第二十八章锐角三角函数测试题
人教版九年级数学下第28章《锐角三角函数》基础测试题(带答案)
第28章《锐角三角函数》基础测试题一、选择题（本大题8小题，每小题4分，共32分.每小题只有一个选项是符合题意的）1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝35，BC ＝6，则AB ＝（）A.4B.6C.8D.103.在△ABC 中，若|cosA －2|＋(1－tanB)2＝0，则∠C 的度数是( ) A. 45° B. 60° C. 75° D. 105°4. 李红同学遇到了这样一道题：3tan(α＋20°)＝1，你猜想锐角α的度数应是（）A ．12B ．2C D6.△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( ) A ．312 B ．12 C ．324 D ．3487．如图，宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为 ，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ）8. 如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度为0.5的山坡上种植树，也要求株距为4m A ．4.5mB ．4.6mC ．6mD ．25m二、填空题（每题3分，共18分）9．在Rt △ABC 中，∠C ＝900，5=a ，2=b ，则sinA ＝ .10．在△ABC 中,∠B =90，cos A =32, a =3, 则b = .11．平行四边形ABCD 中，已知∠B=60°，AB=8cm ，BC=6cm ，则面积等于 cm 2．12．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足是E ，DE ＝6，sinA ＝35，则菱形ABCD 的周长是_________。
13．如图所示，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝2，CD ＝8， AC ⊥CD ，若,31sin =∠ACB 则cos ∠ADC ＝______．14．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8， 现将ABC △如图那样折叠，使点A 与点B 重合， 折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是 三、解答题（共50分）15. （5分）计算：tan30°cot60°＋cos 230°－sin 245°tan45°16．（5分）如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D.若AB ＝12，CD ＝6，tanA ＝32，求sinB 的值．AC第12题图17．（8分）如图，在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为(100)，，点B 在第一象限内，5BO =，3sin 5BOA =∠．求：（1）点B 的坐标；（2）cos BAO ∠的值．18. （8分）已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝135°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．19.（8分）如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C 处，测得正前方旗杆顶部A 点的仰角为37°，旗杆底部B 点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)20．（8分）如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？21．(8分)如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE和Rt△OCD中的一个角相等？（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，求t的值．答案： 1. D 2. A 3. C 4. D 5. B 6. A 7. A 8. D 9.35 10. 2 3 11. 24 3 12. 4013. 5414.247 15. 解：tan30°cot60°＋cos 230°－sin 245°tan45°＝33．33＋2)23(－1)22(2 ＝31＋43－21 ＝127；16.解：在Rt △ACD 中，CD ＝6，tanA ＝32，∴CD AD ＝6AD ＝32， 即AD ＝4.又AB ＝12，∴BD ＝AB －AD ＝8. 在Rt △BCD 中，BC ＝CD 2＋BD 2＝10. ∴sinB ＝CD BC ＝610＝3517. (1) B(4，3) (2)552 3-5 BC=2519.解：在Rt △BCD 中，BD ＝9米，∠BCD ＝45°，则 BD ＝CD ＝9米， 所以AD ＝CD ·tan37°＝6.75(米)． 所以AB ＝AD ＋BD ＝15.75(米)， 整个过程中国旗上升高度是： 15．75－2.25＝13.5(米)， 因为耗时45 s ，所以上升速度为13.545＝0.3(米/秒)．答：国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升．20. 解：过A 作AC ⊥BD 于点C ，则AC 的长是A 到BD 的最短距离． ∵∠CAD ＝30°，∠CAB ＝60°，∴∠BAD ＝60°－30°＝30°，∠ABD ＝90°－60°＝30°. ∴∠ABD ＝∠BAD. ∴BD ＝AD ＝12海里．∵Rt △ACD 中，∠CAD ＝30°，∴AC ＝AD ·cos ∠CAD ＝63≈10.392＞8，即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．21.（1）215463y x x =-++；（2）t=3；（3）103或203解：（1）在y ＝ax 2＋bx ＋4中，令x ＝0可得y ＝4， ∴C （0，4），∵四边形OABC 为矩形，且A （10，0）， ∴B （10，4），把B 、D 坐标代入抛物线解析式可得1001044{ 4240a b a b ++=-+=，解得16{ 53a b =-=，∴抛物线解析式为y ＝16-x 2＋53x ＋4；（2）由题意可设P （t ，4），则E （t ，16-t 2＋53t ＋4），∴PB ＝10﹣t ，PE ＝16-t 2＋53t ＋4﹣4＝16-t 2＋53t ，∵∠BPE ＝∠COD ＝90°， 当∠PBE ＝∠OCD 时， 则△PBE ∽△OCD ， ∴PE PB OD OC=，即BP •OD ＝CO •PE ， ∴2（10﹣t ）＝4（16-t 2＋53t ），解得t ＝3或t ＝10（不合题意，舍去），∴当t ＝3时，∠PBE ＝∠OCD ； 当∠PBE ＝∠CDO 时， 则△PBE ∽△ODC ， ∴PE PB OC OD=，即BP •OC ＝DO •PE ， ∴4（10﹣t ）＝2（16-t 2＋53t ），解得t ＝12或t ＝10（均不合题意，舍去）综上所述∴当t ＝3时，∠PBE ＝∠OCD ；（3）当四边形PMQN 为正方形时，则∠PMC ＝∠PNB ＝∠CQB ＝90°，PM ＝PN ， ∴∠CQO ＋∠AQB ＝90°， ∵∠CQO ＋∠OCQ ＝90°， ∴∠OCQ ＝∠AQB ， ∴Rt △COQ ∽Rt △QAB ，∴CO OQAQ AB=，即OQ •AQ ＝CO •AB ， 设OQ ＝m ，则AQ ＝10﹣m ，∴m （10﹣m ）＝4×4，解得m ＝2或m ＝8，①当m ＝2时，CQ BQ ＝∴sin ∠BCQ ＝BQ BC sin ∠CBQ ＝CQBC，∴PM ＝PC •sin∠PCQ ，PN ＝PB •sin∠CBQ 10﹣t ），10﹣t ），解得t ＝103， ②当m ＝8时，同理可求得t ＝203， ∴当四边形PMQN 为正方形时，t 的值为103或203。
第二十八章 锐角三角函数单元测试题(含答案)
第二十八章 锐角三角函数单元测试班级_____________________ 姓名___________ 一、选择题（8小题，每小题4分，共同32分）1．在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（ ）A. 21B.33 C. 1D. 32．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ） A ．10米 B ．15米 C ．25米D ．30米3．若A B ∠∠、均为锐角，且21cos 21sin ==B A ，，则（ ）.A ．︒=∠=∠60B A B ．︒=∠=∠30B AC ．︒=∠︒=∠3060B A ，D ．︒=∠︒=∠6030B A ，4. 在△ABC 中，∠C ＝90°，53sin =A ，则=B tan （ ）．A.53B.54C.43D.345．在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，若︒=∠30A ，则三边的比c b a ：：等于（ ）A ．1：2：3B ．1：3：2C ．1：1：3D ．1：2：26．在离电视塔s 米的地面上A 处测得塔顶的仰角是α，则电视塔的高为（ ）A ．αtan sB ．αtan s C ．αsin s D ．αcos s7．两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ）A ．αsin 1 B ．αcos 1C ．αsinD ．18．如图，设，，βα=∠=∠BOC AOC P 为射线OC 上一点，PD ⊥OA于D ，PE ⊥OB 于E ，则PEPD 等于（ ）A ．βαsin sinB ．βαcos cosC ．βαtan tanD ．αβtan tan二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）9．∆ABC 中，4590==︒=∠BC AB C ，，，则._____tan =A 10．在一艘船上看海岸上高42米的灯塔顶部的仰角为30度，船离海岸线 米.11．若∠A 是锐角，且sinA=cosA,则∠A 的度数是____________度12．等腰三角形的两边分别为6和8，则底角α的正切O为._____13．菱形中较长的对角线与边长之比为1:3，那么菱形的两邻角分别是._____14．如图：P是∠α的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则sinα＝_____________.15．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝4，BD＝6，则sinA＝16．在等腰梯形ABCD中，腰BC为2，梯形对角线AC 垂直BC于点C，梯形的高为3，则CAB_____度∠为.三、解答题（共44分）17．计算：（8分）①︒cos4545sin②︒tan+⋅︒30--︒+-21-︒+60||3)15(tan18．（8分）已知△ABC 中．∠C ＝30°，∠ BAC ＝105°．A D⊥BC ，垂足为D ，AC=2cm,求BC 的长.（8分）19．（8分）如图，某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼的一楼是高6米的小区超市,超市以上是居民住房,在该楼的前面15米处要盖一栋20米高的新楼。
九年级下册《第二十八章 锐角三角函数》单元检测试卷及答案(共八套)
九年级下册《第二十八章锐角三角函数》章节测试卷（一）（满分120分，限时120分钟）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.sin60°的值等于（）A．12 B．2CD2.已知α为锐角，sin（α﹣20°），则α=（）A．20° B．40° C．60° D．80°3.在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值是（）ABC．12D．24.在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（）A．b=a•sinB B．a=b•cosB C．a=b•tanB D．b=a•tanB5.在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则角A的三角函数值（）A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定6.在△ABC中，∠C=90°，tanA=13，则cosA的值为（）AB．23C．34D7.在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（）ABCD8.如图，山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长为6米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD=60°，则铁塔AB的高为（）A ．3米B ．C ．D ．9.坡度等于1） A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°10.济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m 至B 处，测得仰角为1.7，结果精确到1m ，则该楼的高度CD 为（ ）A ．47mB ．51mC ．53mD ．54m二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11.求值：sin60°﹣tan30°= ．12.如图，在直角三角形ABC 中，∠C=90°，AB=10，则∠A= 度．13.如图，将∠AOB 放置在5×5的正方形网格中，则cos ∠AOB 的值是 ．A CBA14.△ABC 中，∠C=90°，斜边上的中线CD=6，sinA=13，则S △ABC = ． 15.如图，身高1.6m 的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m ，那么这棵树高为（其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高） ．16.在我们生活中通常用两种方法来确定物体的位置．如小岛A 在码头O 的南偏东60°方向的14千米处，若以码头O 为坐标原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向，1千米为单位长度建立平面直角坐标系，则小岛A 也可表示成_________________． 三、解答题(共8题，共72分)17.（本题8分）已知α为一锐角，sinα=45，求tanα．18.（本题8分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=1，AB=2，求sinA 的值．19.（本题8分）如图，已知AC=4，求AB 和BC 的长．BCBA C20.（本题8分）如图所示，把一张长方形卡片ABCD 放在每格宽度为12mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α=36°，求长方形卡片的周长．（精确到1mm ）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）21.（本题8分）如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB 长为AC 的长度．22.（本题10分）某校一栋教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD ．小明在山坡的坡脚A 处测得宣传牌底部D 的仰角为45°，沿山坡向上走到B 处测得宣传牌底部C 的仰角为30°．已知山坡AB 的坡度i=1AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD 的高度．23.（本题10分）如图，在一笔直的海岸线上有A ，B 两个观测站，A 观测站在B 观测站的正东方向，有一艘小船在点P 处，从A 处测得小船在北偏西60°方向，D从B处测得小船在北偏东45°的方向，点P到点B的距离是千米．（注：结果有根号的保留根号）（1）求A，B两观测站之间的距离；（2）小船从点P处沿射线AP/时的速度进行沿途考察，航行一段时间后到达点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°方向，求小船沿途考察的时间．24.（本题12分）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C 在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25）答案解析一、选择题1. 【答案．故选C ． 2.【答案】∵α为锐角，sin （α﹣20°）=，∴α﹣20°=60°，∴α=80°，故选D ．3.【答案】由图可得，tanα=2÷1=2．故选D ．4.【答案】A 、∵sinB=b c，∴b=c•sinB，故选项错误； B 、∵cosB=a c，∴a=c•cosB，故选项错误； C 、∵tanB=b a ，∴a=btan B，故选项错误； D 、∵tanB=b a ，∴b=a•tanB，故选项正确． 故选D ．5.【答案】∵各边都扩大5倍，∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1， ∴两三角形相似， ∴∠A 的三角函数值不变， 故选A ．6. 【答案】如图，∵tanA=13，∴设BC=x ，则AC=3x ，∴，∴． 故选D ．7. 【答案】延长BA 过点C 作CD ⊥BA 延长线于点D ，A∵∠CAB=120°，∴∠DAC=60°，∴∠ACD=30°， ∵AB=4，AC=2，∴AD=1，BD=5， ∴sinB=CD BC=故选：B ．8.【答案】设直线AB 与CD 的交点为点O ． ∴BO DO AB CD =．∴AB=BO CDDO⨯．∵∠ACD=60°．∴∠BDO=60°． 在Rt △BDO 中，tan60°=BODO． ∵CD=6．∴AB=BODO×故选B ．9.【答案】坡角α，则α=30°．故选A ． 10.【答案】根据题意得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC ⊥AC ， ∴∠ADB=∠DBC ﹣∠A=30°， ∴∠ADB=∠A=30°， ∴BD=AB=60m ，51（m ）． 故选B ．DA二、填空题 11.【答案】原式． 12.【答案】∵∠C=90°，AB=10， ∴cosA=AC AB，∴∠A=30°， 故答案为：30°．13.【答案】由图可得cos ∠AOB=32． 故答案为：32．14.【答案】在Rt △ABC 中， ∵斜边上的中线CD=6，∴AB=12．∵sinA=13，∴BC=4，S △ABC =12AC•BC=16 15. 【答案】由题意得：AD=6m ， 在Rt △ACD 中，∴AB=1.6m ∴， 所以树的高度为（）m ． 16.【答案】过点A 作AC ⊥x 轴于C ．B在直角△OAC 中，∠AOC=90°﹣60°=30°，OA=14千米，则AC=12OA=7千米，OC=7因而小岛A 所在位置的坐标是（7）． 故答案为：（7）．三、解答题17.【解答】由sinα=45，设a=4x ，c=5x ，则b=3x ，故tanα=43．18.【解答】sinA=BC AB =12． 19.【解答】作CD ⊥AB 于点D ，在Rt △ACD 中，∵∠A=30°，∴∠ACD=90°﹣∠A=60°，CD=12AC=2，AD=AC•cosA=2在Rt △CDB 中，∵∠DCB=∠ACB ﹣∠ACD=45°，∴BD=CD=2，∴，∴aCD20.【解答】作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．∵α+∠DAF=180 º-∠BAD=180 º-90 º=90 º, ∠ADF+∠DAF=90 º, ∴∠ADF=36 º.根据题意，得BE=24mm，DF=48mm．在Rt△ABE中，sinα=BEAB ，∴AB=oBEsin36=240.60=40mm在Rt△ADF中，cos∠ADF==DFAD，∴AD=oDFcos36=48600.80=mm．∴矩形ABCD的周长=2（40+60）=200mm．21.【解答】如图，在Rt△ABD=4．在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，∴AC=2AD=8．即新传送带AC的长度约为8米；22.【解答】过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．在Rt△ABG中，i=tan∠，∴∠BAG=30°，∴BG=12AB=5，．在Rt△BFC中，∵∠CBF=30°，∴CF：，∴在Rt△ADE中，∠DAE=45°，AE=15，∴DE=AE=15，∴CD=CF+FE﹣﹣15=（5）m．答：宣传牌CD高约（5）米．23.【解答】（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°﹣45°=45°，∴BD=PD=3千米．在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°﹣60°=30°，∴PA=6千米．∴；（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F．根据题意得：∠ABC=105°，在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，∴BF=12AB=千米．在△ABC中，∠C=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=45°．在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，∴PC=AF+CF﹣故小船沿途考察的时间为：（小时）．24.【解答】（1）如图，过点E作EM⊥AB，垂足为M．设AB为x．Rt△ABF中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x，∴BC=BF+FC=x+25，在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB﹣BM=AB﹣CE=x﹣2，tan22°=AMME ，则x22x255-=+，解得：x=20．即教学楼的高20m ．（2）由（1）可得ME=BC=x+25=20+25=45．在Rt △AME 中，cos22°=ME AE ．∴AE=oME cos 22， 即A 、E 之间的距离约为48m九年级下册《第二十八章 锐角三角函数》章节测试卷（二）一、选择题(本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分)1．将Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得到Rt △A ′B ′C ′，那么锐角∠A，∠A ′的余弦值的关系为( )A ．cosA ＝cosA ′B ．cosA ＝3cosA ′C ．3cosA ＝cosA ′D ．不能确定2．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为( )A.13B.12C.22D ．3 3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝15，则tanA 等于( ) A ．2 6 B.62 C.265D ．24 4．等腰三角形底边与底边上的高的比是2∶3，则顶角为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°5．如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点F ，且点E 是AB 中点，则tan ∠BFE 的值是( )A.12 B ．2 C.33D. 3 6．已知α为锐角，且3tan 2α－(1＋3)tan α＋1＝0，则α的度数为( )A ．30°B ．45°C ．30°或45°D ．45°或60°7．如图，在▱ABCD 中，点E 是AD 的中点，延长BC 到点F ，使CF∶BC＝1∶2，连接DF ，EC.若AB ＝5，AD ＝8，sinB ＝45，则DF 的长等于( )A.10B.15C.17 D ．2 58．如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，CA 是∠BCD 的平分线，且AB ⊥AC ，AB ＝4，AD ＝6，则tanB 等于( )A ．2 3B ．2 2 C.114 D.554二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)9．计算：tan 45°－2cos 60°＝________．10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，sin A ＝23，那么AB ＝________． 11．如图，一束光线照在坡度1∶3的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角α是________度．12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，过D 点作AB 的垂线交AC 于点E ，BC ＝6，sin A ＝35，则DE ＝________．13．如图，小明从A 地沿北偏东60°方向走2千米到B 地，再从B 地向正南方向走3千米到C 地，此时小明距离A 地________千米．(结果保留根号)14．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且BD 平分AC.若BD ＝8，AC ＝6，∠BOC ＝120°，则四边形ABCD 的面积为________．(结果保留根号)三、解答题(共9个小题，共70分)15．(5分)计算：20160－|－2|＋(13)－1＋2sin 45°.16．(6分)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，sin B ＝45，求AB 边上的高CD.17．(6分)如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，CB ⊥DB ，坡面AC 的倾斜角为45°，为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i＝3∶3，若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角(A点处)10米的建筑物是否需要拆除？(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)18．(7分)如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图，已知BC＝4米，AB＝6米，中间平台宽度DE＝1米．EN，DM，CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N，M，B，∠EAB＝31°，DF⊥BC于点F，∠CDF＝45°.求DM和BC的水平距离BM的长度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)19．(7分)如图所示，在等腰△ABC中，AB＝BC，AE⊥BC于点E，EF⊥AB于点F，若CE＝2，cos∠AEF＝45，求BE的长．20．(8分)如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°(点B，C，E在同一水平直线上)，已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C 两点间的距离(结果精确到0.1m)(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)21．(9分)某海域有A，B，C三艘船正在捕鱼作业，C船突然出现故障，向A，B 两船发出紧急求救信号，此时B船位于A船的北偏西72°方向，距A船24海里的海域，C船位于A船的北偏东33°方向，同时又位于B船的北偏东78°方向．(1) 求∠ABC的度数；(2) A船以每小时30海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点．(结果精确到0.01小时，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)22．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a.求证：(1) tan A＝sin A cos A；(2) sin2A＋cos2A＝1；(3) tan A·sin Atan A－sin A＝tan A＋sin Atan A·sin A.23．(12分)如图，在等边△ABC中，AB＝12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接GD.(1) 求证：DF是⊙O的切线；(2) 求FG的长；(3) 求tan∠FGD的值．参考答案：一、1---8 AAAAD CCB二、9. 010. 911. 3012. 15413. 7 14. 12 3三、15. 解：原式＝1－2＋3＋2×22＝4 16. 解：在Rt △ABC 中，AC ＝AB·sin B ＝4，∵∠ACD ＝∠B(同角的余角相等)，∴AD ＝AC·sin ∠ACD ＝165，在Rt △ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝12517. 解：∵BC＝10，∠CAB ＝45°，∠CBA＝90°，∴AB ＝10，∵tan ∠CDB ＝BC BD ＝33，∴BD ＝3BC 3＝3×10＝17.32(米)，∴DA ＝DB －AB ＝17.32－10＝7.32(米)，∵7.32＋3＝10.32＞10，∴离原坡角10米的建筑物需要拆除18. 解：设DF ＝x ，在Rt △DFC 中，∠CDF ＝45°·∴CF ＝tan 45°，DF ＝x ，又∵CB＝4，∴BF ＝4－x ，∵AB ＝6，DE ＝1，BM ＝DF ＝x ，∴AN ＝5－x ，EN ＝DM ＝BF ＝4－x ，在Rt △ANE 中，∠EAB ＝31°，EN ＝4－x ，AN ＝5－x ，tan 31°＝EN AN ＝4－x 5－x＝0.60，解得x ＝2.5.答：DM 和BC 的水平距离BM 为2.5米19. 解：∵AE⊥BC 于点E ，EF ⊥AB 于点F ，∴∠AEB ＝∠AFE＝90°，∴∠B ＋∠BAE＝∠BAE＋∠AEF＝90°，∴∠B ＝∠AEF.设BE ＝4a ，∵cos ∠B ＝cos ∠AEF ＝BE AB，AB ＝BC ，∴AB ＝BC ＝5a ，CE ＝BC －BE ＝a.又∵CE＝2，∴a ＝2，∴BE ＝8 20. 解：过点D 作DF⊥AB 于点F ，过点C 作CH⊥DF 于点H.则DE ＝BF ＝CH ＝10 m ，在直角△ADF 中，∵AF ＝80 m －10 m ＝70 m ，∠ADF ＝45°，∴DF ＝AF ＝70 m ．在直角△CDE 中，∵DE ＝10 m ，∠DCE ＝30°，∴CE ＝DE tan 30°＝1033＝103(m )，∴BC ＝BE －CE ＝70－103≈70－17.32≈52.7(m )．答：障碍物B ，C 两点间的距离约为52.7 m21. 解：(1)由题意可知DB∥AE，∠DBA ＋∠BAE＝180°，∴∠DBA ＝108°，∠CBA ＝108°－78°＝30°，∠C ＝180°－30°－72°－33°＝45°(2)过点A 作AF⊥BC 于点F ，AF AB ＝sin ∠CBA ＝12，∴AF ＝12AB ＝12，在Rt △CFA 中，FA CA ＝sin C ＝22，∴CA ＝2AF ，∴AC ＝122，设A 船经过t 小时到出事地点，则30t ＝122，t ＝12230≈0.57(小时)，所以A 船经过0.57小时能到出事地点 22. 证明：(1)由三角函数可得tan A ＝a b ，sin A ＝a c ，cos A ＝b c .等式左边＝tan A ＝a b ，等式右边＝ac b c＝a b ，左边＝右边，∴tan A ＝sin A cos A(2)sin 2A ＋cos 2A ＝(a c )2＋(b c )2＝a 2＋b 2c2，∵△ABC 是直角三角形且∠C＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2，∴sin 2A ＋cos 2B ＝c 2c 2＝1 (3)由(2)得sin 2A ＋cos 2A ＝1，由(1)得tan A ·cos A ＝sin A ，∴sin 2A ＝(1＋cos A)(1－cos A)，∴sin A 1－cos A ＝1＋cos A sin A ，等式两边分子、分母均乘以tan A ，得tan A ·sin A tan A －sin A＝tan A ＋sin A tan A ·sin A23. 解：(1)证明：连接OD ，∵△ABC 为等边三角形，∴∠C ＝∠A＝∠B＝60°，而OD ＝OB ，∴△ODB 是等边三角形，∠ODB ＝60°，∴∠ODB ＝∠C，∴OD ∥AC ，∵DF ⊥AC ，∴OD ⊥DF ，∴DF 是⊙O 的切线(2)∵OD∥AC，点O 为AB 的中点，∴OD 为△ABC 的中位线，∴BD ＝CD ＝6，在Rt△CDF 中，∠C ＝60°，∴∠CDF ＝30°，∴CF ＝12CD ＝3，∴AF ＝AC －CF ＝12－3＝9，在Rt △AFG 中，∵∠A ＝60°，∴FG ＝AF·sin A ＝9×32＝932(3)过D 作DH⊥AB 于H ，∵FG ⊥AB ，DH ⊥AB ，∴FG ∥DH ，∴∠FGD ＝∠GDH.在Rt△BDH 中，∠B ＝60°，∴∠BDH ＝30°，∴BH ＝12BD ＝3，DH ＝3BH ＝33，在Rt △AFG 中，∵∠AFG ＝30°，∴AG ＝12AF ＝92，∵GH ＝AB －AG －BH ＝12－92－3＝92，∴tan ∠GDH ＝GH DH ＝9233＝32，∴tan ∠FGD ＝tan ∠GDH ＝32九年级下册《第二十八章 锐角三角函数》章节测试卷（三）一、选择题（每小题4分，共32分）1、cos60°的值等于（ ）。
九年级下学期第28章《锐角三角函数》达标检测卷含答案
九年级下学期第28章《锐角三角函数》达标检测卷时间：100分钟 满分：120分 一、选择题(每题3分，共30分) 1．cos 45°的值为( ) A.12 B.22 C.32 D ．12．如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高．若AB ＝5，AC ＝3，则tan ∠BCD 为( )A.43B.34C.45D.35(第2题) (第4题) (第5题) (第6题) 3．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos A －12＋(1－tan B )2＝0，则∠C 的度数是( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．105°4．如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ′B ′，则tan B ′的值为( ) A.12B.13C.14D.245．课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB 在地面上的影长BC 为24 m ，那么旗杆AB 的高度是( ) A ．12 mB ．8 3 mC ．24 mD ．24 3 m6．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10 m ，坝高12 m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5，则坝底AD 的长度为( ) A ．26 mB ．28 mC ．30 mD ．46 m7．如图，长4 m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯AC 的长为( ) A ．2 3 mB ．2 6 mC ．(23－2)mD ．(26－2)m(第7题)(第8题)8．如图，过点C(－2，5)的直线AB分别交坐标轴于A(0，2)，B两点，则tan ∠OAB等于()A.25 B.23 C.52 D.329．如图，菱形ABCD的周长为20 cm，DE⊥AB，垂足为E，sin A＝35，则下列结论中正确的有()①DE＝3 cm；②BE＝1 cm；③菱形的面积为15 cm2；④BD＝210 cm.A．1个B．2个C．3个D．4个(第9题)(第10题) (第12题)10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A，D为圆心，AB的长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是()A.312 B.36 C.33 D.32二、填空题(每题3分，共24分)11．已知α为锐角，sin(α－20°)＝32，则α＝________.12．如图，若点A的坐标为(1，3)，则∠1＝________.13．已知锐角A的正弦sin A是一元二次方程2x2－7x＋3＝0的根，则sin A＝________．(第14题) (第15题) (第16题) (第18题)14．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AM 是BC 边上的中线，若sin ∠CAM ＝35，则tan B ＝________．15．如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为90 m ，那么该建筑物的高度BC 约为________m(精确到1 m ，参考数据：3≈1.73)． 16．如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC ＝2，则tan D ＝________．17．△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为________． 18．在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF ∥MN ，小聪在河岸MN 上点A 处用测角仪测得河对岸小树C 位于东北方向，然后沿河岸走了30 m ，到达B 处，测得河对岸电线杆D 位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD ＝10 m ．请根据这些数据求出河的宽度为______________m. 三、解答题(19，21，24题每题12分，其余每题10分，共66分) 19．计算：(1)(－2)3＋16－2sin 30°＋(2 019－π)0；(2)sin 2 45°－cos 60°－cos 30°tan 45°＋2sin 2 60°·tan 60°.20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.已知2a ＝3b，求∠B的正弦、余弦和正切值．21．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E.(1)若∠A＝60°，求BC的长；(2)若sin A＝45，求AD的长．(第21题)22．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现，一副三角尺中，含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角尺直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．(第22题)23．如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800(1＋3)m，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为22m/s.若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？(第23题)24．如图，小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M 处出发，向前走3 m到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°.已知A点离地面的高度AB＝2 m，∠BCA＝30°，且B，C，D三点在同一直线上．求：(1)树DE的高度；(2)食堂MN的高度．(第24题)答案一、1. B 2. A 3. C 4. B 5. B 6. D7．B 8. B 9. C10．B 点拨：如图，设BC ＝x .在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC ＝30°，∴AC ＝2BC ＝2x ，AB ＝3BC ＝3x .根据题意，得AD ＝BC ＝x ，AE ＝DE ＝AB ＝3x ，过点E 作EM ⊥AD 于点M ，则AM ＝12AD ＝12x .在Rt △AEM 中，cos ∠EAD ＝AM AE ＝12x3x＝36.(第10题)二、11. 80° 12. 60° 13. 12 14. 23 15. 20816．22 点拨：如图，连接BC ，易知∠D ＝∠A .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵AB ＝3×2＝6，AC ＝2，∴BC 2＝62－22＝32, ∴BC ＝4 2.∴tan D ＝tan A ＝BC AC ＝422＝2 2.(第16题)17．123 点拨：如图，过A 点作AD ⊥CB ，交CB 的延长线于点D ，则∠ABD ＝180°－120°＝60°.在Rt △ABD 中，AD ＝AB ·sin ∠ABD ＝6×32＝33，∴S △ABC ＝12AD ·BC ＝12×33×8＝12 3.(第17题)18．(30＋103)三、19.解：(1)原式＝－8＋4－2×12＋1＝－8＋4－1＋1＝－4；(2)原式＝(22)2－12－32＋2×(32)2×3＝ 3.20．解：由2a ＝3b ，可得a b ＝32.设a ＝3k (k ＞0)，则b ＝2k ，由勾股定理，得c ＝a 2＋b 2＝9k 2＋4k 2＝13k ，∴sin B ＝b c ＝2k 13k ＝21313，cos B ＝a c ＝3k 13k ＝31313，tan B ＝b a ＝2k 3k ＝23.21．解：(1)在Rt △ABE 中，∵∠A ＝60°，∠ABE ＝90°，AB ＝6，tan A ＝BEAB ，∴∠E ＝30°，BE ＝AB ·tan A ＝6×tan 60°＝6 3.在Rt △CDE 中，∵∠CDE ＝90°，CD ＝4，sin E ＝CDCE ，∠E ＝30°， ∴CE ＝CD sin E ＝412＝8.∴BC ＝BE －CE ＝63－8.(2)∵∠ABE ＝90°，AB ＝6，sin A ＝45＝BEAE ，∴可设BE ＝4x (x ＞0)，则AE ＝5x ，由勾股定理可得AB ＝3x ， ∴3x ＝6，解得x ＝2. ∴BE ＝8，AE ＝10.∴tan E ＝AB BE ＝68＝CD DE ＝4DE ， 解得DE ＝163.∴AD＝AE－DE ＝10－163＝143.22．解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，∴AC＝BCtan A＝2 3.∴EF＝AC＝2 3.∵∠E＝45°，∴FC＝EF·sin E＝ 6.∴AF＝AC－FC＝23－ 6.23.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，设AD＝x，小明的行走速度是a.(第23题)∵∠A＝45°，CD⊥AB，∴CD＝AD＝x，∴AC＝2x.在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，∴BC＝CDsin 30°＝x12＝2x.∵小军的行走速度为22m/s，小明与小军同时到达山顶C处，∴2x22＝2xa，解得a＝1(m/s)．答：小明的行走速度是1 m/s. 24．解：(1)设DE＝x.∵AB＝DF＝2，∴EF＝DE－DF＝x－2.∵∠EAF＝30°，∴AF＝EFtan∠EAF＝x－233＝3(x－2)．又∵CD＝DEtan ∠DCE ＝x3＝33x，BC＝ABtan ∠ACB＝233＝23，∴BD＝BC＋CD＝23＋3 3x.由AF＝BD可得3(x－2)＝23＋33x，解得x＝6(m)．答：树DE的高度为6 m.(2)如图，延长N M交DB的延长线于点P，则AM＝B P＝3.(第24题)由(1)知CD＝33x＝33×6＝23，BC＝23，∴PD＝BP＋BC＋CD＝3＋23＋23＝3＋4 3. ∵∠NDP＝45°，∴NP＝PD＝3＋4 3.∵MP＝AB＝2，∴NM＝NP－MP＝3＋43－2＝1＋43(m)．答：食堂M N的高度为(1＋43)m.。
人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试【含答案】
人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试一．选择题（共10小题，满分30分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝（ ）A．B．C．D．2．在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上（ ）A．B．C．D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，那么tan B的值是（ ）A．B．C．D．4．∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，则∠β＝（ ）A．30°B．60°C．45°D．37.5°5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则tan A的值是（ ）A．B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sin B＝（ ）A．B．2C．D．7．若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是（ ）A．B．C．D．8．如图，AD是△ABC的高，AB＝4，tan∠CAD＝，则BC的长为（ ）A． +1B．2+2C．2+1D． +49．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA＝，当∠OPA最大时，S△OPA等于（ ）A．B．C．D．110．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，∠C＝42°，AB＝60（ ）A．60sin50°B．C．60cos50°D．60tan50°二．填空题（共10小题，满分30分）11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ．12．用科学计算器计算： tan16°15′≈ （结果精确到0.01）13．在△ABC中，若，∠A，∠B都是锐角 三角形．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，那么AB的长为 ．15．比较大小：sin80° tan50°（填“＞”或“＜”）．16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝ ．17．在△ABC中，若|sin A﹣|+（﹣cos B）2＝0，则∠C的度数是 ．18．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，AC＝6，则tan A的值为 ．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，连接CD，过点B作CD的垂线，tan A＝，则cos∠DBE的值为 ．20．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），水平宽度AC＝m 米．三．解答题（共7小题，满分6021．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．求sin A，cos A和tan A．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90˚，BC＝6，求AC的长和sin A的值．24．计算：cos60°﹣2sin245°+tan230°﹣sin30°．25．计算：（1）；（2）sin245°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°．26．2022年8月21日，重庆市北碚区缙云山突发山火，山火无情，各地消防迅速出动，冲锋在前，然后沿着坡比为5：12的斜坡前进104米到达B处平台，继续前进到达C，沿斜坡CD前行800米到达着火点D．（1）求着火点D距离山脚的垂直高度；（2）已知消防员在平地的平均速度为4m/s，求消防员通过平台BC的时间．（保留一位小数）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈，≈1.732）27．如图，已知∠ABC和射线BD P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m；（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，并给出证明．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：如图，∵∠C＝90°，∴设AC＝5k，AB＝13k，根据勾股定理得，BC＝＝，所以，sin A＝＝＝．故选：D．2．解：设点C到AB的距离为h，由勾股定理可知：AC＝＝2＝，由于S△ABC＝32﹣×6×2﹣×7×3＝9﹣8﹣3＝4．∴AB•h＝4，∴h＝，∴sin∠BAC＝＝，∴cos∠BAC＝，故选：A．3．解：∵∠C＝90°，∴tan B＝＝＝．故选：D．4．解：∵∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝8，∴cosβ＝，∴∠β＝60°．故选：B．5．解：∵∠C＝90°，AB＝5，∴AC＝＝＝4，∴tan A＝＝，故选：D．6．解：∵∠C＝90°，tan A＝2，∴BC＝2AC，∴，∴，故C正确．故选：C．7．解：若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是．故选：C．8．解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，cos∠BAD＝，∴cos60°＝，sin60°＝，∴AD＝4cos60°＝7×＝5＝4，在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，∴＝，解得CD＝1，∴BC＝BD+CD＝2+1．故选：C．9．解：如图所示：∵OA、OP是定值，∴PA⊥OA时，∠OPA最大，在直角三角形OPA中，OA＝，∴PA＝＝，∴S△OPA＝OA•AP＝××＝．故选：B．10．解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：∵∠BAC＝88°，∠C＝42°，∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，在Rt△ABD中，AD＝AB×sin60×sin50°，∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确．故选：A．二．填空题（共10小题，满分30分）11．解：由sin A＝知，可设a＝6x，b＝3x．∴tan A＝．故答案为：．12．解： tan16°15′≈0.71，故答案为：4.71．13．解：∵，∴sin A＝，cos B＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．故答案为：等边．14．解：∵cos A＝＝，AC＝7，∴AB＝＝8，故答案为：8．15．解：∵tan50°＞tan45°，tan45°＝1，∴tan50°＞1，又sin80°＜2，∴sin80°＜tan50°；故答案为：＜．16．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sin B＝cos A＝．故答案为：．17．解：∵|sin A﹣|+（2＝2，∴sin A﹣＝4，，即sin A＝，cos B＝，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．故答案为：105°．18．解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝10，∵AC＝6，∴BC＝＝＝8，∴tan A＝＝＝，故答案为：．19．解：过点C作CF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC中，AC＝3a＝，∴BC＝4a，AB＝5a，∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝a，∵△ABC的面积＝AB•CF＝，∴AB•CF＝AC•CB，∴5aCF＝3a×4a，∴CF＝a，∴cos∠DCF＝＝，∵BE⊥CD，∴∠E＝90°，∴∠EDB+∠EBD＝90°，∵∠FCD+∠CDF＝90°，∠CDF＝∠BDE，∴∠EBD＝∠DCF，∴cos∠DBE＝cos∠DCF＝，故答案为：．20．解：∵河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，AC＝m，∴＝，∴BC＝AC＝＝3（m），在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝，故答案为：6．三．解答题（共7小题，满分60分）21．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos588°）+…+（cos244°+cos246°）+cos445＝（sin21°+cos51°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin844°+cos244°）+cos245＝44+（）2＝44．22．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．∴AB＝＝＝13，∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝．23．解：∵△ABC中，tan A＝，∴＝，∴AC＝8，∴AB＝＝＝10，∴sin A＝＝24．解：原式＝﹣4×（）6+×（）2﹣＝﹣2×+×﹣＝﹣2+﹣＝﹣．25．解：（1）＝﹣4﹣7+1＝﹣4；（2）sin645°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°＝＝＝．26．（1）如图所示，过点B，C，D分别作水平线的垂线，F，G，延长BC交AG于点H，BHGE是矩形，依题意，，AB＝104米，CD＝800米，在Rt△ABE中，，设BE＝8k米，∴AB＝13k，∵AB＝104米，∴k＝8，∴BE＝5×2＝40（米），AE＝12×8＝96（米），在Rt△DCH中，CD＝800米，∴DG＝DH+HG＝DH+BE＝480+40＝520（米），即着火点D距离山脚的垂直高度为520米；（2）依题意，∠DAG＝30°，∴米，∵Rt△DCH中，CH＝cos37°×CD＝≈0.8×800＝640（米），又AE＝96米，∴（米），∵消防员在平地的平均速度为4m/s，∴消防员通过平台BC的时间为（秒）．27．解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP＝在Rt△BPF中，sin∠FBP＝又sin40°＞sin20°∴PE＞PF；（2）根据（1）得sin∠EBP＝＝sinα＝sinβ又∵α＞β∴sinα＞sinβ∴PE＞PF．。
人教版九年级下册数学第二十八章 锐角三角函数含答案解析
人教版九年级下册数学第二十八章锐角三角函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在⊙O中，E是直径AB延长线上一点，CE切⊙O于点E，若CE=2BE，则∠E的余弦值为（）A. B. C. D.2、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列线段的比中不等于sinA 的是( )A. B. C. D.3、如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（）m．A.20B.30C.30D.404、如图所示，已知：点A（0，0），B（，0），C（0，1）．在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于（）A. B. C. D.5、已知Rt△ABC中，∠A=90°，则是∠B的（）A.正切；B.余切；C.正弦；D.余弦6、如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（）．A. B. C. D.7、如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（）A. B. C. D.8、如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3, AC=4，则sinA的值为（）．.A. B. C. D.9、定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A的正对记作sadA，即sadA＝底边：腰．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝4∠B．则cosB•sadA＝（）A.1B.C.D.10、Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且a：b=3：4，斜边c=15，则b的值是（）A.12B.9C.4D.311、已知tanα=0.3249，则α约为（）A.17°B.18°C.19°D.20°12、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，DE垂直平分AB交BC于E，若BE=2 ，则AC=( )A.1B.2C.3D.413、如图，在一块矩形ABCD区域内，正好划出5个全等的矩形停车位，其中EF＝a米，FG＝b米，∠AEF＝30°，则AD等于（）A.（a+ b）米B.（a+ b）米C.（a+ b）米D.（a+ b）米14、如图，平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，6），∠BAO，∠ABO的平分线相交于点C，过点C作CD∥x轴交AB于点D，则点D的坐标为（）A.（，2）B.（，1）C.（，2）D.（，1）15、如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，AB⊥CD，OA=2，CD=2 ，则∠D 等于（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD 的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上.若，则BC长为________cm（结果保留根号）.17、在三角形ABC中，AB=2，AC= ，∠B=45°，则BC的长________．18、如图，射线OC与x轴正半轴的夹角为30°，点A是OC上一点，AH⊥x轴于H，将△AOH绕着点O逆时针旋转90°后，到达△DOB的位置，再将△DOB沿着y轴翻折到达△GOB的位置，若点G恰好在抛物线y=x2（x＞0）上，则点A 的坐标为________．19、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3，点D、E分别在AB、AC 上，将△ABC沿DE折叠，点A落在AC边的点F处．若F为CE的中点，则DF 的长为________.20、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4 ，AC=4，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F.若∠AB′F为直角，则AE的长为________.21、小华从斜坡底端沿斜坡走了100米后，他的垂直高度升高了50米，那么该斜坡的坡角为________度22、在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,则cosA=________.23、如图，ABCD中，E是AD边上一点，AD=4 ，CD=3，ED= ，∠A=45．点P，Q分别是BC，CD边上的动点，且始终保持∠EPQ=45°．将CPQ沿它的一条边翻折，当翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形时，线段BP的长为________．24、把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB=60°，若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是________.25、已知：正方形ABCD的边长为3，点P是直线CD上一点，若DP=1，则tan∠BPC的值是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：+（tan60﹣1）0+| ﹣1|﹣2cos30°．27、教育部布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校组织了一次测量探究活动，如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度1：，AB＝10米，AE＝21米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，tan53°≈，cos53°≈0.60）28、如图，B位于A南偏西37°方向，港口C位于A南偏东35°方向，B位于C正西方向. 轮船甲从A出发沿正南方向行驶40海里到达点D处，此时轮船乙从B出发沿正东方向行驶20海里至E处，E位于D南偏西45°方向.这时，E 处距离港口C有多远？（参考数据：tan37°≈0.75，tan35°≈0.70）29、周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛岸边P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）.小船从P处出发，沿北偏东60°划行200米到达A处，接着向正南方向划行一段时间到达B处.在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西37°方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到米）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）30、每年的6至8月份是台风多发季节，某次台风来袭时，一棵大树树干AB （假定树干AB垂直于地面）被刮倾斜15°后折断倒在地上，树的项部恰好接触到地面D（如图所示），量得树干的倾斜角为∠BAC＝15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4米，求这棵大树AB原来的高度是多少米？（结果精确到个位，参考数据：）参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、D3、B4、A5、A6、D7、A8、C9、B10、A11、B12、B13、A14、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、。
第二十八章 锐角三角函数 单元测试卷
第二十八章锐角三角函数单元测试卷题 号一二三总 分得 分一、选择题(每题3分,共30分)1. cos 60°的值等于( )A. B. C. D.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中,正确的是( )A.sin B=B.cos B=C.tan B=D.tan B=3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则cos A的值是( )A. B. C. D.4.计算sin 60°+tan 60°-2 cos230°的值等于( )A. B.- C. D.15.将宽为2 cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状,那么折痕PQ的长是( )A. cmB. cmC. cmD.2 cm6.李红同学遇到了这样一道题:tan (α+20°)=1,你认为锐角α的度数应是( )A.40°B.30°C.20°D.10°7.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中AB,CD分别表示一楼、二楼地面的水平线,∠ABC=150°,BC的长是8 m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是( )A. mB.4 mC.4 mD.8 m8.如图,在一笔直的海岸线l上有A,B两个观测站,AB=2 km,从A测得船C在北偏东45°的方向,从B测得船C在北偏东22.5°的方向,则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为( )A.4 kmB.(2+) kmC.2 kmD.(4-) km9.如图,是一台54英寸的大彩电放置在墙角的俯视图.设∠DAO=α,彩电后背AD平行于前沿BC,且与BC的距离为60 cm,若AO=100 cm,则墙角O到前沿BC的距离OE是( )A.(60+100sin α) cmB.(60+100cos α) cmC.(60+100tan α) cmD.以上都不对10.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=24,tan C=2,如果将△ABC沿直线l翻折后,点B落在边AC的中点E处,直线l与边BC交于点D,那么BD 的长为( )A.13B.C.D.12二、填空题(每题3分,共24分)11.如图,某河道要建造一座公路桥,要求桥面离地面的高度AC 为3 m,引桥的坡角∠ABC 为15°,则引桥的水平距离BC 约是______________m.(结果精确到0.1 m)12.如图,正方形ABCD 的边长为4,点M 在边DC 上,M,N 两点关于对角线AC 对称,若DM=1,则tan ∠ADN=______________.13.如图,在Rt △ABC 中,∠ABC=90°,AC=10 cm,点D 为AC 的中点,则BD=______________cm.14.如图,已知∠AOB=60°,点P 在边OA 上,OP=12,点M,N 在边OB 上,PM=PN.若MN=2,则OM 的长为______________.15.如图,在建筑平台CD的顶部C处,测得大树AB的顶部A的仰角为45°,测得大树AB的底部B的俯角为30°.已知平台CD的高度为5 m,则大树的高度为______________m.(结果保留根号)16.规定:sin(-x)=-sin x,cos(-x)=cos x,sin(x+y)=sin x·cos y+cos x·sin y.据此判断下列等式成立的是______________ (写出所有正确的序号).①cos(-60°)=-;②sin 75°=;③sin 2x=2sin x·cos x;④sin(x-y)=sin x·cos y-cos x·sin y.17.如图,在正方形ABCD中,O是CD边上一点,以O为圆心,OD为半径的半圆恰好与以B为圆心,BC为半径的扇形的弧外切,则∠OBC的正弦值为______________.18.如图,AC是矩形ABCD的对角线,AB=2,BC=2,点E,F分别是线段AB,AD上的点,连接CE,CF,当∠BCE=∠ACF,且CE=CF时,AE+AF=______________.三、解答题(19,20题每题12分,其余每题14分,共66分)19.按要求完成下列各题:(1)计算:×sin 45°-2 0150+2-1;(2)计算:(π-)0++(-1)2 015-tan 60°;(3)已知∠A,∠B,∠C是锐角三角形ABC的三个内角,且满足(2sin A-)2+=0,求∠C的度数;(4)先化简,再求值:÷,其中x=2sin 45°+1.20.如图①所示,将直尺摆放在三角板ABC上,使直尺与三角板的边分别交于点D,E,F,G,量得∠CGD=42°.(1)求∠CEF的度数;(2)将直尺向下平移,使直尺的边缘通过三角板的顶点B,交AC边于点H,如图②所示.点H,B在直尺上的读数分别为4,13.4,求BC的长(结果保留两位小数).(参考数据:sin 42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90)21.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AB=BC,AD=7,tan A=2.求CD的长.22.如图,某塔观光层的最外沿点E为蹦极项目的起跳点.已知点E离塔的中轴线AB的距离OE为10米,塔高AB为123米(AB垂直地面BC),在地面C处测得点E的仰角α=45°,从点C沿CB方向前行40米到达D点,在D处测得塔尖A的仰角β=60°,求点E离地面的高度EF.(结果精确到1米,参考数据:≈1.4,≈1.7)23.为倡导“低碳生活”,人们常选择以自行车作为代步工具,如图是一辆自行车的部分几何示意图,其中车架档AC与CD的长分别为45 cm 和60 cm,且它们互相垂直,座杆CE的长为20 cm,点A,C,E在同一条直线上,且∠CAB=75°.(参考数据:sin 75°≈0.966,cos75°≈0.259,tan75°≈3.732)(1)求车架档AD的长;(2)求车座点E到车架档AB的距离(结果精确到1 cm).参考答案一、1.【答案】A 2.【答案】C 3.【答案】D 4.【答案】A5.【答案】B6.【答案】D7.【答案】B8.【答案】B9.【答案】A10.【答案】A 解：如图,过点A作AG⊥BC于点G,∵AB=AC,BC=24,tan C=2,∴=2,GC=BG=12,∴AG=24,∵将△ABC沿直线l翻折后,点B落在边AC的中点处,过E点作EF⊥BC于点F,∴EF=AG=12,∴=2,∴FC=6,设BD=x,则DE=x,∴DF=24-x-6=18-x,∴x2=(18-x)2+122,解得:x=13,则BD=13.二、11.【答案】11.212.【答案】 解：如图,过N作NG⊥AD于点G.∵正方形ABCD的边长为4,M,N 关于AC对称,DM=1,∴MC=NC=3,∴GD=3.而GN=AB=4,∴tan ∠ADN==.13.【答案】5 解：∵∠ABC=90°,AC=10 cm,点D为AC的中点,∴BD=AC=5 cm.故填5.本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得结果.14.【答案】5 解：如图,过点P作PC⊥OB于点C,则MC=1,OC=12 cos 60°=12×=6,所以OM=OC-MC=6-1=5.15.【答案】(5+5) 解：作CE⊥AB于点E,易求得CE,BE的长,然后在Rt△ACE中利用锐角三角函数关系式求得AE的长,进而求得AB的长,即为大树的高度.作CE⊥AB于点E,在Rt△BCE中,BE=CD=5 m,CE==5 m.在Rt△ACE中,AE=CE·tan 45°=5 m,AB=BE+AE=(5+5) m.本题考查了仰角、俯角问题的应用,要求能借助仰角或俯角构造直角三角形,并通过解直角三角形求解.16.【答案】②③④ 解：cos(-60°)=cos 60°=,①错误;sin 75°=sin(30°+45°)=sin 30°·cos 45°+cos 30°·sin45°=×+×=+=,②正确;sin 2x=sin x·cos x+cos x·sin x=2sin x·cos x,故③正确;sin(x-y)=sin x·cos(-y)+cos x·sin(-y)=sin x·cos y-cos x·sin y,④正确.17.【答案】 解：∠OBC在Rt△OBC中,求∠OBC的正弦值就是求的值.可设OD=x,BC=y,则OC=y-x,OB=x+y,根据勾股定理可得方程y2+(y-x)2=(x+y)2,化简可得y=4x,从而得OB=5x,OC=3x,所以=. 18.【答案】 解：如图,作FG⊥AC,易证△BCE≌△GCF(AAS),∴BE=GF,BC=CG.∵在Rt△ABC中,tan∠ACB===,∴∠ACB=30°,∴AC=2AB=4,∠DAC=∠ACB=30°,∵FG⊥AC,∴AF=2 GF,∴AE+AF=AE+2BE=AB+BE.设BE=x,在Rt△AFG中,AG=GF=x,∴AC=AG+CG=x+2=4,解得x=-2.∴AE+AF=AE+2BE=AB+BE=2+-2=.三、19.解:(1)原式=2×-1+=1.(2)原式=1+2-1-×=2-3=-1.(3)∵(2sin A-)2+=0,∴2sin A-=0,tan B-1=0,∴sin A=,tan B=1.∵∠A,∠B为锐角,∴∠A=60°,∠B=45°.∴∠C=180°-∠A-∠B=75°.(4)原式=÷=·=.当x=2 sin 45°+1=2×+1=+1时,原式===.20.解:(1)∵∠CGD=42°,∠C=90°,∴∠CDG=90°-42°=48°.∵DG∥EF,∴∠CEF=∠CDG=48°.(2)∵点H,B的读数分别为4,13.4,∴HB=13.4-4=9.4,∴BC=HBcos 42°≈9.4×0.74≈6.96(m).答:BC的长约为6.96 m.21.解:如图所示,延长AB,DC交于点E,∵∠ABC=∠D=90°,∴∠A+∠DCB=180°,∴∠A=∠ECB,∴tan A=tan ∠ECB=2.∵AD=7,∴DE=14,设BC=AB=x,则BE=2x,∴AE=3x,CE=x,在Rt△ADE中,由勾股定理得:(3x)2=72+142,解得x= ,∴CE=×=,则CD=14-=.22.解:在Rt△ADB中,tan 60°=,∴DB==41.CF=DB-FB+CD=41+30.∵∠α=45°,∴EF=CF=41+30≈100.答:点E离地面的高度EF约为100米.23.分析:(1)在Rt△ACD中利用勾股定理求AD的长即可.(2)过点E作EF⊥AB,构造直角三角形求解,在Rt△EFA中,利用锐角三角函数得EF=AEsin 75°.解:(1)在Rt△ACD中,AC=45 cm,DC=60 cm,∴AD==75(cm),∴车架档AD的长是75 cm.(2)过点E作EF⊥AB,垂足为F,∵AE=AC+CE=45+20=65(cm),∴EF=AEsin 75°=65 sin 75°≈62.79≈63(cm),∴车座点E到车架档AB的距离约为63 cm.。
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第28章 锐角三角函数达标检测试卷（时间90分钟，满分100分）一、选择题（每小题2分，共20分）1．在△ABC 中，∠C=90°，则sinA+cosA 的值（ ）A ．大于1B ．等于1C ．小于1D ．不确定，与∠A 的值有关2．2cos45°的值等于（ ）A B C D ．3．B 为一建筑物BC 的最高点，B 在地面上的投影为E ，从地面上的A 点， 用测角仪测得B 点的仰角为a ，测角仪高AD=b ，若AC=a ，则建筑物CB 的高可表示为（ ）A ．CB=b+a·cotαB ．CB=b+cot a α .tan C CB b a α=+A .tan a D CB b α=+4．已知梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=45°，∠C=120°，AB=8，则CD 的长为（ ）A ．BC 5．在Rt△ABC 中，∠C=90°，下列各式中一定正确的是（ ）A ．sinA=sinB B ．tanA=tanBC ．sinA=cosBD ．cosA=cosB6．水库大坝横断面是梯形ABCD ，坝顶宽AD=6米，坝高DE=24米， 斜坡AB 的坡角是45°，斜坡CD 的坡度是1：2，则坝底BC 的长是（ ）A ．42米B ．（）米C ．78米D ．（）米7．如图1，从地面上C ，D 两处望山顶A ，仰角分别为30°和45 °， 若C ， D 两处相距200m ，那么山高AB 为（ ）．A ．100）mB ．．m D ．200m图1 图28．某市在旧城规划中， 计划在市内一块如图2所示的三角形空地上种植草皮来美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（）A．450a元 B．225a元 C．150a元 D．300a元9有意义的锐角x的取值范围是（）A．x=45° B．x≠45° C．45°<x<90° D．0°<x<45°10．将（-sin30°）-2，（）0，（）3这三个实数从小到大的顺序排列，正确的结果是（）A．（-sin30°）<（）0<（3 B．（-sin30°）<（）3<（）0C．（）3<（）0<（-sin30°）-2 D．（）0<（）3<（-sin30°）-2二、填空题（每小题2分，共20分）11．计算：tan1°·tan45°·tan89°=________．12．cos21°，cos37°，sin41°，cos46°按从小到大的顺序排列为_______．13tan（x+10°）=1，则锐角x=_____．14． 某人沿坡度为3：4 的斜坡前进10 米， 则他所在的位置比原来的位置升高____米．15．图3是一张Rt△ABC纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形（图2），那么在Rt△ABC中，sinB的值是_______．16．如图4，小明将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F， 若AB：BC=4：5，则cos∠DCF=_______．17．α为锐角，且cosα<1，则α的取值范围是________．18．一轮船以20海里/小时的速度向正东方向航行，上午8时，该船在A 处测得灯塔B 位于它的北偏东30°的B 处，上午9时，行至距B 最短距离的C 处，此时它与灯塔的距离是______海里．（结果保留根号）图3 图4 图519．小明想测电杆AB 的高度，发现电杆的影子恰好在地面BC 和土坡的坡面CD 上，测得CD=4m ，BC=10m ，CD 与地面成30°角，此时，测得1m 杆的影长为2m ，则电线杆的高度应为_____m ．20．如图5，如果△APB 绕点B 按逆时方向旋转30°后得到△A 1P 1B ，且BP=2，那么PP 1的长为_______．（保留根号，参考数据：）三、解答题（共60分）21．（6分）计算：sin30°+cos60°-cot45°-tan60°·tan30°．22．（6分）计算：（-2-2+）0÷sin45°．1323．（8分）在△ABC 中，∠B，∠C 均为锐角，其对边分别为b ，c ．（1）求证：；sin sin b c B C（2）在△ABC 中，，，∠B=45°，问满足这样条件的三角形有几个？ 并在图中作出来（不写作法，理由），然后再利用（1）题的结论求出∠ACB 的大小．24．（8分）在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器，皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下方案：①在测点A 安置测倾器，测得旗杆顶部M 的仰角∠MCE=α；②量出测点A 到旗杆底部N 的水平距离AN=m ；③量出测倾器的高度AC=h ．根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN ．如果测量工具不变，请仿照上述过程，设计一个测量某小山高度的方案．（1）在图中，画出你测量小山高度MN 的示意图；（2）写出你设计的方案．25．（8分）小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20 米，这时测得∠CBD=60°，若牵引底端B离地面1．5米，求此时风筝离地面高度．（计算结果精确到0.126．（12分）A城气象台测得台风中心在A城的正西方向400km的B处，台风中心正以每小时20km的速度向东北方向移动，距台风中心300km的范围为受台风影响区域．（1）A城是否受这次台风的影响？为什么？（2）若A城受这次台风的影响，则受台风影响的时间有多长？27．（12分）如图1，四边形ABCD是一张矩形纸片，∠BAC=α（0°<α<45°），现将其折叠，使A，C两点重合．（1）作出折痕EF；（2）设AC=x，EF=y，求出y与x的函数关系式；（3）如图2，当45°<α<90°时，（2）题中求得的函数关系式是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请求出当45°<α<90°时，y与x的函数关系式．答案:一、1．A 2．B 3．C 4．A 5．C 6．C 7．A 8．C 9．C 10．C二、11．1 12．sin41°<cos46°<cos37°<cos21° 13．20° 14．616． 17．45°<α<90° 18． 19． 2045三、21．-1 20．0 点拨：原式=（-+）．141323．（1）略 （2）有两个，∠ACB 可以为60°或120°，但∠B，∠C 为锐角， 所以∠ACB 只可能为60°．24．略25．在Rt△BCD 中，，又DE=AB=1.5+1.5≈18.8（米）26．（1）受影响．如图，过A 作AC⊥BM 于点C ．在Rt△ABC <300．（2）作AD=AE=300km ．在Rt△ADC 中，=100，∴ED=200km，∵200÷20=10（小时）， ∴受影响的时间为10小时．27．（1）AC 的中垂线与CD ，AB 分别交于F ，E ．（2）设AC 与EF 交于O 点，则点O 是矩形的对称中心，AO=x ，OE=y ．1212在Rt△AOE 中，OE=tanα·OA，即y=xtanα．（3）同理可得y=xcotα．。
人教版初3数学9年级下册 第28章(锐角三角函数)复习测试(含答案)
人教版初3数学9年级下册 第28章（锐角三角函数）复习测试一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ）1. 在△ABC 中，∠C =90∘，sin A =12，则cos B 等于（ ） A.12 B.22C.32D.12. 已知α为锐角，如果sin α=22，那么α等于（ ） A.30∘ B.45∘ C.60∘ D.不确定3. 已知∠A 为锐角，且tan A =2，则∠A 的取值范围是（ ） A.0∘<∠A <30∘ B.30∘<∠A <45∘ C.45∘<∠A <60∘ D.60∘<∠A <90∘4. 在Rt △ABC 中，∠C =90∘，若AB =4，sin A =35，则斜边上的高等于（ ） A.6425 B.165C.4825D.1255. 如图，已知轮船甲在A 处沿北偏东65∘的方向匀速航行，同时轮船乙在轮船甲的南偏东40∘方向的点B 处沿某一方向航行，速度与甲轮船的速度相同．若经过一段时间后，两艘轮船恰好相遇，则轮船乙的航行方向为( )A.北偏西40∘B.北偏东40∘C.北偏西35∘D.北偏东35∘6. 如图，市政府准备修建一座高AB ＝6m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的余弦值为45，则坡面AC 的长度为（ ）A.152mB.10mC.10mD.302m7. 如图，图①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与环相切，将这个游戏抽象为数学问题，如图②，已知铁环的半径为26cm，设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切的点为M，铁环与地面接触点为A，∠AOM=α且tanα=5，若人站立点C与点A的水平距离AC等于46cm，则铁环钩MF的长度为（）12A.36cmB.39cmC.40cmD.42cm8. 如图，某人在大楼30米高（即PH=30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15∘，山脚B处的俯角为60∘，已知该山坡的坡度i为1:3，点P， H，B， C， A在同一个平面上，点 H，B， C在同一条直线上，且PH⊥HC，则A， B两点间的距离是( )A.15米B.203米C.202米D.103米9. 在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，从原点O引一条射线，设这条射，则这条射线是( )线与x轴的正半轴的夹角为α，若cosα=35A.OAB.OBC.OCD.OD10. 如图为滑梯的侧面示意图，过点A作水平面的垂线AD，测得BD=2米，CD=1米，设上行面AC的坡度为i AC，滑行面AB的坡度为i AB，则下列结论正确的是（）A.i AC=2i ABB.i AC=i ABC.2i AC=i ABD.i AC=4i AB二、填空题（本题共计 5 小题，每题 3 分，共计15分，）11. 已知sin46∘=cosα，则α=________度．12. 如图，在距旗杆4米的A处，用测角仪测得旗杆顶端C的仰角为60∘，已知测角仪AB的高为1.5米，则旗杆CE的高等于________米．13. 如图C、D是两个村庄，分别位于一个湖面的南北两端A和B的正东方向上，且D位于C的北偏东30∘方向上，CD=6km，则AB=________km．14. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点A，B，C都在格点上，则cos∠ABC的值等于________．15. 如图，曲线l是由函数y=6在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45∘得到的，x过点A(−42, 42)，B(22, 22)的直线与曲线l相交于点M，N，连接OA，OB.(1)tan∠OAB=________；(2)△OMN的面积为________．三、解答题（本题共计 5 小题，每题 10 分，共计50分，）.16. 在△ABC中，AB=6,BC=4,∠B为锐角且cos B=12(1)∠B=___________;(2)求tan C．17. 某中学广场上有一个旗杆，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72∘，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度．（结果精确到小数点后一位，参考数据：sin72∘≈0.95，cos72∘≈0.31，tan72∘≈3.08）18. 如图，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且∠CDA =∠CBD ，BC =8cm ，tan ∠CDA =12.(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)求⊙O 的半径；(3)过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，连接OE ，求四边形OEDA 的面积．19. 已知：在矩形ABCD 中，E 为AB 边的中点，F 为边AD 上的动点，过点F 作EF 的垂线交DC 于点H ，以EF 为直径作半圆O ．(1)填空：①点A 与⊙O 的位置关系是________；②当⌢AE =⌢AF 时，tan ∠AFF 的值是________；③当点F 与点A 重合时，⊙O 与矩形ABCD 的边AD 的位置关系是________；(2)当△EFH 的顶点F 是边AD 的中点时，若AB =8，AD =6，求线段DH 的长．20. 如图，⊙O 的半径为5，弦BC =6，A 为BC 所对优弧上一动点，△ABC 的外角平分线AP 交⊙O 于点P ，直线AP 与直线BC 交于点E ．(1)求证：P为优弧BAC的中点；(2)连接PC，求PC的长度；(3)求sin∠BAC的值；(4)若△ABC为非锐角三角形，请直接写出△ABC的面积的最大值．参考答案与试题解析一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】A【考点】特殊角的三角函数值锐角三角函数的定义【解析】本题考查了锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，解题关键是掌握这些内容并能熟练运用.先求出∠A的度数，进而即可得出答案.【解答】,解：∵在△ABC中，∠C=90∘，sinA=12∴∠A=30∘∴∠B=60∘,.∴cosB=12故选A.2.【答案】B【考点】特殊角的三角函数值【解析】根据特殊角的三角函数值求解．【解答】，∵α为锐角，sinα=22∴α＝45∘．3.【答案】C【考点】锐角三角函数的增减性【解析】首先明确tan45∘=1，tan60∘=3，再根据正切值随角增大而增大，进行分析．【解答】解：∵tan45∘=1，tan60∘=3，正切值随角增大而增大，又1<2<3，∴45∘<∠A<60∘．故选C．4.【答案】C【考点】解直角三角形【解析】在直角三角形ABC 中，由AB 与sin A 的值，求出BC 的长，根据勾股定理求出AC 的长，根据面积法求出CD 的长，即为斜边上的高．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，在Rt △ABC 中，AB =4，sin A =35，∴ BC =AB sin A =2.4，根据勾股定理得：AC =AB 2−BC 2=3.2，∵ S △ABC =12AC ⋅BC =12AB ⋅CD ，∴ CD =AC ⋅BC AB=4825．故选C ．5.【答案】D【考点】方位角平行线的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：如图：设经过一段时间后，两艘轮船在点C 处相遇，AC =BC ，∴ ∠CAB =∠CBA .∵ 轮船甲沿北偏东65∘方向航行，点B 在点A 的南偏东40∘方向，∴ ∠CAB =180∘−65∘−402=75∘，过点B 作BE//AD 交AF 于点E ，则∠ABE =∠BAD =40∘,∴∠EBC=∠ABC−∠ABE=35∘，即轮船乙的航行方向为北偏东35∘.故选D.6.【答案】B【考点】解直角三角形的应用-其他问题【解析】在Rt△ABC中，通过已知边和已知角的余弦值，即可计算出未知边AC的长度．【解答】由在Rt△ABC中，cos∠ACB=BCAC =45，设BC＝4x，AC＝5x，则AB＝3x，则sin∠ACB=ABAC =35；又∵AB＝6m，∴AC＝10m；7.【答案】B【考点】解直角三角形的应用【解析】此题暂无解析【解答】略8.【答案】B【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题解直角三角形的应用-坡度坡角问题锐角三角函数的定义【解析】由题意可得：∠APB=60∘−15∘=45∘，∠PBH=60∘，则可由三角函数求得PB的长，又由山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1:3，即可求得∠ABC的度数，△ABP是等腰直角三角形，则可求得答案．【解答】解：根据题意，得∠APB=60∘−15∘=45∘，∠PBH=60∘，∵PH⊥HC，PH=30米，∴PB=PHsin60∘=3032=203米.∵tan∠ABC=13=33，∴∠ABC=30∘，∴ABP=180∘−∠PBH−∠ABC=180∘−60∘−30∘=90∘，∠PAB=∠APB=45∘，∴AB=PB=203米，即A，B两点间的距离是203米．故选B.9.【答案】A【考点】锐角三角函数的定义--利用网格【解析】此题暂无解析【解答】解：由图知：cos∠COx=425=255，不符合题意；cos∠BOx=45，不符合题意；cos∠AOx=35，符合题意；cos∠DOx=117=1717，不符合题意.故选A.10.【答案】A【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可得，上行面AC的坡度iAC=ADCD，滑行面AB的坡度i AB=ADBD，∵BD=2CD，∴i AC=2i AB．故选A．二、填空题（本题共计 5 小题，每题 3 分，共计15分）11.【答案】44【考点】互余两角三角函数的关系【解析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，依此求解即可．【解答】解：∵sin46∘=cosα，∴α=90∘−46∘=44∘．故答案为44．12.【答案】(43+3 2 )【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】利用60∘的正切值即可求得CD长，加上AB长即为旗杆CE的高．【解答】解：根据题意可得：CD=AD×tan60∘=43．∴旗杆CE的高等于CD+DE=43+32（米）．13.【答案】33【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】过C作CE⊥BD于E．根据已知求得∠ECD的度数，再根据三角函数即可求得CE的长．【解答】解：过C作CE⊥BD于E，那么CE=AB．直角△CED中，∵D位于C的北偏东30∘方向上，∴∠ECD=30∘．∵CD=6，∴CE=CD⋅cos30∘=33(km)．14.【答案】55【考点】锐角三角函数的定义【解析】先设小正方形的边长为1，再建构直角三角形，然后根据锐角三角函数的定义求解即可．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，∵小正方形的边长为1，则BD=2，AD=4，∴AB=BD2+AD2=22+42=25，∴cos∠ABC=BDAB =225=55，故答案为：55．15.【答案】128【考点】反比例函数与一次函数的综合锐角三角函数的定义坐标与图形变化-旋转勾股定理坐标与图形性质【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵A(−42, 42)，B(22, 22)，∴OA⊥OB，建立如图新的坐标系，OB为x′轴，OA为y′轴．在新的坐标系中，A(0, 8)，B(4, 0)，tan∠OAB=OBOA =12.故答案为：12.(2)直线AB解析式为y′=−2x′+8，由y′=−2x′+8，y′=6x′，解得x′=1，y′=6 或x′=3，y′=2.∴M(1, 6)，N(3, 2).∴S△OMN=S△OBM−S△OBN=12×4×6−12×4×2=8.故答案为：8.三、解答题（本题共计 5 小题，每题 10 分，共计50分）16.【答案】60∘(2)作AD⊥BC于D，如图所示：∵∠B=60∘，∴∠BAD=90∘−60∘=30∘，∴BD=12AB=3，∴AD=3BD=33.∵BC=4，∴CD=BC−BD=1，∴tan C=ADCD =331=33.【考点】特殊角的三角函数值锐角三角函数的定义含30度角的直角三角形【解析】（1）由特殊锐角的三角函数值即可得出答案；（2）作AD⊥BC于D，求出∠BAD=90∘−60∘=30∘，由直角三角形的性质得出BD=12 AB=3，得出AD=3BD=33，求出CD的长，由三角函数定义即可得出答案．【解答】解：(1)∵∠B为锐角且cos B=12，∴∠B=60∘.故答案为：60∘.(2)作AD⊥BC于D，如图所示：∵∠B=60∘，∴∠BAD=90∘−60∘=30∘，∴BD=12AB=3，∴AD=3BD=33.∵BC=4，∴CD=BC−BD=1，∴tan C=ADCD =331=33.17.【答案】解：如图作CM // AB交AD于M，MN⊥AB于N．则四边形BCMN为矩形.由题意CMCD =PQQR，即CM3=12，CM=32（米）.在Rt△AMN中，∵∠ANM=90∘，MN=BC=4，∠AMN=72∘，∴tan72∘=ANNM，∴AN≈12.3（米）.∵BN=CM=32，∴AB=AN+BN=13.8（米）．答：旗杆的高度为13.8米.【考点】解直角三角形的应用-其他问题【解析】如图作CM // AB交AD于M，MN⊥AB于N，根据CMCD =PQQR，求出CM，在Rt△AMN中利用tan72∘=ANNM，求出AN即可解决问题．【解答】解：如图作CM // AB交AD于M，MN⊥AB于N．则四边形BCMN为矩形.由题意CMCD =PQQR，即CM3=12，CM=32（米）.在Rt△AMN中，∵∠ANM=90∘，MN=BC=4，∠AMN=72∘，∴tan72∘=ANNM，∴AN≈12.3（米）.∵BN=CM=32，∴AB=AN+BN=13.8（米）．答：旗杆的高度为13.8米.18.【答案】(1)证明：连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA=90∘，又∵OD=OA，∠CDA=∠CBD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠CBD+∠OAD=180∘−∠BDA=90∘，∴∠ODA+∠CDA=∠OAD+∠CBD=90∘，∴∠ODC=90∘，即CD是⊙O的切线；(2)解：∵∠DCA=∠BCD，∠CDA=∠CBD，∴△CDA∼△CBD，∴CDCB =CACD=DABD，又∵BC=8cm，tan∠CDA=12，∠CDA=∠CBD，∠BDA=90∘，∴tan∠CBD=DABD =12，∴CDCB =CACD=DABD=12，∴CD8=CACD=12，解得，CD=4，CA=2，∴BA=CB−CA=8−2=6，∴OB=3，即⊙O的半径是3cm；(3)解：作DF⊥BC于点F，由已知可得，∠ODC=∠EBC=90∘，∠DCO=∠BCE，∴△DCO∼△BCE，∴ODEB =CDCB，∵OD=3，CD=4，CB=8，∴EB=6，又∵CO=CB−OB=8−3=5，OD=3，CD=4，∠ODC=90∘，DF⊥OC，∴CO⋅DF2=OD⋅CD2，解得DF=2.4，∴S四边形OEDA=S△EBC−S△EBO−S△DAC=BC⋅EB2−EB⋅OB2−CA⋅DF2=8×62−6×32−2×2.42=12.6cm2，即四边形OEDA的面积是12.6cm2．【考点】锐角三角函数的定义--利用三角形相似比例相似三角形的性质与判定三角形的面积切线的判定切线的性质【解析】（1）要证明CD是⊙O的切线，只需要连接OD，证明∠ODC=90∘即可，由∠CDA=∠CBD，∠BDA=90∘，OA=OD得到∠ODA=∠OAD，然后进行转化即可得到∠ODC=90∘，本题得以解决；（2）根据题意可以得到△CDA和△CBD相似，然后根据BC=8cm，tan∠CDA=12，∠CDA=∠CBD，可以求得CD、CA的长，从而可以求得BA的长，进而可以得到⊙O的半径；（3）由题意可得，∠EBC=90∘，可以证明△EBC和△ODC相似，从而可以求得EB的长，然后根据四边形OEDA的面积等于△EBC的面积减去△EBO的面积再减去△DAC 的面积，从而可以得到四边形OEDA的面积，本题得以解决．【解答】(1)证明：连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA=90∘，又∵OD=OA，∠CDA=∠CBD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠CBD+∠OAD=180∘−∠BDA=90∘，∴∠ODA+∠CDA=∠OAD+∠CBD=90∘，∴∠ODC=90∘，即CD是⊙O的切线；(2)解：∵∠DCA=∠BCD，∠CDA=∠CBD，∴△CDA∼△CBD，∴CDCB =CACD=DABD，又∵BC=8cm，tan∠CDA=12，∠CDA=∠CBD，∠BDA=90∘，∴tan∠CBD=DABD =12，∴CDCB =CACD=DABD=12，∴CD8=CACD=12，解得，CD=4，CA=2，∴BA=CB−CA=8−2=6，∴OB=3，即⊙O的半径是3cm；(3)解：作DF⊥BC于点F，由已知可得，∠ODC=∠EBC=90∘，∠DCO=∠BCE，∴△DCO∼△BCE，∴ODEB =CDCB，∵OD=3，CD=4，CB=8，∴EB=6，又∵CO=CB−OB=8−3=5，OD=3，CD=4，∠ODC=90∘，DF⊥OC，∴CO⋅DF2=OD⋅CD2，解得DF=2.4，∴S四边形OEDA=S△EBC−S△EBO−S△DAC=BC⋅EB2−EB⋅OB2−CA⋅DF2=8×62−6×32−2×2.42=12.6cm2，即四边形OEDA的面积是12.6cm2．19.【答案】在圆上,1,相切(2)∵EF⊥FH，∴∠EFH=90∘，∴∠AFE+∠DFH=90∘.∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90∘，∴∠AEF+∠AFE=90∘，∴∠AEF=∠DFH，∴△AEF∽△DFH，∴AEDF =AFDH.∵E为AB边的中点，AB=8，∴AE=12AB=4.∵F是AD边的中点，AD=6，∴AF=DF=12AD=3，∴AD=AF⋅DFAE =3×34=94.【考点】四边形综合题圆心角、弧、弦的关系点与圆的位置关系锐角三角函数的定义相似三角形的性质与判定【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)①∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=90∘，∴AO=12EF.∵EF为直径，∴点A在圆上.∵⌢AE=⌢AF，∴AE=AF.∵∠A=90∘，∴∠AEF=45∘，∴tan∠AFF=1.∵∠A=90∘，EF为直径∴当点F与点A重合时，⊙O与矩形ABCD的边AD的位置关系为相切.故答案为：在圆上；1；相切.(2)∵EF⊥FH，∴∠EFH=90∘，∴∠AFE+∠DFH=90∘.∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90∘，∴∠AEF+∠AFE=90∘，∴∠AEF=∠DFH，∴△AEF∽△DFH，∴AEDF =AFDH.∵E为AB边的中点，AB=8，∴AE=12AB=4.∵F是AD边的中点，AD=6，∴AF=DF=12AD=3，∴AD=AF⋅DFAE =3×34=94.20.【答案】(1)证明：∵四边形APBC内接于☉O，∴∠PBC+∠PAC=180∘．又∵∠PAF+∠PAC=180∘，∴∠PAF=∠PBC．∵AP平分∠BAF，∴∠PAF=∠BAP，∴∠BAP=∠PBC，∴PB=PC，∴P为优弧BAC的中点.解：(2)如图，连接PO并延长，交BC于点G．连接OB，OC．∵OB=OC=OP，∴∠OBC=∠OCB，∠OPB=∠OBP，∠OPC=∠OCP．由(1)可得PB=PC，∴PB=PC，∴∠PBC=∠PCB，∴∠OBP=∠OCP，∴∠OPB=∠OPC.∵PB=PC，∴PG⊥BC，且BG=GC=12BC=3．∵在Rt△COG中，OC=5，∴由勾股定理得OG=4，∴PG=9，∴在Rt△PCG中，由勾股定理得PC=310.(3)由(2)易得∠BOC=2∠COG．∵∠BOC=2∠BAC，∴∠BAC=∠COG，∴sin∠BAC=sin∠COG=CGOC =35.(4)∵△ABC为非锐角三角形，∴当AB为直径时，即AB过圆心O时，△ABC的面积最大，此时∠BCA=90∘，由勾股定理得AC=8，∴S△ABCmax =12×6×8=24．【考点】圆内接四边形的性质圆心角、弧、弦的关系二次函数综合题勾股定理圆的综合题垂径定理锐角三角函数的定义--与圆有关【解析】（1）证明：∵四边形APBC内接于☉O，∴∠PBC+∠PAC=180∘．又∵∠PAF+∠PAC=180∘，∴∠PAF=∠PBC．∵AP平分∠BAF，∴∠PAF=∠BAP，∴∠BAP=∠PBC，∴弧PB=弧PC，∴P为优弧BAC的中点；（2）连接PO并延长，交BC于点G．连接OB，OC．∵OB=OC=OP，∴∠OBC=∠OCB，∠OPB=∠OBP，∠OPC=∠OCP．由（1）可得弧PB=弧PC，∴PB=PC，∴∠PBC=∠PCB，∴∠OBP=∠OCP，∴∠OPB=∠OPC.∵PB=PC，∴PG⊥BC，且BG=GC=12BC=3．∵在Rt△COG中，OC=5，∴由勾股定理得OG=4，∴PG=9，∴在Rt△PCG中由勾股定理得PC=310；（3）由（2）易得∠BOC=2∠COG．∵∠BOC=2∠BAC，∴∠BAC=∠COG，∴sin∠BAC=sin∠COG=CGOC =−35；（4）△ABC的面积的最大值是24．【解答】(1)证明：∵四边形APBC内接于☉O，∴∠PBC+∠PAC=180∘．又∵∠PAF+∠PAC=180∘，∴∠PAF=∠PBC．∵AP平分∠BAF，∴∠PAF=∠BAP，∴∠BAP=∠PBC，∴PB=PC，∴P为优弧BAC的中点.解：(2)如图，连接PO并延长，交BC于点G．连接OB，OC．∵OB=OC=OP，∴∠OBC=∠OCB，∠OPB=∠OBP，∠OPC=∠OCP．由(1)可得PB=PC，∴PB=PC，∴∠PBC=∠PCB，∴∠OBP=∠OCP，∴∠OPB=∠OPC.∵PB=PC，∴PG⊥BC，且BG=GC=12BC=3．∵在Rt△COG中，OC=5，∴由勾股定理得OG=4，∴PG=9，∴在Rt△PCG中，由勾股定理得PC=310.(3)由(2)易得∠BOC=2∠COG．∵∠BOC=2∠BAC，∴∠BAC=∠COG，∴sin∠BAC=sin∠COG=CGOC =35.(4)∵△ABC为非锐角三角形，∴当AB为直径时，即AB过圆心O时，△ABC的面积最大，此时∠BCA=90∘，由勾股定理得AC=8，∴S△ABCmax =12×6×8=24．。
第28章 锐角三角函数单元综合复习测试题(含答案)
图1第二十八章 锐角三角函数综合复习测试题一、选择题（每小题3分，共24分）1. Rt △ABC 中,∠C ︒=90,如果=A cos 45,那么B tan 的值为( ) （A ）35 （B ）54 （C ） 34 （D ）432．计算：︒⋅︒+︒60sin 60tan 45cos 2的值为( )（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）33．点（︒-60sin ，︒60cos ）关于y 轴对称的点的坐标是( )（A ）（32，12） （B ）（23-，12） （C ）（23-，21-） （D ）（21-，23-） 4．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．某同学站在离国旗旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为︒30，若这位同学的目高6.1米，则旗杆的高度为( )（A ）34米 （B ）312米 （C ）346.1+米 （D ）3126.1+米5．如图1,把两块相同的含︒30角的三角尺按如图所示放置，若=AD 66，•则三角尺的斜边的长为( )（A ）6 （B ） 36 （C ）10 （D ） 126．已知α为锐角，下列结论：(1)1cos sin =+αα； (2) 若α＞︒45，则αsin ＞αcos ； (3)如果αcos ＞12，则α＜︒60； (42(sin 1)α-αsin 1-．其中正确结论的序号是( )（A ）(1)(3)(4) （B ）(2)(4) （C ）(2)(3)(4) （D ）(3)(4)7．有人说，数学家就是不用爬树或者把树砍倒就能够知道树高的人．小敏想知道校园内一图2图3 棵大树的高,如图2，她测得10=BC 米，∠︒=50ACB ，请你帮助她算出树高AB 约为( )米．（注：①树垂直于地面；②供选用数据：︒50sin ≈77.0，︒50cos ≈64.0，︒50tan ≈2.1） （A ） 7.7 （B ） 8 （C ） 4.6 （D ）128. 如图3,△ABC 中,,90︒=∠C AD 是BAC ∠的角平分线,交BC 于点D ,那么CDACAB -=( )（A ）BAC ∠sin （B ）BAC ∠cos （C ）BAC ∠tan （D ）BAC ∠cot 二．填空题（每小题3分，共24分）9．已知山坡的坡度i =1：3，则坡角为________． 10．判定方程060cos 30cos 2=︒+︒⋅-x x 的实数根情况．答：________．11. 在正方形网格中,AOB ∠的位置如图4所示,则AOB∠cos 的值是 .12．当锐角α_______时，2cos 3α-有意义．13．在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，cos A =12，sin B =3，则△ABC 的形状是 ．14．如图5，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是5.0米和15米，已知小华的身高为6.1米，那么他所住楼房的高度为________米．15．如图6，小明骑自行车以15千米/时的速度在公路上向正北方向匀速行进，出发时，在B 点他观察到仓库A 在他的北偏东︒30处，骑行20分钟后到达C 点，•发现此时这座图4图5图6仓库正好在他的东南方向，则这座仓库到公路的距离约为________千米. （参考数据：3≈732.1，结果保留两位有效数字）16．在数学活动课上，小敏，小颖分别画了△ABC •和△DEF ，数据如图7，如果把小敏画的三角形面积记作ABC S ∆，小颖画的三角形面积记作DEF S ∆，那么你认为小敏和小颖画的两个三角形的面积的大小关系是ABC S ∆ DEF S ∆.(填“＞,＜,或＝”)三、解答题（本大题共52分）17.计算:(1) 200822)45cot (30cot 60tan 60cot 30sin 2︒-+︒︒-︒+︒(2) 130cos 260sin 60tan 45tan 2+︒-︒+︒-︒图718.如图8,某超市在一楼和二楼之间安装有电梯,天花板与地面平行,请你根据图中数据计算回答:小敏身高78.1米,她乘电梯会有碰头危险吗？姚明身高29.2米, 他乘电梯会有碰头危险吗？请说明理由.(参考数据:45.027sin ≈︒,89.027cos ≈︒,51.027tan ≈︒)19．如图9，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠︒=45DBC ，翻折梯形ABCD ，•使点B 重合于点D ，折痕分别交边AB 、BC 于点F 、E ．若2=AD ，8=BC ．求:（1）BE 的长;（2）∠CDE 的正切值．图8图920.如图10，某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，•该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面24米处要盖一栋高20米的新楼．当冬季正午的阳光与水平线的夹角为︒32时．（1）问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？ （2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？ （参考数据：sin ︒32≈53100，cos ︒32≈,125106︒32tan ≈85．）21.(2008年商丘市毕业考试题) 如图11,小华家的住宅楼AB 与北京奥运会主体育场鸟巢隔水相望且能看到鸟巢的最高处CD ,两建筑物的底部在同一水平面上,视野开阔,但不能直接到达,小华为了测量鸟巢的最大高度CD ,只能利用所在住宅楼的地理位置.现在小华仅有的测量工具是皮尺和测角仪(皮尺可测量长度, 测角仪可测量仰角、俯角),请你帮助小华设计一个测量鸟巢的最大高度的方案:(1)要求写出测量步骤和必需的测量数据(用字母表示)并画出测量图形(测角仪高度忽略不计);(2)利用小华测量的数据(用字母表示),写出计算鸟巢最大高度CD 的表达式.图11图1022. 如图12(1),先将一矩形ABCD 置于直角坐标系中，已知8=AB ，6=BC ，使点A 与坐标系的原点重合，边AB ，AD 分别落在x 轴，y 轴上，•再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转︒30,如图12(2)．请你利用三角函数知识求出矩形ABCD 旋转前后点B 的坐标和点C 的坐标.(1) (2)四、附加题(共20分)23．（2006，福建泉州有改动）如图13(1)，一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙ON 上，梯子与地面的倾斜角α为︒60． （1）求AO 与BO 的长；（2）若梯子顶端A 沿NO 下滑，同时底端B 沿OM 向右滑行．如图13)2(，当A 点下滑到A ′点，B 点向右滑行到B ′点时，梯子AB 的中点P 也随之运动到P ′点，若 ∠POP ′=︒15，试求AA ′的长．图12)1()2(图1324.（2007，资阳市）一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图14所示,其中背水坡的整个坡面是长为90米,宽为5米的矩形,现需将其整修并进行美化,方案如下:.0改为1:3;①将背水坡AB的整个坡度由1:75②用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域,依次相同地种草与种花.(1) 求整修后背水坡面的面积;(2) 如果种花的成本是每平方米25元,种草的成本是每平方米20元,那么种植花草至少需要多少元？图14参考答案一．选择题1. D 点拨: 考查三角函数的定义.2. B 点拨: 简单考查特殊角的三角函数值的计算.3. A 点拨: 考查特殊角的三角函数值的运用.4. C 点拨: 考查仰角在具体情境中的运用.5. D 点拨: △ABD 是等腰直角三角形, △ABC 是含︒30角的直角三角形.6. C 点拨: 综合考查三角函数的定义, 三角函数值的比较.只有(1)错,其余都正确.7. D 点拨: 本题创设的情境新颖,起点低,本题用正切.8. C 点拨: 如图,作DE ⊥AB ,垂足为E ,易知△AED ≌△ACD ,得ED ＝CD ,AE ＝ACCD AC AB -＝ED EB ,而EDEB是EDB ∠的正切值,易证EDB ∠＝BAC ∠ 故选C 二．填空题9. ︒30 点拨: 考查坡度,坡角的定义.10. 无实数根 点拨: 考查特殊角的三角函数值与一元二次方程根的情况的判定. 11. 55点拨: 以网格形式考查三角函数值的计算,题型新颖,难度不大. 12.︒≠30α 点拨: 分式的分母不能为零.13. 等边三角形 点拨: 由特殊角的三角函数值可求出︒=∠=∠60B A ,从而︒=∠60C . 14. 48 点拨: 根据同一时刻物高和影长成正比.15. 8.1 点拨: 简单考查方位角,注意题目要求保留两位有效数字.16. = 点拨: 过点A 作BC AD ⊥,垂足为D ,则︒=50sin 5AD ,过点D 作EFDM ⊥交FE 的延长线于M ,则︒=50sin 5DM ,故面积相等.三．解答题 17.解: (1)原式=11331+-+331+=333+=.(2)原式=232311312313)160(sin 132=-+-=-+-=-︒+-. 18.解: 作AC CD ⊥交AB 于D ,由天花板与地面平行,可得︒=∠27CAB ,在Rt △ACD 中,04.251.04tan =⨯=∠=CAB AC CD ,∵04.2＞78.1,04.2＜39.2 ∴小敏不会有碰头的危险,姚明则会有碰头的危险.19.解: (1)由题意知△BEF ≌△DEF ,则︒=∠=∠45BDE DBE ,∴︒=∠90DEB ,即BC DE ⊥,作BC AH ⊥,垂足为H ,易知3228=-==BH EC , ∴538=-=BE .(2)在Rt △CDE 中,53tan ===∠BE EC DE EC CDE 20.解:（1）•超市以上居民住房采光不受影响，新楼在居民楼上的投影高约为︒⨯-32tan 2420 ≈852420⨯-≈5米,∵5＜6 ∴超市以上居民住房采光不受影响 .（2）•若要使超市采光不受影响，两楼至少相距：20tan 32︒325820=⨯=（米）21. 解: (本题方法不惟一,只要设计合理,解答正确均可)(1) 如图,连结AD 、AC ,过点A 作CD AE ⊥,垂足为E .测量步骤为:① 测量楼顶到地面的高度a AB =(米). ② 在楼顶处测点D 的俯角α=∠EAD , ③ 在楼顶处测点C 的仰角β=∠EAC . （2）在Rt △AED 中,a AB DE ==,∵α-︒=∠90ADE ∴)90tan()90tan(αα-︒=-︒=a DE AE 在Rt △AEC 中,βαβtan )90tan(tan -︒==a AE CE∴[])90tan(tan 1)90tan(tan αβαβ-︒+=-︒+=+=a a a CE DE CD 22. 解: 易求得旋转前)0,8(B ,)6,8(C .旋转后,作x CE ⊥轴,垂足为E ,x BM ⊥轴,垂足为M ,CE BF ⊥垂足为F . 在Rt △ABM 中,∵︒=∠=30,8BAM AB ∴ 34,4==AM BM . 在Rt △CBF 中, ∵︒=∠=30,6BCF BC ∴ 33,3==CF BF∴433+=+=EF CF CE , 334-=-=EM AM AE ∴34(B ,)4 334(-C ,)334+23. 解: （1）在Rt △AOB 中，∵∠︒=∠︒=60,90αAOB ．∴︒=∠30OAB ,又4=AB (米)， ∴221==AB OB （米）,3223460sin =⨯=︒⨯=AB OA (米)． （2）∵点P 和点P ′分别是Rt △AOB 的斜边AB 与Rt △A ′O B ′的斜边A ′B ′的中点， ∴PO PA =，P ′A ′=P ′O ，∴∠PAO =∠AOP ，∠P ′A ′O =∠A ′O P ′． ∴∠P ′A ′O POP PAO ∠=∠-′︒=15． ∵∠P A O ︒=30， ∴∠P ′A ′O ︒=45．∴A ′O =A ′B ′×cos ︒4522224=⨯=. ∴A A ′=O A A -′O )2232(-= 米．此题的妙处在于恰到好处地利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,从而求出 ∠P ′A ′O ︒=45,让我们感受到了数学题真的很有意思,做数学题是一种享受. 24. 解: （1）作BC AE ⊥于E ,∵原来的坡度为1:75.0, ∴3475.01==EB AE . 设,3,4k BE k AE ==∴k AB 5=. 又∵5=AB 米, ∴1=k ,则4=AE 米, 设整修后的斜坡为AB ′,由整修后坡度为1:3, ∴AB ∠′︒=30E . ∴AB ′82==AE 米, ∴整修后背水坡面的面积为720890=⨯(平方米). （2）将整修后的背水坡面分为9块相同的矩形,则每一区域的面积为80平方米. 方法1: ∵要依次相间地种植花草,有两种方案:第一种是种草5块,种花4块,需要:160008042580520=⨯⨯+⨯⨯(元); 第二种是种草4块,种花5块,需要:164008052580420=⨯⨯+⨯⨯(元). ∴应选择种草5块,种花4块的方案,需要花费16000元.方法2: ∵要依次相间地种植花草,必须有一种是5块, 有一种是4块,而种花的成本是每平方米25元, 种草的成本是每平方米20元, ∴两种方案中,选择种花4块,种草5块的方案花费较少,即需花费160008042580520=⨯⨯+⨯⨯元.。
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锐角三角函数测试题
一、选择题
1．计算6tan45°－2cos60°的结果是( )
A ．4 3
B ．4
C ．5
D ．5 3
2．如图28-1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是( )
A ．sin A ＝32
B ．tan A ＝12
C ．cos B ＝32
D ．tan B ＝ 3 3．测得某坡面垂直高度为2 m ，水平宽度为4 m ，则坡度为( )（坡度：铅直高度与水平宽度的比）
A ．1∶52
B ．1∶ 5
C ．2∶1
D ．1∶2
图28-1 图28-2 图28-3 图28-4 图28-5
4．如图28-2，AC 是电杆AB 的一根拉线，测得BC ＝6米，∠ACB ＝52°，则拉线AC 的长为( ) A.6sin52°米 B.6tan52°米 C ．6cos52°米 D.6cos52°
米 5．在△ABC 中，(tan A －3)2＋⎪⎪⎪
⎪22－cos B ＝0，则∠C 的度数为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°
6．如图28-3，将∠AOB 放置在5×5的正方形网格中，则tan ∠AOB 的值是( ) A.23 B.32 C.2 1313 D.3 1313
7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝513
，则cos A 的值为( ) A.512 B.813 C.23 D.1213
8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2＋b 2＝c 2，那么下列结论正确的是( )
A ．c sin A ＝a
B ．b cos B ＝c
C ．a tan A ＝b
D ．c tan B ＝b 9．如图28-4，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，若AC ＝2 3，AB ＝4 2，则tan ∠BCD 的值为( )
A. 2
B.153
C.155
D.33
10．如图28-5，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B 处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4 m ，测得仰角为60°，已知小敏同学身高(AB )为1.6 m ，则这棵树的高度为( )(结果精确到0.1m ，3≈1.73)．
A ．3.5 m
B ．3.6 m
C ．4.3 m
D ．5.1 m
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
11．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝3，则cos B ＝________.
12．计算：12＋2sin60°＝________.
13．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝5 2，b ＝5 6，则∠A ＝________.
14．如图28-6，已知Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD ＝4，cos B ＝45
，则AC ＝________.
图28-6 图28-7
15．如图28-7，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向，则从C 岛看A ，B 两岛的视角∠ACB ＝________.
16．若方程x 2－4x ＋3＝0的两根分别是Rt △ABC 的两条边，若△ABC 最小的角为A ，那么tan A ＝______.
三、解答题(一)
17．计算：4＋1
21-⎪⎭
⎫ ⎝⎛－2cos60°＋(2－π)0.
18．如图，某河堤的横断面是梯形ABCD ，BC ∥AD ，迎水坡AB 长13米，且tan ∠BAE ＝125
，求河堤的高BE .
19．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，tan B ＝cos ∠CAD .求证：AC ＝BD .
四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题7分，共21分)
20．如图，在鱼塘两侧有两棵树A ，B ，小华要测量此两树之间的距离，他在距A 树30 m 的C 处测得∠ACB ＝30°，又在B 处测得∠ABC ＝120°.求A ，B 两树之间的距离(结果精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)．
21．如图，小明在公园放风筝，拿风筝线的手B 离地面高度AB 为1.5米，风筝飞到C 处时的线长BC 为30米，这时测得∠CBD ＝60°，求此时风筝离地面的高度(结果精确到0.1米；参考数据：3≈1.73)．。