数学模型课程设计-中国人口增长预测

中国人口增长预测

摘要: 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。对此，我们建立了短期与长期两种预测人口增长的模型，并对附录中城镇乡的人口演变趋势做拟合与分析。

本文的建模过程选用了1996年到2005年的人口数据。短期人口预测用曲线的直接拟合，分析出人口的增长趋势。人口的出生率与死亡率均符合指数函数bt

=+，利

y ae c

用logistic模型求出人口最大上限

x，据此拟合人口增长的指数函数x（t），预测

m

2006-2011年的人口数量。长期预测中，建立灰色动态模型GM（1,1）预测中国人口长期增长趋势。在解系数的过程中运用了最小二乘法，得出预测人口数据的方程)0(ˆx，并预测2011年到2015年的人口数量。在对中国总人口进行短期和中长期的总体预测后，我们从附件中提取出城、镇、乡三地人口、男女出生性别比、老龄人口比率等相关数据，对中国未来城、镇、乡三地人口比例、男女出生性别比、妇女生育率、老龄人口比率等影响人口发展的主要因素做趋势预测，从而达到了对中国人口全方位的预测。

关键词: 曲线拟合、灰色动态模型、最小二乘法、自然增长率

一、问题的重述

中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。

近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》还做出了进一步的分析。

关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。

试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测。

二、符号说明

nianfen 年份

chusheng 出生率

bata0 估计的参数值

nlinfit 非线性拟合函数

1

y出生率函数

2

y死亡率函数

m

x人口上限

t 时间

x（t）人口增长函数

X(0)中国各年人口总数

X(1) X(0)的一次累加序列

Z(1) X(1)的紧邻均值生成数列

-a 发展系数

b 灰色作用量

)0(ˆx人口预测值

c 均方差

k

∆相对误差

三、模型的假设

1.假设人口迁入迁出对问题产生的影响可以忽略；

2.忽略社会环境、自然、经济、文化水平的对人口的影响；

3.长期预测中，不考虑出生率、死亡率等因素的影响。

四、模型的建立与求解

4.1中国人口短期预测的模型建立与求解

根据查找资料得到，人口死亡率，出生率与人口增长符合指数增长的模型bt

y ae c

=+。模型选取了1996年到2005年的全国人口进行nlinfit拟合。（代码见附录一）

处理人口增长函数时，考虑到人口数量受资源等因素的约束，中国人口将有一个上限。定义函数时，用“人口上限与指数函数相减”模式。死亡率、出生率等客观因素很大程度上影响着中国人口的变化趋势。而且随着环境等的因素，中国的总人口最终会趋

向一个固定值，即最大容纳量x

m，由logistic模型求出。假设x

m

在短时间内不会改变，

则可利用逐年的历史数据来计算出人口增长率的变化情况。

设x(t)为第t年中国总人口数，r为人口的增长率，x

m

为中国人口的最大容纳量。

建立logistic 模型

20(0)m dx r rx x dt x x x ⎧=-⎪⇒⎨⎪=⎩ 2

0(0)dx x x

dt x x αβ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ （1）

解得：0()11m rt

m x x t x e

x -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭

，m x α

β=

将1996-2005年中国人口总数带入方程（1），导数用一阶差商来代替：

()()()2i h i i f x f x h dx

f x dt h

+--'≈= （2）

得方程组

(0)(0)(0)(0)

20000(0)(0)

(0)(0)

20000(0)(0)

(0)(0)2

0000(3)(1)(2)(2)2(4)(2)(3)(3)2()(2)(1)(1)2

x x x x x x x x x n x n x n x n αβαβαβ⎧-=-⎪

⎪-⎪=-⎪

⎨⎪⎪--⎪=---⎪⎩ （3）

由最小二乘法求解出,αβ 可得：m x

设置系数的初始值beta0，beta0是使函数收敛的值。并由代码拟合，分别得到出生率和死亡率的函数。（详细代码见附录一） 出生率函数： 1959.7455346.7280008.01+-=t e y （4） 死亡率函数 8561.943434.880001.02+-=t e y （5） 将logistic 模拟出的数据m x 代入bt y ae c =+的常数项，用MATLAB 求解（方法同（4）、（5）） 人口增长函数：

0.027837046()37355.571160000t x t e -=-+ 保留结果时，用digits ，vpa 来精确位数。

由拟合函数求得预测死亡率与出生率。并计算相对误差见表1