【3份】2016届高三数学(文)二轮复习限时速解训练：专题五 立体几何

【3份】2016届高三数学（文）二轮复习限时速解训练：专题五立体几何目录限时速解训练十六 (1)限时速解训练十七 (8)限时速解训练十八 (11)限时速解训练十六(建议用时30分钟)1．(2014·高考新课标卷Ⅰ)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱详细分析：选B.将三视图还原为几何体即可．如图，几何体为三棱柱．2．如图是两个全等的正三角形，给定下列三个命题：①存在四棱锥，其正视图、侧视图如图；②存在三棱锥，其正视图、侧视图如图；③存在圆锥，其正视图、侧视图如图．其中真命题的个数是()A．3 B．2C．1 D．0详细分析：选A.对于①，存在斜高与底边长相等的正四棱锥，其正视图与侧视图是全等的正三角形．对于②，存在如图所示的三棱锥S -ABC ，底面为等腰三角形，其底边AB 的中点为D ，BC 的中点为E ，侧面SAB 上的斜高为SD ，且CB ＝AB ＝SD ＝SE ，顶点S 在底面上的射影为AC 的中点，则此三棱锥的正视图与侧视图是全等的正三角形．对于③，存在底面直径与母线长相等的圆锥，其正视图与侧视图是全等的正三角形．所以选A.3．(2016·杭州质检)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是( )A ．24 cm 3B ．40 cm 3C ．36 cm 3D ．48 cm 3详细分析：选B.由三视图可知，该几何体是由一个三棱柱截去两个全等的与三棱柱等底面且高为2的三棱锥形成的，故该几何体的体积V ＝12×4×3×8－2×13×12×4×3×2＝40(cm 3)，故选B.4．如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为( )A.3＋π6B.3＋43πC ．33＋43πD ．33＋π6详细分析：选D.由三视图知该几何体是由直径为1的球与底面边长为2、高为3的正三棱柱组合的几何体．则该几何体的体积V ＝V 正三棱柱＋V 球＝12×2×3×3＋43×π×⎝⎛⎭⎫123＝33＋π6. 5．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为( )A.572 B ．27 C ．26D ．28详细分析：选A.由几何体的三视图可知，该几何体是一个正方体与一个三棱锥的组合体，因此其体积V ＝33＋13×12×32×1＝27＋32＝572. 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．6B ．3 3C ．2 3D ．3详细分析：选B.由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边为2，高为3的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h ＝3，所以几何体的体积V ＝S ·h ＝⎝⎛⎭⎫12×2×3×3＝3 3.7．(2014·高考新课标卷Ⅱ)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.13详细分析：选C.由侧视图可知切割得到的几何体是两个圆柱的组合体．由三视图可知几何体是如图所示的两个圆柱的组合体．其中左面圆柱的高为4 cm ，底面半径为2 cm ，右面圆柱的高为2 cm ，底面半径为3 cm ，则组合体的体积V 1＝π×22×4＋π×32×2＝16π＋18π＝34π(cm 3)，原毛坯体积V 2＝π×32×6＝54π(cm 3)，则所求比值为54π－34π54π＝1027.8．(南昌市2016届高三模拟)如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是平面A 1B 1C 1D 1内一点，则三棱锥PBCD 的正视图与侧视图的面积之比为( ) A ．1∶1 B ．2∶1 C ．2∶3 D ．3∶2详细分析：选A.根据题意，三棱锥P -BCD 的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高．故三棱锥P -BCD 的正视图与侧视图的面积之比为1∶1.9．(2015·高考山东卷)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2π3B.4π3C.5π3D ．2π详细分析：选C.画出旋转体并判断该旋转体的形状，再利用体积公式求解．过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE＝π×12×2－13π×12×1＝5π3，故选C.10．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正视图、侧视图均由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A.2π3＋12B.4π3＋16 C.2π6＋16 D.2π3＋12详细分析：选 C.由已知的三视图可知原几何体的上方是三棱锥，下方是半球，∴V ＝13×⎝⎛⎭⎫12×1×1×1＋⎣⎡⎦⎤43π⎝⎛⎭⎫223×12＝16＋2π6，故选C. 11．(2015·高考安徽卷)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A ．1＋ 3B ．2＋ 3C ．1＋2 2D ．2 2详细分析：选B.先根据三视图还原几何体，再根据几何体的结构特点求解．根据三视图还原几何体如图所示，其中侧面ABD ⊥底面BCD ，另两个侧面ABC ，ACD 为等边三角形，则有S 表面积＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋ 3.故选B.12．(2015·大连市高三测试)6个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的主视图与俯视图如图所示，则其左视图不可能为( )详细分析：选D.由已知6个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，结合该几何体的主视图与俯视图，①当正方体的摆放如下图所示时，(格中数字表示每摞正方体的个数)几何体的左视图如下图所示，故排除A ；②当正方体的摆放如下图所示时，(格中数字表示每摞正方体的个数)几何体的左视图如下图所示，故排除B ；③正方体的摆放如下图所示时，(格中数字表示每摞正方体的个数)几何体的左视图如下图所示，故排除C.选D.13．(2015·高考江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________． 详细分析：利用圆锥、圆柱的体积公式，列方程求解． 设新的底面半径为r ，由题意得13×π×52×4＋π×22×8＝13×π×r 2×4＋π×r 2×8，∴r 2＝7，∴r ＝7. 答案：714．已知A ，B ，C ，D 四点在半径为292的球面上，且AC ＝BD ＝13，AD ＝BC ＝5，AB ＝CD ，则三棱锥D -ABC 的体积是________．详细分析：依题意得，可将该三棱锥D -ABC 补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别是a 、b 、c ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋c 2＝4×294＝29，a 2＋b 2＝13，b 2＋c 2＝25，由此解得a ＝2，b ＝3，c ＝4，结合图形可知，三棱锥D -ABC的体积是13abc ＝8.答案：815．在半径为5的球面上有不同的四点A ，B ，C ，D ，若AB ＝AC ＝AD ＝25，则平面BCD 被球所截得图形的面积为__________．详细分析：过点A 向平面BCD 作垂线，垂足为M ，则M 是△BCD 的外心，外接球球心O 位于直线AM 上，设△BCD 所在截面圆半径为r ，∵OA ＝OB ＝5，AB ＝25， ∴在△ABO 中，BO 2＝AB 2＋AO 2－2AB ×AO ×cos ∠BAO ，∴cos ∠BAO ＝55，∴sin ∠BAO ＝255.在Rt △ABM 中，r ＝25sin ∠BAO ＝4，∴所求面积S ＝πr 2＝16π.答案：16π16．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，侧面BCC 1B 1的面积为2，则直三棱柱ABC -A 1B 1C 1外接球表面积的最小值为__________． 详细分析：如图所示，设BC ，B 1C 1的中点分别为F ，E ，则知三棱柱ABC -A 1B 1C 1外接球的球心为线段EF 的中点O ，且BC ×EF ＝2.设外接球的半径为R ，则R 2＝BF 2＋OF 2＝⎝⎛⎭⎫BC 22＋⎝⎛⎭⎫EF 22＝BC 2＋EF 24≥14×2BC ×EF ＝1，当且仅当BC ＝EF ＝2时取等号．所以直三棱柱ABC -A 1B 1C 1外接球表面积的最小值为4π×12＝4π.答案：4π限时速解训练十七(建议用时45分钟)1．(2016·郑州市高中模拟)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，PD ⊥底面ABCD ，∠ADC ＝90°，AD ＝2BC ，Q 为AD 的中点，M 为棱PC 的中点．(1)证明：P A ∥平面BMQ ；(2)已知PD ＝DC ＝AD ＝2，求点P 到平面BMQ 的距离．(1)证明：连接AC 交BQ 于N ，连接MN ，因为∠ADC ＝90°，BC ＝12AD ，Q 为AD 的中点，所以N 为AC 的中点．又M 为PC 的中点，即PM ＝MC ，则MN 为△P AC 的中位线， 故MN ∥P A ，又MN ⊂平面BMQ ，P A ⊄平面BMQ ， 所以P A ∥平面BMQ .(2)解：由(1)可知，P A ∥平面BMQ ，所以点P 到平面BMQ 的距离等于点A 到平面BMQ 的距离，所以V P -BMQ ＝V A -BMQ ＝V M -ABQ ，取CD 的中点K ，连接MK ，所以MK ∥PD ，MK ＝12PD ＝1，又PD ⊥底面ABCD ，所以MK ⊥底面ABCD .又BC ＝12AD ＝1，PD ＝CD ＝2，所以AQ ＝1，BQ ＝2，MQ ＝3，NQ ＝1，所以V P -BMQ ＝V A -BMQ ＝V M -ABQ ＝13·12·AQ ·BQ ·MK ＝13.S △BMQ ＝2， 则点P 到平面BMQ 的距离d ＝3V P -BMQS △BMQ ＝22.2．(2016·南昌市高三模拟)四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形，平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ＝PB ＝AB ＝12AD ＝1，∠BAD ＝60°，E ，F 分别为AD ，PC 的中点．(1)求证：EF ∥平面P AB ； (2)求三棱锥P -ABD 的体积V P -ABD .(1)证明：取PB 的中点G ，连接AG ，FG ，又F 为PC 的中点，∴GF 是△PBC 的中位线，即GF =∥ 12BC ，又四边形ABCD 是平行四边形，E 为AD 中点，∴AE =∥ 12BC ，GF =∥ AE ，即四边形AEFG 是平行四边形， ∴EF ∥AG ，又AG ⊂平面P AB ，EF ⊄平面P AB ， ∴EF ∥平面P AB .(2)解：在平面P AB 中，过P 作PH ⊥AB ，垂足为H .∵平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，PH ⊂平面P AB ，PH ⊥AB . ∴PH ⊥平面ABCD ，∴PH 是三棱锥P -ABD 的高． ∵在等边三角形P AB 中，P A ＝PB ＝AB ＝1， ∴PH ＝32. ∵在△ABD 中，AB ＝1，AD ＝2，∠BAD ＝60°， ∴S △ABD ＝12×2×1×sin 60°＝32，∴V P -ABD ＝13S △ABD ·PH ＝13×32×32＝14. 3．(2016·昆明三中、玉溪一中统考)如图，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，且AB ∥EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且AD ＝EF ＝AF ＝1，AB ＝2.(1)求证：平面AFC ⊥平面CBF .(2)在线段CF 上是否存在一点M ，使得OM ∥平面ADF ？并说明理由． 证明：(1)∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB ⊥AB ， 平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，∴CB ⊥平面ABEF ，∵AF ⊂平面ABEF ， ∴AF ⊥CB ，又∵AB 为圆O 的直径，∴AF ⊥BF ， 且BC ∩BF ＝B ，∴AF ⊥平面CBF .∵AF⊂平面AFC，∴平面AFC⊥平面CBF.(2)取CF中点记作M，设DF的中点为N，连接AN，MN，则MN=∥12CD，又AO=∥12CD，则MN=∥AO，∴四边形MNAO为平行四边形，∴OM∥AN，又AN⊂平面DAF，OM⊄平面DAF，∴OM∥平面DAF.4．(2015·山东德州市高三模拟)如图所示是几何体ABCEF及其三视图，正视图和侧视图是直角梯形，俯视图是直角三角形，G是线段BF的中点．(1)求证：EG∥平面ABC；(2)求几何体ABCEF的体积．(1)证明：连接EG，取AB的中点D，连接GD，CD，又GB＝GF，所以AF=∥2GD.由三视图可知AF=∥2CE，所以GD=∥CE，四边形GDCE是平行四边形，所以CD∥EG.因为EG⊄平面ABC，CD⊂平面ABC，所以EG∥平面ABC.(2)解：由三视图可知，AB＝BC＝AF＝2，CE＝1，平面ABC ⊥平面ACEF ，平面ABC ∩平面ACEF ＝AC ，△ABC 为等腰直角三角形，取AC 的中点M ，连接BM ，则BM ⊥AC ，所以BM ⊥平面ACEF ，BM ＝ 2.所以几何体ABCEF 的体积V 几何体ABCEF ＝V 四棱锥B -ACEF ＝13S 梯形ACEF ·BM ＝13×12(AF ＋CE )·AC ·BM ＝13×12(2＋1)×22×2＝2. 限时速解训练十八(建议用时30分钟)1．(2016·郑州模拟)设α，β分别为两个不同的平面，直线l ⊂α，则“l ⊥β”是“α⊥β”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件详细分析：选A.依题意，由l ⊥β，l ⊂α可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l ⊂α不能推出l ⊥β.因此“l ⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件，选A.2．l 1，l 2，l 3是空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 1，l 3共面详细分析：选B.在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A 错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B 正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C 错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D 错．3．(2016·东北三校高三模拟)直线m ，n 均不在平面α，β内，给出下列命题：①若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α；②若m ∥β，α∥β，则m ∥α；③若m ⊥n ，n ⊥α，则m ∥α；④若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α.其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4详细分析：选 D.由空间直线与平面平行关系可知①正确；由空间直线与平面平行关系可知②正确；由线面垂直，线面平行的判定和性质可知③正确；由线面垂直，面面垂直可知④正确．故选D.4．(2016·合肥检测)设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题．① ⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∥γ⇒β∥γ； ② ⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βm ∥α⇒m ⊥β； ③ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ∥β⇒α⊥β； ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n n ⊂α⇒m ∥α. 其中正确的命题是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 详细分析：选C.对于②，直线m 与平面β可能平行或相交；对于④，直线m 可能也在平面α内．而①③都是正确的命题，故选C.5．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为m ，n 那么m ＋n ＝( )A ．8B ．9C ．10D ．11详细分析：选A.如图，∵CE ⊂平面ABPQ ，CE ∥平面A 1B 1P 1Q 1，∴CE 与正方体的其余四个面所在平面均相交，m ＝4，∵EF ∥平面BPP 1B 1，且EF ∥平面AQQ 1A 1，∴EF 与正方体的其余四个面所在平面均相交，n ＝4，故m ＋n ＝8，选A.6．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βC ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αD ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β详细分析：选C.直接判定每个选项是否可推出该结论．A 项，当m ∥α，n ∥α时，m ，n 可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；B 项，当m ∥a ，m ∥β，α，β可能平行也可能相交，故错误；C 项，当m ∥n ，m ⊥α时，n ⊥α，故正确；D 项，当m ∥α，α⊥β时，m 可能与β平行，可能在β内，也可能与β相交，故错误．7．(2016·辽宁省大连市模拟)在空间中，a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则真命题是( )A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥bC．若a∥α，a∥b，则b∥αD．若α∥β，a⊂α，则a∥β详细分析：选D.对于A，平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，因此选项A不正确；对于B，分别位于两个相互垂直的平面内的两条直线可能是平行的，因此选项B不正确；对于C，直线b可能位于平面α内，此时结论不正确；对于D，直线a与平面β没有公共点，因此a∥β，选项D正确．故选D.8．(2016·南昌市高三模拟)已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中不正确的是()A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m⊥α，m∥n，n⊆β，则α⊥βD．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n详细分析：选D.由线面平行、垂直之间的转化知A、B正确；对于C，因为m⊥α，m∥n，所以n⊥α，又n⊂β，所以β⊥α，即C正确；对于D，m∥α，α∩β＝n，则m∥n，或m与n是异面直线，故D不正确．9．(2016·青岛市高三模拟)设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是()A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥βC．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βD．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β详细分析：选C.当m∥α，n⊥β，m⊥n时，α，β可能垂直，也可能平行，故选项A，B错误；如图所示，由m∥n，得m，n确定一个平面γ，设平面γ交平面α于直线l，因为m∥α，所以m∥l，l ∥n，又n⊥β，所以l⊥β，又l⊂α，所以α⊥β，故选项C正确，D错误，故选C.10．已知α，β是两个不同的平面，有下列三个条件：①存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β；②存在一条直线a，a⊂α，a⊥β；③存在两条垂直的直线a，b，a⊥β，b⊥α.其中，所有能成为“α⊥β”的充要条件的序号是()A．①B．②C．③D．①③详细分析：选D.对于①，存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β，则α⊥β，反之也成立，即“存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β”是“α⊥β”的充要条件，所以①对，可排除B、C.对于③，存在两条垂直的直线a，b，则直线a，b所成的角为90°，因为a⊥β，b⊥α，所以α，β所成的角为90°，即α⊥β，反之也成立，即“存在两条垂直的直线a，b，a⊥β，b⊥α”是“α⊥β”的充要条件，所以③对，可排除A，选D.11．已知α，β是两个不同的平面，则α∥β的充分条件是()①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.A．①③B．①④C．②③D．②④详细分析：选B.存在一条直线a，a⊥α，a⊥β⇒α∥β，故①是α∥β的充分条件，①正确，排除C，D；对于③：存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，如图所示，不能推出α∥β，故③不是α∥β的充分条件，③不正确，排除A.选B.12.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是AA1，A1D1，CC1，BC的中点，给出以下四个结论：①A1C⊥MN；②A1C∥平面MNPQ；③A1C与PM相交；④NC 与PM异面．其中不正确的结论是()A．①B．②C．③D．④详细分析：选B.作出过M，N，P，Q四点的截面交C1D1于点S，交AB于点R，如图中的六边形MNSPQR，显然点A1，C分别位于这个平面的两侧，故A1C与平面MNPQ一定相交，不可能平行，故结论②不正确．13．已知α，β，γ是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且__________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是__________．详细分析：由定理“一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面和此平面的交线与该直线平行”可得，横线处可填入条件①或③.答案：①或③14．(2015·长春模拟)下列命题中正确的是__________．(填上你认为正确的所有命题的序号) ①空间中三个平面α，β，γ，若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ；②若a ，b ，c 为三条两两异面的直线，则存在无数条直线与a ，b ，c 都相交；③球O 与棱长为a 的正四面体各面都相切，则该球的表面积为π6a 2； ④三棱锥P -ABC 中，P A ⊥BC ，PB ⊥AC ，则PC ⊥AB .详细分析：①中也可以α⊥γ；②作平面与a ，b ，c 都相交；③中可得球的半径为r ＝612a ；④中由P A ⊥BC ，PB ⊥AC 得点P 在底面△ABC 的投影为△ABC 的垂心，故PC ⊥AB .答案：②③④15．如图，P A ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，E ，F 分别是点A 在PB ，PC 上的射影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC .其中正确命题的序号是__________． 详细分析：∵P A ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，∴CB ⊥P A ，CB ⊥AC ，∴CB ⊥平面P AC .又AF ⊂平面P AC ，∴CB ⊥AF .又∵F 是点A 在PC 上的射影，∴AF ⊥PC ，又PC ∩BC ＝C ，PC ，BC ⊂面PBC∴AF ⊥平面PBC故①③正确．又∵E 为A 在PB 上的射影，∴AE ⊥PB ，∴PB ⊥平面AEF ，故②正确．而AF ⊥平面PCB ，∴AE 不可能垂直于平面PBC .故④错．答案：①②③16．(2016·西安模拟)如图，在直角梯形ABCD 中，BC ⊥DC ，AE ⊥DC ，M ，N 分别是AD ，BE 的中点，将三角形ADE 沿AE 折起．下列说法正确的是__________(填上所有正确的序号)．①不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)都有MN ∥平面DEC ；②不论D 折至何位置都有MN ⊥AE ；③不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)都有MN ∥AB ；④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC ⊥AD .详细分析：连接MN交AE于点P，则MP∥DE，NP∥AB，∵AB∥CD，∴NP∥CD.对于①，由题意可得平面MNP∥平面DEC，∴MN∥平面DEC，故①正确；对于②，∵AE⊥MP，AE⊥NP，∴AE⊥平面MNP，∴AE⊥MN，故②正确；对于③，∵NP∥AB，∴不论D折至何位置(不在平面ABC内)都不可能有MN∥AB，故③不正确；对于④，由题意知EC⊥AE，故在折起的过程中，当EC⊥DE时，EC⊥平面ADE，∴EC⊥AD，故④正确．答案：①②④。