数学思维方法提纲

数学思维方法复习提纲

1、数学思维方法的层次性(P11)

（1）哲学意义上思辨的数学思维方法

（2）一般科学方法或称之为属于一般科学方法论形式的数学思维方法

（3）具有独特数学特征的思维方法

（4）初等数学特别是中小学中解题技能的思维方法

2、现代数学教育中，数学思维的教学有什么意义？(P18)

（1）数学思维的教学可以培养人们对数学观念、数学思想、数学理论的广泛理解。

（2）数学思维的教学可以使人们在处理问题时迅速抓住事物的本质，从而找到解决问题的办法。

（3）数学思维的教学可以使人们形成良好的思维习惯，增强人们在处理问题时的应变能力。

3、创造性思维在数学中的表现特点：

（1）创见性、新颖性是创造性思维的主要标志。

（2）发散思维与收敛思维相结合是创造性思维的基本图式。

（3）积极地创造性想象与现实统一是创造性思维的重要环节。

（4）专注与灵感是创造性思维的重要特点。

4、数学创造性思维的培养应注意的四个方面：

（1）在培养创造性因素方面，教师要设法引起学生的数学兴趣，并且积极提出问题来参与数学的教学活动。

（2）在数学知识和方法的储备方面，使学生根据自己的理解主动的掌握数学的知识和方法。

（3）在数学思维方式方面，由于逻辑思维是数学知识和理论的主要表现形式，因此应当格外注重非逻辑思维的培养。

（4）在具体创新思维方面，由于创造性思维方法已经有很多成熟的广泛运用的方法，所以在数学教学中应当有意识地学习或运用，使之与数学某些具体的问题相结合。

5、数学解题目标：

第一，通过解题加深对知识的理解，尤其是加强对基本概念、公式和理论的理解，使抽象的数学知识具体化。

第二，学会在解题中运用数学知识，增强自己解决实际问题的能力，尤其是把数学知识运用到具体问题上的能力。

第三，掌握数学思维方式，培养自己数学创造性思维的能力，这是培养数学学习兴趣，培养数学学习自信力的重要目标。

6、公理化方法的作用：

（1）公理化方法可以帮助一门学科由经验知识阶段迅速地上升到一种理性结构阶段。（2）公理化方法可以进一步推动科学理论的发展。

（3）公理化方法在自然科学中的应用。

（4）公理化方法推动了结构主义运动。

（5）公理化方法有利于培养逻辑思维能力。

7、中小学常见的数学模型（举例说明）

1、经济生产类方面的数学模型（P160例2）

2、运动事物的数学模型（如：一休解题）

3、概率、统计类的数学模型（P161例3）

4、逻辑程序方面的数学模型（P162-163例如）

8、中小学数学模型方法的教学应当强调哪些方面的问题？

1、通过对数学模型的构造能够深入的认识和理解数学的本质特征

2、运用数学模型的直观、形象作用，强化学生的数学感受能力

3、引导学生学会运用典型的数学模型方法，解决具体问题

9、对于化归法的应用，应当注意的三个问题：

1、化归在数学中的运用，不仅是转化而且还是一个"熟化"的过程

2、化归作为一种思维方式，作为一种解题方法，它体现了一种化难为易的形式

3、化归作为一种解题方式，有时会把一般性问题转化为特殊问题

10、类比猜想的图式表示：

A对象具有属性a,b,c,d

B对象具有属性a,b,c,d

B对象可能具有属性d

11、归纳猜想的图式表示：

S1具有P属性，

S2具有P属性，

......

S1，S2，......都是S类的典型

那么，一切S都有可能具有P属性

12、反例的作用：

第一，反例有助于发现原有数学理论的局限性，从而推动数学的迅速发展。

第二，反例有助于澄清数学概念和理论，从而使人们深入理解数学的内涵。

第三，反例有助于数学的学习，有助于提高数学学习的兴趣和研究、构造数学的能力。

论述：数学模型建构的步骤，并能用一个例子加以说明。（P158）

第一步，弄清实际问题：对所研究的实际问题即现实原型进行分析，确定对象与结构关系（包括量变因果关系）的本质属性，以确定其类别以及准备采用的基本数学方法。

第二步，化简问题：确定所研究对象的关系并力求抓住主要矛盾。在对所研究对象进行全面、深入、细致地分析的基础上，归纳、综合、抽象出主要特征来，也可以借助于物理图像或机械形象，使所研究的对象图象化、形象化，以便确立对象的系统类别。

第三步，建立数学模型：进行数学意义上的思维创造，即进行数学上的抽象化过程，并对事物及诸对象间的关系给予数学上概念、符号、语言规范的表达式（即数学模型）。

第四步，模型求解和检验：对已构造的数学模型进行理论和实践两个方面的检验。理论上，首先要看其表述能否真正表达原型的本质关系结构，其次是理论自身的问题是否可以解决。否则就要对所建立的模型进行修改。

1弄清实际问题;这是一个随机性类型的问题.

2化简问题。有关的因素是甲方已经胜第一局，后两局甲乙都有胜负的可能。比赛规则为三局两胜制，所以甲只要再胜一局就赢了。

3建立数学模型。甲可能胜得机会;

4模型求解和检验:在第二、三局中，甲共有4次机会，从图可看出甲有3/4的机会获胜。所以乙有1/4的

案例1：三段论：是由两个判断，得出第三个判断的一种推理方式。

三段论基本模式：大前提：一切M都是(或不是)P,

小前提：S是M，

结论：S是（或不是）P

案例2、观察与实验。能结合实例说明观察与实验在中小学数学学习中的作用。

案例3、给出一个数学命题，写出解题思维方法，框图表示。

案例4、分析法与综合法

分析法：把研究对象分解各个组成部分、各个不同的因素、各个不同的层次，然后分别地加以研究探索，从而深刻地认识和理解事物的一种方法。

综合法：把研究对象的各个部分、方面、因素都联系起来加以研究考虑，从而在整体上认识和掌握事物的本质和规律的一种思维方法。

数学思维方法研究的对象：思维、数学思维、数学发展中的发现、发明与创造的思维过程。

思维：是人脑借助于语言对客观事物的本质及其规律的间接与概括的反映。

思维的特征：思维的方向性、思维的概括性、思维的间接性

思维的分类：（1）根据思维的形态不同分为：动作思维、形象思维、抽象思维（2）根据思维过程的指向不同：集中思维、发散思维（3）根据思维的智力品质不同：习惯性思维、创造性思维

数学思维：是人脑在和数学对象交互作用的过程中，运用特殊的数学符号语言以抽象和概括为特点，对客观事物按照数学自身的形式或规律做出的间接概括的反映。

数学思维的过程：就是不断提出问题的过程

数学思维的能力：就是提出数学问题、解决数学问题的能力

数学思维的特征：高度抽象性、形式化的严谨性、表现方式的多样性

数学思维方法：是由数学的符号、概念、语言按照数学特定的规律、法则，运用数学思维在数学领域中形成的一种方法。

数学思维方法分类：

按照数学思维方法适用的范围不同：宏观思维方法、微观思维方法

按照数学思维的逻辑形式不同：逻辑思维方法、非逻辑思维方法

按照数学思维解决问题的方式不同：程式化思维、发现性思维

逻辑思维的主要类型：形式逻辑、数理逻辑、辩证逻辑

逻辑思维基本规律：同一律、矛盾律、排中律、充足理由律

逻辑思维基本形式：数学概念、数学判断、数学的推理与证明

归纳推理的概念：是由已知为真的命题做前提，引出可能真实命题做结论的推理。

归纳推理的分类：不完全归纳推理、完全归纳推理

演绎推理：是从一般原理推导出个别结论的思维方法，即从一般性较大的前提推导出一般性较小结论的推理方法。

三段论：是由两个判断，得出第三个判断的一种推理方式。

数学中的非逻辑思维包括：形象思维、直觉思维、灵感思维、想象

形象思维：是以直观形象和表现来思考问题的思维，它不是以概念为单元来进行思维，