江苏省高校第九届本三民本高等数学竞赛试题

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江苏省高等数学竞赛试题-解析几何部分

解析几何1.椭圆2226x y +=到直线4x y +=的最大和最小距离。

解2226x y +=上点(,)x y 到4x y +=的距离1d (,)42x y x y =+-，()221d (,)42x y x y =+-。

令()()22214262F x y x y λ=+-++-， ()()'''22420440260x y F x y x F x y x F x y λλλ⎧=+-+=⎪⎪=+-+=⎨⎪=+-=⎪⎩ 解得21x y =±⎧⎨=±⎩17d(2,1),d(2,1),22=--=所以71maxd ,mind 22==。

2.已知两平面曲线(,)0,(,)0f x y x y ϕ==，又(,)αβ和(,)ζη分别为两曲线上点，试证如果这两点是这两条曲线上相距最近或最远的点，则下列关系式必成立：(,)(,)(,)(,)x x y y f f αβϕζηαζβηαβϕζη-==-。

证问题为求22201212()()u d x x y y ==-+-在条件11(,)0f x y =及22(,)0x y ϕ=下的最值。

20111222(,)(,)F d f x y x y λλϕ=++，则由111122221211211221222()02()02()02()0x x y y x x y y F x x f F y y f F x x F y y λλλϕλϕ⎧=-+=⎪=-+=⎪⎪⎨=--+=⎪⎪=--+=⎪⎩得1212112212121122(,)(,)(,)(,)x x y y f x y x y x x y y f x y x y ϕϕ-==-，若20u d =在1122,,,x y x y αβζη====处达到最值，其中(,)0,(,)f αβϕζη==，则必有1212(,)(,)(,)(,)x x y y f f αβϕζηαζβηαβϕζη-==-，即(,)(,)(,)(,)x x y y f f αβϕζηαζβηαβϕζη-==-，证毕。

江苏数学竞赛试题及答案

江苏数学竞赛试题及答案【试题一】题目：求证：对于任意正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 +\ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。

【答案】证明：我们使用数学归纳法来证明这个等式。

1. 当\( n = 1 \)时，左边为\( 1^2 = 1 \)，右边为\( \frac{1\cdot 2 \cdot 3}{6} = 1 \)，等式成立。

2. 假设当\( n = k \)时等式成立，即\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + k^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} \)。

3. 当\( n = k + 1 \)时，我们需要证明\( 1^2 + 2^2 + 3^2 +\ldots + k^2 + (k + 1)^2 = \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6} \)。

4. 根据假设，将\( k \)的和代入，得到\( \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + (k + 1)^2 \)。

5. 简化上述表达式，我们得到\( \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6} \)，这正是我们需要证明的等式。

6. 因此，根据数学归纳法，对于任意正整数\( n \)，等式成立。

【试题二】题目：已知函数\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \)，求\( f(x) \)的极值。

【答案】解：首先求导得到\( f'(x) = 3x^2 - 6x \)。

令\( f'(x) = 0 \)，解得\( x = 0 \)或\( x = 2 \)。

1. 当\( x < 0 \)或\( x > 2 \)时，\( f'(x) > 0 \)，函数\( f(x) \)在此区间单调递增。

2. 当\( 0 < x < 2 \)时，\( f'(x) < 0 \)，函数\( f(x) \)在此区间单调递减。

江苏高等数学历年本科三级竞赛真题史上最完整

2010年江苏省普通高等学校非理科专业第十届高等数学（本科三级）竞赛题一、填空题（每小题4分，共32分） 1) ()30sin sin sin limx x x x→- = 16 2）()2arctan e tan ,x y x x y '=+=则()242e tan sec 1x x x x x+++ 3）设由y xx y =确定(),y y x =d d y x =则()()()()22ln ln 1ln ln 1.y x y y y x x y x x x y ----或 4）()2cos ,n y x y==则 12cos 22n n x π-⎛⎫+⎪⎝⎭5） 21e d xx x x-=⎰ e x C x -+ 6）设 2,,x z f x y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭f 可微，()()123,22,3,23,f f ''==则()()d z,2,1x y ==7d 8d x y -7) 设函数 (),F u v 可微，由 ()22,0F x z y z++=确定(),,z z x y =则z z x y ∂∂+=∂∂ 12z- 8）设22:2,0,d DD x y x y x y +≤≥=则169二、（10分）设a 为正常数，使得 2e ax x ≤ 对一切正数x 成立，求常数a 的最小值。

22ln e 2ln ,axxx x ax a x≤⇔≤⇔≥解（3分）要求a 的最小值，只要求 ()2ln xf x x= 的最大值。

（2分）令()()221ln 0x f x x -'== 得e,x = （2分）由于()()0e 0,e 0,x f x x f x ''<<><<时时()2e ef =所以为其最大值，（2分）故a 的最小值为 2e. （1分）三、（10分）设()f x 在[]01，上连续，且()()110d d f x x x f x x =⎰⎰，求证：存在 ()01,ξ∈，使得 ()0d 0.f x x ξ=⎰证法1：令()()()0d ,xF x x t f t t =-⎰ （3分）则()()()()()()1110=0,11d d d 0,F F t f t t f t t t f t t =-=-=⎰⎰⎰应用罗尔定理，()01,ξ∃∈，使得()0,F ξ'= （4分）()()()()()0d d ,x xF x f t t x f x x f x f t t '=+-=⎰⎰而于是 ()()()0d d 0.F f t t f x x ξξξ'===⎰⎰ （3分）证法2 ()()()()()0d ,00,,xF x f x x F F x f x '===⎰令则（3分）()()()()()11100011d d d 0F f x x x F x x x F x F x x'∴===-⎰⎰⎰()()()111d ,d 0,F F x x F x x =-⇒=⎰⎰ （3分）应用积分中值定理，存在 ()0,1,ξ∈ 使得()()()()1d 10,F x x F F ξξ=-=⎰于是 ()()0d 0.F f x x ξξ==⎰ （4分）四、（12分）求广义积分421d .1x x +∞-⎰22221111d d 2121x x x x+∞+∞=++-⎰⎰解原式（4分） 111arctan ln22241x x x +∞+∞+=+- （4分） 11arctan 2ln 3.424π=-- （4分）五、（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线。

江苏省第九届(2008年)高等数学竞赛(本科三级、民办本科)真题

江苏省第九届（2008年）高等数学竞赛本科三级竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1、若2arctan 2lim x ax x x bx x π→∞+=--，则=a ________________；=b ________________.2、()=+∑=∞→n k n k k 131lim ________________. 3、()()()()10021---=x x x x x f ，则()=100'f ________________.4、常数=a ______,=b ______时，()bxx x ax x f +++=12在0→x 时，关于x 的无穷小的阶数最高.5、=⋅⎰2032cos sin πxdx x ________________. 6、()⎰∞=+12221dx x x ________________.7、设y x x z -=，则()=∂∂1,2n n yz ________________. 8、设D ：由0,==x x y ，1=y 所围，则⎰⎰=Dydxdy arctan ________________.二、（8分）设数列{}n x 为：n n x x x +==+6,111 ；求证：数列{}n x 收敛，并求极限。

三、（8分）设()x f 在区间[]b a ,上连续，()⎰=ba dx x f 0. 证明：存在()b a ,∈ξ,使得()()ξξξf dx x f a =⎰。

四、（8分）将xoy 平面上的曲线()()b a a y b x <<=+-0,222绕直线b x 3= 旋转一周所得立体的体积。

五、（8分）设()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+++=0,0,00,0,,24222y x y x y x y x y x y x f 讨论()y x f ,在()0,0处的连续性，可偏导性，可微性。

六、（10分）已知曲面144222=-+z y x 与平面0=--y x z 的交线在xoy 面上的投影曲线为一椭圆，求该椭圆的面积.七、（8分）在平面∏：202=-+z y x 内作直线Γ，使Γ过另一直线L ：⎩⎨⎧=-+=+-343122z y x z y x 与平面∏的交点，且Γ垂直于L .求直线Γ的参数方程.八、（10分）设D 为,222x y x ≤+x y ≤≤0，求⎰⎰-+D dxdy y x 122。

江苏省高数竞赛选拔题

高等数学竟赛练习题二
一、填空题(每小题4分,共40分)
1. 设{ EMBED Equation.DSMT4 |lim ()0→+∞+-=x ax b , 则 , .
2. 设当时，函数与是同阶无穷小，则常数 .
3. 设，则 .
4. 已知函数在点处连续，且，则
.
5. 设常数，则方程在区间内的实根的个数为 .
6. 设，其中在点的某邻域内有定义，则在点处可导的充分必要条件是 .
7. 抛物线在点处的曲率半径为 .
8. 设（为正整数），，则
.
9. .
10. 设，则 .
二、求．
三、已知，且求．
四、计算（）．
五、设曲线在点处的切线方程为，试求：
．
六、设，等分闭区间，分点为
，
求．
七、设 ,
(1) 求函数的单调区间与极值;
(2) 求函数的图形的凹凸区间与拐点．
八、设在上连续，在内可导,且，证明: 在内至少存在一点，使.
九．设在上二阶可导，且，，证明：
在上单调减少。

江苏省高等数学竞赛试题汇总

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一填空题（每题4分，共32分） 1.0s in s in (s in )lims in x x x x→-=2.21y x=+/y=3.2c o s y x=，()()n yx =4.21xx ed x x-=⎰ 5.4211d x x+∞=-⎰6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为7.(2,)x z f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y d z==8.级数11(1)!2!nnn n n ∞=+-∑的和为 .二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()b baab f x d x xf x d x=⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x d x ξ=⎰.三．（10分）已知正方体1111A B C D A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11B C CB 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面A B C D 所成二面角的值。

（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.四（12分）已知A B C D 是等腰梯形，//,8B C A D A B B C C D++=,求,,A B B C A D的长，使得梯形绕A D 旋转一周所得旋转体的体积最大。

五（12分）求二重积分()22co ssinDx y d xd y+⎰⎰，其中22:1,0,0D x yx y +≤≥≥六、（12分）求()()21xx y e d x x y d y Γ++++⎰，其中Γ为曲线22201212x x x y xx ⎧≤≤⎨+=≤≤⎩从()0,0O 到()1,1A -.七.（12分）已知数列{}na 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-()2,3,,n=记1nnx a =，判别级数1nn x ∞=∑的敛散性.2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）一填空题（每题4分，共32分） 1.0s in s in (s in )lims in x x x x→-=2.2a rc ta n ta n xy xe x=+，/y=3.设由yxx y=确定()y y x =，则d y d x=4.2c o s y x=，()()n yx =5.21xx ed x x-=⎰6.(2,)x z f x y y =-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y d z==7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z++=确定(),z z x y =，则z z xy∂∂+=∂∂8.设22:2,0D xyx y +≤≥，则Dx d y =⎰⎰二.（10分）设a 为正常数，使得2a xxe≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且11()()f x d x xf x d x=⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得0()0f x d x ξ=⎰.四.（12分）求广义积分4211d xx+∞-⎰五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.六、（12分）已知A B C D 是等腰梯形，//,8B C A D A B B C C D++=,求,,A B B C A D 的长，使得梯形绕A D 旋转一周所得旋转体的体积最大。

江苏高等数学竞赛试题汇总

六(1０分）曲线绕轴旋转一周生成的曲面与所围成的立体区域记为，
本科一级考生做
本科二级考生做
七(１0分）本科一级考生做1）设幂级数的收敛域为，求证幂级数的收敛域也为 ;2)试问命题1）的逆命题是否正确，若正确给出证明;若不正确举一反例说明.
本科二级考生做:求幂级数的收敛域与和函数
２006年江苏省高等数学竞赛试题(本科三级、民办本科）
8.级数条件收敛时,常数的取值范围是
二.（１0分)某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶,经2小时到达乙地停止,一路畅通，若开车的最大速度为100公里/小时,求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于公里/小时
三.(10分)曲线的极坐标方程为 ,求该曲线在所对应的点的切线的直角坐标方程,并求切线与轴围成图形的面积.求其极限
三.(8分)设在上具有连续的导数，求证
四.（8分）１)证明曲面
为旋转曲面
2)求旋转曲面所围成立体的体积
五．（10分)函数具有连续的二阶偏导数，算子定义为
1)求；2）利用结论1）以为新的自变量改变方程的形式
六．（8分)求
七．(9分)设的外侧,连续函数
七（9分)本科一级考生做:用拉格朗日乘数法求函数在区域上的最大值与最小值.
八(9分)设为所围成的平面图形，求．
2004年江苏省高等数学竞赛试题(本科二级)
一．填空(每题５分,共4０分)
１．是周期为的奇函数，且在处有定义,当时， ,求当时, 的表达式.
２．
3．
4. 时
５.
６． .
7.设可微，，，
8.级数的和为．
二.（10分）
设在上连续，且 ,求证:存在点，使得．

全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)

一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1Λ=+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1),n n x a a a =+++L 其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

2006年江苏省高等数学竞赛试题(本科三级、民办本科)

2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级、民办本科）一.填空（每题5分，共40分） 1.22232323212lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭ 2. ()23001lim 1x t x e dt x -→-=⎰3. )lim 0x ax b →+∞+=，则,a b = 4.()()()2sin 1,0x f x x x e f ''=++=5. 设由y z x ze +=确定(,)z z x y =，则(),0e dz =6.函数()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件时，()1,0f -为其极大值.7.交换二次积分的次序()211,x e e x dx f x y dy -=⎰⎰ .8.设22:2,02D x x y y x ≤+≤≤≤，则D= 二.（8分）设()()2sin 0ln 10ax b x c x f x x x ⎧++≤⎪=⎨+>⎪⎩，试问,,a b c 为何值时，()f x 在0x =处一阶导数连续，但二阶导数不存在.三.（9分）过点()1,5作曲线3:y x Γ=的切线L ，（1）求L 的方程；（2）求Γ与L 所围成平面图形D 的面积；（3）求图形D 的0x ≥部分绕x 轴旋转一周所得立体的体积.四（8分）设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的函数，()00f =，()()1f x f x '-≤，求证：()[)1.0,x f x e x ≤-∈+∞五（8分）求()120arctan 1xdx x +⎰六（9分）本科三级做：设()()()()()()2222tan ,0,0,0,0,0x y x y x y x yf x y x y -⎧+≠⎪+=⎨⎪=⎩，证明(),f x y 在点()0,0处可微，并求()()0,0,df x y民办本科做：设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x x =++截下的有限部分为∑.为计算曲面∑的面积，用薄铁片制作∑的模型，()(1,0,5),(1,0,1),1,0,0A B C --为∑上的三点，将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形D ，建立平面在极坐标系，使D 位于x 轴正上方，点A 坐标为()0,5，写出D 的边界的方程，并求D 的面积.七（9分）本科一级考生做：用拉格朗日乘数法求函数()22,2f x y x y =++在区域2224x y +≤上的最大值与最小值.八（9分）设D 为,,02y x x y π===所围成的平面图形，求()cos D x y dxdy +⎰⎰。

江苏省高等数学竞赛试题(本科一、二级)

2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科一、二级）一.填空（每题5分，共40分）1.()3x f x a =，()()()41limln 12n f f f n n →∞=⎡⎤⎣⎦ 2. ()()25001lim 1x tx x e dt x-→-=⎰ 3. ()1202arctan 1x dx x =+⎰ 4.已知点()4,0,0,(0,2,0),(0,0,2)A B C --,O 为坐标原点，则四面体OABC 的内接球面方程为5. 设由y z x ze +=确定(,)z z x y =，则(),0e dz =6.函数()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件时，()1,0f -为其极大值.7.设Γ是sin (0)y a x a =>上从点()0,0到(),0π的一段曲线，a = 时，曲线积分()()222y x y dx xy e dy Γ+++⎰取最大值. 8.级数()111n p n n∞+=-∑条件收敛时，常数p 的取值范围是二.（10分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2小时到达乙地停止，一路畅通，若开车的最大速度为100公里/小时，求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于200-公里/小时3三.（10分）曲线Γ的极坐标方程为1cos 02πρθθ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭，求该曲线在4πθ=所对应的点的切线L 的直角坐标方程，并求切线L 与x 轴围成图形的面积. 四（8分）设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的有界函数，()()1f x f x '-≤，求证：()()1.,f x x ≤∈-∞+∞五（12分）本科一级考生做：设锥面22233(0)z x y z =+≥被平面40x +=截下的有限部分为∑.（1）求曲面∑的面积；（2）用薄铁片制作∑的模型，(2,0,(A B -为∑上的两点，O 为原点，将∑沿线段OB 剪开并展成平面图形D ，以OA 方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出D 的边界的极坐标方程.本科二级考生做：设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x x =++截下的有限部分为∑.为计算曲面∑的面积，用薄铁片制作∑的模型，()(1,0,5),(1,0,1),1,0,0A B C --为∑上的三点，将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形D ，建立平面在极坐标系，使D 位于x 轴正上方，点A 坐标为()0,5，写出D 的边界的方程，并求D 的面积.六（10分）曲线220x z y ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周生成的曲面与1,2z z ==所围成的立体区域记为Ω，本科一级考生做2221dxdydz x y zΩ++⎰⎰⎰ 本科二级考生做()222x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰七（10分）本科一级考生做1）设幂级数21n n n a x ∞=∑的收敛域为[]1,1-，求证幂级数1n n n a x n ∞=∑的收敛域也为[]1,1-；2）试问命题1）的逆命题是否正确，若正确给出证明；若不正确举一反例说明. 本科二级考生做：求幂级数()2112n n n n x ∞=+∑的收敛域与和函数（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

江苏省高中数学竞赛试卷含答案

江苏省高中数学竞赛试卷一、选择题（本题满分30分，每小题6分）1．如果实数m ，n ，x ，y 满足a n m =+22，b y x =+22，其中a ，b 为常数，那么mx +ny 的最大值为（）A ．2b a +B ．abC ．222b a +D ．222b a +2．设)(x f y =为指数函数x a y =．在P （1,1），Q （1,2），M （2,3），⎪⎭⎫ ⎝⎛41,21N 四点中，函数)(x f y =与其反函数)(1x f y -=的图像的公共点只可能是（） A ．P B ．Q C ．M D ．N3．在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么z y x ++的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．44．如果111C B A ∆的三个内角的余弦值分别是 222C B A ∆的三个内角的正弦值，那么（） A ．111C B A ∆与222C B A ∆都是锐角三角形B ．111C B A ∆是锐角三角形，222C B A ∆是钝角三角形 C ．111C B A ∆是钝角三角形，222C B A ∆是锐角三角形D ．111C B A ∆与222C B A ∆都是钝角三角形5．设a ，b 是夹角为30°的异面直线，则满足条件“α⊆a ，β⊆b ，且βα⊥”的平面α，β（）A ．不存在B ．有且只有一对C ．有且只有两对D ．有无数对二、填空题（本题满分50分，每小题10分）6．设集合[]{}{}222<==-=x x B x x x A 和，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，则A B =___________________.7．同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是P =____________（结果要求写成既约分数）. 8．已知点O 在ABC ∆内部，022=++OC OB OA .OCB ABC ∆∆与的面积之比为_________________.9．与圆0422=-+x y x 外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为________________________.10．在ABC ∆中，若tan A tan B =tan A tan C +tanctan B ，则 222c b a +=______________.三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分）1 20.5 1 xyz11．已知函数c bx x x f ++-=22)(在1=x 时有最大值1，n m <<0，并且[]n m x ,∈时，)(x f 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡m n 1,1. 试求m ，n 的值.12．A 、B 为双曲线19422=-y x 上的两个动点，满足0=⋅OB OA 。

江苏省高等数学竞赛试题

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2ln(1x y x +=+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21xx e dx x-=⎰ 5.4211dx x+∞=-⎰6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 7.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==8.级数11(1)!2!n nn n n ∞=+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()bbaab f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x dx ξ=⎰.三．（10分）已知正方体1111ABCD A BC D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。

（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

五（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥六、（12分）求()()21xx y e dx x y dy Γ++++⎰，其中Γ为曲线22201212x x x y x x ⎧≤≤⎨+=≤≤⎩从()0,0O 到()1,1A -.七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-()2,3,,n = 记1n n x a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性.2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）一填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2arctan tan x y x e x =+，/y =3.设由y x x y =确定()y y x =，则dydx= 4.2cos y x =，()()n y x = 5.21xx e dx x-=⎰6.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z ++=确定(),z z x y =，则z z x y∂∂+=∂∂8.设22:2,0D x y x y +≤≥，则D=二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且11()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得0()0f x dx ξ=⎰.四.（12分）求广义积分4211dx x +∞-⎰五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

东南大学大二公共课高等数学竞赛试卷及答案 (4)

东南大学2021年高等数学竞赛暨江苏省普通高等学校非理科专业第九届高等数学竞赛选拔赛试卷课程名称高等数学考试日期得分适用专业考试形式闭卷考试时间长度 180分钟一．填空题(此题共5小题，每题5分，此题总分值25分) 1．当0x →时，34sin sin cos x x x x -+与n x 为同阶无穷小，则n = ； 2．设()d ()1,,d n n m n P x x m n x =-为正整数，则(1)P = ； 3．2sin cos d (cos sin )x x x x x x x +=-⎰ ； 4．1220arctan d (1)x x x =+⎰ ； 5．设sin ,02(),()0,2x x f x x g x x ππ⎧≤≤⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩，则0()()d x f t g x t t -=⎰ . 二．〔此题总分值8分〕设()f x连续，()f x 在0x =处可导，(0)0,(0)0f f '=≠，计算 20020()d lim ()d x x x f t t x f t t →⎰⎰. 自觉遵五．〔此题总分值11分〕证明不等式：20d x x >⎰. 三．〔此题总分值8分〕设()200765432()314231113f x x x x x x =++++-，求12f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭的值.四．〔此题总分值12分〕设()f x '在[,]a b 上连续，()f x 在(,)a b 内二阶可导， ()()0f a f b ==，()d 0ba f x x =⎰，证明：在(,)ab 内至少存在一点ξ，使得()()f f ξξ''=.六．〔此题总分值12分〕设有界函数()f x 在(,)-∞+∞上具有连续导数，()()1f x f x '-≤，求证： ()1,(,)f x x ≤∈-∞+∞.七．〔此题总分值12分〕设函数[,]f C a b ∈，不恒为零，满足0()f x M ≤≤，则()()()24222()()d ()sin d ()cos d 12b b b a a a M b a f x x f x x x f x x x -≤++⎰⎰⎰.八．〔此题总分值12分〕设函数[,]f C a b ∈，且1100()d 0,()d 0f x x xf x x ==⎰⎰，，110()d 0n x f x x -=⎰，10()d 0n x f x x c =>⎰，证明：至少存在一点[,]a b ξ∈，使得 12(1)()()n n n c f b a ξ++≥-.。

江苏高等数学历年(本科三级)竞赛真题(史上最完整) 2

2010第十届高等数学（本科三级）竞赛题一、填空题（每小题4分，共32分）1) ()30sin sin sin lim x x x x→- = 2）()2arctan e tan ,xy x x y '=+=则3）设由y x x y =确定(),y y x =d d yx=则4）()2cos ,n y x y ==则5）21e d xx x x -=⎰6）设 2,,x z f x y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭f 可微，()()123,22,3,23,f f ''==则()()d z,2,1x y ==7) 设函数 (),F u v 可微，由 ()22,0F x z y z++=确定(),,z z x y =则 z z x y∂∂+=∂∂ 8）设22:2,0,d DD x y x y x y +≤≥=则二、（10分）设a 为正常数，使得 2e ax x ≤ 对一切正数x 成立，求常数a 的最小值。

三、（10分）设()f x 在[]01，上连续，且()()110d d f x x x f x x =⎰⎰，求证：存在 ()01,ξ∈，使得 ()0d 0.f x x ξ=⎰四、（12分）求广义积分421d .1x x+∞-⎰五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线。

求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。

六、（12分）已知A B C D 是等腰梯形,8BC AD AB BC CD ++=，∥，求,AB BC AD 的长，使该梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

七、（12分）求二重积分()22cossin d d ,Dx y x y +⎰⎰ 其中 22:1,0,0.D x y x y +≤≥≥2008第九届高等数学（本科三级）竞赛题一、填空题（每小题5分，共40分）1、若2arctan 2limx ax x x bx xπ→∞+=--，则=a ________________；=b ________________.2、()=+∑=∞→nk n k k 131lim________________. 3、()()()()10021---=x x x x x f ，则()=100'f ________________.4、常数=a ______,=b ______时，()bxxx ax x f +++=12在0→x 时，关于x 的无穷小的阶数最高.5、=⋅⎰2032cos sin πxdx x ________________. 6、()⎰∞=+12221dx x x ________________.7、设y x x z -=，则()=∂∂1,2n n yz________________.8、设D ：由0,==x x y ，1=y 所围，则⎰⎰=Dydxdy arctan ________________.二、（8分）设数列{}n x 为：n n x x x +==+6,111 ；求证：数列{}n x 收敛，并求极限。

江苏省高等数学竞赛试题汇总情况

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2ln(1x y x +=+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21xx e dx x-=⎰ 5.211dx x+∞=-⎰6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 7.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==8.级数11(1)!2!n nn n n ∞=+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()bbaab f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x dx ξ=⎰.三．（10分）已知正方体1111ABCD A BC D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。

（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

五（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥六、（12分）求()()21xx y e dx x y dy Γ++++⎰，其中Γ为曲线22201212x x x y x x ⎧≤≤⎨+=≤≤⎩从()0,0O 到()1,1A -.七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-()2,3,,n =记1n n x a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性.2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）一填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2arctan tan x y x e x =+，/y =3.设由y x x y =确定()y y x =，则dydx= 4.2cos y x =，()()n y x = 5.21xx e dx x-=⎰6.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z ++=确定(),z z x y =，则z z x y∂∂+=∂∂8.设22:2,0D x y x y +≤≥，则D=二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且11()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得0()0f x dx ξ=⎰.四.（12分）求广义积分211dx x +∞-⎰五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

2008年第九届江苏省高等数学竞赛题(专科)(修改版)

2008年江苏省高等数学竞赛题（专科）一．填空题（每题5分，共40分）1.___,____a b ==时，2limarctan .2x ax x x bx x π→∞+=-- 2.∑=∞→+n K n k k 1)2(1lim 。

3.设()(1)(2)(100),f x x x x x =--- 则(100)_______.f '=4.a = ，b = 时2()1x f x ax x bx =+++在0→x 时关于x 的无穷小的阶数最高。

5.()22121x dx x +∞=+⎰6.点()2,1,1-关于平面25x y z -+=的对称点的坐标为7.通过点()1,1,1-与直线,2,2x t y z t ===+的平面方程为8.幂级数∑∞=1n n nx 的和函数为，收敛域为。

二．（8分）设数列{}n x 为111,1,2,)n x x n +===L ，证明：数列{}n x 收敛，并求其极限三．（8分）设函数()f x 在[,]a b 上连续(0),()0,ba a f x dx >=⎰求证：存在(,),ab ξ∈使得()().a f x dx f ξξξ=⎰ 四．（8分）将xo y 面上的曲线()()2220x b y a a b -+=<<绕直线3x b =旋转一周得到旋转曲面，求此旋转曲面所围立体的体积。

五．（8分）求⎰+→t t dt tx t 0250)sin(1lim六．（10分）在平面:220x y z ∏+-=内作直线Γ，使直线Γ过另一直线221:343x y z L x y z -+=⎧⎨+-=⎩与平面设∏的交点，且Γ与L 垂直，求直线Γ的参数方程。

七（8分）判别级数)13()1(11--∑∞=+n n n 的敛散性（绝对收敛？条件收敛？发散？）八．（10分）求222()(1)(12)x f x x x +=-+的关于x 的幂级数展开式，并指出收敛域。

第九届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准

第九届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准(非数学类, 2018 年 3 月)一、填空题(满分 30 分，每小题 6 分)：(1) 极限lim tan x - sin x =1.x →0 x ln(1+ s in 2 x )2(2) 设一平面过原点和点(6, -3, 2) ，且与平面4x - y + 2z = 8 垂直，则此平面方程为 2x + 2 y - 3z = 0 .(3) 设函数 f (x , y ) 具有一阶连续偏导数，满足d f (x , y ) = ye y d x + x (1+ y )e y d y ，及 f (0, 0) = 0 ，则 f (x , y ) =xye y .d u (t ) 1 2e t - e +1 (4) 满足 d t = u (t ) + ⎰0 u (t )d t 及u (0) = 1的可微函数u (t ) =3 - e.(5) 设a , b , c , d 是互不相同的正实数，x , y , z , w 是实数，满足a x = bcd ，b y = cda ， c z = dab ， d w = abc ，则行列式= 0.二、(本题满分 11 分) 设函数 f (x ) 在区间(0,1) 内连续，且存在两两互异的点 x 1, x 2 , x 3, x 4 ∈(0,1) ，使得α =f (x 1) - f (x 2 ) < x 1 - x 2 f (x 3 ) - f (x 4 ) =β ，x 3 - x 4证明：对任意λ ∈(α , β ) ，存在互异的点 x , x ∈(0,1) ，使得λ = f (x 5 ) - f (x 6 ) . 5 6 x - x56【证】不妨设 x 1 < x 2 , x 3 < x 4 ，考虑辅助函数F (t ) =f ((1- t )x 2 + tx 4 ) - f ((1- t )x 1 + tx 3 )，……… 4 分(1- t )(x 2 - x 1) + t (x 4 - x 3 )则 F (t ) 在闭区间[0, 1] 上连续，且 F (0) = α < λ < β = F (1) . 根据连续函数介值定理，存在t 0 ∈(0,1) ，使得 F (t 0 ) = λ .………………… 3 分-x 11 1 1 - y11 1 1 -z11 11 -wn n !1⎣ ⎦- ∑π令 x 5 = (1- t 0 )x 1 + t 0 x 3 ， x 6 = (1- t 0 )x 2 + t 0 x 4 ，则 x 5, x 6 ∈(0,1) ， x 5 < x 6 ，且λ = F (t ) = f (x 5 ) - f (x 6 ).………………… 4 分x - x5 6三、(本题满分 11 分)设函数 f (x ) 在区间[0,1] 上连续且⎰1f (x )d x ≠ 0 ，证明：在区间[0,1] 上存在三个不同的点x 1，x 2，x 3 ，使得π1f (x )d x =⎡ 1x 1f (t ) d t + f (x ) arctan⎤8 ⎰⎢1 + x 2 ⎰01x 1 ⎥ x 3⎣ 1 = ⎡ 1x 2 f (t ) d t + f (x ) a rctan x ⎦ ⎤ (1 - x ). ⎢1 + x 2 ⎰0 2 2 ⎥ 3 ⎣ 2 ⎦【证】令 F (x ) = 4 arctan x ⎰0 ，则F (0) = 0, F (1) = 1且函数F (x )在闭⎰f (t )d t区间[0,1] 上可导. 根据介值定理，存在点x 3 ∈(0,1) ，使F (x 3 ) = 1. 2………………… 5 分再分别在区间[0, x 3 ] 与[x 3，1]上利用拉格朗日中值定理，存在x 1 ∈(0,x 3) ，使得F (x 3) - F (0) = F '(x 1)(x 3 - 0) ，即π1⎡ 1 x 1⎤8 ⎰0 f (x )d x = ⎢1 + x 2 ⎰0 f (x ) d x + f (x 1) arctan x 1 ⎥ x 3 ； ……… 3 分⎣ 1 ⎦且存在x 2 ∈(x 3 ,1) ，使F (1) - F (x 3) = F '(x 2 )(1 - x 3) ，即π1f (x )d x =⎡ 1x 2f (x ) d x + f (x) arctan x ⎤(1 - x ) .8 ⎰⎢1 + x 2 ⎰022⎥ 3⎣2⎦………………… 3 分四、(本题满分 12 分) 求极限： lim ⎡n +1 (n +1)! - n n !⎤ .n →∞【解】注意到n +1(n +1)! - n⎡ n +1 (n +1)! n !=n ⎢ ⎤ 1⎥ ，而 ………… 3 分 ⎢ nn ! ⎦⎥ nlim1 nk lnln x d x1lim= en →∞ n k =1n = e ⎰0= ，…………… 3 分nn !xf (t )d t1n n en n ! nn ! ∑∑ 【证】 (1) 二次型 H (x ) = ∑ x -⎝ ⎭n -1 ⎭n n +1- 1 ⋅1 ∑n +1lnk=(n +1)n[(n +1)!] (n !)n +1 = (n +1)n (n +1)= e(n +1)!n n +1k =1 n +1， …… 3 分利用等价无穷小替换e x -1 x (x → 0) ，得lim ⎡ n +1 (n +1)! ⎤ n - 1 n +1 k 1n →∞ nn ! 1⎥ = - lim n +1∑ln n +1 = -⎰0 ln x d x = 1 ， ⎢⎣因此，所求极限为⎦⎥ n →∞⎤k =1⎡ n +1 (n +1)! ⎤ 1lim - = limlim n ⎢ -1⎥ = . …… 3 分n →∞⎦ n →∞ n n →∞ ⎢⎣n n ! ⎦⎥ enn -1五、(本题满分 12 分) 设 x = (x , x , , x )T ∈ R n ，定义 H (x ) =x 2 -xx，n ≥ 2 .1 2 ni =1ii i +1i =1(1)证明：对任一非零 x ∈ R n ， H (x ) > 0 ；(2)求 H (x ) 满足条件 x n = 1的最小值.nn -1 2ii i 1的矩阵为i =1⎛i =11 ⎫2 ⎪ ⎪ - 1 1 - 1 ⎪ 2 2 ⎪ 1 ⎪A = -2 ⎪ ， ……………3 分⎪ 1 ⎪ 1 - ⎪2 ⎪ - 11⎪⎪ ⎝ 2 ⎭因为 A 实对称，其任意k 阶顺序主子式∆k > 0 ，所以 A 正定，故结论成立. ………………… 3 分 (2) 对 A 作分块如下 A = ⎛ A n -1 α ⎫ ，其中α = (0, , 0, - 1)T ∈ R n -1 ，取可逆矩⎛ I - A -1 α ⎫α T 1 ⎪ ⎛ A n -1 2 0 ⎫ ⎛ A n -1 0 ⎫ 阵 P = n -1 n -1 ⎪ ，则 P T AP = ⎪ = ⎪ ，其中⎝ 01 ⎭ ⎝ 0 1- α T A -1α ⎝ 0 a ⎭ n +1(n +1)!nn !⎡n +1 (n +1)! ⎣⎢ 1 -n -1 ⎛ f ⎫ ∂x ∂y a = 1- α T A -1α .………………… 3 分记 x = P (x ,1)T ，其中 x = (x , x , , x )T ∈ R n -1 ，因为12n -1H (x ) = x T Ax = (x T ，1)P T (P T )-1 ⎛ An -10 ⎫ P -1P ⎛ x 0 ⎫ = x TA x + a ，0 0a ⎪ 1 ⎪ 0 n -1 0⎝⎭ ⎝ ⎭且 A 正定，所以 H (x ) = x T A x + a ≥ a ，当 x = P (x ,1)T = P (0,1)T 时， H (x ) = a .n -10 n -1 0因此， H (x ) 满足条件 x n = 1的最小值为a .………………… 3 分六、(本题满分 12 分) 设函数 f (x , y ) 在区域 D = {(x , y ) x 2 + y 2 ≤ a 2}上具有一阶连续偏导数，且满足 f (x , y )⎡ ∂ 2 = a 2，以及 max ⎢⎛ ∂f ⎫2⎤ +⎥ = a 2 ，其x 2 + y 2 =a 2中a > 0 . 证明： ⎰⎰ f (x , y )d x d y ≤ 4π a 4 .( x , y )∈D⎪ ⎢⎣⎝ ⎭ ⎪ ⎝ ⎭ ⎥⎦D3 【解】在格林公式P (x , y )d x + Q (x , y )d y = ⎛ ∂Q - ∂P ⎫d x d y ⎰ ⎰⎰ ∂x ∂y ⎪C D ⎝⎭中，依次取 P = yf (x , y ) ， Q = 0 和取 P = 0 ， Q = xf (x , y ) ，分别可得⎰⎰ f (x , y )d x d y = - ⎰ yf (x , y )d x - ⎰⎰ y ∂fd x d y ， D C D ∂y⎰⎰ f (x , y )d x d y = ⎰ xf (x , y )d y - ⎰⎰ x ∂fd x d y .两式相加，得D C D ∂x= a 2 -+- 1⎛ ∂f +∂f ⎫= + ⎰⎰ f (x , y )d x d y2⎰ y d x x d y 2 ⎰⎰ x∂x y ∂y ⎪d x d y I 1 I 2DCD ⎝ ⎭ ………………… 4 分a224对 I 1 再次利用格林公式，得 I 1 =2⎰ - y d x + x d y = a ⎰⎰ d x d y = π a ， …… 2 分CD对 I 2 的被积函数利用柯西不等式，得I 2 ≤ 1⎰⎰ x∂f+ yd x d y ≤1 ⎰⎰d x d y∂f ∂y2 D ∂x2 Dn n =1≤ax d y = 1π a 4 ，………………… 4 分2 D3因此，有⎰⎰f (x , y )d x d y ≤ π a 4 + 1 π a 4= 4 π a 4 . …………… 2 分D七、(本题满分 12 分) 设0 < a 3 3ln 1< 1 ,n = 1, 2, ，且lim a n= q (有限或+ ∞ ).nn →∞ln n∞∞(1)证明：当q > 1 时级数∑ a n 收敛，当q < 1 时级数∑ a n 发散；n =1n =1(2)讨论q = 1 时级数∑ a n 的收敛性并阐述理由.n =1证: (1)若 q > 1 ，则∃ p ∈ R ,s.t. q > p > 1 .根据极限性质， ∃N ∈ Z + ，s.t.ln 1a n1 ∞1∞∀n > N ，有ln n> p ，即a n <n p，而 p > 1时∑n p 收敛,所以∑ a n 收敛.n =1n =1若q < 1 ，则 ………………… 3 分∃ p ∈ R ，s.t. q < p < 1. 根据极限性质，∃N ∈ Z + ,s.t. ∀n > N ，ln 1a n1∞1∞有 ln n < p ，即a n > n p ，而 p < 1时∑ n p 发散,所以∑ a n 发散. n =1 n =1………………… 3 分(2) 当q = 1 时，级数∑ an可能收敛，也可能发散.n =11∞例如： a n = 满足条件，但级数∑ a n 发散； ………………… 3 分n =11 ∞又如： a n =n ln 2 n满足条件，但级数∑ a n 收敛. ………………… 3 分∞∞。

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2008年江苏省普通高等学校第九届
高等数学竞赛试题(本科三级、民办本科)
一填空题(每小题5分，共40分)
1.=a ，=b 时，2
arctan 2lim
π-=-+∞→x x bx x ax x 。

(只对一个给3分；4题同) 2.=+∑=→n k x k k 10)
3(1lim 。

3.设)100()2)(1()(---=x x x x x f ，则=')100(f 。

4.=a ，=b 时，bx x x ax x f ++
+=1)(2在0→x 时关于x 的无穷小的阶数最高。

5.=⋅⎰2032cos sin π
xdx x 。

6.=+⎰∞+1222)1(dx x x 。

7.设y x x z -=，则=∂∂)
1,2(n n x z 。

8.设D 为1,0,===y x x y 所围区域，则
=⎰⎰dxdy y D arctan 。

二、(8分)设数列}{n x 为：),2,1(6,111 =+=
=+n x x x n n ，求证：数列}{n x 收敛，
并求其极限。

三、(8分)设函数)(x f 在],[b a 上连续)0(>a ，
0)(=⎰b a dx x f ，求证：存在),(b a ∈ξ，使得⎰=ξ
ξξa f dx x f )()(。

四、(8分)将y x 0平面上的曲线)0()(222b a a y b x <<=+-绕直线b x 3=旋转一周得到旋
转曲面，求此旋转曲面所围立体的体积。

五、(8分)设⎪⎩
⎪⎨⎧=≠+++= )0,0(),( 0 )0,0(),(,),(24222，，，y x y x y x y x y x y x f 讨论),(y x f 在)0,0(处的连续性、可偏导性、可微性。

六、(10分)已知曲面144222=-+z y x 与平面0=-+z y x 的交线在y x 0平面上的投影为一
椭圆，求此椭圆的面积。

七、(8分)本题有两小题，本三考生做第1题，民办本科考生做第2题，多做不加分，做错题不
给分。

1.(本三考生做)求⎰⎰+→t
x t t dy y dx t )sin(1
lim 2040。

2.(民办本科考生做)在平面202:=-+z y x π内作一直线Γ，使直线Γ过另一直线
⎩
⎨⎧=-+=+-343,122:z y x z y x L 与平面π的交点，且Γ与L 垂直，求直线Γ的参数方程。

八、(10分)求⎰⎰-+D dxdy y x 122，这里x y x y x D ≤≤≤+0,2:22。