2017北京四中高三(上)期中数学(理科)

2017北京四中高三（上）期中数学（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，则∁U A=（）A．{4}B．{3，4}C．{3}D．{1，3，4}2．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n3．（5分）为了得到函数y=lg的图象，只需把函数y=lg x的图象上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度4．（5分）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A．0 B．1 C．D．25．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．846．（5分）已知x∈R，则“α=π”是“sin（x+α）=﹣sinx”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上单调递增，a=f（3），b=f（），c=f（2），则a，b，c大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a8．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥kx，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分.）9．（5分）设i是虚数单位，则=．10．（5分）执行如图所示的框图，输出值x=．11．（5分）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=时，{a n}的前n项和最大．12．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式xf（x）＞0的解集为．13．（5分）要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米200元，侧面造价是每平方米100元，则该容器的最低总造价是元．14．（5分）已知函数y=f（x），任取t∈R，定义集合：A t={y|y=f（x）}，点P（t，f（t）），Q（x，f （x））满足|PQ|．设M t，m t分别表示集合A t中元素的最大值和最小值，记h（t）=M t﹣m t．则（1）若函数f（x）=x，则h（1）=；（2）若函数f（x）=sin x，则h（t）的最小正周期为．三、解答题（共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）15．（13分）集合A={x|x2﹣3x+2＜0}，B={x|＜8}，C={x|（x+2）（x﹣m）＜0}，其中m∈R．（Ⅰ）求A∩B；（Ⅱ）若（A∪B）⊆C，求实数m的取值范围．16．（13分）已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．17．（13分）已知函数f（x）=4sinxcos（x+），x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调减区间；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值与最小值．18．（13分）已知函数f（x）=ln（ax+1）+，其中a＞0．（Ⅰ）若a=1，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．19．（14分）设函数f（x）=（alnx+e x，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=e（x ﹣1）+2．（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）设g（x）=xe﹣x﹣，求g（x）的最大值；（Ⅲ）证明函数f（x）的图象与直线y=1没有公共点．20．（14分）对于集合M，定义函数对于两个集合M，N，定义集合M△N={x|f M（x）•f N（x）=﹣1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，16}．（Ⅰ）写出f A（1）和f B（1）的值，并用列举法写出集合A△B；（Ⅱ）用Card（M）表示有限集合M所含元素的个数，求Card（X△A）+Card（X△B）的最小值；（Ⅲ）有多少个集合对（P，Q），满足P，Q⊆A∪B，且（P△A）△（Q△B）=A△B？参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.）1．【解答】全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，则∁U A={3，4}，故选：B2．【解答】命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．3．【解答】∵，∴只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度故选C．4．【解答】作出不等式组表示的平面区域，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z=0+2×1=2．最大值故选：D．5．【解答】∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故选：B6．【解答】当“α=π”⇒“sin（x+α）=﹣sinx“当sin（x+α）=﹣sinx，α=（2k+1）π，k∈Z所以后者推不出前者，所以“α=π”是“sin（x+α）=﹣sinx“的充分而不必要条件．故选A．7．【解答】由条件f（x+1）=﹣f（x），可以得：f（x+2）=f（（x+1）+1）=﹣f（x+1）=f（x），所以f（x）是个周期函数．周期为2．又因为f（x）是偶函数，所以图象在[0，1]上是减函数．a=f（3）=f（1+2）=f（1），b=f（）=f（﹣2）=f（2﹣）c=f（2）=f（0）0＜2﹣＜1所以a＜b＜c故选D8．【解答】由题意可得，①当x≤0时，|﹣x2+2x|≥kx恒成立，即x2﹣2x≥kx，即x2≥（k+2）x，∴x ≤k+2，∴k+2≥0，k≥﹣2．②当x＞0时，ln（x+1）≥kx恒成立，∴0≥kx，求得k≤0．综上可得，k的取值为[﹣2，0]，故选：D．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分.）9．【解答】=，故答案为：﹣i．10．【解答】模拟程序框图的运行过程，如下；x=1是奇数，则x+1=2是偶数，x+2=4，4+1=5是奇数，则5+1=6，6+2=8，8+1=9是奇数，9+1=10，10+2=12＞8；输出x=12．故答案为：12．11．【解答】由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a8＞0，∴a8＞0，又a7+a10=a8+a9＜0，∴a9＜0，∴等差数列{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴等差数列{a n}的前8项和最大，故答案为：8．12．【解答】f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，故当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣4x，故函数f（x）的图象如图：不等式xf（x）＞0，即①，②．解①可得x＞4，解②可得x＜﹣4，故不等式的解集为（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）．13．【解答】设长方体容器的长为xm，宽为ym，则x•y•1=4，即xy=4，则该容器的造价为：z=200xy+100（x+x+y+y）=800+200（x+y）≥800+200×2=800+800=1600．（当且仅当x=y=2时，等号成立）故该容器的最低总价是1600元．故答案为：1600．14．【解答】（1）若函数f（x）=x，则点P（t，t），Q（x，x），∵|PQ|，∴≤，化简可得|x﹣t|≤1，﹣1≤x﹣t≤1，即1﹣t≤x≤t+1，即M t =1+t，m t =1﹣t，∵h（t）=M t﹣m t ，h（1）=（1+1）﹣（1﹣1）=2．（2）若函数f（x）=sin x，此时，函数的最小正周期为=4，点P（t，sin），Q（x，sin），如图所示：当点P在A点时，点O在曲线OAB上，M t=1，m t=0，h（t）=M t﹣m t=1．当点P在曲线上从A接近B时，h（t）逐渐增大，当点P在B点时，M t=1，m t=﹣1，h（t）=M t﹣m t=2．当点P在曲线上从B接近C时，h（t）逐渐见减小，当点P在C点时，M t=1，m t=0，h（t）=M t﹣m t=1．当点P在曲线上从C接近D时，h（t）逐渐增大，当点P在D点时，M t=1，m t=﹣1，h（t）=M t﹣m t=2．当点P在曲线上从D接近E时，h（t）逐渐见减小，当点P在E点时，M t=1，m t=0，h（t）=M t﹣m t=1．…依此类推，发现h（t）的最小正周期为2，故答案为2．三、解答题（共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）15．【解答】（Ⅰ）A={x|x2﹣3x+2＜0}=（1，2）；；所以A∩B=（1，2）；（Ⅱ）A∪B=（0，4），若m＞﹣2，则C=（﹣2，m），若A∪B=（0，4）⊆C，则m≥4；若m=﹣2，则C=∅，不满足A∪B=（0，4）⊆C，舍；若m＜﹣2，则C=（m，﹣2），不满足A∪B=（0，4）⊆C，舍；综上m∈[4，+∞）．16．【解答】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由题意得d===3．∴a n=a1+（n﹣1）d=3n（n=1，2，…）．∴数列{a n}的通项公式为：a n=3n；设等比数列{b n﹣a n}的公比为q，由题意得：q3===8，解得q=2．∴b n﹣a n=（b1﹣a1）q n﹣1=2n﹣1．从而b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．∴数列{b n}的通项公式为：b n=3n+2n﹣1；（2）由（1）知b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．数列{3n}的前n项和为n（n+1），数列{2n﹣1}的前n项和为=2n﹣1．∴数列{b n}的前n项和为n（n+1）+2n﹣1．17．【解答】（Ⅰ）由题意：函数f（x）=4sinxcos（x+），x∈R；化简可得：=====．根据正弦函数的图象和性质：可得，是单调递减，解得：，所以函数f（x）的单调减区间为．（Ⅱ）因为，所以，故得，于是，所以﹣2≤f（x）≤1．当且仅当时f（x）取最小值；当且仅当，即时最大值．故得函数f（x）在上的最大值是1，最小值为﹣2．18．【解答】定义域为[0，+∞）.．（Ⅰ）若a=1，则，令f'（x）=0，得x=1（舍﹣1），所以a=1时，f（x ）的单调增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．（Ⅱ），∵x≥0，a＞0，∴ax+1＞0，①当a≥2时，在区间（0，+∞）上，f′（x）＞0，∴f（x）在[1，+∞）单调递增，所以f（x）的最小值是f（0）=1；②当0＜a＜2时，由f′（x）＞0，解得：x＞，由f′（x）＜0，解得：x＜，∴f（x）的单调减区间是（0，），单调递增区间是（，+∞），所以f（x）在x=处取得最小值，注意到f（）＜f（0）=1，所以不满足，综上可知，若f（x）得最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）．19．【解答】（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞），．由题意可得f（1）=2，f'（1）=e.．（Ⅱ）．所以当x∈（0，1）时，g′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0．故g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，从而g（x）在（0，∞）的最大值为g（1）=﹣．（Ⅲ），又f（1）=eln1+2e0=2＞1，于是函数f（x）的图象与直线y=1没有公共点等价于f（x）＞1．．设函数h（x）=xlnx，则h'（x）=lnx+1.．故h（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增，从而h（x）在（0，+∞）的最小值为h （）=﹣．由（Ⅱ）知综上，当x＞0时，h（x）＞g（x），即f（x）＞1．20．【解答】（Ⅰ）结合所给定义知，f A（1）=1，f B（1）=﹣1，A△B={1，6，10，16}．（Ⅱ）根据题意可知：对于集合C，X，①若a∈C且a∉X，则Card（C△（X∪{a}）=Card（C△X）﹣1；②若a∉C且a∉X，则Card（C△（X∪{a}）=Card（C△X）+1．所以要使Card（X△A）+Card（X△B）的值最小，2，4，8一定属于集合X；1，6，10，16是否属于X不影响Card（X△A）+Card（X△B）的值，但集合X不能含有A∪B之外的元素．所以当X为集合{1，6，10，16}的子集与集合{2，4，8}的并集时，Card（X△A）+Card（X△B）取到最小值4．所以Card（X△A）+Card（X△B）的最小值（Ⅲ）因为A△B={x|f A（x）•f B（x）=﹣1}，所以A△B=B△A．由定义可知：f A△B（x）=f A（x）•f B（x）．所以对任意元素x，f（A△B）△C （x）=f A△B（x）•f C（x）=f A（x）•f B（x）•f C（x），f A△（B△C）（x）=f A（x）•f B△C（x）=f A（x）•f B（x）•f C（x）．所以f（A△B）△C （x）=f A△（B△C）（x）．所以（A△B）△C=A△（B△C）．由（P△A）△（Q△B）=A△B知：（P△Q）△（A△B）=A△B．所以（P△Q）△（A△B）△（A△B）=（A△B）△（A△B）．所以P△Q△∅=∅．所以P△Q=∅，即P=Q．因为P，Q⊆A∪B，所以满足题意的集合对（P，Q）的个数为27=128．第11页共11 页。