山东省东平县斑鸠店镇中学数学青岛版九年级上册
山东省东平县斑鸠店镇中学2018届九年级上期末复习检测数学试卷(解析版)
2017-2018学年山东省东平县斑鸠店镇中学九年级上期末复习检测数学试卷一、选择题（共10题；共30分）1.在下列四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（）A. B. C. D.2.如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若边长为4cm，则⊙O的半径为（）A. 6cmB. 4cmC. 2cmD. 2cm3.下列方程中，有两个不相等实数根的是（）A. x2－2x－1=0B. x2－2x+3=0C. x2=2x－3D. x2－4x+4=04.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE=FD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点G，连接AG交BE于点H，连接DH，下列结论正确的个数是（）①△ABG∽△FDG ②HD平分∠EHG ③AG⊥BE ④S△HDG：S△HBG=tan∠DAG ⑤线段DH的最小值是2 ﹣2．A. 2B. 3C. 4D. 55.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2 则阴影部分图形的面积为（）A. 4πB. 2πC. πD.6.一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况（）A. 有一个实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根7.关于x的一元二次方程x2-2x-3=0的根是（）A. x1=1,x2=3B. x1=-1,x2=3C. x1=1,x2=-3D. x1=-1,x2=-38.已知点A（-2，y1）、B（-1，y2）、C（3，y3）都在反比例函数y=上，则( )A. y1＜y2＜y3B. y3＜y2＜y1C. y3＜y1＜y2D. y2＜y1＜y39.把一元二次方程x2﹣6x+4=0化成（x+n）2=m的形式时，m+n的值为（）A. 8B. 6C. 3D. 210.下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是（）A. x2-3x+1=0B. x2+1=0C. x2-2x+1=0D. x2+2x+3=0二、填空题（共8题；共24分）11.将二次函数y=x2﹣4x+5化为y=（x﹣h）2+k的形式，那么h+k=________12.在已建立直角坐标系的4×4正方形方格纸中, △ABC是格点三角形(三角形的三个顶点都是小正方形的顶点),若以格点P,A,B为顶点的三角形与△ABC相似(全等除外),则格点P的坐标是________ .13.如图，反比例函数y= 的图象经过Rt△ABC斜边AB的中点M 及顶点B，点C在y轴正半轴上，连结MC并延长与x轴交于点E．（1）若点M的坐标为（2，3），则点B的坐标为________；（2）若k=7，则△AEC的面积为________．14.如图，正方形ABCD的边长为5，连接BD，在线段CD上取一点E，在线段BD上取点F，使得∠BEC=∠DEF，当S△DEF= S△EFB时，在线段BC上有一点G，使FG+EG最短，则CG=________．15.如图，已知三角形ABC的面积为12，将三角形ABC沿BC平移到三角形A′B′C′，使B′和C重合，连接AC′交A′C于D，D是A′C的中点，则三角形C′DC的面积为________．16.已知A（0，3）、B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的对称轴是________．17.如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为________18.已知两个相似三角形相似比是3：4，那么它们的面积比是________ ．三、解答题（共6题；共36分）19.如图，BC是半圆O的直径，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E，CE=，CD=2.(1)求直径BC的长；(2)求弦AB的长.20.如图，某校少年宫数学课外活动初三小组的同学为测量一座铁塔AM的高度如图，他们在坡度是i=1：2.5的斜坡DE的D处，测得楼顶的移动通讯基站铁塔的顶部A和楼顶B的仰角分别是60°、45°，斜坡高EF=2米，CE=13米，CH=2米．大家根据所学知识很快计算出了铁塔高AM．亲爱的同学们，相信你也能计算出铁塔AM的高度！请你写出解答过程．（数据≈1.41，≈1.73供选用，结果保留整数）21.用配方法把二次函数y= x2﹣4x+5化为y=a（x+m）2+k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．22.△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的时，求线段EF的长．23.用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系：一个游泳池的容积为2000m立方，游泳池注满水的时间t（单位：h）随注水速度u（m3/h）的变化而变化．24.等腰三角形中，两腰和底的长分别是10和13，求三角形的三个内角的度数（精确到1′）．四、综合题（共1 0分）25.如图，已知抛物线经过A（1，0）、B（0，3）两点，对称轴是x=﹣1（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OM上运动，同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；②△AON能否为等腰三角形？若能，直接写出t的值；若不能，请说明理由．2017-2018学年山东省东平县斑鸠店镇中学九年级上期末复习检测数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1.【答案】B【考点】利用平移设计图案【解析】【解答】解：观察图形可知图案B通过平移后可以得到．故选：B．【分析】根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是B．2.【答案】B【考点】正多边形和圆【解析】【解答】解：作OD⊥BC于D点，连接OB，∵等边三角形ABC内接于⊙O，BC=4cm，∴∠OBD=∠ABC=30°，BD=DC=BC=2，∴OB=，故选B．【分析】作OD⊥BC于D点，连接OB，构造直角三角形利用解直角三角形的知识求得OB的长即可．3.【答案】A【考点】根的判别式【解析】【分析】判断上述方程有两个不相等实数根，只要看根的判别式△=b2-4ac＞0就可以了．【解答】A、△=b2-4ac=4+4=8＞0，方程有两个不相等的实数根．B、△=b2-4ac=4-12=-8＜0，方程没有实数根．C、△=b2-4ac=12-12=0，方程有两个相等的实数根．D、△=b2-4ac=16-16=0，方程有两个相等的实数根．故选A【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1)△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3)△＜0⇔方程没有实数根．4.【答案】C【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠ABE=∠DCF，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠DAG=∠DCF，∴∠ABE=∠DAG，∵∠DAG+∠BAH=90°，∴∠BAE+∠BAH=90°，∴∠AHB=90°，∴AG⊥BE，故③正确，同法可证：△AGB≌△CGB，∵DF∥CB，∴△CBG∽△FDG，∴△ABG∽△FDG，故①正确，∵S△HDG：S△HBG=DG：BG=DF：BC=DF：CD=tan∠FCD，又∵∠DAG=∠FCD，∴S△HDG：S△HBG=tan∠FCD，tan∠DAG，故④正确取AB的中点O，连接OD、OH，∵正方形的边长为4，∴AO=OH= ×4=2，由勾股定理得，OD= =2 ，由三角形的三边关系得，O、D、H三点共线时，DH最小，DH最小=2 ﹣2．无法证明DH平分∠EHG，故②错误，故①③④⑤正确，故选C．【分析】首先证明△ABE≌△DCF，△ADG≌△CDG（SAS），△AGB≌△CGB，利用全等三角形的性质，等高模型、三边关关系一一判断即可．5.【答案】D【考点】垂径定理，圆周角定理，扇形面积的计算，解直角三角形【解析】解答: 连接OD．∵CD⊥AB，∴CE=DE= CD=故S△OCE=S△ODE，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，又∵∠CDB=30°，∴∠COB=60°（圆周角定理），∴OC=2，故S扇形OBD=60π×22 ，即阴影部分的面积为故选：D．【分析】连接OD，则根据垂径定理可得出CE=DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，代入扇形的面积公式求解即可．6.【答案】B【考点】根的判别式【解析】【解答】解：∵△=22﹣4×1×1=0，∴一元二次方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根；故选B．【分析】先求出△的值，再根据△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数；△＜0⇔方程没有实数根，进行判断即可．7.【答案】B【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】【分析】先根据十字相乘法因式分解，即可解出方程.【解答】x2-2x-3=0，(x-3)(x+1)=0x-3=0 或x+1=0，解得x1=3，x2=-1故选B.【点评】解答本题的关键是熟练掌握若两个式子的积为0，至少有一个式子为0.8.【答案】D【考点】反比例函数的图象，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【分析】利用y=,k=4＞0，在图象的每一支上，y随x的增大而减小，双曲线在第一三象限，分别分析即可得出答案．【解答】∵k=4＞0，∴在图象的每一支上，y随x的增大而减小，双曲线在第一三象限，∵-2＜-1，∴0＞y1＞y2，∵C（3，y3)在第一象限，∴y3＞0，∴y2＜y1＜y3，故选：D．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，熟练地应用反比例函数的性质是解决问题的关键．9.【答案】D【考点】解一元二次方程-配方法【解析】【解答】解：x2﹣6x=﹣4，x2﹣6x+9=﹣4+9，（x﹣3）2=5，所以n=﹣3，m=5，所以m+n=5﹣3=2．故选D．【分析】利用配方法得到（x﹣3）2=5，则可得到m和n的值，然后计算它们的和即可．10.【答案】A【考点】根的判别式【解析】【分析】A、△=（-3）2-4×1×1=5＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以A选项正确；B、△=02-4×1×1＜0，则方程没有实数根，所以B选项错误；C、△=（-2）2-4×1×1=0，则方程有两个相等实数根，所以C选项错误；D、△=22-4×1×3＜0，则方程没有实数根，所以D选项错误．故选A．二、填空题11.【答案】3【考点】二次函数的三种形式【解析】【解答】解：y=x2﹣4x+5=（x﹣2）2+1，则h=2，k=1，所以h+k=2+1=3．故答案是：3．【分析】利用配方法把二次函数的一般形式配成二次函数的顶点式．12.【答案】（1，4）或（3，4）【考点】坐标与图形性质，相似三角形的判定【解析】【解答】如图：此时AB对应P1A或P2B，且相似比为1：2，故点P的坐标为：（1，4）或（3，4）；△ABC≌△BAP3此时P的坐标为（3，1）；∴格点P的坐标是（1，4）或（3，4）．【分析】根据题意作图，可以作相似比为1：2的相似三角形，还要注意全等的情况，根据图形即可得有三个满足条件的解．13.【答案】（1）（4，1.5）（2）3.5【考点】反比例函数系数k的几何意义【解析】【解答】解：（1）将点M（2，3）代入y= 得：k=6，∴y= ，∵点A的横坐标为0，点M的横坐标为2，且M为AB的中点，∴点B的横坐标为4，当x=4时，y= =1.5，即点B的坐标为（4，1.5）；2）∵k=7，∴反比例函数解析式为y=设点M的坐标为（a，），则点B的坐标为（2a，），∴点C（0，）、点A（0，），设直线CM解析式为y=kx+b，将点C（0，）、M（a，）代入得：，解得：，∴直线CM解析式为y= x+ ，当y=0时，x+ =0，解得：x=﹣a，则OE=a，∴△AEC的面积为×（﹣）×a=3.5，故答案为：3.5．【分析】（1）根据点M（2，3）求得反比例函数解析式，由M为AB中点得点B横坐标，继而由函数解析式可得其纵坐标，即可得答案；（2）设点M的坐标为（a，），则点B的坐标为（2a，）、点C（0，）、点A（0，），待定系数法求得直线CM解析式为y= x+ ，继而可得点E的坐标，最后由三角形面积公式可得答案．14.【答案】【考点】三角形的面积，正方形的性质，轴对称-最短路线问题【解析】【解答】解：如图，延长EC至N，使CN=CE，连接FN交BC于G，此时的点G就是使FG+EG最短，∵S△DEF= S△EFB，∴，∴，过点F作FM⊥CD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∴FM∥BC，∴，∵BC=CD=5，∴，∴FM=DM= ，∵∠BEC=∠DEF，∠EMF=∠ECB=90°，∴△EMF∽△ECB，∴，∴EC=4EM，∵EM+EC+DM=5，∴EM= ，EC=3，∴CN=CE=3，MN=CN+CE+ME=3+3+ = ，∵CG∥FM，∴，∴，∴CG= ，故答案为：．【分析】先利用轴对称找出点G的位置，再利用S△DEF= S△EFB，得出DB=4DF，进而求出FM，EM，再判断出△EMF∽△ECB，从而得出EC=3，最后用平行线分线段成比例即可求出CG．即可．15.【答案】6【考点】平移的性质【解析】【解答】解：根据题意得，∠B=∠A′CC′，BC=B′C′，∴CD∥AB，CD= AB（三角形的中位线），∵点C′到A′C的距离等于点C到AB的距离，∴△C′DC的面积= △ABC的面积= ×12=6．故答案为：6．【分析】根据平移变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，可得∠B=∠A′CC′，BC=B′C′，再根据同位角相等，两直线平行可得CD∥AB，然后求出CD= AB，点C′到A′C的距离等于点C到AB的距离，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比即可求解．16.【答案】x=1【考点】二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：∵A（0，3）、B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，∴对称轴为x=﹣=1，故答案为：x=1．【分析】把点的坐标代入可求得抛物线解析式，则可求得对称轴．17.【答案】10【考点】平移的性质【解析】【解答】解：根据题意，将周长为8的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，则AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC，又∵AB+BC+AC=8，∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10．故答案为：10．【分析】根据平移的基本性质解答即可．18.【答案】9：16【考点】相似三角形的性质，概率公式【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是3：4，∴它们的面积为9：16．故答案为9：16．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出结果．三、解答题19.【答案】解：(1)∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC=900.∵CE=，CD=2，∴根据勾股定理，得DE=1.∵D是弧AC的中点，∴AD=CD=2.易证△ADE∽△BCE，∴,即，解得BC=.(2) 易证△ABE∽△DCE, ∴.设AE=x , 则AB=2x，AC=x+，∵AB2+AC2=BC2,∴(2x)2+(x+)2=()2，解得x=.∵x>0，∴x=.∴AB=2x=.【考点】勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)由勾股定理求得DE的长，根据相似三角形的判定和性质列式求得BC的长；(2)由△ABE∽△DCE列式求得，从而根据勾股定理列方程求解即可.20.【答案】解：∵斜坡的坡度是i= ═，EF=2，∴FD=2.5 EF=2.5×2=5，∵CE=13，CE=GF，∴GD=GF+FD=CE+FD=13+5=18．在Rt△DBG中，∵∠GDB=45°，∴BG=GD=18，在Rt△DAN中，∵∠NAD=60°，ND=NG+GD=CH+GD=2+18=20，∴AN=ND•tan60°=20× =20 ，∴AM=AN﹣MN=AN﹣BG=20 ﹣18≈17（米）．答：铁塔高AC约17米【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】【分析】先根据DE的坡度i=1：2.5求出FD与EF的长，进而可得出GD的长，在Rt△DBG中，由等腰直角三角形的性质得出BG=GD，在Rt△DAN中，根据∠NAD=60°，ND=NG+GD=CH+GD可得出AN的长，再由AM=AN﹣MN=AN﹣BG可得出结论．21.【答案】解：y= x2﹣4x+5= （x﹣4）2﹣3，∴抛物线开口向上，对称轴x=4，顶点（4，﹣3）【考点】二次函数的三种形式【解析】【分析】利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可．22.【答案】解：（1）图（1）中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE．证明：∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，又∵∠MDN=∠B，∴△ADE∽△ABD，同理可得：△ADE∽△ACD，∵∠MDN=∠C=∠B，∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDC=90°，∠B=∠MDN，∴∠BAD=∠EDC，∵∠B=∠C，∴△ABD∽△DCE，∴△ADE∽△DCE，（2）△BDF∽△CED∽△DEF，证明：∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，又∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE，由AB=AC，得∠B=∠C，∴△BDF∽△CED，∴．∵BD=CD，∴．又∵∠C=∠EDF，∴△BDF∽△CED∽△DEF．（3）连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H．∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD=BC=6．在Rt△ABD中，AD2=AB2﹣BD2，∴AD=8∴S△ABC=BC•AD=×12×8=48．S△DEF=S△ABC=×48=12．又∵AD•BD=AB．DH，∴DH=，∵△BDF∽△DEF，∴∠DFB=∠EFD∵DG⊥EF，DH⊥BF，∴DH=DG=．∵S△DEF=×EF×DG=12，∴EF==5．【考点】等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质【解析】【分析】此题主要考查了相似三角形判定与性质以及三角形面积计算，熟练应用相似三角形的性质与判定得出对应用边与对应角的关系是解题关键．23.【答案】解：由题意得ut=2000，整理得t=．【考点】根据实际问题列反比例函数关系式【解析】【分析】根据注水速度×注水时间=游泳池的容积可得ut=2000，变形即可求出t与u的函数解析式．24.【答案】解：如图所示，AB=AC=10，BC=13，AD是底边上的高，∵AD是底边上的高，∴AD⊥BC ，又∵AB=AC ，∴BD=CD=6.5，∠BAD=∠CAD= ∠BAC ，在Rt△ABD中，sin∠BAD= =0.65，∴∠BAD≈40°32′，∴∠BAC≈2∠BAD≈81°4′，∠B=∠C≈49°28′ ．故△ABC的三个内角分别为：81°4′，49°28′，49°28′ ．【考点】计算器—三角函数【解析】先画图，AB=AC=10，BC=13，AD是底边上的高，利用等腰三角形三线合一定理可知BD=CD=6.5，∠BAD=∠CAD= ∠BAC ，在Rt△ABD中，利用∠BAD的正弦值的计算，结合计算器，可求∠BAD ，从而可求∠B、∠BAC ，那么∠C=∠B即可求．四、综合题25.【答案】（1）解：根据题意，设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+k，∵点A（1，0），B（0，3）在抛物线上，∴，解得：a=﹣1，k=4，∴抛物线的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）解：①∵四边形OMPQ为矩形，∴OM=PQ，即3t=﹣（t+1）2+4，整理得：t2+5t﹣3=0，解得t= ，由于t= ＜0，故舍去，∴当t= 秒时，四边形OMPQ为矩形；②能，Rt△AOB中，OA=1，OB=3，∴tanA=3．若△AON为等腰三角形，有三种情况：（I）若ON=AN，如答图1所示：则Q为OA中点，OQ= OA= ，∴t= ；（II）若ON=OA，如答图2所示：设AQ=x，则NQ=AQ•tanA=3x，OQ=OA﹣AQ=1﹣x，在Rt△NOQ中，由勾股定理得：OQ2+NQ2=ON2，即（1﹣x）2+（3x）2=12，解得x1= ，x2=0（舍去），∴x= ，OQ=1﹣x= ，∴t= ；（III）若OA=AN，如答图3所示：设AQ=x，则NQ=AQ•tanA=3x，在Rt△ANQ中，由勾股定理得：NQ2+AQ2=AN2，即（x）2+（3x）2=12，解得x1= ，x2=﹣（舍去），∴OQ=1﹣x=1﹣，∴t=1﹣．当t为秒、秒，（1﹣）秒时，△AON为等腰三角形．【考点】一元二次方程的解，待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质【解析】【分析】（1）利用顶点式、待定系数法求出抛物线的解析式；（2）①当四边形OMPQ为矩形时，满足条件OM=PQ，据此列一元二次方程求解；②△AON为等腰三角形时，可能存在三种情形，需要分类讨论，逐一计算．。
青岛版数学九年级上册教案(全册)
青岛版数学九年级上册教案（全册）1.1相似多边形教学目标【知识与能力】1、了解相似多边形的概念.2、在简单情形下，能根据定义判断两个多边形相似. 【过程与方法】通过探索相似多边形的特征，能识别两个相似多边形的对应顶点、对应角和对应边，会求相对多边形的相似比. 【情感态度价值观】通过用符号表示相似多边形及它们的对应元素，发展学生的符号意识.教学重难点【教学重点】相似多边形的定义。
【教学难点】判断两个多边形是否相似。
课前准备无教学过程教学过程 一、创设情景 老师：五星红旗是中华人民共和国的国旗.国旗上的左上角有五颗五角星.在现实生活中，你还见到这样形状相同但大小未必相等的图形吗？如图:四边形A 1B 1C 1D 1是四边形ABCD 经过相似变换所得的像， 请分别求出这两个四边形的对应边的长度,并分别量出这两个四边形各个内角的度数，然后与你的同伴议一议：这两个四边形的对应角之间有什么 关系？对应边之间有什么关系？ABCD A 1 B 1 C 1D 1二、新课 1、相似形形状相同的平面图形叫做相似形.2、相似多边形各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形. 对应顶点的字母写在对应的位置上，如四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形ABCD .相似多边形对应边的比叫做相似比.四边形A 1B 1C 1D 1与四边形ABCD 的相似比为12k .判断，它们形状相同吗？这两个五边形是相似六边形，即六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1∽六边形ABCDEF . 3、例题演练例1如图课本第6页图 已知四边形AEFD ∽四边形EBCF . （1）写出他们相等的角及对应边的比例式； （2）若AD =3，EF =4，求BC 的长. 4、拓展练习下列每组图形的形状相同，它们的对应角有怎样的关系？对应边呢？ (1)正三角形ABC 与正三角形DEF ； (2)正方形ABCD 与正方形EFGH .解:(1)由于正三角形每个角等于60°，所以∠A =∠D =60°,∠B =∠E =60°,∠C =∠F =60°. 由于正三角形三边相等，所以AB :DE =BC :EF =CA :FD .解：(2)由于正方形的每个角都是直角，所以∠A =∠E =90°，∠B =∠F =90°， ∠C =∠G =90°，∠D =∠H =90°.由于正方形的四边相等，所以AB :EF =BC :FG =CD :GH =DA :HE . 课堂小结1、对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.2、相似多边形对应边的比叫做相似比. 重要方法：A BCDEF A 1B 1C 1D 1E 1F 1运用相似多边形的性质解决实际问题时，一定要弄清他们的关系，并努力把实际问题与之联系，从而把实际问题简单化.1.2怎样判定三角形相似（1）教学目标【知识与能力】1．了解平行线分线段成比例基本事实及其推论.. 2．会用平行线分线段成比例解决实际问题. 【过程与方法】借助方格纸，通过观察、计算，由特殊到一般地逐步归纳、猜想，进而明确平行线分线段成比例的基本事实；然后把这一基本事实特殊化（应用在三角形中），得到推论，为后面证明相似三角形的判定基本事实做准备. 【情感态度价值观】掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力 课前准备课件、方格纸. 教学过程1.情景导入梯子是我们生活中常见的工具.如图是一个生产过程中不合格的左右不对称的梯子的简图，经测量，AB ＝BC ＝CD ，AA 1∥BB 1∥CC 1∥DD 1，那么A 1B 1和B 1C 1相等吗？2.新知探究在图4-6中，小方格的边长均为1，直线l 1 ∥ l 2∥ l 3，分别交直线m ，n 与格点A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3.图4-6（1）计算 的值，你有什么发现？（2）将2l 向下平移到如图4-7的位置，直线m ,n 与2l 的交点分别为21,B A 你在问题（1）中发现结论还成立吗？如果将2l 平移到其他位置呢？12122323B BB B A A A A 与（3）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？3.分组讨论，得出结论平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.4.想一想（一）如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l3上，如图2所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？（二）如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？得出结论：（推论）平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的对应线段成比例.5.例题学习探究点一：平行线分线段成比例如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交这三条直线于点A ，B ，C ，直线DF 分别交这三条直线于点D ，E ，F ，若AB ＝3，DE ＝72，EF ＝4，求BC 的长.解：∵直线l 1∥l 2∥l 3，且AB ＝3，DE ＝72，EF ＝4，∴根据平行线分线段成比例可得AB BC ＝DE EF，即BC ＝EF DE ·AB ＝4 72×3＝247.方法总结：利用平行线分线段成比例求线段长的方法：先确定图中的平行线，由此联想到线段之间的比例关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例关系式，构造出方程，解方程求出待求线段长.如图所示，直线l 1∥l 2∥l 3，下列比例式中成立的是（ ）A.AD DF ＝CE BCB.AD BE ＝BC AFC.CE DF ＝AD BC D.AF DF ＝BE CE解析：由平分线分线段成比例可知AD DF ＝BCCE，故A 选项不成立；由AD BC ＝AF BE可知B 选项不成立；由CE DF ＝BC AD可知C 选项不成立；D 选项成立.故选D.方法总结：应用平行线分线段成比例得到的比例式中，四条线段与两条直线的交点位置无关，关键是线段的对应，可简记为：“上下＝上下，上全＝上全，下全＝下全”或“上上＝下下＝全全”.探究点二：平行线分线段成比例的推论如图所示，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，若AD ：AB ＝3∶4，AE ＝6，则AC 等于（ ）A.3B.4C.6D.8 解析：由DE ∥BC 可得AD AB ＝AE AC ，即34＝6AC，∴AC ＝8.故选D.易错提醒：在由平行线推出成比例线段的比例式时，要注意它们的相互位置关系，比例式不能写错，要把对应的线段写在对应的位置上.如图，在△ABC 的边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使得AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线相交于P ，求证：BP CP ＝BDCE.解析：本题无法直接证明，分析所要求证的等式中，有BP ：CP ，又含有BD ，故可考虑过点C 作PD 的平行线CF ，便可以构造出BP CP ＝BD DF，此时只需证得CE ＝DF 即可.证明：如图，过点C 作CF ∥PD 交AB 于点F ，则BP CP ＝BD DF ，AD DF ＝AECE. ∵AD ＝AE ，∴DF ＝CE ，∴BP CP ＝BDCE. 方法总结：证明四条线段成比例时，如果图形中有平行线，则可以直接应用平行线分线段成比例的基本事实以及推论得到相关比例式.如果图中没有平行线，则需构造辅助线创造平行条件，再应用平行线分线段成比例的基本事实及其推论得到相关比例式.6.课时小结平行线分线段成比例基本事实： (1)两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（关键要能熟练地找出对应线段） (2)平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的对应线段成比例.1.2怎样判定三角形相似（2）教学目标【知识与能力】1.了解两角对应相等的两个三角形相似这个判定定理的证明过程.2.能运用三角形相似的判定定理证明三角形相似.【过程与方法】1.在类比全等三角形的证明方法,探究三角形相似的证明方法的过程中,进一步体验类比思想、特殊与一般的辩证思想.2.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过应用三角形相似的判定方法解决简单问题,培养学生的应用意识.【情感态度价值观】1.进一步发展学生的探究、交流能力、合情推理能力和逻辑推理意识,并能够运用三角形相似的条件判定三角形相似.2.在三角形相似判定的探究过程中,渗透类比的数学思想,提高学生分析问题、解决问题的能力.3.敢于发表自己的想法、勇于质疑,养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯,形成实事求是的科学态度.教学重难点【教学重点】能运用两角对应相等的两个三角形相似这个判定定理证明三角形相似.【教学难点】三角形相似的判定定理的证明过程.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:【课件展示】你知道金字塔有多高吗?传说法老命令祭师们测量金字塔的高度,祭师们为此伤透了脑筋,为了帮助祭师们解决困难,古希腊伟大的数学家泰勒斯利用巧妙的办法测量了金字塔的高度(在金字塔旁边竖立一根木桩,当木桩影子的长度和木桩的长度相等时,只要测量出金字塔的影子的长度,便可得出金字塔的高度(如图所示)),这展示了他非凡的数学及科学才能.导入二:(1)证明三角形相似的方法是什么?(三角形相似的定义、由平行线证明三角形相似)(2)全等三角形如何定义的?证明三角形全等有几种方法?(对应角、对应边相等的三角形是全等三角形;SSS,SAS,ASA,AAS,HL)(3)全等三角形与相似三角形有什么关系?导入三:(观察实物并课件展示)观察教师手中的一副三角尺和学生手中的三角尺,其中同样两个锐角(30°与60°或45°与45°).【思考】(1)如图所示,两个等腰直角三角形的三角板相似吗?说说理由.(2)如图所示,两个含30°角的直角三角形的三角板相似吗?说说理由.(3)如果两个三角形有两组对应角相等,那么它们是否相似?[导入语]有三个角对应相等、三条边对应成比例的两个三角形相似.能不能用较少的条件来判定两个三角形相似呢?这就是我们今天要探究的主要内容.[设计意图]以生活实例为情境导入新课,让学生感受数学来源于生活,又应用于生活,激发学生学习的兴趣;由数学课上常用的三角尺猜想三角形相似的条件,顺利自然地导出本节课的课题.二、新知构建：观察思考:完成导入三中提出的问题.【师生活动】教师提示学生用三角形相似的定义可以证明三角形相似,学生独立完成导入三中问题(1)(2),并作出问题(3)中的猜想,教师对学生的回答进行点评,归纳出猜想“如果两个三角形有两组对应角相等,那么它们相似.”[设计意图]完成导入三中的问题,通过用三角形相似的定义证明两个三角形是相似的,然后做出猜想,直接进入本节课的学习,衔接自然,让学生的思维迅速活跃在本节课内容的探究活动中.做一做:【课件展示】如图所示,已知∠α,∠β.(1)分别以∠α,∠β为两个内角,任意画出两个三角形.(2)量出这两个三角形各对应边的长,并计算出相应的比.这两个三角形相似吗?【师生活动】(1)同桌两个分别画出ΔABC,其中∠A=∠α,∠B=∠β.(2)同桌分别测量AB,BC,AC的长度,判断两个三角形是否相似.(3)学生完成测量后,教师几何画板演示:改变角的大小,但始终保持两个三角形的两角分别相等,观察两个三角形是否相似.(4)根据操作、测量,师生共同猜想判定三角形相似的方法.[设计意图]教师通过让学生动手画图、测量,根据三角形相似的定义,判断出画出的三角形是相似三角形(或通过动画演示观察),从而作出猜想,很自然地带着学生的思维走入下一个证明猜想环节,培养学生的动手操作能力,让学生经历知识的形成过程,加深对相似三角形的判定方法的理解和掌握.共同探究两角对应相等的两个三角形相似【课件展示】如图所示,在Δ和Δ中,∠=∠,∠=∠求证ΔABC∽ΔA'B'C'.思路一教师引导分析:(1)除了定义外,还有什么方法可以证明三角形相似?(由平行线证明三角形相似)(2)如何把两个三角形转化到一个三角形内,利用平行线证明三角形相似?(在ΔABC的边AB,AC(或它们的延长线)上,分别截取AD=A'B',AE=A'C',连接DE)(3)根据平行线能否证明ΔADE与ΔABC相似?(能)(4)根据已知条件ΔA'B'C'与ΔADE是否全等?(由SAS可证得全等)(5)你能根据上面的分析,完成证明过程吗?【师生活动】学生在教师的引导下积极思考回答问题,完成证明思路的探究活动,然后独立完成证明过程,同时学生板书,教师在巡视中帮助有困难的学生,对学生的板书点评,规范书写格式,归纳该证明的思路.(板书)证明:如图所示,在ΔABC的边AB,AC(或它们的延长线)上,分别截取AD=A'B',AE=A'C',连接DE.∵∠A=∠A',∴ΔADE≌ΔA'B'C'.∴∠ADE=∠B',∠AED=∠C',DE=B'C'.又∵∠B=∠B',∴DE∥B'C'.∴ΔADE∽ΔABC.∴ADAB =AEAC=DEBC.∴A'B'AB =A'C'AC=B'C'BC.又∵∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',∴ΔABC∽ΔA'B'C'.思路二教师引导:除了定义,前边学过在同一个三角形中,由平行线可以证明两个三角形相似,如何通过作平行线,将一个三角形转化到另一个三角形中?【师生活动】教师给学生足够的时间进行小组合作交流证明思路,然后尝试书写过程,小组代表板书,教师巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的展示点评并归纳解题思路,规范学生的书写证明过程.教师在归纳证明思路时,说明若ΔABC≌ΔA'B'C',ΔA'B'C'∽ΔA″B″C″,则ΔABC∽ΔA″B″C″.今后我们可以直接应用它.(板书)(证明过程同思路一)追加提问:1.通过上面的证明,你能用语言叙述上面的结论吗?2.怎样用几何语言描述上述结论?【师生活动】学生思考回答,师生共同完成相似三角形判定定理的归纳,然后课件展示.【课件展示】相似三角形的判定定理:两角对应相等的两个三角形相似.几何语言:如图所示,在ΔABC和ΔA'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B'.则ΔABC∽ΔA'B'C'.[设计意图]学生在教师设计的小问题下完成做出的猜想的证明思路,提高学生分析问题、解决问题的能力,通过作辅助线,让学生体会转化思想、数形结合思想在数学中的应用,通过证明猜想、归纳结论等数学活动,提高学生归纳总结能力及严谨的学习态度,培养学生数学思维与能力.例题讲解【课件展示】如图所示,在ΔABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,且DE∥BC,DF∥AC.求证ΔADE∽ΔDBF.【师生活动】学生独立完成后,小组内交流答案,教师对学生的板书点评,规范证明过程. (板书)证明:∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B.又∵DF∥AC,∴∠A=∠BDF.∴ΔADE∽ΔDBF.[设计意图]通过例题展示,让学生进一步体会相似三角形判定定理的运用,鼓励学生独立完成,养成独立思考的习惯,通过规范学生的书写过程,培养学生严谨的学习态度.做一做:【课件展示】如图所示,点D在ΔABC的边AB上,过点D作直线截ΔABC,使截得的三角形与原三角形相似.你认为满足条件的直线有几条?请把这些直线画出来.【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,教师要给学生充足的时间讨论,在巡视中引导有困难的学生全面地思考问题,学生尝试在黑板上画出符合条件的所有直线,教师点评并归纳总结.追加提问:点D在RtΔABC的边AB上,过点D作直线截ΔABC,使截得的三角形与原三角形相似.你认为满足条件的直线有几条?[设计意图]通过该练习,让学生体会相似三角形判定定理的应用,渗透分类思想在数学中的应用,提高学生的归纳概括能力.[知识拓展]1.判断两个三角形相似,在有一组对应角相等的情况下,可以选择突破口:寻找另一组对应角相等.2.在应用相似三角形的判定定理时,还要注意一些隐含条件,如公共角、对顶角等.三、课堂小结：1.相似三角形的判定定理:两角对应相等的两个三角形相似.2.判定定理的证明方法及思路.3.应用三角形相似的判定定理进行计算和证明.1.2怎样判定三角形相似（3）教学目标【知识与能力】1.了解两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理的证明过程.2.能运用相似三角形的判定定理证明三角形相似.【过程与方法】1.经历探索相似三角形判定定理的过程,进一步体验类比思想、特殊与一般的辩证思想.2.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程,发展学生的逻辑推理能力,体会数学思维的价值.3.探究相似三角形的判定定理的证明,培养学生合情推理及演绎推理能力,提高逻辑思维能力.【情感态度价值观】1.通过画图、观察、猜想、度量验证等实践活动,培养学生获得猜想的经验,激发学生探索知识的兴趣.2.通过动手操作、合作交流、归纳猜想等数学活动,培养学生大胆动手、勇于探索和勤于思考的精神.教学重难点【教学重点】能运用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理证明三角形相似.【教学难点】相似三角形判定定理的证明过程.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:复习提问:1.证明三角形相似的方法是什么?(相似三角形的定义、利用平行线证明三角形相似、相似三角形的判定定理1)2.探究相似三角形的判定定理1的证明时,我们用的什么方法?(在三角形的边上截取线段,由全等三角形及由平行证明三角形相似来证明)导入二:【课件展示】如图所示,有些空心圆柱形机械零件的内径是不能直接测量的,往往需要使用交叉卡钳进行测量.图中所示为一个零件的剖面图,内径AB未知.现用交叉卡钳去测量,若OC OA =ODOB=1m,CD=b,那么我们就可以计算内径的长.你知道其中的道理吗?形的判定定理2做好铺垫;通过测量空心圆柱形机械零件的内径,让学生体会数学来源于生活,生活中处处有数学,从而激发学生的学习兴趣.二、新知构建：思路一教师引导学生操作、思考、交流、归纳.【课件展示】1.动手操作一:画出ΔABC和ΔA'B'C',使∠A'=∠A,A'B'AB =A'C'AC=2.【学生活动】学生独立完成画图.2.动手操作二:(1)比较∠C'和∠C(或∠B'和∠B)的大小.(∠C'=∠C;∠B'=∠B)(2)由比较的结果,能断定ΔABC和ΔA'B'C'相似吗?(ΔABC∽ΔA'B'C')【学生活动】学生通过测量、比较、小组合作交流,完成问题的回答.3.动手操作三:(1)改变对应边的比值和夹角的度数(但保持夹角相等),再画出两个三角形,它们相似吗?(2)你能用语言叙述上面的结论吗?【师生活动】学生动手画图,小组合作交流,得到所画的三角形相似,师生共同归纳猜想.【课件展示】猜想:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.思路二动手操作、测量、比较:(1)画出ΔABC和ΔA'B'C',使∠A'=∠A,A'B'AB =A'C'AC=2.(2)画出ΔABC和ΔA'B'C',使∠A'=∠A,A'B'AB =A'C'AC=3.(3)比较∠C'和∠C(或∠B'和∠B)的大小.(4)由比较的结果,能断定ΔABC和ΔA'B'C'相似吗?(5)若在ΔABC和ΔA'B'C'中,∠A'=∠A,A'B'AB =A'C'AC=k,ΔABC和ΔA'B'C'相似吗?(6)根据上面的操作,你能猜想正确的结论吗?【师生活动】学生独立画图、测量、比较、思考、归纳,小组内合作交流,进行猜想,教师对学生的回答进行点评,课件展示猜想.【课件展示】猜想:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.[设计意图]通过学生动手画图、测量、思考、交流、归纳等数学活动,师生共同进行猜想,为探究相似三角形的判定定理做好铺垫,培养学生动手操作、归纳总结能力,激发学生的学习兴趣,体会由特殊到一般的数学思想方法.一起探究二证明两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似【课件展示】已知:如图所示,在ΔABC和ΔA'B'C'中,ABA'B'=ACA'C',∠A=∠A'.求证:ΔABC∽ΔA'B'C'.【思考】1.你有什么方法证明该结论?(先作出一个与ΔABC相似的三角形,再证明作出的三角形与ΔA'B'C'全等)2.你能写出你的证明过程吗?3.用语言叙述这个命题,并用几何语言表示.【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,小组代表板书,教师帮助有困难的学生,规范学生的证明过程.【课件展示】证明:如图所示,在ΔABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=A'B',过点D作DE∥BC,交AC于点E.∵ΔABC∽ΔADE,∴ABAD =ACAE.∵ABA'B'=ACA'C',AD=A'B',∴ACAE =ACA'C'.∴AE=A'C'.又∵∠A=∠A',∴ΔADE≌ΔA'B'C'.∴ΔABC∽ΔA'B'C'.相似三角形的判定定理:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.几何语言:如图所示,若ABA'B'=ACA'C',∠A=∠A'.则ΔABC∽ΔA'B'C'.追加提问:在ΔABC和ΔA'B'C'中,ABA'B'=ACA'C',∠B=∠B',这两个三角形一定相似吗?【师生活动】学生通过画图举出反例,说明这两个三角形不一定相似,教师强调该判定方法的易错点:角必须是两边的夹角.[设计意图]学生类比相似三角形的判定定理1的证明思路,完成相似三角形判定定理2的证明,证明过程中,教师引导学生作辅助线,让学生体会转化思想、数形结合思想在数学中的应用,通过探究相似三角形的判定定理,提高学生归纳总结能力及严谨的学习态度,培养学生数学思维与能力的提高.例题讲解【课件展示】已知:在ΔABC与ΔA'B'C'中,∠A=∠A'=60°,AB=4 cm,AC=8 cm,A'B'=11 cm,A'C'=22 cm.求证:ΔABC∽ΔA'B'C'.【师生活动】学生独立完成,对有困难的学生教师引导其应用相似三角形的判定定理,通过证明两边对应成比例且夹角相等,来证得这两个三角形相似,学生板书证明过程,教师点评并规范书写格式.(板书)证明:∵ABA'B'=411,ACA'C'=822=411,∴ABA'B'=ACA'C'.又∵∠A=∠A'=60°,∴ΔABC∽ΔA'B'C'.[设计意图]通过分析题意,学生独立完成用判定定理证明三角形相似,达到巩固所学知识的目的,通过简单例题的解答,让学生体会到成功的快乐,激发学生学习数学的热情.[知识拓展]1.对于已知两组边的长度及边的夹角相等的情况,常用相似三角形的判定定理2判定两个三角形相似.2.在应用相似三角形的判定定理2时,一定要注意必须是两边夹角相等才行.3.在应用相似三角形的判定定理2时,还要注意一些隐含条件,如公共角、对顶角等.三、课堂小结：1.相似三角形的判定定理2:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.2.应用相似三角形的判定定理2时的注意事项.3.证明三角形相似的方法:平行线法、判定定理1、判定定理2.1.2怎样判定三角形相似（4）教学目标【知识与能力】1.了解三边成比例的两个三角形相似判定定理的证明过程.2.能运用相似三角形的判定定理证明三角形相似.【过程与方法】1.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力.2.通过应用相似三角形的判定方法和性质解决简单问题,培养学生的应用意识.【情感态度价值观】1.探究相似三角形的判定定理的证明,培养学生合情推理及演绎推理能力,提高逻辑思维能力.2.在相似三角形判定定理的探究过程中,培养学生大胆动手、勇于探索和勤于思考的精神,同时体验成功带来的快乐.3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯.教学重难点【教学重点】能运用三边成比例的两个三角形相似证明三角形相似.【教学难点】相似三角形判定定理的证明过程.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:复习提问:(1)相似三角形的判定定理1和2的内容是什么?(2)用什么方法证明的判定定理1和2?【师生活动】学生回答问题,对学生出现的问题教师及时纠正,并强调易错点.导入二:学校为了改善环境,在一片空地上修建一块三角形草地,图纸如图(1)所示,完工后小明想要确定图(2)的草坪是否和图纸中的三角形相似,你能帮帮他吗?[导入语]根据前边的学习,我们判断三角形相似需要两个对应角相等或两边对应成比例且夹角相等,而图纸中的三角形没有角的大小,只有边的大小,我们只测量三角形草坪边的大小,能否判定三角形相似就是本节课的学习任务.[设计意图]通过复习相似三角形的判定方法及定理证明思路,为本节课用类比方法探究另一个判定定理做好铺垫;以生活实例为情境导入新课,让学生感受数学来源于生活,激发学生学习的兴趣.二、新知构建：思路一动手操作:(1)同桌分别画一个ΔABC和ΔA'B'C',使AB=1.5 cm,AC=2.5 cm,BC=2 cm;A'B'=3 cm,A'C'=5 cm,B'C'=4 cm.(2)比较ΔABC与ΔA'B'C'各个角,它们对应相等吗?这两个三角形相似吗?【学生活动】学生动手画图,然后通过测量三角形的内角,根据相似三角形的判定定理判定三角形相似.(3)如果一个三角形的三边长分别是另一个三角形三边长的k倍,那么这两个三角形是否相似?【学生活动】学生动手操作,然后测量三角形的角度,根据定义判定两个三角形相似. (4)猜想:三角形三边对应成比例,两个三角形相似.你能证明这个结论吗?【课件展示】已知:如图所示,在ΔABC和ΔA'B'C'中,ABA'B'=ACA'C'=BCB'C'.求证:ΔABC∽ΔA'B'C'.教师引导分析:(1)上节课证明两个三角形相似,如何把两个三角形转化到一个三角形内,利用平行线证明三角形相似?(2)类比上节课的证明思路,尝试证明.。
青岛版九年级上册数学全册教学课件
1.2怎样判定三角形相似（1）
如何不通过测量，快速将一条长5厘米的细线 分成两部分，使这两部分之比是2:3?
1.能够通过推理掌握平行线分线段成比例定理及其推论； 2.能够利用平行线分线段成比例定理及其推论进行推理与
计算.
探究活动一
如图，直线l1 ,l2被平行直线l3 ，l4所截，交点分 别为 A,B,C,D.过线段AB的中点E,作直线 l5//l4， 交l2与点F, F是线段DC的中点吗？如果是，证 明你的结论.
A
21cm
β
D
18cm
x E
118°
24cm
B 78° 83°C F
H
αG
四边形ABCD 和EFGH 相似，它们的对应边的比相
等．
由此可得
解得 x＝28cm.
x
H
21cm D
A
β
E
118°
24cm
18cm
B 78° 83°C
F
α
G
【课堂练习】
1．下列各组线段（单位：㎝）中，成比例线段的是（ B ）
BC 4
3
如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角α，β的大小和
EH的长度x.
x
H
21
D
A
β
E
118°
18
24
B 78° 83°C F
αG
【解析】四边形ABCD和EFGH 相似，它们的对应角 相等.
由此可得 ∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°
在四边形ABCD中，
∠β＝360°－（78°＋83°＋118°）＝81°.
是否有同样的结论？ 有 对应角相等 对应边的比相等
(1)
(2)
【解析版】斑鸠店镇中学届九级上第一次月考数学试卷
2015-2016学年山东省泰安市东平县斑鸠店镇中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题1．下列命题：①相似三角形一定不是全等三角形；②相似三角形对应中线的比等于对应角平分线的比；③边数相同，对应角相等的两个多边形相似；④O是△ABC内任意一点，OA、OB、OC的中点连成的三角形△A′B′C′∽△ABC．其中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．sin30°的值为（）A．B．C．D．3．两个相似三角形的面积比是9：16，则这两个三角形的相似比是（）A．9：16 B．3：4 C．9：4D．3：164．在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A的三角函数值（）A．也扩大3倍B．缩小为原来的C．都不变D．有的扩大，有的缩小5．已知△ABC，以点A为位似中心，作出△ADE，使△ADE是△ABC放大2倍的图形，这样的图形可以作出个（）A．1个B．2个C．4个D．无数个6．如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，则BC的长是（）A．B．C．D．7．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（）A ．B ．C ．D ．8．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△CEF：S四边形BCED的值为（）A．1：3 B．2：3 C．1：4 D．2：59．在△ABC中，BC=5，CA=45，AB=46，另一个与它相似的三角形的最短边是15，则最长边是（）A．138 B ．C．135 D．不能确定10．小明沿着坡度为1：2的山坡向上走了1 000m，则他升高了（）A．200m B．500m C．500m D．1000m11．△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA的值是（）A ．B ．C ．D ．12．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知a和A，则下列关系中正确的是（）A．c=asinA B．c=C．c=acosA D．c=13．身高相等的三名同学甲，乙，丙参加风筝比赛，三人放出风筝的线长，线与地面夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则三人所（）A．甲的最高B．丙的最高C．乙的最低 D．丙的最低14．D为△ABC的AB边上一点，若△ACD∽△ABC，应满足条件有下列三种可能：①∠ACD=∠B；②∠ADC=∠ACB；③AC2=AB•AD，其中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个15．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（）A．5m B．6m C．7m D．8m16．如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（）A．a B．C．D． a17．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD=3：2，则tanB=（）A．B．C．D．18．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：219．如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB．若NF=NM=2，ME=3，则AN=（）A．3 B．4 C．5 D．620．如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题21．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，位似比为2：1将△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是．22．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为m．23．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是．24．如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为海里（取，结果精确到0.1海里）．三、解答题25．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6）（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2．26．如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1：，AC=10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB=14米．试求旗杆BC的高度．27．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．28．如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（说明：（1）（2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45）29．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．（1）求证：=；（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．2015-2016学年山东省泰安市东平县斑鸠店镇中学九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．下列命题：①相似三角形一定不是全等三角形；②相似三角形对应中线的比等于对应角平分线的比；③边数相同，对应角相等的两个多边形相似；④O是△ABC内任意一点，OA、OB、OC的中点连成的三角形△A′B′C′∽△ABC．其中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个考点：命题与定理．分析：根据全等三角形的定义：全等三角形就是能重合的三角形，形状相同，大小相同；相似三角形的定义：相似三角形是形状相同的三角形，大小不一定相等；相似多边形的定义：相似多边形就是形状相同的多边形，根据这些定义逐一分析解答即可．解答：解：①、相似三角形是形状相同的三角形，大小不一定相同，全等三角形就是能重合的三角形，形状相同，大小相同，因而全等三角形是特殊的相似三角形，此选项错误；②、相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，此选项正确；③、边数相同，对应角分别相等的两个矩形不一定相似，此选项错误；④、根据三角形的中位线得出三条边对应的比值为，两个三角形相似，此选项正确．故正确的命题是：②④共2个．故选：C．点评：此题考查命题与定理，掌握三角形全等与相似之间的联系，相似的判定，中位线定理是解决问题的关键．2．sin30°的值为（）A．B．C．D．考点：特殊角的三角函数值．分析：直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可．解答：解：sin30°=．故选C．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．3．两个相似三角形的面积比是9：16，则这两个三角形的相似比是（）A．9：16 B．3：4 C．9：4 D．3：16考点：相似三角形的性质．分析：因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以这两个三角形的相似比是3：4．解答：解：∵两个相似三角形的面积比为9：16，∴它们对应的相似比是3：4．故选B．点评：此题考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．4．在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A的三角函数值（）A．也扩大3倍B．缩小为原来的C．都不变D．有的扩大，有的缩小考点：锐角三角函数的增减性．分析：理解锐角三角函数的概念：锐角三角函数值即为直角三角形中边的比值．解答：解：根据锐角三角函数的概念，可知在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，锐角A的三角函数值不变．故选C．点评：理解锐角三角函数的概念，明白三角函数值与边的长度无关．5．已知△ABC，以点A为位似中心，作出△ADE，使△ADE是△ABC放大2倍的图形，这样的图形可以作出个（）A．1个B．2个C．4个D．无数个考点：位似变换．分析：根据题意作图，注意有两种作法，在位似中心的两侧或同侧．所以这样的图形可以作出2个．解答：解：如图：∴这样的图形可以作出2个．故选B．点评：本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，此题考查了学生对位似图形的认识．注意有两种作法，在位似中心的两侧或同侧．6．如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，则BC的长是（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质．分析：根据DE∥BC，证明△ADE∽△ABC，然后根据对应边成比例求得BC的长度．解答：解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，则=，∵DE=1，AD=2，DB=3，∴AB=AD+DB=5，∴BC==．故选C．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，难度一般，解答本题的关键是根据平行证明△ADE∽△ABC．7．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（）A．B．C．D．考点：勾股定理；锐角三角函数的定义．专题：压轴题；网格型．分析：先设小正方形的边长为1，然后找个与∠B有关的RT△ABD，算出AB的长，再求出BD的长，即可求出余弦值．解答：解：设小正方形的边长为1，则AB=4，BD=4，∴cos∠B==．故选B．点评：本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理的知识，此题比较简单，关键是找出与角B有关的直角三角形．8．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△CEF：S四边形BCED的值为（）A．1：3 B．2：3 C．1：4 D．2：5考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．分析：先利用SAS证明△ADE≌△CFE（SAS），得出S△ADE=S△CFE，再由DE为中位线，判断△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，利用相似三角形的面积比等于相似比，得到S△ADE：S△ABC=1：4，则S△ADE：S四边形BCED=1：3，进而得出S△CEF：S四=1：3．边形BCED解答：解：∵DE为△ABC的中位线，∴AE=CE．在△ADE与△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴S△ADE=S△CFE．∵DE为△ABC的中位线，∴△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，∴S△ADE：S△ABC=1：4，∵S△ADE+S四边形BCED=S△ABC，∴S△ADE：S四边形BCED=1：3，∴S△CEF：S四边形BCED=1：3．故选：A．点评：本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理．关键是利用中位线判断相似三角形及相似比．9．在△ABC中，BC=5，CA=45，AB=46，另一个与它相似的三角形的最短边是15，则最长边是（）A．138 B．C．135 D．不能确定考点：相似三角形的性质．分析：首先设最长边是x，由在△ABC中，BC=5，CA=45，AB=46，另一个与它相似的三角形的最短边是15，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．解答：解：设最长边是x，∵在△ABC中，BC=5，CA=45，AB=46，另一个与它相似的三角形的最短边是15，∴，解得：x=138．∴最长边是138．故选A．点评：此题考查了相似三角形的性质．注意掌握相似三角形的对应关系是关键．10．小明沿着坡度为1：2的山坡向上走了1 000m，则他升高了（）A．200m B．500m C．500m D．1000m考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：根据题意作出图形，然后根据坡度为1：2，设BC=x，AC=2x，根据AB=1000m，利用勾股定理求解．解答：解：∵坡度为1：2，∴设BC=x，AC=2x，∴AB==x，即x=1000，解得：x=200．故选A．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡度构造直角三角形，利用勾股定理求解．11．△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA的值是（）A．B．C．D．考点：同角三角函数的关系．专题：计算题．分析：根据正弦的定义得到sinA==，则可设BC=4x，AB=5x，根据勾股定理计算易计算AC，然后根据正切的定义即可得到tanA的值．解答：解：如图，∵sinA==，∴设BC=4x，AB=5x，∴AC==3x，∴tanA===．故选A．点评：本题考查了三角函数的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边与斜边的比，它的正切值等于它的对边与它的邻边的比．也考查了勾股定理．12．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知a和A，则下列关系中正确的是（）A．c=asinA B．c=C．c=acosA D．c=考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：正确计算sinA、cosA即可求得a、c的关系，即可解题．解答：解：直角三角形中，sinA=，cosA=，∴可以求得c=，故B选项正确，故选 B．点评：本题考查了直角三角形中三角函数值的计算，正确计算∠A的正弦值是解题的关键．13．身高相等的三名同学甲，乙，丙参加风筝比赛，三人放出风筝的线长，线与地面夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝中（）D．丙的最低考点：解直角三角形的应用．专题：计算题；压轴题．分析：利用所给角的正弦函数可得到垂直高度，比较即可．解答：解：甲所放风筝的高度为100sin40°；乙所放风筝的高度为100si n45°≈70米；丙所放风筝的高度为90sin60°≈78米．而 100sin40°＜100sin45°，因此可知丙的风筝飞得最高，乙次之，而甲最低．故选B．点评：本题考查解直角三角形在实际生活中的应用．14．D为△ABC的AB边上一点，若△ACD∽△ABC，应满足条件有下列三种可能：①∠ACD=∠B；②∠ADC=∠ACB；③AC2=AB•AD，其中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个考点：相似三角形的性质．分析：首先根据题意画出图形，然后由△ACD∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，对应角相等，即可证得：①∠ACD=∠B；②∠ADC=∠ACB；③AC2=AB•AD正确．解答：解：∵△ACD∽△ABC，∴∠ACD=∠B，∠ADC=∠ACB，，∴AC2=AB•AD．故①②③正确．故选D．点评：此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的对应边成比例，对应角相等定理的应用是解此题的关键．15．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（）A．5m B．6m C．7m D．8m考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：压轴题．分析：利用坡度先求得垂直距离，根据勾股定理求得坡面距离．解答：解：∵水平距离为4m．∴铅直高度为0.75×4=3m．根据勾股定理知：坡面相邻两株数间的坡面距离为5m．故选A．点评：本题主要考查直角三角形问题．利用坡度tanα=0.75=求解．16．如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（）A．a B．C．D． a考点：相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，因为△ABD的面积为a，进而求出△ACD的面积．解答：解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA，∵AB=4，AD=2，∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3，∵△ABD的面积为a，∴△ACD的面积为a，故选C．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型．17．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD=3：2，则tanB=（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．分析：首先证明△ABD∽△ACD，然后根据BD：CD=3：2，设BD=3x，CD=2x，利用对应边成比例表示出AD的值，继而可得出tanB的值．解答：解：在Rt△ABC中，∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠CDA，∵∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，∴∠B=∠DAC，∴△ABD∽△CAD，∴=，∵BD：CD=3：2，设BD=3x，CD=2x，∴AD==x，则tanB===．故选D．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义，难度一般，解答本题的关键是根据垂直证明三角形的相似，根据对应边成比例求边长．18．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应边成比例，E为OD的中点，求出DF：AB的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值．解答：解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴=，∵O为对角线的交点，∴DO=BO，又∵E为OD的中点，∴DE=DB，则DE：EB=1：3，∴DF：AB=1：3，∵DC=AB，∴DF：DC=1：3，∴DF：FC=1：2．故选D．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比例求值．19．如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB．若NF=NM=2，ME=3，则AN=（）A．3 B．4 C．5 D．6考点：菱形的性质；相似三角形的判定与性质．分析：根据菱形的对角线平分一组对角可得∠1=∠2，然后求出△AFN和△AEM相似，再利用相似三角形对应边成比例列出求解即可．解答：解：在菱形ABCD中，∠1=∠2，又∵ME⊥AD，NF⊥AB，∴∠AEM=∠AFN=90°，∴△AFN∽△AEM，∴=，即=，解得AN=4．故选B．点评：本题考查了菱形的对角线平分一组对角的性质，相似三角形的判定与性质，关键在于得到△AFN和△AEM相似．20．如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定；直角三角形斜边上的中线．专题：压轴题．分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确；先证明△ABM∽△ACN，再根据相似三角形的对应边成比例可判断②正确；先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABM=∠ACN=30°，再根据三角形的内角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，从而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断③正确；当∠ABC=45°时，∠BCN=45°，由P为BC边的中点，得出BN=PB=PC，判断④正确．解答：解：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，∴PM=BC，PN=BC，∴PM=PN，正确；②在△ABM与△ACN中，∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，∴△ABM∽△ACN，∴，正确；③∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，∴∠ABM=∠ACN=30°，在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°，∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，∴PM=PN=PB=PC，∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，∴∠MPN=60°，∴△PMN是等边三角形，正确；④当∠ABC=45°时，∵CN⊥AB于点N，∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，∴BN=CN，∵P为BC边的中点，∴PN⊥BC，△BPN为等腰直角三角形∴BN=PB=PC，正确．故选D．点评：本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，相似三角形、等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键．二、填空题21．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，位似比为2：1将△EF O缩小，则点E的对应点E′的坐标是（﹣2，1）或（2，﹣1）．考点：位似变换；坐标与图形性质．分析：若位似比是k，则原图形上的点（x，y），经过位似变化得到的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）．解答：解：∵点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，位似比为2：1将△EFO缩小，∴点E的对应点E′的坐标是：（﹣2，1）或（2，﹣1）．故答案为：（﹣2，1）或（2，﹣1）．点评：此题考查了位似图形的性质，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于±k．22．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 4 m．考点：平行投影；相似三角形的应用．专题：计算题．分析：根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△CDF，进而可得=；即DC2=ED•FD，代入数据可得答案．解答：解：如图：过点C作CD⊥EF，由题意得：△EFC是直角三角形，∠ECF=90°，∴∠EDC=∠CDF=90°，∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°，∴∠E=∠DCF，∴Rt△EDC∽Rt△CDF，有=；即DC2=ED•FD，代入数据可得DC2=16，DC=4；故答案为：4．点评：本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用．23．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是．考点：相似三角形的判定与性质．分析：由∠BAC=∠ACD=90°，可得AB∥CD，即可证得△ABE∽△DCE，然后由相似三角形的对应边成比例，可得：，然后利用三角函数，用AC表示出AB与CD，即可求得答案．解答：解：∵∠BAC=∠ACD=90°，∴AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴，∵在Rt△ACB中∠B=45°，∴AB=AC，∵在Rt△ACD中，∠D=30°，∴CD==AC，∴==．故答案为：．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．24．如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为67.5 海里（取，结果精确到0.1海里）．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：应用题；压轴题．分析：过点D作DE⊥AB于点E，设DE=x，在Rt△CDE中表示出CE，在Rt△BDE中表示出BE，再由CB=25海里，可得出关于x的方程，解出后即可计算AB的长度．解答：解：∵∠DBA=∠DAB=45°，∴△DAB是等腰直角三角形，过点D作DE⊥AB于点E，则DE=AB，设DE=x，则AB=2x，在Rt△CDE中，∠DCE=30°，则CE=DE=x，在Rt△BDE中，∠DAE=45°，则DE=BE=x，由题意得，CB=CE﹣BE=x﹣x=25，解得：x=，故AB=25（+1）=67.5（海里）．故答案为：67.5．点评：本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度，难度一般．三、解答题25．（8分）（2013•宁夏）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6）（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2．考点：作图-位似变换；作图-旋转变换．专题：压轴题．分析：（1）由A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6），可画出△ABC，然后由旋转的性质，即可画出△A1B1C1；（2）由位似三角形的性质，即可画出△A2B2C2．解答：解：如图：（1）△A1B1C1即为所求；（2）△A2B2C2即为所求．点评：此题考查了位似变换的性质与旋转的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．26．如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1：，AC=10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB=14米．试求旗杆BC的高度．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：计算题．分析：如果延长BC交AD于E点，则CE⊥AD，要求BC的高度，就要知道BE和CE的高度，就要先求出AE的长度．直角三角形ACE中有坡比，由AC的长，那么就可求出AE的长，然后求出BE、CE的高度，BC=BE﹣CE，即可得出结果．解答：解：延长BC交AD于E点，则CE⊥AD．在Rt△AEC中，AC=10，由坡比为1：可知：∠CAE=30°，∴CE=AC•sin30°=10×=5，AE=AC•cos30°=10×=．在Rt△ABE中，BE===11．∵BE=BC+CE，∴BC=BE﹣CE=11﹣5=6（米）．答：旗杆的高度为6米．点评：两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边的解决此类题目的基本出发点．27．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．专题：压轴题．分析：（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC；（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C．在△ADF与△DEC中，∴△ADF∽△DEC．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8．由（1）知△ADF∽△DEC，∴，∴DE===12．在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE===6．点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知识点．题目难度不大，注意仔细分析题意，认真计算，避免出错．28．如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（说明：（1）（2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45）考点：解直角三角形的应用．专题：压轴题．分析：（1）过A作BC的垂线AD．在构建的直角三角形中，首先求出两个直角三角形的公共直角边，进而在Rt△ACD中，求出AC的长．（2）通过解直角三角形，可求出BD、CD的长，进而可求出BC、PC的长．然后判断PC的值是否大于2米即可．解答：解：（1）如图，作AD⊥BC于点D．Rt△ABD中，AD=ABsin45°=4×=2．在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，∴AC=2AD=4≈5.6．即新传送带AC的长度约为5.6米；（2）结论：货物MNQP应挪走．解：在Rt△ABD中，BD=ABcos45°=4×=2．在Rt△ACD中，CD=ACcos30°=2．∴CB=CD﹣BD=2﹣2=2（﹣）≈2.1．∵PC=PB﹣CB≈4﹣2.1=1.9＜2，∴货物MNQP应挪走．点评：应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．在两个直角三角形有公共直角边时，先求出公共边的长是解答此类题的基本思路．29．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．（1）求证：=；（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．考点：相似三角形的判定与性质；菱形的判定．专题：证明题；压轴题．分析：（1）利用相似三角形的判定得出△ABE∽△ACB，进而求出答案；（2）首先证明AD=BF，进而得出AD∥BF，即可得出四边形ABFD是平行四边形，再利用AD=AB，得出四边形ABFD是菱形．解答：证明：（1）∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABE，又∵∠ADB=∠ACB，∴∠ABE=∠ACB，又∵∠BAE=∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴=，又∵AB=AD，∴=；（2）设AE=x，∵AE：EC=1：2，∴EC=2x，由（1）得：AB2=AE•AC，即AB2=x•3x∴AB=x，又∵BA⊥AC，∴BC=2x，∴∠ACB=30°，∵F是BC中点，∴BF=x，∴BF=AB=AD，连接AF，则AF=BF=CF∠ACB=30°，∠ABC=60°，又∵∠ABD=∠ADB=30°，∴∠CBD=30°，∴∠ADB=∠CBD=∠ACB=30°，∴AD∥BF，∴四边形ABFD是平行四边形，又∵AD=AB，∴四边形ABFD是菱形．点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识，得出△ABE∽△ACB是解题关键．。
山东省泰安市东平县2024年数学九上开学经典模拟试题【含答案】
山东省泰安市东平县2024年数学九上开学经典模拟试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A ．B ．C ．D ．2、（4分）顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形中满足条件的是（）①平行四边形；②菱形；③矩形；④对角线互相垂直的四边形．A ．①③B ．②③C ．③④D ．②④3、（4分）化简：）A B C ．D ．4、（4分）已知y-3与x 成正比例,且x=2时,y=7,则y 与x 的函数关系式为(）A ．y=2x+3B ．y=2x-3C ．y-3=2x+3D ．y=3x-35、（4分）如图所示，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于点N ，且AB ＝8，MN ＝3，则AC 的长是（）A ．12B ．14C ．16D ．186、（4分）某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间的关系如下表，下列说法不正确的是（）植树量（棵）34567人数410861A ．参加本次植树活动共有29人B ．每人植树量的众数是4C ．每人植树量的中位数是5D ．每人植树量的平均数是57、（4分）为了了解某市八年级女生的体能情况，从某校八年级的甲、乙两班各抽取27名女生进行一分钟跳绳次数的测试，测试数据统计如下：人数中位数平均数甲班2710497乙班2710696如果每分钟跳绳次数大于或等于105为优秀，则甲、乙两班优秀率的大小关系是()A ．甲优<乙优B ．甲优>乙优C ．甲优＝乙优D ．无法比较8、（4分）近几年，手机支付用户规模增长迅速，据统计2015年手机支付用户约为3.58亿人，连续两年增长后，2017年手机支付用户达到约5.27亿人．如果设这两年手机支付用户的年平均增长率为x ，则根据题意可以列出方程为（）A ．3.58(1) 5.27x +=B ．3.58(12) 5.27x +=C ．23.58(1) 5.27x +=D ．23.58(1) 5.27x -=二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）（2017四川省德阳市）某校欲招聘一名数学老师，甲、乙两位应试者经审查符合基本条件，参加了笔式和面试，他们的成绩如右图所示，请你按笔试成绩40%，面试成绩点60%选出综合成绩较高的应试者是____．10、（4分）如图，一次函数y=-2x+2的图象与轴、轴分别交于点、，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，且，则点C 坐标为_____.11、（4分）一组数据为0，1，2，3，4，则这组数据的方差是_____．12、（4分）设a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，则()()11a b --的值为_____．13、（4分）如图，在ABC 中，D 是AB 上任意一点，E 是BC 的中点，过C 作//CF AB ,交DE 的延长线于F ，连BF ,CD ，若30FDB ∠=︒，45ABC ∠=︒，BC =DF =_________．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）A 、B 两乡分别由大米200吨、300吨．现将这些大米运至C 、D 两个粮站储存．已知C 粮站可储存240吨，D 粮站可储存200吨，从A 乡运往C 、D 两处的费用分别为每吨20元和25元，B 乡运往C 、D 两处的费用分别为每吨15元和18元．设A 乡运往C 粮站大米x 吨．A 、B 两乡运往两个粮站的运费分别为y A 、y B 元．（1）请填写下表，并求出y A 、y B 与x 的关系式：C 站D 站总计A 乡x 吨200吨B 乡300吨总计240吨260吨500吨（2）试讨论A 、B 乡中，哪一个的运费较少；（3）若B 乡比较困难，最多只能承受4830元费用，这种情况下，运输方案如何确定才能使总运费最少？最少的费用是多少？15、（8分）如图，在正方形ABCD 中，AB=3，点E ，F 分别在CD ，AD 上，CE=DF ，BE ，CF 相交于点G.（1）求∠BGC 的度数；（2）若CE=1，H 为BF 的中点时，求HG 的长度；（3）若图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为2：3，求△BCG 的周长.16、（8分）如图所示，点O 是矩形ABCD 对角线AC 的中点，过点O 作EF ⊥AC ，交BC 交于点E ，交AD 于点F ，连接AE 、CF ，求证：四边形AECF 是菱形．17、（10分）如图，在6×6的方格图中，每个小方格的边长都是为1，请在给定的网格中按下列要求画出图形．（1）画出以A 的一条线段．（2）画出一个以题（1）中所画线段为腰的等腰三角形．18、（10分）为了解某校九年级男生在体能测试的引体向上项目的情况，随机抽取了部分男生引体向上项目的测试成绩，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的男生人数为，图①中m 的值为；（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）若规定引体向上6次及以上（含6次）为该项目良好，根据样本数据，估计该校320名九年级男生中该项目良好的人数．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，有一个由传感器A 控制的灯，要装在门上方离地面4.5m 的墙上，任何东西只要移至该灯5m 及5m 内，灯就会自动发光，小明身高1.5m ，他走到离墙_______的地方灯刚好发光.20、（4分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A ，B 都在格点上，则线段AB 的长度为_________．21、（4分）有意义，则x 的取值范围是___．22、（4分）因式分解：a 2﹣6a+9=_____．23、（4分）对分式12x ，14y ，218xy 进行通分时，最简公分母是_____二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）在平面直角坐标系中，直线y kx b =+（0k ≠）与直线2y x =相交于点P （2，m ），与x 轴交于点A ．（1）求m 的值；（2）过点P 作PB ⊥x 轴于B ，如果△PAB 的面积为6，求k 的值．25、（10分）（2011•南京）小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍．小颖在小亮出发后50min 才乘上缆车，缆车的平均速度为180m/min ．设小亮出发x min 后行走的路程为y m ，图中的折线表示小亮在整个行走过程中y 与x 的函数关系．（1）小亮行走的总路程是___________m ，他途中休息了_____________min ；（2）①当50＜x ＜80时，求y 与x 的函数关系式；②当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？26、（12分）某服装店的一次性购进甲、乙两种童衣共100件进行销售，其中甲种童衣的进价为80元/件，售价为120元/件；乙种童衣的进价为100元/件，售价为150元/件．设购进甲种童衣的数量为x（件），销售完这批童衣的总利润为y（元）．（1）请求出y与x之间的函数关系式（不用写出x的取值范围）；（2）如果购进的甲种童衣的件数不少于乙种童衣件数的3倍，求购进甲种童衣多少件式，这批童衣销售完利润最多？最多可以获利多少元？参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、D 【解析】根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐一判断即可．【详解】解：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意；B ．不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不符合题意；C ．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意；D ．是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项符合题意．故选：D ．此题考查的是轴对称图形的识别和中心对称图形的识别,掌握轴对称图形的定义和中心对称图形的定义是解决此题的关键．2、D 【解析】有一个角是直角的平行四边形是矩形，根据此可知顺次连接对角线垂直的四边形是矩形．【详解】如图点E ，F ，G ，H 分别是四边形各边的中点，且四边形EFGH 是矩形．∵点E ，F ，G ，H 分别是四边形各边的中点，且四边形EFGH 是矩形．∴∠FEH=90°，EF ∥BD ∥HG ，FG ∥AC ∥EH ，EF≠GH ．∴AC ⊥BD ．①平行四边形的对角线不一定互相垂直，故①错误；②菱形的对角线互相垂直，故②正确；③矩形的对角线不一定互相垂直，故③错误；④对角线互相垂直的四边形，故④正确．综上所述，正确的结论是：②④．故选D ．此题主要考查矩形的性质及三角形中位线定理的综合运用．3、D 【解析】根据二次根式的性质由题意可知0x <，我们在变形时要注意原式的结果应该是个负数，然后根据二次根式的性质化简而得出结果．【详解】解：原式==x x =-=故选：D ．本题考查了二次根式的性质与二次根式的化简，关键要把握住二次根式成立的条件．4、A 【解析】用待定系数法可求出函数关系式．【详解】y-1与x 成正比例，即：y=kx+1，且当x=2时y=7，则得到：k=2，则y 与x 的函数关系式是：y=2x+1．故选：A ．此题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用正比例函数的特点以及已知条件求出k 的值，写出解析式．5、B【解析】延长BN 交AC 于D ，证明△ANB ≌△AND ，根据全等三角形的性质、三角形中位线定理计算即可．【详解】延长BN 交AC 于D ，在△ANB 和△AND 中，NAB NAD AN AN ANB AND ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ANB ≌△AND ，∴AD ＝AB ＝8，BN ＝ND ，∵M 是△ABC 的边BC 的中点，∴DC ＝2MN ＝6，∴AC ＝AD +CD ＝14，故选B ．本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．6、D 【解析】分析：A ．将人数进行相加，即可得出结论A 正确；B 、由种植4棵的人数最多，可得出结论B 正确；C 、由4+10=14，可得出每人植树量数列中第15个数为5，即结论C 正确；D 、利用加权平均数的计算公式，即可求出每人植树量的平均数约是4.7棵，结论D 错误．此题得解．详解：A ．∵4+10+8+6+1=29（人），∴参加本次植树活动共有29人，结论A 正确；B ．∵10＞8＞6＞4＞1，∴每人植树量的众数是4棵，结论B 正确；C ．∵共有29个数，第15个数为5，∴每人植树量的中位数是5棵，结论C 正确；D ．∵（3×4+4×10+5×8+6×6+7×1）÷29≈4.7（棵），∴每人植树量的平均数约是4.7棵，结论D 不正确．故选D ．点睛：本题考查了条形统计图、中位数、众数以及加权平均数，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．7、A 【解析】已知每分钟跳绳次数在105次以上的为优秀，则要比较优秀率，关键是比较105次以上人数的多少；从表格中可看出甲班的中位数为104，且104＜105，所以甲班优秀率肯定小于50%；乙班的中位数为106，106＞105，至此可求得答案.【详解】从表格中可看出甲班的中位数为104，104＜105，乙班的中位数为106，106＞105，即甲班大于105次的人数少于乙班，所以甲、乙两班的优秀率的关系是甲优＜乙优.故选A.本题考查了统计量的选择，正确理解中位数和平均数的定义是解答本题的关键.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．平均数代表一组数据的平均水平，中位数代表一组数据的中等水平8、C 【解析】如果设这两年手机支付用户的年平均增长率为x ，那么2016年手机支付用户约为()3.581x +亿人，2017年手机支付用户约为()23.581x +亿人，而2017年手机支付用户达到约5.27亿人，根据2017年手机支付用户的人数不变，列出方程.【详解】设这两年手机支付用户的年平均增长率为x ，依题意得：()23.581 5.27x +=.故选：C .本题考查的是由实际问题抽象出一元二次方程-平均增长率问题.解决这类问题所用的等量关系一般是：()1=⨯+增长的次数增长前的量平均增长率增长后的量.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、甲．【解析】解：甲的平均成绩为：80×40%+90×60%=86（分），乙的平均成绩为：85×40%+86×60%=85.6（分），因为甲的平均分数最高．故答案为：甲．10、(3,1)；【解析】先求出点A ，B 的坐标，再判断出△ABO ≌△CAD ，即可求出AD=2，CD=1，即可得出结论；【详解】如图,过点C 作CD ⊥x 轴于D ，令x=0，得y=2，令y=0，得x=1，∴A(1,0),B(0,2)，∴OA=1，OB=2，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB=AC,∠BAC=90°，∴∠BAO+∠CAD=90°，∵∠ACD+∠CAD=90°，∴∠BAO=∠ACD ，∵∠BOA=∠ADC=90°，∴△ABO ≌△CAD ，∴AD=BO=2，CD=AO=1，∴OD=3，∴C(3,1)；此题考查一次函数综合，解题关键在于作辅助线11、1．【解析】先根据平均数的定义确定平均数，再根据方差公式进行计算即可求出答案．【详解】这组数据的平均数是：()123452+++÷=，则方差()()()()()2222221021222324225s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦；故答案为：1．此题考查方差，解题关键在于掌握运算法则12、-1【解析】根据根与系数的关系可得出1a b +=-，2019ab =-，将其代入()()()111a b ab a b --=-++中即可得出结论．【详解】∵a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，∴1a b +=-，2019ab =-，∴()()()111a b ab a b --=-++2019112017=-++=-．故答案为：-1．本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于b a -，两根之积等于ca ”是解题的关键．13、1【解析】证明CF ∥DB ，CF=DB ，可得四边形CDBF 是平行四边形，作EM ⊥DB 于点M ，解直角三角形即可．【详解】解：∵CF ∥AB ，∴∠ECF=∠EBD ．∵E 是BC 中点，∴CE=BE ．∵∠CEF=∠BED ，∴△CEF ≌△BED （ASA ）．∴CF=BD ．∴四边形CDBF 是平行四边形．作EM ⊥DB 于点M ，∵四边形CDBF 是平行四边形，BC =∴BE=12BC =DF=2DE ，在Rt △EMB 中，EM 2+BM 2=BE 2且EM=BM ∴EM=1，在Rt △EMD 中，∵∠EDM=30°，∴DE=2EM=2，∴DF=2DE=1．故答案为：1．本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）表见解析；y A =20x+25×(200−x)=−5x+5000(0⩽x ⩽200)；y B =15×(240−x)+18×(x+60)=3x+4680(0⩽x ⩽200)；（2）当x<40时，B 乡运费少；当x=40时，A.B 两乡运费一样多；当x>40时，A 乡运费少；（3）当x=50时，总运费最低，最低费用为9580元.【解析】（1）结合已知完善表格，再根据运费=运输单价×数量，得出y A 、y B 与x 的关系式；（2）令y A =y B ，找出二者运费相等的x ，以此为界分成三种情况；（3）由B 乡运费最多为4830元，找出x 的取值范围，再根据y A +y B 的单调性，即可得知当x 取什么值时，总运费最低．【详解】(1)根据已知补充表格如下：A 乡运往两个粮站的运费y A =20x+25×(200−x)=−5x+5000(0⩽x ⩽200)；B 乡运往两个粮站的运费y B =15×(240−x)+18×(x+60)=3x+4680(0⩽x ⩽200).(2)令y A =y B ，即−5x+5000=3x+4680，解得：x=40.故当x<40时，B 乡运费少；当x=40时，A.B 两乡运费一样多；当x>40时，A 乡运费少.(3)令y B ⩽4830，即3x+4680⩽4830，解得：x ⩽50.总运费y=y A +y B =−5x+5000+3x+4680=−2x+9680，∵−2<0，∴y=−2x+9680单调递减.故当x=50时，总运费最低，最低费用为9580元.此题考查一次函数的应用，解题关键在于根据题意列出方程.15、（1）90°；（2）2；（3）△BGC 3【解析】（1）先利用正方形的性质和SAS 证明△BCE ≌△CDF ，可得∠CBE =∠DCF ，再利用角的等量代换即可求出结果；（2）先根据勾股定理求出BF 的长，再利用直角三角形的性质求解即可；（3）根据题意可得△BCG 的面积与四边形DEGF 的面积相等，进一步依据△BCG 的面积以及勾股定理，得出BG +CG 的长，进而求出其周长．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴BC =CD ，∠BCD =∠CDF =90°，在△BCE 和△CDF 中，∵BC =CD ，∠BCD =∠CDF ，CE=DF ，∴△BCE ≌△CDF （SAS ），∴∠CBE =∠DCF ，又∵∠BCG +∠DCF =90°，∴∠BCG +∠CBE =90°，∴∠BGC =90°；（2）如图，∵CE =1，∴DF =1，∴AF =2，在直角△ABF 中，由勾股定理得：BF ===，∵H 为BF 的中点，∠BGF =90°，∴122HG BF ==；（3）∵阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为2：3，∴阴影部分的面积为23×9=6，∴空白部分的面积为9－6=3，∵△BCE ≌△CDF ，∴△BCG 的面积与四边形DEGF 的面积相等，均为12×3=32，设BG =a ，CG =b ，则12ab =32，∴ab =3，又∵a 2+b 2=32，∴a 2+2ab +b 2=9+6=15，即（a +b ）2=15，∴a +b =BG +CG =∴△BCG 的周长此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质以及三角形面积问题，解题时注意数形结合思想与整体思想的应用．16、答案见解析【解析】分析：由过AC 的中点O 作EF ⊥AC ，根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF ，AE=CE ，OA=OC ，然后由四边形ABCD 是矩形，易证得△AOF ≌△COE ，则可得AF=CE ，继而证得结论.详解：∵O 是AC 的中点，且EF ⊥AC ，∴AF=CF ，AE=CE ，OA=OC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠AFO=∠CEO ，在△AOF 和△COE 中，AFO CEO AOF COE OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOF ≌△COE （AAS ），∴AF=CE ，∴AF=CF=CE=AE ，∴四边形AECF 是菱形；点睛：此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质以及三角函数等知识．注意证得△AOF ≌△COE 是关键．17、（1）作图见解析；（2）作图见解析.【解析】（1）直接利用勾股定理结合网格得出答案；（2）利用等腰三角形的定义得出符合题意的一个答案．【详解】（1）如图所示：AB 即为所求；（2）如图所示：△ABC 即为所求．此题主要考查了应用设计与作图，正确应用网格是解题关键．18、(Ⅰ)40；25；（Ⅱ）平均数为5.8次；众数为5；中位数为6；(Ⅲ)176名.【解析】（Ⅰ）用5次的人数除以5次的人数所占百分比即可得抽查的总人数；求出6次的人数与总人数的比即可得m 的值；(Ⅱ)根据平均数、众数和中位数的定义求解即可；(Ⅲ)先求出6次及以上的学生所占的百分比，用320乘以这个百分比即可得答案.【详解】（Ⅰ）12÷30%=40（名）；1040×100%=25%，∴m=25，故答案为40；25(Ⅱ)平均数为：（6×4+12×5+10×6+8×7+4×8）÷40=5.8(次)∵这组数据中，5出现了12次，出现次数最多，∴这组数据的众数为5，∵将这组数据从小到大排列，其中处于中间的两个数都是6，∴662 =6，即中位数为6，(Ⅲ)6次及以上的学生人数为10+8+4=22（名）∴2240×320=176（名）答：估计该校320名九年级男生中该项目良好的人数为176名.本题考查了条形统计图，扇形统计图，掌握平均数、众数和中位数的定义是解题的关键．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、4米【解析】过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则人离墙的距离为CE ，在Rt △ACE 中，根据勾股定理列式计算即可得到答案.【详解】如图，传感器A 距地面的高度为AB=4.5米，人高CD=1.5米，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则人离墙的距离为CE ，由题意可知AE=AB-BE=4.5-1.5=3（米）.当人离传感器A 的距离AC=5米时，灯发光.此时，在Rt △ACE 中，根据勾股定理可得，CE 2=AC 2-AE 2=52-32=42，∴CE=4米.即人走到离墙4米远时，灯刚好发光.本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练的掌握勾股定理的定义与运算.20、【解析】建立格点三角形，利用勾股定理求解AB 的长度即可．【详解】如图所示，作出直角三角形ABC ，小方格的边长为1，∴由勾股定理得AB ===．考查了格点中的直角三角形的构造和勾股定理的应用，熟记勾股定理内容是解题关键．21、x 2≥【解析】x ﹣1≥0，解得x≥1．故答案是x≥1．考点：二次根式有意义的条件．22、2(3)a -【解析】试题分析：直接运用完全平方公式分解即可.a 2-6a+9=（a-3）2.考点：因式分解.23、8xy 1【解析】由于几个分式的分母分别是1x 、4y 、8xy 1，首先确定1、4、8的最小公倍数，然后确定各个字母的最高指数，由此即可确定它们的最简公分母．【详解】根据最简公分母的求法得：分式12x ，14y ，218xy 的最简公分母是8xy 1，故答案为8xy 1．此题主要考查了几个分式的最简公分母的确定，确定公分母的系数找最小公倍数，确定公分母的字母找最高指数．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）m=4；（2）43k =±【解析】（1）把点P （2，m ）代入直线y=2x 可求m 的值；（2）先求得PB=4，根据三角形面积公式可求AB=1，可得A 1（5，0），A 2（-1，0），再根据待定系数法可求k 的值．【详解】（1）∵直线2y x =过点P （2，m ），∴m =4（2）∵P （2，4），∴PB =4又∵△PAB 的面积为6，∴AB =1．∴A 1（5，0），A 2（－1，0）当直线y kx b =+经过A 1（5,0）和P （2，4）时，可得k =43-当直线y kx b =+经过A 2（－1,0）和P （2，4）时，可得k =43.综上所述，k =43±.本题主要考查一次函数的交点问题，根据三角形面积间的关系得出点A 的坐标及熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．25、解：（1）3600，20；（2）①当50≤x≤80时，设y 与x 的函数关系式为y=kx+b ，根据题意，当x=50时，y=1950；当x=80时，y=3600∴解得：∴函数关系式为：y=55x ﹣1．②缆车到山顶的线路长为3600÷2=11米，缆车到达终点所需时间为11÷180=10分钟小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为10+50=60分钟，把x=60代入y=55x ﹣1，得y=55×60﹣1=2500∴当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是3600﹣2500=1100米．【解析】略26、（1）105000y x =-+；（2）75件，4250元.【解析】(1)总利润=甲种童衣每件的利润×甲种童衣的数量+乙种童衣每件的利润×乙种童衣的数量，根据等量关系列出函数解析式即可；(2)根据题意，先得出x 的取值范围，再根据函数的增减性进行分析即可.【详解】解：（1）∵甲种童衣的数量为x 件，，是乙种童衣数量为()100x -件；依题意得：甲种童衣每件利润为：1208040-=元；乙种童衣每件利润为：15010050-=元∴()4050100y x x =+-，∴105000y x =-+；（2）()310001000x x x x ⎧≥-⎪≥⎨⎪-≥⎩，75100x ≤≤，∵105000y x =-+中，100k =-<，∴y 随x 的增大而减小，∵75100x ≤≤，∴min 75x =时，max 107550004250y =-⨯+=答：购进甲种童衣为75件时，这批童衣销售完获利最多为4250元．本题考查了一次函数的应用.。