【高考数学】2018最新版本高考数学一轮复习_2.8函数与方程(专题拔高特训-通用版)
【高考数学】2018最新高三数学课标一轮复习课件：2.8 函数与方程(专题拔高配套PPT课件)
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答案
第二章
知识梳理 双击自测
2.8 函数与方程
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养
-7-
3.在以下区间中,存在函数f(x)=x3+3x-3的零点的是 ( A.[-1,0] B.[1,2] C.[0,1] D.[2,3]
)
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注意到f(-1)=-7<0,f(0)=-3<0,f(1)=1>0,f(2)=11>0,f(3)=33>0.故选C.
第二章
考点一 考点二 考点三
2.8 函数与方程
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养
-11-
判断函数零点所在的区间(考点难度★) 【例1】 (1)(2017浙江五校联考)函数f(x)=3x-x2的零点所在区间 是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(-2,-1) D.(-1,0)
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∵f (-2)=- 9 ,f(-1)=-3,f(0)=1,f(1)=2,f(2)=5, ∴f (0)f (1)>0,f(1)f(2)>0,f(-2)f(-1)>0,f(-1)f(0)<0,故选 D.
B
解析 答案
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1
第二章
知识梳理 双击自测
2.8 函数与方程
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养
-6-
2.如果二次函数y=x2+mx+m+3有两个不同的零点,则m的取值范围 是( ) A.(-2,6) B.[-2,6] C.{-2,6} D.(-∞,-2)∪(6,+∞)
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由题意,有Δ=m2-4(m+3)>0, 即(m-6)(m+2)>0,解得m>6或m<-2,故选D. D
北京市2018届高三数学理一轮复习 2.8 函数与方程课件 精品
名师点睛
2．必知联系 (1)研究方程 f(x)＝g(x)的解，实质就是研究 G(x)＝f(x)－g(x)的零点． (2)转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题； 已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题． (3)f(a)·f(b)<0 是 f(x)在区间(a，b)上有零点的充分不必要条件．
确定参数范围． 2．分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决． 3．数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出
函数的图象，然后数形结合求解．
所以yy＝＝a－1x－2－x3，x， 有两组不同解． 消去 y 得 x2＋(3－a)x＋a＝0 有两个不等实根， 所以 Δ＝(3－a)2－4a＞0，即 a2－10a＋9＞0，解得 a＜1 或 a＞9. 又由图象得 a＞0，∴0＜a＜1 或 a＞9.
【答案】 (0,1)∪(9，＋∞)
归纳升华
已知函数有零点求参数取值范围常用的方法 1．直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式
【解析】 ∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)， ∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)， ∵a<b<c，∴f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0， ∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内． 【答案】 A
显然函数在0，π2有 1 个交点，在π2，32π有 2 个交点， ∵cos 3π＝－1，log1103π＝－lg 3π>－1，函数 y＝log110x 在(0，＋∞)上递减， ∴两个函数在52π，72π有 2 个交点，共 5 个交点，故选 C.
高考数学(人教A版)一轮复习课件：2-8函数与方程
3
4
【解析】选A.由f(x-2)=f(x+2),得函数的一个周期为 T=4,在区间(-2,6]内分别作函数y=f(x),y=loga(x+2) 的图象,由图可知loga(2+2)<3,loga(6+2)>3⇒4<a3<8 ⇒ <a<2.
3
4
6.(2017·襄阳模拟)已知定义在R上的奇函数y=f(x),对于∀x∈R都有f(1+x)=f(1-x),当1≤x<0时,f(x)=log2(-x),则函数g(x)=f(x)-2在(0,8)内所有的零点之和为 ( ) A.6 B.8 C.10 D.12
1 3
1 2
4.(2017·沈阳模拟)已知函数f(x)=ax3+2x2-1有且 只有两个零点,则实数a的取值集合为 ( )
4 6 A．{－1,0,1}B．{ 0, } 9 2 3 4 6 4 6 C．{ 0, }D．{－ ,0, } 3 9 9
【解析】选D.当a=0时,f(x)=2x2-1有两个零点. 当a≠0时,则f′(x)=3ax2+4x=3ax =0, x1= ,x2=0.若a>0,则f(x)在区间 上是增函数,在区间 上是减函数.由f(0)=-1 及题意得f =0,所以
【小题快练】 链接教材 练一练 1.(必修1P88例1改编)函数 的零点个数为 ( ) A.0 B.1
C.2
D.3
1x f x x ( ) 2
1 2
【解析】选B.函数f(x)= 1 的零点个数是方程 =0的解 2 的个数,即方程 的解的个数,也就是函数 y= 与y= 的图象的交点个数.在同一坐标系中 1 作出两个函数的图象,可得交点个数为 1.
2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题2.11 函数与方程(讲)
专题2.11 函数与方程【考纲解读】内 容要 求备注A B C函数概念与基本初等函数Ⅰ函数与方程√1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的联系．2．根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．【直击考点】题组一 常识题1．[教材改编] 若函数f (x )＝x 2－x ＋a 存在两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．【解析】Δ＝1－4a >0，解得a <14.2．[教材改编] 函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点个数是________． 【解析】易知函数f (x )单调递增，且f (2)<0，f (3)>0，故存在唯一的零点． 3．[教材改编] 函数f (x )＝x 3－2x 2＋x 的零点是________．【解析】 解方程x 3－2x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝1，所以函数的零点是0和1.题组二 常错题4．(1)函数f (x )＝ax ＋1在区间[1，2]上存在零点，则实数a 的取值范围是________； (2)函数f (x )＝x 2－1在区间(－2，2)上零点的个数为________．5．若二次函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在区间(0，4)上存在零点，则实数m 的取值范围是________．【解析】二次函数图像的对称轴方程为x ＝1.若在区间(0，4)上存在零点，只需f (1)≤0且f (4)>0即可，即－1＋m ≤0且8＋m >0，解得－8<m ≤1.6．若二次函数f (x )＝x 2＋kx ＋k 在R 上无零点，则实数k 的取值范围是________．【解析】Δ＝k 2－4k <0，解得0<k <4.题组一 常考题7．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是________． ①y ＝e x 2；②y ＝x 2＋1；③y ＝sin x ；④y ＝cos x ； ⑤y ＝ln |x |.【解析】y ＝e x 2，y ＝x 2＋1是偶函数，但没有零点；y ＝sin x 是奇函数，有零点；y ＝cosx ，y ＝ln |x |是偶函数，且有零点．8．函数f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2－x 2的零点个数为________.【知识清单】1．函数零点所在区间的判定1．函数零点的定义对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点．2．二分法对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2 判断函数零点个数函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数，其步骤是： (1)令f (x )＝0；(2)构造y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )； (3)作出y 1，y 2图像；(4)由图像交点个数得出结论． 3 函数零点的应用函数零点与函数交点关系【考点深度剖析】1．函数y ＝f (x )的零点即方程f (x )＝0的实根，易误认为函数图像与x 轴的交点． 2．由函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上有零点不一定能推出f (a )·f (b )<0，所以f (a )·f (b )<0是y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上有零点的充分不必要条件．【重点难点突破】考点1 函数零点所在区间的判定【1-1】函数f (x )＝log 3x ＋x －2的零点所在的区间为_________． 【答案】(1,2)．【1-2】函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是_________．【答案】(0,3)【解析】由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解得0<a <3. 【思想方法】函数零点个数的判断方法．(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【温馨提醒】函数y ＝f (x )的零点即方程f (x )＝0的实根，不要误为函数上的点． 考点2 判断函数零点个数【2-1】函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为______个． 【答案】2【解析】令f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图像，可以发现两个函数图像一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．【2-2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是_____【答案】4【思想方法】(1)等价转化思想． (2)数形结合思想【温馨提醒】正确作出函数图像，揭示零点性质 考点3 函数零点的应用【3-1】若函数f (x )＝x ln x －a 有两个零点，则实数a 的取值范围为________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0【解析】令g (x )＝x ln x ，h (x )＝a ，则问题可转化成函数g (x )与h (x )的图像有两个交点．g ′(x )＝ln x ＋1，令g ′(x )<0，即ln x <－1，可解得0<x <1e；令g ′(x )>0，即ln x >－1，可解得x >1e ，所以，当0<x <1e 时，函数g (x )单调递减；当x >1e时，函数g (x )单调递增，由此可知当x＝1e 时，g (x )min ＝－1e .在同一坐标系中作出函数g (x )和h (x )的简图如图所示，据图可得－1e <a <0.【3-2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0x 2－3ax ＋a ，x >0有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤49，1【思想方法】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．【温馨提醒】正确作出函数图像，揭示零点性质【易错试题常警惕】函数在区间上有零点求参数问题，一定要注意变量或参数的取值范围．如：已知集合(){}2,20x y xmx y A =+-+=和(){},10,02x y x y x B =-+=≤≤，若A B ≠∅I ，则实数m 的取值范围是 ．【分析】Q A B ≠∅I ，∴方程组212y x y x mx =+⎧⎨=++⎩，[]0,2x ∈，即函数 ()()211f x x m x =+-+在[]0,2有零点．Q ()010f =>，当()20f ≤，即32m ≤-时，显然A B ≠∅I 成立．∴实数m 的取值范围是3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．【易错点】忽略变量或参数的取值范围，导致条件不是等价变换．【练一练】函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内存在一个零点，则a 的取值范围是________.【答案】 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞。
【配套K12】2018版高考数学一轮总复习第2章函数导数及其应用2.8函数与方程模拟演练文
2018版高考数学一轮总复习 第2章 函数、导数及其应用 2.8 函数与方程模拟演练 文[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2) 答案 C解析 由条件可知f (1)f (2)＜0，即(2－2－a )(4－1－a )＜0，即a (a －3)＜0，解得0＜a ＜3.2．函数y ＝log a (x ＋1)＋x 2－2(0<a <1)的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无法确定 答案 C解析 令log a (x ＋1)＋x 2－2＝0，方程解的个数即为所求函数零点的个数，即为函数y ＝log a (x ＋1)(0<a <1)与函数y ＝－x 2＋2(x >－1)的图象的交点个数，易知图象交点个数为2，故选C.3．[2017·湖南师大附中模拟]设f (x )＝3x＋3x －8，用二分法求方程3x＋3x －8＝0在x ∈(1,2)内近似解的过程中得f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的根落在( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定答案 B解析 由f (1.25)<0，f (1.5)>0可得方程f (x )＝0的根落在(1.25,1.5)上，故选B.4．[2017·广东七校联考]已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x－log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且x 0<x 1，则f (x 1)的值( )A ．恒为负B ．等于零C ．恒为正D ．不大于零 答案 A解析 由于函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x－log 3x 在定义域内是减函数，于是，若f (x 0)＝0，当x 0<x 1时，一定有f (x 1)<0，故选A.5．[2017·黑龙江哈师大附中月考]关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x |－a －1＝0有解，则a 的取值范围是( )A ．0<a ≤1B ．－1<a ≤0C ．a ≥1D ．a >0答案 B解析 方程⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x |－a －1＝0有解等价于存在x ∈R 使得⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x |－1＝a 成立，设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1，x ≥0，3x －1，x <0，易得函数f (x )的值域为(－1,0]，所以a 的取值范围为－1<a ≤0，故选B.6．函数f (x )＝e x＋12x －2的零点有________个．答案 1解析 ∵f ′(x )＝e x＋12>0，∴f (x )在R 上单调递增，又f (0)＝1－2<0，f (1)＝e －32>0，∴函数在区间(0,1)上有零点且只有一个．7．[2015·安徽高考]在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．答案 －12解析 若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则方程2a ＝|x －a |－1只有一解，即方程|x －a |＝2a ＋1只有一解，故2a ＋1＝0，所以a ＝－12.8．[2017·嘉兴模拟]设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0∈(n ，n＋1)，n ∈N ，则x 0所在的区间是________．答案 (1,2)解析 设f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，则x 0是函数f (x )的零点，在同一坐标系下画出函数y ＝x3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象如图所示．因为f (1)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝－1＜0，f (2)＝8－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝7＞0，所以f (1)f (2)＜0，所以x 0∈(1,2)． 9．[2017·唐山模拟]当x ∈[1,2]时，函数y ＝12x 2与y ＝a x(a >0)的图象有交点，求a 的取值范围________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 解析 当a ＝1时，显然成立．当a >1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足12·22≥a2，即1<a≤2；当0<a<1时，如图②所示，需满足12·12≤a1，即12≤a<1，综上可知，a∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 10．[2017·江西模拟]已知函数f(x)＝－x2＋2e x＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x>0)．(1)若g(x)＝m有实数根，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．解(1)∵x>0时，g(x)＝x＋e2x≥2x·e2x＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，则y＝g(x)－m就有零点．∴m的取值范围是[2e，＋∞)．(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)＝x＋e2x(x>0)的大致图象．∵f(x)＝－x2＋2e x＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．[B级知能提升](时间：20分钟) 11．设a是方程2ln x－3＝－x的解，则a在下列哪个区间内( ) A．(0,1) B．(3,4) C．(2,3) D．(1,2)答案 D解析 令f (x )＝2ln x －3＋x ，则函数f (x )在(0，＋∞)上递增，且f (1)＝－2<0，f (2)＝2ln 2－1＝ln 4－1>0，所以函数f (x )在(1,2)上有零点，即a 在区间(1,2)内．12．[2017·大连模拟]函数f (x )＝(x ＋1)ln x －1的零点有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 答案 B解析 由f (x )＝(x ＋1)ln x －1＝0，得ln x ＝1x ＋1，作出函数y ＝ln x ，y ＝1x ＋1的图象如图，由图象可知交点个数为1，即函数的零点个数为1，选B.13．g (x )＝x ＋e2x－m (x >0，其中e 表示自然对数的底数)．若g (x )在(0，＋∞)上有零点，则m 的取值范围是________．答案 m ≥2e解析 由g (x )＝0，得x 2－mx ＋e 2＝0，x >0.由此方程有大于零的根，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2>0，Δ＝m 2－4e 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m ≥2e或m ≤－2e ，故m ≥2e.14．已知函数f (x )＝－x 2－2x ， g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x，x ＞0，x ＋1，x ≤0.(1)求g [f (1)]的值；(2)若方程g [f (x )]－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围． 解 (1)∵f (1)＝－12－2×1＝－3， ∴g [f (1)]＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t ＜1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t ＜1)的图象，如图所示，由图象可知，当1≤a ＜54时，函数y ＝g (t )(t ＜1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，54.。
2018年高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第8讲指数与指数函数课件理2017041501166
第一页，共31页。
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.了解指数函数模型的实际背 景．
2.理解有理数指数幂的含义， 了解实数指数幂的意义，掌握 幂的运算．
3.理解指数函数的概念，理解 指数函数的单调性，掌握指数 函数图象通过的特殊点．
4.知道指数函数是一类重要的 函数模型.
零的 n 次方根是零
当 n 是偶函数时，正数的 n 次方根有 ___两__个___，这两个数互为__相__反___数_
n ± a(a>0)
负数没有偶次方根
第四页，共31页。
(2)两个重要公式
a
①n
an＝|a|＝
n为奇数
a －a
a≥0， a<0
n为偶数
②(n a)n＝____a____(注意：a 必须使n a有意义)．
第五页，共31页。
2．有理数的指数幂
(1)幂的有关概念
m
①正分数指数幂：an
＝___n__a_m__(a>0，m，n∈N*，且
n>1)；
1
1
m
②负分数指数幂：a－n
＝___a_mn____＝___n_a_m___(a>0，m，n∈N*，且 n>1)．
③0 的正分数指数幂等于____0____，0 的负分数指数无幂意___义___(y__ìy．ì)
∴m21
－m－2
1
＝m2
－m－2
1
m＋1 m－1＋1＝m＋m－1＋1＝14＋1＝15.
m2 －m－2
m2 －m－2
第十八页，共31页。
•二 指数函数的图象(tú xiànɡ)及应用
2018届高三数学文一轮复习课件：2-8 函数与方程 精品
3．函数 f(x)＝2x＋x3－2 在区间(0,1)内的零点个数是( )
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
解析：函数 f(x)＝2x＋x3－2 显然是一个单调递增且是连续的函数，同时 f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1<0。由函数零点存在性定理可知，函数在(0,1)内必存在 唯一一个零点，故选 B 项。
二、小题查验 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数 f(x)＝x2－1 的零点是(－1,0)和(1,0)。( × )
解析：错误。函数 f(x)＝x2－1 的零点为－1 和 1，而并非其与 x 轴的交 点(－1,0)与(1,0)。
(2)函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有 f(a)·f(b)＜0。( × )
答案：B
4．根据表格中的数据，可以判定方程 ex－x－2＝0 的一个根所在的区间为
()
x －1 0 1
2
3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x＋2 1 2 3
4
5
A.(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．－2，从表中可以看出 f(1)·f(2)<0，因此方程 ex－x －2＝0 的一个根所在的区间为(1,2)。
(2)用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤 第一步，确定区间[a，b]，验证 f(a)·f(b)＜0 ，给定精确度 ε。
第二步，求区间(a，b)的中点 x1。 第三步，计算 f(x1)： ①若 f(x1)＝0 ，则 x1 就是函数的零点； ②若 f(a)·f(x1)＜0 ，则令 b＝x1(此时零点 x0∈(a，x1))； ③若 f(x1)·f(b)＜0 ，则令 a＝x1(此时零点 x0∈(x1，b))。
(全国通用)近年高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第8节 函数与方程课时分层训练 文 新
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课时分层训练(十一）函数与方程A组基础达标(建议用时:30分钟)一、选择题1．若函数f（x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g（x）＝bx2－ax的零点是（) 【导学号：31222061】A．0，2 B．0，错误!C．0,－错误!D．2,－错误!C ［由题意知2a＋b＝0，即b＝－2a.令g（x）＝bx2－ax＝0，得x＝0或x＝错误!＝－错误!。
]2．函数f（x)＝e x＋x－2的零点所在的区间为（）A．（－2,－1）B．（－1,0）C．(0，1) D．（1,2）C ［因为f(0）＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0,故f(0)·f（1）＜0，故选C.]3．函数f（x)＝2x＋x3－2在区间（0，2)内的零点个数是（）A．0 B．1C．2 D．3B ［由指数函数、幂函数的性质可知,f（x）＝2x＋x3－2在区间（0,2）内单调递增,且f （0）＝－1＜0,f(2)＝10＞0，所以f(0）·f（2)＜0，即函数f（x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内有唯一一个零点，故选B。
]4．已知函数f(x)＝错误!则使函数g（x)＝f（x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是（) A．[0,1）B．（－∞，1）C．(－∞，1]∪(2,＋∞）D．(－∞，0]∪（1，＋∞)D [函数g（x)＝f(x）＋x－m的零点就是方程f（x)＋x＝m的根，画出h（x)＝f（x)＋x ＝错误!的大致图象（图略）．观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m＞1时，有交点，即函数g(x）＝f（x)＋x －m有零点．]5．（2016·湖北七校2月联考）已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数,若函数y＝f(2x2＋1)＋f（λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( )A。
高考数学一轮复习 第2章 函数与基本初等函数 第8讲 函数与方程课时作业(含解析)新人教B版-新人教
第8讲 函数与方程课时作业1．(2019·某某质检)函数f (x )＝ln x －1x －1的零点的个数是() A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C解析 在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝1x －1与y ＝ln x 的图象(图略)，由图象可知有两个交点．2．(2019·某某模拟)函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是()A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(1，e)和(3,4)D ．(e ，＋∞)答案 B解析 因为f ′(x )＝1x ＋2x2>0(x >0)，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (3)＝ln 3－23>0，f (2)＝ln 2－1<0，所以f (2)·f (3)<0，所以函数f (x )唯一的零点在区间(2,3)内．故选B ．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为()A ．12，0 B ．－2,0 C ．12 D ．0答案 D解析 当x ≤1时，由f (x )＝2x－1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上，函数f (x )的零点只有0.4．函数f (x )＝1－x log 2x 的零点所在的区间是()A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2,3)答案 C解析 因为y ＝1x与y ＝log 2x 的图象只有一个交点，所以f (x )只有一个零点．又因为f (1)＝1，f (2)＝－1，所以函数f (x )＝1－x log 2x 的零点所在的区间是(1,2)．故选C ．5．函数f (x )＝x cos2x 在区间[0,2π]上的零点的个数为() A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 D解析 f (x )＝x cos2x ＝0⇒x ＝0或cos2x ＝0，又cos2x ＝0在[0,2π]上的根有π4，3π4，5π4，7π4，共4个，故原函数有5个零点． 6．若x 0是方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝x 13 的解，则x 0属于区间()A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 答案 C解析 令g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x )＝x 13 ，则g (0)＝1>f (0)＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212 <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213 ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1313 ，所以由图象关系可得13<x 0<12.7．(2019·某某模拟)f (x )＝3x－log 2(－x )的零点的个数是() A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 B解析 f (x )的定义域为(－∞，0)，且f (x )在(－∞，0)上单调递增，f (－1)＝13>0，f (－2)＝－89<0，所以函数f (x )＝3x－log 2(－x )有且仅有1个零点，故选B ．8．已知a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d .若f (x )＝2019－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是()A ．a >c >b >dB ．a >b >c >dC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d答案 D解析 f (x )＝2019－(x －a )(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2019，又f (a )＝f (b )＝2019，c ，d 为函数f (x )的零点，且a >b ，c >d ，所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c >a >b >d ，故选D ．9．(2019·某某某某模拟)已知x 0是f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1x的一个零点，x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)，则()A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)>0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)<0，f (x 2)>0答案 C解析 如图，在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，y ＝－1x 的图象，由图象可知，当x ∈(－∞，x 0)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >－1x ，当x ∈(x 0,0)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <－1x ，所以当x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)时，有f (x 1)>0，f (x 2)<0，故选C ．10．(2019·某某质检)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 作出函数f (x )与g (x )的图象如图所示，发现有两个不同的交点，故选B ．11．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值X 围是()A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 C解析 画出函数f (x )的图象，再画出直线y ＝－x 并上下移动，可以发现当直线y ＝－x 过点A 时，直线y ＝－x 与函数f (x )的图象有两个交点，并且向下无限移动，都可以保证直线y ＝－x 与函数f (x )的图象有两个交点，即方程f (x )＝－x －a 有两个解，也就是函数g (x )有两个零点，此时满足－a ≤1，即a ≥－1，故选C ．12．(2019·某某正定模拟)已知f (x )为偶函数且f (x ＋2)＝f (x )，若当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则方程f (x )＝log 3|x |的解的个数是()A ．0B ．2C ．4D ．6答案C解析 画出函数f (x )和y ＝log 3|x |的图象(如图所示)，由图象可知方程f (x )＝log 3|x |的解有4个．故选C ．13．已知函数y ＝f (x )的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：x 1 2 3 4 5 6 y124.435－7414.5－56.7－123.6则函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有________个． 答案 3解析 由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f (x )在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均有零点，所以y ＝f (x )在[1,6]上至少有3个零点．14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x ，x >0，x 2－x －2，x ≤0，则其零点为________.答案 1，－1解析 当x >0时，由f (x )＝0，即x ln x ＝0得ln x ＝0，解得x ＝1；当x ≤0时，由f (x )＝0，即x 2－x －2＝0，也就是(x ＋1)(x －2)＝0，解得x ＝－1或x ＝2.因为x ≤0，所以x ＝－1.综上，函数的零点为1，－1.15．(2019·某某模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值X 围是________. 答案 (0,1)解析 函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为y ＝f (x )和y ＝m 的图象有3个交点．画出函数y ＝f (x )的图象，由图可知要使函数y ＝f (x )和y ＝m 的图象有3个交点，m 应满足0<m <1，所以实数m 的取值X 围是(0,1)．16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的实根，则m 的取值X 围是________.答案 (3，＋∞)解析 f (x )的图象如图所示，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的实根，只需4m －m 2<m ，解得m >3或m <0，又m >0，所以m >3.17．(2019·某某模拟)函数f (x )的定义域为实数集R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，－1≤x <0，log 2(x ＋1)，0≤x <3，对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (x －2)．若在区间[－5,3]上函数g (x )＝f (x )－mx ＋m 恰好有三个不同的零点，某某数m 的取值X 围．解 因为对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (x －2)，所以函数f (x )的周期为4.由在区间[－5,3]上函数g (x )＝f (x )－mx ＋m 有三个不同的零点，知函数f (x )与函数h (x )＝mx －m 的图象在[－5,3]上有三个不同的交点．在同一平面直角坐标系内作出函数f (x )与h (x )在区间[－5,3]上的图象，如图所示．由图可知1－0－1－1≤m <1－0－5－1，即－12≤m <－16.。
2018版高考数学一轮总复习第2章函数导数及其应用2.8函数与方程课件文
解析
因为函数 f(x)为连续函数且 f(1)· f(3)<0， 所以函数
f(x) 在(1,3)内一定有零点．
板块二 典例探究· 考向突破
考向 例1 (1)若
确定函数零点所在区间
1 3
1 x x0 是方程 ＝x 2
的解， 则 x0 属于区间(
2 D.3，1
3．若函数 f(x)在[ a，b] 上单调，且 f(x)的图象是连续不 断的一条曲线，则 f(a)· f(b)＜0⇒函数 f(x)在[ a，b] 上只有一 个零点．
[ 双基夯实] 一、疑难辨析 判断下列结论的正误． ( 正确的打“√”，错误的打 “×”) 1．函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点．( × ) 2． 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当 b2－4ac＜0 时没 有零点．( √ ) 3．函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不 断)，则 f(a)· f(b)＜0.( × )
x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0,0)时，有
f(x1)>0，f(x2)<0，选 C.
命题角度 2 例 4
已知函数零点所在区间求参数
[2017· 启东检测] 若函数 f(x)＝log2x＋x－k(k∈Z)
由题意可得 f(2)f(3)<0，即(log22＋2－k)· (log23
4 在区间(2,3)上有零点，则 k＝________.
|x|，x≤m， 2 x －2mx＋4m，x>m，
其中 m>0.若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)＝b 有 (3，＋∞) ． 三个不同的根，则 m 的取值范围是____________ [ 解题视点] 画出函数图象，合理寻找“临界”情况， 探究实数 m 满足的条件，从而确定 m 的取值范围．
2018届高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第八节函数与方程学案文
第八节函数与方程1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．知识点一函数的零点1．定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．2．函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与______有交点⇔函数y＝f(x)有______．3．函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有____________，那么函数y＝f(x)在区间________内有零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．答案1．f(x)＝0 2.x轴零点3．f(a)·f(b)<0 (a，b) f(c)＝01．(必修①P92习题3.1A组第2题改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：A．(1,2) B．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)解析：由所给的函数值的表格可以看出，x ＝2与x ＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f (2)·f (3)<0，所以函数的零点在(2,3)内，故选B.答案：B2．(必修①P88例1改编)函数f (x )＝x 12 －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：函数f (x )＝x 12 －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的零点个数是方程x 12 －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0的解的个数，即方程x 12 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的解的个数，也就是函数y ＝x 12 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象的交点个数．在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为1.答案：B3．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在(0,1)上有零点．∴f (0)f (1)<0.即a (a ＋2)<0，解得－2<a <0.答案：(－2,0) 知识点二 二分法 1．二分法的定义对于在区间[a ，b ]上连续不断且____________的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间________，使区间的两个端点逐步逼近______，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤第一步，确定区间[a ，b ]，验证__________，给定精确度ε； 第二步，求区间(a ，b )的中点x 1； 第三步，计算f (x 1)：①若____________，则x1就是函数的零点；②若____________，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；③若____________，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))；第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步．温馨提示：用二分法求一个方程的近似解时，选择的区间可大可小，在同一精确度下，最好在满足|a－b|<ε的同时，再保证区间(a，b)的两个端点a，b在精确度ε下的近似值相同．这样所选的区间不同，但所得结果相同．答案1．f(a)f(b)<0 一分为二零点2．f(a)f(b)<0 ①f(x1)＝0 ②f(a)f(x1)<0③f(x1)f(b)<04．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )答案：A5．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：解析：由题意知，函数零点在区间(1.556 2，1.562 5)内，又零点近似值保留三位有效数字，故零点近似值为1.56.答案：1.56热点一零点所在区间的判断【例1】 (1)(2017·吉林长春监测)函数f (x )＝12ln x ＋x －1x －2的零点所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(e,3)(2)设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)【解析】 (1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－12＋1e －e －2<0，f (1)＝－2<0，f (2)＝12ln2－12<0，f (e)＝12＋e －1e －2>0，所以f (2)f (e)<0，所以函数f (x )＝12ln x ＋x －1x －2的零点所在的区间是(2，e)，故选C.(2)函数f (x )的零点所在的区间转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图，可知f (x )的零点所在的区间为(1,2)．故选B.【答案】 (1)C (2)B(1)函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(3,4)(2)(2017·永州模拟)若x 0是函数f (x )＝2x－x －3的零点，则[x 0](表示不超过x 0的最大整数)的值为________．解析：(1)因为f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数，且f (1)＝ln2－2<0，f (2)＝ln3－1>0，所以函数的零点所在的大致区间是(1,2)，故选B.(2)函数f (x )＝2x－x －3的零点即函数y ＝2x与y ＝x ＋3的交点的横坐标．如图，因为f (－3)·f (－2)＝18×(14－1)<0，f (2)·f (3)＝(－1)×2＝－2<0.所以x 0∈(－3，－2)或x 0∈(2,3)， 所以[x 0]的值为－3或2.答案：(1)B (2)－3或2 热点二 函数零点个数的判断【例2】 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．(2)函数f (x )＝cos x －log 8x 的零点个数为________．【解析】 (1)当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点．当x >0时，f ′(x )＝2＋1x>0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (2)＝－2＋ln2<0，f (3)＝ln3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f (x )的零点个数为2.(2)由f(x)＝0得cos x＝log8x，设y＝cos x，y＝log8x，作出函数y＝cos x，y＝log8x的图象，由图象可知，函数f(x)的零点个数为3.【答案】(1)2 (2)3(2017·佳木斯一模)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝e x＋x－3，则f(x)的零点个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，所以0是函数f(x)的一个零点．当x>0时，令f(x)＝e x＋x－3＝0.则e x＝－x＋3.分别画出函数y＝e x和y＝－x＋3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)在(0，＋∞)上有一个零点．又根据对称性知，当x <0时函数f (x )也有一个零点． 综上所述，f (x )的零点个数为3.故选C. 答案：C热点三 函数零点的应用 考向1 二次函数的零点问题【例3】 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋2，a ∈R .(1)若不等式f (x )≤0的解集为[1,2]，求不等式f (x )≥1－x 2的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )＋x 2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)因为不等式f (x )≤0的解集为[1,2]，所以a ＝－3，于是f (x )＝x 2－3x ＋2. 由f (x )≥1－x 2得，1－x 2≤x 2－3x ＋2，解得x ≤12或x ≥1，所以不等式f (x )≥1－x 2的解集为{x |x ≤12或x ≥1}．(2)函数g (x )＝2x 2＋ax ＋3在区间(1,2)上有两个不同的零点，则⎩⎪⎨⎪⎧g ，g，1<－a4<2，a 2－24>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋5>0，2a ＋11>0，－8<a <－4，a <－26或a >26，解得－5<a <－2 6.所以实数a 的取值范围是(－5，－26).已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围．解：设方程x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，则(x 1－1)(x 2－1)<0，即x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1<0，由根与系数的关系，得(a －2)＋(a 2－1)＋1<0，即a 2＋a －2<0，∴－2<a <1. 故实数a 的取值范围为(－2,1)．考向2 利用函数的零点求参数的取值范围 【例4】 (2016·天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋a －x ＋3a ，x <0，log a x ＋＋1，x ≥0，(a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 【解析】 要使函数f (x )在R 上单调递减，只需⎩⎪⎨⎪⎧3－4a 2≥0，0<a <1，3a ≥1，解之得13≤a ≤34，因为方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，所以直线y ＝2－x 与函数y ＝|f (x )|的图象有两个交点．如图所示．易知y ＝|f (x )|的图象与x 轴的交点的横坐标为1a －1，又13≤1a－1≤2，故由图可知，直线y ＝2－x 与y ＝|f (x )|的图象在x >0时有一个交点；当直线y ＝2－x 与y ＝x 2＋(4a －3)x ＋3a (x <0)的图象相切时，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2－x 0＝x 20＋a －x 0＋3a ，－1＝2x 0＋a －，整理可得4a2－7a ＋3＝0，解得a ＝1(舍)或a ＝34.而当3a ≤2，即a ≤23时，直线y ＝2－x 与y ＝|f (x )|的图象在y 轴左侧有一个交点，综合可得a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.【答案】 C(2017·南昌模拟)对于实数m ，n 定义运算“⊕”：m ⊕n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－m 2＋2mn －m ≤n ，n 2－mn m >n ，设f (x )＝(2x －1)⊕(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝a 恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是________．解析：由2x －1≤x －1，得x ≤0，此时f (x )＝－(2x －1)2＋2(2x －1)·(x －1)－1＝－2x ，由2x －1>x －1，得x >0，此时f (x )＝(x －1)2－(2x －1)(x －1)＝－x 2＋x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤0，－x 2＋x ，x >0，作出函数f (x )的图象如图所示，要使方程f (x )＝a 恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，不妨设x 1<x 2<x 3，则x 1<0,0<x 2<12<x 3<1，且x 2，x 3关于x ＝12对称，所以x 2＋x 3＝1，当－2x ＝14时，解得x ＝－18，∴－18<x 1<0，∴78<x 1＋x 2＋x 3<1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫78，11．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．2．函数零点的判定常用的方法有(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f (x )＝0.3．研究方程f (x )＝g (x )的解，实质就是研究G (x )＝f (x )－g (x )的零点．4．转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．。
2018版高三数学一轮温习(3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升)第2章节 函数的概念
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第二章·第七讲 函数模型及其应用
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第二章·第七讲 函数模型及其应用
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第二章·第七讲 函数模型及其应用
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题型全突破 11考法3ຫໍສະໝຸດ 分段函数模型第二章·第七讲
函数模型及其应用
考法指导 1.分段函数中每一段自变量变化所遵循的规律不同,在应用时,可以先
在区间(0,+∞)上,尽管函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数,但它 们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度 越来越快,会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度则 会越来越慢. 因此,总会存在一个x0,使得当x>x0时,有logax<xn<ax.
对数函数y= logax(a>1)
幂函数y= xn(n>0)
先慢后快,爆炸式 先快后慢,增长平 介于指数函数与对数函
增长
缓
数之间,相对平稳
随x值的增大,图 随x值的增大,图象 随n值的不同而不同
象与y轴接近平行 与x轴接近平行
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第二章·第七讲 函数模型及其应用
2.指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较
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第二章·第七讲 考点一 常见的函数模型
函数模型及其应用
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知识全通关 2
2018版高考数学一轮复习课件：第2章 第8节 函数与方程
数 b，使得关于 x 的方程 f(x)＝b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是________．
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第二十四页，编辑于星期六：二十二点 二十七 分。
高三一轮总复习
(1)C (2)(3，＋∞) [(1)∵函数 f(x)＝2x－2x－a 在区间(1,2)上单调递增，又函 数 f(x)＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则有 f(1)·f(2)＜0，∴(－a)(4－1－a) ＜0，即 a(a－3)＜0，∴0＜a＜3.
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第五页，编辑于星期六：二十二点 二十七分。
高三一轮总复习
3．(2015·安徽高考)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )
A．y＝cos x
B.y＝sin x
C．y＝ln x
D.y＝x2＋1
A [由于 y＝sin x 是奇函数；y＝ln x 是非奇非偶函数，y＝x2＋1 是偶函数但 没有零点，只有 y＝cos x 是偶函数又有零点．]
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(1)B (2)存在 [(1)函数 f(x)的零点所在的区间可转化为函数 g(x)＝ln x，h(x) ＝－x＋2 图象交点的横坐标所在的取值范围．作图如下：
可知 f(x)的零点所在的区间为(1,2)．
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第十页，编辑于星期六：二十二点 二十七分。
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(2)法一：∵f(1)＝12－3×1－18＝－20＜0， f(8)＝82－3×8－18＝22＞0， ∴f(1)·f(8)＜0， 又 f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]的图象是连续的， 故 f(x)＝x2－3x－18 在 x∈[1,8]上存在零点． 法二：令 f(x)＝0，得 x2－3x－18＝0， ∴(x－6)(x＋3)＝0. ∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]， ∴f(x)＝x2－3x－18 在 x∈[1,8]上存在零点．]
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【解析】 (1)令 f(x)＝ x－ cos x＝ 0，则 x＝ cos x，设 函数 y＝ x 和 y＝ cos x，在同一坐标系下作出在[0，＋∞ )的 图象，显然两函数的图象的交点有且只有一个． 函数 f(x)＝ x－cos x在 [0，＋∞ )内有且仅有一个零点． (2)由题意知函数 f(x)的定义域为{x|x＞2}． 2 1 ∵ f(3)＝－ ＜ 0，f(4)＝ ln 2－ ＞ 0， 3 2 2 f(5)＝ ln 3－ ＞0， 5 ∴ f(3)· f(4)＜ 0， f(4)· f(5)＞ 0， ∴函数 f(x)的零点在 (3， 4)之间．
1．(人教 A 版教材习题改编)用二分法求函数 y＝f(x)在 区间(2，4)上的近似解，验证 f(2)·f(4)＜0，给定精确度 ε 2＋4 ＝0.01，取区间(2，4)的中点 x1＝ ＝3，计算得 f(2)· f(x1) 2 ＜0，则此时零点 x0 所在的区间为( ) A．(2，4) B．(3，4) C．(2，3) D．(2.5，3)
定．
(1)函数f(x)＝ x－cos x在[0，＋∞)内( A．没有零点 C．有且仅有两个零点
)
B．有且仅有一个零点 D．有无穷多个零点 2 (2)(2013· 汕头模拟)函数f(x)＝ln(x－2)－ 的零点所在的 x 大致区间是( ) A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5)
【答案】
C
(
1 1 x 3．(2012· 北京高考 )函数f(x)＝x 2 －( ) 的零点的个数为 2 ) A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】
1 在同一平面直角坐标系内作出 y1＝x2与 y2
1x ＝( ) 的图象如图所示， 易知， 两函数图象只有一个交点． 因 2 1 1x 此函数 f(x)＝x2－( ) 只有 1 个零点． 2
【思路点 拨】
(1) 先根据零点存在性定理证明有 零
点，再根据函数的单调性判断零点的个数． (2)画出两个函数的图象寻找零点所在的区间．
【尝试解答】
(1)因为f′(x)＝2xln 2＋3x2>0，所以函数
f(x)＝2x＋x3－2在(0，1)上递增，且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，
f(1)＝2＋1－2＝1>0，所以有1个零点．
【提示】
不是．函数的零点是一个实数，是函数 y ＝
f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2 ．“ f(a)·f(b) ＜ 0”是“函数 y ＝ f(x)( 函数图象连续 ) 在 区间(a，b)内有零点”的什么条件？
【提示】
f(a)·f(b)＜ 0⇒函数 y ＝ f(x) 在区间 (a， b) 内有
零点，反之不一定成立，如函数f(x)＝x2－2x＋1在区间(0， 2) 内有零点 x ＝ 1 ，但 f(0)f(2) ＞ 0 ，因此， “ f(a)·f(b) ＜ 0” 是 “函数f(x)(函数图象连续)在区间(a，b)内有零点”的充分不 必要条件．
【答案】
B
4 ．已知函数 f(x)＝ x2＋ x ＋ a在区间 (0， 1)上有零点，则
实数a的取值范围是________．
【解析】
函数f(x)＝x2＋x＋a在(0，1)上递增．
由已知条件f(0)f(1)＜0，即a(a＋2)＜0，解得－2＜a＜0.
【答案】
(－2，0)
(1)(2012· 天津高考)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内 的零点个数是( ) A．0 B． 1 C．2 D．3 1 x－2 3 (2)(2013· 湛江模拟)设函数y＝x 与y＝( ) 的图象的交 2 点为(x0，y0)，则x0所在的区间(端点值为连续整数的开区间) 是________．
(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的
图象是连续不断的一条曲线，并且有______________ f(a)·f(b)<0 ，那么
(a，b) 内有零点，即存在x0∈(a，b)， 函数y＝f(x)在区间_________ f ( x0 ) ＝ 0 ． 使得_____________
【答案】
(1)B
(2)(1，2)
1 ． 函数零点的判定常用的方法有： (1) 零点存在性定
理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)＝0. 2 ． 求函数的零点，从代数角度思考就是解方程 f(x) ＝ 0；从几何角度思考就是研究其图象与x轴交点的横坐标．通 过画出函数的图象，观察图象与 x轴在给定区间上的交点判
第八节
函数与方程
1．函数零点 f(x)＝0 成立 (1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使__________ 的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． (2) 函数零点与方程根的关系：方程 f(x) ＝ 0 有实根 ⇔ 函 x_____ 轴 有交点⇔函数y＝f(x)有零点 数y＝f(x)的图象与 _______．
对于在区间 [a ， b] 上连续不断且 ________________ f(a)·f(b)＜0 的函
数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二 ，使区间的两个端点逐步逼近______ 零点 ，进而 __________ 得到零点近似值的方法叫做二分法．
1．函数的零点是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点吗？
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4acΒιβλιοθήκη Δ>0Δ＝0
Δ<0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
与x轴的交点
零点个数
1 2 ___________________
(x ，0)，(x ，0) 2
1 __________
(x ，0) 1
无交点
0
3.二分法
1 x－2 (2)设f(x)＝x －( ) ， 2 则x0是函数f(x)的零点． 在同一坐标系下画出函 1 x－2 3 数y＝x 与y＝( ) 的图 2 象，如图所示．
3
1 －1 ∵f(1)＝1－( ) ＝－1＜0， 2 10 f(2)＝8－( ) ＝7＞0 2 ∴f(1)f(2)＜0， ∴x0∈(1，2)．
【解析】 【答案】
由零点存在性定理知x0∈(2，3)，故选C. C
2．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝ bx2－ax的零点是( ) 1 A．0，2 B．0， 2 1 1 C．0，－ D．2，－ 2 2
【解析】 由题意知 2a＋b＝0，即b＝－2a. a 1 令g(x)＝bx2－ax＝0得x＝0或x＝ ＝－ . b 2