环境污染中三维时变Volterra捕食_被捕食系统的持续生存
环境污染中三维捕食-被捕食系统生存和绝灭的阈值
维普资讯
第３ 期
刘宇红等 ： 环境 污 染 中 三 维捕 食． 被捕 食 系 统 生 存 和 绝 灭 的 阈值
９ ７
没有成 员从此 空 间 中迁 入 与 迁 出 ， 用 １ ｔ ， ２ ｔ ， （ ） Ｘ （ ）
３
ａ １ １
ａ １ ２
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随 着现 代 工农 业 的 高 速 发展 ， 环境 污 染 越来 越 严 重地威 胁人类 的 生存 ， 控制 环境 污染 ， 持生 态平 保 衡 已成为功 在 当代 ， 利在 千秋 的 一项 重要工 作 ， 别 特 是 污染环 境 中种 群 生存 与绝灭 的研究 在理 论上 显得
越 来 越重 要 。 １８ ９３～１８ ９４年 Ｔ Ｇ． ａ ａ ． Ｈ ｌ ｌ ｍ等 人 利 用 数学模 型定 性研 究 毒 素 对 生 物 种群 生存 的影 响 ， 为
１ ３种 群 系统 模 型
设 （ ） ｔ表示 种群 也表 示种 群 的规模 ， 记
ｆ （ ）ｓ ｓｄ
０
这 一研究 方 向揭开 了序幕 ， 在 文献 ［ ］ 出的 平均 其 １提
持 续生存 的概 念和 积分 均值法 为这方 面 的研究 奠定
ｌｍ ｕ ＜ ＞＝ ＜ ＞ ． ｉ ｓ ｐ
维普资讯
第２ ７卷
第 ３期
广 东 海 洋 大 学 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ａ ｇ ｏ ｇ Ｏｃ ａ ｉｅ ｓｔ ｏ ｒ ａ ｆＧｕ ｎ ｄ ｎ ｅ ｎ Ｕｎｖ ｒｉ ｙ
N+M维Lotka—Volterra捕食—竞争时滞系统的渐近性
ａ ｄ ｇｏ ａ ｔ ａ ｔ ｉ ｆ ｈ ｏ ｉ ｖ ｅ ｏ ｉ ｏｕ ｉｎ ｂ ｐ ｌ ｉ ｇｔ ｅ Ｂ ｏ ｗｅ ｘ ｄ ｔ ｅ ｒ ｍ ｎ ｅ ｍｅ ｈ ｄ ｏ ｎ ｌ ｂ ｌ ｔ ｃ ｉ ｔ ｏ ｅ ｐ ｓ ｉｅ ｐ ｒ ｄ ｃ ｓ ｌ ｔ ｙ ａ ｐ ｙ ｎ ｒ ｕ ｒｆ ｅ ｏ ｅ ａ ｄ ｔ ｔ ｏ ｆ ａｒ ｖｙ ｔ ｔ ｉ ｏ ｈ ｉ ｈ ｈ ｃ ｎ ｔ ｃ ｉ ｇ Ｌ ａ ｕ ｏ ｕ ｃｉ ｎ，ｔ ｅ ｒ ｍｓ ｗ ｒ ｅ ｌ ｅ ｙ ｇｖ ｎ ｎ ｅ ａ ｌ ｎ ｉｔ ｒ ａ ｒ ｗｎ ｂ ｓ ｇ ｏ ｓｒ ｔ ｙ ｐ ｎ ｖ ｆ ｎ ｔ ｕ ｎ ｏ ｈ ｏ ｅ ｅ ｅ ｒ ａ ｉ ｄ ｂ ｉｉ ｇ ａ ｘ ｍｐ ｅ ａ ｄ ｐ ｃｕ ｅ ｗ ｓｄ ａ ｙ ｕ ｉ ｚ ｎ ｓ ｆ ａ ｅ ｏ ｔ ｂ ｏｔ ｒ ｆｍａｌ ． ｗ ａ
下 Ⅳ＋ 维 Ｌ ｔａ Ｖ ｈ ｒ ｏ － ｏ ｅｒ ｋ ａ系统 ：
收稿 日期 ：０ ０ １— ５ ２ １ — ０ １
基金项 目： 国家 自然科学基金资助项 目（０ ７ ０３ １０ １４ ） 河北省教育厅科学研究基金资助项 目（ ２０ ３ ６ ６ ６ １６ ，０ ７ ０ ８ ； Ｚ０３１ ） 作者简介 ： 秀亮 （９ １ ） 男 ， 郑 １８ 一 ， 河北张家 口人 ， Ｉ： 方学院讲师． 河： Ｉ ＬＩ ￣
Ｋｅ ｗｏ ｄ ： ｒｄ ｔｒｃ ｍｐ ｔｉｎ ｅａ ｓｓｅ ； Ｌ ａ ｕ ｏ ｆｎ ｔ ｎ； ｐ ｒｉｔｎ ｅ ｇｏ ａ ａｙ ｔｔ Ｙ ｒ ｓ ｐ ｅ ａｏ—ｏ ｅｉｏ ｄ ｌｙ ｙ ｔｍ ｔ ｙ ｐ ｎ ｖ ｕ ｃｉ ｏ ｅｓｓ ｃ ； ｌｂ ｌ ｓｍｐ ｏｉ ｅ ｃ
ｓａ ｉ ｔ ｔｂ ｌ ｙ ｉ
ｉ ｖ ｓｉ ａｅ ｎ ｅ ｔ ｔ ｄ，ｓ ｆ ｃ ｅ ｔｃ ｎ ｉｉｎ ｒ ｅ ｖ ｄ ｆｒ ｕ ｉｏｍ ｅ ｓｓｅ ｃ ｆｔ ｉ ｙ ｕ ｉ ｇ ｔ ｅ ｃ ｍｐ ｒｓ ｎ； ｅ ｇ ｕ ｉｎ ｏ ｄ ｔ ｓ ｗｅ ｅ ｄ ｒ ｅ ｏ ｎｆ ｒ ｐ ｒｉｔｎ ｅ ｏ ｈ ｓ ｂ ｓｎ ｈ ｏ ａ ｏ ｗｈ ｎ ｉ ｏ ｉ ｉ ｔ ｙ ｔｍ ｓ ａｐｅ ｏ ｉ ｙ ｔｍ ，ｓ ｆ ｃｅ ｔｃ ｎｄｔｏ ｓｗｅｅ ｏ ｔｉ ｅ ｈ ｔｇ ｒ ｎ ｅ ｈｅ ｅ ｉｔ ｎ ｅ，ｕｎ ｑ ｅ ｓ ｈｅ ｓ ｓｅ ｗａ ｒ ｄ ｃ ｓ ｓｅ ｉ ｕ ｉ ｎ ｏ ｉ ｎ ｒ ｂ ａｎ ｄ ｔ ａ ｕａ ａ ｔ ｅ ｔ ｘｓ ｅｅｏ Ｓ ｉ ｃ ，Ｈ ｂｉ ｏ ｈＵ ｉ ｒｉ ， ｈｎｊ ｋｕ ０ ５０ ， ｈｎ ） Ｃ ｌ ｇ ｆ ｃ ｎｅ ｅｅ Ｎ ａ ｎ ｅｓｙ Ｚ ａｇｉ ｏ ７ ０ ０ Ｃ ｉ ｌ ｅ ｖ ｔ ａ ａ
微分方程在生态学模型中的应用
微分方程在生态学模型中的应用微分方程是数学中的一种重要工具，可以描述系统的变化规律及其动力学特性。
在生态学研究中，微分方程经常被应用于构建生态系统模型和分析生物群落的动态变化。
本文将介绍微分方程在生态学模型中的应用，包括种群动态模型、食物链模型和生态系统稳定性的研究。
一、种群动态模型种群动态是生态学中一个重要的研究领域，可以通过微分方程来描述和分析。
常见的种群动态模型包括Logistic模型、Lotka-Volterra模型等。
以Logistic模型为例，它描述了一个种群在资源有限的情况下的增长规律。
假设种群的增长率与种群数量及资源供应有关，可以得到微分方程：dN/dt = rN(1-N/K)，其中N表示种群数量，t表示时间，r表示种群的增长率，K表示资源的容纳量。
通过求解这个微分方程，可以得到种群数量随时间变化的函数关系，进而预测和分析种群的演变趋势和稳定状态。
二、食物链模型生态系统中的食物链反映了物种之间的相互作用和能量传递关系。
微分方程能够描述不同物种之间的捕食和被捕食关系，从而构建食物链模型并研究生物群落的稳定性。
Lotka-Volterra模型是一个常见的食物链模型，它描述了掠食者和被捕食者之间的相互作用。
该模型可以表示为一组耦合的微分方程：dN1/dt = r1*N1 - a1*N1*N2dN2/dt = -r2*N2 + a2*N1*N2其中N1和N2分别表示掠食者和被捕食者的数量，r1和r2表示各自的增长率，a1和a2表示捕食者对被捕食者的捕食率。
通过求解这组微分方程，可以得到掠食者和被捕食者数量随时间的变化规律，以及不同参数条件下的稳定状态和相空间分析。
三、生态系统稳定性研究生态系统的稳定性是生态学中一个重要的研究课题。
微分方程可用于分析不同物种之间的相互作用和自然环境的影响对生态系统稳定性的影响。
生态系统稳定性分析的方法之一是稳定性分析。
通过线性化处理微分方程模型，并分析方程的特征根和本征值，可以判断系统的稳定性。
具有脉冲和Holling Ⅳ类功能反应的三维捕食系统
即 （， ， 在 ｔ ｔ时单调不增 ， ｔ。 ｔ ） ＞ 。 ｔ 且可计算得 （ ＋ ） ，， ） 。下面采用数学归纳法证明： ｔ １ Ｐ （ ０ ＝ 当 ∈
１ 持 续 生存 性
定义 １ 如果 存在 正 的常数 ，和 使 得 系统 （ ） Ｊ １ 的任何 正解 （ （） （） （ ） 满 足 ： ｔ ，。 ｔ ，， ｔ ）
≤ ｌ ｆ （） ｌ ｕ ｘ（） ， ＝１２ ３ ｉ ｉ ｘ ≤ ｉ ｓｐ ≤ ａ ｒ ｎ ａ ｒ ｉ ，， ，
），Ｏｍ） ； 妻则 ＜（≤ ｔ
（ 若ｅ（ 一＜≤， Ｏ）∞ （ Ｄ ） ，ｒｔ ∞ ０ ｉ ｘ 一 １Ｐ ０ （ ＝１ ｉ ｐ ） ） ｍ ＋ 素则 （≥ ＞； ｅ）
（ｉ 若 ＰＩＯ 对 方程 （ ） ｉ） ｉ ＞ ， ４ 的任意 正解 ｍ（）＞ ０和 ＞ ， Ｔ Ｏ： ｔ Ｔ 有 ｍ（） ＋ ０ Ｉ 当 １ ， ＞ ＞ ｔ≤ 。
Ａｂ ｔａ ｔ Ａ ｔｒｅｓ ｅ ｉｓｐ ｅ ａｏ—ｒｙ ｓｓｅ ｗｉ ｍｐ ｌｅ ａ ｄ Ｈｏｌ ｇ １ ｕ ｃｉｎ ｌｒｓ ｏ ｓ ｓｄｓｕ ｓｄ Ｔ ｅ ｐ ｒｉ ・ ｓｒ ｃ ｈｅ —ｐ ｃｅ ｒｄ ｔｒｐｅ ｙ ｔｍ ｔ ｉ ｕｓ ｎ ｌｎ Ｖ ｆｎ ｔ ａ ｅ ｐ ｎ ｅ ｉ ｉ ｓｅ ． ｈ ｅｓｓ ｈ ｉ ｏ ｃ ｔ
因此 ， 文建 立 了在 固定时刻 具有 脉 冲效应 和 Ｈ ｌｎ 类 功能反 应 的三 维捕 食 系 统 ， 式 （ ） 研 究 本 ｏ ｉｇＩ ｌ Ｖ 见 １，
了该 系统 的相关 动力 学性质 ， 给 出了保持 这 些性质 时 脉冲项 应满 足 的界 限 。 并
lotka-volterra模型 半饱和常数-概述说明以及解释
lotka-volterra模型半饱和常数-概述说明以及解释1.引言1.1 概述随着对生态系统的深入研究，人们意识到了物种之间相互关系的重要性。
为了解释和预测物种之间的相互作用，数学模型成为了一种有效工具。
其中，Lotka-Volterra模型是一种常用且经典的数学模型，被广泛应用于生态学领域。
Lotka-Volterra模型，又称为捕食者-猎物模型，描述了捕食者和猎物之间的相互作用。
模型的基本假设是，猎物的增长受到捕食者捕食的影响，而捕食者的增长则依赖于猎物的可获得性。
本文的重点是研究Lotka-Volterra模型中的一个重要参数，即半饱和常数。
半饱和常数是用来衡量猎物或捕食者种群增长的饱和程度的指标。
它代表了当猎物或捕食者种群密度达到半饱和常数时，其增长速率达到最大值的临界点。
在这篇文章中，我们将对Lotka-Volterra模型进行介绍，并详细定义半饱和常数。
我们将探讨半饱和常数对模型的影响，以及其在解释和预测物种之间相互作用的重要性。
最后，我们还将展望未来研究方向，探讨如何进一步改进和应用Lotka-Volterra模型以解决现实生态问题。
通过对Lotka-Volterra模型和半饱和常数的研究，我们将有助于更好地理解物种之间的相互关系，并为生态学领域的可持续发展提供理论指导。
此外，对于生态系统保护和资源管理也有着重要的现实意义。
1.2 文章结构文章结构:本篇文章主要包括以下几个部分。
引言部分（第1章）：首先对文章的主要内容进行概述，介绍Lotka-Volterra模型以及半饱和常数的背景和相关研究现状。
然后明确文章的目的和意义以及本文的结构安排。
正文部分（第2章）：详细介绍Lotka-Volterra模型，包括其基本原理、模型方程的推导以及动态方程的解释。
然后，着重阐述半饱和常数的定义和意义，并讨论其在Lotka-Volterra模型中的应用。
结论部分（第3章）：对全文的内容进行总结，回顾Lotka-Volterra 模型的应用，并分析半饱和常数对模型的影响。
捕食-被捕食二维Lotka-Volterra模型的β持续生存与β绝灭
２ 定 义 及 引 理
定义 １ 对于给定常数 ＞０ ，如果 当 ０ ｔ Ｔ （ ＜ ０＜Ｔ ＋ 。 时，有 。）
（ ＞ ）
—
ｌ ｉ ａ ｒ
ｔ ÷
一 —
（ ＝ ， ）
一
则称 种群 ｘｔ于时刻 Ｔ在种 群水平 上走 向绝灭 ，或称 绝灭 ；如果种 群 ｘｔ在 ［， ］ （ ） （） ０Ｔ 上的任 时刻均不 绝灭 ，则称种群 ｘｔ于 ［， ］ （ ） ０Ｔ 上在种 群水平 上持 续生存 ，或称 生存 。 考虑如下两 种群 Ｌ ｔａＶ ｌ ｒａ ｏｋ － ｏｔ ｒ 模型 ｅ
１ ） 。Ｌ＋ 三２ （ ＿１ 垄 垒 二 ｌ 。 ０ ｒ ＿ ２ ｌａ ￣ ａ
２１ ２
，
＜ （） ｚ。
Ａ２— ｌａ ２ —ａ ｌ ２ ￣
一
０１ ２ａ２１
则 ｘ （ 永远 持续生存 。 ２ｔ ）
证 明 １ 由 １
Ａ ２＞ ０ Ａ１
＜
所以 ＜等 ；由
（ ）
（） １
收稿 日期 ： ０ ８０ － ６ 作者 简介：阎慧臻 （９ ５ ｌ 月生） ２ ０ － ６０ ． １６ 年 １ ，女 ，博士 ，教授． 究方向：生物数 学 研
基 金项 目： 辽宁省教育厅科技研究项 目 （０９ ０ ５． ２０ Ａ ７ ）
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第２ 卷 ７
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为书写方便 ，引入 以下记号 ：记
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一类纯时滞非自治Lotka-Volterra扩散生态系统的持续生存和全局吸引性
２０ ５
北华 大学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
第 ｌ ２卷
．
－
ｏＪ ’ Nhomakorabea夕ｙ ＝［
， ｙ 川） ， （ ㈤一
ｙ （ ＋ …）
其 中 ：。ｔ （ （） ｉ＝１２ … ， 分 别表 示 ｔ ， ， ） 时刻斑块 ｉ 中种群 的密 度 ； （ ） Ｄ （） ｔ（ ｔ
收 稿 日期 ：０ ０１－５ ２ １ —２０ 基金项 目： 国家 自然 科 学 基 金 项 目（ ０ ７ １８ ． １８２ １ ） 作 者 简 介 ： 惠东 （９ ４一） 女 ， 教 授 ， 要从 事 生 物 数 学 研 究 程 １６ ， 副 主
ＣＨＥＮＧ ｉｄ ｎ Ｆ Ｈｕ ． ｏ ｇ ， ＡＮ ｅ 。 Ｚ Ｃｈ ｎ ＡＮＧ ｕ— ｏ ｇ Ｘｉ ｈ ｎ
，
（ ． ｏｅ ｅｆＳ ｉ ｃ ，ｈ ｎｏｇ Ｕ ｉ ￣ｔ ｏ ｃ ｎｅａｄ Ｔｃｎｌ ｙ Ｑｎｄ ｏ２６ １ ， ｈｎ ； Ｃ ｌｇ ｃ ｎｅＳ ａｄ ｎ ｎｖ ｉ ｌ ｏ ｅ ｅ ｙ ｆＳｉ ｎ ｅｈｏｏ ， ｉｇａ ６ ５０ Ｃ ｉａ ｅ ｃ ｇ
文 章 编 号 ：０９４ ２ （ ０ １ ０ －２ ９０ １０ ．８ ２ ２ １ ） ３０４ － ． ９
一
类 纯 时 非 自治 Ｌ ｔａＶ ｌ ｒ 滞 ｏｋ — ｏｔ ｒ 散 态 系 统 ｅ ａ扩 生 的 持 续 生 存 和 全 局 吸 引 性
程 惠 东 范 ，
（． １ 山东科 技大学理学院 ， 山东 青 岛
ｒ ｓ ｌｓ ａ ｅ ｓ ｐ ｌｍｅ ｔ ｄ． ｅ ｕ ｔ ｒ ｕ ｐ ｅ ｎ ｅ
Ｋｅ ｒ ｓ：ｔｍｅ ｄｅａ ｓ； ｒ ｎｅ ｃ ｇｏ ａｌ ｓ ｍ ｐ ｏｉ ｔｂｉ ｔ ｎ ｎ ｕ ｏ ｏ ０ ｓ ｉｐ ｒ ｉｎ ｙ ｗｏ ｄ ｉ ｌ ｙ ｐｅ ｍａ ｎ ｅ； ｌ ｂ ｌｙ ａ ｙ ｔｔｃ ｓａ ｌ ｙ； ｏ ａ ｔ ｎ ｍ ｕ ｄ ｓ ｅ ｓｏ ｉ
具有无穷时滞和反馈控制的Lotka-Volterra捕食系统的生存分析
Ａｂｓｒ ｔ ｔ ａｃ ：Ａ ｃａ ｓ ｏ － ｒ ｄ ｔｒ ａ ｎ ｐ ｅ ｓ ｎｏ ａ ｔｎｏ ｏ ｓ Ｌｏｋ — ｈ ｒａ ｙ ｔｍ ｗｉｈ ｎｆ ｔ ｄ ｌｙ ｎ ｌ ｓ ｆ ｍ ｐ ｅ ａ ｏ ｓ ｎｄ — ｒ ｙ ｎ ｕ ｏ ｍ ｕ ｔ ａ Ｖｏ ｅ ｒ ｓ ｓｅ ｔ ｉ ｉ ｅ ｅａ ｓ ａ ｄ ｎｉ
收 稿 日期 ：０ ９０ ．１ 修 回 日期 ：０ ０ ４１ ２０ －９１ ２ １－ — ０ ４ 基 金 项 目 ： 北 电力 大学 青 年 基 金 项 目． 华
作者简介 ： 何继伟（ ９９一）男 ， 师， 士， １７ ， 讲 硕 主要从事生物数学研究
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比较 定 理 ， 出在某 些条 件下 种群 绝 灭 ， 种群 能 够持 续生 存 ； 文献 ［ ］中 ， 者讨论 了具 有无 穷 指 而 在 ３ 作 时滞和 反馈控 制 的两种 群 Ｌ ｔａＶｏ ｅｒ 竞 争 系统 ， ｏｋ． ｈ ｒａ 运用 文献 ［ ］中 的方法 和微分 不等 式给 出 了种群 持续 １ 生 存 的充分 条件 ； 文献 ［ ］ ， 者研 究 了 ｎ 群具 有无 穷 时滞 和反馈控 制 的非 自治 ＬｔａＶ ｈ ｒ 竞争 在 ４ 中 作 种 ｏ —ｏ ｅｒ ｋ ａ
lotka-volterra模型的假设
lotka-volterra模型的假设全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：Lotka-Volterra模型是一种描述捕食者-被捕食者动态的数学模型，以其简单而有效地描述生态系统中捕食关系而闻名。
这个模型基于一系列假设，这些假设对于描述生态系统中的捕食者和被捕食者之间的相互作用至关重要。
Lotka-Volterra模型假设生态系统中只存在两种种群：捕食者和被捕食者。
捕食者是以被捕食者为食的生物，而被捕食者是被捕食者所猎食的生物。
这两种种群之间形成了一种捕食关系，即捕食者依靠捕食被捕食者来获得能量和营养。
Lotka-Volterra模型假设捕食者和被捕食者的种群数量在一定时间范围内可以被表示为连续的变量。
这意味着在任何给定的时间点上，种群数量可以通过一个数值来描述，而不是通过一系列离散的单位来描述。
这一假设是建立数学模型的基础，使得我们可以通过数学方程来描述捕食者和被捕食者之间的相互作用。
Lotka-Volterra模型假设生态系统中的其他因素对捕食者和被捕食者之间的相互作用没有直接影响。
这意味着模型中只考虑了捕食者和被捕食者之间的相互作用，而忽略了其他可能影响种群数量的因素，如环境因素、竞争关系等。
这种简化模型的做法使得我们能够更容易地研究捕食者和被捕食者之间的关系，但也可能忽略了一些现实中的复杂性。
Lotka-Volterra模型假设捕食者和被捕食者的数量是连续变化的，而且种群数量的增长速率受到食物供应和捕食压力的影响。
这种假设基于生态系统中捕食者和被捕食者之间的相互作用，捕食者的数量受到食物供应的限制，而被捕食者的数量受到捕食者的压力的限制。
这种双向的相互作用导致捕食者和被捕食者之间的数量变化呈现出周期性波动的特点。
Lotka-Volterra模型基于一系列假设来描述生态系统中捕食者和被捕食者之间的相互作用。
这些假设为我们理解生态系统中的捕食关系提供了一个简单而有效的数学框架，帮助我们研究种群数量的变化及其对生态系统稳定性的影响。
lotka-volterra模型的假设
lotka-volterra模型的假设全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：Lotka-Volterra 模型是描述捕食者和被捕食者之间相互作用的一个经典数学模型。
它由意大利数学家Alfred J. Lotka和美国数学家Vito Volterra分别在20世纪初提出，并成为生态学研究的基础之一。
该模型简单而直观地描述了捕食者和被捕食者之间的群体动态变化，可以帮助我们更好地理解生物群体之间的相互作用。
在Lotka-Volterra 模型中，我们首先假设只有两种生物群体：一种是捕食者，一种是被捕食者。
捕食者以被捕食者作为食物来源，而被捕食者则成为捕食者的猎物。
这两种群体之间的关系被描述为一种资源-消耗的关系，即捕食者消耗被捕食者以维持生存。
在这个模型中，我们做出了一些基本的假设，这些假设是建立模型的前提，也是对生态系统运作的简化描述。
以下是Lotka-Volterra 模型的基本假设：1. 环境对生物群体的影响是恒定的。
在模型中，我们假设环境对捕食者和被捕食者的影响是固定的，不会发生变化。
这样可以简化模型，使其更易于理解和分析。
2. 捕食者的增长率与被捕食者数量成正比。
在Lotka-Volterra 模型中，我们假设捕食者的增长率与被捕食者的数量成正比。
这意味着被捕食者的数量越多，捕食者的增长率越高，反之亦然。
3. 被捕食者的增长率与捕食者数量成负相关。
与捕食者相反，被捕食者的增长率与捕食者的数量成负相关。
这意味着捕食者的数量越多，被捕食者的增长率越低，反之亦然。
4. 每一个生物群体都在密集性独立环境中生存。
在模型中，我们假设每一个生物群体都在一个密集性独立的环境中生存，即捕食者和被捕食者的数量变化不受其他环境因素的影响。
5. 空间是均匀分布的。
我们还假设空间在生物群体之间是均匀分布的，即没有空间上的不均匀性会影响捕食者和被捕食者之间的相互作用。
这些假设是建立Lotka-Volterra 模型的基础，在研究捕食者和被捕食者之间的相互作用时，我们可以通过这些假设进行简化和分析。
有密度制约的Lotka_Volterra模型捕食-食饵系统同时捕获的最优化
其 中 （ ） Ｙ ｔ 表 示 在 ｔ 刻 种 群 和 Ｙ的数 ｔ，（） 时 量 ， ， 分别 为种 群 和 Ｙ的 内禀增 长 率 ， 示 捕 ｒｒ ｂ表 获能 力 ，， ｒ 为正 常 数．此 外 本 文 约定 用 Ｅ Ｃｂｒ ， 均 表示 最优捕 获 努力量 ， 表 示最 大 纯收 益 ， 种群 设
其 中 Ａ为正 数． 种 捕 获 方 式 是 用 努 力 量 Ｅ 同 这 时 去捕 获种 群 和 Ｙ的． 以捕 鱼业 为例 ， 网下 去 ， 一 捕 获 种群 的个 数与种 群 Ｙ个数 之 比大致 为 Ａ， 数 Ａ 参
反 映 了渔 网的特性 ． 努力量 Ｅ的单位成 本 为 设
ｉ 似ｙ ｆ（ 一 ｂ ＝ ）
ｐ Ｉ
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（ ｅｔ ｆ ａ ｅ ａｃ， ｎｄｎ ｎ ｅ ｉ ， ｉｇ ｎ ５０ ，ｈ ａ Ｄ ｐ ｏＭ ｔ ｍ ｔｓＬ ｇｏｇＵ ｉｒｔ Ｑｎｙ ｇ ４００ Ｃｉ ） ． ｈ ｉ ｏ ｖ ｓｙ ａ ７ ｎ
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求 Ｒ（ 在 ［ ］ 的最大值． Ｅ） ０， 上
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（ ）当 １ 一从 ＋Ｄ＞ ０时 ，
●
（ 口 ，）和 Ｐ （ ０ ， ４ 三个非负平衡 点．
Ⅱ
） ．
① 若 ＋ ｓ０时 ， ＭＥ￣Ｏ 此时无最 大纯收 丽 则 ｙ ，
和 Ｙ的捕 获 物 的销 售单 价 分别 为 常 数 Ｐ和 ｇ单 位 捕 ，
竞争模型的概念
竞争模型的概念竞争模型是指用于描述和分析生物种群之间相互竞争关系的数学模型。
在自然生态系统中，不同种群之间存在着资源的竞争，即它们彼此争夺有限的营养、空间和生存资源。
竞争模型的重要性在于它可以帮助我们理解种群的动态变化和演化规律，同时也可以用于预测未来生物的发展趋势和生态系统的稳定性。
竞争模型最早出现在20世纪初，在数学家列维-勒龙特夫和干净-沃尔泽特恩的工作中。
他们基于“反应动力学”理论，提出了描述物种之间竞争关系的数学模型。
随后，竞争模型不断得到发展和完善，其中包括Lotka-Volterra模型、Ricker 模型、Holling模型等。
Lotka-Volterra模型是竞争模型中最经典的一个，它将种群间的竞争视为一种捕食-被捕食的过程。
该模型描述了两个物种之间的竞争关系，假设某一种类的种群增长速度与该种群自身的种群密度成正比，但受到另一种类种群密度的影响而减缓增长；而另一种类的种群增长速度与其自身种群密度成正比，但受到该种群的竞争而减缓增长。
这一模型描述了种群间的共存与竞争的动态过程，为我们深入理解物种在不同环境下的相互影响提供了重要的数学工具。
Ricker模型则是描述种群增长的另一种竞争模型，它基于种群在繁殖季节内生存几率的变化模式。
该模型假定了种群的增长速率会受到环境资源的限制，当种群密度达到一定阈值时，增长速率将急剧减缓，甚至出现急剧的崩溃。
这一模型适用于描述某些动植物种群在特定环境下的竞争与相互作用关系，例如欧洲森林种群的竞争动态。
Holling模型则是基于食物链中的捕食-被捕食关系建立的竞争模型。
该模型描述了被捕食者与其猎物之间的竞争动态，假设食物链中的上下层种群在资源利用和生存条件方面存在着相互限制和竞争。
该模型进一步丰富了竞争模型的研究领域，使得我们可以更好地理解生态系统中不同种群之间的相互关系和生态平衡。
竞争模型的研究对我们理解生态系统的稳定性和多样性具有重要意义。
通过建立数学模型，我们可以模拟和预测不同环境下种群的动态变化，为生物保护和自然资源管理提供理论支持。
具有Ⅳ类功能反应的离散非自治捕食系统永久持续生存性和周期解的存在性
具有Ⅳ类功能反应的离散非自治捕食系统永久持续生存性和周期解的存在性Ⅳ类功能反应是指一种化学反应系统在维持自身稳定性的同时能够吸收外部物质并进行代谢，并且能够产生新的结构和功能。
离散非自治捕食系统是指由一组捕食者和被捕食者组成的生态系统，其中捕食者以捕食行为获取能量和养分，被捕食者则成为捕食者的食物。
离散非自治捕食系统的永久持续生存性是指系统在缺乏外部干扰的情况下能够长期存在并保持稳定的运行状态。
周期解的存在性是指系统在一定的时间间隔内能够呈现出重复的运动或行为模式。
以下是关于具有Ⅳ类功能反应的离散非自治捕食系统永久持续生存性和周期解的存在性的讨论。
首先，离散非自治捕食系统的永久持续生存性可以通过以下机制得到保证。
捕食者通过捕食行为获取能量和养分，从而维持自身的生存和繁殖。
被捕食者数量的减少将导致捕食者数量的下降，进而导致被捕食者数量的增加。
当被捕食者数量增加时，捕食者数量又会相应增加。
在这种正反馈的作用下，捕食者和被捕食者可以互相影响，从而维持系统中捕食者和被捕食者的数量在一定范围内的动态平衡。
这种动态平衡状态可以使离散非自治捕食系统长期存在并保持稳定的运行状态。
其次，周期解的存在性可以通过捕食者和被捕食者之间的相互作用得到解释。
在离散非自治捕食系统中，捕食者数量的增加会导致被捕食者数量的减少，进而使得捕食者数量下降。
当捕食者数量减少到一定程度时，被捕食者的数量又会开始增加，从而使得捕食者数量重新开始上升。
这种捕食者和被捕食者数量之间的周期性波动可以使离散非自治捕食系统呈现出重复的运动或行为模式，即周期解。
周期解的存在性是离散非自治捕食系统稳定运行的一种重要特征，它反映了系统内部相互作用的动态平衡状态。
最后，可以通过数学模型来研究具有Ⅳ类功能反应的离散非自治捕食系统的永久持续生存性和周期解的存在性。
数学模型可以通过建立捕食者和被捕食者数量之间的差分方程来描述系统的动态变化。
通过数值模拟和解析分析可以得到系统存在永久持续生存性和周期解的条件和性质。
lotka-volterra模型公式
在动态生态学中，Lotka-Volterra模型是一种经典的描述捕食者-猎物关系的数学模型。
它由意大利数学家阿尔弗雷多·洛特卡（Alfred Lotka）和瑞典数学家维托·沃尔特拉（Vito Volterra）分别在20世纪初提出，被广泛应用于生态学和生物学领域，用于研究捕食者和猎物之间的相互作用。
在Lotka-Volterra模型中，捕食者和猎物的数量随时间的变化受到对方的影响，模拟了一个动态平衡的生态系统。
本文将围绕Lotka-Volterra模型展开全面的探讨，分析其理论基础、数学表达和实际应用，以及我对这一模型的个人理解。
1. Lotka-Volterra模型的理论基础Lotka-Volterra模型的提出基于对自然界捕食者和猎物之间的相互作用规律的观察和假设。
根据这一模型，捕食者的数量增加会导致猎物数量的减少，从而使捕食者的数量减少，最终导致猎物数量增加，从而形成了捕食者-猎物之间的周期性相互作用。
这一理论基础为后续建立数学模型奠定了基础，使得科学家可以通过数学方法来定量描述捕食者-猎物之间的关系，从而更深入地研究生态系统的动态演变。
2. Lotka-Volterra模型的数学表达Lotka-Volterra模型的数学表达通常采用微分方程的形式来描述捕食者和猎物数量随时间的变化。
具体而言，假设捕食者和猎物的种群数量分别为x和y，捕食者和猎物的增长率分别受到出生率、逝去率以及相互作用影响。
于是，可以得到捕食者和猎物种群数量随时间的变化方程，从而形成了Lotka-Volterra模型的数学表达式。
通过对这一数学模型进行分析和求解，可以得到捕食者和猎物数量随时间的变化趋势，进而揭示出捕食者-猎物相互作用的规律和特点。
3. Lotka-Volterra模型的实际应用Lotka-Volterra模型不仅在理论生态学研究中发挥着重要作用，同时在实际生态系统的研究和管理中也具有广泛的应用价值。
捕食者-食饵系统中的功能性反应简介-精选资料
捕食者-食饵系统中的功能性反应简介一、引言生态学是研究有机体与其周围环境相互关系的科学。
随着人类社会的物质文明及科学技术发展到新的高峰,同时,人类活动对于地球和生物圈的负影响也上升到新的高度,并已威胁到持续发展,甚至于人类自身的生存。
生物多样性的丧失,气候变暖,生物入侵等都对整个地球生物圈产生了根本的影响。
因此,人与自然必须协调发展的思想和发展经济必须保护自然环境和生物多样性同步的观点,已经被人们广为接受。
而生物数学作为生态学重要组成部分,引起了各国学者的广泛重视。
生物数学在很早就已经开始萌芽,如著名的Malthus和Logistic人口增长模型:在这里, x(t)表示人口的数量,r和K分别代表人口的内禀增长率和最大环境容纳量。
1900年,意大利著名数学家V.Volterra在罗马大学的一次题为“应用数学于生物和社会科学的成就”的演讲,标志着生物数学发展到一个里程碑。
特别是在1926年,Volterra发表了解释Finme港鱼群变化规律的著名论文,使生物数学的发展一度达到高潮。
最近30年,生物数学呈现一派欣欣向荣的局面,它所建立的模型和方法,不仅直接推动着生态学的发展,对自然科学的其他领域,也产生着重要的影响。
我们主要介绍生态学及生物数学的一个重要组成部分――种间关系中捕食者-食饵系统的功能性反应。
种群是在同一时期内占有一定空间的同种生物个体的集合。
长期以来,种群之间的相互关系(简称种间关系)包括竞争,捕食,互利共生等,是构成生物群落的基础,并一直影响着种群的持续生存与灭绝。
其中,捕食已经被证明是构成生物群落的一种主要的力量,而功能性反应是各物种发生捕食作用的基石,更是数学建模的主要手段。
因此,对它进行详细的总结和论述具有及其重要的意义。
二、功能性反应及在捕食者-食饵系统中的应用功能性反应定义为在单位时间内一个捕食者杀死食饵的数量,描述了在不同营养等级之间的生物转移量。
这样,功能性反应的单位就是[食饵][捕食者]-1[时间]-1。
三维Lotka-Volterra系统的全局扇形稳定性
三维Lotka-Volterra系统的全局扇形稳定性周武;陆征一【摘要】将Volterra-Lyapunov矩阵稳定性蕴含全局扇形稳定的结论推广到三维情形,得到了Volterra-Lyapunov矩阵半稳定性蕴含全局扇形稳定.%The global stability for a positive equilibrium of a three-species Lotka-Volterra system is generalized to the global stability for a nonnegative equilibrium under the Volterra-Lyapunov stability for the interaction matrix of the system.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(040)005【总页数】3页(P606-608)【关键词】Volterra-Volterra半稳定;边界平衡点;全局稳定性【作者】周武;陆征一【作者单位】西南民族大学计算机科学与技术学院,四川成都610041;四川师范大学数学与软件科学学院,四川成都610066【正文语种】中文【中图分类】O193考虑如下Lotka-Volterra系统关于此系统正平衡点的存在性及其全局稳定性,特别是在相互作用矩阵A=(aij)n×n 的Volterra-Lyapunov稳定性和平衡点的局部稳定下,对于链型系统[1-4]、环形系统[4-5]和一般系统[1,6-7]的全局稳定性研究已经有很多结果,这些问题的解决最终都化为LaSalle不变集的确定,一旦其LaSalle不变集得到确定[1,7],就可得到系统的全局动力学行为.本文利用Volterra-Lyapunov函数,将边界平衡点的稳定性问题化为系统对应的LaSalle不变集的确定问题,通过分析其LaSalle不变集的结构,得到系统的全局扇形稳定性.考虑三维系统及边界面上的非负平衡点和区域}.定义 1[1] 如果局部渐近稳定且在全局吸引,则称全局扇形稳定.为了讨论扇形稳定性,本文给出几个相互作用矩阵的稳定性概念.定义 2[7] 矩阵A称为是Volterra-Lyapunov稳定的,如果存在正对角矩阵C,使得CA+ATC负定.定义 3[1] 矩阵A称为是Volterra-Lyapunov半稳定的,如果存在正对角矩阵C,使得CA+ATC半负定.对于Lotka-Volterra系统正平衡点的全局稳定性来说,相互作用矩阵A为Volterra-Lyapunov稳定是充分的[1,6-7].而A为Volterra-Lyapunov半稳定是不够的,还需要矩阵的结构或平衡点的局部渐进稳定性作为附加条件[3,7].另一方面,相互作用矩阵A为Volterra-Lyapunov稳定时,由文献[1,8]可知必为全局扇形稳定.一个自然的问题是:当A仅为Volterra-Lyapunov半稳定时是否为全局扇形稳定?下面的例子说明,A的Volterra-Lyapunov半稳定性不能保证的全局扇形稳定性. 例1此系统存在非负平衡点而为Volterra-Lyapunov半稳定,但在x1=0平面上(1,1)为中心.所以必不为全局扇形稳定.本文在局部渐近稳定的条件下,得到相互作用矩阵A的Volterra-Lyapunov半稳定性蕴含了系统的全局扇形渐进稳定性.定理 1 假设系统(2)的边界平衡点局部渐近稳定,且A为Volterra-Lyapunov半稳定,则系统(2)全局扇形稳定.证明由于局部渐近稳定,所以必然饱和[7].将系统(2)写成其中为平衡点的横截特征值[7],由饱和性可得又因为A为Volterra-Lyapunov半稳定的,故存在正对角矩阵C=diag(c1,c2,c3),使得Volterra-Lyapunov函数满足其中当时,根据LaSalle不变性原理,由(5)式有x1=0,代入方程(4)可得由于二维Lotka-Volterra系统不存在极限环,故由Poincare-Bendixson定理,系统(6)的解或者趋于或者是围绕的一族闭轨.由局部渐近稳定假设得到不为中心.故此时,LaSalle不变集}.当时,记B=(bij)3×3.下面证可推出即LaSalle不变集}.分情况讨论:情况 1 当秩(B)=3时,显然,由可得}.情况 2 当秩(B)=2时,假设系统(4)有非常数解x(t)∈M且不妨设其中,B23=(b12,b13,b22,b23)≠0.如果则代入方程(4)有因为x1有界,故必有x1→0.此时}.如果则代入方程(4)有同理}.情况 3 当秩(B)=1时,不妨设当b12=b13=0时,x1=0,故有此时,在任意邻域中,(9)式有非常数解,即M={(0,x2(t),x3(t))}.故非局部稳定.所以,至少有一个b12或b13不为零.不妨设b13≠0,则由(5)式有代入(4)式有由于x2上下有界局部稳定且系统(10)无极限环,故系统(10)的解满足).再由(4)式得故}.综上,定理得证.2010 MSC:34D05【相关文献】[1] 陈兰荪,宋新宇,陆征一. 数学生态学模型与研究方法[M]. 成都：四川科学技术出版社，2003.[2] GÜRLEBECK K, JI X. Lotka-Voterra system with Volterra multiplier[C]//ARABNIA R H, TRAN Q N. Software Tools and Algorithms for Biological Systems. New York:Springer-Verlag,2011:647-655.[3] LIU L, LU Z Y, WANG D M. The structure of LaSalle’s invariant set for Lotka-Volterra systems[J]. Science in China:Math,1991,A34(7):783-790.[4] LU G, LU Z. Geometric approach for global asymptotic stability of three-dimensional Lotka-Volterra systems[J]. J Math Anal Appl,2012,389(1):591-596.[5] 彭芬国,周之铭. 环状三维捕食-被捕食Volterra系统的全局渐近稳定性[J]. 生物数学学报,1988,3(2):159-170.[6] GOH B S. Global stability in many-species systems[J]. The AmericanNaturalist,1977,111(977):135-143.[7] HOFBAUER J, SIGMUND K. Evolutionary Games and Population Dynamics[M]. Cambridge:Cambridge University Press,1998.[8] TAKEUCHI Y. Global Dynamical Properties of Lotka-Volterra Systems[M]. Singapore:World Scientific,1996.[9] REDHEFFER R. A new class of Volterra differential equations for which the solutions are globally asymptotically stable[J]. J Diff Eqns,1989,82(2):251-268.[10] SOLIMAN A A, AL-JARALLAH E S. Asymptotic stability of solutions of Lotka-Volterra predator-prey model for four species[J]. Appl Math,2015,6(4):684-693.。
离散型Lotka-Volterra捕食-被捕食系统的Marotto混沌
离散型Lotka-Volterra捕食-被捕食系统的Marotto混沌陈先伟;申靖【摘要】研究了离散型捕食-被捕食Lotka-Volterra系统的Marotto意义下的混沌.通过理论分析给出了系统存在Marotto意义下的混沌的条件,并利用分支图、最大Lyapunov指数(ML)、分形维(FD)、相图进行了数值模拟,验证了理论分析的正确性,同时展示了此系统的复杂动力学行为.结合已有的结论,有利于学者们更完整地了解此类系统的动力学行为.【期刊名称】《湖南工业大学学报》【年(卷),期】2016(030)005【总页数】5页(P87-91)【关键词】捕食与被捕食系统;Marotto混沌;最大Lyapunov指数(ML);分形维(FD)【作者】陈先伟;申靖【作者单位】湖南科技大学数学与计算科学学院,湖南湘潭411201;湖南工业大学财经学院,湖南株洲412007【正文语种】中文【中图分类】O415.5经典的捕食-被捕食Lotka-Volterra系统[1-2]为式中：X, Y分别为被捕食者与捕食者的密度；r0为内在增长率；k为人口承载能力；b0为捕食函数，表示每个捕食者在单位时间、单位面积所消耗被捕食者的数量；d0为捕食者的死亡率；c为被捕食者转化为捕食者的转化率；cXY为捕食者数量函数。
当Y=0时，不含捕食者的系统（1）被学者们广泛研究，并得到了一些有趣的结论[1-3]。
例如当参数r0和k在其允许范围内取值，若时，系统（1）的所有非负解（常数解除外）收敛于常数解X≡k，即X(t)值随着时间发展趋向于极限k。
当Y≠0时，关于捕食-被捕食Lotka-Volterra模型（1）的研究也较多，学者们主要集中研究了该系统的不动点的稳定性、周期性和一些随机行为[1,4-10]。
为了方便，引入变量和，并取r=r0k，b=k2c，d=d0k，则系统（1）变为将欧拉方法[11-13]应用于系统（2），可得式中为步长。
基础生态学实验Lotka-Volterra捕食者-猎物模型模拟
基础生态学实验Lotka-Volterra捕食者-猎物模型模拟【实验原理】dN/dt=r1N-C1NP 猎物种群动态dP/dt=-r2N+C2NP 捕食者种群动态N：猎物的密度r1：猎物种群的增长率C1：捕食者发现和进攻猎物的效率，即平均每一捕食者捕食猎物的常数P：捕食者密度-r2：捕食者在没有猎物时的条件下的死亡率C2：捕食者利用猎物而转变为更多捕食者的捕食常数【实验目的】在掌握Lotka-Volterra 捕食者-猎物模型的生态学意义与各参数意义的基础上，通过改变参数值的大小，在计算机模拟捕食者种群与猎物种群数量变化规律，从而加深对该模型的认识。
【实验器材】1、计算机2、模拟运行软件3、种群生物学模拟软件包（Populus），5.5 版本，美国明尼苏达大学【实验步骤】设置初始值，之后保持N0、P0不变，分别改变d2、g、r1、c的大小（具体数据见下表），观察记录每组数据下捕食者-猎物模型中两种群密度变化情况，与对照组进行比较。
实验数据设置记录表【实验结果与分析】Part I 研究捕食者-猎物模型中两种群密度变化情况与捕食者死亡率（d）的关系图1.1 对照组捕食者—猎物模型种群密度随时间变化的图（d=0.2）图1.2 实验组1捕食者—猎物模型种群密度随时间变化的图（d=0.3）图1.3 对照组捕食者—猎物模型种群密度图（d=0.2）图1.4实验组1捕食者—猎物模型种群密度图（d=0.3）表1研究种群密度变化情况与d的关系实验数据记录表由以上图表可知：捕食者死亡率d增长对猎物种群密度变化的影响反而要大于其对捕食者种群密度的变化。
d减小，可见猎物种群密度明显增加，且两者种群密度波动周期变长。
这是由于捕食者死亡率d直接影响捕食者密度，使其降低，从而使猎物种群密度增加，而猎物种群密度的增加又利于捕食者繁殖，使捕食者种群增加。
综上，多方面因素的作用导致猎物种群密度明显增加，而捕食者种群密度基本不变。
Part II 研究捕食者-猎物模型中两种群密度变化情况与转化常数（g）的关系图2.1 对照组捕食者—猎物模型种群密度随时间变化的图（g=0.25）图2.2 实验组2捕食者—猎物模型种群密度随时间变化的图（g=0.1）图2.3 对照组捕食者—猎物模型种群密度图（g=0.25）图2.4实验组2捕食者—猎物模型种群密度图（g=0.1）表2研究种群密度变化情况与g的关系实验数据记录表由以上图表可知：转化常数g增长对猎物种群密度变化的影响反而要大于其对捕食者种群密度的变化。
一类Lotka-Volterra捕食一食饵生态系统的正概周期解
一类Lotka-Volterra捕食一食饵生态系统的正概周期解迪申加卜
【期刊名称】《内蒙古民族大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2004(019)002
【摘要】利用假设法研究了非自治两个捕食一个食饵的Lotka-Volterra捕食--食饵生态系统的持久性与正概周期解的存在性、唯一性及全局渐近稳定性,并推广了文[1]的主要结果.
【总页数】4页(P126-129)
【作者】迪申加卜
【作者单位】武警学院,基础部数学教研室,河北,廊坊,065000
【正文语种】中文
【中图分类】Q141
【相关文献】
1.一类Lotka-Volterra捕食-竞争扩散系统的概周期解 [J], 孟新柱;董焕河;张宁
2.一类Lotka-Volterra非同步扩散捕食-竞争系统的概周期解 [J], 孟新柱;程惠东;张同迁
3.研究带有收获项和脉冲的时滞食饵捕食系统八个正概周期解的存在性 [J], 吕小俊;谢海平;赵凯宏
4.一类带有时滞的Lotka-Volterra食饵捕食系统的概周期解 [J], 王利波;徐瑰瑰;张杰华
5.一类食饵种群具有常投放率的Lotka-Volterra捕食—食饵模型分析 [J], 李保红;李庆富;祁传达
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