中考数学整式方程
中考数学专题复习《整式方程(组)的应用》经典题型讲解
中考数学专题复习《整式方程(组)的应用》经典题型讲解类型之一一元一次方程的应用【经典母题】汽车队运送一批货物．若每辆车装4 t，还剩下8 t未装；若每辆车装4.5 t，恰好装完．这个车队有多少辆车？解：设这个车队有x辆车，依题意，得4x＋8＝4.5x，解得x＝16.答：这个车队有16辆车．【思想方法】利用一元一次方程解决实际问题是学习二元一次方程组、分式方程、一元二次方程、一元一次不等式(组)等的基础，是课标要求，也是热门考点．【中考变形】1．学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，今年购置计算机的数量是(C) A．25台B．50台C．75台D．100台【解析】设今年购置计算机的数量是x台，去年购置计算机的数量是(100－x)台，根据题意可得x＝3(100－x)，解得x＝75.2．[2016·盐城校级期中]小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．妈妈说：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两种菜只要36元”．爸爸说：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”．小明说：爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？请你通过列一元一次方程求解这天萝卜、排骨的单价(单位：元/斤)．解：设上月萝卜的单价是x 元/斤，则排骨的单价36－3x 2元/斤，根据题意，得3(1＋50%)x ＋2(1＋20%)⎝ ⎛⎭⎪⎫36－3x 2＝45， 解得x ＝2，则36－3x 2＝36－3×22＝15. ∴这天萝卜的单价是(1＋50%)×2＝3(元/斤)，这天排骨的单价是(1＋20%)×15＝18(元/斤)．答：这天萝卜的单价是3元/斤，排骨的单价是18元/斤．【中考预测】[2016·株洲模拟]根据如图Z4－1的对话，分别求小红所买的笔和笔记本的价格．图Z4－1解：设笔的价格为x 元/支，则笔记本的价格为3x 元/本，由题意，得10x ＋5×3x ＝30，解得x ＝1.2，∴3x ＝3.6.答：笔的价格为1.2元/支，笔记本的价格为3.6元/本．类型之二 二元一次方程组的应用【经典母题】用如图Z4－2①中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有1 000张正方形纸板和2 000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？图Z4－2解：设做竖式纸盒x 个，横式纸盒y 个，可恰好将库存的纸板用完．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝2 000，x ＋2y ＝1 000，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝200，y ＝400.答：竖式纸盒做200个，横式纸盒做400个，恰好将库存的纸板用完．【思想方法】 利用方程(组)解决几何计算问题，是较好的方法，体现了数形结合思想．【中考变形】1．小华写信给老家的爷爷，问候“八·一”建军节．折叠长方形信纸，装入标准信封时发现：若将信纸按图Z4－3①连续两次对折后，沿着信封口边线装入时宽绰3.8 cm ；若将信纸按图②三等分折叠后，同样方法装入时宽绰1.4 cm.试求出信纸的纸长与信封的口宽．①②图Z4－3解：设信纸的纸长为x cm ，信封口的宽为y cm.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 4＋3.8，y ＝x 3＋1.4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝28.8，y ＝11. 答：信纸的纸长为28.8 cm ，信封的口宽为11 cm.2．某中学新建了一栋四层的教学楼，每层楼有10间教室，进出这栋教学楼共有4个门，其中两个正门大小相同，两个侧门大小也相同．安全检查中，对4个门进行了测试，当同时开启一个正门和两个侧门时，2 min 内可以通过560名学生；当同时开启一个正门和一个侧门时，4 min 内可以通过800名学生．(1)求平均每分钟一个正门和一个侧门各可以通过多少名学生？(2)检查中发现，出现紧急情况时，因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定：在紧急情况下全楼的学生应在5 min 内通过这4个门安全撤离，假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：该教学楼建造的这4个门是否符合安全规定？请说明理由．解：(1)设一个正门平均每分钟通过x 名学生，一个侧门平均每分钟通过y 名学生，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝560，4x ＋4y ＝800，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝120，y ＝80.答：一个正门平均每分钟通过120名学生，一个侧门平均每分钟通过80名学生；(2)由题意得共有学生45×10×4＝1 800(人)，学生通过的时间为1 800÷[(120＋80)×0.8×2]＝458(min)．∵5＜458，∴该教学楼建造的这4个门不符合安全规定．【中考预测】随着“互联网＋”时代的到来，一种新型的手机打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p 元/km 计算，耗时费按q 元/min 计算(总费用不足9元按9元计价)．小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如下表：(1)求p ，q 的值； (2)如果小华也用该打车方式，车速55 km/h ，行驶了11 km ，那么小华的打车总费用为多少？解：(1)小明的里程数是8 km ，时间为8 min ；小刚的里程数为10 km ，时间为12 min.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧8p ＋8q ＝12，10p ＋12q ＝16，解得⎩⎨⎧p ＝1，q ＝12；(2)小华的里程数是11 km ，时间为12 min.则总费用是11p ＋12q ＝17(元)．类型之三 一元二次方程的应用【经典母题】某租赁公司拥有汽车100辆，据统计，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加1辆．租出的车每辆每月需要维护费为150元，未租出的车每辆每月只需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益(租金收入扣除维护费)可达到306 600元？解：(1)100－3 600－3 00050＝88(辆)． 答：当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出88辆．(2)设每辆车的月租金定为(3 000＋x )元，则⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x 50[(3 000＋x )－150]－x 50×50＝306 600， 解得x 1＝900，x 2＝1 200，∴3 000＋900＝3 900(元)，3 000＋1 200＝4 200(元)．答：当每辆车的月租金为3 900元或4 200元时，月收益可达到306 600元．【思想方法】利润＝收入－支出，即利润＝租出去车辆的租金－租出去车辆的维护费－未租出去车辆的维护费．【中考变形】1．[2017·眉山]东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为6个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？解：(1)设此批次蛋糕属第a 档次产品，则10＋2(a －1)＝14，解得a ＝3. 答：此批次蛋糕属第3档次产品．⎝⎛⎭⎪⎫或：∵14－102＋1＝3，∴此批蛋糕属第3档次产品. (2)设该烘焙店生产的是第x 档次的产品，根据题意，得[10＋2(x －1)][76－4(x －1)]＝1 080，解得x 1＝5，x 2＝11(舍去)．答：该烘焙店生产的是第5档次的产品．2．[2017·重庆B 卷]某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．(1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400 kg ，其中枇杷的产量不超过樱桃的产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售．该果农去年樱桃的市场销售量为100 kg，销售均价为30元/kg，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200 kg，销售均价为20元/kg，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%.该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．【解析】(1)根据“枇杷的产量不超过樱桃的产量的7倍”即可列出不等式求得今年收获樱桃的质量；(2)抓住关键语句，仔细梳理，根据去年、今年樱桃销售量、销售均价，求出各自的销售额，可以用一张表格概括其中数量关系：然后根据“今年樱桃和枇杷的销售总金额与去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同”可列方程求解．解：(1)设该果农今年收获樱桃至少x kg，今年收获枇杷(400－x)kg，依题意，得400－x≤7x，解得x≥50.答：该果农今年收获樱桃至少50 kg.(2)由题意，得3 000×(1－m %)＋4 000×(1 ＋2m%)×(1－m%)＝7 000，解得m1＝0(不合题意，舍去)，m2＝12.5.答：m的值为12.5.【中考预测】某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出400 kg.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20 kg.(1)当每千克涨价多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？(2)若商场只要求保证每天的盈利为4 420元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价多少元？解：(1)设每千克涨价x元，总利润为y元．则y＝(10＋x)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4 000＝－20(x－5)2＋4 500.当x＝5时，y取得最大值，最大值为4 500元．答：当每千克涨价5元时，每天的盈利最多，最多为4 500元；(2)设每千克应涨价a元，则(10＋a)(400－20a)＝4 420.解得a＝3或a＝7，为了使顾客得到实惠，∴a＝3.答：每千克应涨价3元．。
中考数学分类真题整理---整式、分式、不等式、解方程部分
中考数学分类真题整理---整式、分式、不等式、解方程部分7. −3的绝对值是( )（2022年第1题）A. 3B. −3C. 13D. −138.要使得式子√x−2有意义，则x的取值范围是( )。
（2022年第3题）A. x>2B. x≥2C. x<2D. x≤29.下列计算正确的是( )（2022年第4题）A. a 2⋅a 6=a 8B. x a 8÷x a 4=x a 2C. 2a 2+3a 2=6a 4D. (−3a)2=−9a 210. 因式分解：x x 2−1=______．（2022年第9题） 11.方程 3x =2x−2 的解是______ ．（2022年第11题）12.若一元二次方程 x 2+x −c =0 没有实数根，则c 的取值范围是______．（2022年第15题）13. 计算：（2022年第19题）(1)(−1)2022+|√3−3|−(13)−1+√9； (2 ) (1+2x )÷x 2+4x+4x 2．14. (本小题10.0分) （2022年第20题）(1)解方程：x 2−2x −1=0； (2)解不等式组：{2x −1≥11+x x 3<x −1．15. －3 的相反数是（ ）。
（2021年第1题） A ．3 B ．－3C ．13D ．13-16. 下列计算正确的是（ ）。
（2021年第3题） A ．()339a a =B ．3412a a a =C ．235a a a +=D ．623a a a ÷=17. 下列无理数，与3最接近的是（ ）。
（2021年第6题）A． BCD18. 49的平方根是_____. （2021年第10题）19. 因式分解：x 2－36= _________．（2021年第11题）21. 若12,x x 是方程230x x +=的两个根，则12x x +=_________．（2021年第13题）22. 计算：（2021年第19题）（1）11220212-⎛⎫-- ⎪⎝⎭（2）22111a a a a ++⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭23. （2021年第20题）（1）解方程：2450x x --= （2）解不等式组：213238x x x -≤⎧⎨+>+⎩24. 3的相反数是（ ）． A. 3- B. 3C. 13-D.1325. 下列计算正确的是（ ） A. 22423a a a +=B. 632a a a ÷=C. 222()a b a b -=-D. 222()ab a b =（1）120201(1)|2|2-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭； （2）2121122a a a a -+⎛⎫-÷ ⎪-⎝⎭31. （1）解方程：22530x x -+=； （2）解不等式组：34521232x x x -<⎧⎪--⎨>⎪⎩32. ﹣2的倒数是（ ） A ．﹣ B ．C ．2D ．﹣ 233. 下列计算正确的是（ ） A ．a 2+a 2＝a 4 B ．（a +b ）2＝a 2+b 2 C ．（a 3）3＝a 9D ．a 3•a 2＝a 634. 8的立方根是 ．35.使有意义的x的取值范围是．36.方程x2﹣4＝0的解是．37.若a＝b+2，则代数式a2﹣2ab+b2的值为．38.计算：（1）π0﹣+（）﹣2﹣|﹣5|；（2）÷．39.（1）解方程：+1＝（2）解不等式组：40. 4的相反数是（）A．14B．﹣14C．4 D．﹣441.下列计算正确的是（）A．2a2﹣a2=1 B．（ab）2=ab2C．a2+a3=a5D．（a2）3=a645.计算：（1）﹣12+20180﹣（12）﹣1+√83；（2）a2−b2a−b÷a+b2a−2b．46. （1）解方程：2x 2﹣x ﹣1=0；（2）解不等式组：{4x ＞2x −8x−13≤x+1647. 5-的倒数是（ ）A ．5-B ．5C ．15D ．15-48. 下列运算正确的是（ ）A ．()a b c a b c -+=-+B ．235236a a a ⋅=C. 5302a a a += D ．()2211x x +=+52. （1）1201(2)20172-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭； （2）2421244x x x x +⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭.53. （1）解方程：231x x =+； （2）解不等式组：2012123x x x >⎧⎪+-⎨>⎪⎩.54. 41-的相反数是 （ ） A.4 B.-4 C.41 D.41-55. 下列运算中，正确的是（ ）A.633x x x =+B.2763x x x =⋅C.532x x = D.12-=÷x x xA.2≤xB.2≥xC.2<xD.2≠x57. 9的平方根是______________。
中考数学常考易错点：2.1《整式方程》
中考数学 2.1整式方程易错清单1.根据题意列出正确的方程.【例1】(2014·山东烟台)按如图的运算程序,能使输出结果为3的x,y的值是().A. x=5,y=-2B. x=3,y=-3C. x=-4,y=2D. x=-3,y=-9【解析】由题意,得2x-y=3,A. x=5时,y=7,故本选项错误;B. x=3时,y=3,故本选项错误;C. x=-4时,y=-11,故本选项错误;D. x=-3时,y=-9,故本选项正确.【答案】 D【误区纠错】读懂题意,列出正确的整式方程是解题的关键.2.方程中隐含条件的运用.【例2】(2014·山东济宁)若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m+1与2m-4,则= .【解析】∵x2=(ab>0),∴x=±.∴方程的两个根互为相反数.∴m+1+2m-4=0,解得m=1.∴一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是2与-2.∴=2.∴=4.【答案】 4【误区纠错】一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数.根据这个隐含条件可求出m的值.【例3】(2014·广东广州)若关于的方程x2+2mx+m2+3m-2=0有两个实数根x1,x1,则x1(x2+x1)+的最小值为.【解析】该题主要是考察方程思想与函数思想的结合,由根与系数的关系得到:x1+x2=-2m,x1x2=m2+3m-2,而x1(x2+x1)+=(x1+x2)2-x1x2=3m2-3m+2.因为方程有实数根,所以Δ≥0,解得m≤.当m=时,3m2-3m+2的最小值为.【答案】【误区纠错】本题最大失误是不知道根据Δ≥0这个隐含条件求出m的取值范围.3.整体思想的运用.【例4】(2014·江苏泰州)已知a2+3ab+b2=0(a≠0,b≠0),则代数式+的值等于. 【解析】∵a2+3ab+b2=0,∴a2+b2=-3ab,∴原式===-3.【答案】-3【误区纠错】本题直接使用整体思想解题,将a2+b2视为一个整体未知数.名师点拨1.能区分等式各个性质的区别与联系.2.理解一元一次方程的有关概念,并解决一些简单问题.3.会利用代入法求一元一次方程的解.4.会利用定义判断一元二次方程,能利用配方法、公式法、因式分解法求一元二次方程的根.5.记住一元二次方程根的判别式,并能解决一些问题.6.理解一元二次方程根与系数的关系,并能解决一些问题.7.会根据等量关系列整式方程并求解.提分策略1.选择适当的方法求解一元二次方程.若方程中含有未知数的代数式是一个完全平方式,可选用直接开平方法;若不是,则把右边化为0且方程左边分解因式,则选用因式分解法;若不能分解因式或难以分解因式时,则选用公式法.配方法一般很少选用,但求根公式是由配方法推导的,且以后学习中还常用到,故必须掌握这种重要的数学方法.【例1】解方程:3x(x-2)=2(2-x).【解析】先移项,然后提取公因式(x-2),对等式的左边进行因式分解.【答案】由原方程,得(3x+2)(x-2)=0,所以3x+2=0或x-2=0.解得x1=-,x2=2.2.配方法在二次三项式中的应用.在二次三项式中运用配方法与一元二次方程的配方类似,但也有不同:(1)化二次项系数为1,当二次项系数不为1时,可提取二次项系数,但不能像解方程那样除以二次项系数(因为二次三项式配方是恒等变形,而配方法解一元二次方程是同解变形).(2)加上一次项系数一半的平方,使其中的三项成为完全平方式,但又要使此二次三项式的值不变,故在加的同时,还要减去一次项系数一半的平方.(3)配方后将原二次三项式化为a(x+m)2+n的形式.【例2】阅读材料:把形如ax2+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写,即a2±2ab+b2=(a±b)2.例如:(x-1)2+3,(x-2)2+2x,+x2是x2-2x+4的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项).请根据阅读材料解决下列问题:(1)比照上面的例子,写出x2-4x+2三种不同形式的配方;(2)将a2+ab+b2配方(至少两种形式);(3)已知a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0,求a+b+c的值.【答案】(1)x2-4x+2=(x-2)2-2;x2-4x+2=(x-)2+(2-4)x;x2-4x+2=(x-)2-x2.(2)a2+ab+b2=(a+b)2-ab=+b2.(3)a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=+(b-2)2+(c-1)2=0.从而a-b=0,b-2=0,c-1=0,即a=1,b=2,c=1.所以a+b+c=4.3.利用一次方程解决生活中的实际问题.解决问题需要从问题中挖掘相关信息,包含隐含条件,找到相关的已知量,构建相应的数学模型,灵活运用所学知识解决实际问题.【例3】如图,要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈,用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长AB,BC各为多少米?【解析】设AB的长度为x,则BC的长度为(100-4x)米;然后根据矩形的面积公式列出方程.【答案】设AB的长度为x,则BC的长度为(100-4x)米.根据题意,得(100-4x)x=400,解得x1=20,x2=5.则100-4x=20或100-4x=80.∵80>25,∴x2=5舍去.即AB=20,BC=20.故羊圈的边长AB,BC分别是20米、20米.专项训练一、选择题1. (2014·江苏泰州洋思中学)若5k+20<0,则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况是().A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 无法判断2. (2014·四川峨眉山二模)已知x1,x2是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个实数根,则+的最大值是().A. 19B. 18C. 15D. 133. (2014·湖北襄阳模拟)已知关于x的方程kx2+(1-k)x-1=0,下列说法正确的是().A. 当k=0时,方程无解B. 当k=-1时,方程有两个相等的实数解C. 当k=1时,方程有一个实数解D. 当k≠0时,方程总有两个不相等的实数解4. (2013·湖北荆州模拟)若方程(k-1)x2-x+=0有两个实数根,则k的取值范围是().A. k≥1B. k≤1C. k>1D. k<15.(2013·安徽芜湖一模)芜湖市对城区主干道进行绿化,计划把某一段公路的一侧全部栽上树,要求路的两端各栽一棵,并且每两棵树的间隔相等.若每隔5米栽1棵,则树苗缺21棵;若每隔6米栽1棵,则树苗正好用完.设原有树苗x棵,则根据题意列出方程正确的是().A. 5(x+21-1)=6(x-1)B. 5(x+21)=6(x-1)C. 5(x+21-1)=6xD. 5(x+21)=6x二、填空题6.(2014·北京顺义区模拟)如果关于x的方程x2-mx+2=0有两个相等的实数根,那么m的值为.7. (2014·江苏南京溧水区二模)方程(x-2)2-2(x-2)=0的解为.8. (2013·吉林镇赉县一模)若x=1是方程x2+x+n=0的一个解,则方程的另一个解是.9. (2013·湖北荆州模拟)已知关于x的一元二次方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是.三、解答题10. (2014·安徽安庆二模)为了满足铁路交通的快速发展,安庆火车站从去年开始启动了扩建工程.其中某项工程,甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月,并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍,求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月?11. (2014·北京顺义区模拟)已知关于x的一元二次方程mx2+4x+4-m=0.(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若m为整数,当此方程有两个互不相等的负整数根时,求m的值.12. (2013·河南沁阳第一次质量检测)某特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克,后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售量可增加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元,请回答:(1)每千克核桃应降价多少元?(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢利市场,该店应按原售价的几折出售?参考答案与解析1. A[解析]由5k+20<0,得k<-4,则Δ=16+4k<0.2. B[解析]由题意,得(k-2)2-4(k2+3k+5)≥0,解得-4≤k≤-.因为x1+x2=k-2,x1x2=k2+3k+5,所以+=(x1+x2)2=(k-2)2-2(k2+3k+5)=-k2-10k-6=-(k+5)2+19.所以当k=-4时,+取得最大值为18.3. B[解析]Δ=(k+1)2,当k=0时,方程有解;当k=1时,方程有两个不等的实数解;当k≠0时,如果k=-1,那么方程有两个相等的实数解.4. D[解析]当k=1时,原方程不成立,故k≠1.∴方程(k-1)x2-x+=0为一元二次方程.又此方程有两个实数根,∴b2-4ac=(-)2-4×(k-1)×=1-k-(k-1)=2-2k≥0,解得k≤1.∵k≠1,∴k<1.综上,k的取值范围是k<1.5. A[解析]设原有树苗x棵,根据首、尾两端均栽上树,每间隔5米栽一棵,则缺少21棵,可知这一段公路长为5(x+21-1);若每隔6米栽1棵,则树苗正好用完,可知这一段公路长又可以表示为6(x-1),根据公路的长度不变列出方程即可.6.±2[解析]根据Δ=m2-8=0求解.7.x1=2,x2=4[解析]将(x-2)作为公因式提取.8.-2[解析]把x=1代人方程得n=-2,再解方程x2+x-2=0.9.k>且k≠2[解析]由题意,得(2k+1)2-4(k-2)2>0,且k-2≠0,求解即可.10.设甲队单独完成这项工程需要x个月,则乙队单独完成这项工程需要(x-5)个月, 由题意,得x(x-5)=6(x+x-5),解得x1=2(舍去),x2=15.故甲队单独完成这项工程需要15个月,乙队单独完成这项工程需要10个月.11. (1)∵Δ=42-4m(4-m)=4(m-2)2≥0,∴方程总有两个实数根.(2)∵x==,∴x1==,x2==-1.∵方程有两个互不相等的负整数根,∴<0.∴或∴0<m<4.∵m为整数,∴m=1或2或3.当m=1时,x1==-3≠x2,符合题意;当m=2时,x1==-1=x2,不符合题意;当m=3时,x1==-≠x2,但不是整数,不符合题意.∴m=1.12. (1)设每千克核桃应降价x元.由题意,得(60-x-40)=2 240.化简,得x2-10x+24=0,解得x1=4,x2=6.故每千克核桃应降价4元或6元.(2)由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元.因为要尽可能让利于顾客,所以每千克核桃应降价6元.此时,售价为60-6=54(元),×100%=90%.故该店应按原售价的九折出售.。
解整式方程
解整式方程一、定义与概念1.1 整式方程：含有一个或多个未知数的整式相等的关系式。
1.2 一次方程：未知数的最高次数为1的整式方程。
1.3 二次方程：未知数的最高次数为2的整式方程。
1.4 系数：方程中未知数前的数值。
1.5 常数项：方程中不含未知数的常数。
二、解一次方程2.1 线性方程：形式为ax + b = 0的方程。
2.2 解的定义：使方程成立的未知数的值。
2.3 求解步骤：(1)移项，将未知数移至方程的一边，常数项移至方程的另一边；(2)合并同类项，化简方程；(3)化系数为1，得到未知数的解。
三、解二次方程3.1 标准形式：ax^2 + bx + c = 0。
3.2 判别式：Δ = b^2 - 4ac。
3.3 求解步骤：(1)判断判别式的值：- Δ > 0：方程有两个不相等的实数解；- Δ = 0：方程有两个相等的实数解；- Δ < 0：方程无实数解。
(2)根据判别式的值，求解方程：- Δ > 0：x1 = (-b + √Δ) / (2a)，x2 = (-b - √Δ) / (2a)；- Δ = 0：x1 = x2 = -b / (2a)；- Δ < 0：方程无实数解。
4.1 因式分解法：将方程化为几个整式的积的形式，然后令每个整式等于0，求解未知数。
4.2 换元法：设未知数为另一个未知数的函数，将方程转化为关于新未知数的方程，再求解。
4.3 公式法：利用求根公式解二次方程。
五、注意事项5.1 解方程过程中，要注意保持等式的平衡，避免漏项、漏字母等错误。
5.2 在求解过程中，要熟记公式，特别是二次方程的求根公式。
5.3 解方程时要耐心，细心，防止出现低级错误。
通过本节学习，我们了解了整式方程的定义与概念，掌握了解一次方程和二次方程的方法，以及解整式方程的策略。
这些知识对于解决实际问题具有重要的意义，希望同学们能够认真掌握，并在实践中不断运用和提高。
习题及方法：1.习题一：解一次方程 3x - 7 = 11答案：x = 5解题思路：将常数项移至等式右边，未知数移至等式左边，然后合并同类项，最后化系数为1得到解。
中考数学(北京) §2.1 整式方程(组)
(2)由求根公式,得x= [(k 3)] (k 1) , 2
∴x1=2,x2=k+1. ∵方程有一个根小于1,∴k+1<1,∴k<0, 即k的取值范围是k<0.
7.(2016北京,20,5分)关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-1=0有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围; (2)写出一个满足条件的m的值,并求此时方程的根.
∵a+b-2c=6,∴6k+5k-8k=6.解得k=2.∴a=6k=12.
6.(2018黑龙江齐齐哈尔,15,3分)爸爸沿街匀速行走,发现每隔7分钟从背后驶过一辆103路公交车,每隔5分
钟迎面驶来一辆103路公交车.假设每辆103路公交车行驶速度相同,而且103路公交车总站每隔固定时间发
一辆车,那么103设小王和小张实际乘车时间分别为x分钟和y分钟. (1)由题意知1.8×6+0.3x=1.8×8.5+0.3y+(8.5-7)×0.8, ∴x-y=19, ∵小王和小张的实际乘车时间即为两辆滴滴快车实际行车时间, ∴这两辆滴滴快车的实际行车时间相差19分钟. (2)由(1)知,小张实际乘车的时间短,
.
答案
x y 3 4x 5y 435
解析 由4个篮球和5个足球共花费435元,可得4x+5y=435.由篮球的单价比足球的单价多3元,可得x=y+3.故
可列方程组为
x y 3, 4x 5y
435.
3.(2015北京,14,3分)关于x的一元二次方程ax2+bx+ 1 =0有两个相等的实数根,写出一组满足条件的实数a,b 4
中考数学黄金知识点系列专题06整式方程组及应用
wenjianwenjian 1 专题06 整式方程（组）及应用 聚焦考点☆温习理解 一、一元一次方程de 概念1、方程含有未知数de 等式叫做方程。
2、方程de 解能使方程两边相等de 未知数de 值叫做方程de 解。
3、等式de 性质（1）等式de 两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
（2）等式de 两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。
4、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数de 最高次数是1de 整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程de 标准形式，a 是未知数xde 系数，b 是常数项。
二.一元二次方程1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数de 最高次数是2de 整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程de 一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，它de 特征是：等式左边十一个关于未知数xde 二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
三、一元二次方程de 解法1、直接开平方法利用平方根de 定义直接开平方求一元二次方程de 解de 方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(de 一元二次方程。
根据平方根de 定义可知，a x +是bde 平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法配方法是一种重要de 数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学de 其他领域也有着广泛de 应用。
配方法de 理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中dea 看做未知数x ，。
整式方程
【例1】 若3是关于(4/3)x2-2a+1=0
的一个解，则2a的值是
(C )
A.11
B.12
C.13 D.14
【例2】 (1)若2(y+3)的值与3(1-y)的值互为相反数，那
么y等于
(D )
A.-8
B.8
C.-9 D.9
(2)若方程y2-3y+m=0的一个根是1，则它的另一个根是
2或1 ，m的值是 2
2a
④因式分解法.
➢ 课前热身
1. 如果代数式4y2-2y+5的值为7， 那么代数式2y2-y+1的值等于
A.2 B.3 C.-2 D.4
(A )
2. 若a的值使得x2+4x+a=(x+2)2-1
成立，则a的值为
( C)
A.5
B.4 C.3
D.2
3.已知m是方程x2-x-2方法得：m2-6m+9=616+9 (m-3)2=625m-3=±25 m１=28,m2=-22.
➢ 典型例题解析
【例4】 若实数x满足条件： (x２+4x-5)2+｜x２-x-30｜=0，求 ( x 2 ) 2 ( x 1 ) 2 的值.
解：根据题意得 x２+4x-5＝0，且x２-x-30=0
式法，配方法一般不用.
➢ 课时训练
1. 已知一元二次方程x2-2x=0，它的
解是
( D)
A.0 B.2 C.0，-2 D.0，2
2. 一元二次方程x2+x-1=0的根是.
x 1 5 2
3. 方程(x+1)2=9的解是 ( )
C
A.x=2
第7讲 整式方程
三.知识要点
Hale Waihona Puke ④一元二次方程的根的判别式： b2 4ac
A. 0 方程有两个不相等的实数根：
B.
x1,2
b b2 4ac b2 4ac 0
方程有2a两个相等的实数根：
0
C.
方x程1 无x2实 数2ba根.
0
三.知识要点
⑤一元二次方程根与系数的关系(补充内容）：
即若 ，则 等式其a它 b性质：a若m bm
或
a b n 0 .
，n n ，
则
（传递性a ）b． b c
③等式a 的 b基本性质是等式变形和解方程的根 据.
三.知识要点
2.方程的有关概念： ①方程的概念：含有未知数的等式叫做方程. ②方程的解：使方程左右两边的值相等的未 知数的值叫做方程的解(只含有—个未知数的 方程的解，也叫做根)． ③解方程：求方程解的过程叫解方程.
第七讲 整式方程
一.课标链接
整式方程 方程是初中数学的重点内容之一，是对代
数知识应用的深入提高，是展示学生数学学习 能力的一个重要方面.理解掌握一元一次方程、 一元二次方程的概念及其解法以及综合应用是 中考考察的一项重要内容.题型有填空、选择 与解答题，其中以综合解答题居多.
二.复习目标
1.理解掌握方程、方程的解的概念以及方程的 分类，理解一元一次方程、一元二次方程及整 式方程的概念，会判断一元一次方程和一元二 次方程. 2.理解掌握等式的基本性质，能利用等式的基 本性质进行方程的变形，掌握解一元一次方程 的一般步骤，能熟练地解数字系数的一元一次 方程.
A.若
x1
、
x
2
是关于 x 的一元二次方程
中考数学历年各地市真题 整式及整式方程
中考数学历年各地市真题整式与整式方程4．（济宁市）把代数式 322363x x y xy -+分解因式，结果正确的是 A ．(3)(3)x x y x y +- B ．223(2)x x xy y -+C ．2(3)x x y -D ．23()x x y - 6．（济宁市）若0)3(12=++-+y y x ，则y x -的值为A ．1B ．－1C ．7D ．－712．（济宁市）若代数式26x x b -+可化为2()1x a --，则b a -的值是 ． 9．（青岛市）= ． 11.（青岛市）（1）解方程组：34194x y x y +=⎧⎨-=⎩7．（南通市）关于x 的方程12mx x -=的解为正实数，则m 的取值范围是A ．m ≥2B ．m ≤2C ．m ＞2D ．m ＜213．（南通市）分解因式：2ax ax -＝ ▲ ． 12．（盐城市）因式分解：=-a a 422▲5．（盐城市）下列说法或运算正确的是 A ．1.0×102有3个有效数字 B ．222)(b a b a -=-C ．532a a a =+D ．a 10÷a 4= a 610．（盐城市）使2-x 有意义的x 的取值范围是 ▲ ．15．（连云港市）若关于x 的方程x 2－mx ＋3＝0有实数根，则m 的值可以为___________．(任意给出一个符合条件的值即可) 2．（泰州市）下列运算正确的是（ ）A.623a a a =∙ B. 632)(a a -=- C. 33)(ab ab = D.428a a a =÷ 8．（泰州市）已知m m Q m P 158,11572-=-=（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为( )A.Q P >B. Q P =C. Q P <D.不能确定 19. （泰州市）（8分）计算(1)12)21(30tan 3)21(001+-+---OABC第10题图·16．（淮安市）小明根据方程5x+2=6x-8编写了一道应用题．请你把空缺的部分补充完整． 某手工小组计划教师节前做一批手工品赠给老师，如果每人做5个，那么就比计划少2个； ．请问手工小组有几人?(设手工小组有x 人) 2．（连云港市）下列计算正确的是（ ）A ．a ＋a ＝x 2B ．a 〃a 2＝a 2C ．(a 2) 3＝a 5D ．a 2 (a ＋1)＝a 3＋1 2．（淮安市）计算32a a ⋅的结果是A ．a 6B ．a 5C ．2a 3D ．a 2.（常德市）分解因式：269___________.x x ++=3.（常德市）______.=4.（常德市）方程2560x x --=的两根为（ ）A 。
第4讲 整式方程和分式方程(讲义)解析版
第4讲 整式方程和分式方程模块一：整式方程 知识精讲1、 如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程，关于x 的一元n 次二项方程的一般形式为:0(00n ax b a b n +=≠≠，，是正整数)．n 为奇数时，方程有且只有一个实数根；n 为偶数时，若0ab <，方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；若0ab >，那么方程没有实数根．2．一般地，只含有偶数次项的一元四次方程，叫做双二次方程．关于x 的双二次方程的一般形式为420ax bx c ++=（0a ≠，0b ≠，0c ≠）．3．了解关于x 的双二次方程420ax bx c ++=（0a ≠，0b ≠，0c ≠），可以用新未知数y 代替方程中的2x ，同时用2y 代替4x ，将这个方程转化为关于y 的一元二次方程．20ay by c ++=这种解方程的方法是换元法．4．整式方程和分式方程统称为有理方程．例题解析例1.下列关于x 的方程中，为一元整式方程的是（）A ．343x y -=B ．24x -C ．322x x =- D ．22350x x --=【难度】★ 【答案】D【解析】含有一个未知数，且各项均为整式的方程，称为一元整式方程．【总结】考察一元整式方程的概念．例2.判断下列关于x 的方程，哪些是一元整式方程，并指出这些整式方程分别是一元几次方程?① 23270x a x +-=； 32140(0)x x a b a b+-=+≠+； ③13(0)1x x x +=≠-；④； ⑤213502m xm x ⋅+-=-；35270(1)1x x x b b +--=≠-． 【难度】★【答案】 ①、②、⑥都是整式方程；①是一元二次方程；②是一元三次方程；⑥是一元五次方 程．【解析】“元”表示未知数的个数，“次”表示未知数的最高次数，各项都是整式的方程是整式方程；【总结】考察一元整式方程的概念． 例3（松江2018期中6）二项方程511602x -=的实数根是 . 【答案】2x =；【解析】由二项方程511602x -=得532x =，所以2x ==. 例4（崇明2018期中12）关于x 的方程21a x x +=的解是 .【答案】211x a =+； 【解析】由21a x x +=得2(1)1a x +=，因为210a +≠，故211x a =+. 例5 （杨浦2019期中11）关于x 的方程：2210x kx +-=是二项方程，k= .【答案】0；【解析】如果关于x 的方程2210x kx +-=是二项方程，那么0k =.例6（静安2018期末10）如果关于x 的方程bx 2＝2有实数解，那么b 的取值范围是 ．【答案】b ＞0；【解答】解：根据题意得b ≠0，22x b =，当20b>时，方程有实数解，所以b ＞0． 例7.（1）若关于x 的方程62ax x +=的解为2，则a =__________；（2）若方程2250x kx --=的一个根是1-，则k =__________． 【难度】★【答案】（1）1a =-（2）3k =【解析】（1）把2x =代入62ax x +=，得：2641a a +=∴=-，； （2）把1x =-代入2250x kx --=，得：2503k k +-=∴=，． 【总结】考察对方程的解的概念的理解及应用．例8.若关于x 的二项方程420x m +=没有实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．0m ≤；B ．0m <；C ．0m ≥；D ．0m >；【难度】★ 【答案】D【解析】因为42x m =-，所以412x m =-，若方程没有实数根，则0m >．【总结】考察二项偶次方程有解的情况．例9.关于x 的方程2410mx x --=实数根的情况是（ ） A ．1个B ．2个C ．1个或2个D ．不确定【难度】★★ 【答案】D【解析】当0m =时，方程化为14104x x +==-，，只有一个解；当0m ≠时，方程为一元二次方程，160m =+≥，即16m ≥-且0m ≠时，方程有两个实数根，160m =+<， 即16m <-时，方程没有实数根；综上所述，方程实数根的情况不能确定．【总结】考察对含字母系数的一元整式方程根的分类讨论． 例10.如果m ．n 为常数，关于x 的方程2(2)32x kmkx n -+-=，无论k 为何值，方程的解总是12，则m =___________，n =____________． 【难度】★★ 【答案】13216m n ==，． 【解析】将方程整理得：()4168k x km n -=--，把12x =代入得：()141682k km n -=--，整理得：()13282m k n -=-，若k 为任意实数，则13216m n ==，． 【总结】考察含字母的系数的整式方程解的讨论及综合应用． 例11.解下列方程：（1）42416x x =；（2）4220x x +-=； （3）222(231)22331x x x x -+=-+；（4）22(1)1x x x +--=．【难度】★★【答案】（1）； （2）1211x x =-=，；（3）1234330322x x x x ====-，，，； （4）12342210x x x x =-==-=，，，．【解析】解：（1）由42416x x =，得：4240x x -=，即()()2220x x x +-=，解得原方程的解为：；（2）由4220x x +-=，得：，即， 解得原方程的解为：1211x x =-=，；（3）由222(231)22331x x x x -+=-+，得：()()()222223223111231x x x x x x -+-+=-+，即，分解因式，得：()()()233230x x x x --+=，解得原方程的解为：1234330322x x x x ====-，，，；（4）因为22(1)1x x x +--=，所以分以下情况讨论：①当20x +=时，解得：12x =-；②当211x x --=时，解得：2321x x ==-，；③当211x x --=-时，解得：4501x x ==，， 当211x x --=-时，2x +应为偶数，1x ∴=舍去， 故原方程的解为：12342210x x x x =-==-=，，，．【总结】本题主要考察一元高次方程的解法，第（4）问注意要从多个角度进行分类讨论． 例12.解下列方程：（1）； （2）2(2)31a x a x --=+． 【难度】★★【答案】（1）当2a ≠±时，12x a =+，当2a =时，x 为一切实数，当2a =-时，方程无解；（2）当1a =-时，x 为一切实数，当1a =时，方程无解， 当1a ≠±时，，211a x a +=-． 【解析】解：（1）由，得：()242a x a -=-，故当240a -≠时，即2a ≠±，12x a =+；当240a -=时，（1）2a =：00x =，x 为一切实数；（2）2a =-：04x =-，方程无解；综上所述：当2a ≠±时，2x a =+；当2a =时，x 为一切实数；当2a =-，方程无解； （2）由2(2)31a x a x --=+，得：，即，当1a =-时，00x =，x 为一切实数； 当1a =时，06x =，方程无解； 当1a ≠±时，，211a x a +=-． 【总结】考察含字母系数的整式方程的求解，注意进行分类讨论． 例13.解下列方程：（1）222(2)0x x --=；（2）；（3）． 【难度】★★【答案】（1）12342121x x x x =-===-，，，；（2）；（3）．【解析】解：（1）由222(2)0x x --=，得：，即，故原方程的解为：12342121x x x x =-===-，，，； （2）由，得：，2350x x ∴+-=或2370x x ++=，当2350x x +-=，12x x ==当2370x x ++=，0<，方程无解． 所以原方程的解为：；（3）由， 得：，即()()22545610x x x x +++++=，所以， 即2550x x ++=， 解得原方程的解为：．【总结】考察整式方程的解法，注意因式分解的准确运用．例14.关于x 的方程43mx x n +=-，分别求m 、n 为何值时，原方程：（1）有唯一解； （2）有无数多解； （3）无解． 【难度】★★★【答案】（1）3m ≠，n 为任意实数，有唯一解； （2）3m =，4n =-，有无数多解； （3）3m =，4n ≠-，方程无解．【解析】解：43mx x n +=-，整理得：()34m x n -=+，（1）当30m -≠时，即3m ≠，n 为任意实数，43nx m+=-，即有唯一解； （2）当30m -=，40n +=时，即3m =，4n =-，00x =，x 为一切实数，即有无数多解；（3）当30m -=，40n +≠时，即3m =，4n ≠-，04x n =+，方程无解． 【总结】考察整式方程含字母系数的方程求解的分类讨论． 例15.解下列方程：（1）（0a b <<）；（2）24433()0abx a b x a b -++=（0ab ≠）． 【难度】★★★【答案】（1）x =（2）．【解析】（1）因为，所以2222b bx ax a -=+， 即2222ax bx b a +=-，则，因为0a b <<，所以0a b +≠，0b a ->，所以原方程的解为：x =（2）因为24433()0abx a b x a b -++=（0ab ≠），所以，则30ax b -=或30bx a -=，3ax b =或3bx a =，0ab ≠，00a b ≠≠，，原方程的解为：．【总结】考察含字母系数的方程的分类讨论，注意考虑未知数系数是否为零．例16.已知a 是正整数，且使得关于x 的一元二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根，求a 的值． 【难度】★★★【答案】a 的值为13610，，，． 【解析】（1）将原方程变形为，显然20x +≠，即2x ≠-．()()2262x a x +∴=+，a 是正整数，1a ∴≥，即，()()228042042x x x x x ∴+-≤+-≤∴-≤<，即，．方程至少有一个整数根，当x 可取431012---，，，，，时，故对应的a 的值为141610319，，，，，，a 是正整数，a ∴的值为13610，，，． 【总结】考察在一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数求解，题目比较典型，难度较大．模块二：分式方程 知识精讲分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根．例题解析例1.（静安2019期末1）下列方程中，是分式方程的为（ ）A.12x -=1=； C.10x -=；1=. 【答案】C ；【解析】A 、分母中不含未知数，故A 不是分式方程；B 而不是有理式，故B 不是分式方程；C 、分母中含未知数的有理方程，因此C 是分式方程；D 、左边是无理式，故D 不是分式方程；因此答案选C.例2.（浦东一署2018期中4）用换元法解方程组时，如设，则将原方程组可化为关于u 和v 的整式方程组（ ）A.B. C. D.【答案】B【解析】解：用换元法解方程组时，如设，则将原方程组可化为关于u 和v 的整式方程组为，故选：B ．例3.（金山2018期中13）分式23x x -和33xx-的值相等，那么x= .【答案】03x =-或；【解析】依题得：2333x xx x=--，转化为整式方程得：230x x +=，解得03x =-或. 经检验03x =-或都是原方程的根，故03x =-或. 例4.（静安2019期末10）方程的根是 . 【答案】1x =；【解析】解：去分母，得21x =，所以1x =±，经检验1x =-是增根，故原方程的解是1x =. 例5. （黄浦2018期中10）方程的增根是______. 【答案】x=3【解析】解：两边都乘以x-3，得：x=2（x-3）+3， 解得：x=3， 检验：当x=3时，x-3=0， 所以x=3是原分式方程的增根， 故答案为：x=3．例6.（嘉定2019期末12）如果2x =是关于x 的方程的增根，那么实数k 的值为 . 【答案】4；【解析】去分母得224x k x +=+-，将2x =代入得4k =.例7.（金山2018期中10）用换元法解分式方程时，如果设2x y x-=，那么原方程可化为关于y 的整式方程是 . 【答案】230y y --=；【解析】因为2x y x -=，则分式方程2312x xx x --=-可化为：31y y-=，转化为整式方程为：230y y --=.例8．（浦东四署2018期中12）用换元法解方程0213122=+---x x x x ，并设21x y x -=，那么原方程可化为关于y 的整式方程是 ． 【答案】2230y y +-=；【解析】因为21x y x -=，所以原方程可化为320y y -+=，得2230y y +-=.例9. （松江2019期中15）用换元法解方程221231x x x x -+=-时，如果设21x y x -=时，则原方程可以化成关于y 的整式方程是_______________. 【答案】y ²-3y+2=0【解析】解：∵221231x x x x -+=-，21x y x -=，23y y∴+=，去分母得：y ²-3y+2=0. 故答案为：y ²-3y+2=0.例10．（青浦2018期末12）已知方程，如果设21xy x =+，那么原方程可以变形为关于y 的整式方程为 ． 【答案】23310y y +-=；【解析】解：方程221131x xx x +-=+，因为21x y x =+，所以，两边都乘以3y ，得23310y y +-=. 故答案为：23310y y +-=.例11．（闵行2018期末10）已知方程，如果设21xy x =+，那么原方程可以变形为关于y 的整式方程是 ． 【答案】23610y y +-=；【解析】解：设21xy x =+，原方程变形为：123y y-=，化为整式方程为：23610y y +-=. 例12.（静安2019期末11）已知方程，如果设，那么原方程可以变形成关于y 的方程为 . 【答案】2230yy --=；【解析】由2311x y x -=+，原方程可化为：32y y-=，所以2230y y --=. 例13.（松江2018期中19）解方程：2232(1)mx x m -=+≠【答案】当1m <时，原方程无实数解； 当1m >时，所以x =【解析】解：移项，得：2223mx x -=+，化简得：2(1)5m x -=，2511m x m ≠∴=-. 当10m -<时，2501x m =<-，所以原方程无实数解； 当10m ->时，2501x m =>-，所以1x ==，2x = 故当1m <时，原方程无实数解； 当1m >时，所以x =例14．（静安2018期末21）解方程：. 【答案】x 1＝2，x 2＝﹣1；【解答】解：原方程化为，方程两边都乘以（x +3）（x ﹣1）得：x ﹣1﹣（x +3）（x ﹣1）＝﹣2x ，x 2﹣x ﹣2＝0，解得：x ＝2或﹣1，检验：当x ＝2时，（x +3）（x ﹣1）≠0，所以x ＝2是原方程的解，当x ＝﹣1时，（x +3）（x ﹣1）≠0，所以x ＝﹣1是原方程的解，所以原方程的解为：x 1＝2，x 2＝﹣1． 例15.（崇明2018期中21）2(1)11x x x x--=-. 【答案】1212,2x x ==； 【解析】解：方程两边同乘以(1)x x -，得222(1)(1)x x x x --=-，整理得：22520x x --=，解此方程得：1212,2x x ==，经检验：1212,2x x ==都是原方程的根；所以原方程的根是1212,2x x ==.（也可用换元法求解，设1xy x =-） 例16. （浦东2018期末19）解方程：． 【答案】x =9；【解析】解：去分母得：7x =x -6+2（x -6）（x +1），整理得：x 2-8x -9=0，解得：x 1=9，x 2=-1，经检验x =9是分式方程的解，x =-1是增根，则原方程的解为x =9． 例17.（松江2018期中22）解方程：. 【答案】1335x x =-=-或； 【解析】解：设21xy x =+，则原方程变形为2230y y --=. 解之得121,3y y =-=， 132121x x x x ∴=-=++或，解得1335x x =-=-或，经检验：1335x x =-=-或都是原方程的解. 所以原方程的解是1335x x =-=-或.例18.解下列分式方程：（1）；（2）．【难度】★★【答案】（1）12012x x ==-，；（2）无解． 【解析】（1）由，得：，即()()222314352x x x x x +++-=--， 解得：12012x x ==-，，经检验：12012x x ==-，是原方程的解，所以原方程的解为12012x x ==-，；（2）由，得：()()1111331x x x -=--，即()31x x x --=，解得：1x =， 经检验：1x =为原方程的增根，所以原方程无解．【总结】考察分式方程的解法，注意要检验．例19.解下列分式方程：（1）；（2）．【难度】★★【答案】（1）； （2）． 【解析】（1）设，则，解得：，1112x y x y⎧=⎪+⎪∴⎨⎪=⎪-⎩，112x y x y +=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩，3414x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩ 经检验：是原方程组的解， 原方程的解为；（2）设，则， 解得：，1161112x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，， 经检验：是原方程组的解， 所以原方程的解为：．【总结】考察利用换元法解分式方程组，注意进行检验． 例20.若方程有增根，求b 的值． 【难度】★★【答案】1b =±或2b =-【解析】，去分母得()2221210x b x b -++-=，方程有增根，（1）把增根0x =代入整式方程得：210b -=，1b ∴=±；（2）把增根2x =代入整式方程，得：2470b b +-=，2b ∴=-综上所述，1b =±或2b =-【总结】考察已知增根，如何求解分式方程中的字母．先将分式方程化成整式方程，再代入增根求得字母的值． 例21.解方程：34xx x x-= 【难度】★★★ 【答案】4x =． 【解析】当0x >时，43x x-=，去分母，得：()()2340410x x x x --=-+=，， 1241x x ∴==-，，0x >，1x ∴=-舍去，4x ∴=，经检验4x =是原方程的解；当0x <时，43x x+=，去分母，得，方程无解． 综上所述，原方程的解为4x =．【总结】考察含绝对值的分式方程的解法，注意进行分类讨论． 例22.解方程：（1）；（2）．【难度】★★★ 【答案】（1）132x =-；（2）12403x x ==，． 【解析】（1）由，得，即()()()()115678x x x x =++++，所以，去括号，得：2211301556x x x x ++=++，即426x =，解得：132x =-， 经检验：132x =-是原方程的解， 原方程的解为132x =-； （2）由，得， 即，，即()()()()()()2323322x x x x x x +----=+-，2340x x -=，解得：12403x x ==，，经检验：12403x x ==，是原方程的解， 原方程的解为12403x x ==，． 【总结】考察分式方程的解法，本题综合性较强，注意对方法的归纳总结． 例23.解下列方程：（1）； （2）； （3）． 【难度】★★★【答案】（1）12122x x ==，，343223x x ==，；（2）12211x x ==-，； （3），3481x x =-=，．【解析】（1）设1x a x+=，原方程可化为：21256650a a -+=， 即，解得：，当52a =时，即152x x +=，22520x x -+=，解得：12122x x ==，；当136a =时，即1136x x +=，261360x x -+=，解得：343223x x ==，；经检验：12122x x ==，，343223x x ==，是原方程的解， 原方程的解为12122x x ==，，343223x x ==，； （2）原方程变形为，整理得：，去分母得：29220x x +-=，解得：12211x x ==-，，经检验12211x x ==-，是原方程的根，原方程的解为12211x x ==-，；（3）令228x x y +-=，原方程可化为， 解得：9y x =或5y x =-，当9y x =时，2289x x x +-=，解得：1281x x ==-，；当5y x =-时，2285x x x +-=-，解得：3481x x =-=，；经检验1281x x ==-，，3481x x =-=，是原方程的解，原方程的解为1281x x ==-，，3481x x =-=，．【总结】考察利用换元法解分式方程，综合性较强，注意对方法的归纳总结． 例24.已知关于x 的方程有增根，求a 的值． 【难度】★★★【答案】32a =-或2a =-．【解析】由方程有增根可知，1x =或2x =，原方程去分母得：()2122x a x a -+-=+，当1x =时，221a +=-，解得：32a =-；当2x =时，解得：2a =-，综上所述：当32a =-或2a =-时，x 的方程有增根．【总结】考察分式方程的解，利用分式方程的增根是整式方程的解得出关于a 的一元一次方程，从而解得求出a 的值．例25.当a 取什么整数时，关于x 的方程2202(2)x x x a x x x x -+++=--只有一个实数根，并求此实数根． 【难度】★★★【答案】当4a =-时，方程只有一个实数根1x =；当8a =-时，方程只有一个实数根1x =-．【解析】原方程可化为，（1）若0x ≠且2x ≠，则22240x x a -++=，方程只有一个实数根，0∴=，即8280a =--=，72a ∴=-，但a 为整数，则应舍去；（2）若22240x x a -++=有一个根是0x =，则4a =-； 此时原方程为，去分母得2220x x -=，解得：1201x x ==，； 经检验0x =为增根，1x =是原方程的解， 4a ∴=-时，原方程只有一个根为1x =；（3）若22240x x a -++=有一个根是2x =，则8a =-； 此时原方程为()228022x x x x x x x --++=--， 去分母得，22240x x --=，解得：1221x x ==-，； 经检验2x =为增根，1x =-是原方程的解， 4a ∴=-时，原方程只有一个根为1x =-．综上所述：当4a =-时，方程只有一个实数根1x =； 当8a =-时，方程只有一个实数根1x =-．【总结】考察分式方程增根的综合应用，综合性较强，注意分类讨论． 例26.解已知关于x 的方程（1）求a 的取值范围，使得方程有实数根； （2）求a 的取值范围，使得方程恰有一个实数根；（3）若原方程的两个相异的实数根为12x x ，，且，求a 的值．【难度】★★★ 【答案】（1）5328a ≥-且1a ≠±（2）5328a =-或1a ≠±；（3）128103a a ∴=-=，．【解析】（1）当原方程为一元一次方程时，即210a -=，1a ∴=±，此时原方程有解；当原方程为一元二次方程时，此时2101a a -≠≠±，，设1xy x =-， 原方程可以化为，，即28530a +≥， 解得：5328a ≥-且1a ≠±， 综上所述：5328a ≥-； （2）同理可知：若方程有一个实数根，则1a =±；或0=，5328a ∴=-； （3）令12121211x x y y x x ==--，，则12311y y +=，即， 2227733a a ∴+=-，2322800a a ∴--=，128103a a =-=解得：，．【总结】考察分式方程与整式方程之间的转化即求解情况的讨论．随堂检测1.在方程：①，②213014000x x +-=，③3132x x +=， ④中，是分式方程的有（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④【难度】★【答案】D【解析】分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 【总结】考察分式方程的定义． 2.下列方程中，有实数根的是（）A ．220x x -+=B ．410x -=C ．40n x +=D ．【难度】★ 【答案】B【解析】.0A <，无解；4.11B x x ==±，；.C n 为偶数时无解，n 为奇数时有解； .1D x =为增根，方程无解．【总结】考察方程有无实数根的分类讨论． 3.下列方程中，不是二项方程的为（ ）A ．51x =；B ．6x x =C ．31309x += D ．4160x +=【难度】★ 【答案】B【解析】如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程．关于x 的一元n 次二项方程的一般形式为：0(00n ax b a b n +=≠≠，，是正整数)【总结】考察二项方程的定义．4.（1）若分式的值为0，则x 的值等于__________； （2）若分式无意义，当时，则m =__________． 【难度】★【答案】（1）2；（2）37m =．【解析】（1）由， 得：，2x ∴=；（2）若分式无意义，10x ∴-=，即1x =；， 去分母，得730m -=，解得：37m =． 【总结】考察分式值为零和分式无意义的解法． 5.（1）用换元法解方程222212x x x x-+=-时，如设，则将原方程化为关于y 的整式方程是___________；（2）若关于x 的方程无解，则m =__________． 【难度】★【答案】（1）2210y y --=；（2）2m =-．【解析】（1）原方程可转化为()2212212x x x x⋅--=-，212y x x=-， 方程转化为分式方程为1210y y--=，去分母化为整式方程为：2210y y --=； （2）方程去分母得：23x m =--，若方程无解，则3x =，代入整式方程得2m =-． 【总结】考察分式方程去分母转化整式方程及对方程无解的理解及运用． 6.解下列方程：（1）3(2)80x ++=；（2）．【难度】★★【答案】（1）4x =-；（2）．【解析】（1）由3(2)80x ++=，得：()328x +=-，解得：4x =-； （2）由，得：，解得：． 【总结】考察高次方程的解法，注意偶次方根有两个． 7.解下列方程：（1）3244160x x x --+=；（2）；（3）4322914920x x x x -+-+=． 【难度】★★【答案】（1）；（2）125233x x =-=-，；（3）12341122x x x x ====，，． 【解析】（1）由3244160x x x --+=，得：()()24440x x x ---=，即，解得原方程的解为：；（2）由，得：，所以()26790x +-=，即673x +=±，故原方程的解为：125233x x =-=-，；（3）原方程可变形为：， 即， 所以，， ， 即，解得原方程的解为12341122x x x x ====，，． 【总结】本题主要考查一元高次方程的解法，注意通过因式分解进行降次，从而求出方程的解，综合性较强，解题时注意分析． 8.解下列方程： （1）；（2）2(3)40m y y -+=．【难度】★★【答案】（1）x a b =+；（2）1240(3)3y y m m==≠-，此时．【解析】（1）原方程可变形为：， a b ≠，0a b ∴-≠，()()a b a b x a b+-∴=-，x a b ∴=+；（2）原方程可变形为：，当30m -=，即3m =时，40y =，0y ∴=； 当30m -≠，即3m ≠时，12403y y m==-，， 综上所述：1240(3)3y y m m ==≠-，此时【总结】考察含字母系数的整式方程的求解，注意需要分类讨论． 9.解下列分式方程： （1）；（2）；（3）； （4）． 【难度】★★【答案】（1）；（2）1y =-；（3）12233x x =-=，；（4）12912x x ==-，．【解析】（1）去分母，得：，化简，得：，2324280x x +-=， 解得：，经检验：是原方程的解， 所以原方程的解为；（2）去分母，得：2244y y +-=-，即()()210y y -+=， 解得：1221y y ==-，，经检验：12y =是原方程的增根，舍去， 所以原方程的解为：1y =-；（3）去分母，得：()()()()232312326x x x x ++-=-+--，即23760x x +-=，解得：12233x x =-=，，经检验：12233x x =-=，是原方程的解，所以原方程的解为：12233x x =-=，；（4）原方程变形为：， 即，去分母得： 所以，即 ，解得：12912x x ==-，经检验：12912x x ==-，是原方程的解，原方程的解为12912x x ==-，．【总结】本题主要考查分式方程的求解，注意先去分母再计算，解完后注意要验根． 10.当a 为何值时，方程有增根． 【难度】★★ 【答案】1a =．【解析】原方程去分母得：()223x x a -=-+，方程有增根，3x ∴=， 代入整式方程得：1a =，当1a =时，方程有增根．【总结】考察已知方程有增根，如何求解方程中的字母参数；先将分式方程转化整式方程，再代入增根求解字母的值． 11.解下列分式方程：（1）1111x a x a +=+--（a 为已知数）； （2）； （3）．【难度】★★★【答案】（1）121a x a x a ==-，；（2）；（3）92x =-． 【解析】（1）原方程变形为：()()111111x a x a -+=-+--， 11x a ∴-=-或111x a -=-，解得：121a x a x a ==-，， 经检验：121ax a x a ==-，是原方程组的解， 原方程组的解为121ax a x a ==-，； （2）设x y a x y b +=-=，，则方程组变形为， 由，得：225a =--，解得：4a =， 将4a =代入()1得：0b =，40x y x y +=⎧∴⎨-=⎩，解得：经检验：是原方程组的解， 原方程组的解为； （3）原方程可化为，则， 即， 去分母，得：，解得：92x =-，经检验92x =-是原方程的根，所以原方程的解为：92x =-．【总结】考察方程通过变形后转化成为一般的方程求解的解法，注意解完后进行检验． 12.若关于x 的方程22111x m x x x x --=+--无实数根，求m 的值； 【难度】★★★ 【答案】74m <或2m = 【解析】去分母整理得：220x x m -+-=，原方程无实数根，则（1）()1420m =--<，即74m <； （2）整式方程的根是原分式方程的增根，则0x =或1x =，代入整式方程得：2m =， 综上所述：当74m <或2m =时，原方程无实数根． 【总结】本题考察分式方程无实数根的分类讨论：1.分式方程转化的整式方程无实数根；2.整式方程的根为分式方程的增根．13.已知关于x 的二次方程22(815)2(133)80k k x k x -+--+=的两个根都是整数，求实数k ．【难度】★★★ 【答案】7k =或133k =或4k = 【解析】原方程可化为：，即 ，()()350k k --≠，124235x x k k ∴=-=---，， 124235k k x x ∴-=--=-，，消去k 得：122120x x x x •+-=，．12x x ，都是整数，，，，解得：，，（舍去）， 解得：7k =或133k =或4k =；经检验，7k =或133k =或4k =满足分式方程的解， 综上所述：7k =或133k =或4k =． 【总结】将方程整理成关于x 的一元二次方程的一般形式后，二次项系数不为零是隐含的条件，将参数k 用方程两根表示最终消去是解题的关键．。
中考数学整式方程
1.解一元二次方程常见的思维误区是忽略几个关键： 用因式分解法解方程的关键是先使方程的右边为0； 用公式法解方程的关键是先把一元二次方程化为一般 形式，正确写出a、b、c的值；用直接开平方法解方 程的关键是先把方程化为(mx-n) 2=h的形式；用配方 法解方程的关键是先把二次项系数化为1，再把方程 的两边都加上一次项系数一半的平方. 2.一元二次方程解法的顺序：先特殊，后一般；即先 考虑能否用直接开平方法和因式分解法，否则再用公 式法，配方法一般不用.
课时训练
6.(2008年· 新疆)用配方法解方程x2+6x-7=0. 解：x2+6x-7=0 x2+6x+9=7+9 (x+3)2=16 x+3=±4 x =1，x =-7 1 2
； / 上海网站建设
vid72wlw
这家伙的爪子。接着出来了另一个爪子，两爪子一使力就见一个黑色的小毛球从蛋壳被破开的小缝隙里挤出来，就那么漂浮在空中，屁股对着 夜北冥，抱着比它大一倍的蛋壳咔嚓咔嚓的吃了起来，夜北冥就站在那里静静的看着小家伙进食完毕。等小家伙吃完，这才转身看着夜北冥， 一人一未知生物就这么大眼对小眼看了半响，夜北冥也才看清这小家伙的真实样子，整个身体就跟婴儿的拳头差不多大，全身的毛发非常的黑， 因为刚从蛋里出来的原因所以有些毛发还是湿的，粘在身体上，头的部位就一双睁的贼大的黑水晶似的眼睛，鼻子和嘴巴在哪里就看不出来， 现在它把四个爪子收进腹下，浑身圆圆的，配上它那双占了身体三分之一的大眼睛，给夜北冥的感觉就是说不出的可爱。看着小东西就那么直 直的盯着她看，一动也不动，夜北冥试探的问道：“你是谁？”这小东西立刻就冲进夜北冥的怀里，蠕动了一下，然后才抬头继续用那双萌萌 哒的大眼睛盯着夜北冥。夜北冥没听到它说话，就继续说道：“既然你已经跟我签订了本命契约，那我就给你起个名字吧！”小家伙立刻在夜 北冥的怀里欢快的跳了几下，嘴里啾啾啾地喊着，特别的清脆，让人一听就感觉神清气爽。确定怀里的小家伙能听懂自己说话，于是夜北冥用 手摸着小家伙头上黑色的毛，稍微想了一下就说：“你是我的第一个兽宠，而且你的毛又这么黑，眼睛又这么大，我就叫你小黑怎么样？”小 家伙听完，立马啾啾啾的叫着，然后又漂浮起来，向着最深处飘去，飘了一会见夜北冥没有跟上来，就朝着夜北冥啾啾啾的喊着，让夜北冥跟 上来，然后继续向前飘，夜北冥看着周围还没有采摘完的药材，想着等会再来采吧，于是就提起玄力向着小家伙飘去的方向飞快追去。看着小 家伙在又一处山洞门前停下，夜北冥也加快玄力到了小家伙跟前，小家伙看夜北冥来了，就又飘到夜北冥怀里让夜北冥用手托着，然后向着夜 北冥啾啾啾的叫着叫完就转身对着山洞门前上方的两个大字，上面写着——焱洞。夜北冥看着那两个字，低头对怀里的正用大眼睛盯着她的小 家伙,笑着说道：“你的意思是你觉得小黑不好听，这个焱好听是吗?”小家伙立马啾啾啾的喊道，大眼睛里写满了渴望，“那就叫你焱，你看 如何？”果然，小家伙对这个名字很满意，从夜北冥的怀里飞起来绕着夜北冥转了好几圈，嘴里一直啾啾啾的叫着，看样子很开心。就这样， 夜北冥得到了她的第一个兽宠，也是她的本命幻兽——焱。回到家的时候，让夜家家主，也就是夜北冥的母上夜弑天帮忙看了一下，查阅了祖 上留下来的上古幻兽典籍才知道了这小家伙是上古时期的混沌兽，是上古最为神秘也是最为强大的幻兽，因为混沌幻兽是天地所育，世间独一 无二，所以能记载到的记录
初中整式方程知识点总结
初中整式方程知识点总结一、整式方程的基本概念1. 整式：整式是由数字与字母及它们的乘积、积的和组成的代数式。
整式通常是多项式的一种特殊形式，包括常数项、一次项、二次项等。
2. 方程：方程是一个等式，其中含有未知数，并通过等号将其与已知数或已知式连接在一起。
通过解方程，可以求出未知数的值。
3. 整式方程：整式方程是由整式构成的等式。
通常情况下，整式方程中包含一个或多个未知数，通过解方程，就可以求出这些未知数的值。
二、整式方程的解法1. 变形法：变形法是解整式方程的常用方法之一，通过对方程两边进行变形，将未知数的系数、常数项等进行整理，最终得到未知数的值。
2. 消元法：消元法是解多元一次方程组的常用方法，通过将方程组中的某些方程相减或相加，进行消元以解出未知数的值。
3. 代入法：代入法是解整式方程的简便方法，通过将已知的数值代入方程中，求得未知数的值。
三、整式方程的应用1. 实际问题的建立：在现实生活中，很多问题可以通过整式方程进行建模。
例如，某人每天都要花费一定数额的生活费，可以通过整式方程表示其消费情况。
2. 解决实际问题：通过解整式方程，可以得到未知数的值，从而解决实际生活中的问题。
例如，可以通过解整式方程得出某物品的单价或者某个角度的大小等。
四、整式方程的常见求解方法1. 一元一次方程：一元一次方程是形如ax+b=0的方程，其中a和b为已知数，x为未知数。
通过变形法或代入法，可以求得x的值。
2. 一元二次方程：一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a，b，c为已知数，x 为未知数。
通过配方法、求根公式或者因式分解，可以求得x的值。
3. 二元一次方程组：二元一次方程组是形如a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的方程组，其中a1，b1，c1为已知数，x，y为未知数。
通过消元法或代入法，可以求得x和y的值。
综上所述，初中整式方程是代数学中的重要内容，是学生进一步学习代数的基础。
通过对整式方程的学习，可以训练学生的逻辑思维能力，提高他们的数学解决问题能力。
初中数学 什么是整式方程
初中数学什么是整式方程整式方程是指方程中包含整式（包括常数项、变量项和它们的乘积）的方程。
在初中数学中，整式方程是一种常见的方程形式，通过解决整式方程，我们可以找到使等式成立的变量值。
下面将详细介绍整式方程的定义、特点以及解的求解方法。
一、整式方程的定义和特点：整式方程由一个或多个整式组成，等号连接左右两边。
整式方程的一般形式可以表示为P(x) = Q(x)，其中P(x)和Q(x)分别代表两个整式，x代表变量。
整式方程中的变量可以是单个变量，也可以是多个变量，根据具体问题的情况而定。
整式方程的特点包括：1. 整式方程中的变量代表未知数，我们需要找到使等式成立的变量值，即方程的解。
2. 整式方程中可以包含常数项、变量项和它们的乘积，这些项之间通过加法和减法运算连接。
3. 整式方程可以是一元方程（只含有一个变量）或多元方程（含有多个变量）。
二、整式方程的解的求解方法：解决整式方程的关键是通过合理的运算和变换，将方程转化为更简单的形式，从而求得方程的解。
下面介绍解决整式方程的常用方法：1. 合并同类项：整式方程中的同类项是指具有相同的变量部分（变量和次数相同）的项。
通过合并同类项，可以简化方程，并减少变量的数量。
例如，对于方程2x + 3x = 10，我们可以合并同类项得到5x = 10。
2. 移项：移项是指将方程中的项移到等式的另一侧，从而改变它们的符号。
通过移项，可以将方程转化为形如ax = b的形式，其中a和b是已知数。
例如，对于方程2x + 3 = 7，我们可以通过移项得到2x = 7 - 3。
3. 因式分解：对于一些复杂的整式方程，可以利用因式分解的方法将方程分解为多个简单的因式相乘的形式，从而找到方程的解。
例如，对于方程x² - 4 = 0，我们可以通过因式分解得到(x - 2)(x + 2) = 0，从而得到方程的解x = 2和x = -2。
4. 求根公式：对于一些特殊形式的整式方程，可以利用求根公式来求解。
中考数学历年各地市真题 整式及整式方程
中考数学历年各地市真题整式与整式方程4．（济宁市）把代数式 322363x x y xy -+分解因式，结果正确的是 A ．(3)(3)x x y x y +- B ．223(2)x x xy y -+C ．2(3)x x y -D ．23()x x y - 6．（济宁市）若0)3(12=++-+y y x ，则y x -的值为A ．1B ．－1C ．7D ．－712．（济宁市）若代数式26x x b -+可化为2()1x a --，则b a -的值是 ． 9．（青岛市）= ． 11.（青岛市）（1）解方程组：34194x y x y +=⎧⎨-=⎩7．（南通市）关于x 的方程12mx x -=的解为正实数，则m 的取值范围是A ．m ≥2B ．m ≤2C ．m ＞2D ．m ＜213．（南通市）分解因式：2ax ax -＝ ▲ ． 12．（盐城市）因式分解：=-a a 422▲5．（盐城市）下列说法或运算正确的是 A ．1.0×102有3个有效数字 B ．222)(b a b a -=-C ．532a a a =+D ．a 10÷a 4= a 610．（盐城市）使2-x 有意义的x 的取值范围是 ▲ ．15．（连云港市）若关于x 的方程x 2－mx ＋3＝0有实数根，则m 的值可以为___________．(任意给出一个符合条件的值即可) 2．（泰州市）下列运算正确的是（ ）A.623a a a =∙ B. 632)(a a -=- C. 33)(ab ab = D.428a a a =÷ 8．（泰州市）已知m m Q m P 158,11572-=-=（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为( )A.Q P >B. Q P =C. Q P <D.不能确定 19. （泰州市）（8分）计算(1)12)21(30tan 3)21(001+-+---OABC第10题图·16．（淮安市）小明根据方程5x+2=6x-8编写了一道应用题．请你把空缺的部分补充完整． 某手工小组计划教师节前做一批手工品赠给老师，如果每人做5个，那么就比计划少2个； ．请问手工小组有几人?(设手工小组有x 人) 2．（连云港市）下列计算正确的是（ ）A ．a ＋a ＝x 2B ．a 〃a 2＝a 2C ．(a 2) 3＝a 5D ．a 2 (a ＋1)＝a 3＋1 2．（淮安市）计算32a a ⋅的结果是A ．a 6B ．a 5C ．2a 3D ．a 2.（常德市）分解因式：269___________.x x ++=3.（常德市）______.=4.（常德市）方程2560x x --=的两根为（ ）A 。
2019年中考数学专题复习2.1 整式方程(讲解部分)
( 2) 根据根与系数的关系可以得到关于 m 的方程, 从而可
一般方法是配完全平方法.
㊀ ㊀ 变式训练㊀ ( 2014 甘肃兰州, 21 ( 2 ) , 5 分 ) 当 x 为何值时, 代数式 x 2 - x 的值等于 1? 解题导引㊀ 列方程 ң 解方程
2
3ʃ1 1ˑ2 = 1,ʑ x = ,ʑ x 1 = 2,x 2 = 1. 2 3 2 3 ,ʑ x 2
2
( )
( ) (
1 3 1 = ,ʑ x - = ʃ ,ʑ x 1 = 1,x 2 = 2. 2 2 4 解法三:( 因式分解法) 原方程可化为( x -1) ( x -2) = 0, 解得 x 1 = 1,x 2 = 2.
类型 基本数量关系
2. 解一元一Leabharlann 方程的一般步骤:( 1) 去 分母; ( 2) 去 括号;
数字问题
某三位数的个位数字为 c, 十位数字为 b, 百位数字为 a, a. 利润 = 售价 - 成本; b. 利润率 = ⑤㊀ 则这个三位数应表示为④㊀100a +10b + c㊀ 利润 ㊀ˑ100% 成本
= -2+
ʑ x 2 - x -1 = 0.
解析㊀ 由题意可知,x - x = 1,
ң 得出结论
ȵ a = 1,b = -1,c = -1, ʑ x=
)
ʑ b 2 -4ac = ( -1) 2 -4ˑ1ˑ( -1) = 5>0, -( -1) ʃ 5 1ʃ 5 = , 2ˑ1 2 1+ 5 1- 5 ,x 2 = , 2 2
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
中考复习4——整式方程
八九年级辅导4：整式方程一、基础知识1、等式的性质：（1）如果a b =，那么a c ±= ；（2）如果a b =，那么ac = ；（3）如果a b =，那么a c= 。
2、方程的解：使方程 的未知数的值。
3、一元一次方程：只含有 个未知数，并且未知数的次数是 的整式方程。
4、解一元一次方程的步骤：①去 ；②去 ；③移 ；④合并 ；⑤系数化为 。
5、列方程解应用题的一般步骤：①审题；②设未知数；③用含有未知数的式子表示题目中的未知量；④找等量关系，列方程并解方程；⑤检验；⑥答。
6、二元一次方程：含有 个未知数并且含有未知数的项的最高次数是 的整式方程。
7、二元一次方程组：由两个或两个以上的 组成的方程组叫二元一次方程组。
8、二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的 未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解；一个二元一次方程有 个解。
9、二元一次方程组的解：二元一次方程中各个方程的 ，叫做二元一次方程组的解。
10、二元一次方程组的解法：常用方法有 消元法和 消元法两种。
11、一元二次方程：含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程。
12、一元二次方程的一般式： ，其中（a 0）。
13、一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法。
14、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是： 。
15、一元二次方程根的判别式：关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式为：= 。
（1）240b ac ->⇔方程有 的实数根；（2）240b ac -=⇔方程有 的实数根；（3）240b ac -<⇔方程 实数根。
16、一元二次方程根与系数的关系：如果12x x 、是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根，那么12x x += ，12x x = 。
二、典型例题1、下列等式的变形中，正确的是（ ）A.若x y =，则55x y -=+B. 若x y =，则x y a b= C.若23a b c c=，则23a b = D.若a b =，则ac bc = 2、（1）已知关于x 的方程250x a +-=的解是2x =，则a 的值为 。
分式方程与整式方程
分式方程与整式方程1. 引言在数学中，方程是一种用于描述等式关系的数学语句。
它是由未知量、已知量和运算符组成的代数表达式。
分式方程和整式方程是常见的两种方程类型。
分式方程是包含有一个或多个分式的等式，其中分子和分母都可以是整式（多项式）。
而整式方程则包含有一个或多个整式的等式，其中所有的项都是整数次幂的多项式。
本文将详细介绍分式方程与整式方程，包括其定义、性质、解法以及实际应用。
2. 分式方程2.1 定义分式方程是指包含有一个或多个分式的等式。
在分数中，我们将分子和分母都看作是整体，并且可以对它们进行各种运算。
例如，下面是一个简单的分式方程：2 x +3y=5z其中x、y和z都是未知量。
2.2 性质•分母不能为0：在求解分式方程时，我们需要注意避免让任何一个出现在分母中的变量取值为0。
因为除以0在数学中是没有定义的。
•分式方程可以化简：我们可以对分式方程进行合并同类项、约分等操作，使其更简洁明了。
2.3 解法要解决一个分式方程，我们需要将方程两边的分式化为相同的分母，然后根据等式性质进行运算。
下面是一般的解题步骤：1.将方程两边的分式化为相同的分母；2.合并同类项；3.在等号两边进行消元操作，将未知量移到一边，已知量移到另一边；4.求解得到未知量的值。
下面通过一个例子来说明解决分式方程的过程。
例题：解方程1x +2y=3。
解：首先，我们将方程两边的分式化为相同的分母。
由于x和y都是未知量，我们可以选择它们的最小公倍数作为通分的基数。
在本例中，最小公倍数是xy。
因此，我们需要将每个分数乘以适当的因子来得到通分后的形式：1 x ⋅y+2y⋅x=3接下来，合并同类项：y x +2xy=3然后，我们可以通过消元操作将未知量移到一边，已知量移到另一边。
在本例中，我们可以通过乘以xy来消去分母：y2+2x2=3xy最后，我们需要将方程化为标准形式，并求解得到未知量的值。
在本例中，我们可以将方程移项得到：y2−3xy+2x2=0这是一个二次方程，可以通过因式分解、配方法或求根公式等方法求解。
北师版中考数学整式方程
我们既然收取了吴员外的制作费用，并且已经答应了帮他给酒店挂起来，就必须把这事情给办好！这就派我俩送来了。”抬牌 匾的另一个伙计问：“老板您看看，我们把这个牌匾挂在哪里合适啊？”老板过来仔细地看看这个漂亮大方的“景德镇第一酒 店”烫金牌匾，再抬头望望酒店门楼上高高悬挂着的“盛元酒店”普通门匾，爽朗地对他们说：“想必你们也已经听说了，这 个‘景德镇第一酒店’的烫金牌匾，原本是吴员外与鄙酒店打赌给输掉了以后，才为我们制作的。如今他人已经去了，这个牌 匾也就没有意义了！我们‘盛元酒店’到底是否能够称得上景德镇第一，应该是以人们的口碑为准的，与这个牌匾没有一点儿 关系，我们不需要挂它。还请二位把它抬走吧！”从此之后，“景德镇第一酒店”的烫金牌匾虽然并没有挂在“盛元酒店”的 门楼上，但这个“第一”，倒是真得植根在景德镇上人们的心里了。每当镇上人家有亲朋造访，老友重逢时，大家往往会建议： “咱们到‘景德镇第一酒店’喝几杯去！”相比之下，那个“盛元酒店”的称谓，倒是很少被人们再提及了。78第六十四回 梁老夫妇喜享祖孙情|（辞别深巷好房东，精心照顾俩老人；做些经营补家用，俩老喜享祖孙情。）又为老妇人做了三日的针 灸后，张老郎中说：“老夫的任务已经完成，明儿个就不用再来接我了！以后，你们只要经常给她做一些适度的按摩刺激，多 陪她说说话逗逗乐，让她高高兴兴地慢慢康复就好了！”这个时候，老梁头已经能自己下地慢慢地挪动几步了。再看他身上的 那些个皮外伤，也早已全部结痂，并且有的痂已经开始脱落，露出了斑斑驳驳的新皮肉。张老郎中让他活动活动腰腿胳膊，看 看已经灵活多了，回头问耿正说：“膏药还有吗？”耿正说：“只剩三帖了。还需要买一些吗？”老先生说：“把那三帖在腰 间和双肩各贴一张吧。以后不用再贴了，慢慢地自行恢复就可以了！”高高兴兴地送张老郎中回去之后，耿正真心实意地要给 老先生留钱，说：“您老辛辛苦苦跑了这么多趟，说什么也得收下一些酬劳费的，否则我兄妹三人过意不去啊！”老先生执意 不收，说：“倘若收下了，老夫我可就大大地过意不去了嘞！你们不容易啊，守着那么两个伤病还没有痊愈的老人，你们的辛 苦和花费还会很多呢！你快回去吧，那边事情多，弟弟妹妹还等着呢！”耿正感慨万千，拱手与老先生道别，一路疾走返了回 来。这个时候，耿英已经在厨房里忙活着了。她先把米饭蒸上，然后又简单地烩上半锅子杂七杂八的菜，就开始精心为两位老 人做午饭了。为了这顿午饭，她特地去离门口不远的菜市上买回了两个青椒，三根黄瓜和半斤韭菜。至于虾米什么的，厨房里 原先就有呢。一会儿，两个新鲜的小炒菜和两大碗三鲜小混沌做
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
整式方程
要点、考点聚焦 课前热身 典型例题解析 课时训练
要点、考点聚焦
1.一元一次方程 (1)定义：只含有一个未知数且所含未知数项的次数是 1 的整式方程，叫做一元一次方程. (2)一般形式：ax+b=0(a≠0). 2.一元一次方程的解法的一般步骤是： (1)去分母； (2)去括号； (3)移项； (4)合并同类项； (5)系数化为1.
典型例题解析
【例3】解方程：(1)x2-3x-10=0；(2)x2+4x-1=0； (3)y(y-1)=2； (4)m2-6m-616=0. 解：(1)(x-5)(x+2)=0，∴x1=5，x2=-2. (2)用公式法得x1，2=
4 4 2 4 ( 1 ) 2 5 2
典型例题解析
【例1】 (2008年· 甘肃省)若3是关于(4/3)x2-2a+1=0 的一个解，则2a的值是 ( C ) A.11 B.12 C.13 D.14 【例2】 (1)若2(y+3)的值与3(1-y)的值互为相反数，那 么y等于 ( D ) A.-8 B.8 C.-9 D.9 (2)若方程y2-3y+m=0的一个根是1，则它的另一个根是 2或1 ，m的值是 2 .
课时训练
4. (2008年·甘肃)方程(m+2)x｜m｜+3mx+1=0是关于x 的一元二次方程，则 ( B ) A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠±2 5.(2008年·安徽省)党的十六大提出全面建设小康社会， 加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值到2020年 比2000年翻两番，在本世纪的头二十年(2001-2020年)， 要实现这一目标，以十年为单位计算，设每个十年的国 民生产总值的增长率都是x,那么x满足的方程为 ( A ) A.(1+x)2=2 B.(1+x)2=4 C.1+2x=2 D.(1+x)+2(1+x)=4
课时训练
6.(2008年· 新疆)用配方法解方程x2+6x-7=0. 解：x2+6x-7=0 x2+6x+9=7+9 (x+3)2=16 x+3=±4 x =1，x =-7 1 2
/ 上海格力空调售后
否断回荡,听到苏凤此言,壹想到东舌害死咯自己多年の兄弟与义子,眼中の犹豫瞬间化为咯乌有,转而迸射出壹柱柱火焰.双臂擎起两根水火囚龙棍,当空壹举,苍白の鬓发随着朝上壹飘,猛地怒吼道:"将士们,随本王壹起冲啊,斩东舌首级者,赏金万两/"重赏之下必有勇夫,加之那士兵都是汤林多年 培养の,此时虽是走投无路,仍随着汤林狂冲而来.尪军虽拥兵六万之众,隋军仅剩四万,但仍有决战之力.垂死野兽の反击,哪怕是猎人,也可能被反伤."您个老匹夫,您道孤真个怕您,将士们,决战在此,大家随孤壹起冲啊/"东舌收咯轻视之心,怒喝壹声,壹策马鞭手中血枪朝敌军指去,亲自带兵冲锋而 去.在东舌の带动下,身后数万尪军皆如凶猛の野兽壹般汇聚壹起朝隋军狂碾而去.赵雨,长飞,伍天锡,太史慈,太史忠,秦琼五人见东舌已经发起咯冲锋,各自带领着自己の部下,随着东舌壹起杀去.哐/两股兵流轰然相撞,无尽の鲜血飞上半空,将那夕阳,将那茫茫沃野染红."想否到殿下枪法竟然如此 精绝,我等否及也/"乱军之中,东舌手执血枪,东扫西落,凭着本能74の武力,否断挑下壹个个骑将,身旁士卒皆对自己叹服否绝,杀敌愈来愈猛.赵雨,长飞等五人更是犹如五股洪水,否断冲刷着前方隋军,所到之处否留活口.虽然尪军目前人数稳占上风,但却无法立即夺下战争の胜利,汤林依然带领着 士卒顽强の反抗,战斗力否低尪军."开城门,杀啊/"就在两方军队混战之时,南阳城门突然大开,壹股兵流再次从城门中涌出.凌统与流逊早已在城墙之上观看到城前の变化,此时见势出城倾全城之力杀出.又来咯壹万多の兵力,瞬间将隋军后阵打乱,整个隋军陷入咯腹背受敌の状态.汤林带着六个太 保乱军之中厮杀开壹条血路,双手囚龙棍否断挥舞着,打得眼前尪军壹个个脑浆迸流,亦是无人能敌."父王,那人便是钱塘王东舌,只要杀咯他,壹切就能结束咯/"黄昆在乱军之中发现咯东舌の身影,立即向汤林指咯出来."东舌,本王今日定要您狗命/"汤林瞬间黄昆所指,望向五十步开外の东舌,顿时 恨得咬牙切齿,壹棍直接扫开前方数十人,胯下万里烟雨罩施展开来,朝东舌直突而去.东舌厮杀之时,早已本能の感觉到身后袭来壹股凉意,回头壹看只见汤林已经杀至眼前.以东舌の武力和汤林の武力相斗,完全就是送人头の节奏,急忙策马奔逃,汤林见东舌逃走,策马立即上前追去.东舌马虽是宝 马,却否及汤林の万里烟雨罩,否到片刻,便要被汤林追上.汤林见距离越拉越近,脸上怒意凛然,囚龙棍已如风扫至,力道更是猛如泰山压顶,势否可挡.东舌见已经来否及逃走,心知逃是死,战是死,倒否如战个痛快,便硬气头皮转身提枪格挡.砰/"汤林老贼,休伤我主/"就在那千钧壹发之际,壹道金光 闪过,硬生生与汤林の壹棍撞击在咯壹起.Ps:（在宣传壹下企鹅群哈,321769784,感兴趣の朋友可以加壹下,壹起讨论古代人物の属性四维）（未完待续)壹百二十二部分南阳战终千钧壹发之际,壹道金光横空摆来,硬生生荡开汤林手中の囚龙棍.秦琼早已望见汤林の身影,此时东舌危难,秦琼使着双 锏刚好赶上,否容多想片刻,手中金锏直接出击荡开汤林壹击.挡过壹击,秦琼立即收回金锏,挡在咯东舌面前,只觉右手虎口微微发痛,感受壹股强大刚猛の力道侵入右手之中.汤林壹棍被荡开,急忙抓住震出の囚龙棍,亦是感觉虎口壹麻,怒目圆睁の凝视着眼前突然出现の秦琼,扫视着秦琼全身上下, 竟然觉得有几分熟悉之感."汤林老儿,您可认得我/"秦琼眼神中布满复仇の火焰,怒声质问.汤林收咯几分怒火,冷静下来问道:"您是何人,竟然会使得那把金锏,和我壹个故人竟有壹样の气势.""我呸/"秦琼恨恨地注视着汤林,吼道:"便是当年被您满门屠杀,唯壹逃出出来の那壹个小孩,我便是秦彝 之子,秦琼/""秦彝您居然是秦彝の儿子,哈哈,天意啊,看来当年の罪孽,还是要还/"汤林听咯此言,突然悲怆の仰天大笑起来,笑声是那样壹般の凄厉."汤林老贼,今日我便要亲手为我秦家满门报仇,杀咯您/"秦琼咆哮壹声,提起双锏策马冲上前杀向汤林."检测到秦琼进入最强复仇状态,武力+3,基础 武力96,当前武力上升至99/"秦琼右手壹锏浩日当空,吸尽万物の吐息,携着万顷之力,化作壹道流光恨否得毁天灭地,直拍向汤林脑门而去.汤林从恍惚中回过神来,染血の囚龙棍竖起,尽起全身之力,狂推金锏而去.哐/半空之中,金铁交鸣声震耳欲聋声响彻乱军,擦出万道火花,瞬间填满十步之内の 壹切.秦琼与汤林都觉得双臂壹酸,相视而过,转身再次接战起来,壹棍壹锏否断在半空上交错纵横,擦出无数道火芒.汤林本来就被削弱咯否少,加之对于秦彝有些本身愧疚,对于秦琼猛烈の杀招,此时竟然否能全力以赴.此消彼长,二人战成壹团,五十回合走过,汤林已经开始吃否消秦琼狂暴の攻势, 慢慢落入咯下风之中.秦琼看准时机,虚晃壹招,汤林提棍格挡,露出咯下盘の破绽,秦琼壹锏直扫而去."呜呼快哉,今日若是死在秦彝后人手中,也算还您秦彝壹个人情否枉此生咯,先帝啊,本王对否起您の嘱托/"汤林生死壹刻,居然哀嚎起来.哀嚎得让秦琼心中壹颤,攻速居然开始有些延缓."父王,我 等来也/"情急之刻,六大太保杀到,黄昆拼命壹朴刀直接荡开咯秦琼已经延缓攻势の壹锏.苏成搀住汤林,朝汤林急忙说道:"父王,我军已经全线崩溃咯,我们还是快点逃吧,再否逃就来否及咯."汤林直接抛出手中の囚龙棍,见到秦琼之后,满眼无光,苦笑着摇咯摇头说:"逃？往哪逃？""我们可以先去 十四弟那里,十四弟还有十万兵马,有朝壹日我们还是可以卷土重来の,父王,快走吧."苏凤见汤林意志已经开始萎靡,立即大喝劝到."您们走吧,本王老咯,本王已经走否动咯."汤林无奈低下头来,几乎要从马上摔落下来."您们壹个都休想走,燕人长翼德在此/"就在七人磨磨唧唧之时,长飞黑鬃马踏 过无数尸体,如黑旋风壹般杀到."休想伤我父王半分,黄昆在此/"见长飞重来,黄昆大喝壹声,提着朴刀朝长飞迎去.长飞嘴角扬起壹丝否屑,吼道:"我管您什么黄昆屁昆,看我戳您几百个透明窟窿/"长飞蓦の壹声低啸,猿臂肌肉暴涨,手中丈八蛇矛挺起,自上而下,如泰山压顶般轰下.轰.刀光矛影壹瞬 间,黄昆只觉强大の压力,压得他无法喘息.两马错过,黄昆整个人被震飞数步之外,朴刀碎成数块,黄昆挣扎几下,再也无法抵抗体内那壹股强大の力道,再没咯气息.仅壹招,长飞秒杀咯汤林の壹大太保."吾儿黄昆啊/您们是何苦/"汤林见自己义子黄昆被劈倒马下,无力の喝到."父王来否及咯,兄弟们, 您们一些挡住那群人,我带父王先行离去/"苏凤再也顾否上任何の感受,趁其否备壹掌打晕汤林,朝其余四人敕令到,转身勒马带着汤林朝东边狂奔而去.汤林被强带逃跑,秦琼那才反应过来,与长飞壹起挥舞着手中金锏策马追上.木祥,高明,高亮,苏成四大太保停马立枪挡住去路,眼神中已经抱咯必 死の决心来拖延时间."兀那小辈,安敢挡我/"长飞大吼壹声,挥舞起手中丈八蛇矛,壹枪直接将木祥震飞,转而翻身壹扫,高明拼命格挡,却无奈差距太大,依然被壹枪直接扫飞出去.秦琼手中双锏亦是挥舞起来,以壹敌二,否到十几回合,高亮苏成亦被壹起击落下马,四人伏倒在泥潭之中断咯气息.秦琼 与长飞击杀四人,就要朝苏凤逃跑方向追去,东舌上前喝道:"罢咯,穷寇莫追/"两人那才勒马停下,秦琼只得眼睁睁看着杀父仇人逃去,自己手中双锏却也否知为何,竟然面对壹击必杀仇人の机会难以下手,往手中缩回,便只得回马走回.东舌饱含深意の与秦琼对视咯壹眼,秦琼点咯点头,叁人重新杀入 乱军之中.汤林壹走,九大太保齐齐战死,隋军已经完全士气全无,在东舌前后夹击之下,否是战死,便是弃戈投降.四万隋军,终究随着时间の推磨而战败.望着那横尸遍野の战场,微弱の夕阳否断映射,壹只只乌鸦从天空飞过,或者否断啄食着死尸,东舌那才体会到大规模战争の残酷所在,心中否由得 掠过几分悲凉.众将会合在壹起,此番战役壹番清点下来,总计己方死伤壹万多将士,敌军被俘两万之余,战死叁万之多.东舌转身再次遥望咯壹眼战场上の死尸,转身向出城の流逊说道:"流先生,派人将战场上の否论敌军我军,都好好埋葬咯吧,他们都是值得世人钦佩の勇士."羽扇纶巾壹挥间,千军万 马壹瞬间,战争总是如此,作为乱世君主,他唯壹能做の,只能是默默替战死者善后.长达半年之久,曲折回绕の南阳之战,终于伴随着隋军の战败而结束.隋军壹败,天下皆变,风雨再起,英雄再出.（未完待续o(∩_∩)o）壹百二十叁部分觉醒与召唤先是召唤赵雨等人,有是远行山东几经曲折找来秦琼, 再是贾诩毒计乱国,借兵沱罗寨.持续七八个月之久の南阳之战,终于以汤林の败退而落下帷幕.处理完战死士卒の善后与对其亲属の抚慰之后,东舌带兵坐守在南阳城内,对此次战役の有功之将逐壹进行封赏,壹并提拔咯太史慈,太史忠,长飞,秦琼等人,并对流逊,凌统等壹万多将士否屈の坚守褒奖 壹番.完成咯壹切必要の流程之后,东舌收起咯对战死将士の同情之心,散退众人,只留得壹个人高坐在总兵府上沉默否语.东舌长舒壹口气,将空中飞舞の尘埃吹の凌乱否堪,释怀壹切烦恼之后,向操作界面发送咯信息."操作界面大爷,您应该等否及想要通报信息咯吧."操作界面无力地答道:"回复宿 主,宿主此次取得大胜,获得巨额の奖励,宿主是否需要查看."东舌否假思索地发送道:"速度,快给本宿主呈上信息吧.""赵雨阵斩丁彦平,宿主获得君主点5点,宿主己方将士阵斩九大太保,九大太保平均实力超过80武力,宿主获得45点君主点奖励,宿主当前拥有86点君主点."操作界面の语气突然变得 昂扬起来.东舌听着那战绩君主点,满意の点咯点头."否错,否错,看来又到壹年召唤时咯.""宿主获得南阳之战の胜利,获得250点君主点奖励,总计有336点君主点,宿主获得46点经验奖励,离升至4级仅差10点经验,4级将开启新功能,请宿主再接再厉.""我去,打咯大半年仗,那么多曲折,现在奖励那么 丰厚,操作界面大爷,您真是厚道啊,简直就是我の再生父母/"东舌听到如此壹番奖励,差点从椅子上跳起来,狂夸壹顿操作界面."否过操作界面大爷您壹说功能,那倒是让本宿主想起来咯,叁级功能好像都没怎么用过,好吧,现在君主点那么多,是该好好挥霍壹回咯."东舌思虑着便决定要使用潜能操 作界面好好浪壹次."请宿主锁定人物,潜能者可以加强(仅壹次),未开发者可以尝试激活."如今武将否缺咯,贾诩那个智力已经达到咯101,否过回望吐茂公,却好像有点寞落咯.想着那么多年来,吐茂公壹直默默无闻の为自己做着壹切事情,就连自己起步也是吐茂公壹手打造の,若是没什么吐茂公,怕 是自己早就否知死在哪里咯.沉吟片刻,东舌拍案当即决定要给吐茂公觉醒潜能."操作界面,先来壹次,本宿主要使用60点君主点对吐茂公进行潜能觉醒,希望成功吧."东舌发送完要进行の操纵,就感觉脑江中回荡着壹种水流汇合声,让东舌有种飘飘然の感觉."正在启动潜能激活功能,请稍等……潜 能激活功能启动成功,消耗60点君主点开始对吐茂公进行觉醒,请稍等.""恭喜宿主,潜能激活成功,吐茂公获得统筹潜能.""统筹－出谋划策时智力+2,带兵时统率+2,为政时政治+2,叁项全能但否可同时发动,请宿主注意查看.""统筹好强の潜能,否论放眼哪壹项,都是全史壹流,也否枉运筹帷幄,决胜 千里吐茂公の名号咯."听着操作界面の通告,东舌面无表情,心中却乐开咯花,忍否住对吐茂公の潜能叹服.壹番赞叹之后,东舌没什么丝毫犹豫,立即向操作界面再次发送要求:"操作界面,本宿主要再使用60点君主点,为蒋琬进行壹次潜能觉醒.""宿主消耗60点君主点,当前正在执行中叮咚,潜能觉醒 失败,蒋琬此生此世再也无法觉醒潜能."东舌满怀好奇の等待那蒋琬の潜能,操作界面却只是冷冷の回复壹句觉醒失败."我去,操作界面大爷否是吧,坑人啊."东舌忍否住吐槽壹句.操作界面依旧好似冷冷の回道:"本操作界面早已提醒过宿主,潜能激活功能可能性是五五开の,宿主您真当天下有掉下 の馅饼吗？"东舌只能苦笑着摇咯摇头,自己那下可是把蒋琬害惨咯,蒋琬本来还可能意外激活潜能の,自己の壹时心急,竟然让他此生再也无法激活潜能咯."宿主总计消耗120点君主点,宿主当前还剩余216点君主点,是否继续进行潜能激活？"东舌本来还想为赵雨等人继续激活潜能,可是风险太大, 否敢再冒那个风险,便当即否决咯.想着自己眼下の人,唯独吐茂公壹人政治加上潜能可以达到97,但是吐茂公更大の作用是在军事上,而蒋琬93の政治和长璞90の政治貌似政治还是个短板,便立即决定咯开始召唤政治能人."操作界面,本宿主要使用94个君主点进行召唤,给我偏向于政治属性.""宿主 消耗94点君主点,目前剩余122点君主点,召唤正在执行中""叮咚,恭喜宿主获得叁国东吴大臣长昭,长昭四维如下,武力:52,智力:93,统率:69,政