格与布尔代数 课件

设<L;∨,∧ >是一个代数系统，其中∨和 <L ∨ ∧ 是一个代数系统，其中∨ 都是二元运算，满足交换律，结合律和吸收律，则在L ∧都是二元运算，满足交换律，结合律和吸收律，则在L上必 存在一偏序关系，使得<L 是一个格。 存在一偏序关系，使得<L ; ≤ >是一个格。 上定义二元关系： 在L上定义二元关系：对任意 l1,l2,∈L 当且仅 上定义二元关系 当 l1 ∨l2 =l1 时，有 l2 ≤ l1。 可以证明关系≤是L上的自反，反对称和可传递的关 可以证明关系≤ 上的自反， 系，因此≤是L上的偏序关系。 因此≤ 上的偏序关系。 进一步还可以证明， 进一步还可以证明，对任意 l1,l2 ∈L l1 ∨l2是 ， 在偏序关系≤ 的最小上界， 1 在偏序关系≤意义下 l 和 l2的最小上界， l l2 是 1
定理5-4 定理5
（吸收律） 吸收律）
设＜L；≤＞是格，则对任意 ； ＞是格，
l1, l2 ∈L，有
(a) l1 ∨(l1 ∧l2) =l1 ;
(b) l1 ∧(l1 ∨l2) =l1 l1 ∧(l1 ∨l2) ≤l1 () 1
证明
(b) 由（5-4）
另一方面， 另一方面，由（5-1）l1 ≤l1, 由5−4 ) l1 ≤l1 ∨l2 ′ ( 于是， 于是，由（5-5） ）
格既可以看作是一个偏序集<L； 格既可以看作是一个偏序集<L；≤ >， <L 也可以看作是一个代数系统<L； 也可以看作是一个代数系统<L； <L
例3 在全集合 U 的幂集 2U =
包含关系“ 包含关系“ ” ⊆是
{
S | S ⊆U} 上的
因为对任意S 因为对任意 i
总有S 是自反的。 ∈2 ，总有 ⊆S ，所以 ⊆是自反的。
l1 ≤l1 ∧(l1 ∨l2)
（2） ）
由（1)、(2）和反对称性 1)、(2）
得 l1 ∧(l1 ∨l2) =l1 .
定理5 定理5-5
（等幂律） 等幂律）
设＜L；≤＞是格，则对任意 l ∈L，有 是格，
(a) l ∨l =l ;
证明
(b) l ∧l =l .
（a）由定理5-17 , 由定理5
在格＜ 在格＜L；≤>中有如下四个关系式成立: 中有如下四个关系式成立:
l1 ∧l2 ≤l1 , l1 ∨l2 ≥l1 ,
l1 ∧l2 ≤l2 l1 ∨l2 ≥l2
(5 − 4) (5−5′ ) (5−4′ ) (5−5′ )
若3 ≤l1 ,l3 ≤l2 ,则3 ≤l1 ∧l2 l l 若3 ≥l1 , l3 ≥l2 ,则3 ≥l1 ∨l2 l l
S2={φ,{a},{ c},{a, c}} S3={φ,{a},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} <S1；∪，∩>是<2U；∪，∩>的子格。 的子格。 也是<2 的子格。 <S2；∪，∩>也是<2U；∪，∩>的子格。 S3不能与这两个运算构成<2U；∪，∩>的子格。 不能与这两个运算构成<2 的子格。
(1 (l1 ∨l2 =l1); (2) (l1 ∧l2 =l2); ) (3) (l2 ≤l1)
证明
① =＞ ②
设 l1 ∨l2 =l1
，
（ ） l 由 5−4 有2 ≤l1 ,又 自 性2 ≤l2, 由 反 l
于 由 5−5 l2 ≤l1 ∧l2 . 是 （ ）
一 面由 ( ) 另 方 ， 5−4 l1 ∧l2 ≤l2 , 由 对 性 l1 故 反 称 有 ∧l2 =l2
(5−1 ~ (5−5)、 −1) ~ (5−5′)这 个 ) (5 ′ 十 关 式 表 格 定 。 系 代 了 的 义
2．格的性质 定理5 在格<L <L； 定理5-1 在格<L；≤>中，对于任意 l1,l2 ∈L
以下三式中若任意一式成立，那么其它两式也成立. 以下三式中若任意一式成立，那么其它两式也成立.
∨
若<L；≤>是一个格，则意味着<L；≤>也是一个形 <L； 是一个格，则意味着<L； <L 为<L； ， ∨ <L； >的代数系统，其中 和 是L上的两个 的代数系统， ∨ ∧ 二元运算， 二元运算，对于任意 ， l2 ∈L l1∨ 2 ， 表示在偏序 l l1 l l 意义下， l 的最小上界， “≤”意义下l1 和2 的最小上界， l2 表示1 和2 ， l1∧ 的最大下界。 的最大下界。
定理5 定理5-2（交换律） 交换律） 设<L；≤>是格，则对任意的 l1,l2 ∈L <L； 是格， 有:
(a) l1 ∨l2 =l2 ∨l1 (b) l1 ∧l2 =l2 ∧l1
定理5 定理5-3
（结合律） 结合律）
设<L；≤>是格，则对任意的 l1 ,l2 ,l3 ∈L，有 <L； 是格，
上界。即lub(Si，Sj)= Si∪Sj。 上界。 类似地可以证明， 类似地可以证明，对任意 si , sj ∈2U，glb(si,sj)=si∩sj 因此<2 因此<2U，⊆ >是一个格
另一方面，集合的并运算和交运算和2 另一方面，集合的并运算和交运算和2U构成代数系统 因为运算∪ 都满足交换律， <2 U；∪；∩>，因为运算∪和∩都满足交换律，结合律 和吸收律，因此<2 是一个格。 和吸收律，因此<2U；∪；∩>是一个格。
例4
设U={a,b,c}
则 2U={φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} 格<2U；⊆ >对应的代数系统形式的格是<2U；∪，∩>. 对{a} {a,c} {b} {b,c} {c}
令
φ S1={{b},{a,b}{b,c},{a,b,c}}
第五章
格与布尔代数
本章在了解了代数系统一般概念的基础上， 本章在了解了代数系统一般概念的基础上，着重介绍的 包含有两个代数运算的代数系统:格和布尔代数。 包含有两个代数运算的代数系统:格和布尔代数。主要讨 论这些代数系统的相关基本概念和性质 主要内容如下： 主要内容如下： 5.1 5.2 5.3 格； 分配格和有补格； 分配格和有补格； 布尔代数
∧
例1
e d c a
试判断下列次序图给出的偏序集哪些是格？ 试判断下列次序图给出的偏序集哪些是格？ f e d b b a h f d b g e c c
(a)
(b)
15 5
30 10 3 1 6 2
解
a 不是格， （a）不是格，
(c)
(b)不是格， (b)不是格， 不是格
(d)
(c)是一个格， (c)是一个格， （d）是一个格 是一个格
② => ③
设 l1 ∧l2 =l2 ,
( ) 由5−4 l ∧l ≤l ,即 l ≤l 1 2 1 2 1
③ => ① 设
l2 ≤l1 ,
由 反 l1 ≤l1 , 因 1 ≥ l1 , l1 ≥ l2 , 自 性 此 l
由 5 5′ l1 ≥l1 ∨l2 , （－ ）
由 对 性 故 反 称 l1 ∨l2 = l1 . 定 结 得 。 理 论 证
定理5 定理5-8
∧
1和
的最大下界。 l 2的最大下界。 l 故<L； <L； 是一个格。 ∧，∨>是一个格。
定义5 定义5-3
统， 和 是 ∨ ∧
设<L； <L；
上的两个二元运算， L 上的两个二元运算，如果这
， > ∨ ∧是一个代数系
两个运算满足交换律，结合律和吸收律， 两个运算满足交换律，结合律和吸收律，则 称<L； <L； 是格。 ∨，∧>是格。 ， > ∨ ∧。
三 子格
定义5 <L； ,∧>是格 如果<T 是格， <T； <L； 定义5-4 设<L；∨,∧>是格，如果<T；∨,∧ >是<L；
的子代数，则称<T <T； <L； ∨ ,∧ > 的子代数 ， 则称 <T ； ∨ ,∧ > 是 <L ； ∨ ,∧ > 的子 格。 子格也是一个格。 子格也是一个格。
′ 是 由 又已知 l3 ≥l2.于 ， (5−3 ) l1 ∨l3 ≥l2
因为 所以由(1)有 l1 ≤l3 所以由 有 l1 ∧l2 ≤l3 ∧l2 ② 由①,②和 （－′ ，1 ∨l3 ≥l1 ∨l2 l1 ∨l2 ≤l1 ∨l3 5 5） l 即
为 因 l2 ≤l4， 以 (1 有3 ∧l2 ≤l3 ∧l4 所 由) l
U i i
上的一偏序关系。 2U 上的一偏序关系。
对任意Si , Sj 对任意S
∈2
U
, 若Si
则必有S 则必有Si = Sj ，所以 对任意S 对任意Si 则必有S 则必有Si
,
⊆ 是反对称的。 是反对称的。
⊆ Sj ，且Sj ⊆Si
，
是可传递的。 ⊆ Sk，所以 ⊆是可传递的。 因此<2 是一偏序集。 因此<2U； ⊆>是一偏序集。
( l ∨l =l ∨ l ∧( l ∨l ) )
=l
定理5 定理5-6
（格的保序性） 格的保序性）
设＜L；≤＞是格，则对于任意 l1,l2,l3,l4 ∈L ，有 是格，
l 1 若 （） l2 ≤l3,则1 ∨l2 ≤l1 ∨l3 ,l1 ∧l2 ≤l1 ∧l3 2 若 l （ ） l1 ≤l3,l2 ≤l4, 则1 ∨l2 ≤l3 ∨l4 , l1 ∧l2 ≤l3 ∧l4 证明 （1） l1 ∨l3 ≥l1 l1 ∨l3 ≥l3 ①