用函数观点看一元二次方程终稿
用函数观点看一元二次方程
2
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(2)抛物线y m x 3x 3m m 经过原点, 则其顶点 (3)关于x的一元二次方程x x n 0没有实数根, 则
2
2
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抛物线y x x n的顶点在( A ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
x ①
x
2Hale Waihona Puke 2 xy ②2由①②消去y得S 3x 5 x
5 2 5 5 5 25 当x 时， 3（ ） 5 （米 ） S 最大 2 （ 3） 6 6 12 6
答：略。
2
； /waiyu/info-18-1/ 英语学习机构 ；
2 2 2 2 2
x
2
x 1 0没有实数根 .
一般地, 从二次函数y a x bx c的图象可知 , (1)如果抛物线y a x bx c与x轴有公共点 , 公共点 的横坐标是x x0 时,函数的值是0,因此x x0 就是 方程a x bx c 0的一个根.
以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时, 球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,球 的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t (单位:s)之间具有关系.
h 20t 5 t
2
考虑以下问题: (1)球的飞行高度能否达到15m?如能, 需要多少飞行时间? (2)球的飞行高度能否达到20m?如能, 需要多少飞行时间? (3) 球的飞行高度能否达到20.5m?为什么? (4)球从飞出到落地要用多少时间?
2 2
2
(2)二次函数的图象与 x轴的位置关系有三种 :
用函数观点看一元二次方程
y Y=x² -x+1
（1）设y=0得x2+x-2=0 y x1=1，x2=-2 ∴抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共 -x+1 点，公共点的横坐标分别是1和-2， Y=x² 当x取公共的的横坐标的值时，函 Y=x² +x-2 数的值为0. （-2、0） （2）设y=0得x2-6x+9=0 x1=x2=3 ∴抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点， 公共点的横坐标是3当x取公共点的横坐 标的值时，函数的值为0. （3）设y=0得x2-x+1=0 ∵b2-4ac=（-1）2-4*1*1=-3＜0 ∴方程x2-x+1=0没有实数根 ∴抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点
3.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-1,由 图象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是 -3.3 x1=1.3 ,x2=＿＿＿ y
3
-1
o
.
1.3
A X=-1
思考：已知抛物线y=x2 + mx +m – 2 求证: 无论 m取何值,抛物线总与x轴有两个交点.
x
冲击中考:
（2、20）
t
?
从以上可以看出, 已知二次函数y的值为m，求相应自变量x的 值，就是求相应一元二次方程的解.
例如,已知二次函数y=-X2+4x的值为3,求自变 量x的值. 就是求方程3=-X2+4x的解, 例如,解方程X2-4x+3=0 就是已知二次函数y=X2-4x+3的值为0,求自变量 x的值. 结论：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为 x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标 是(x1,0),(x2,0)
初中数学用函数的观点看一元二次方程课件
三、拓展应用
例题1、若方程x2+bx+c=0的两个根是－3和1，那么二 次函数 y=x2+bx+c 的图象位于x轴上方时，自变量x的 取值范围是多少？若位于x轴下方呢？
y
上方：x<-3或x>1
下方： -3 < x<1
不等式-x+3> x2+2x的解是：-3.8<x<0.8
说一说你能根据图像得到哪些信息？
思考：
你能根据方程组：
y＝x2
y＝bx＋c
的解的情况，来判定函数y＝x2与y＝bx＋c
图象交点个数吗?请说说你的看法。
又怎样判定方程组： 的解的情况呢？
y＝x2 y＝bx＋c
观察函数y=x2-2x-3的图象,利用图象回答:
y
-1 01
x
下列情形时,如果a＜a>00,,抛物线y=ax2+bx+c的顶点在 什么位置? (1)方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根; 顶点在x轴下方 (2)方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根; 顶点在x轴 (3)方程ax2+bx+c=0没有实数根. 顶点在x轴上方
y
-1 01
x
欲求y x2 4x 3与x轴的交点，令y=__0_,化为
方程__x_2___4_x___3___0__,解得x 1
__-_1_,
x2Leabharlann __-_3_,y x2 4x 3与x轴交点坐标为_（__-_1_,0_）____（_-_3_,0_）
用函数观点看一元二次方程
用函数观点看一元二次方程一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：● 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.●理解抛物线交x 轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根. ●能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.重点难点：● 重点：体会方程与函数之间的联系.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.●难点：探索方程与函数之间关系的过程.理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.学习策略：对于本节的学习，应由底到高处理好如下三个方面的问题： ●理解二次函数图象与x 轴的交点和一元二次方程的根的关系.掌握此点，关键是理解二次函数()20y ax bx c a =++≠图象与x 轴交点，即0y =，即()200ax bx c a ++=≠，从而转化为方程的根，再应用根的判别式，求根公式判断，求解即可.此点一定要结合二次函数的图象加以记忆. ● 会利用图象法求一元二次方程的近似解.●理论与实践相结合，即用二次函数知识解决实际问题.二、学习与应用一元二次方程根的情况：对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，其中，24b ac ∆=-称为一元二次方程根的判别式．（1）当240b ac ∆=->时，原方程有 实数根1x = ，2x = ； （2）当240b ac ∆=-=时，原方程有 实数根12x x == ；（3）当240b ac ∆=-<时，原方程 实数根.“凡事预则立，不预则废”。
科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？知识点一：（一）函数()20y ax bx c a =++≠，当y =时，得到一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.（1）当二次函数的图象与x 轴有 交点，这时240b ac ∆=->，则方程有 实根；（2）当二次函数的图象与x 轴有 交点，这时240b ac ∆=-=，则方程有 实根；（3）当二次函数的图象与x 轴 交点，这时240b ac ∆=-<，则方程 实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：()240b aca ∆=-≠0∆>0∆= 0∆<2y ax bx c =++()0a >的图象20ax bx c ++=()0a >的解方程有实数解方程有 实数解2bxa=-方程 实数解要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由 的值来确定.（二）函数()20y ax bx c a =++≠与直线y h =的公共点情况⇔方程的根的情况.函数()20y ax bx c a =++≠与直线知识要点——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。
3.3.1 从函数观点看一元二次方程
3.3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式3.3.1从函数观点看一元二次方程课标要求素养要求1.了解一元二次方程的根与二次函数零点的关系.2.会用函数的图象判断一元二次方程的根的情况. 用二次函数的图象判断一元二次方程的根的情况，提升直观想象素养、逻辑推理素养.新知探究从前有一天，某人拿一竹竿对着大门比画：竹竿横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，斜着与门框的对角线长度相等.问题你知道竹竿有多长吗？提示设竹竿长为x，则列方程(x－4)2＋(x－2)2＝x2，求方程的根.1.二次函数的零点一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点.2.二次函数图象、一元二次方程的根与零点之间的关系(当a>0时)判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0方程ax2＋bx＋c＝0的根有两个相异实根x1，2＝－b±b2－4ac2a两相等实数x1＝x2＝－b2a没有实根二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点有两个零点x1，2＝－b±b2－4ac2a有一个零点x1＝x2＝－b2a无零点拓展深化[微判断]1.二次函数的零点是图象与x轴的交点.(×)提示零点不是点，是图象与x轴交点的横坐标.2.二次函数y＝ax2＋bx＋c一定有零点.(×)提示当Δ＝b2－4ac<0时，没有零点.3.二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点即为对应方程ax2＋bx＋c＝0的根.(√) [微训练]1.二次函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是________.解析方程2x2－3x＋1＝0的两根为x1＝1，x2＝12，故零点为1，12.答案1和1 22.二次函数y＝x2－x＋1有________个零点.解析∵Δ＝1－4＝－3<0，故没有零点.答案0[微思考]二次函数的零点与一元二次方程有何关系？零点是个点吗？提示二次函数的零点即对应一元二次方程的根，也是函数图象与x轴交点的横坐标.零点不是点，是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值为零.题型一二次函数零点的判断【例1】判断下列函数是否存在零点，若存在，求出零点.(1)y＝－x2＋2x＋3.(2)y＝x2－x－6.(3)y＝2x2＋3x＋2.解(1)由y＝－x2＋2x＋3＝0，∵Δ＝4＋4×3＝16>0，∴方程有两个不等实根，得x1＝－1，x2＝3.二次函数y＝－x2＋2x＋3有两个零点－1和3.(2)由y＝x2－x－6＝0得x1＝－2，x2＝3.∴二次函数y＝x2－x－6有两个零点－2和3.(3)由2x2＋3x＋2＝0得Δ＝9－4×2×2＝－7<0.∴方程没有实数根，即二次函数y＝2x2＋3x＋2没有零点.规律方法二次函数的零点就是相应一元二次方程的实数根，判断是否有零点，即用Δ＝b2－4ac判断一元二次方程的根的情况，解一元二次方程得函数的零点.也可画出函数的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数零点.【训练1】判断下列函数零点的个数.(1)y＝x2－7x＋12.(2)y＝x2＋1.(3)y＝3x2＋6x＋3.解(1)由y＝0，即x2－7x＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0，∴方程x2－7x＋12＝0有两个不等实根，即函数有两个零点.(2)由x2＋1＝0得Δ＝－4<0，即方程无实根，∴函数有0个零点.(3)由y＝0，即3x2＋6x＋3＝0，∵Δ＝36－4×3×3＝0.∴方程3x2＋6x＋3＝0有一个实数根，∴函数有一个零点.题型二函数零点与参数的值【例2】若函数y＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数y＝x2＋x－a其余的零点.解由题意知y|x＝－3＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6，∴y＝x2＋x－6.解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2.∴函数其余的零点是2.规律方法由函数的零点(方程的根)求参数的取值时，由条件构建关于参数的关系式；解关系式求参数值；结合一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac及根与系数的关系列式求解.【训练2】(1)已知函数y1＝x2－ax＋b有两个零点，则函数y2＝－bx2＋ax－1零点个数为________.(2)若函数y1＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数y2＝bx2－ax－1的零点是()A.－1，16 B.1，－16C.12，13 D.－12，－13解析(1)函数y1＝x2－ax＋b有两个零点，即方程x2－ax＋b＝0有两个不相等的实数根，或函数y1＝x2－ax＋b的图象与x 轴有两个不同的交点，因而Δ1＝a2－4b>0.对于函数y2＝－bx2＋ax－1，当b＝0，a≠0时，y2＝－bx2＋ax－1只有1个零点；当b≠0时，由于Δ2＝a2－4b>0，因而y 2＝－bx 2＋ax －1有2个零点.综上，函数y 2＝－bx 2＋ax －1的零点个数为1或2.(2)由2和3是函数的零点，故2＋3＝a ，2×3＝b ，∴a ＝5，b ＝6，则y 2＝6x 2－5x －1的零点为1，－16. 答案 (1)1或2 (2)B题型三 一元二次方程根的分布【例3】 已知一元二次方程x 2＋mx ＋1＝0的两根都在(0，2)内，求实数m 的取值范围.解 设y ＝x 2＋mx ＋1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4≥0，y |x ＝0＝1>0，y |x ＝2＝4＋2m ＋1>0，0<－m 2<2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－2或m ≥2，m >－52，－4<m <0，∴－52<m ≤－2. ∴实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－52，－2.规律方法 解决一元二次方程根的分布问题应注意 (1)可转化为函数问题，要画出符合题意的草图.(2)结合二次函数草图考虑四个方面；①Δ的大小；②对称轴与所给端点值的关系；③开口方向；④端点的函数值与零的关系. (3)列出不等式(组)，要验证图象是否符合.(4)若看根的正负问题，可利用根与系数的关系及根的判别式列式求解.【训练3】 (1)若函数y ＝x 2＋(1－m )x ＋m －2的一个零点大于0，另一个零点小于0，则实数m的取值范围是________.(2)若关于x 的方程4x 2＋(m －2)x ＋m －5＝0的一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(0，2)内，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫53，5 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，5 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，53∪(5，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，53 解析 (1)由题意知方程x 2＋(1－m )x ＋m －2＝0有两个异号的实数根.∴Δ＝(1－m )2－4(m －2)>0，x 1·x 2＝m －2<0，即m <2.(2)设y ＝4x 2＋(m －2)x ＋m －5，依题意得出函数f (x )的图象与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(0，2)内，画出函数的大致图象如图所示. 由图象得⎩⎪⎨⎪⎧y |x ＝－1>0，y |x ＝0<0，y |x ＝2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－（m －2）＋m －5>0，m －5<0，16＋2（m －2）＋m －5>0， 解得－73<m <5，故选B. 答案 (1)(－∞，2) (2)B一、素养落地1.结合二次函数的图象判断一元二次方程根的分布，提升直观想象素养和逻辑推理素养.2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的零点就是方程y ＝0的实数根，也就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交点的横坐标；所以函数的零点是一个数而不是一个点，在写函数零点时，所写的一定是一个数，而不是一个坐标.注意问题的相互转化.二、素养训练1.函数y ＝x 2＋x ＋3的零点个数是( ) A.0 B.1 C.2D.3解析 由x 2＋x ＋3＝0得Δ＝1－12<0，∴方程没有实数根，而函数没有零点. 答案 A2.函数y ＝2x 2－5x ＋2的零点是( ) A.(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0B.(－2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0C.2，12D.－2，－12 解析 由2x 2－5x ＋2＝0得x 1＝2，x 2＝12.且零点不是点的坐标. 答案 C3.若一元二次方程x 2－4x ＋2k ＝0有实数根，则k 的取值范围是________. 解析 由Δ＝16－8k ≥0，得k ≤2. 答案 (－∞，2]4.函数y ＝x 2－5x －14的零点是________. 解析 由x 2－5x －14＝0，得x 1＝－2，x 2＝7. 答案 －2和75.判断下列函数是否有零点，若有，求出零点. (1)y ＝x 2－3x －4； (2)y ＝x 2－4x ＋15.解 (1)由y ＝x 2－3x －4＝0，得x 1＝－1，x 2＝4. ∴函数y ＝x 2－3x －4有两个零点为－1和4.(2)由y＝x2－4x＋15＝0，因为Δ＝16－4×15<0，∴方程x2－4x＋15＝0没有实数解，则函数没有零点.基础达标一、选择题1.函数y＝－x2＋x＋2的零点个数是()A.0B.1C.2D.3解析由－x2＋x＋2＝0得Δ＝1＋8＝9>0，∴方程有两个实根，即函数有两个零点.答案 C2.已知关于x的方程x2－ax＋3＝0的一个根大于1，另一个根小于1，则实数a 的取值范围是()A.(4，＋∞)B.(－∞，4)C.(－∞，2)D.(2，＋∞)解析∵关于x的方程x2－ax＋3＝0的一个根大于1，另一个根小于1，∴令y＝x2－ax＋3，其图象开口向上，只需y|x＝1＝1－a＋3＝4－a<0，得a>4.故选A.答案 A3.若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足y|x＝1＝0，且a>b>c，则该函数的零点个数为()A.1B.2C.0D.不能确定解析由y|x＝1＝a＋b＋c＝0，又a>b>c，∴a>0，c<0，∴Δ＝b2－4ac>0，∴函数的零点有2个.答案 B4.若二次函数y ＝ax 2＋2x ＋1(a ≠0)有一个正零点和一个负零点，则有( ) A.a <0 B.a >0 C.a <－1D.a >1解析 法一 由y ＝ax 2＋2x ＋1(a ≠0)的图象过(0，1)点，要使函数的图象与x 轴的交点分别在y 轴的左右两侧，则a <0.法二 由方程ax 2＋2x ＋1＝0有两相异号实根，设两根为x 1，x 2，则x 1x 2＝1a <0，且Δ＝4－4a >0，∴a <0. 答案 A5.若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1，2，则函数y ＝cx 2＋bx ＋a 的零点为( ) A.1，2 B.－1，－2 C.1，12D.－1，－12解析 1和2是ax 2＋bx ＋c ＝0的两根， ∴－b a ＝3，ca＝2.则y ＝cx 2＋bx ＋a ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫c a x 2＋b a x ＋1＝a ·(2x 2－3x ＋1)＝a (x －1)(2x －1)，故零点为1，12.答案 C 二、填空题6.函数y ＝2x 2－ax ＋3有一零点为32，则y |x ＝1＝________. 解析 ∵32是函数的零点，∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－a ×32＋3＝0，∴a ＝5，∴y ＝2x 2－5x ＋3，∴y |x ＝1＝0. 答案 07.已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋c (a ≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________. 解析 ax 2＋2ax ＋c ＝0的一个根为1，设另一根为x 0.则1＋x 0＝－2，∴x 0＝－3.答案 －38.函数y ＝x 2－5x －6在区间[1，4]上的零点个数是________. 解析 由x 2－5x －6＝0得x 1＝－1，x 2＝6.即函数的零点是－1，6，∴函数在[1，4]上的零点个数为0. 答案 0 三、解答题9.已知二次函数y ＝－x 2－x ＋a 只有一个零点，求实数a 的值.解 二次函数y ＝－x 2－x ＋a 只有一个零点，即方程－x 2－x ＋a ＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝1＋4a ＝0.∴a ＝－14.10.已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋1有两个零点x 1，x 2且x 1∈(0，1)，x 2∈(－4，－2)，求a 的取值范围.解 因为y ＝ax 2＋2x ＋1有两个零点，则函数的图象过(0，1)且与x 轴有两个交点，又x 1∈(0，1)，x 2∈(－4，－2)，又∵y |x ＝0＝1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，y |x ＝1＝3a ＋1<0，y |x ＝－2＝1>0，y |x ＝－4＝8a ＋1<0，∴a <－13，即a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13.能力提升11.若函数y ＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1有且仅有一个零点，则a ＝________. 解析 当a ＝0时，由y ＝0得－2x －1＝0，即x ＝－12，符合题意； 当a ≠0时，ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0为一元二次方程有且仅有一个根. ∴Δ＝4(a ＋1)2－4a (a －1)＝12a ＋4＝0，∴a ＝－13. 答案 0或－1312.若关于x 的方程x 2＋2x －m ＋1＝0没有实数根，试说明关于x 的方程x 2＋mx ＋12m ＝1一定有实数根.解∵方程x2＋2x－m＋1＝0没有实数根，∴此方程的判别式Δ＝22－4×1×(－m＋1)<0，解得m<0.而方程x2＋mx＋12m＝1的根的判别式Δ′＝m2－4×1×(12m－1)＝m2－48m＋4，∵m<0，∴m2>0，－48m>0，∴m2－48m＋4>0，即Δ′>0，∴方程x2＋mx＋12m＝1有两个不等的实数根，即一定有实数根.创新猜想13.(多选题)函数y1＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1，x2，且x1<x2，下列关于x1，x2的式子错误的是()A.x1<2且2<x2<5B.x1>2且x2>5C.x1<2且x2>5D.2<x1<5且x2>5解析令y2＝(x－2)(x－5)，则y1＝y2－1，∴函数y1＝(x－2)(x－5)－1的零点就是函数y2＝(x－2)(x－5)与函数y＝1图象交点的横坐标.在同一坐标系内画出y2＝(x－2)(x－5)的图象与y＝1的图象如图所示，结合图象知只有C正确.答案ABD14.(多空题)函数y＝x2－mx－2的一个零点是－1，则m＝________，另一个零点是________.解析由y|x＝－1＝1＋m－2＝0得m＝1，∴y＝x2－x－2，由x2－x－2＝0得x1＝－1或x2＝2.答案1 2。
26.2用函数的观点看一元二次方程
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下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横 坐标是多少?当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少?由 此,你能得出相应的一元二次方程的根吗?
(1) y x x 2
2
( 2) y x 6 x 9
2
A y=2x2 – 3 B y= - 2 x2 + 3m/s的速度将小球沿与地面成300角的方向 击时,球的飞行路线将是一条抛物线,如果不考虑空气的阻力, 球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间(单位:s)具有关系: h=20t-5t2
考虑以下问题:
(1)球的飞行高度能否达到15m?如能,需要多少飞行时间? (2)球的飞行高度能否达到20m?如能,需要多少飞行时间? (3)球的飞行高度能否达到20.5m?为什么? (4)球从飞出到落地要用多少时间?
从上面可以看出,二次函数与一元二次方程关系密切. 例如,己知二次函数y=-x2+4x的值为3,求自变量x的值,可 以解一元二次方程-x2-4x=3(即x2-4x+3=0).反过来,解方 程x2-4x+3=0又可以看作己知二次函数y=x2-4x+3的值为0, 求自变量x的值.
一般地,我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c,深入讨论 一元二次方程ax2+bx+c=0.
(4)球从飞出到落地要用多少时间?
(4)解方程 : 0 20t 5t 2 t 2 4t 0 t1 0, t 2 4.
你能结合图指 出为什么在两 个时间球的高 度为0m吗?
当球飞0s和4s时， 它的高度为0m， 即0s时 球从地面飞出， 4s时球落回地面。
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用函数观点看一元二次方程
用函数观点看一元二次方程一、一周知识概述1、二次函数y=ax2＋bx＋c和一元二次方程ax2＋bx＋c=0的关系一元二次方程ax2＋bx＋c=0就是二次函数y=ax2＋bx＋c在函数y的值为0时自变量x的取值情况.二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点，当二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根.当抛物线与x轴有两个交点时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个不相等的实数根，此时，b2－4ac＞0；当抛物线与x轴有一个交点时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个相等的实数根，此时b2－4ac=0；当抛物线与x轴没有交点时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0没有实数根，此时，b2－4ac＜0．反之也成立．即b2－4ac＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个不同的交点；当b2－4ac=0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个相同的实数根，抛物线与x轴有唯一交点；当b2－4ac＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0无实数根，抛物线y=ax2＋bx ＋c与x轴无交点．由于二次方程ax2＋bx＋c=0是二次函数y=ax2＋bx＋c当y=0时的特殊情形，所以二次方程与二次函数有着必然联系．在研究二次方程时，要考虑借助二次函数求解；在研究二次函数时，要考虑借助二次方程求解．2、用图象法求一元二次方程的近似根由二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点和一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根的关系，从理论上讲，我们可以借助二次函数的图象求一元二次方程的根，但必须明确，这种求根方法只能算作是一元二次方程的近似解法.一元二次方程的图象解法体现了数形结合思想方法，我们从中可以发现二次函数与一元二次方程之间的必然联系，由于一元二次方程是二次函数的特殊情形(即y=0时的情况)．一方面，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根，另一方面也可以借助一元二次方程的根来判断图象的位置，使所画抛物线比较准确，那么如何运用二次函数的图象求一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根呢？下面提供三种方法．(1)直接作函数y=ax2＋bx＋c的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根．(2)先将方程变形为ax2＋bx=－c，再分别作抛物线y=ax2＋bx和直线y=－c，则直线y=－c与抛物线y=ax2＋bx的交点的横坐标就是方程的根．(3)先将方程变形为ax2=－bx－c，再分别作抛物线y=ax2和直线y=－bx－c，则直线y=－bx－c与抛物线y=ax2的交点的横坐标就是方程的根．二、重难点知识重点：二次函数的图象与x轴的交点与一元二次方程的根的关系难点：二次函数与一元二次不等式的关系：对于y=ax2＋bx＋c，①当x取何值时，y=0，即求方程ax2＋bx＋c=0的解；②当x取何值时，y＞0，即求不等式ax2＋bx＋c＞0的解；③当x取何值时，y＜0，即求不等式ax2＋bx＋c＜0的解.三、典型例题讲解例1、已知二次函数y=x2－(m2＋5)x＋2m2＋6，试问该函数的图象与x轴是否有两个交点？若有两个交点，试求出其中一个交点坐标；若没有交点，请说明理由．分析：解题关键是利用二次函数与一元二次方程的关系来探究．解：∵在一元二次方程x2－(m2＋5)x＋2m2＋6=0中，a=1，b=－(m2＋5)，c=2m2＋6，∴b2－4ac=[－(m2＋5)]2－4×1×(2m2＋6)=m4＋2m2＋1=(m2＋1)2＞0．∴该方程有两个不相等的实数根．∴二次函数y=x2－(m2＋5)x＋2m2＋6变形得y=x2－5x＋6＋m2(2－x)．令x=2，y=22－5×2＋6＋m2·(2－2)=0．即二次函数y=x2－(m2＋5)x＋2m2＋6的图象必经过x轴上的点(2,0)．反思：对于抛物线y=x2＋kx＋k，若必经过某定点，那么交点坐标与k的取值无关．例2、已知：抛物线y=x2－mx＋与抛物线y=x2＋mx－m2在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中一条与x轴交于A、B两点．（1）试判断哪一条抛物线经过A、B两点？并说明理由．（2）若A 、B 两点到原点的距离OA 、OB 满足，求经过A 、B 两点的抛物线的关系式。
用函数的观点看一元二次方程
26.2 用函数的观点看一元二次方程（2）教学目标：1．复习巩固用函数y＝ax2＋bx＋c的图象求方程ax2＋bx＋c＝0的解。
2．让学生体验函数y＝x2和y＝bx＋c的交点的横坐标是方程x2＝bx＋c的解的探索过程，掌握用函数y＝x2和y＝bx＋c图象交点的方法求方程ax2＝bx＋c的解。
3．提高学生综合解题能力，渗透数形结合思想。
重点难点：重点；用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力是教学的重点。
难点：提高学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点。
教学过程：一、复习巩固1．如何运用函数y＝ax2＋bx＋c的图象求方程ax2＋bx ＋c的解?2．完成以下两道题：(1)画出函数y＝x2＋x－1的图象，求方程x2＋x－1＝0的解。
(精确到0.1)(2)画出函数y＝2x2－3x－2的图象，求方程2x2－3x－2＝0的解。
教学要点1．学生练习的同时，教师巡视指导， 2．教师根据学生情况进行讲评。
解：略函数y ＝2x 2－3x －2的图象与x 轴交点的横坐标分别是x 1＝－12和x 2＝2，所以一元二次方程的解是x 1＝－12和x 2＝2。
二、探索问题问题1：(P23问题4)育才中学初三(3)班学生在上节课的作业中出现了争论：求方程x 2＝12x 十3的解时，几乎所有学生都是将方程化为x 2－12x －3＝0，画出函数y ＝x 2－12x －3的图象，观察它与x 轴的交点，得出方程的解。
唯独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数y ＝x 2和y ＝12x ＋2的图象，如图(3)所示，认为它们的交点A 、B 的横坐标－32和2就是原方程的解． 提问： 1. 这两种解法的结果一样吗? 2．小刘解法的理由是什么?让学生讨论，交流，发表不同意见，并进行归纳。
3．函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 的图象一定相交于两点吗?你能否举出例子加以说明?4，函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 的图象的交点横坐标一定是一元二次方程x 2＝bx ＋c 的解吗?5．如果函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 图象没有交点，一元二次方程x 2＝bx ＋c 的解怎样?三、做一做利用图26．3．4(见P24页)，运用小刘方法求下列方程的解，并检验小刘的方法是否合理。
第2节 用函数观点看一元二次方程
第二节用函数观点看一元二次方程一、课标导航二、核心纲要1．二次函数与一元二次方程的关系2. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与不等式的关系3.直线y=mx+n(m≠0)与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的交点联立y=mx+n(m≠0)与y=ax2+bx+c(a≠0)消去y，得到一元二次方程ax2+(b-m)x+(c-n)=0:①当此方程的判别式大于0，直线与抛物线有两个交点.②当此方程的判别式等于0．直线与抛物线有一个交点.③当此方程的判别式小于0，直线与抛物线没有交点.4. 利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解，对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，当x的值分别为x1、x2(x1＜x2)时，y的值分别为y1、y2，若y1与y2异号，则在x1与x2之间必存在一个数x0，使得它对应的y的值为0，因此一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根x0在x1与x2之间，即x1＜x0＜x2．5.数学思想(1)方程思想；(2)函数思想，本节重点讲解：一个交点，一个近似解，两个关系，两个思想．三、全能突破基础演练1．二次函数y=x2+x-12的图像与x轴交点的横坐标是（）．A．3和-4B．-3和4C．3和4D．-3和-42. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图22-2-1所示，那么一元一次方程ax2+bx+c=3的根是（）A ．x 1=1，x 2=3B ．x 1=-2，x 2=0C ．x 1=0，x 2=4D ．x 1=4，x 2=6 3. 已知二次函数y =x 2+2x -2的图像如图22-2-2所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是（ ）.A ．-1＜x ≤3B ．-3≤x ≤1C ．x ≥-3D ．x ≤-1或x ≥3图22-2-1图22-2-24. 函数y =kx 2-6x +3的图像与x 轴有交点，则k 的取值范围是_________ .5. 当k 为何值时，函数y =-2x 2+5x +k 的图像与直线y =x -k ； （1）只有一个公共点；（2）有两个公共点；（3）没有公共点.6. 已知关于x 的函数y =(k -2)x 2-2(k -1)x +k +1中，满足k ≤3.（1）求证：此函数图像与x 轴总有交点. （2）当关于z 的方程2233z kz z -=+--有增根时，求上述函数图像与x 轴的交点坐标.7．已知抛物线y =x 2-2x -3．(1)它与x 轴的交点的坐标为_______ ． (2)在坐标系中利用描点法画出它的图像．(3)将该抛物线在x 轴下方的部分（不包含与x 轴的交点）记为G ，若直线y =x +b 与G 只有一个公共点，则b 的取值范围是_________ ．能 力 提 升8．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的最低点的纵坐标为-3，那么关于x 的方程ax 2+bx +c +2=0的根的情况是( )．A. 无实根 B ．有两个相等实数根C ．有两个异号实数根D ．有两个同号不等实数根9．二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0，a ，b ，c 是常数）中，自变量x 与函数y 的对应值如下表：则一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0，a ，b ，c 是常数）的两个根x l ，x 2的取值范围是( )．A. 12130222x x -＜＜，＜＜B . 12151222x x --＜＜，＜＜C . 12150222x x -＜＜，＜＜D . 12131222x x --＜＜，＜＜10．(1)若对任意的实数x ，函数y =x 2+ax +a 的值恒为正，则( )． A. a ＜0B .a ＞4C .a ＜0或a ＞4D .0＜a ＜4(2)若对任意的实数x ，二次三项式ax 2+2(a +1)x +a +12的值恒为负数，则a 的取值范围是( )． A.0＜a ＜23B . 23-＜a ＜0C . a ＜23-D . a ≤23-11．若p ，q （p ＜q ）是关于x 的方程1-(x -m )(x -n )=0的两个根，且m ＜n ，则m ，n ，p ，q 的大小关系是 ( )． A. p ＜m ＜n ＜qB ．m ＜p ＜q ＜nC ．m ＜p ＜n ＜qD ．p ＜m ＜q ＜n12．已知函数y =22(1)1(3)(5)1(3)x x x x ⎧--≤⎪⎨--⎪⎩＞，则使y =k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为( )．A ．0B ．1C ．2D ．313. 已知点A (m ，0)是抛物线y =x 2-2x -1与x 轴的一个交点，则代数式2m 2-4m +2013的值是______ . 14．若抛物线y =ax 2+bx +c 的系数a 、b 、c 满足a -b +c =0，9a +3b +c =0，则这条抛物线与x 轴的交点坐标为_________．15．已知二次函数y =kx 2+(2k -1)x -k 与x 轴交点的横坐标为x 1、x 2(x 1＜x 2)．则对于下列结论： ①当x =-2时，y =1；②当x ＞x 2时，y ＞0；③方程kx 2+(2k -1)x -k =0有两个不相等的实数根x 1、x 2；④x 1＜-1，x 2＞-1；⑤x 2-x 1=k，其中所有正确的结论是________（只需填写序号）．16．若实数a 、b 满足a +b 2=1，则2a 2+7b 2的最小值为__________． 17．已知，二次函数y =ax 2+bx 的图像如图22-2-3所示. (1)若二次函数的对称轴方程为x =1，求二次函数的解析式．(2)若一元二次方程ax 2+bx +q =0有实数根，请你构造恰当的函数，根据图像直接写q 的最大值．18．已知二次函数y =2(33y x =+- (m >0)的图像与x 轴交于点(x 1,0)和(x 2，0)．且x 1＜x 2． (1)求x 2的值.(2)求代数式221111(39mx x +++的值．19．已知抛物线y1=x2+2(1-m)x+n经过点（-1，3m+12）．(1)求n-m的值．(2)若此抛物线的顶点为(p，q)，用含m的式子分别表示p和q，并求p与q之间的函数关系式．(3)若一次函数y2=-2mx-18，且对于任意的实数x，都有y1≥2y2，直接写m的取值范围.20．已知：抛物线y=ax2+(a-2)x-2过点A(3，4)．(1)求抛物线的解析式．(2)将抛物线y=ax2+(a-2)x-2在直线y=-1下方的部分沿直线y= -1翻折．图像其余的部分保持不变，得到的新函数图像记为G．点M（m，y1）在图像G上，且y1≤0．①求m的取值范围；②若点N(m+k，y2)也在图像G上，且满足y2≥4成立，则k的取值范围为____________.21．请阅读下面材料：若A (x 1，y 0)，B （x 2，y 0）是抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)上不同的两点，证明：直线122x x x +=为此抛物线的对称轴.有一种方法证明如下：证明：∵A (x 1，y 0)，B （x 2，y 0）是抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)上不同的两点，∴20112022y ax bx c y ax bx c ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩①②且x 1≠x 2.①-②得221212a x x b x x -+-（）（）=0.∴1212x x x x -+（）[a(）+b]=0. ∴x 1+x 2=ba-. 又∵抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴为x =2ba -，∴直线122x x x +=为此抛物线的对称轴. (1)反之，如果M (x 1，y 1)，N （x 2，y 2）是抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)上不同的两点，直线122x x x +=为该抛物线的对称轴，那么自变量取x 1，x 2时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考．．上述方法写出证明过程．(2)利用以上结论解答下面问题：已知二次函数y =x 2+bx -1，当x =4时的函数值与x =2007时的函数值相等，求x =2012时的函数值．22．已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有实数根，k为正整数．(1)求k的值．(2)当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k-1的图像向下平移8个单位，求平移后的幽数解析式．(3)在(2)的条件下，将平移后的二次函数的图像在x轴下方的部分沿x轴翻折，图像的其余部分保持不变，得到一个新的图像．请你结合这个新的图像回答：当直线y=12x+b与此图像有两个公共点时，直接写出b的取值范围.23．已知关于x的方程mx2-3(m-1)x+2m-3=0．(1)求证：无论m取任何实数时，方程总有实数根．(2)求证：抛物线y=mx2-3(m-1)x+2m-3总过x轴上的一个定点．(3)若关于x的二次函数y1=mx2-3(m-1)x+2m-3的图像关于y轴对称①求这个二次函数的解析式；②已知一次函数y2=2x-2，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立.(4)在(3)的条件下，若二次函数y3=ax2+bx+c的图像经过点（-5，0），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立，求二次函数y3=ax2+bx+c的解析式．中考链接24．（2012·广西贵港）对于每个非零自然数n ，抛物线y =2211(1)(1)n x x n n n n +-+++与x 轴交于A n ，B n 两点，以A n B n 表示这两点间的距离，则A 1B 1+A 2B 2+…+A 2011B 2011的值是( )． A.20112010B .20102011C .20122011D .2011201225．（2013· 山东德州）函数y =x 2+bx +c 与y =x 的图像如图22-2-4所示，有以下结论：①b 2 -4c ＞0；②b +c +1=0；③3b +c +6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+(b -1)x +c ＜0；其中正确的个数是( )． A ．1B ．2C . 3D ．426．（2013·北京）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =mx 2-2mx -2(m ≠0)与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ． (1)求点A 、B 的坐标．(2)设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线l 的解析式．(3)若该抛物线在-2＜x ＜-1这一段位于直线l 的上方，并且在2＜x ＜3这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的解析式．巅峰突破27．若方程-x2+px+q=0的一个根大于1，另一个根小于1，则p+q的值为( )．A．不大于1B．大于1C．小于1D．不小于1 28．已知二次函数y=ax2+bx+c（其中a是正整数）的图像经过点A( -1，4)，点B(2，1)，并且与x 轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为__________ .。
262用函数观点看一元二次方程
4，16 5
，对称轴为
55
x4
解∴球得飞：行x1的最0 大水x2平距8离，是8m．
（3）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m
抛物线的对称轴为 x
y a(x 5)2 16
5，顶点为
5，16 5
设此时对应的抛物线解析式为
又 ∵点 (0，05) 在此抛物线上， 25a 16 0
1、理解二次函数图像与x轴的交点的个数 的情况
2.理解二次函数图像与一元二次方程的根的关 系
3.会用一元二次方程解决二次函数图象与x轴 的交点问题
二次函数
❖ 定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常 数,a≠0)的函数叫做x的二次函数。
❖ 图象：是一条抛物线。
❖ 图象的特点：（1）有开口方向，开口大小。
❖ 当h＜0时，抛物线y=ax2向右平移h的绝对值个单位， 得y=a(x-h) 2
二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=a(x-h) 2+k的图象的关系
❖ 二次函数y=a(x-h) 2+k的图象可由抛物线 y=ax2向左(或向右)平移h的绝对值个单位,在 向上(或向下)平移k的绝对值个单位而得到.
10
（2）解方程20=20t-5t2 即： t2-4t+4=0
o
1 2 3 4t
t1=t2=2
h 20t 5t2 ∴当球飞行2s时，它的高度为20m。
（3）解方程20.5=20t-5t2 即： t2-4t+4.1=0
那两的你形么间那只间为为么个高能指在球么在求12呢50为时度结出两的为一得mm？什间为吗 呢合为个高什个高么球零？？图什时度么时度ht一？=元从其2二0（上实t次4面就–）∴因方t球我5是1解=为程的t0方们把2(,中-t飞的程42看函=)行，20解4-出数=4高已2×。，值0度知4t-.h达51对h换t＜2不的于成0到，值二即常2所0，：次数.以5求mt函，方2-。时4数程求t=间无0 解，
用函数观点看一元二次方程
用函数观点看一元二次方程-----教学反思鸡儿中学张珺瑕在“一次函数”一章时已经了解了一次函数与一元一次方程，一元一次不等式（组），二元一次方程组的联系。
本章专门设一节，通过探讨二次函数与一元二次方程的关系，再次展示函数与方程的联系。
一方面可以深化我们对一元二次方程的认识，另一方面又可以运用一元二次方程解决二次函数的有关问题。
教学目标1 通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
2 使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题。
3 渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。
教学重点二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根。
教学难点一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用。
教学过程一导学引导学生回忆一次函数与一元一次方程的关系二探究活动一：画出函数y=x2-x-3/4的图像，根据图像回答下列问题：（1）图像与x轴交点坐标是什么？（2）当x取何值时，y=0.总结：一般地，函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交点的横坐标即为方程ax2+bx+c=0的解，当二次函数y=ax2+bx+c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2+bx+c=0的解。
这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。
活动二：观察：下列二次函数的图像与x轴有公共点吗？若有，公共点的横坐标是什么？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你得出相应的一元二次方程的解吗？(1)y=x2+x-2(2)y=x2-6x+9(3)y=x2-x+1探索：一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c，(1)当a>0，顶点的纵坐标满足社么条件时，函数的图像与x轴无交点，有一个交点，有两个交点?(2)当a<0，顶点的纵坐标满足社么条件时，函数的图像与x轴无交点，有一个交点，有两个交点?总结：二次函数的图像与x轴的三种位置关系：有两个交点有两个不相等的实数根b2-4ac>0只有一个交点有两个相等的实数根 b2-4ac=0没有交点没有实数根 b2-4ac<0活动三：画出函数y=x2+x-1的图像求方程x2+x-1=0的解（精确到0.1）三展示：1 抛物线与x轴交点——--与y轴交点------2 一元二次方程3x2+x-10=0的两个根是x1=-2 x2=5/3 ,那么二次函数y=3x2+x-10与x轴交点坐标是------一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1 x2则抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点坐标是------3 已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-1，则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3 x2=-----4 画出函数y=2x2-3x-2的图像求方程2x2-3x-2=0的解四总结：学生谈收获，教师点拨：1 二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系2 一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用3 利用二次函数图像求一元二次方程的实数根反思：本节通过画图，看图，分析图，列表对比，抽象概括进行教学，让每个学生动手，动口，动脑，积极参与，提高教学效率和教学质量，使学生进一步理解数形结合和从特殊到一般的思想方法。
用函数观点看一元二次方程
课题：26.2 用函数观点看一元二次方程【教材分析】《用函数的观点看一元二次方程》是一种从数到形的紧密结合。
在这之前，学生已学过一元二次方程求解的相关知识，二次函数为一元二次方程的求解又提供了一种新方法，寻找一元二次方程与二次函数的关系，是解一元二次方程的关键。
本节课从实际问题出发，利用二次函数及图象特征探讨一元二次方程根的问题，不仅使学生掌握了用函数图象求方程根的方法，还可以扩展到一元二次不等式的解法。
通过渗透数形结合的思想，使学生初步学会运用数形结合的观点去分析问题、解决问题。
【设计思想】1.体会二次函数与方程之间的联系，了解一元二次方程的根的几何意义，掌握用二次函数图象求一元二次方程的根．理解一元二次方程的根就是二次函数与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标。
2．建立一元二次方程与二次函数的关系，通过图象，体会数与形的完美结合。
3．通过实际问题，体会一元二次方程解的实际意义，发展数学思维。
4．初步体会利用二次函数图象求一元二次不等式的解集。
【教学环节】一、自主学习[知识回顾]：1、不解方程判定一元二次方程的根的情况：①2x2－3x+1=0 ②4x2+4x+1=0 ③x2-x+2=02、二次函数的一般式：，______是自变量，____是____的函数。
当y = 0 时，二次函数变形为。
二、合作探究活动1．二次函数与一元二次方程的关系如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h （单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t－5t2．考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？一般地：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为m，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程；反之，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m又可以看作已知二次函数的值为m时求自变量x的值．跟踪练习：1、二次函数y＝x2－3x＋2，当y＝0时，x＝_______．当y＝1时，x＝_______2、二次函数y＝ax2＋bx＋c过点(1,-2)和(3,-2)，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝-2的根是。
用函数的观点看一元二次方程
26.2用函数观点看一元二次方程导学案目标导学知识与技能1．通过学习使学生了解一玩二次方程根的几何意义；2、通过观察总结出二次函数与x轴交点的个数对应着一元二次方程的根的三种情况，会表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．数学思考经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．解决问题使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识。
情感态度通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想，从而提高学生学习数学知识的兴趣。
教学重点和难点重点:方程与函数之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题是教学的重点。
难点:进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想教学方法：自主——合作——探究归纳——总结——应用教与学设计一、预习导学学生阅读教材后自主交流解决以下问题1、二次函数y= -x2+4x的值为2，就是求自变量x的值，可以看作是解一元二次方程___________或________________反之，解方程x2-6x+9=0又可以看作是已知二次函数______________的值为0，求自变量的值。
2、y=x2-x-1.（1）当x为何值时，函数值y=1?（2）当x为何值时，函数值y=5?（3）是否存在x值，使函数值y=-3?若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由。
3、填表若5、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的位置关系与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?（1）抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点的_________正好对应一玩二次方程ax2+bx+c=0的两个根；（2）当b2-4ac > 0时，抛物线与x轴有_____ 交点；当b2-4ac = 0时，抛物线与x轴有_____ 交点；当b2-4ac< 0时，抛物线与x轴有_____ 交点；6、抛物线y= x2+(2m-1)x+ m2与x 轴有两个交点，则m的取值范围是（）A、m>1/4B、m>-1/4C、m<1/4D、m<-/47、二次函数y=ax2+bx+c xr值（范围）（1）y=0;___________(2)y=-2;_________(3)y>0;___________(4)y<0;__________以上前置性练习，在上课过程之前予以展示，在展示中发现学生中存在的问题；通过学生对问题的提出导入新课，并初步给予解答。
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1.不与 轴相交的抛物线是 D ) 不与x轴相交的抛物线是 不与 轴相交的抛物线是( A y=2x2 – 3 C y= - x2 – 3x B y= - 2 x2 + 3 D y=-2(x+1)2 - 3
2.若抛物线 若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与 轴交点情况 图象与x轴交点情况 若抛物线 当 时 图象与 是( c ) A 无交点 C 有两个交点 B 只有一个交点 D不能确定 不能确定
（3）解方程 ）
20.5 = 20t 5t 2t 2 4t + 4.1 = 0 2 所以方程无实数根。 因为( 4) 4 × 4.1 < 0 ，所以方程无实数根。即小
球的高度达不到20.5 m。 球的高度达不到 。 （4）解方程 ）
0 = 20t 5t 2 t 2 4t = 0 t1 = 0, t 2 = 4
20 = 20t 5t 2 t 2 4t + 4 = 0 t1 = t 2 = 2
当球飞行2 时 它的高速为20 当球飞行 s时，它的高速为 m.
t1=1s 15m
t=2s 20m
t2=3s 15m
（3）解方程 20.5＝20t－5t 2 ） ＝ － t 2－4t＋4.1=0 ＋ 因为（－ ） 因为（－4）2－4×4.1＜0，所以方程无解． （－ × ＜ ，所以方程无解． 球的飞行高度达不到20.5m． ． 球的飞行高度达不到 （4）解方程 ） t2－4t=0 t1=0,t2=4 当球飞行0s和 时 它的高度为0m， 当球飞行 和4s时，它的高度为 ，即0s时球从 时球从 地面发出， 时球落回地面 时球落回地面． 地面发出，4s时球落回地面． 0＝20t－5t2 ＝ －
二次函数y=ax +bx+c的图象和 轴公共点的横坐 的图象和x 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴公共点的横坐 与一元二次方程ax +bx+c=0的 有什么关系? 标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公 如果抛物线y=ax +bx+c与 轴有公共点， 共点的横坐标是x 那么当x=x 共点的横坐标是 0，那么当x=x0时，函数的值 的一个根。 是0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根。 因此x=x 就是方程ax +bx+c=0的一个根
1.二次函数的一般形式是什么？它的图像有什么 特点？简要说明。
y = ax + bx + c(a ≠ 0)
2
2.一元二次方程一般形式是什么？它的根有几种 情况？简要说明.
ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)
潘庄镇中 陈
问题: 如图以40m/s的速度将小球沿与地面成 °角的方 的速度将小球沿与地面成30° 问题 如图以 的速度将小球沿与地面成 向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线， 向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空 飞行高度h（单位： ） 飞行时间t（单位： 气阻力，球的飞行高度 气阻力，球的飞行高度 （单位：m）与飞行时间 （单位： s）之间具有关系 ）
求能否达到 要求高度的依 据是什么？ 据是什么？
分析： 与飞行时间t的关系是二次函数 分析：由于球的飞行高度 h 与飞行时间 的关系是二次函数
h = 20t 5t 2
所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一 所以可以将问题中 的值代入函数解析式，得到关于 的一 的值代入函数解析式 元二次方程，如果方程有合乎实际的解， 元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球飞行的高度 合乎实际的解 可以达到问题中h的值；否则， 可以达到问题中 的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问 的值 题中h的值 题中 的值. 的值
3.一元二次方程 3x2+x-10=0的两个根是 1= -2 , 一元二次方程 的两个根是x 的两个根是 x2= 5 , 那么二次函数 3 x2+x-10与x轴的交点坐 那么二次函数y= 与 轴的交点坐 5 3 (-2,0)和 ( 和 标是＿＿＿＿＿ 标是＿＿＿＿＿ ,0) 3
4.已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上 已知抛物线 轴上, 的顶点在 轴上 16 ＿＿. 则c=＿＿ ＿＿
1 等的实数根,则 ＿＿ ＿＿,此时抛物线 等的实数根 则m=＿＿ 此时抛物线 y=x2-2x+m 1 轴有＿＿个公共点. 与x轴有＿＿个公共点 轴有＿＿个公共点
5.如果关于 的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相 如果关于x的一元二次方程 如果关于 有两个相
通过本节课的学习，你有哪些收获？ 通过本节课的学习，你有哪些收获？ 还有什么疑惑？ 还有什么疑惑？
二次函数y=ax2+bx+c的图象和 轴公共点 的图象和x轴公共点 二次函数 的图象和 Y
b2 4ac＜0
b2 4ac =0
b2 4ac＞0
O
X
一般地，从二次函数y=ax2+bx+c 的图象可知 一般地，从二次函数 轴有公共点， （1）如果抛物线 ）如果抛物线y=ax2+bx+c 与x轴有公共点，公共点的横坐标是 轴有公共点 那么当x 函数的值是0，因此x x0，那么当 =x0时，函数的值是 ，因此 = x0 就是方程 ax2+bx+c=0 的一个根． 的一个根． 轴的位置关系有三种： （2）二次函数的图象与 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共 ）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种 没有公共点， 点，有两个公共点，这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根， 有两个公共点，这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根， 有两个相等的实数根，有两个不等的实数根． 有两个相等的实数根，有两个不等的实数根．
－ 反过来，解方程 又可以看作已知二次函数 反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值 的值． 的值为 ，求自变量 的值．
一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c 深入讨论一元二次方程 深入讨论一元二次方程 一般地，我们可以利用二次函数 二次函数 ax2+bx+c=0
二次函数y=ax +bx+c的图象和 的图象和x 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的位置 关系有三种情况: 关系有三种情况: b2 – 4ac > 0 (1)有两个公共点 (1)有两个公共点 (2)有一个公共点 (2)有一个公共点 b2 – 4ac= 0 b2 – 4ac< 0 (3)没有公共点 (3)没有公共点 同时也对应着一元二次方程根的三种情 况：有两个不等的实数根，有两个相等的实 有两个不等的实数根， 数根， 数根，没有实数根 若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点 若抛物线 与 轴有公共点, 轴有公共点 则b2 – 4ac ≥0
h = 20t－5t 2 －
考虑以下问题： 考虑以下问题： （1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？ ）球的飞行高度能否达到 ？如能，需要多少飞行时间？ （2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？ ）球的飞行高度能否达到 ？如能，需要多少飞行时间？ （3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？ ）球的飞行高度能否达到 ？为什么？ （4）球从飞出到落地需要用多少时间？ ）球从飞出到落地需要用多少时间？
轴有两个公共点， （1）抛物线 = x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是 ，1. ）抛物线y － 与 轴有两个公共点 它们的横坐标是-2， 取公共点的横坐标时， 由此得出方程x 当x取公共点的横坐标时，函数的值是 由此得出方程 2＋x－2＝0的 取公共点的横坐标时 函数的值是0.由此得出方程 － ＝ 的 根是－ ， 根是－2，1. 轴有一个公共点， （2）抛物线 = x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是 当x = ）抛物线y ＋ 与 轴有一个公共点 这点的横坐标是3. 3 时，函数的值是 ．由此得出方程 x2－6x＋9＝0有两个相等的实数根 函数的值是0． 有两个相等的实数根3. ＋ ＝ 有两个相等的实数根 轴没有公共点， （3）抛物线 = x2－x＋1与x轴没有公共点，由此可知，方程 2－x＋1 ）抛物线y ＋ 与 轴没有公共点 由此可知，方程x ＋ 没有实数根． ＝0没有实数根． 没有实数根
解：（1）解方程 ：（ ） 15＝20t－5t 2 t 2－4t＋3=0 ＝ － ＋ t1=1，t2=3 ，
当球飞行1 和 时 它的高度为15 当球飞行 s和3 s时，它的高度为 m. （2）解方 ） 程
为什么球的高度为15米时 为什么球的高度为15米时 15 有两个飞行时间？而达 有两个飞行时间？ 到20米时只有一个时间？ 20米时只有一个时间？ 米时只有一个时间
下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有， 下列二次函数的图象与 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐 轴有公共点吗 标是多少？ 取公共点的横坐标时， 标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此， 取公共点的横坐标时 函数的值是多少？由此， 你能得出相应的一元二次方程的根吗？ 你能得出相应的一元二次方程的根吗？ （1）y = x2＋x－2 ） － （2）y = x2－6x＋9 ） ＋ （3）y = x2－x＋1 ） ＋
当球飞行0 和 时 它的高速为0 ， 时球从地面飞出， 当球飞行 s和4 s时，它的高速为 m，即0 s时球从地面飞出， 时球从地面飞出 4s时落回地面。 时落回地面。 时落回地面
从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切． 从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切．
例如，已知二次函数 的值为3，求自变量x的值 的值， 例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为 ，求自变量 的值，可以解 的值为 ＋ （ － ）． 一元二次方程 －x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．