4、二次根式复习学案

第4讲二次根式
二次根式的有关概念
二次根式
一般地，形如a(①______)
的式子叫做二次根式.
最简二次根式必须同时满足：(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；(2)被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不应含有根号).
二次根式的性质
两个重要的性质
(a)2＝a(a②____)
a2＝|a|＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧③（a≥0）
④（a＜0）
积的算术平方根ab＝a·b(a≥0，b≥0)
商的算术平方根a
b
＝
a
b
(a≥0，b>0)
二次根式的运算
二次根式的加减先将各根式化为⑤____________，然后合并被开方数⑥
______的二次根式.
二次根式的乘法a·b＝⑦______(a≥0，b≥0)
二次根式的除法a
b
＝⑧______(a≥0，b＞0)
二次根式的混合运算与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算⑨______，最后算加减，有括号的先算括号里面的(或先去括号).
绝对值：|a|；偶次幂：a2n；非负数的算术平方根：a(a≥0)是常见的三种非负数形式．非负数具有以下两条重要性质：①非负数形式有最小值为零；②几个非负数的和等于零，那么每个非负数都等于零．
命题点1 二次根式有意义的条件
(2014·巴中)要使式子
m＋1
m－1
有意义，则m的取值范围是( )
A．m>－1 B．m≥－1 C．m>－1且m≠1 D．m≥－1且m≠1
要使组合型的代数式有意义，必须使组合式中每个式子都要有意义．
1．(2014·武汉)若代数式x－3在实数范围内有意义，则x的取值范围是( ) A．x≥－3 B．x＞3 C．x≥3 D．x≤3
2．(2015·绵阳)要使代数式2－3x 有意义，则x 的 ( )
A ．最大值是23
B ．最小值是23
C ．最大值是32
D ．最小值是3
2
3．(2013·凉山)如果代数式x
x －1有意义，那么x 的取值范围是( )
A ．x ≥0
B ．x ≠1
C ．x>0
D ．x ≥0且x ≠1 命题点2 二次根式的性质
实数a 在数轴上的位置如图所示，则（a －4）2
＋（a －11）2
化简后为( )
A ．7
B ．－7
C ．2a －15
D ．无法确定
当a ≥0时，a 2＝a ，当a ≤0时，a 2
＝－a.
1．(2015·绵阳)若a ＋b ＋5＋|2a －b ＋1|＝0，则(b －a)
2 015＝( )
A ．－1
B ．1
C ．52 015
D ．－52 015
2．(2015·荆门)当1<a<2时，代数式（a －2）2
＋|1－a|的值是( ) A ．－1 B ．1
C ．2a －3
D ．3－2a
3．(2015·日照)若（x －3）2
＝3－x ，则x 的取值范围是________． 命题点3 二次根式的运算
(2014·荆门)计算：24×
1
3
－4×18
×(1－2)0. 【思路点拨】 先把各二次根式化成最简二次根式，然后根据运算顺序进行计算． 【解答】
把二次根式被开方数中能开得尽方的因数或因式开方出来，或把被开方数的分母开方出来，化成最简二次根式后再进行运算，运算结果一定要化为最简二次根式．
1．(2015·安徽)计算8×2的结果是( ) A.10 B ．4 C. 6 D ．2
2．(2014·聊城)下列计算正确的是( ) A ．23×33＝6 3 B.2＋3＝ 5 C ．55－22＝3 3 D.2÷3＝
63
3．(2015·南京)计算
5×15
3
的结果是________． 4．(2015·南昌模拟)计算：48÷3－1
2
×12＋24.
1．(2015·无锡)函数y ＝x －4中自变量x 的取值范围是( ) A ．x ＞4 B ．x ≥4 C ．x ≤4 D ．x ≠4
2．(2015·淮安)下列式子为最简二次根式的是( ) A. 3 B. 4 C.8 D.
12
3．(2014·连云港)计算（－3）2
的结果是( ) A ．－3 B ．3 C ．－9 D ．9
4．(2015·凉山)下列根式中，不能与3合并的是( ) A.
13 B.3
3
C.2
3
D.12 5．(2015·原创)小马虎做了下列四道题：①3＋2＝5；②2＋3＝23；③52
－32
＝52
－32
＝5－3＝2； ④3－12＝－ 3.他拿给好朋友聪聪看，聪聪告诉他只做对了( ) A ．4道 B ．3道 C ．2道 D ．1道 6．(2015·金华)如图，数轴上A 、B 、C 、D 四点中，与数－3表示的点最接近的是( )
A ．点A
B ．点B
C ．点C
D ．点D
7.如果()
2
22+＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，那么a ＋b 等于( )
A ．2
B ．3
C ．8
D ．10
8.已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，且222b ab a +-+|b-c|=0，则△ABC 的形状是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 9.化简：
2
1
=_______，25.0=________. 10.计算a a 82⋅(a ≥0)的结果是________． 11.计算：(
53205
1-+)×10=________.
12.我们赋予“☀”一个实际含义，规定a ☀b=b
a
b a +
⋅，则2☀3=_______. 13.计算：(1)32
14505118-+； (2)(32-23)2.
中考零距离 1.要使1
21
3-+
-x x 有意义，则x 应满足（ ）
A.
321≤≤x B.x ≤3且x ≠21 C. 321<<x D. 32
1
≤<x 2.估算231-的值在（ ）A.1至2之间B. 2至3之间 C. 3至4之间D. 4至5之间 3.下列运算正确的是（ ） A.a a 326
= B.3)2(322⨯-=- C. a a
a =1
2 D.2818=- 4. 计算：=+312_______． 28⨯=________， 28-=________.
5.若a ＜0，化简2
3a a --＝________.
6．(2015·重庆B 卷)计算32－2的值是( ) A ．2 B ．3 C. 2 D ．2 2
7．(2015·随州)若代数式1
x －1＋x 有意义，则实数x 的取值范围是( )
A ．x ≠1
B ．x ≥0
C ．x ≠0
D ．x ≥0且x ≠1 8．(2015·泰州)计算：18－2
1
2
＝________. 9.若x ，y 为实数，且032=-++y x ，则2010)(y x +的值为________.
10．(2013·泰安)化简：3(2－3)－24－︱6－3︱＝_____. 11．(2015·福州)计算：
1）、()
()
2
2
7
--4- 2）、
60
30⨯ 3）(－1)2 015
＋sin30°＋(2－3)(2＋3)．
4） 3
4
12-27+
5）(12)
－2－6sin30°－(1
7－5
)0＋2＋|2－3|.
13．(2015·黔南校级月考)已知x ＋1x ＝7，则x －1
x
的值为( )
A. 3 B ．±2 C ．± 3 D.7 14．(2015·资阳)已知：(a ＋6)2＋b 2－2b －3＝0，则2b 2
－4b －a 的值为________．
15．(2014·白银)已知x 、y 为实数，且y ＝x 2－9－9－x 2
＋4，则x －y ＝_____.
16已知⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=++x y x x x y x y x x y x y 5-1-9320106-4-4x 23
2
2
2
，求的值。