第二章 腔模理论
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激光原理 第六版 周炳琨编著2章a
第二章 开放式光腔与高斯光束
§2.1 光腔理论的一般问题 一、光学谐振腔
最简单的光学谐振腔：激活物质+反射镜片
平行平面腔：法布里-珀罗干涉仪（F-P腔）
共轴球面腔：具有公共轴线的球面镜组成
i.开放式光学谐振腔（开腔） ：在理论处理时，可以 认为没有侧面边界 （气体激光器）
根据几何逸出损耗的高低分为-稳定腔、非稳腔和临界腔
二、腔的模式 腔的模式：光学谐振腔内可能存在的电磁场的本征态 谐振腔所约束的一定空间内存在的电磁场，只能存在 于一系列分立的本征态
腔内电磁场的本征态
因此：
麦克斯韦方程组 腔的边界条件
腔的具体结构
腔内可能存在的模式（电磁场本征态）
模的基本特征主要包括：
1、每一个模的电磁场分布 E(x,y,z)，腔的横截面内的 场分布（横模）和纵向场分布（纵模）； 2、每一个模在腔内往返一次经受的相对功率损耗 ； 3、每一个模的激光束发散角 。
1 . 22 a
2
L
a
1
2
L
1 N
N 腔的菲涅耳数，表征衍射损耗大小，N，衍射损耗
1、光子在腔内的平均寿命
设，初始光强I0，在腔内往返m次后，光强为Im，则
I m I 0 (e
2 m
)
I 0e
2 m
则在 t 时刻时，往返次数 则 t 时刻光强
I (t ) I 0 e
E Nh V P hV dN dt
储存在腔内的总能量（E） 单位时间内损耗的能量（P）
t
Q的普 遍定义
2 nL
N N 0e
R
Q
R
c
前面定 义
Q
§2.1 光腔理论的一般问题 一、光学谐振腔
最简单的光学谐振腔：激活物质+反射镜片
平行平面腔：法布里-珀罗干涉仪（F-P腔）
共轴球面腔：具有公共轴线的球面镜组成
i.开放式光学谐振腔（开腔） ：在理论处理时，可以 认为没有侧面边界 （气体激光器）
根据几何逸出损耗的高低分为-稳定腔、非稳腔和临界腔
二、腔的模式 腔的模式：光学谐振腔内可能存在的电磁场的本征态 谐振腔所约束的一定空间内存在的电磁场，只能存在 于一系列分立的本征态
腔内电磁场的本征态
因此：
麦克斯韦方程组 腔的边界条件
腔的具体结构
腔内可能存在的模式（电磁场本征态）
模的基本特征主要包括：
1、每一个模的电磁场分布 E(x,y,z)，腔的横截面内的 场分布（横模）和纵向场分布（纵模）； 2、每一个模在腔内往返一次经受的相对功率损耗 ； 3、每一个模的激光束发散角 。
1 . 22 a
2
L
a
1
2
L
1 N
N 腔的菲涅耳数，表征衍射损耗大小，N，衍射损耗
1、光子在腔内的平均寿命
设，初始光强I0，在腔内往返m次后，光强为Im，则
I m I 0 (e
2 m
)
I 0e
2 m
则在 t 时刻时，往返次数 则 t 时刻光强
I (t ) I 0 e
E Nh V P hV dN dt
储存在腔内的总能量（E） 单位时间内损耗的能量（P）
t
Q的普 遍定义
2 nL
N N 0e
R
Q
R
c
前面定 义
Q
第二章 光学谐振腔理论 激光物理(研究生)分析
稳定腔
1 1 A D1
2
(2.2.5)
非稳定腔 临界腔
1 A D 1或 1 A D 1
2
2
1 A D 1或 1 A D 1
2
2
为了得到稳定性条件 的更为简明的形式， 引入谐振腔的下述几 何参数
g1 g2
1 1
L
R1 L
R2
凹面R取正， 凸面R取负
(2.2.8)
共轴球面谐振腔的稳定性条件可叙述如下，当
去掉式中光场分布函数的下标j，用u(x,y)表示稳态场 分布函数，则自再现模积分方程为
u(x, y) ik
u ( x,
y)
e ik
(1
2
cos
)ds
4
L
令1/γ=σ，对于一般的激光谐振腔来说
L, R a
(3-6)
• 便可得到自再现模所满足的积分方程为：
u ml ml x, y Km x, y,x, yuml x, y rds
• 一些典型腔
2.2.3光学谐振腔的损耗
• 平均单程功率损耗δ,光子寿命τR, 品质因数Q 1.平均单程损耗指数因子δ
光从谐振腔一端传输到另一端的平均单程损耗指数 因子δ 定义为：
I0
i
r
d
t
1 ln 2
I0 I1
(2.2.10)
I1 吸收和散射 反射 衍射 透射的单程损耗
I1 I0e2
(2.2.11)
u
j 1 ( x,
y)
ik
4
u
j
(
x,
y)
e
ik
(1
cos )ds
(2.3.1)
• 为使问题简化，我们将只考虑对称开腔的情况。
第二章 腔模理论
Cmn H m
2 x Hn L
2 y e L
x2 y2 L
H0 X 1
H1 X 2 X
H2 X 4 X 2 2
m阶厄米多项式的零点: 因Hm(X)=0有m个根，故 m 阶厄米多项式有m个零点。厄米多项式的零点决定 了场图的零点，高斯函数决定了场分布的外形轮廓
(x , y)
X2 2
Y2 2
厄米多项式和高斯函数的乘积 换回x, y可得本征函数为：
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
x2 y2 c c 2c 2 H n e a vmn x, y C mn H m x y a a
常系数
x2 y2
2
z
0 8 2 E20 x , y , z A20 E0 x 2 e 2 z z
x2 y2
2
z
§2.6 方形镜共焦腔的行波场
2、光斑尺寸 (1)基模:振幅下降为最大值1/e时的光斑半径
z 0
0 0
2
2r 2
s2
P1 d Ce
0 0
2
s
2r 2
1 rdr C s 2 2
P1 P0 86.466%
s 2
1 rdr C s 2 1 1 e 2 2
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模 二 本征值—径向长椭球函数
mn
1
a2 a 2k c 2 L L
§2.6 方形镜共焦腔的行波场
E0，Amn, ω0 均为常数
ω 0 : 基模高斯光束腰斑半径
1 第二章光学谐振腔2.1—2.2
（2）衍射损耗：
腔镜边缘、插入光学元件的边缘、孔径及光阑的衍射 效应产生的损耗。
孔外照亮面积 ( L a) 2 a 2 d 总面积照亮面积 ( L a) 2
(第二章1）
物理与机电工程学院
《激光原理与技术》
（3）腔镜透射损耗
T r 2
（4）材料中非激活吸收、散射等其他损耗（腔内插入物引 起的损耗）
这是激光技术历史上最早提 出的平行平面腔（F-P腔）。 从理论上分析这些腔时，通 常认为侧面没有光学边界， 因此将这类谐振腔称为开放 式光学谐振腔，简称开腔
开腔
固体激光器的工作物质通 常具有比较高的折射率， 因此在侧壁上将发生大量 的全反射。如果腔的反射 镜紧贴激光棒的两端，则 在理论上分析这类腔时， 应作为介质腔来处理。半 导体激光器是一种真正的 介质波导腔。这类光学谐 振腔称为闭腔
(第二章1）
物理与机电工程学院
《激光原理与技术》
激光模用符号
TEMmnq
表示
TEM表示横向电磁场 transverse electric and magnetic field
q为纵模的序数(纵向驻波波节数)，m,n 为横模 的序数（m，n分别表示沿腔镜面垂直坐标系的水 平和垂直坐标的光场节线数）。
《激光原理与技术》
2.1光学谐振腔的基本知识 （构成和分类、作用、腔模）
(第二章1）
2.1.1光学谐振腔的构成和分类
物理与机电工程学院
《激光原理与技术》
1 光学谐振腔的构成
光学谐振腔的构成
最简单的光学谐振腔： 在激活介质两端恰当地放置两个镀有高反射率的反射镜构成。
(第二章1）
物理与机电工程学院
2.光学谐振腔的种类
01 激光器的腔膜理论
共焦腔 (c)平凹腔
R1 R2
共心腔
R/2
半共焦腔
R2
(d)凹凸与双凸腔 凹凸腔
R1
R2
பைடு நூலகம்
双凸腔
图2 光学谐振腔的几种常见形式
二、光学谐振腔的模式
◆谐振腔模式的概念
光学谐振腔内可能存在的电磁场的本征态
1、纵模
c 2L ◆纵模就是由整数q所表征的谐振腔内纵向的稳定场分布
◆平行平面腔内的光场频率 q q
图3 满足谐振条件而又落在增益线宽内的频率
二、光学谐振腔的模式
2、横模
◆谐振腔内垂直于传播方向的横截面上存在稳定的光 场分布，通常称为横模
图5 几种激光横模形状
三、一般稳定球面腔的模式特征
◆等价共焦腔
图3 共焦腔等相位面的分布
◆任意一个共焦球面腔与无穷多个稳定球面 腔等价；任一个满足稳定性条件的球面腔唯 一地等价于某一共焦腔。
激光器的腔膜理论
◆激光器产生激光的三个前提条件是什么？
工作物质、泵浦源、谐振腔
阳极 He-Ne气体 布儒斯特窗
反射镜 直流电源 阴极
图1 典型的He-Ne气体激光器
◆谐振腔的作用：(1)选模；(2)提供正反馈
一、谐振腔的作用和构成
L
(a)平行平面腔
R1 R2 R1 R2
(b)凹球面镜腔
R R R1 R2
激光原理(第2章)
三、光腔的损耗 损耗的大小是评价谐振腔的一个重要指标，也是腔模理论的重要研究 课题。光学的损耗大致包括如下几个方面： (1)几何偏折损耗。光线在腔内往返传播时，可能从腔的侧面偏折出 去，这种损耗为几何偏折损耗。其大小首先取决于腔的类型和几何尺寸。 例如，稳定腔内傍抽光线的几何损托应为各零，非稳腔则有较高的几何 损耗。以非稳腔而论，不同几何尺寸的非稳腔，其损耗大小亦各不相同。 其次，几何损耗的高低依模式的不同而异。比如同一平行平面腔内的高 阶横模由于其传播方向与轴的夹角较大，因而其几何损耗也比低阶横模 为大。 (2)衍射损耗。由于腔的反射镜片通常具有有限大小的孔径，因而当 光在镜面上发生衍射时，必将造成一部分能量损失。本节以及本书后面 几章的分析表明，衍射损耗的大小与腔的菲涅耳数 N＝a2/Ll有关，与 腔的几何参数g有关，而且不同横模的衍射损耗也将各不相同。
(3)腔镜反射不完全引起的损耗。它包括镜中的吸收、散射以及镜的 透射损耗，通常的光腔至少有一个反射镜是部分透射的，有时透射率还 可以很高(例如，某些固体激光器的轴输出透射率可以＞ 50％)，另一个 反射镜即使通常称为“全反射”镜，其反射率也不可能做到100％。 (4) 材料中的非激活吸收、散射，腔内插入物 ( 如布儒斯特窗、调 Q 元件、调制器等)所引起的损耗，等等。 上述 (1)(2) 两种损耗常常又称为选择损耗，因为不同模式的几何损 耗与衍射损耗各不相同。 (3)(4)两种损耗称为非选择损耗，在一般情况 下它们对各个模式都一样。 不论损耗的起源如何，我们都可以引进一个“平均单程损耗因子” d 来定量地加以描述。该因子的定义如下：如果初始出发时的光强为 I0， 在无源腔内往返一次后，光强衰减为I1，则
2.1 光腔理论的一般问题
一、光腔的构成和分类
在激活物质的两端恰当地放置两个反射镜片，就构成一个最简单的 光学谐振腔。
第二章 腔模理论
x2 y2 L
0 s
0 s
可以看出，TEMmn模在镜面上振幅分布的特点取决于厄米 多项式与高斯函数的乘积。厄米多项式的零点决定场的节线， 厄米多项式的正负交替的变化与高斯函数随着x、y的增大而单 调下降的特征决定着场分布的外形轮廓。
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
④高阶模的光斑尺寸与基模的关系
0 0
2ຫໍສະໝຸດ 2r 2s2P1 d Ce
0 0
2
s
2r 2
1 rdr C s 2 2
P1 P0 86.466%
s 2
1 rdr C s 2 1 1 e 2 2
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模 二 本征值—径向长椭球函数
mn
1
a2 a 2k c 2 L L
时
u20 0
TEM20
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
umn ( x, y) Cmn H m ( 2
2 因为 H2 ( ) 4 2
0 s
x) H n (
2
H0 ( ) 1
0 s
y)e
x2 y2 L
故
u02 C02 [4
2 y2
02s
2 0s
x2 y2 2] exp( ) L
X2 2
Y2 2
厄米多项式和高斯函数的乘积 换回x, y可得本征函数为：
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
x2 y2 c c 2c 2 H n e a vmn x, y C mn H m x y a a
常系数
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
基模TEM
0 s
0 s
可以看出，TEMmn模在镜面上振幅分布的特点取决于厄米 多项式与高斯函数的乘积。厄米多项式的零点决定场的节线， 厄米多项式的正负交替的变化与高斯函数随着x、y的增大而单 调下降的特征决定着场分布的外形轮廓。
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
④高阶模的光斑尺寸与基模的关系
0 0
2ຫໍສະໝຸດ 2r 2s2P1 d Ce
0 0
2
s
2r 2
1 rdr C s 2 2
P1 P0 86.466%
s 2
1 rdr C s 2 1 1 e 2 2
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模 二 本征值—径向长椭球函数
mn
1
a2 a 2k c 2 L L
时
u20 0
TEM20
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
umn ( x, y) Cmn H m ( 2
2 因为 H2 ( ) 4 2
0 s
x) H n (
2
H0 ( ) 1
0 s
y)e
x2 y2 L
故
u02 C02 [4
2 y2
02s
2 0s
x2 y2 2] exp( ) L
X2 2
Y2 2
厄米多项式和高斯函数的乘积 换回x, y可得本征函数为：
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
x2 y2 c c 2c 2 H n e a vmn x, y C mn H m x y a a
常系数
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
基模TEM
第二章光学谐振腔理论
(2n1)((G0 )l / 2ikl )
02 2 12
n0
n0
e(G0 )l / 2ikl E0t1t2 1 r1r2e(G0 )l2ikl
2.1 光学谐振腔概论
FP腔输出光场：E
e(G0 )l / 2ikl E0t1t2 1 r1r2e(G0 )l 2ikl
1
r1r2e(G0
q
q
c 2L
q
c 2L
2 2L q 2 L q q
q
2
L'一定的谐振腔只对一定频率的光波才能提供正反馈，使之谐 振； F-P腔的谐振频率是分立的
2.1 光学谐振腔概论
腔光学长度为半波长的整数倍 L l q q （驻波条件）
2
2.1 光学谐振腔概论
L l q q
2
达到谐振时，腔的光学长度应为半波长的整数倍。满足此 条件的平面驻波场称为平行平面腔的本征模式
2.1 光学谐振腔概论
麦克斯韦方程的本征解的电场分量
Ex
(
x,
y,
z,
t
)
E0
sin
m
a
x
sin
n
b
y
cos
p
l
z
e
im
,n
,
p
t
E y ( x,
y,
z,
t)
E0
cos
m
a
x
sin
n
b
y
sin
p
l
z e im,n,pt
Ez
(
x,
y,
z,
t
)
E0
sin
m
a
x
激光原理教案第二章
I m = I0 e
( )
−2δ
'
m
= I 0e
t
−2mδ '
t ,m = 2L '/ c
I (t ) = I 0 e
−
τR
,τ R
L' = δc
激光原理与技术
时间后， 的物理意义: 时间常数τR的物理意义 经过τR时间后， 腔内光强衰减为初始值的1／ 腔内光子数将 腔内光强衰减为初始值的 ／e,腔内光子数将 随时间依指数规律衰减， 随时间依指数规律衰减，到τR 时刻衰减为初 始值1／ 。 愈大， 愈小， 始值 ／e。δ愈大， τR愈小，说明腔的损耗 愈大，腔内光强衰减得愈快。 愈大，腔内光强衰减得愈快。 2．无源谐振腔的Q值 ．无源谐振腔的 值
c ∆ν q = ν q+1 −ν q = , (频率梳） 2L 例：L = 10cm,η = 1气体激光器, ∆ν q = 1.5 ×109 Hz L = 100cm,η = 1气体激光器, ∆ν q = 1.5 ×10 Hz
8
L = 10cm,η = 1.76的红宝石激光器∆ν q = 8.5 ×10 Hz
激光原理与技术
激光原理与技术
光 学 谐 振 腔
闭 腔 稳 定 腔 开 腔 非 稳 腔 临 界 腔 气 体 波 导 腔
激光原理与技术
谐振腔可以按不同的方法可分为： 谐振腔可以按不同的方法可分为： 端面反馈腔与分布反馈腔，球面腔与非球 端面反馈腔与分布反馈腔， 面腔，高损耗腔与低损耗腔， 面腔，高损耗腔与低损耗腔，驻波腔与行波 两镜腔与多镜腔， 腔，两镜腔与多镜腔，简单腔与复合腔 等．本章讨论两镜腔。 二、模的概念、腔与模的一般联系 模的概念、 腔的模式:光学谐振腔内可能存在的电磁场的 腔的模式 光学谐振腔内可能存在的电磁场的 本征态称。 本征态称。场的每一个本征态将具有一定的振 荡频率和一定的空间分布。 荡频率和一定的空间分布。
激光原理第二章
3、模的基本特征：
①每个模的电磁场分布，特别是在腔的横截面内的场分布
---横向电场分布
②模的谐振频率。
---谐振频率
③每个模在腔内往返一次经受的相对功率损耗。(δ)
---往返损耗。
④与每一个模相对应的激光束的发散角。(θ)
---远场发散角。
4、腔的作用：
①光学正反馈,
②选模,
③调节几何参数，控制横模特性, ④控制输出功率。
本节任务：会判定腔的构成与分类、解释腔与模的关 系，掌握模的纵模与损耗含义、分类。
§2.1 光腔理论的一般问题
• 光腔的构成与分类 • 模的概念、腔与模的一般联系 • 光腔的
工作原理：
激光工作物质
全
半
反
反
射
射
镜
镜
out 光放大原理
§2.1 光腔理论的一般问题
射形成干涉，若要干涉加强(谐振)，相位差为2π的整数
倍, 如果 表示相位滞后，即有：---光驻波条件 ：
k
z
2
2L'
q 2
L'
q
0q
0
2
其中：0 为真空中波长， L' 为腔长(光学长度)。
q
c
0 q
q c 2L
q
2
F-P腔的(纵模)谐振频率
三、光腔的纵模－－驻波条件
当腔内充满折射率为η的均匀介质时，有光程
(m
rm )
(0
r0 )
m
2
m
(am2
02 )1/ 2
0
am2 20
am o
rm
(am2
r02 )1/ 2
r0
am2 2r0
激光原理 第二章光学谐振腔理论
光学谐振腔一方面具有光学正反馈作用,另一方面 也存在各种损耗。损耗的大小是评价谐振腔质量 的一个重要指标,决定了激光振荡的阈值和激光的 输出能量。本节将分析无源开腔的损耗,并讨论表 征无源腔质量的品质因数Q值及线宽。
一、损耗及其描述 (1)几何偏折损耗: 光线在腔内往返传播时，可能从腔的侧面 偏折出去，我们称这种损耗为几何偏折损 耗。其大小首先取决于腔的类型和几何尺 寸。
概述
3.波动光学分析方法 从波动光学的菲涅耳-基尔霍夫衍射积分理论出发,可以建立 一个描述光学谐振腔模式特性的本征积分方程。 利用该方程原则上可以求得任意光腔的模式,从而得到场的 振幅、相位分布,谐振频率以及衍射损耗等腔模特性。 虽然数学上已严格证明了本征积分方程解的存在性,但只有在 腔镜几何尺寸趋于无穷大的情况下,该积分方程的解析求解 才是可能的。 对于腔镜几何尺寸有限的情况,迄今只对对称共焦腔求出了 解析解。 多数情况下,需要使用近似方法求数值解。虽然衍射积分方 程理论使用了标量场近似,也不涉及电磁波的偏振特性,但与 其他理论相比,仍可认为是一种比较普遍和严格的理论。
第一节 光学谐振腔的基本知识
本节主要讨论光学谐振腔的构成、分类、作用,以及 腔模的概念
光学谐振腔的构成和分类
根据结构、性能和机理等方面的不同,谐振腔有不同 的分类方式。
按能否忽略侧面边界,可将其分为
开腔、 闭腔 气体波导腔
第一节 光学谐振腔的基本知识
开腔而言： 1. 根据腔内傍轴光线几何逸出损耗的高低,又可分为 稳定腔、非稳腔及临界腔; 2. 按照腔镜的形状和结构,可分为球面腔和非球面腔; 3. 就腔内是否插入透镜之类的光学元件,或者是否考 虑腔镜以外的反射表面,可分为简单腔和复合腔; 4. 根据腔中辐射场的特点,可分为驻波腔和行波腔; 5. 从反馈机理的不同,可分为端面反馈腔和分布反馈 腔; 6. 根据构成谐振腔反射镜的个数,可分为两镜腔和多 镜腔等。
新激光ppt课件第二章 光学谐振腔理论
光线在腔内往返传播n次
式中
rn An C n n
Bn r1 Dn 1
二、共轴球面腔的稳定性条件
1.稳定腔条件
光线在腔内往
A n、B n、 C n、D n
对任意ｎ有限
Φ 为实数
返多次不逸出
且φ ≠kπ
引人g参数则得稳定性条件
平平腔 N>>1
谐振条件: 以Δ Φ 表示均匀平面波在腔内往返
一周时的相位滞后，则
若腔内介质分段均匀 若腔内介质非均匀 谐振条件:
L
L
i
i i
L dL ( z )dz
0
L
2 L q q c q q 2 L
分立
腔的本征模式: 在平平腔中满足 q q c
一定类型的积分方程。 腔的具体结构 振荡模的特征
3.模的基本特征
电磁场分布(特别是在腔的横截面内的场分布)； 谐振频率； 在腔内往返一次经受的相对功率损耗； 激光束的发散角
4.纵模和横模
腔内电磁场的空间分布
沿传播方向(腔轴方向)的分布
垂直于传播方向的横截面内的分布 (1)纵模
纵模 横模
（1）（2）两种损耗为选择损耗，因为不同模式的几何 损耗与衍射损耗各不相同。（3）（4）两种损耗称为非 选择损耗，在一般情况下它们对各个模式都一样。
2.平均单程损耗因子
I 0 I1 2I 0 1 I0 ln 2 I1
光在腔内单程渡越时光强的平均衰减百分数 指数单程损耗因子
β
3.总损耗
作
业
1.曲率半径R1>0，R2<0的腔能否成为稳定腔，如果能, 请求出其稳定性条件。
新激光第二章 光学谐振腔理论(2)
自由空间的光线变换矩阵：
r2
r1 L1 2 1
TL
1 0
L 1
θ2
r1 θ1
r2
z
L
球面反射镜的光线变换矩阵：
2
r2 r1
2
r1 R
1
凹R>0 凸R<0
TR
1 2
0 1
R
薄透镜的光线变换矩阵：
2
r2 r1
r1 f
1
(r1θ1) (r2θ2)
Tf
1 1
f
0 1
dI I1 I0
Idz I0 2L L dz cdt
ct
I(t)I0e L
I0etR
式中：
R
L c
就为腔的寿命，也叫腔的时间常数。
2. 物理意义：
3.腔内光子的平均寿命就等于腔的时间常数：
证明：
I(t)n(t)hv,I(t)I0etR
t
n(t) n0e R
平均寿命：
1 n0
t(dn)1
腔的具体结构
振荡模的特征
3.模的基本特征
电磁场分布(特别是在腔的横截面内的场分布)；
谐振频率； 在腔内往返一次经受的相对功率损耗； 激光束的发散角
4.纵模和横模
腔内电磁场的空间分布
沿传播方向(腔轴方向)的分布
垂直于传播方向的横截面内的分布 (1)纵模 ➢ 谐振条件:
以ΔΦ表示均匀平面波在腔内往返 一周时的相位滞后，则
二、共轴球面腔的稳定性条件 1.稳定腔条件
光线在腔内往 返多次不逸出
An、Bn、Cn、Dn 对任意ｎ有限
Φ为实数 且φ≠kπ
引人g参数则得稳定性条件
2.非稳腔条件
第二章开放式光腔与高斯光束讲课用
镜腔处理。
普通的两镜腔 等价 共焦腔
（等价共焦腔）
依据等价原则，利用等价共焦腔，共焦腔的模式解析 理论可推广使用于一般稳定腔。
实际应用中:(1)大多数中、小激光器几何偏折损耗低， 属稳定腔； (2)稳定腔的模式理论比较成熟。
三.纵模和驻波条件
1、腔内要形成的稳定的驻波 模式，必须满足驻波条件
假设：n为腔内介质的折射率，L 为腔长，λ0q 为光在真空中的波长。 L′ 为腔的光学长度。
2a
2(a+Lθ)
2I0
S1
L
∴
δd
=
S2 − S1 S2
≈
2Lθ a
S2
∴
δd
≈
a2
1 / Lλ
=
1 N
定义： N = a2 / Lλ
腔的菲涅尔数
对于方形镜、圆形镜： N = a2 / Lλ 对于条形镜： N = a1a2 / Lλ
理解菲涅尔数：①衍射光在腔内的最大往返次数
中心光束，偏离镜中心的偏移量为x = θL = λL/2a
=
C 2μL
=
3 × 108 2 ×1
= 1.5 ×108 Hz
在 Δvq 范围内所包含的最多纵模个
数：
m = [ ΔvF ] +1 Δvq
m = [ ΔvF ] +1 = 1500 ×106 +1 = 11
Δvq
1.5 ×108
谐振腔最多可能包含 的纵模个数为11
四、横向电场分布与横模(Transverse Electromagnetic mode)
圆形镜： r(n)
ϕ (m) 直径数
TEM 03 TEM 00 TEM 10
演讲PPT激光的腔模
• 目的：弄清楚激光模式的基本特征及其与腔 的结构之间的具体依赖关系。 • 模的基本特征包括： 每一个模的电磁场分布，特别是在腔的横截 面内场分布； 模的谐振频率； 每一个模在腔内往返一次经受的相对功率损 耗； 与每一个模相对应的激光束的发散角 • 原则上，只要知道了腔的参数，就可以唯一 地确定模的基本特征。
论述激光腔模的含义及其基本特征
模的概念 基本特征
模的概念——腔与模的一般联系
• 在激光技术术语中，通常将光学谐振腔内可 能存在的电磁波的本征态称为腔的模式。 • 腔的模式也就是腔内可区分的光子的状态。 同一模式内的光子，具有完全相同的状态 （如频率、偏振等）。 • 腔内电磁场的本征态由麦克斯韦方程组及腔 的边界条件决定。一旦给定了腔的具体结构， 则其中振荡模的特征也就随之确定下来-----腔与模的一般联系。
第二章-3光腔理论
第二章-3 开腔模式和衍射理论分析 方法
深圳大学电子科学与技术学院
自再现模在腔内经单程 渡越所经受的相对功率 损耗称为模的单程损耗 ，通常以δd表示。在对 称开腔情况下,
δd =
u j − u j +1 uj
2
2
2பைடு நூலகம்
= 1 − e − 2α = 1 −
1
2
γ
γ愈大，模的单程损耗愈大
自再现模在腔内经单程渡 越的总相移δΦ定义为 在对称开腔的情况下，
第二章-3 开腔模式和衍射理论分析 方法
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• 理解激光的空间相干性：即使入射在第一个 孔面上的光是空间非相干的，但由于衍射效 应，第二个孔面上任一点的波应该看作是第 一个孔面上所有各点发出的子波的叠加，这 样，第二个孔面上各点波的相位就发生了一 定的关联。在经过了足够多次衍射之后，光 束横截面上各点的相位关联越来越紧密，因 而空间相干性随之越来越增强。在开腔中， 从非相干的自发辐射发展成空间相干性极好 的激光，正是由于衍射的作用。
第二章-3 开腔模式和衍射理论分析 方法
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• 为突出特征、简化分析，提出理想的开腔 模型：两块反射镜片沉浸在均匀的、无限 的、各向同性的介质中。没有侧壁的不连 续性，决定衍射效应的孔径由镜的边缘所 构成。 • 考虑在开腔中往返传播的一列波
第二章-3 开腔模式和衍射理论分析 方法
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• 用波在孔阑传输线中的行进来模拟它在平面 开腔中的往复反射（暂不考虑干涉效应）。 这种孔阑传输线由一系列同轴的孔径构成， 这些孔径开在平行放置着的无限大完全吸收 屏上，相邻两个孔径的距离等于腔长，孔径 大小等于镜的大小。 • 光从一个孔径传播到另外一个孔径，就等效 于光在开腔中从一个反射镜面传播到另一个 镜面。在通过每一个孔阑时光将发生衍射， 射到孔的范围以外的光将被屏所吸收（对应 于损耗）。
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自再现模在腔内经单程 渡越所经受的相对功率 损耗称为模的单程损耗 ，通常以δd表示。在对 称开腔情况下,
δd =
u j − u j +1 uj
2
2
2பைடு நூலகம்
= 1 − e − 2α = 1 −
1
2
γ
γ愈大，模的单程损耗愈大
自再现模在腔内经单程渡 越的总相移δΦ定义为 在对称开腔的情况下，
第二章-3 开腔模式和衍射理论分析 方法
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• 理解激光的空间相干性：即使入射在第一个 孔面上的光是空间非相干的，但由于衍射效 应，第二个孔面上任一点的波应该看作是第 一个孔面上所有各点发出的子波的叠加，这 样，第二个孔面上各点波的相位就发生了一 定的关联。在经过了足够多次衍射之后，光 束横截面上各点的相位关联越来越紧密，因 而空间相干性随之越来越增强。在开腔中， 从非相干的自发辐射发展成空间相干性极好 的激光，正是由于衍射的作用。
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• 为突出特征、简化分析，提出理想的开腔 模型：两块反射镜片沉浸在均匀的、无限 的、各向同性的介质中。没有侧壁的不连 续性，决定衍射效应的孔径由镜的边缘所 构成。 • 考虑在开腔中往返传播的一列波
第二章-3 开腔模式和衍射理论分析 方法
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• 用波在孔阑传输线中的行进来模拟它在平面 开腔中的往复反射（暂不考虑干涉效应）。 这种孔阑传输线由一系列同轴的孔径构成， 这些孔径开在平行放置着的无限大完全吸收 屏上，相邻两个孔径的距离等于腔长，孔径 大小等于镜的大小。 • 光从一个孔径传播到另外一个孔径，就等效 于光在开腔中从一个反射镜面传播到另一个 镜面。在通过每一个孔阑时光将发生衍射， 射到孔的范围以外的光将被屏所吸收（对应 于损耗）。
激光腔
• 主要讨论了光腔模式问题。它是理解激光的相干性、 方向性、单色性等一系列重要特性、进行激光器件 的设计和装调的基础，也是研究和掌握激光基本技 术和应用的基础。 • 开放式光腔根据几何偏折损耗的高低，可以分为稳 定腔、非稳腔和临界腔。稳定腔的几何偏折损耗很 低，绝大多数中、小功率器件都采用稳定腔。其模 式理论是腔模理论中比较成熟的部分。由于稳定腔 应用广泛，其模式理论具有最广泛、最重要的实践 意义。
δ d = 1 − e−2α = 1 −
2δΦ = 2 arg 1
对称开腔：
γ
γ
= q ⋅ 2π
四、稳定球面腔中的模结构
• 方形镜共焦腔与圆形镜共焦腔的自再现模 自再现模
镜面上场的振幅和相位分布
共焦腔基模在镜面上的分布 高阶横模（强度花样） 高阶横模（强度花样） 相位分布 单程损耗 单程相移和谐振频率
模的基本特征： （1）电磁场空间分布 （2）模的谐振频率； （3）在腔内往返一次经受的相对功率损耗； （4）与该模相对应的激光束的发散角 纵模：通常将由整数q所表征的腔内纵向光场的分 纵模：通常将由整数 所表征的腔内纵向光场的分 布称为腔的纵模，不同的q相应于不同的纵模 相应于不同的纵模； 布称为腔的纵模，不同的 相应于不同的纵模；达到 谐振时，腔的光学长度应为半波长的整数倍， 谐振时，腔的光学长度应为半波长的整数倍，腔的 谐振频率是分立的，纵模间隔与q无关 谐振频率是分立的，纵模间隔与 无关
共焦腔行波场（共焦场）的特征
振幅分布和光斑尺寸 模体积 等相位面的分布 远场发散角
两镜稳定球面腔。 基于：任意一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价； 任一满足稳定性条件的球面腔唯一地等价于某一共 焦腔。 “等价”指具有相同的行波场 一般稳定球面腔的两个镜面与其等价共焦腔高斯光 束过轴线上z1、z2两点的等相位面重合（坐标原点在 共焦腔中心）。如果已知稳定球面腔镜面曲率半径 R1、R2和腔长L，则这一关系可描述为
δ d = 1 − e−2α = 1 −
2δΦ = 2 arg 1
对称开腔：
γ
γ
= q ⋅ 2π
四、稳定球面腔中的模结构
• 方形镜共焦腔与圆形镜共焦腔的自再现模 自再现模
镜面上场的振幅和相位分布
共焦腔基模在镜面上的分布 高阶横模（强度花样） 高阶横模（强度花样） 相位分布 单程损耗 单程相移和谐振频率
模的基本特征： （1）电磁场空间分布 （2）模的谐振频率； （3）在腔内往返一次经受的相对功率损耗； （4）与该模相对应的激光束的发散角 纵模：通常将由整数q所表征的腔内纵向光场的分 纵模：通常将由整数 所表征的腔内纵向光场的分 布称为腔的纵模，不同的q相应于不同的纵模 相应于不同的纵模； 布称为腔的纵模，不同的 相应于不同的纵模；达到 谐振时，腔的光学长度应为半波长的整数倍， 谐振时，腔的光学长度应为半波长的整数倍，腔的 谐振频率是分立的，纵模间隔与q无关 谐振频率是分立的，纵模间隔与 无关
共焦腔行波场（共焦场）的特征
振幅分布和光斑尺寸 模体积 等相位面的分布 远场发散角
两镜稳定球面腔。 基于：任意一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价； 任一满足稳定性条件的球面腔唯一地等价于某一共 焦腔。 “等价”指具有相同的行波场 一般稳定球面腔的两个镜面与其等价共焦腔高斯光 束过轴线上z1、z2两点的等相位面重合（坐标原点在 共焦腔中心）。如果已知稳定球面腔镜面曲率半径 R1、R2和腔长L，则这一关系可描述为
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关。这是共焦腔的主要特征。
x2 L
y
2
u00 (x, y) C00e
基模振幅最 大值的1/e处
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
数值例：L=1m ,λ=10.6μm,
共焦腔的CO2激光器 ω0s≈1.84mm
L=30cm , λ=0.6328μm,共焦腔的He—Ne激光器
ω0s≈0.25mm 可见，共焦腔的光斑半径非常小。
R(1) 0n
(c,1)
mn 1 16 N 2 Rom1 c,1 Ron1 c,1 2
结论: (1)某阶高阶横模的衍射损耗δmn最终只取决 于菲涅耳数N！而与腔的具体几何尺寸无关！ (2) 所有模式的损耗都随菲涅耳数的增加而减小。
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
见图2.5.5
平面镜腔 几何 大 衍射 (3) 共焦腔 几何 0 衍射
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
镜面上场位相分布:共焦腔反射镜面本身构成光场的一个等相 位面。
①由自在现模umn(x, y) 的辐角决定。
umn
(x,
y)
CmnH
m
2 (
0s
2
x)
H
n
(
0
s
x2 L
y
2
y)e
由于 umn (x,为y实) 函数,说明镜面上各点的光场相位相同,共焦
腔反射镜面本身构成光场的一个等相位面
由
0s
L 可知,增大镜面宽度,只减少衍射损耗,对光斑
尺寸并无影响.
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
利用基模光斑半径，本征函数的解可以写为：
umn
(x,
y)
CmnH
m
2 (
0s
2
x)H
n
(
0
s
x2 L
y
2
y)e
当m、n取不同时为零的一系列整数时,
由上式可得出镜面上各高阶横模的振幅分
布
因为 H1( ) 2 H0 ( ) 1 故
P0
2
d
0
Ce
2r2 s2
rdr
0
1 2
C
s
2
P1
P1
2
d
0
s 0
Ce
2r2 s2
rdr
1 2
Cs2
11
e 2
P0 86.466%
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
二 本征值—径向长椭球函数
mn
1
m n
c
a2k L
2
a2
L
2
N
m n
i
4Ne
kLmn1
2
R(1) 0m
(c,1)
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
一 镜面上场分布—厄米－高斯近似
1、厄米－高斯近似：当C=2 N 1 或模场分
布集中在镜面中心附近 ( x , y << a )时，角向 长椭球函数化为厄米－高斯函数。
Fm X S0m c,
X c
Cm
Hm X
X2
e2
Fn Y S0n c,
(4)菲涅耳数相同时， 损耗随横模阶次的 增加而迅速增加。 (对横模的选择有 利！)
N
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
三、单程相移和谐振频率
1、TEMmn模在腔内一次单 程渡越的总相移
mn
k L
m
n
1
2
几何相移 附加相移
相移特点
(1) 与腔的菲涅耳数无关！
(2) 附加相移随横模阶次不同而不同！ (3) 不同横模的相移相差π/2的整数倍！
u10
C10
22
0s
x exp(
x2 y2
L
)
C1'0 x
exp(
x2 y2
0s
)
当x 0时u10 0，出现一条暗线
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
umn
(x,
y)
CmnH
m
(2
0s
x)H
n
(2
0s
x2 L
y
2
y)e
因为 H2 ( ) 4 2 2 H0 ( ) 1 故
u20
厄米多项式的正负交替的变化与高斯函数随着x、y的增大而单
调下降的特征决定着场分布的外形轮廓。
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
④高阶模的光斑尺寸与基模的关系
ms
2m
10
s
ns 2n 10s
光斑半径的平方定义为 光场分布坐标均方差值 的四倍！
可见,阶次越高,光斑半径越大,光强分布越偏离中心.
图(3-5) Fm ( X ) X及Fn (Y ) Y 的变化曲线及相应的光强分布
C11
4
2 0s
故
xy exp(
x2 y2
2 0s
)
C1'1xy
exp(
x2 y2
2 0s
)
当 x 0 时 u11 0
y 0 时 u11 0
在 x、y方向各出现一条暗线
TEM11
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
umn
(x,
y)
CmnH
m
(2
0s
x)H
n
(2
0s
x2 L
y
2
y)e
可以看出，TEMmn模在镜面上振幅分布的特点取决于厄米 多项式与高斯函数的乘积。厄米多项式的零点决定场的节线，
m阶厄米多项式的零点: 因Hm(X)=0有m个根，故 m 阶厄米多项式有m个零点。厄米多项式的零点决定 了场图的零点，高斯函数决定了场分布的外形轮廓
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
基模TEM 0 0光斑半径：0s
L
基模光束的能量集中在光斑有效截面圆内.上式表明，共焦
腔基模在镜面上的光斑半径与镜的横向尺寸无关，只与腔长有
注意：不同于平行平面腔！平行平面腔镜面上不同相。
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
求基模高斯光束在光斑尺寸范围内的光功率占总 功率的百分数。
解: 由场的振幅分布函数
x2 y2
E( x, y) Ce L
r2
Ces2
光强为： I( x, y) Ce2r2 s2
由 e x2 dx 得
0
2
u02
C02[4
2y2
2 0s
2] exp(
x2 y2
L
)
C0' 2 (4
y2
2 0s
)
exp(
x2 y2
2 0s
)
y 0s
2
时
u02 0
y方向出现两条暗线
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
umn
(
x,
y)
Cmn
Hm
(2
0s
x)
H
n
(2
0s
x2 L
y
2
y)e
因为 H1( ) 2
2
u11
C20[4
2x2
2 0s
2] exp(
x2 y2
L
)
C2' 0 (4x2
2 0s
)
exp(
x2 y2
2 0s
)
x 0s
2
时
u20 0
x方向出现两条暗线
TEM20
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
umn
(
x,
y)
Cmn H m
(2
0s
x)
H
n
(
2
0s
x2 L
y
2
y)e
因为 H2 ( ) 4 2 2 H0 ( ) 1 故
Y c
Cn
Y 2
Hn Y e 2
厄米多项式和高斯函数的乘积 换回x, y可得本征函数为：
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
vmn
x, y
CmnH m
c a
x H n c aye Nhomakorabea2
c a
2
x
2
y
2
常系数
CmnH m
2 L
x
H
n
2 L
y
e
x2
L
y2
H0 X 1 H1X 2X H2 X 4X 2 2