浅谈初中数学中分类讨论的划分标准

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中考数学解题方法:分类讨论

中考数学解题方法:分类讨论

中考数学解题方法:分类讨论Ⅰ、专题精讲:在数学中,我们常常需要根据研究对象性质的差异,分各种不同情况予以考查.这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法,同时也是一种解题策略.分类是按照数学对象的相同点和差异点,将数学对象区分为不同种类的思想方法,掌握分类的方法,领会其实质,对于加深基础知识的理解.提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的.正确的分类必须是周全的,既不重复、也不遗漏.分类的原则:(1)分类中的每一部分是相互独立的;(2)一次分类按一个标准;(3)分类讨论应逐级进行.Ⅱ、典型例题剖析【例1】如图3-2-1,一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB 和双曲线.直线AB 与双曲线的一个交点为点C ,CD ⊥x 轴于点D ,OD =2OB =4OA =4.求一次函数和反比例函数的解析式. 解:由已知OD =2OB =4OA =4,得A (0,-1),B (-2,0),D (-4,0).设一次函数解析式为y =kx +b .点A ,B 在一次函数图象上,∴⎩⎨⎧=+--=,02,1b k b 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.1,21b k 则一次函数解析式是 .121--=x y点C 在一次函数图象上,当4-=x 时,1=y ,即C (-4,1). 设反比例函数解析式为m y x=. 点C 在反比例函数图象上,则41-=m ,m =-4. 故反比例函数解析式是:xy 4-=. 点拨:解决本题的关键是确定A 、B 、C 、D 的坐标。

【例2】如图3-2-2所示,如图,在平面直角坐标系中,点O 1的坐标为(-4,0),以点O 1为圆心,8为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点,过点A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°角。

以点O 2(13,5)为圆心的圆与x 轴相切于点D.(1)求直线l 的解析式;(2)将⊙O 2以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移,同时直线l 沿x 轴向右平移,当⊙O 2第一次与⊙O 2相切时,直线l 也恰好与⊙O 2第一次相切,求直线l 平移的速度;(3)将⊙O 2沿x 轴向右平移,在平移的过程中与x 轴相切于点E ,EG 为⊙O 2的直径,过点A 作⊙O 2的切线,切⊙O 2于另一点F ,连结A O 2、FG ,那么FG ·A O 2的值是否会发生变化?如果不变,说明理由并求其值;如果变化,求其变化范围。

初中数学思想方法之分类讨论

初中数学思想方法之分类讨论

初中数学思想方法之分类讨论数学是一门既抽象又具体的学科,它需要学生具备一定的思维方法和思想能力。

在初中数学中,分类讨论是一种常用的思想方法,它可以帮助学生分析问题、归纳规律并解决问题。

本文将详细介绍初中数学中分类讨论的基本思想和具体步骤,并通过例题来说明如何运用这种方法。

一、分类讨论的基本思想分类讨论是指将问题进行细化,将其分解成几个易于分析和解决的小问题,并分别进行讨论和解决。

通过这种方法可以更好地理解问题的本质,找到解题的关键点,并最终得到问题的解决办法。

分类讨论的基本思想包括以下几点:1.具体问题具体分析。

将问题进行细化后,每个小问题都有其独特的特点和解决思路,需要根据具体情况展开分析。

2.归纳总结。

在分析过程中,要总结出各个小问题之间的共同点和规律,以便更好地理解问题,并找到解决办法。

3.统一思考。

将各个小问题的解决办法进行归纳和整合,形成对大问题的解决思路。

二、分类讨论的具体步骤分类讨论的具体步骤可以简单概括为以下几点:1.理解问题。

仔细阅读题目,了解问题的背景和要求,确定需要解决的具体问题。

2.分析问题。

将大问题分解成几个小问题,每个小问题都有明确的目标和限制条件。

在分析过程中,可以通过画图、列举数据等方式进行辅助分析。

3.解决小问题。

按照特定的思路和方法,分别解决各个小问题。

在解决过程中,可以运用已经学过的数学知识、规律和公式。

4.总结归纳。

在解决小问题的过程中,要总结各个小问题之间的共同点和规律,归纳出解决大问题的关键思路和方法。

5.整合答案。

将各个小问题的解答整合成对大问题的解答。

在整合过程中,要仔细检查各个小问题的解答是否符合大问题的要求,并进行必要的修正和调整。

三、分类讨论的具体例题下面以一些常见的初中数学题目为例,说明如何运用分类讨论的方法解决问题。

例题1:现有一些白球和红球,共18个。

白球的个数不超过红球的个数。

问,最少有多少个红球?解题思路:根据题目要求和条件,可以将问题进行分类讨论。

初一数学中的分类讨论思想1

初一数学中的分类讨论思想1

B D
图2 A
B
图3
小 结
谈谈本节课你的收获: 1、什么是分类讨论思想
2、什么类型的问题需要分类讨论
3、分类讨论的原则
情景再现
1、在直线l上顺次取A,B,C三点,使得AB=4cm, BC=3cm,若点O是线段AC的中点,则线段OB的长度 是多少?
2、在直线l上取A,B,C三点,使得AB=4cm,BC=3cm, 若点O是线段AC的中点,则线段OB的长度是多少?
初一数学中的分类讨论思想
分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究
四、由于问题中的几何图形的不确定而需要 对其分类
如图,线段OD的一个端点O在直线a上,在直线a 上找一个点P,使△ODP成为一个等腰三角形,这样的 等腰三角形能画多少个?请你试试看. D
P1

P4
P2
P3 a
四、由于问题中的几何图形的不确定而需要 对其分类。
1、已知实数x、y满足 x 4 y 8 0 ,则以x、 y的值为两边长的等腰三角形的周长是多少?
时,我们就需要对研究对象进行分类,然后对每一类分别 进行研究,得出每一类的结论,最后综合各类的结果,得 到整个问题的解答. 实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零 为整”的策略. 分类讨论的原则是“不重不漏”
你能举例说出什么情况下需要分类讨论吗?
一、由于问题涉及到需要分类讨论的有关概念、法 则、性质而对其分类
A
D
B C D
图1
A
பைடு நூலகம்
解:设AB=AC,BD⊥AC; (1)高与底边的夹角为250时,高一定在△ABC 的内部, 如图1,∵∠DBC=250,∴∠C=900-∠DBC=900250=650, ∴ ∠ABC=∠C=650,∠A=1800-2×650=500。

浅谈初中数学中的分类讨论思想

浅谈初中数学中的分类讨论思想
关键词 : 分类讨论 中学数 学 中图分类号 : 3 G62 文献标识码 : C 文章编号 :6 2 8 8 (叭0 0 — 1 5 0 17 - 11 2 )3 06 — 1
1 引言
角为底角或者 大角为底 角 , 或者小 的数值为腰 , 大的为腰 , 就导致 得 出的结论 只有① 或者② 中的一种 。我 们作为老师 的就 必须在 教学 的过程 中不断 的建立起 分类 的思 想 , 并学会分类 。 例 3 解关于 x , 的不等式 :x a +5>3+ xa
中 的应 用 。
例 1 等腰三角形 的两角之差 为 3 ̄求该 三角形的各内角的 , 0,
度数. 解: 设较小内角为 X 则较 大内角为 X 0 , +3 。
[ 许德 责, 1 】 徐颖, 王春 清. 转化思 想在数 学解题 中的运用U. J中小学
教 学研 究.
① 当较小角为底角时 , + +x 3 ’ 81解得 x 5  ̄ x x ( ) ( + =1 0 = 0

NO. 3

Ma c rh
T ME D C T O I E U I 1 N A
浅谈初 中数 学 中的分 类讨 论思想
徐翠 英
摘要 : 分类讨论是 一种重要的逻辑 思维方法 , 也是 一种 重要 的数 学思维方 法,它贯 穿与整个 中学数 学 , 学分类讨论思想主要是 数
根据 数 学研 究对象本质属性 的相 同点和不 同点 对研 究对象进行 分类讨论。在素质教 育和课改 的要 求下 培 养学 生的 思维能 力已经 成 了对教师能力的一个重要考验 , 养和发展 学生的数 学分类讨论思维能力 应贯 穿在我们 的整 个教 学过 程 中。 培
改的要求 , 也是进行数学素质教育的一个切入点 。

例析初一数学中的分类讨论问题

例析初一数学中的分类讨论问题

例析初一数学中的分类讨论问题
分类讨论作为一种教学方式,是初中阶段数学教学中最重要的教学形式之一,其教学内容涉及几何、基本运算、有理数与无理数等。

分类讨论能让学生们深入地探究数学知识,例如,以几何中关于根据两个点之间的距离来推断出一条直线上的其他点,它其实是在分类讨论中被提出并进行更深入分析来加深学习的一个重点问题。

在初一数学中,分类讨论是学生将学习到的数学知识联系起来、思考回答问题的一种非常重要的教学方式。

通过分类讨论的方式,学生们可以将之前学习过的内容,按照类别联系起来,例如:初一数学中,物体绕着图形旋转时发生的变化情况,这种现象其实是多类问题的总称,包括椭圆、圆形、抛物线等,分类讨论是通过将其进行分类分析,再根据每类的特点来提出正确的结论的一个重点。

另外,也可以将初一数学学习的数与比联系起来,即“分式”,这一概念也是分类讨论的重点,学生们可以将概念分为一元分式、二元分式以及分式运算等几大类,根据不同类别的情况,来推断出正确的结果。

因此,分类讨论是学习初一数学最重要的教学设计之一,它涉及到从数学概念到数学应用的多个方面,有利于学生提升数学素养以及科学思维能力。

同时,分类讨论还可以激发学生们学习数学的兴趣,增强学生们对数学学科的钟爱之情,从而拥有一个深刻而系统的数学知识体系。

初中数学思想方法篇——分类讨论

初中数学思想方法篇——分类讨论

新梦想教育中高考名校冲刺教育中心【老师寄语:每天进步一点点,做最好的自己】解题思想之分类讨论一、注解:分类讨论思想又称为逻辑划分,是中学数学最常用的数学思想方法之一,也是中考数学中经常出现的数学思想。

分类讨论就是依据一定的标准,对问题进行分类,求解,然后综合出问题的答案。

当被研究的问题包含多种可能情况,不能一概而论时,必须按照可能出现的情况进行分类,分别讨论,得出各种不同情况下的相应结论。

分类原则:分类的对象是明确的;标准是统一的,不遗漏、不重复、分层次;不越级讨论。

分类方法:明确讨论的对象,确定对象的全体,然后确立分类标准,正确进行分类;逐步进行讨论,获取阶段性结果;归纳总结,综合得出结论。

二、实例运用:1.在实数中的运用【例1】若1a =,4b =且a b <0,则a+b= 【例2】若2m-4与3m-1是同一个数的平方根,求m 。

2. 在代数式中的运用 【例3】若实数x 满足22110x x x x +++=,求1x x+的值。

【例4】分式22943x x x --+的值为0,则x= ( )A 3B 3或-3C -3D 03. 在方程(组)中的运用【例5】已知关于x 的方程ax 2+2x-1=0有实根,求a 的取值范围。

【例6】黄金周期间,某商场购物有如下优惠方案:(1)一次性购物在100元内(不含100元)时,不享受优惠;(2)100元到300元(不含300元)时,一律享受9折优惠;(3)300元以上时,享受8折优惠。

张伟在本商场分两次购物,分别付款80元和252元。

如果改为在该商场一次性购买,需要支付多少钱?4.在不等式中的运用【例7】国家规定个人发表文章,出版图书获得稿费的纳税计算办法是:(1)稿费不高于800元的,不纳税;(2)稿费高于800元,不高于4000元的,缴纳超过800那部分的14%;(3)稿费高于4000元的,应缴纳全部稿费的12%。

已知某作家获得一笔稿费,并交纳个人所得税a元(a>0),求这笔稿费有多少元。

浅谈数学中的分类讨论思想

浅谈数学中的分类讨论思想

浅谈数学中的分类讨论思想在中学数学中,分类讨论的数学思想是颇为常见的.用代数语言表述事物具有一般性.通常用一个字母表示实数时,如果没有特殊规定,该字母可以是正数,可以是零,还可以是负数.当含有字母的式子用来表示几何关系时,就可能出现不同的情况.因此,分类讨论是不可避免的.分类是在题目部分条件缺失或不明确的情况下,按照数学对象的相同点和差异点,将数学对象区分为不同种类的思想方法.掌握分类的方法,领会其实质,对于加深基础知识的理解,提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的.正确的分类必须是周全的,既不重复、也不遗漏.分类是根据对象的相同点和差异点将对象区分为不同类的逻辑方法.分类也叫划分.分类是以比较为基础的,通过比较认识对象之间的异同,根据相同点将对象归纳为较大的类,根据差异点将对象划分为较小的类,从而将对象区分为具有一定从属关系的不同等级的系统.分类的目的在于使知识合理化,进而系统化.分类具有不可缺少的三要素:母项、子项和根据.母项是被划分的总概念,子项是划分后的类概念,划分的根据就借以划分为标准.分类的标准在于根据对象本身的某种属性和关系来进行划分.由于客观事物有多方面的属性,事物之间有多方面的联系,因此,分类的标准也是多方面的,可根据不同的需要采用不同的分类标准,对事物进行不同的分类.但每一次分类应按照同一标准进行,所取的标准应服从于研究的目的或观察问题的角度.任何分类必须遵循以下原则,只有这样,才能在分类过程中防止出现遗漏、重复或者混淆不清的现象.1.分类具有同一标准性.在分类前,应当从被分类的概念属性中,取一个属性作为依据,这与其说是原则不如说是方法.它有两层意思:一是判断概念应放在哪一类的衡量尺度;二是对两个不同的概念要用同一尺度衡量,否则就会出现划分的结果重叠或过宽的逻辑错误,使划分后的结果混淆不清.2.分类具有完备性.分类所得各子项外延之和必须与被分类的目项的外延相等.从量方面要求一个都不能丢掉.从集合观念看,被分类概念的外延应被分类所得各属概念的外延覆盖,各属概念的并集等于被分概念外延的全集,否则会出现过宽或过窄的逻辑错误.2.分类具有纯粹性.分类所得的各子项必须互相排斥,划分的子项概念的外延之间是不相容的关系.从集合的角度看,被分成的任何两类之间的不相交,即无共同元素,每一类元素之间满足一个标准或关系,不满足该标准或关系的不能属于同一类,即各属概念外延之交集为空集.如把平行四边形分为矩形、菱形和正方形,就不仅违反了第二个原则,而且也犯了“交叉”和“从属”的毛病.所谓分类是根据对象的相同点和差异将对象区分为不同种类的逻辑方法.分类也叫划分.分类是以比较为基础的,通过比较识别对象之间的异同,根据相同点将对象归为较大的类,根据差异将对象划分为较小的类,从而将对象区分为具有一定从属关系的不同等级系统.分类讨论的目的在于使知识组成条理化、系统化.而分类的标准是母项、子项和根据.母项是被划分的种概念,子项是划分后得到的类概念,划分的根据就是借以划分的标准.分类讨论的原则:(1)分类中的每一部分是相互独立的;(2)一次分类按一个标准;(3)分类讨论应逐级进行用分类讨论思想解题的一般步骤:(1)确定分类讨论的对象.(2)进行合理的分类讨论.(3)逐步逐级分类讨论.(4)综合归纳结论.分类讨论的常规方法:(1)依据数学公式、原则、法则的适用范围进行.如等比数列求和公式.(2)根据数学概念的定义进行分类.如绝对值、直线与平面所成的角等.(3)根据数形结合分类.如集合的交、并、补用数轴讨论.(4)依据位置关系进行分论.如几何中点与点,点与线,面与面等位置关系.(5)依据数学性质进行分类.如偶次算术根的性质,二次函数、幂函数的性质.(6)依据参数的变化范围进行分类.(7)依据整数的奇偶性进行分类.在中学数学教学中,利用分类的方法处理问题的情况主要有:(1)给概念下定义和对概念进行归纳总结.关于绝对值的概念,可以有这样一种定义方式:(2)定理、结论的论证求解过程及结论的表现形式.在现行的初中数学课本中,关于圆周角和圆心角的关系定理“同弧上的圆周角等于圆心角的度数的一半”的证明就采用了圆心与圆周角的关系的不同情况来分类的.同样,在中学数学的解题教学中,无论是计算题、作图题还是论证题等,运用分类的思想方法可以帮助学生进行全面严谨的思考、分析、讨论和论证,从而获得合理的解题思路和方法.(3)对已有结论进行推广.此外,我们还可以在已有结论的范围基础上,对尚未讨论的情况进行探究,从而达到对结论的扩展和推广.如,在有了关于二次、三次方程的根式解以后,按照方程的次数分类,就会想到四次、五次等方程的解的问题而得到新的理论.再如,若我们已经推导出了圆台(或棱台)中截面的面积公式,那么,我们可以进一步推导其它位置的截面的面积公式.运用分类讨论思想可以解决许多数学问题.一、代数(一)数、式。

浅谈初中数学分类讨论

浅谈初中数学分类讨论

有些数学问题较复杂 , 有时会遇到多 种情况 ,不能一概 以统一的形 式解决 , 需 要对各种情况加以分类 , 分别加以研 究求 解, 然后综合得解, 这就是分类讨论法。它
既是 一 种数 学 思 想 ,又是 一种 逻 辑 方 法 ,
象 的取值 范围 ,然后 正确选择分 类的标 准, 进行合理分 类后逐类讨论 解决 , 最后 归纳并作 出结论 。
不 知 道 哪 些 问 题 需 要 分 类 及 如 何 合 理 地
2着 眼 于 数 学 定 义 、 质 、 式 和 式 . 性 公
子变形或限制条件 中的渗透。
教 材 中有 不 少 定 理 、 则 、 式 、 法 公 习 题 , 需 要 分 类 讨 论 。 因此 不 断强 化 学 生 都 分 类 讨 论 的意 识 , 学生 认 识 到 这 些 问题 让 要 通过 分 类 讨 论 后 , 到 的结 论 才 是 完整 得
关概念 引起 的分 类讨论 ,例如 实数的分
类和 绝 对 值 的定 义 分 为 大 于 零 、 于 零 、 等
如《 三角 形》 章 中 , 一 对三 角形全 等
识 别方 法的探 索 ,教 材 中的思 考题 : 如 果两 个三 角形有 一个 、 两个 或三个 部分
( 或 角 ) 别 对 应 相 等 , 么 有 哪 几 种 边 分 那
具 有 十 分 重 要 的作 用 。
l 负有理数
为 下一步分类 讨论奠定基础 。如数
一 一 定 表 示 负数 吗? 让 学 生对 数 。进 行 0
使 用几个不 同的分类根 据 ;分类后 的各 类应是 互斥的且各类之和 应等于被分 的
分类 , 出 一 得 。可 表 示正 数 、 、 数三 零 负 类。又比如讲解绝对值的意义时 , l 弓 导学

浅谈初中数学中的分类讨论思想

浅谈初中数学中的分类讨论思想

浅谈初中数学中的分类讨论思想分类讨论是人们常用的重要思想方法,无论是在生产活动、科学实验中,还是在日常的生活中,都常常需要用到它。

这里我们重点研究初中数学中的分类讨论思想。

1. 分类讨论思想的意义有关初中数学中分类讨论的原因本文归纳了以下几个方面:由于问题涉及到分类讨论思想的有关概念而需要对其进行分类讨论;由于问题的题设和结论有多种可能情况而需要对其进行分类讨论;由于问题中含有的参变量的不同取值会导致不同结果而需要对其进行分类讨论;由于问题中几何图形的不确定而需要对其进行分类讨论。

2. 分类的四大原则2.1同一性原则。

分类应按同一标准进行,即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据。

2.2互斥性原则。

分类后的每个子项应当互不相容,即做到各子项相互排斥,也就是分类后不能有一些事物既属于这个子项,又属于另一个子项。

2.3相称性原则。

分类应当相称,即划分后子项外延的总和(并集),应当与母项的外延相等。

2.4层次性原则。

分类有一次分类和多次分类之分。

一次分类是对被讨论对象只分类一次;多次分类是把分类后所得的子项作为母项,再进行分类,直至满足需要为止。

3. 分类讨论的步骤用分类讨论思想解决问题的一般步骤是:3.1先明确需讨论的对象及讨论对象的取值范围。

3.2正确选择分类的标准,进行合理分类。

3.3逐类讨论解决。

3.4归纳并作出结论。

4. 归纳需要分类讨论的几种常见例子掌握用分类讨论思想解题的关键,在于搞清楚哪些情况下会引起分类讨论。

下面就引起分类讨论的一些常见情况作一归纳:4.1由于问题涉及到分类讨论思想的有关概念而需要对其进行分类讨论。

有些数学概念是分类定义的(如实数的绝对值),所以应用这些概念解题时,就需进行分类讨论。

有些数学概念在下定义时已经对所考虑的对象的范围作了限制(如二次方程,求二次项系数不为零),当解题过程的变换需要突破这些限制时,就必须分类讨论。

例如:解方程|4x-4|-|2x+2|=14解:当x≥1时, 原方程化为 (4x-4)-(2x+2)=14, x=10当-1≤x≤1时,原方程化为4 - 4x-2x-2=14,x=-2, 应舍去.当x≤-1时,原方程化为4-4x+2x+2=14, x=-4∴ x=10或-4说明: 若在x的某个范围内求解方程时,若求出的未知数的值不属于此范围内,则这样的解不是方程的解“应舍去”.绝对值概念是一个需要分类讨论的概念,要讲清这一概念应从绝对值的几何意义说起,也就是一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离。

数学中的分类讨论

数学中的分类讨论

4.分类讨论的一般流程: 明确讨论的对象 确定讨论的全体
选择分类的标准
逐类进行讨论
获得初步结果
归纳整合
写出结论
例题:若函数 y=mx2+x+5 在[-2,+∞)上是增函数, 1 0≤m≤ 则 m 的取值范围是_________. 4
解析 当 m=0 时, y=x+5 在[-2, +∞)上是增函数; 当 m≠0 时,y=mx2+x+5 在[-2,+∞)上是增函数, m>0 1 必须满足 1 ⇒0<m≤ , 4 -2m≤-2 1 综上所述,m 的取值范围应为m|0≤m≤4.
• ⑤幂函数y=xa的幂指数a的正、负与定义 域、单调性、奇偶性的关系; • ⑥指数函数y=ax及其反函数y=logax中底 数a>1及a<1对函数单调性的影响; • ⑦等比数列前n项和公式中q=1与q≠1的区 别;
• ⑧不等式性质中两边同乘(除)以正数或负数 时对不等号方向的影响; • ⑨直线与圆锥曲线位置关系的讨论; • ⑩运用点斜式、斜截式直线方程时斜率k是 否存在
分类讨论思想 方法解读
• 1.分类讨论思想就是将一个复杂的数学问 题分解成若干个简单的基础性问题,通过 对基础性问题的解答,解决原问题的思维 策略,实质上,分类讨论是“化整为零, 各个击破,再积零为整”的数学策略,分 类讨论可以优化解题思路,降低问题难 度. • 2.分类的原则是:(1)分类的对象确定,标 准统一;(2)不重复,不遗漏;(3)分层次, 不越级讨论.
教材中分类讨论的知识点大致有:
• ①绝对值概念的定义; • ②一元二次方程根的判别式与根的情况; ③二次函数二次项系数的正负与抛物线的 开口方向; • ④反比例函数y=(x≠0)的反比例系数k, • 正比例函数y=kx的比例系数k, • 一次函数y=kx+b的斜率k与图象位置及函 数单调性的关系;

中考数学指导做题需要分类讨论

中考数学指导做题需要分类讨论

中考数学指导做题需要分类讨论中考数学指导做题需要分类讨论第一、我们要有分类讨论的意识。

很多知识点是分类讨论的常客,对于这些知识点,同学们在考试时要保持高度的敏感,时刻紧绷分类讨论的弦,以免掉进出题老师的陷阱。

第二、分类讨论是要有一定原则,不要东一榔头西一棒子的的试,要具备一定的条理。

分类的原则:(1)分类中的每一部分是相互独立的;(2)一次分类按一个标准;(3)分类讨论应逐级有序进行。

以探寻直角坐标系中等腰直角三角形存在的问题来说,如果给定两个点A、B,需要在X轴上找第三个点C使得这个三角形ABC是等腰直角三角形,这个时候同学们可以线段来分类讨论:AB为斜边时,AC为斜边或时BC为斜边时点C的坐标。

这样讨论保证不会丢掉任何一种可能性,并且效率较高。

当然也可以按照角来讨论,但是注意不要两种分类方法穿插进行。

有些时候有可能会进行二次讨论,这个时候对于同学们的条理性要求就更大了,例如探讨含有30°角的直角三角形时,要先讨论那个角是直角,在讨论哪个角是30°或60°。

第三、在列出所有需要讨论的可能性之后,要仔细审查是否每种可能性都会存在,是否有需要舍去的,最常见的就是一元二次方程如果有两个不等实根,那么我们就要看看是不是这两个根都能保留。

同样有些时候也需要注意是否有些讨论结果重复,需要进行合并。

例如直角坐标系中求能够成等腰三角形的点坐标,如果按照一定的原则分类讨论后,有可能会出现同一个点上可以构成两个等腰三角形的情况,这种情况下就要进行合并。

也就是说找到的三角形的个数和点的个数是不一样的。

以下几点是需要大家注意分类讨论的1、熟知直角三角形的直角,等腰三角形的腰与角以及圆的对称性,根据图形的特殊性质,找准讨论对象,逐一解决。

在探讨等腰或直角三角形存在时,一定要按照一定的原则,不要遗漏,最后要综合。

2、讨论点的位置,一定要看清点所在的范围,是在直线上,还是在射线或者线段上。

3、图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题,对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论。

浅谈初中数学中的分类讨论思想

浅谈初中数学中的分类讨论思想

浅谈初中数学中的分类讨论思想浅谈初中数学中的分类讨论思想⼀、分类思想定义与特点所谓分类讨论思想,就是当⼀个数学问题在⼀定的题设下,其结论并不唯⼀时,我们就需要对这⼀问题进⾏必要的分类。

将⼀个数学问题根据题设分为有限的若⼲种情况,在每⼀种情况中分别求解,最后再将各种情况下得到的答案进⾏归纳综合。

实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的策略.分类思想有三个明显特点,⼀是对什么东西分类,即确定分类的对象;⼆是按什么标准分类,即选择分类的标准;三是分成哪⼏类,即确定分类的结果。

通过正确的分类,可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。

划分只是⼿段,分类研究才是⽬的.既可以将复杂的问题分解成若⼲个简单的问题,⽽且恰当的分类可避免丢值漏解,从⽽提⾼全⾯考虑问题的能⼒,提⾼周密严谨的数学素养。

⼆、分类讨论思想应遵循以下的原则1、同⼀性原则。

分类应按同⼀标准进⾏,即每次分类不能同时使⽤⼏个不同的分类根据。

有些同学把三⾓形分为锐⾓三⾓形、直⾓三⾓形、钝⾓三⾓形、不等边三⾓形、等腰三⾓形。

这个分类就不正确了,因为这个分类同时使⽤了按边和按⾓两个分类标准。

2、相称性原则。

分类应当相称,即划分后⼦项外延的总和,应当与母项的外延相等。

3、互斥性原则。

分类后的每个⼦项应当互不相容,即做到各⼦项相互排斥,也就是分类后不能有⼀些事物既属于这个⼦项,⼜属于另⼀个⼦项。

4、层次性原则。

分类有⼀次分类和多次分类之分。

⼀次分类是对被讨论对象只分类⼀次;多次分类是把分类后所得的⼦项作为母项,再进⾏分类,直⾄满⾜需要为⽌。

有些对象的分类情况⽐较复杂,这时常采⽤“⼆分法”来分类,就是按对象有⽆某性质来进⾏分类。

按“⼆分法”作分类,就是把讨论对象的外延⼀直分为两个互相⽭盾的概念,⼀直分到不必再分为⽌。

四、分类讨论思想主要步骤通过上述问题的讨论,分类讨论的思想⽅法在初中数学教材中有着⼴泛的渗透。

在运⽤分类思想解题时主要步骤有:(1)明确讨论的对象:即对哪个参数进⾏讨论;(2)对所讨论的对象进⾏合理分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统⼀、分层不越级);(3)逐类讨论:即对各类问题详细讨论,逐步解决。

浅析初中数学分类讨论问题

浅析初中数学分类讨论问题


当a ≠0 时 ,为二次 函数y - _ O X 2 - 似+ 3 x + 1 , h= b 2 — 4 a c = a 2 — 1 0 o + 9 = 0 , 解之 得 : a = 1 或a = 9 , 交 点为 ( 一 1 , 0 ) 或( 1 0 ) 。

是等腰三角形. 反思 : 关 于运动 变换 的题 型 , 因为 会 出现 “ 量 变” , 也可能 出现 “ 质变 ” , 所 以更 应关注分 不同情况 进行讨论 。同时 , 与等腰 三角形有关的题型 , 因为存 在“ 腰的不确定性” 和“ 顶 角的不确定性” 也往往需要 分 类 讨 论 。对 于 直 角 三 角 形 、 平 行 四边 形 、 相 似 三 角 形 也 有 类 似 的情 况 。 例 3 如 图4 , 在 等 腰 AA B C 中, A B = A C = 5 , B C = 6 。动 点 、 Ⅳ分 别 在 两 腰 A B、 AC上 ( 不与A、 B 重合 , Ⅳ不与A、 c 重
1 。
② 以 F 为底 ,则 有AE :A
・ .  ̄
D 日
图2
解: ( 1 ) 如 图5 , 过点A作 A0 J _ MN, 垂足 为点 0, 延长 A0 交B C 于 点 D, 由 题 意 可 知, 要使点P 瀹好 落在B C 上, 必 须 点 D与 点 P 重 合 。 这 时
例2 如 图1 , R t A B C
Rt A F DE, AB=8 c m。 BC= 6 c m,
将 AA B C 沿 射线D E 的方 向以 2 c m / s 的速度平移 ,在平 移过 程 中, 是 否存在某个 时刻£ , 使A B( D) AAE F f  ̄ 为等腰 三角形 , 若 存 图 1 在, 请 求 出f 值; 若不 存在 , 请 说明理 由。 分析 :本题关键 是对 于平移过程 中出现 的不 同 情 况 进 行 分 类讨 论 : t < 3 或t ≥3 两种情况 。 对 于t < 3 , 应 按“ 腰” 为标准进行分类 , 属于二级分类的题型。 要先 确定好位置 , 画好 图形 , 再进行相关 的问题解决 。 解: ( 1 ) 当t < 3 ( 点B 在线段 D E 上) 时, 如 图2 由题 意 易 得

七年级数学分类讨论知识点

七年级数学分类讨论知识点

七年级数学分类讨论知识点在七年级数学中,分类讨论是一个非常重要的知识点。

它可以帮助学生更好地理解数学概念和方法,并能够应用到各种问题中。

本文将介绍分类讨论的概念、分类的方法、分类讨论在不同数学领域的应用。

一、概念分类讨论是将复杂的问题分成几个简单的情况来讨论,以便更好地解决问题。

例如,在解决一个数学问题时,我们可以将问题分解成几个小问题,逐个解决,然后将它们的答案组合在一起,得到最终的答案。

二、分类的方法分类的方法有很多,下面列举常用的几种分类方法:1.按照某个条件进行分类。

例如,在解决一个几何问题时,我们可以按照角度大小将问题分类,例如直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。

2.按照具体数值进行分类。

例如,在解决一个代数问题时,我们可以将问题分成几个不同的情况,例如x=1,x=2,x=3等等,然后逐个解决。

3.按照问题的性质进行分类。

例如,在解决一个统计问题时,我们可以按照变量的种类将问题分类,例如定量变量和定性变量。

三、分类讨论在不同数学领域的应用1.初中数学在初中数学中,分类讨论是一个非常重要的方法。

例如,在解决一个代数问题时,我们可以将问题分成几个不同的情况,例如x=1,x=2,x=3等等,然后逐个解决。

这样的方法可以帮助学生更好地理解代数概念,提高解题能力。

2.高中数学在高中数学中,分类讨论也是非常重要的。

例如,在解决一个几何问题时,我们可以按照角度大小将问题分类,例如直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。

这样的方法可以帮助学生更好地理解几何概念,提高解题能力。

3.大学数学在大学数学中,分类讨论也是一种非常重要的方法。

例如,在解决一个微积分问题时,我们可以按照函数的性质将问题分类,例如连续函数、可微函数和可导函数。

这样的方法可以帮助学生更好地理解微积分概念,提高解题能力。

总的来说,分类讨论是一个非常重要的数学方法,可以帮助学生更好地理解数学概念和方法,并能够应用到各种问题中。

学生们应该掌握这种方法,并在解题过程中加以运用。

七年级数学教学中分类讨论思想的应用分析

七年级数学教学中分类讨论思想的应用分析

七年级数学教学中分类讨论思想的应用分析在七年级数学教学中,分类讨论思想是一种常用的解题方法。

分类讨论思想指的是将问题按照一定的规则分成几类,然后逐一讨论每一类,从而得到所要求的解答。

分类讨论思想在解决复杂的问题时,能够有效地缩小解题的范围,提高问题的解决效率。

一、分类讨论思想的应用(1)整除的性质将整数a和b分为两种情况:b是a的倍数和b不是a的倍数。

对于第一种情况,有a=kb(k∈Z),因此a/b=k,b|a。

对于第二种情况,有a=kb+r(0<r<b),因此a/b=k......r/b,r<b,b不是a的因子。

(2)方程的求解在求解一元二次方程ax^2+bx+c=0时,若D=b^2-4ac>0,则方程有两个不等实根;若D=0,则方程有两个相等实根;若D<0,则方程无实根。

在求解一元一次不等式ax<b时,将a分为三类:a>0,a=0和a<0。

对于不等式ax<b,有x<b/a(a>0),x>b/a(a<0),x为任意实数(a=0)。

分类讨论思想具有以下几个优点:(1)简化问题分类讨论思想能够将原问题分解成几个较简单的子问题,从而使得问题的解决变得更加容易。

(2)提高效率在解决某些复杂的数学问题时,采用分类讨论思想能够快速缩小解题的范围,提高解决问题的效率。

(3)保证正确性采用分类讨论思想,能够逐一讨论每一种情况,保证问题的解答是全面、准确的。

分类讨论思想也存在一些局限性:(1)分类过多过多的分类会使得问题的解决变得繁琐,从而增加解题难度。

(2)分类依据不清分类讨论的依据不清,会造成分类的错误,从而导致解题过程出现错误。

(3)遗漏情况分类讨论不能保证问题的所有情况都被考虑到,存在某些特殊情况被忽略的风险。

四、总结。

谈初中数学教学中的分类讨论

谈初中数学教学中的分类讨论

谈初中数学教学中的分类讨论把数学问题划分为若干情况,然后逐一求解的过程叫作分类讨论。

分类讨论的基本要求是不重复、不遗漏。

数学中的分类讨论思想与新课程改革中提出的培养学生的创新精神与探索精神是一致的,它可以培养学生思维的连贯性和有序性,培养学生完整细致地分析问题的习惯和探索问题的能力,对养成学生严谨的思维品质有较大益处。

然而,初中数学中的分类讨论问题往往是学生不容易掌握好的一类问题,从近几年的中考阅卷中发现,学生在解此类问题时常常是不知道要进行分类讨论,或者知道了要分类讨论却考虑不周全,导致解答此类问题时得分率偏低。

究其原因,主要是平时的教与学中对“分类讨论”的数学思想渗透不够,学生对分类讨论思想的运用不熟练。

以下就四种常见的问题,分别举例说明:一、应用问题中的分类讨论在小学数学问题中,答案往往是唯一的,导致学生思维的单向性倾向较明显。

当初中引入字母代替数的概念后,问题的多样性逐渐显现,学生的简单思维常常不能适应这样的变化。

在一些应用问题中,由于变量的不同取值会导致不同结果而需要对其进行分类讨论。

解决这类问题时,要做到分析清楚问题中变量在整个过程中会造成质变的临界点,即变量的不同取值会对问题产生哪些不同的结果,把它们一一罗列出来,系统地分类,才能正确求解。

例1:某服装厂生产一种西装和领带,西装每套定价200元,领带每条定价40元。

厂方在开展促销活动期间向顾客提供两种优惠方案。

方案一:买一套西装送一条领带;方案二:西装和领带均按定价的90%付款(两种优惠方案不可同时采用)。

某商店老板要到该服装厂购买西装20套和领带若干条(超过20条),请你帮助商店老板选择一种较省钱的购买方案。

分析:因已知条件中未明确所购领带的具体数量,因而较省钱的购买方案是不确定的,而是由不同的领带购买数量所决定的。

解:设商店老板需购买领带x条,则按方案一购买,应付款200×20+(x-20)×40=40x+3200(元);按方案二购买,应付款(200×20+40x)×90%=36x+3600(元)。

浅谈初中数学中分类讨论的划分标准

浅谈初中数学中分类讨论的划分标准

浅谈初中数学中分类讨论的划分标准华育中学 黄喆在数学研究中,当被研究的对象包含多种可能的情况,导致我们不能对他们一概而论的时候,迫使我们必须按所有情况来分类讨论,得出各种情况下相应的结论,这种解决问题的思想方法,我们叫做分类讨论思想。

分类的根据是现代数学中集合分类的概念与逻辑学中概念划分的方法。

所谓概念的划分,就是根据它的属性来区分它的对象。

即根据它的内涵来对它的外延实行分类。

使同一类的对象具有相同的属性,不同类的对象具有不同的属性。

这些分类构成若干个新概念的外延,这些新概念就被称为从属于原来那个概念的种概念。

用来划分概念的那些属性,称为划分的标准。

然而根据分类的含义,无论是单层次还是多层次的分类,每一次的划分必须按同一标准进行,划分标准不同,划分的结果也不同。

对于初中数学而言,我大致总结了以下几种可以作为分类讨论的划分标准,供大家讨论。

1、数学概念和定义例1、若|a|=3,|b|=5,则|a+b|=分析:与绝对值相关的问题,一般要去掉绝对值号,这就要根据绝对值的概念进行分类。

解:当a 、b 同号时,|a+b|=8;当a 、b 异号时,|a+b|=2。

例2、矩形ABCD 中,AB =5,BC =12,如果分别以A 、C 为圆心的两圆相切,点D 在圆C 内,点B 在圆C 外,那么圆A 的半径r 的取值范围是 (03上海中考第14题) 分析:“两圆相切”的问题在近两年(03、04)上海中考连续出现,考察的就是“两圆相切”包含内切和外切两种情况,然而得分率均低于50%,说明学生对于“两圆相切”这一概念掌握不深。

解:两圆外切时r 的取值范围是:1<r<8;两圆内切时r 的取值范围是:18<r<25,∴圆A 的半径r 的取值范围是1<r<8或18<r<252、定理、公式的适用范围例3、已知abc ≠0,且p bac a c b c b a =+=+=+,那么直线y=px +p 一定通过第 象限; 分析:等比性质的适用范围是a +b +c ≠0,题目中并没有交代a +b +c 的具体性质,须按照适用否等比性质进行讨论。

探析中考题中的分类讨论

探析中考题中的分类讨论

探析中考题中的分类讨论分类讨论,也称分情况讨论,当一个数学问题在一定的题设下,其结论并不唯一时,我们就需要对这一问题进行必要的分类。

将一个数学问题根据题设分为有限的若干种情况,在每一种情况中分别求解,最后再将各种情况下得到的答案进行归纳综合。

分类讨论是根据问题的不同情况分类求解,它体现了化整为零和积零为整的思想与归类整理的方法。

一、分类讨论应遵循的原则分类讨论是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略.在研究问题时,要认真审题,思考全面,根据其数量差异或位置差异进行分类。

分类讨论应遵循的原则是1. 分类应按同一标准进行;2. 分类讨论应逐级进行;3. 分类应当不重复,不遗漏。

例1 (2012·杭州)已知抛物线y=k(x+1)(x-)与x轴交于点a,b,与y轴交于点c,则能使△abc为等腰三角形的抛物线的条数是()a. 2?b. 3?c. 4?d. 5分析根据抛物线的解析式可得c(0,-3),表示出抛物线与x轴的两个交点的横坐标,再根据△abc是等腰三角形,从边的角度分三种情况进行讨论,求得k的值,即可求出答案.解:根据题意,得c(0,-3).令y=0,则k(x+1)(x)=0,得x=-1或x=,设a点的坐标为(-1,0),则b(,0),(1)当ac=bc时,=1,可得k=3;(2)当ac=ab时,①点b在点a的右面时,∵ac==,则ab=ac=,b点的坐标为(-1,0),=-1,k=;②点b在点a的左面时,b点的坐标为(--1,0),=--1,k=-;(3) ab=bc,点b只有可能在a点的右面,得(+1)2=32+()2,k=,当所以能使△abc为等腰三角形的抛物线的条数是4条;故选c.这道题学生易丢解,特别是第二种情况还应分b点在a点的左面和右面两种情况,因而做分类讨论题一定要做到逐级进行,做到不重复,不遗漏。

二、分类讨论的类型分类讨论,一方面可将复杂的问题分解为若干个简单的问题,另一方面恰当的分类可避免丢值漏解,从而提高全面虑问题的能力,提高周密严谨的数学素养。

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浅谈初中数学中分类讨论的划分标准
华育中学 黄喆
在数学研究中,当被研究的对象包含多种可能的情况,导致我们不能对他们一概而论的时候,迫使我们必须按所有情况来分类讨论,得出各种情况下相应的结论,这种解决问题的思想方法,我们叫做分类讨论思想。

分类的根据是现代数学中集合分类的概念与逻辑学中概念划分的方法。

所谓概念的划分,就是根据它的属性来区分它的对象。

即根据它的内涵来对它的外延实行分类。

使同一类的对象具有相同的属性,不同类的对象具有不同的属性。

这些分类构成若干个新概念的外延,这些新概念就被称为从属于原来那个概念的种概念。

用来划分概念的那些属性,称为划分的标准。

然而根据分类的含义,无论是单层次还是多层次的分类,每一次的划分必须按同一标准进行,划分标准不同,划分的结果也不同。

对于初中数学而言,我大致总结了以下几种可以作为分类讨论的划分标准,供大家讨论。

1、数学概念和定义
例1、若|a|=3,|b|=5,则|a+b|=
分析:与绝对值相关的问题,一般要去掉绝对值号,这就要根据绝对值的概念进行分类。

解:当a 、b 同号时,|a+b|=8;当a 、b 异号时,|a+b|=2。

例2、矩形ABCD 中,AB =5,BC =12,如果分别以A 、C 为圆心的两圆相切,点D 在圆C 内,点B 在圆C 外,那么圆A 的半径r 的取值范围是 (03上海中考第14题) 分析:“两圆相切”的问题在近两年(03、04)上海中考连续出现,考察的就是“两圆相切”包含内切和外切两种情况,然而得分率均低于50%,说明学生对于“两圆相切”这一概念掌握不深。

解:两圆外切时r 的取值范围是:1<r<8;两圆内切时r 的取值范围是:18<r<25,
∴圆A 的半径r 的取值范围是1<r<8或18<r<25
2、定理、公式的适用范围
例3、已知abc ≠0,且
p b
a
c a c b c b a =+=+=+,那么直线y=px +p 一定通过第 象限;
分析:等比性质的适用范围是a +b +c ≠0,题目中并没有交代a +b +c 的具体性质,须按照适用否等比性质进行讨论。

解:当a +b +c ≠0,p =2,y =2x +2,经过第一、二、三象限;
当a +b +c =0,p =-1,y =-x-1,经过第二、三、四象限; ∴直线y=px +p 一定通过第二、三象限
3、问题中待定参数的变化
例4、关于x 的方程(m-4)x 2-(2m-1)x+m=0,当m 为何值时,方程有实根?
分析:方程有实根,即方程有两个实根或一个实根,相应的方程为一元二次方程或一元一次方程,所以对未知数最高次系数须分类讨论。

解:Ⅰ)当m-4=0,即m =4时,原方程化为-7x+4=0,此时方程有且只有一个实数根;
Ⅱ)当m-4≠0,即m ≠4时,原方程为一元二次方程,其中 0)4(4)]12([2
≥⋅----=∆m m m ,即m ≥12
1
-且m ≠4时,方程有两个实根。

综上所述,方程有实数根的条件是m ≥12
1-
4、几何量之间的位置关系
例5、平面上A 、B 两点到直线k 距离分别是32-与32+,则线段中点C 到直线k 的距离是 ;
分析:点A 、点B 与直线k 的位置关系有两种情形:A 、B 点在直线k 的同侧或异侧。

BN ⊥k 于N ,解:Ⅰ)如图,当点A 、B 两点在直线k 的同侧时,设AM ⊥k 于M ,
且AM =32-,BM =32+,C 是AB 的中点,CP ⊥k 于P ,则
CP 是梯形
AMNB 的中位线,∴22
=+=
BN
AM CP Ⅱ)如图,当A 、B 两点在直线k 的异侧时,过B 作BR ⊥AM 的延长线交于R ,延长
PC 交BR 于Q ,则AM ∥CQ ∥BN 。

∵AC =BC ,∴RQ =BQ ,∴PQ =BN =32+, CQ=
2)(2
1
21=+=BN AM AR ,∴CP=PQ-CQ=3 ∴线段中点C 到直线k 的距离是2或3
5、特殊三角形和四边形的特殊边角
例6、已知抛物线4)3
4
3(2
++
-=x m mx y 与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点。

如果△ABC 是等腰三角形,求m 的值 分析:题目告知了△ABC 是等腰三角形,但并没有说明哪两条边对应相等时,就应该考虑到AB=AC 、AB=BC 、AC=BC 三种情况,并分别给予讨论。

类似的情况还有告知是直角三角形但没有说明哪个是直角;告知是平行四边形但没有说明哪一组是对边等等 解:令04)343(2
=++
-x m mx ,则(mx-34)(x-3)=0,x 1=m
34 x 2=3 可知A(3,0)、B(
m 34,0)、C(0,4),得AC =5、AB =m 343-、BC =22
)34(4m
+ Ⅰ)当AC =BC ,A 、B 两点关于y 轴对称,即二次函数关于y 轴对称,∴m =9
4
- Ⅱ)当AC =AB ,则m
34
3-
=5,m =61或32-
Ⅲ)当BC =AB ,则22
)34(4m
+=m 34
3-
,m =78- 综上所述:m 等于94-.or.61.or.32-.or.7
8
-。

6、全等三角形和相似三角形的对应边
例7、如图,直线22
1
+=
x y 分别交x 、y 轴于点A 、C ,P 是该直线上在第一象限内的一点,PB ⊥x 轴,B 为垂足,S
△ABP =9(02上海中考) (1)求点P 的坐标;
(2)设点R 与点P 在同一个反比例函数的图像上,且点R 在直线PB 的右侧。

作RT ⊥x 轴,T 为垂足,当△BRT 与△AOC 相似时,求点R 的坐标。

解:(1)点P 的坐标为(2,3)
分析:求△BRT 与△AOC 相似,就要首先观察这两个三角形的性质,都是直角三角形,但哪两条边为对应边并没有说明,所以就应按对应边的不同进行讨论。

解:(2)可知点R 的坐标为(b,
b 6) ① 当△RTB ∽△AOC 时,
CO BT AO RT
=,解方程,得b =3或b =-1(舍去) ② 当△RTB ∽△COA 时,
AO
BT CO
RT
=,解方程,得b =113+或b =131-(舍去) 综上所述,点R 坐标为(3,2)或)2
1
13,131(-+
学习数学,很重要的一个方面,就是掌握一系列的数学方法,而分类讨论的思想就是其中一枝,也是近几年中考的一个热点。

学生应该在学中思考,在思考中总结,这样才能真正地做到融会贯通。

参考书目:《生活 数学 社会—初中数学应用问题集》
2004-7-10。

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