理-备战高考数学(理)一轮复习考点
计数原理【命题趋势】两个基本计数原理是高考必考内容，有时会单独考查，有时会出现在解答题的过程之中，我们必须掌握.（1）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.（2）会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.排列组合是高考中的必考内容，必须掌握.有时会是单独一道小题，有时会是在概率统计解答题中涉及，分值至少5分.（1）理解排列、组合的概念.（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.（3）能解决简单的实际问题.二项式定理和排列组合在高考中一般交替考查，二者必出其一，二项式定理好拿分，熟练掌握即可.（1）能用计数原理证明二项式定理.（2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.【重要考向】考向一分类加法、乘法计数原理考向二两个计数原理的综合应用考向三排列与组合的综合应用考向四二项展开式通项的应用考向一分类加法、乘法计数原理（1）分类加法计数原理的特点：①根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准．②完成这件事的任何一种方法必须属于某一类．（2）使用分类加法计数原理遵循的原则：有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则．（3）应用分类加法计数原理要注意的问题：①明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事．②完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法．③确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类方案，不同类方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须既不重复也不遗漏． （4）应用分步乘法计数原理要注意的问题：①明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某一步骤的某种方法是不能完成这件事的，也就是说必须要经过几步才能完成这件事．②完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步骤，这件事都不可能完成．③根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各步骤之间既不能重复也不能遗漏． （5）两个计数原理的区别与联系定义：若数列 {a n } 满足所有的项均由 ﹣1,1 构成且其中-1有m 个，1有p 个 (m +p ≥3) ，则称 {a n } 为“ (m,p) ﹣数列”．（1）a i ,a j ,a k (i <j <k) 为“ (3,4) ﹣数列” {a n } 中的任意三项，则使得 a i a j a k ＝1 的取法有多少种？ （2）a i ,a j ,a k (i <j <k) 为“ (m,p) ﹣数列” {a n } 中的任意三项，则存在多少正整数 (m,p) 对使得 1≤m ≤p ≤100, 且 a i a j a k =1 的概率为 12 .【答案】 （1）解：三个数乘积为1有两种情况：“ ﹣1,﹣1,1 ”,“ 1,1,1 ”,其中“ ﹣1,﹣1,1 ”共有： C 32C 41＝12 种, “ 1,1,1 ”共有： C 43=4 种,利用分类计数原理得：a i ,a j ,a k (i <j <k) 为“ (3,4) ﹣数列” {a n } 中的任意三项, 则使得 a i a j a k ＝1 的取法有： 12+4＝16 种．（2）解：与(1)同理,“ ﹣1,﹣1,1 ”共有 C m 2C p 1种, “ 1,1,1 ”共有 C P 3 种,而在“ (m,p) ﹣数列”中任取三项共有 C m+p3种, 根据古典概型有：C m 2C p 1+C p 3C m+p3=12 ,再根据组合数的计算公式能得到： (p ﹣m)(p 2﹣3p ﹣2mp +m 2﹣3m ﹣2)＝0 , ①p ＝m 时,应满足 {1≤m ≤p ≤100m +p ≥3p =m ,∴(m,p)=(k,k),k ∈{2,3,4,…,100} ,共 99 个,②p 2﹣3p ﹣2mp +m 2﹣3m ﹣2＝0 时,应满足 {1<m ≤p <100m +p ≥3p 2−3p −2mp +m 2−3m −2=0 , 视 m 为常数,可解得 p ＝(2m+3)±√24m+12,∵m ≥1, ∴√2m +1≥5 , 根据 p ≥m 可知, p ＝(2m+3)+√24m+12,∵m ≥1 , ∴√2m +1≥5 , 根据 p ≥m 可知, p ＝(2m+3)+√24m+12,（否则 p ≤m ﹣1 ）,下设 k ＝√2m +1 ,则由于 p 为正整数知 k 必为正整数, ∵1≤m ≤100 , ∴5≤k ≤49 ,化简上式关系式可以知道： m ＝k 2−124=(k−1)(k+1)24,∴k ﹣1,k +1 均为偶数,∴设k＝2t+1,(t∈N∗),则2≤t≤24,∴m＝k2−124=t(t+1)6,由于t,t+1中必存在偶数,∴只需t,t+1中存在数为3的倍数即可,∴t＝2,3,5,6,8,9,11,…,23,24,∴k＝5,11,13,…,47,49．检验：p＝(2m+3)+√24m+12=(k−1)(k+1)24≤48+5024＝100,符合题意,∴共有16个,综上所述：共有115个数对(m,p)符合题意．【考点】古典概型及其概率计算公式，分类加法计数原理，组合及组合数公式【解析】(1)易得使得a i a j a k＝1的情况只有“ ﹣1,﹣1,1”,“ 1,1,1”两种,再根据组合的方法求解两种情况分别的情况数再求和即可.(2)易得“ ﹣1,﹣1,1”共有C m2C p1种,“ 1,1,1”共有C P3种.再根据古典概型的方法可知C m2C p1+C p3C m+p3=12,利用组合数的计算公式可得(p﹣m)(p2﹣3p﹣2mp+m2﹣3m﹣2)＝0,当p=m时根据题意有(m,p)=(k,k),k∈{2,3,4,…,100},共99个；当p2﹣3p﹣2mp+m2﹣3m﹣2＝0时求得p＝(2m+3)±√24m+12,再根据1≤m≤p≤100,换元根据整除的方法求解满足的正整数对即可.某商场举行元旦促销回馈活动，凡购物满1000元，即可参与抽奖活动，抽奖规则如下：在一个不透明的口袋中装有编号为1、2、3、4、5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次（每次摸出的小球均不放回口袋），编号依次作为一个三位数的个位、十位、百位，若三位数是奇数，则奖励50元，若三位数是偶数，则奖励100m元（m为三位数的百位上的数字，如三位数为234，则奖励100×2= 200元）.（1）求抽奖者在一次抽奖中所得三位数是奇数的概率；（2）求抽奖者在一次抽奖中获奖金额X的概率分布与期望E(X).【答案】（1）解：因为总的基本事件个数n1=A53=60，摸到三位数是奇数的事件数n2=A31A42=36，所以P1=3660=35；所以摸到三位数是奇数的概率35.（2）解：获奖金额 X 的可能取值为50、100、200、300、400、500， P(X =50)=35 ， P(X =100)=1×3×260=110， P(X =200)=1×3×160=120，P(X =300)=1×3×260=110 ， P(X =400)=1×3×160=120 ， P(X =500)=1×3×260=110 ，获奖金额 X 的概率分布为均值 E(X)=50×35+100×110+200×120+300×110+400×120+500×110=150 元. 所以期望是150元.【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，分步乘法计数原理【解析】（1）首先利用排列求出摸三次的总的基本事件个数： n 1=A 53=60 ；然后利用分步计数原理求出个位的排法、十位百位的排法求出三位数是奇数的基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.（2）获奖金额X 的可能取值为50、100、200、300、400、500，求出各个随机变量的分布列，利用均值公式即可求解考向二 两个计数原理的综合应用（1）利用两个原理解决涂色问题解决着色问题主要有两种思路：一是按位置考虑，关键是处理好相交线端点的颜色问题；二是按使用颜色的种数考虑，关键是正确判断颜色的种数．解决此类应用题，一般优先完成彼此相邻的三部分或两部分，再分类完成其余部分．要切实做到合理分类，正确分步，才能正确地解决问题． （2）利用两个原理解决集合问题解决集合问题时，常以有特殊要求的集合为标准进行分类，常用的结论有123,,,,{}n a a a a 的子集有2n 个，真子集有21n个．对有 n(n ≥4) 个元素的总体 {1,2,3,⋅⋅⋅,n} 进行抽样，先将总体分成两个子总体 {1,2,3,⋅⋅⋅,m} 和 {m +1,m +2,⋅⋅⋅,n} （ m 是给定的正整数，且 2≤m ≤n −2 ），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用 P ij 表示元素 i 和 j 同时出现在样本中的概率. （1）求 P 1n 的表达式（用m ，n 表示）； （2）求所有 P ij (1≤i <j ≤n) 的和.【答案】 （1）解：由题意，从m 和 m −m 个式子中随机抽取2个，分别有 C m 2 和 C n−m2 个基本事件， 所以 P 1n 的表达式为 P 1n =m−1C m2⋅n−m−1C n−m2=4m(n−m) .（2）解：当 i,j 都在 {1,2,⋅⋅⋅,m} 中时，可得 P ij =1C m2 ，而从 {1,2,⋅⋅⋅,m} 中选两个数的不同方法数为 C m 2 ，则 P ij 的和为1；当 i,j 同时在 {m +1,m +2,⋅⋅⋅,n} 中时，同理可得 P ij 的和为1； 当 i 在 {1,2,⋅⋅⋅,m} 中， j 在 {m +1,m +2,⋅⋅⋅,n} 中时， P ij =4m(n−m) ，而从 {1,2,⋅⋅⋅,m} 中选取一个数，从 {m +1,m +2,⋅⋅⋅,n} 中选一个数的不同方法数为 m(n −m) ， 则 P ij 的和为4，所以所有 P ij 的和为 1+1+4=6 .【考点】相互独立事件的概率乘法公式，古典概型及其概率计算公式，计数原理的应用，组合及组合数公式【解析】（1）根据组合数的公式，以及古典概型的概率计算公式和相互独立事件的概率计算公式，即可求解；（2）当 i,j 都在 {1,2,⋅⋅⋅,m} 中时求得 P ij 的和为1，当 i,j 同时在 {m +1,m +2,⋅⋅⋅,n} 中时，求得 P ij 的和为1，当 i 在 {1,2,⋅⋅⋅,m} 中， j 在 {m +1,m +2,⋅⋅⋅,n} 中时得到 P ij 的和为4，即可求解.6男4女站成一排，求满足下列条件的排法各有多少种？（用式子表达） （1）男甲必排在首位； （2）男甲、男乙必排在正中间； （3）男甲不在首位，男乙不在末位； （4）男甲、男乙必排在一起； （5）4名女生排在一起； （6）任何两个女生都不得相邻； （7）男生甲、乙、丙顺序一定．【答案】 解：（1）男甲必排在首位，则其他人任意排，故有A 99种， （2）男甲、男乙必排在正中间，则其他人任意排，故有A 22A 77种，（3）男甲不在首位，男乙不在末位，利用间接法，故有A 1010﹣2A 99+A 88种，（4）男甲、男乙必排在一起，利用捆绑法，把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有A 22A 88种，（5）4名女生排在一起，利用捆绑法，把4名女生捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有A 44A 77种，（6）任何两个女生都不得相邻，利用插空法，故有A 66A 74种， （7）男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，A 1010A 33=A 107种【考点】计数原理的应用【解析】（1）男甲必排在首位，则其他人任意排，问题得以解决． （2）男甲、男乙必排在正中间，则其他人任意排，问题得以解决， （3）男甲不在首位，男乙不在末位，利用间接法，故问题得以解决， （4）男甲、男乙必排在一起，利用捆绑法，问题得以解决， （5）4名女生排在一起，利用捆绑法，问题得以解决， （6）任何两个女生都不得相邻，利用插空法，问题得以解决， （7）男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，问题得以解决．考向三 排列与组合的综合应用先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，利用先选后排法解答问题只需要用三步即可完成. 第一步：选元素，即选出符合条件的元素;第二步：进行排列，即把选出的元素按要求进行排列;第三步：计算总数，即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算方法总数.7名学生，按照不同的要求站成一排，求下列不同的排队方案有多少种． （1）甲、乙两人必须站两端； （2）甲、乙两人必须相邻．【答案】 （1）甲、乙为特殊元素，先将他们排在两头位置，有 A 22 种站法，其余5人全排列，有 A 55种站法．故共 A 22⋅A 55 有＝240种不同站法．（2）(捆绑法)：把甲、乙两人看成一个元素，首先与其余5人相当于六个元素进行全排列，然后甲、乙两人再进行排列，所以共 A 66⋅A 22 有＝1440种站法．【考点】排列、组合的实际应用，排列、组合及简单计数问题 【解析】（1）运用捆绑法直接求解即可； （2）运用特殊元素分析法直接求解即可.一个笼子里关着10只猫，其中有7只白猫，3只黑猫．把笼门打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫．猫争先恐后地往外钻.如果 10 只猫都钻出了笼子，以X 表示7只白猫被3只黑猫所隔成的段数．例如，在出笼顺序为“□■□□□□■□□■”中，则 X =3 ． （1）求三只黑猫挨在一起出笼的概率； （2）求X 的分布列和数学期望.【答案】 （1）解：设“三只黑猫挨在一起出笼”为事件A ，将三只黑猫捆绑在一起，与其它7只白猫形成 8 个元素， 所以， P(A)=A 33A 88A 1010=115，因此，三只黑猫挨在一起出笼的概率为 115 ；（2）解：由题意可知，随机变量X 的取值为1、2、3、4， 其中 X =1 时，7只白猫相邻，则 P(X =1)=A 77A 44A 1010=130 ，P(X =2)=(A 32C 21C 21C 61+6A 33+A 32C 61)A 77A 1010=310 ，P(X =3)=(A 31C 21A 62+A 32A 62)A 77A 1010=12 ；P(X =4)=A 63A 77A 1010=16， 所以，随机变量 X 的分布列如下表所示：因此， E(X)=1×130+2×310+3×12+4×16=145.【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量的期望与方差，排列及排列数公式，排列、组合的实际应用【解析】（1）利用捆绑法计算三只黑猫挨在一起出笼的情况种数，再利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）由题意可知，随机变量X 的可能取值有1、2、3、4，利用排列组合思想求出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，利用数学期望公式可求得随机变量X 的数学期望.考向四 二项展开式通项的应用求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k ,再将k 的值代回通项求解,注意k 的取值范围（0,1,2,,k n ）.（1）第m 项：：此时k +1=m ,直接代入通项.（2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程. （3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.已知 f(n)=a 1+a 2C n 1+⋯+arC n r−1+⋯a n+1C n n(n ∈N ∗).（1）若 a n =n −1 ，求 f(n) ；（2）若 a n =3n−1 ，求 f(20) 除以5的余数【答案】 （1）因为 f(n)=0C n 0+1⋅C n 1+2C n 2+3⋅C n 3⋯+nC n n . 所以 f(n)=nC n n +(n −1)C n n−1+(n −2)C n n−2+⋯+1⋅C n 1+0⋅C n0 2f(n)=nC n 0+nC n 1+nC n 2+⋯+nC n n =n(C n 0+C n 1+C n 2+⋯+C n n)=n ⋅2n ，∴f(n)=n ⋅2n−1（2）因为 f(n)=30C n 0+31C n 1+32C n 2+⋯+3n C n n =(1+3)n =4n .f(20)=420=(5−1)20=C 200520−C 201519+C 202518−⋯+C 201852−C 201951+C 202050 除以5余数为1，所以 f(20) 除以5的余数为1. 【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】（1） 因为f(n)=a 1+a 2C n 1+⋯+arC n r−1+⋯a n+1C n n(n ∈N ∗)，再结合a n =n −1 ， 得出f(n)=0C n 0+1⋅C n 1+2C n 2+3⋅C n 3⋯+nC n n ，再利用倒序求和法，所以 f(n)=nC n n +(n −1)C n n−1+(n −2)C n n−2+⋯+1⋅C n 1+0⋅C n 0 ， 再利用两式求和法结合二项式的系数的性质，得出 f(n) 。
计数原理知识点总结高中
计数原理知识点总结高中一、基本原理计数原理的基本原理包括加法原理和乘法原理。
1. 加法原理加法原理是指当一个事件可以分解为几个不相容的部分时，这个事件的总数等于各部分的事件数之和。
加法原理可以用于求解排列组合等问题。
举例: 一个班上有男生20人、女生25人，那么班上的学生总数为20+25=45人。
2. 乘法原理乘法原理是指当一个事件要发生的步骤可以划分为若干个子事件时，这个事件发生的总次数等于各子事件发生次数的乘积。
举例: 要在4x4的格子中按照某种规则走，从左上角到右下角，每一步只能向右或者向下移动，那么一共有6步，每一步有两种选择，那么总共有2^6=64种不同的走法。
二、排列组合排列和组合是计数原理中的两个重要概念，它们是用来计算不同元素的排列和组合的方法。
1. 排列在数学中，排列的定义是指从若干不同的元素中取出一部分进行排列，排列的顺序是有意义的。
对于n个元素中取出m个元素进行排列，共有n(n-1)(n-2)...(n-m+1)种排列，记作A(n,m)。
2. 组合组合是指从若干不同的元素中取出一部分进行组合，组合的顺序是没有意义的。
对于n个元素中取出m个元素进行组合，共有C(n,m) = n!/((n-m)!m!)种组合。
排列和组合在实际问题中有着广泛的应用，比如在组合学、密码学等领域，都会涉及到排列和组合的计算。
因此，掌握排列和组合的相关知识是非常重要的。
三、分配原理分配原理是指把若干个不同的物体分给若干个相异的盒子的方法，它与排列和组合有着密切的联系。
分配原理也是计数原理中的重要内容之一，可以在实际问题中得到广泛的应用。
举例: 有10个苹果和3个盒子，要求将这10个苹果分给这3个盒子，每个盒子至少有一个苹果，求分法的总数。
按照分配原理，将10个苹果放入3个盒子，总共有${{10-1}\choose{3-1}}=36$种不同的分法。
分配原理在实际问题中也有着广泛的应用，比如在计算机科学中的任务调度、网络流量控制等方面都会用到分配原理的相关知识。
计数原理(最全面的方法汇总)
计数原理（排列组合）插空法，挡板法，捆绑法，优选法，平均分配问题等例题精选+练习一、挡板法（插板法、隔板法、插刀法）将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为挡板法。
(1)例题解读【例1】共有10完全相同的球分到5个盒里，每个盒至少要分到一个球，问有几种不同分法？解析：我们可以将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空隙，现在我们用4个档板”插入这9个空隙中，就“把10个球隔成有序的5份，每个盒子依次按盒子序号分到对应位置的几个球（可能是1个、2个、3个、4个、5个），这样，借助于虚拟“档板”就可以把10个球分到了5个班中。
【基本题型的变形（一）】题型：有n个相同的元素，要求分到m组中，问有多少种不同的分法？解题思路：这种问题是允许有些组中分到的元素为“0”，也就是组中可以为空的。
对于这样的题，我们就首先将每组都填上1个，这样所要元素总数就m个，问题也就是转变成将（n+m）个元素分到m组，并且每组至少分到一个的问题，也就可以用插板法来解决。
【例2】有8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有（）种不同方法.A．35 B．28 C．21 D．45解答：题目允许盒子有空，则需要每个组添加1个，则球的总数为8+3×1=11，此题就有C （10，2）=45（种）分法了，选项D为正确答案。
【基本题型的变形（二）】题型：有n个相同的元素，要求分到m组，要求各组中分到的元素至少某个确定值S（s＞1，且每组的s值可以不同），问有多少种不同的分法？解题思路：这种问题是要求组中分到的元素不能少某个确定值s，各组分到的不是至少为一个了。
16计数器 c语言实现原理 -回复
16计数器c语言实现原理-回复实现16计数器主要依靠C语言的逻辑和数学运算。
以下是一步一步详细回答关于16计数器C语言实现原理的文章。
首先，我们需要了解什么是16计数器。
16计数器是一种能够计数0到15的设备或程序，它可以循环地计数从0到15，并在达到最大值后重新回到0。
接下来，我们将一步一步实现一个简单的16计数器。
第一步，我们需要定义一个计数器变量。
在C语言中，我们可以使用整型变量来表示计数器。
根据16进制数的表示，我们可以选择使用unsigned char类型来存储计数器变量。
这样，计数器变量的范围就是从0到255。
cunsigned char counter;第二步，我们需要初始化计数器变量。
在计数器开始工作之前，我们需要将其值设置为0，从而确保计数器从最小值开始计数。
ccounter = 0;第三步，我们需要编写一个循环来实现计数器的循环计数功能。
在C语言中，我们可以使用while循环或for循环来实现这个功能。
这里，我们选择使用while循环，并设置一个无限循环。
在循环的每个迭代中，我们将计数器值打印出来，并根据需要执行其他操作。
cwhile(1) {printf("当前计数值: d\n", counter);其他操作}第四步，我们需要实现计数器的递增功能。
在每次循环迭代中，我们将计数器的值递增1。
当计数器达到最大值15时，我们需要将其值重新设置为0，以完成循环计数的要求。
cwhile(1) {printf("当前计数值: d\n", counter);counter++;if(counter > 15) {counter = 0;}其他操作}通过以上几个步骤，我们已经完成了一个简单的16计数器的实现。
这个计数器将从0开始递增，当计数值达到15时，重新回到0，并不断重复这个过程。
在实际应用中，我们可以根据需要对计数器的功能进行扩展。
例如，可以添加按键检测的逻辑，当按下某个特定的按键时，重置计数器的值为0，从而在需要时可以重新开始计数。
高考数学计数原理知识点
高考数学计数原理知识点数学是高考中的一门重要科目，其中计数原理是数学中的一个重要知识点。
计数原理用于解决计数问题，是数学中的基础工具。
在高考中，计数原理常常出现在复合概率、组合数学等题目中。
掌握计数原理的知识点对于高分通过高考数学是非常重要的。
下面将介绍一些常见的计数原理知识点。
一、排列和组合排列是指从一组元素中选取若干元素进行有序排列的方式。
对于n个元素，从中选取k个元素进行排列，可以得到 nPk 种不同的排列，其中P表示排列。
组合是指从一组元素中选取若干元素进行无序选择的方式。
对于n个元素，从中选取k个元素进行组合，可以得到 nCk 种不同的组合，其中C表示组合。
排列和组合的计算公式如下:nPk = n! / (n-k)!nCk = n! / (k!(n-k)!)其中n!表示n的阶乘，即n! = n(n-1)(n-2)...3*2*1。
通过排列和组合的计算公式，我们可以快速计算出排列和组合的结果，而不用逐个枚举。
二、乘法原理和加法原理乘法原理是指若一个事件发生的方式有m种，而另一个事件发生的方式有n种，且这两个事件的发生方式相互独立，那么这两个事件同时发生的方式有m * n种。
加法原理是指若一个事件发生的方式有m种，而另一个事件发生的方式有n种，且这两个事件的发生方式互斥（即两者不能同时发生），那么这两个事件发生的方式有m + n种。
乘法原理和加法原理是解决计数问题的基本原理，它们在计数原理中有着广泛的应用。
通过灵活运用乘法原理和加法原理，我们可以简化计数问题的解决过程，提高解题效率。
三、重复排列和重复组合重复排列是指从n个元素中选择k个元素进行有序排列，允许元素重复出现的方式。
对于重复排列，共有 n^k 种不同的排列方式。
重复组合是指从n个元素中选择k个元素进行无序组合，允许元素重复出现的方式。
对于重复组合，共有C(n+k-1, k)种不同的组合方式。
通过重复排列和重复组合的计算公式，我们可以快速计算出重复排列和重复组合的结果，进而解决相关的计数问题。
高考计数原理知识点总结
高考计数原理知识点总结高考的数学考试中，计数原理是一个非常重要的知识点。
计数原理涉及到对各种情况下的计数方法的掌握和运用。
通过对计数原理的学习，可以帮助我们解决各种实际问题，提升解题能力。
在本文中，将对高考计数原理的相关知识点进行总结。
一、基本计数原理基本计数原理是计数原理的基础，也是其他计数原理的出发点。
基本计数原理指的是：当一个事件可以分解为若干个独立的步骤时，每个步骤的取法总数之乘积就是整个事件的取法总数。
例如，从A、B、C三个城市中选择一个作为旅游目的地，再从目的地城市的旅游景点中选择一个进行游览。
根据基本计数原理，这个问题的解决步骤可以分为两步，首先是选择旅游目的地的步骤，共有3种选择；其次是选择旅游景点的步骤，共有景点数种选择。
据此，整个问题的解决步骤就是3×景点数。
二、排列与组合排列与组合是计数原理中的两个重要概念。
排列指的是从一组元素中按照一定顺序选取若干个元素进行排列的方法；组合则是从一组元素中无序地选取若干个元素进行组合的方法。
1. 排列排列的概念可以通过一个简单的例子来加以说明。
假设有4个小朋友A、B、C、D要站成一排，那么有多少种不同的排列方法呢？根据排列的定义，首先有4种选择选取第一个位置的小朋友，然后在剩下的3个小朋友中选择一个放在第二个位置，再在剩下的2个小朋友中选择一个放在第三个位置，最后剩下的一个小朋友放在最后一个位置。
据此，整个问题的解决步骤就是4×3×2×1，即4的阶乘。
排列的计算公式可以用数学符号简洁地表示为：A(4,4)=4！。
2. 组合与排列不同，组合不考虑元素的先后顺序。
如果要从A、B、C、D这4个小朋友中选取2个小朋友玩游戏，那么有多少种不同的组合呢？根据组合的定义，首先有4种选择选取第一个小朋友，然后在剩下的3个小朋友中选择一个作为第二个小朋友。
由于不考虑元素的先后顺序，所以(A,B)和(B,A)被视为同一种情况，即同一个组合。
计数原理zst
涂色问题的实质是分类与分步，一般是整体分步，分
步过程中若出现某一步需分情况说明时还要进行分类．涂 色问题，一般不涉及排列数和组合数的应用，是计数原理 应用的典型问题．由于涂色本身就是策略的一个运用过程， 能较好地考查考生的思维连贯性与敏捷性，加之涂色问题 的趣味性，自然成为高考考试命题的热点.
解：以m的值为标准分类，分为五类．第一类：m＝1 时，使n>m，n有6种选择；第二类：m＝2时，使n>m，n有
5种选择；第三类：m＝3时，使n>m，n有4种选择；第四
类：m＝4时，使n>m，n有3种选择；第五类：m＝5时，使 n>m，n有2种选择． ∴共有6＋5＋4＋3＋2＝20(种)方法，即有20个符合题 意的椭圆．
变式迁移 3
有一个圆被两相交弦分成四块，现在用
5种不同颜料给这4块涂色，要求共边两块颜色互异，每块
只涂一色，共有多少种涂色办法？
解析：本题中区域2,3,4,5地位相同(都与其他四个区域 中的3个区域相邻)，故应先涂区域1，有5种涂法，再涂区
域2，有4种涂法，接着涂区域3，有3种涂法，涂区域4时
注意：区域2与4同色时区域4有1种涂法，此时区域5有3种 涂法，区域2与4不同色时区域4有2种涂法，此时区域5有2 种涂法，故共有5×4×3×(3＋2×2)＝420种栽种方案，故 选D. 答案：D
解：首先应明确所完成的事情，即从三个因式中各取
一个字母相乘之积作为展开式中的一项．然后再分析如何 完成，从第一个因式中选一个字母，从第二个因式中选一 个字母，从第三个因式中选一个字母，只有这三步都做完， 事情才完成，因而用乘法原理．结果为3×4×5＝60项．
计数原理教案
计数原理教案教案：计数原理目标：学生能够理解和运用计数原理解决问题。
教学重点：理解计数原理的概念和应用。
教学难点：能够灵活运用计数原理解决实际问题。
教学准备：小黑板/白板，彩色粉笔/白板笔，教材《数学》课本。
教学过程：Step 1：导入询问学生最近有没有遇到过需要计算的问题，引入计数原理的概念。
Step 2：概念讲解通过小组讨论的方式，向学生介绍计数原理的概念。
计数原理是指用来确定一件事情可能的结果的数目的方法。
计数原理有两个基本原则：乘法原理和加法原理。
Step 3：乘法原理的讲解与示例通过例题向学生解释乘法原理。
乘法原理是指当两个事件发生的相互独立时，它们同时发生的总数等于每个事件发生的数目的乘积。
示例1：有一个三位数密码锁，每位数字的可能取值是0-9。
那么锁上的可能密码的总数是多少？解答：对于一个三位数密码锁，每位数字的可能取值是0-9，总共有10个选择。
根据乘法原理，总的可能密码的数量是10 × 10 × 10 = 1000。
Step 4：加法原理的讲解与示例通过例题向学生解释加法原理。
加法原理是指当两个事件都不能同时发生时，它们发生的总数等于事件1发生的数目加上事件2发生的数目。
示例2：有6个红苹果和5个绿苹果，从中随机选取一个苹果，那么选中的苹果是红苹果的可能性是多少？解答：根据加法原理，红苹果和绿苹果两种事件不能同时发生，因此选中的苹果是红苹果的可能性等于红苹果的数目除以总的苹果数目，即6 / (6 + 5) = 6/11 ≈ 0.55。
Step 5：综合练习引导学生利用计数原理解决实际问题。
示例3：一家电影院有6个座位，共有8个观众前来观影，其中6名观众需要坐在座位上，其他2名观众将站立观影。
那么有多少种不同的座位安排方式？解答：根据乘法原理，首先选6个观众坐在座位上，座位的选择方式是从8个观众中选出6个的组合数，即 8C6 = 28。
同时，其他2名观众将站立观影，座位的选择方式是从2个观众中选出2个的组合数，即 2C2 = 1。
高考自主招生讲义：第15讲 逻辑、计数原理与组合数
第十五讲 逻辑、计数原理与组合数一、知识方法拓展1、 排列组合常用的解法有：运用两个基本原理（加法、乘法原理）；特殊元素（位置）优先考虑；捆绑法；插空法；隔板法；排除法；机会均等法；转化法。
2、 证明组合恒等式的常用方法有：赋值法；母函数法；构造组合模型法。
3、 几个基本组合恒等式：k n k n n C C -=；111k k k n n n C C C ---=+；11k k n n kC nC --=；012nnn n n C C C +++=；02413512n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=；qkq k q nm m n k C CC -+==∑（范德蒙公式）。
4、 错位排列问题：设集合{}1,2,,I n =，所有元素的一种全排列12,,,n t t t ，满足()1,2,,i t i i n ≠=，则称这样的排列12,,,n t t t 为错位全排列。
用()f n 表示{}1,2,,I n =错位全排列的总数，则()()1111!111!2!3!!nf n n n ⎛⎫=-+-++- ⎪⎝⎭。
5、 不尽相异的m 个元素的全排列：在m 个元素中，有1n 个元素相同，又另有2n 个元素相同，…，一直到另有r n 个元素相同，且12r n n n m +++=，这m 个元素的全排列叫做不尽相异的m 个元素的全排列。
不难得到，此全排列数计算公式为：12!!!!r m X n n n =6、 从n 个元素里取m 个元素的环排列：从n 个不同元素中任取m ()1m n ≤≤个元素按照圆圈排列，这种排列叫做从n 个元素里取m 个元素的环排列。
如果元素之间的相对位置没有改变，它们就是同一种排列。
把一个m 个元素的环在m 个不同的位置拆开，即得m 个不同的线排列。
由于n 个不同元素中任取m 个元素的排列方法mn P 种，所以n 个不同元素中任取m 个元素的环排列方法有m n P m 种。
计数原理知识点
计数原理知识点计数原理是概率论中的一个重要概念，它在统计学、计算机科学、经济学等领域都有着广泛的应用。
在我们日常生活中，计数原理也扮演着重要的角色，比如在排列组合、概率计算、数据分析等方面都能看到其身影。
下面，我们将详细介绍计数原理的相关知识点。
首先，我们来了解一下计数原理的基本概念。
计数原理是指根据某些条件，通过计算不同情况下的可能性来确定总体的可能情况数。
在实际问题中，常常会遇到需要计算某种排列或组合的情况，而计数原理能够提供一种简便的方法来解决这类问题。
其次，我们来介绍计数原理中的排列和组合。
排列是指从给定的n个元素中取出m个元素进行排列，其排列数为A(n,m)=n!/(n-m)!。
而组合是指从给定的n个元素中取出m个元素进行组合，其组合数为C(n,m)=n!/[(n-m)!m!]。
排列和组合在实际问题中有着广泛的应用，比如抽奖、排队、密码学等领域都能看到它们的身影。
接下来，我们将介绍计数原理中的加法原理和乘法原理。
加法原理是指如果某件事情可以分解为若干个相互独立的部分，那么这件事情的总数就是各个部分的数目之和。
乘法原理是指如果某件事情有若干个步骤，每个步骤有若干种选择，那么这件事情的总数就是各个步骤选择数的乘积。
加法原理和乘法原理在实际问题中经常会同时应用，能够帮助我们简化问题的计算过程。
最后，我们来讨论计数原理在概率计算中的应用。
概率是描述随机事件发生可能性的数学工具，而计数原理则为计算各种随机事件的可能性提供了便捷的方法。
通过计数原理，我们可以计算出各种随机事件的发生概率，从而更好地理解和分析随机现象。
综上所述，计数原理是概率论中的一个重要概念，它在排列组合、概率计算、数据分析等领域都有着广泛的应用。
通过对计数原理的学习，我们能够更好地理解和应用概率论的知识，从而更好地解决实际问题。
希望本文对大家对计数原理的了解有所帮助。
江苏对口单招教学——计数原理
课堂小结 1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在 第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2 种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法. 那么 完成这件事共有 N m1 m2 mn 种不同的方 法. 2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步 骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的 方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件 事共有 N m1 m2 mn种不同的方法.
问题1：从甲地到乙地，有3条公路，2条铁路，某人 要从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？
问题2：从甲地到乙地，有3条道路，从乙地到丙地有 2条道路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同 的走法 ？
问题1：从甲地到乙地，有3条公路，2条铁路， 某人要从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？
公路1 公路2
10.1 两个基本计数原理
实际问题
世界杯足球赛共有32个队参赛．它们先分 成8个小组进行循环赛，决出16强，这16个队按 确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军， 此外还决出了第三、第四名．问一共安排了多 少场比赛？前4名有多少不同的结果？
要回答这个问题，就要用到排列、组合的知 识．在运用排列、组合方法时，经常要用到分类 计数原理与分步计数原理．
例5、75600有多少个正约数?有多少个奇约数?
解:由于 75600=24×33×52×7
(1)75600的每个约数都可以写成 2 l 3 j 5 k 7 l 的形式,其中 0 i 4 ,0 j 3 ,0 k 2,0 l 1 于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即 i,j,k,l分别在各自的范围内任取一个值,这样i有5 种取法,j有4种取法,k有3种取法,l有2种取法,根据 分步计数原理得约数的个数为5×4×3×2=120个.
CCITTCRC-16计算原理与实现
CCITT CRC-16计算原理与实现CRC的全称为Cyclic Redundancy Check，中文名称为循环冗余校验。
它是一类重要的线性分组码，编码和解码方法简单，检错和纠错能力强，在通信领域广泛地用于实现差错控制。
实际上，除数据通信外，CRC在其它很多领域也是大有用武之地的。
例如我们读软盘上的文件，以及解压一个ZIP文件时，偶尔会碰到“Bad CRC”错误，由此它在数据存储方面的应用可略见一斑。
差错控制理论是在代数理论基础上建立起来的。
这里我们着眼于介绍CRC的算法与实现，对原理只能捎带说明一下。
若需要进一步了解线性码、分组码、循环码、纠错编码等方面的原理，可以阅读有关资料。
利用CRC进行检错的过程可简单描述为：在发送端根据要传送的k位二进制码序列，以一定的规则产生一个校验用的r位监督码(CRC码)，附在原始信息后边，构成一个新的二进制码序列数共k+r位，然后发送出去。
在接收端，根据信息码和CRC码之间所遵循的规则进行检验，以确定传送中是否出错。
这个规则，在差错控制理论中称为“生成多项式”。
1 代数学的一般性算法在代数编码理论中，将一个码组表示为一个多项式，码组中各码元当作多项式的系数。
例如 1100101 表示为1·x6+1·x5+0·x4+0·x3+1·x2+0·x+1，即 x6+x5+x2+1。
设编码前的原始信息多项式为P(x)，P(x)的最高幂次加1等于k；生成多项式为G(x)，G(x)的最高幂次等于r；CRC多项式为R(x)；编码后的带CRC的信息多项式为T(x)。
发送方编码方法：将P(x)乘以xr(即对应的二进制码序列左移r位)，再除以G(x)，所得余式即为R(x)。
用公式表示为T(x)=xrP(x)+R(x)接收方解码方法：将T(x)除以G(x)，如果余数为0，则说明传输中无错误发生，否则说明传输有误。
举例来说，设信息码为1100，生成多项式为1011，即P(x)=x3+x2，G(x)=x3+x+1，计算CRC的过程为xrP(x) x3(x3+x2) x6+x5x -------- = ---------- = -------- = (x3+x2+x) +-------- G(x) x3+x+1 x3+x+1x3+x+1即 R(x)=x。
计数原理知识点
计数原理知识点
计数原理是组合数学中的基本概念之一，用于计算某个事件发生的可能性。
其核心思想是将复杂的问题拆解为若干个简单的子问题，然后通过对这些子问题进行计数来得到最终的答案。
计数原理包括三个基本概念：乘法原理、加法原理和排列组合。
1. 乘法原理：当一个事件可以分成多个独立的步骤时，可以通过将每个步骤的可能性相乘得到最终结果的总可能性。
例如，在一次实验中，如果第一个步骤有m种可能性，第二个步骤
有n种可能性，那么整个实验的可能性就是m乘以n。
这个原理也可以推广到更多步骤的情况。
2. 加法原理：当一个事件可以通过多种不同的方式实现时，可以通过将每种方式的可能性相加得到最终结果的总可能性。
例如，在一个实验中，如果第一个步骤有m种可能性，第二个
步骤有n种可能性，而这两个步骤不能同时发生，那么整个实验的可能性就是m加上n。
3. 排列组合：当从一个集合中选择元素进行排列或组合时，可以使用排列和组合的方法进行计数。
- 排列是指在选择元素时考虑元素的顺序。
当从n个元素中选
择r个元素进行排列时，可以使用排列数P(n,r) = n! / (n-r)!来
计算不同排列的总数，其中n!表示n的阶乘。
- 组合是指在选择元素时不考虑元素的顺序。
当从n个元素中
选择r个元素进行组合时，可以使用组合数C(n,r) = n! / (r!(n-
r)!)来计算不同组合的总数。
通过灵活应用乘法原理、加法原理和排列组合，可以解决各种不同的计数问题，例如生日问题、抽签问题、排队问题等。
计数原理不仅在组合数学中有广泛的应用，也被应用于统计学、概率论等领域。
自主招生数学配套练习计数原理
自主招生数学配套练习 计数原理1、从n 个人中选出m 名正式代表与若干名非正式代表，其中非正式代表至少1名且名额不限，则共有_______________种选法()m n <.答案：(21)mn m n C --2、集合,A B 各有四个元素，A B 有一个元素，C A B Ü，集合C 含有三个元素，且其中至少有一个A的元素，符合上述条件的集合C 的个数是（ ）A ．55B ．52C ．34D ．35提示：21221306333333134C C C C C C C ⋅+++=。
答案：C3、若0,1作为特殊号码不能放在首位，则电话号码由7位升至8位后，理论上可以增加_______________电话资源.答案：7668108107210⋅-⋅=⋅4、有n 个元素的集合分为两部分，空集除外，可有___________种分法．答案：121212nn --=- 5、已知自然数a , b , c 为三角形三边的长，若b ≤ n ，a ≤ b ≤ c ，则满足条件的三角形的个数为________．答案：1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+…+n ）=6)2)(1(++n n n6、对于一个四位数，其各位数字至多有两个不相同，试求共有多少个这种四位数．提示：249979(22)576C +⋅+-=（计算式中，第一项为含1个数字型的四位数个数，第二项为含0的2个数字型的四位数个数，第三项为不含0的2个数字型的四位数个数）。
答案：576.7、五个不同元素(1,2,3,4,5)i a i =排成一排，规定1a 不许排第一，2a 不许排第二，不同的排法共有（ ）种。
A ．64 B. 72 C ．78 D. 84 提示：排除补充法。
答案：C8、四十个学生参加数学奥林匹克竞赛，他们必须解决一个代数问题、一个几何问题、一个三角问题。
具体情况如下表所述：问题 解决问题的学生数代数问题 20 几何问题 18 三角问题 18 代数问题和几何问题 7 代数问题和三角问题 8 几何问题和三角问题9其中有三位学生一个问题都没有解决，问三个问题都解决的学生人数是（ ） A ．5 B. 6 C ．7 D. 8 提示：画文氏图分别代入检验。
高中数学计数原理
高中数学计数原理计数原理是数学中的一个重要概念，它在解决组合、排列和概率等问题时起着至关重要的作用。
在高中数学教学中，计数原理的应用也是非常广泛的。
本文将对高中数学计数原理进行系统的介绍和讲解，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学概念。
一、基本概念。
计数原理是指在一定条件下，通过对个体进行分类、分解、排列和组合等方法，确定事件的总数的一种数学方法。
在实际问题中，常常需要根据计数原理来确定某一事件的发生总数。
在计数原理中，最基本的概念就是排列和组合。
排列是指从给定的n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，这个过程称为排列。
而组合是指从给定的n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，不考虑顺序，这个过程称为组合。
二、排列。
1. 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，这个过程称为排列。
2. 排列的计算公式为Anm=n!/(n-m)!，其中n!表示n的阶乘，即n!=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1。
在实际问题中，排列常常用于解决有序排列的问题，比如从5个不同的球中取出3个球，按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方式。
三、组合。
1. 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，不考虑顺序，这个过程称为组合。
2. 组合的计算公式为Cnm=n!/(m!(n-m)!)，其中n!表示n的阶乘，即n!=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1。
在实际问题中，组合常常用于解决不考虑顺序的问题，比如从8个不同的人中选出3个人组成一个委员会，共有多少种不同的组合方式。
四、应用举例。
1. 案例一，某班有10名学生，要从中选出3名学生组成一个小组，问共有多少种不同的组合方式？解答，根据组合的计算公式，Cn3=10!/(3!(10-3)!)=120，所以共有120种不同的组合方式。
计数原理知识点
计数原理知识点计数原理是数字电路中的重要基础知识，它涉及计数器、时序电路等概念。
在数字系统和计算机中，计数和计时是必不可少的功能。
本文将介绍一些计数原理的基本知识点。
1. 二进制计数系统二进制是一种计数系统，它由0和1两个数字组成。
在二进制计数系统中，每个数字位置上的权重是2的幂次方。
例如，二进制数1101表示的是1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = 13。
2. 计数器计数器是一种用于计数的电路。
它可以根据输入信号的触发来递增或递减其计数值。
计数器通常由触发器和逻辑门构成。
•触发器是用于存储和传输信息的元件。
常见的触发器有D触发器、JK触发器等。
•逻辑门用于控制触发器的工作状态。
常见的逻辑门有与门、或门、非门等。
计数器可以实现多种计数模式，如二进制计数、BCD码计数、循环计数等。
3. 摩尔斯电码计数器摩尔斯电码计数器是一种特殊的计数器，它可以将输入的二进制码转换为摩尔斯电码。
摩尔斯电码是一种用于通信的编码方式，由点（.）和划（-）组成。
摩尔斯电码计数器通常由三个触发器和逻辑门构成。
根据输入的二进制码，计数器可以输出摩尔斯电码。
例如，输入二进制码1011，计数器可以输出摩尔斯电码. …. .-.. .-..。
4. 时序电路时序电路是一种根据时钟信号来控制时序行为的电路。
它通常由时钟、触发器和逻辑门构成。
时序电路可以实现复杂的计时和控制功能。
时序电路可用于实现各种计数器、计时器和状态机等。
它在数字系统和计算机中的应用广泛。
5. 时钟信号时钟信号是时序电路中的重要信号之一。
它用来控制触发器和逻辑门的状态变化。
时钟信号通常是一个周期性方波信号，其频率和占空比决定了电路的工作频率和时序特性。
时钟信号的频率越高，电路的响应速度越快；而占空比的变化可以用来控制电路的工作时间和空闲时间。
时钟信号的设计和优化对于实现高性能的时序电路至关重要。
总结计数原理是数字电路中的重要知识，它涉及二进制计数系统、计数器、摩尔斯电码计数器、时序电路等概念。
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16 计数原理
一、要点考点
1.乘法原理，加法原理
2.元素允许重复的排列 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复的出现，按照一定的顺序排成一排，那么，第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以，从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数n m m m m m =⋅⋅...个.
3.含有可重元素的排列问题
对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同的元素n a a a a ...,,321，其中限重复数为k n n n ...,21，且k n n n n +++=...21，则S 的排列个数等于
!
!...!!
)(21k n n n n n P =
4.排列数公式
5.组合数公式 1）公式
2）性质 ①②
6.排列组合问题解题方法及题型 1）直接法 2）排除法
3）捆绑法：相邻问题 4）插空法：不相邻问题
5）站位法：特殊元素优先排列 6）调序法：解决某些元素次序一定 7）平均法：
若把kn 个元素平均分成k 组，每组n 个元素，共有k
k
n
n n n k n kn A C C C ...)1(- 8）隔板法：求方程有多少组正整数解的问题 二、技能方法 划归 分类列举 抓住受限元素 整体思想
三、典型例题
例1 （交大2006保送推优）2005！的末尾有连续个零.
例2 （交大2006保送推优）2张100元，3张50元，4张10元人民币，共可组成多少中不同的面值.
例3 （浙大2009自招）1，2，3，4，5的排列54321,,,,a a a a a 具有性质：对于41≤≤i ，
i a a a ,...,21不构成i ,...,2,1的某个排列，求这种排列的个数.
例4 （交大2008冬令营）通信工程中，常用n 元数组),...,,,(321n a a a a 表示信息，其中0=i a 或1，*,N n i ∈，设),...,,,(321n a a a a u =，),...,,,(321n b b b b v =，),(v u d 表示u 和v 中相应元素的不同的个数.
（1）)0,0,0,0,0(=u ，问存在多少个五元数组v 使得1),(=v u d ； （2）)1,1,1,1,1(=u ，问存在多少个五元数组使得3),(=v u d ；
（3）令)0,...,0,0,0(=w ，),...,,,(321n a a a a u =，),...,,,(321n b b b b v =，求证：
),(),(),(v u d w v d w u d ≥+
四、巩固训练
1.（复旦2001基地）从n 个人中选出m 名正式代表与若干名非正式代表，其中非正式代表至少1名且名额不限，则由中选法（m<n ）.
2.（复旦2001基地）集合A ，B 各有四个元素，B A ⋂有一
个元素，B A C ⋃⊆，集合C 含有三个元素，且其中至少有一个A 的元素，符合上述条件的集合C 的个数是（）
A.55
B.52
C.34
D.35
3.（复旦2002基地班）若0,1作为特殊号码不能放在首位，则电话号码由7位升至8位后，理论上可以增加电话资源.
4.（交大2003冬令营）有n 个元素的集合分为两部分，空集除外，可有种分法.
5.（交大2004报送）已知自然数a ，b ，c 为三角形三边的长，若c b a n b ≤≤≤,，则满足条件的三角形的个数是.
6.（复旦2006报送推优）对于一个四位数，其各位数字至多有两个不相同，试求共有多少个这样的四位数.
7.（复旦2008选拔）五个不同的元素)5,4,3,2,1(=i a i 排成一排，规定1a 不允许排第一，2a 不允许排第二，不同的排法有（）种. A.64 B.72 C.78 D.84
8.（复旦2008选拔）四十个学生参加数学奥林匹克竞赛，他们必须解决一个代数问题、一个几何问题、一个三角问题，具体情况如下表所述：
A.5
B.6
C.7
D.8
9.（复旦2009选拔）设有1+n 个不同颜色的球，放入n 个不同的盒子中，要求每个盒子中至少有一个球，则不同的方法有（）
A.)!1(+n 种
B.)!1(+n n 种
C.)!1(21+n 种
D.
)!1(2
1
+n n 种
10.（复旦2009选拔）设X 是含)2(>n n 个元素的集合，A ，B 是X 中两个互不相交的子集，分别有m ，k ),1,(n k m k m ≤+≥个元素，则X 中即不包含A 也不包含B 的子集的个数
为（） A.k m n k n m
n -----+222
B.k m n --2
C.k m n k n m
n n
----+--2222 D.k m n k n m n n ----++--22221
11.（五校2010选拔）欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 中颜色之一，使得以正六边形的任何三个顶点作为顶点的三角形有3中不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的三色组合，则n 的最小值为（）
A.6
B.7
C.8
D.9
12.（五校2010选拔样题）甲、乙、丙、丁等七人站成一排，要求甲在中间，乙丙相邻，且丁不在两端，则不同的排法共有（）种. A.24 B.48 C.96 D.120。