Z4.23 时域微积分特性
信号分析第六章Z变换的基本性质
[( 2) m (k m)]
X
四．时域卷积定理
已知 则 x(k ) X ( z ) h( k ) H ( z )
第
17 页
z z
1 1 2 2
x ( k ) * h( k ) X ( z ) H ( z )
收敛域：一般情况下，取二者的重叠部分
1) a k (k 1) 2)a k (k 1)
X
八.时域求和性质
若 则 x(k ) X ( z )
k
第
26 页
z
max( ,1) z
z f (k ) x(i) X ( z) z 1 i
k
说明 : 用卷积和定理可得 z f (k ) x(i) x(k ) (k ) X ( z) z 1 i
例题 : 求以下信号的 变换(用求和性质或卷积和性 z 质） 1) f (k ) 2) f (k ) (1) i
i 0 k
i
X
第
(1)左移位性质
若 x(k ) (k ) X ( z)
则
9 页
z
z
m 1 m k x(k m) (k ) z X ( z ) x(k ) z k 0
其中m为正整数
xk 1 (k ) zX z zx0
xk 2 (k ) z X z z x0 zx1
2 2
X
第
证明左移位性质
根据单边z变换的定义，可得 Z xk m k xk m z k
k 0
10 页
z m xk m z k m
信号与系统总复习要点
《信号与系统》总复习要点第一章绪论1．信号的分类：模拟信号，数字信号，离散信号，抽样信号2．信号的运算：移位、反褶、尺度、微分、积分、加法和乘法3. δ(t)的抽样性质 (式1-14)4．线性系统的定义：齐次性、叠加性5．描述连续时间系统的数字模型：微分方程描述离散时间系统的数字模型：差分方程6．连续系统的基本运算单元：加法器，乘法器，积分器离散系统的基本运算单元：加法器，乘法器，延时器7．连续系统的分析方法：时域分析方法，频域分析法(FT)，复频域分析法（LT）离散子系统的分析方法：时域分析方法，Z域分析方法8．系统模拟图的画法9．系统线性、时不变性、因果性的判定第二章连续时间系统的时域分析1．微分方程的齐次解+特解的求法自由响应+强迫响应2．系统的零输入响应+零状态响应求法3．系统的暂态响应+稳态响应求法4．0-→0+跳变量冲激函数匹配法5．单位冲激响应h(t), 单位阶跃响应g(t), 与求法h(t)=g'(t), g(t)=h (-1)(t)类似δ(t)与u(t)的关系6．卷积的计算公式，零状态响应y zs (t)=e(t)*h(t)=∫∞-∞e(τ)h(t-τ)d τ=h(t)*e(t)7．卷积的性质串连系统，并联系统的单位冲激响应f(t)*δ(t)= f(t)f(t)*δ(t-3)= f(t-3)8. 理解系统的线性 P57 (1) (2) (3)第三章 傅立叶变换 t →w1．周期信号FS ，公式，频谱：离散谱，幅度谱2．非周期信号FT ，公式，频谱：连续谱，密度谱3． FT FT -14．吉布斯现象 P100---P1015．典型非周期信号的FT （单矩形脉冲）6．FT 的性质①对称性②信号时域压缩，频域展宽 P127，P128 ()[]⎪⎭⎫ ⎝⎛=a F a at f F ω1()()j t F f t e dt ωω∞--∞=⎰1()()2j t f t F e d ωωωπ∞-∞=⎰③尺度和时移性质 P129④频移性质：频谱搬移 cos(w 0t)的FT⑤时域微积分特性，频域微分特性⑥卷积定理（时域卷积定理、频域卷积定理）7．周期信号的FT ：冲激8．抽样信号f s (t)的FT 及频谱F s (ω)9．抽样定理①条件 f s >=2f m w s >=2w m②奈奎斯特频率 f s =2f m③奈奎斯特间隔 T s =1/f s10.关于频谱混叠的概念第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s 域分析 t →s 1． LT LT -12．典型信号的LT3．LT 性质：时移，频移，尺度，卷积()j 1e baf at b F a a ωω⎛⎫+↔⋅ ⎪⎝⎭0001[()cos()][()()]2F f t t F F ωωωωω=++-()()⎰∞∞--=tt f s F ts d e ()()⎰∞+∞-=j j d e j π21 σσss F t f t s []000()()()e st L f t t u t t F s ---=()e ()αt L f t F s α-⎡⎤=+⎣⎦[]()1() 0s L f at F a a a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭4．LT 的逆变换①查表法②部分分式展开法（系数求法）③留数法5．LT 分析法 （第四章课件63张，64张，78张，81张） 求H(s), h(t), y zi (t), y zs (t), y(t)6．系统函数H(s) h(t) 一对拉氏变换对 H(s)的极点决定h(t)的形式H(s)的零点影响h(t)的幅度和相位7．H(s)的零极点 稳定性： ①②极点全在S 面左半面 P241 例4-26 8．连续系统的频响特性 H(jw)=H(s)│s=jw9．全通网络（相位校正），最小相移网络第五章 傅立叶变换应用于通信系统－滤波、调制与抽样1．h(t) H(jw) 构成傅式变换对2．无失真传输概念3．实现无失真传输的系统要满足的时域条件、频域条件4．理想低通滤波器的频响特性，及其单位冲激响应5．信号调制、解调的原理()||h t dt M ∞-∞≤⎰第七章 离散时间系统的时域分析1．离散序列的周期判定：2π/w 0，分三种情况讨论2．离散时间信号的运算、典型离散时间信号3．离散系统的阶次确定4．离散时间系统的差分方程，及模拟图的画法5．u(n), δ(n), g(n), h(n)的关系δ(n)= u(n)- u(n-1) h(n)= g(n)- g(n-1) 6．离散时间系统的时域求解法 （迭代、齐次解＋特解、零输入＋零状态）7．离散系统的单位冲激响应h(n)及其求法8．卷积和9．系统的零状态响应y zs (n)＝x(n)*h(n) 10．有限长两序列求卷积：x 1(n)：长N x 2(n)：长M 见书例7-16， 对位相乘求和法， 长度：N+M-111．卷积性质：见课件第七章2，第35张12．离散系统的因果性，稳定性时域：因果性 n<0 ,h(n)=0稳定性 h(n)绝对可和()()k u n n k δ∞==-∑0()()k g n h n k ∞==-∑()()()()∑∞-∞=-=*m m n h m x n h n x ()n h n ∞=-∞<∞∑第八章 Z 变换、离散时间系统的Z 域分析1．LT →ZT: z=e sTZ 平面与S 平面的映射关系2． ZTZT -13．典型序列的Z 变换 4．Z 变换的收敛域： 有限长序列 有无0，∞右边序列 圆外左边序列 圆内双边序列 圆环5．逆Z 变换 ①查表法②部分分式展开法（与LT -1不同的，先得除以Z ） ③留数法6．ZT 的性质时移性质 (1)双边序列移位(2)单边序列移位 ①左移 ②右移 序列的线性加权性质序列的指数加权性质卷积定理7．Z 域分析法解差分方程：书P81 例8-16第八章课件2 第33张～37张 ()()n n X z x n z ∞-=-∞=∑()⎰-π=c n z z z X jn x d 21)(18．系统函数H(z) h(n) H(z) Z 变换对 求H(z), h(n), y zs (n), y zi (n), y(n), H(e jw ) *见书P86：例8-19， P109 8-36 8-379．离散系统的稳定性，因果性稳定性 因果性时域 n<0, h(n)=0 频域 H(z)所有极点在单位圆内 收敛域（圆外）含单位圆10．离散系统的频响特性H(e jw )=H(z)│z=ejw =│H(e jw )│e j ψ(w)幅度谱：描点作图，2π为周期相位谱书P98，例8-22， 第八章课件：59张，60张 ()n h n ∞=-∞<∞∑。
期末考试《信号与系统课程要点(吴大正)》
信号与线性系统复习提纲第一章信号与系统1．信号、系统的基本概念2．信号的分类，表示方法（表达式或波形）连续与离散；周期与非周期；实与复信号；能量信号与功率信号3．信号的基本运算：加、乘、反转和平移、尺度变换.图解时应注意仅对变量t作变换，且结果可由值域的非零区间验证。
4．阶跃函数和冲激函数极限形式的定义；关系；冲激的Dirac定义阶跃函数和冲激函数的微积分关系冲激函数的取样性质（注意积分区间）；;5．系统的描述方法数学模型的建立:微分或差分方程系统的时域框图，基本单元：乘法器，加法器，积分器（连)，延时单元(离）由时域框图列方程的步骤。
6．系统的性质线性：齐次性和可加性；分解特性、零状态线性、零输入线性.时不变性：常参量LTI系统的数学模型:线性常系数微分(差分）方程（以后都针对LTI系统）LTI系统零状态响应的微积分特性因果性、稳定性（可结合第7章极点分布判定）第二章连续系统的时域分析1．微分方程的经典解法：齐次解+特解(代入初始条件求系数）自由响应、强迫响应、瞬态响应、稳态响应的概念0—～0+初值（由初始状态求初始条件）：目的，方法（冲激函数系数平衡法)全响应=零输入响应+零状态响应；注意应用LTI系统零状态响应的微积分特性特别说明：特解由激励在t>0时或t〉=0+的形式确定2．冲激响应定义，求解(经典法），注意应用LTI系统零状态响应的微积分特性阶跃响应与的关系3．卷积积分定义及物理意义激励、零状态响应、冲激响应之间关系卷积的图示解法(了解）函数与冲激函数的卷积（与乘积不同）；卷积的微分与积分复合系统冲激响应的求解（了解)第三章离散系统的时域分析1．离散系统的响应差分方程的迭代法求解差分方程的经典法求解：齐次解+特解（代入初始条件求系数）全响应=零输入响应+ 零状态响应初始状态(是），而初始条件（指的是）2．单位序列响应的定义，的定义,求解（经典法)；若方程右侧是激励及其移位序列时,注意应用线性时不变性质求解阶跃响应与的关系3．卷积和定义及物理意义激励、零状态响应、冲激响应之间关系卷积和的作图解与的卷积和；结合前面卷积积分和卷积和，知道零状态响应除经典解法外的另一方法。
K1.08 时域和复频域的微积分特性
拉普拉斯变换的性质—时域和复频域的微积分特性
K1.08 拉普拉斯变换的性质—时域、复频域的微积分 一、时域微分特性
若 f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0,
则 f '(t) ←→ sF(s) – f(0-) f ''(t) ←→ s2F(s) – sf(0-) –f '(0-)
若f(t)为因果信号，则 f (n)(t) ←→ snF(s)
拉普拉斯变换的性质—时域和复频域的微积分特性
例2
sin t (t) ?
t
sin t (t)
1 s2 1
sint (t) t
1 d s 2 1
arctan
s
2
arctan
s
arctan
1 s
例3
1 e2t ? t
1 e2t 1 1 s s2
拉普拉斯变换的性质—时域和复频域的微积分特性
知识点K1.08
拉普拉斯变换的性质—时域和复频域的微积分特性
主要内容：
1.拉普拉斯变换的时域微积分性质 2.S域的微积分性质
基本要求：
1.掌握拉普拉斯变换的时域和复频域的微积分特性 2.结合性质计算信号的拉氏变换
1
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
(t) f (t) d F(s) ds
(t)n
f
(t)
dn F(s) d sn
f (t)
F ()d
t
s
例1 t2e-2t(t) ←→ ?
e-2t(t) ←→ 1/(s+2)
z变换期末总结
z变换期末总结首先，我将总结 Z 变换的基本概念和特性。
Z 变换是一种离散域信号处理工具，它将离散时间信号转化为 Z 域的函数。
Z 域上的运算与连续时间域上的拉普拉斯变换类似，可以进行信号的加法、乘法、卷积等运算。
Z 变换的定义为：\[ X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}\]其中，X(z) 为离散时间信号 x[n] 的 Z 变换，z 为复变量。
通过 Z 变换，我们可以将离散时间信号转化为分式表达式，从而方便地分析和设计数字滤波器。
Z 变换具有许多重要的特性和性质。
首先是线性性质，在时域上线性系统对应于 Z 变换域上的线性运算。
其次是平移性质，即时间域上的延时对应于 Z 变换域上的乘以 z 的幂。
然后是共轭对称性质，在实序列的 Z 变换中，X(z) 的共轭一定存在。
最后是时域与 Z 变换域的对应关系，通过 Z 变换和逆 Z 变换可以在时域和 Z 变换域之间相互转换。
其次，我将总结 Z 变换的应用。
Z 变换广泛应用于数字滤波器的分析与设计。
通过 Z 变换，我们可以将差分方程表示的数字滤波器转化为 Z 变换域上的传递函数表达式，从而方便地分析滤波器的频域特性、稳定性和实现方法。
在滤波器设计中，我们可以通过变换域的频率响应来选择合适的滤波器类型，并通过对频率响应的要求来确定滤波器的参数。
此外，Z 变换还可以用于系统的稳定性分析与控制设计。
通过 Z 变换，我们可以将离散时间系统转化为 Z 平面上的传递函数，从而方便地分析系统的稳定性和控制性能。
在控制系统设计中，我们可以通过对系统零点和极点的分布进行分析，来优化系统的稳定性和动态响应。
最后，我将总结我在学习 Z 变换过程中遇到的困难与解决方法。
在初次接触 Z 变换时，我对其概念和运算规则不够清晰，导致在推导过程和习题解答中经常出现错误。
为此，我通过多次阅读课本和参考资料，结合老师的讲解和示例，慢慢理解了 Z 变换的基本概念和运算规则。
(精品)信号与系统(吴大正)--完整版答案--纠错修改后版本
第一章 信号与系统1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。
（2）∞<<-∞=-t et f t,)( （3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f kε= （10）)(])1(1[)(k k f kε-+=解：各信号波形为（2）∞<<-∞=-t e t f t,)(（3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε=（5）)(sin )(t r t f =（7）)(2)(k t f k ε=（10）)(])1(1[)(k k f k ε-+=1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。
（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k---=εε 解：各信号波形为（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(kkkf k---=εε1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。
1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。
1-5 判别下列各序列是否为周期性的。
如果是，确定其周期。
z变换的基本知识
z变换基本知识1 z变换定义连续系统一般使用微分方程、拉普拉斯变换的传递函数和频率特性等概念进行研究。
一个连续信号的拉普拉斯变换是复变量的有理分式函数；而微分方程通过拉普拉斯变换后也可以转换为的代数方程，从而可以大大简化微分方程的求解；从传递函数可以很容易地得到系统的频率特征。
因此，拉普拉斯变换作为基本工具将连续系统研究中的各种方法联系在一起。
计算机控制系统中的采样信号也可以进行拉普拉斯变换，从中找到了简化运算的方法，引入了z变换。
连续信号通过采样周期为T的理想采样开关采样后，采样信号的表达式为（1）对式（1）作拉普拉斯变换（2）从式（2）可以看出，是的超越函数，含有较为复杂的非线性关系，因此仅用拉普拉斯变换这一数学工具，无法使问题简化。
为此，引入了另一个复变量“z”，令（3）代入式（2）并令，得（4）式（4）定义为采样信号的z变换，它是变量z的幂级数形式，从而有利于问题的简化求解。
通常以表示。
由以上推导可知，z变换实际上是拉普拉斯变换的特殊形式，它是对采样信号作的变量置换。
的z变换的符号写法有多种，如等，不管括号内写的是连续信号、离散信号还是拉普拉斯变换式，其概念都应该理解为对采样脉冲序列进行z变换。
式（1），式（2）和式（3）分别是采样信号在时域、域和z域的表达式，形式上都是多项式之和，加权系数都是，并且时域中的域中的及z域中的均表示信号延迟了拍，体现了信号的定时关系。
在实际应用中，采样信号的z变换在收敛域内都对应有闭合形式，其表达式是z的有理分式（5）或的有理分式（6）其分母多项式为特征多项式。
在讨论系统动态特征时，z变换写成零、极点形式更为有用，式（5）可改写为式（7）（7）2 求z变换的方法1）级数求和法根据z变换定义式（4）计算级数和，写出闭合形式。
例1求指数函数的z变换。
解连续函数的采样信号表达式为对应的z变换式为上式为等比级数，当公比时，级数收敛，可写出和式为。
例2求单位脉冲函数的z变换。
K1.08 时域和复频域的微积分特性
知识点K1.08拉普拉斯变换的性质—时域和复频域的微积分特性主要内容：1.拉普拉斯变换的时域微积分性质2.S域的微积分性质基本要求：1.掌握拉普拉斯变换的时域和复频域的微积分特性2.结合性质计算信号的拉氏变换K1.08 拉普拉斯变换的性质—时域、复频域的微积分一、时域微分特性若f (t ) ←→ F (s ) , Re[s ]>σ0, 则 f '(t ) ←→ sF (s ) –f (0-)f ''(t ) ←→ s 2F (s ) –sf (0-) –f '(0-)若f (t )为因果信号，则f (n )(t ) ←→ s n F (s ) 例1δ(n )(t ) ←→?例2?]2[cos d d←→t t 例3 ?)](2[cos d d←→t t t εn s224s s +244s -+二、时域积分特性若f (t ) ←→ F (s ) , Re[s ]>σ0, 则例1 t 2ε(t )←→?)(d )(0t t x x t εε=⎰⎰⎰==⎪⎭⎫ ⎝⎛ttt t x x x x x 0220)(2d )(d )(εεε322)(st t ←→ε01()d ()t f x x F s s -←→⎰01()d ()nt nf x x F s s -⎛⎫←→ ⎪⎝⎭⎰(1)11(1)()()d ()(0)t ft f x x s F s s f------∞=←→+⎰例2 已知因果信号f (t )如图,求F (s )。
f (t )t22解：对f (t )求导得f '(t )，如图f '(t )t(-2)120)0()(d )('0---=⎰f t f x x f t 由于f (t )为因果信号，故f (0-)=0⎰-=t xx f t f 0d )(')(由于f '(t )=ε(t )–ε(t –2) –2δ(t –2)←→ F 1(s )ss s22e2)e 1(1----=ss F s F )()(1=若f (t )为因果信号，已知f (n )(t ) ↔F n (s ) 则f (t ) ↔F n (s )/s n三、s 域微分和积分若f (t ) ←→ F (s ) , Re[s ]>σ0, 则例1t 2e -2t ε(t ) ←→ ?e -2t ε(t ) ←→1/(s +2)t 2e -2t ε(t ) ←→322)2(2)21(d d +=+s s s d ()()()d F s t f t s-←→d ()()()d nnnF s t f t s-←→()()s f t F d tηη∞←→⎰例2?)(sin ←→t ttε11)(sin 2+←→s t t εss t ttss1arctan arctan 2arctan d 11)(sin 2=-==+←→∞∞⎰πηηηε例3?e12←→--t t211e12+-←→--s s t2111111112()d ln ln22tsss e s s ts s s s-∞∞-+←→-==++⎰。
z变换知识点总结
z变换知识点总结一、引言在信号处理领域中，z变换（Z-transform）是一种重要的数学工具，用于分析和处理离散时间信号。
与连续时间信号相对应的拉普拉斯变换用于处理连续时间信号，而z变换则用于处理离散时间信号。
z变换可以将离散时间信号转换为复变量域中的复数函数，从而更容易地进行信号分析和处理。
本文将对z变换的基本概念、性质、逆z变换、收敛域、z变换与拉普拉斯变换的关系以及在数字滤波器设计中的应用等知识点进行总结和讨论。
二、z变换的基本概念1. 离散时间信号的z变换对于一个离散时间信号x[n]，其z变换定义如下：X(z) = Z{x[n]} = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] z^(-n)其中，z是一个复数变量，n为离散时间序列，x[n]是每个时间点上的信号值。
2. z变换的双边z变换和单边z变换双边z变换定义在整个序列上，包括负无穷到正无穷的所有时间点。
而单边z变换定义在0和正无穷之间的时间点上，通常用于信号的因果系统的分析。
3. z域表示z变换把离散时间信号的时域表示转换为z域表示。
z域是复平面上的一种表示，其中z = a + jb，其中a为实部，b为虚部。
z域表示包含了离散时间信号的频率、相位和幅值信息。
三、z变换的性质1. 线性性质类似于连续时间信号的拉普拉斯变换，z变换也具有线性性质，即对于任意常数a和b，有Z{a x1[n] + b x2[n]} = a X1(z) + b X2(z)。
这意味着z变换对于信号的线性组合保持封闭性。
2. 移位性质类似于连续时间信号的移位特性，z变换也具有移位性质，即Z{x[n-k]} = z^(-k) X(z)，其中k是任意常数。
这意味着z变换对于离散时间信号的时移操作具有相应的变换规律。
3. 初值定理和终值定理z变换有类似于连续时间信号的初值定理和终值定理。
初值定理表示当n趋向负无穷时，z变换为Z{x[0]}。
终值定理表示当n趋向正无穷时，z变换为Z{x[∞]}。
z变换总结
z变换总结什么是z变换z变换是一种在信号处理和控制系统中广泛使用的数学工具，用于在z平面上对离散信号进行分析和处理。
它可以将一个离散时间序列转换为复平面上的函数，从而使得离散信号的频域特性能够被研究和分析。
z变换的公式表示如下：$$ X(z) = \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty}{x(n) \\cdot z^{-n}} $$其中，X(z)是信号的z变换，x(n)是离散时间信号。
z变换的性质z变换具有一些重要的性质，这些性质有助于简化信号处理过程，并且在频域分析中提供了有用的工具。
线性性质z变换是线性的，即对于任意常数a和b，满足以下等式：$$ a \\cdot X_1(z) + b \\cdot X_2(z) = a \\cdot \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty}{x_1(n) \\cdot z^{-n}} + b \\cdot \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty}{x_2(n) \\cdot z^{-n}} $$移位性质当信号在时间域中发生平移时，其在z变换中的表示也会相应地发生平移。
假设信号x(n)的z变换为X(z)，那么对于平移k个单位的信号x(n−k)，其z变换为$z^{-k} \\cdot X(z)$。
延时性质信号在时间域中的延时操作可以通过z变换的乘法操作来表示。
假设信号x(n)的z变换为X(z)，那么对于延时k个单位的信号x(n+k)，其z变换为$z^{k}\\cdot X(z)$。
单位样本响应性质单位样本是一个离散时间信号，只在n=0处取值为1，其它时刻均为0。
单位样本的z变换表示为X(z)=1。
倒置性质信号在时间域中的倒置操作可以通过z变换的操作来表示。
假设信号x(n)的z变换为X(z)，那么倒置后的信号x(−n)的z变换为X(z−1)。
z变换与傅里叶变换的关系z变换是傅里叶变换的离散形式，通过在z平面上进行积分，可以将离散信号转换为连续信号，从而进行频域分析。
信号与线性系统分析吴大正习题答案
专业课习题解析课程西安电子科技大学844信号与系统精选专业课习题解析课程第2讲第一章信号与系统（二）精选精选1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。
（2）∞<<-∞=-t et f t,)( （3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f kε= （10）)(])1(1[)(k k f kε-+=解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t et f t,)(（3）)()sin()(t t t f επ=（4）)fε=t)(sin(t（5）)tf=r(t)(sin精选（7）)t(kf kε=)(2（10）)f kεk-=(k+(])1()1[精选精选1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。
（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k---=εε 解：各信号波形为（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t rt rt rtf（5）)2()2()(ttrtf-=ε精选精选（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(kkkf k---=εε精选1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。
精选1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。
Z变换的基本性质
z 2 X z x 2 z 1 x 1 X
11
第
证明左移位性质 页
根据单边z变换的定义，可得
Zxkm k xkm zk k0
zm xkmzkm k0
令 nkmzm xnzn nm
zmxnznm 1xnzn
n0
n0
zmXzm n01xnzn
X
12
第
(2)右移位性质 页
xkm ,xkm 只是位置 xk的 变长 化度 ，
X
9
第
(1)左移位性质
页
若 x (k )(k ) X (z) z
则 x ( k m )( k ) z m X (z ) m 1 x ( k )z k z
k 0
其中m为正整数
x k 1 ( k ) z z X z 0 x
11页页线性性质移序性质序列乘k性质序列线性加权z域尺度变换性质序列指数加权初值定理终值定理时域卷积定理z域卷积定理自学反映离散信号在时域特性和z域特性之间的关系以上性质无特别说明既适用于单边也适用于双边
1
第二节 Z变换的性质
第 页
反映离散信号在时域特性和z域特性之间的关系 线性性质 移序性质 序列乘K性质（序列线性加权） Z域尺度变换性质（序列指数加权） 时域卷积定理
z域卷积定理（自学）
初值定理
以上性质无特别说明既适用于单边也适用于双边.
X
2
一．线性 (叠加性和齐次性）
第
页
若Zx1(k)X1(z)
zRx1
Zx2(k)X2(z)
zRx2
则Za1x (k)b2x(k)a1 X (z)bX 2(z)
a,b为任意常数。
ROC：一般情况下，取二者的重叠部分
z变换的时域扩展定理
z变换的时域扩展定理
时域扩展定理是指对于一个离散时间复序列x(n)，其z变换为X(z)，有如下的时域扩展定理：
- 如果x(n)的序列长度是N，且其z变换存在于单位圆周|z|=1内，即X(z)在单位圆周上有收敛区域，则在单位圆周上的任
意点z上，x(n)的时域扩展序列可以通过下式计算：
x(n) = \frac{1}{2πi}\oint_{C}\frac{X(z)}{z^{n+1}}dz
其中，C是单位圆周的逆时针方向积分路径，上式表示了x(n)可以通过逆z变换得到。
这个定理表明，如果在z变换存在的单位圆周上有收敛区域，那么对于任意点z，都可以通过逆z变换计算得到序列x(n)，其中逆z变换的路径是单位圆周C。
这个定理是z变换与逆z 变换的一个重要性质，在离散信号处理中经常被使用到。
Z4.23 时域微积分特性
sgn(t)
2
j
根据对称性，
2 2 sgn()
jt
1 j sgn()
t
根据时域微分特性，
d dt
1 t
1 t2
(
j)
j
sgn()
sgn()
1 sgn() | |
t2
3
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4.5傅里叶变换的性质
4.5傅里叶变换的性质
第四章 傅里叶变换与频域分析
推论2：
若 f (n) (t) Fn ( j) 且 [ f ( ) f ()] 0
则
f (t )
Fn ( j )
j n
例2 f (t) F( j) ?
解: f (t) (t 2) 2 (t) (t 2)
F2 ( j) e j2 2 e j2 2cos2 2
t f (x) d x (t) * f (t) [ () 1 ]F( j) F(0) () F( j)
j
j
2
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4.5傅里叶变换的性质
第四章 傅里叶变换与频域分析
例1
f
(t)
1 t2
F(
j)
?
解:
F( j) 2
f () ()
1
j
F1 (
j) [
f
()
f
()] ()
所以
F( j)
1
j
F1 ( j) [ f ()
f ()] ()
示例:
dε(t)/dt = (t) ←→ 1
s域和z域分析【精选】
n1 n1
0,n2 0,n2
0时,0 0时,0
z z
n1 0,n2 0时,0 z
j Im[ z ]
Re[ z ]
(2)右边序列：只在n n1 区间内，有非零的有限值的序列
X (z) x(n)zn nn1
n1 n
六、连续时间信号与系统的 s域分析
1.熟练掌握单边Laplace变换及其基本性质和Laplace 反变换。 2.掌握用单边Laplace求解连续系统响应的零输入响应 和零状态响应。 3.重点掌握系统的传输函数，及系统函数与系统特性 （频响特性、因果性、稳定性）的关系。
(一)单边拉普拉斯变换的定义：
N
k 0
ak
zkY
(z)
M r0
br
zr
X
(z)
1 mr
x(m) z m
如果x(n)为因果序列，则
N
M
ak zkY (z) br zr X (z)
k 0
圆外为
收敛域 jIm[z]
n1 0,收敛域包含z ,即 z Rx1
n1
0,收敛域不包含z
,即Rx1
z
Re[ z ]
(3)左边序列：只在 n n2区间内，有非零的有限值的序列
n2
X (z) x(n)zn
n n2
n
圆内为收敛域， 若n2>0则不包
括z=0点
j Im[ z ]
Re[ z ]
(4)双边序列：在 n 区间内，有非 x(n)zn
微积分ivt
微积分ivt微积分IVT（Intermediate Value Theorem）是微积分中的一个重要定理，它是由法国数学家Darboux在19世纪提出的。
IVT是微积分中的基本定理之一，它建立了函数连续性和函数在某个区间上取值之间的关系。
下面我们就来详细介绍一下微积分IVT的概念和应用。
微积分IVT的核心思想是：如果一个函数在一个闭区间上是连续的，并且在这个区间的两个端点的函数值有不同的符号，那么在这个区间内，函数一定会取到某个特定的值。
换句话说，如果一个连续函数从一个值A到另一个值B，那么它在这两个值之间一定会经过所有的中间值。
这个定理的应用非常广泛，比如在实际生活中，我们经常遇到需要证明某个物理量在某个时间点或某个位置点取到某个值的问题，这时候就可以使用IVT来解决。
比如我们想证明某个人在某个时间点一定会经过某个地点，只需要证明这个人在这个时间段内的速度是连续的，并且在起点和终点的速度有不同的符号，那么根据IVT定理，这个人一定会经过这个地点。
在数学领域，微积分IVT也有着广泛的应用。
比如在函数的根的求解中，我们经常需要证明函数在某个区间内存在根，这时候就可以使用IVT来证明。
又比如在函数的极值问题中，我们需要证明函数在某个区间内取到极值，也可以使用IVT来解决。
在证明IVT的过程中，我们需要使用到函数的连续性和介值性质。
连续性是指函数在某个区间上的数值变化不会出现突变或跳跃，而是平缓地变化。
介值性质是指函数在某个区间上可以取到区间内的所有值。
这两个性质是IVT的前提条件，没有这两个条件的话，IVT 是不成立的。
IVT定理的证明可以通过构造一个辅助函数来完成。
这个辅助函数是一个实数函数，它的定义域是给定的闭区间，而值域是一个开区间。
通过对这个辅助函数的构造，可以证明它满足连续性和介值性质，从而得出IVT成立的结论。
总结一下，微积分IVT是微积分中的一个重要定理，它建立了函数连续性和函数在某个区间上取值之间的关系。
微积分讲座---Z4.3 帕斯瓦尔定理
知识点Z4.3
帕斯瓦尔定理
1.信号的能量 2.帕斯瓦尔定理
基本要求：
1.掌握信号能量的基本概念 2.了解帕斯瓦尔方程的物理含义和数学本质
1
4.1信号分解为正交函数
第四章 傅里叶变换与频域分析
Z4.3 帕斯瓦尔定理 帕斯瓦尔方程：
t2 f 2 (t)dt
t1
i1
t2 t1
[Cii
(t
)]2dt
信号的能量
各正交分量的能量
物理意义：在区间(t1,t2)， 信号f(t)所含有的能量恒等于 此信号在完备正交函数集中各正交分量能量之和，即 能量守恒定理, 也称帕斯瓦尔定理。
数学本质：矢量空间信号正交变换的范数不变性。
2
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第四章 傅里叶变换与频域分析
推论1：
若 f (t) F1( j)
则 f (t)
F1 ( j ) [ f ( ) j
f ()] ( )
证明：
f (t) f ()
t d f ( ) d d
1
j
F1 (
j)
d f (t) d t ()
d t
1
j
F1 (
j)
[
f
()
f ()] ()
4.5傅里叶变换的性质
第四章 傅里叶变换与频域分析
推论2：
若 f (n) (t) Fn ( j) 且 [ f ( ) f ()] 0
则
f (t )
Fn ( j )
j n
例2 f (t) F( j) ?
解: f (t) (t 2) 2 (t) (t 2)
F2 ( j) e j2 2 e j2 2cos2 2
F( j) 2
f () ()
1
j
F1 (
j) [
f
()
f
()] ()
所以
F( j)
1
j
F1 ( j) [ f ()
f ()] ()
示例:
dε(t)/dt = (t) ←→ 1
4
ε(t) ←→ 1/(jω)+π (ω)
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sgn(t)
2
j
根据对称性，
2 2 sgn()
jt
1 j sgn()
t
根据时域微分特性，
d dt
1 t
1 t2
(
j)
j
sgn()
sgn()
1 sgn() | |
t2
3
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4.5傅里叶变换的性质
F(
j)
F2 ( j) ( j)2
2 2cos(2) 2
4 Sa2
5
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第四章 傅里叶变换与频域分析
时域微分： f (n) (t ) ( j )n F ( j )
时域积分：
t
f (x) d x
F(0) ()
F( j) j
其中
F (0) F ( j ) 0
f (t) d t
证明：
f (n) (t) (n) (t) * f (t) ( j)n F ( j)
4.5傅里叶变换的性质
知识点Z4.23
第四章 傅里叶变换与频域分析
时域微积分特性
主要内容：
时域微积分特性
基本要求：
掌握傅里叶变换时域微积分特性的基本概念
1
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4.5傅里叶变换的性质 Z4.23时域微积分特性 若 f (t) F( j)
t f (x) d x (t) * f (t) [ () 1 ]F( j) F(0) () F( j)
j
j
2
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4.5傅里叶变换的性质
第四章 傅里叶变换与频域分析
例1
f
(t)
1 t2
F(
j)
?
解: