2015届高考调研理科单元测试卷1
河南省安阳市2015届高三毕业班调研考试数学(理)试题 扫描版含答案
2015届高三毕业班调研考试数学(理科)·答案一、选择题：本大题共12小题,每小题5分.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.三、解答题（18）解：（Ⅰ）从茎叶图可知，空气质量为一级的有4天，为二级的有6天，超标的有5天，记“从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天的监测数据，至少有一天空气质量达到一级”为事件A ，则311315C 58()1.C 91P A =-=……………………………………（6分） （Ⅱ）由题意可知ξ的可能值为0,1,2,3， 则031221510510510333151515C C C C C C 244520(0),(1),(2),C 91C 91C 91P P P ξξξ========= 30510315C C 2(3).C 91P ξ=== 所以ξ的分布列为2445()0123191919191E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（或()3115E ξ=⨯=).…………………（12分）（Ⅱ）取DE 的中点M ，连接,FM BM ，AG ∥BF ，CD ∥FM ，且AG CD G =，BFFM F =，∴平面ACD ∥平面BFM ，∴平面ACD 与平面BCE 所成的角等于平面BFM 与平面BCE 所成的角， 由（Ⅰ）知BF ⊥平面CDE ，∴BF FM ⊥，BF EF ⊥，∴EFM ∠为平面BFM 与平面BCE 所成二面角的平面角，……………………………（9分） 易知,DE AD DE AG ⊥⊥,∴DE ⊥平面,ACD DE CD ∴⊥，∴CDE △为等腰直角三角形，∴cos cos EFM ECD ∠=∠=， ∴平面ACD 与平面BCE 所成锐二面角的余弦值为22.……………………………（12分）（21）解：（Ⅰ）()1a x af x x x-'=-=，()f x 的定义域为()0,+∞，…………………（ 1分）当0a …时，()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '=，得x a =，此时()f x ，()f x '随x 的变化情况如下表：所以()f x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞. 综上可得：当0a …时， ()f x 在()0,+∞上单调递增，无减区间；当0a >时，()f x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞.………………（4分）（Ⅱ）由题意得()min 0f x …，由（Ⅰ）知，当0a >时，()()min 1ln f x f a a a a ==--， 则()1ln 0f a a a a =--…，令()1ln g a a a a =--，可得()ln g a a '=-，因此()g a 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 10g a g ==，故1ln 0a a a --…成立的解只有1a =；……………………………………………………………………………（6分）当0a …时， ()f x 在()0,+∞上单调递增，0x →，()f x →-∞，故不合题意.综上可知实数a 的取值集合为{}1.…………………………………………………………（8分） （Ⅲ）要证明原不等式，只要证()11ln 111ln 1n n n n ⎛⎫⎛⎫+<<++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即证111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，令11x n =+，只要证()11ln 112x x x x -<<-<…，…………（9分）由（Ⅰ）可知，当1a =时，()1ln f x x x =--在(]1,2上单调递增，因此()()10f x f >=，即ln 1x x <-.………………………………………………………………………………（10分）令()1ln 1x x x ϕ=+-(12)x <…，则()221110x x x x xϕ-'=-=>，所以()x ϕ在(]1,2上单调递增，因此()()10x ϕϕ>=，即1ln 10x x+->，综上可知原命题成立.……………（12分）（23）解：（Ⅰ）因为圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，则22cos ρρθ=，即222x y x +=，所以圆C 的直角坐标方程为()2211x y -+=.……………………………（2分）因为tan 2α=，α是锐角，所以cos α=，sin α=又直线l ()cos 2θα+=，cos sin 2αρθαρθ⋅⋅=，即直线l 的直角坐标方程220x y --=．………………………………………………（5分）（Ⅱ）联立2220,220,x x y x y ⎧-+=⎨--=⎩得2,0x y =⎧⎨=⎩或2,54,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩取()2,0A ，24(,)55B -，设点(,)M x y 是圆D 上的任一点，因为AB 为圆D 的直径，则0AM BM ⋅=， 而(2,)AM x y =-，24(,)55BM x y =-+，所以()242()()055x x y y --++=，即225512440x y x y +-++=，………………………（8分）化为标准方程为22624()()555x y -++=，所以圆D的参数方程为6,52.5x y ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（ϕ为参数）………………………………（10分）。
惠州市2015届高三第一次调研考试(理科试题)
惠州市2015届高三第一次调研考试数 学 (理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．复数i iz +=1（其中i 为虚数单位）的虚部是 （ ） .A 21- .B i 21 .C 21 .D i 21-2．已知集合},1{R x x y y A ∈-==，}2{≥=x x B ，则下列结论正确的是（ ）.A A ∈-3.B B ∉3 .C A B B ⋂= .D A B B ⋃=3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为9009001200、、人，现用分层抽样的方法从该 校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为 ( ).A 15 .B 20 .C 25 .D 30 4．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若5418a a -=，则=8S ( ).A 18.B 36 .C 54 .D 725．在二项式52)1(xx -的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）.A 10 .B 10- .C 5- .D 206．若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（ ） .A 30 .B 12 .C 24 .D 4 7．已知y x ,都是区间]2,0[π内任取的一个实数，则使得x y sin ≤的取值的概率是（ ）.A 24π .B π2.C21.D22π8．已知向量a 与b 的夹角为θ，定义b a ⨯为a 与b 的“向量积”，且b a ⨯是一个向量，它的θ=，若(2,0)u =r，(1,u v -=r r=+)(v u （ ）.A 34.B 3 .C 6 .D 32二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9． 函数3log (32)y x =-的定义域是 .10．以抛物线x y 42=的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是 . 11．用数字1,2,3,4可以排成没有重复数字的四位偶数，共有____________个.12．设变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥110y y x x ，则y x +的最大值是 .13．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R x ∈，2)('>x f ，则42)(+>x x f 的解集为 .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。
深圳市2015届高三年级第一次调研考试(理综)DOC
绝密★启用前试卷类型：A深圳市2015届高三年级第一次调研考试理科综合本试卷共12页，36小题，满分300分。
考试用时150分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。
用2B铅笔将答题卡试卷类型（A）填涂在答题卡上。
在答题卡右上角的“试卷号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
相对原子质量：H 1 C 12 N-14 O 16 S 32 Cl 35.5 Br 80 Li 7 Na 23 Al 27Cu 64 Fe 56 Co 59一、单项选择题（本大题16小题,每小题4分,共64分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项最符合题目要求。
选对的得4分，多选、选错或不答的得0分。
1．下列有关真核细胞生物膜的叙述错误的是A．生物膜上可合成A TP B．性激素的合成与生物膜有关C．生物膜上可发生信号转换D．流动镶嵌模型属于概念模型2．人体细胞中的某基因活化后，导致细胞癌变。
相关推测最合理的是A．该基因基本组成单位是脱氧核糖核酸B．该基因活化后其细胞周期缩短C．癌细胞表面的糖蛋白数量会明显增多D．癌细胞中DNA聚合酶活性降低3．某研究性学习小组调查了土壤中小动物类群的丰富度，结果如下表。
相关分析正确的是A．表中所列出的三种动物均为消费者B．可用标志重捕法调查表中土壤动物的种群密度C ．土壤中的小动物没有垂直分层现象D ．实验探究了水分和时间对土壤动物分布的影响 4．下列与核酸有关的说法正确的是A ．含RNA 的生物一定含DNAB ．含DNA 的生物一定含RNAC ．含RNA 的细胞器一定含DNAD ．含DNA 的活细胞一定含RNA 5．关于生物进化的说法正确的是A ．随机交配使种群基因库发生改变B ．自然选择直接作用于生物个体的表现型C ．新物种的产生必须经过地理隔离D ．共同进化只发生在生物与无机环境之间6．某课题组以南瓜为实验材料，应用赤霉素和生长素进行相关研究。
2015 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学理科答案-精简修改版
y kx m ， ……………………………………5 分 联立直线 l 和椭圆 E 的方程，得 x 2 2 1 y 2
消去 y 并整理，得 2k 1 x 4kmx 2m 2 0 ，
2 2 2
…………………………6 分
5π 7π π π ) 2sin 2sin( π) 2sin 1 ． 12 6 6 6
………………………………5 分
（2）由 sin x0
1 3 2 得 cos 2 x0 1 2sin x0 ， ………………………………7 分 3 3 π 又 x0 (0, ) ， 2 x0 (0, π) ， ……………………………………………8 分 2
…………………………………2 分
12 6 4 个， ………………………………… 3 分 12 6 6 6 2 个， 从“轻度污染”类城市中抽取 n2 ……………………………4 分 12 6 所以抽出的“良好”类城市为 4 个，抽出的“轻度污染”类城市为 2 个．
根据题意 的所有可能取值为： 1, 2, 3 ．
………………………………14 分
a 2 b2 2 2 2 2 ，所以 ，解得 a 2b ， a 2 2
x2 y 2 故椭圆 E 的方程可设为 2 2 1 ，则椭圆 E 的右焦点坐标为 b, 0 ， 过右焦点倾 2b b
斜角为 45 的直线方程为 l : y x b ．
②
……………………… 9 分
b1 1， b2 ， b3
1 ， 2
………………………………………10 分
若数列 bn } 为等比数列，则有 b2 2 b1b3 ，即 2 (1)(
河北省衡水中学2015届高三下学期一调数学试卷(理科)(Word版含解析)
河北省衡水中学2015届高三下学期一调数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合I={x|﹣3＜x＜3，x∈z}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A∩（∁I B）等于（）A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）复数z满足（﹣1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知正数组成的等比数列{a n}，若a1•a20=100，那么a7+a14的最小值为（）A．20 B．25 C．50 D．不存在4．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）设x，y满足约束条件，则取值范围是（）A．[1，5]B．[2，6]C．[3，10]D．[3，11]6．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=7．（5分）已知一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积为（）A．4+4+5 B．2+2+C．D．2+2+38．（5分）利用如图所示算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=10内的共有（）个．A．2B．3C．4D．59．（5分）已知点A（﹣1，0），若函数f（x）的图象上存在两点B、C到点A的距离相等，则称该函数f（x）为“点距函数”，给定下列三个函数：①y=﹣x+2（﹣1≤x≤2）；②y=；③y=x+4（x≤﹣）．其中，“点距函数”的个数是（）A．0B．1C．2D．310．（5分）设直线l与曲线f（x）=x3+2x+1有三个不同的交点A、B、C，且|AB|=|BC|=，则直线l的方程为（）A．y=5x+1 B．y=4x+1 C．y=x+1 D．y=3x+111．（5分）四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为的同一半球面上，则当四棱锥S﹣ABCD的体积最大时，底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（）A．2﹣B．2C．D．+112．（5分）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，则S n=（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（5分）已知，那么展开式中含x2项的系数为．14．（5分）已知P为△ABC所在的平面内一点，满足的面积为2015，则ABP的面积为．15．（5分）若实数a、b、c成等差数列，点P（﹣1，0）在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点N（0，3），则线段MN长度的最小值是：．16．（5分）已知函数f（x）=，若存在k使得函数f（x）的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（14分）设向量=（cosωx﹣sinωx，﹣1），=（2sinωx，﹣1），其中ω＞0，x∈R，已知函数f（x）=•的最小正周期为4π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若sinx0是关于t的方程2t2﹣t﹣1=0的根，且，求f（x0）的值．18．（14分）为了参加2013年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出12人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：学校学校甲学校乙学校丙学校丁人数 4 4 2 2该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军，现要从中选出两名队员代表冠军队发言．（Ⅰ）求这两名队员来自同一学校的概率；（Ⅱ）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．19．（14分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（Ⅱ）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求二面角C﹣A1D﹣E的余弦值．20．（14分）定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆C1：的长轴长是4，椭圆C2：短轴长是1，点F1，F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点，（Ⅰ）求椭圆C1，C2的方程；（Ⅱ）过F1的直线交椭圆C2于点M，N，求△F2MN面积的最大值．21．（14分）已知f（x）=xlnx，g（x）=，直线l：y=（k﹣3）x﹣k+2（1）函数f（x）在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值（2）若至少存在一个x0∈[1，e]使f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围（3）设k∈Z，当x＞1时f（x）的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．河北省衡水中学2015届高三下学期一调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合I={x|﹣3＜x＜3，x∈z}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A∩（∁I B）等于（）A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由全集I及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．解答：解：∵集合I={x|﹣3＜x＜3，x∈Z}={﹣2，﹣1，0，1，2}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，∴∁I B={0，1}，则A∩（∁I B）={1}．故选：A．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）复数z满足（﹣1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：根据两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，化简复数z为=1﹣i，故z对应点的坐标为（1，﹣1），从而得出结论．解答：解：∵复数z满足（﹣1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，∴z=====1﹣i，故复数z对应点的坐标为（1，﹣1），故选D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3．（5分）已知正数组成的等比数列{a n}，若a1•a20=100，那么a7+a14的最小值为（）A．20 B．25 C．50 D．不存在考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得a 7+a14≥2=2=2=20．解答：解：∵正数组成的等比数列{a n}，a1•a20=100，∴a 7+a14≥2=2=2=20．当且仅当a7=a14时，a7+a14取最小值20．故选：A．点评：本题考查等比数列中两项和的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．4．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：判充要条件就是看谁能推出谁．由m⊥β，m为平面α内的一条直线，可得α⊥β；反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β．解答：解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，且m⊥β，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β，所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故选B．点评：本题考查线面垂直、面面垂直问题以及充要条件问题，属基本题．5．（5分）设x，y满足约束条件，则取值范围是（）A．[1，5]B．[2，6]C．[3，10]D．[3，11]考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：再根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线l0过A（0，4）时l0最大，k也最大为11，当直线l0过B（0，0））时l0最小，k也最小为3即可．解答：解：根据约束条件画出可行域，∵设k==1+，整理得（k﹣1）x﹣2y+k﹣3=0，由图得，k＞1．设直线l0=（k﹣1）x﹣2y+k﹣3，当直线l0过A（0，4）时l0最大，k也最大为11，当直线l0过B（0，0））时l0最小，k也最小为3．故选D．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；定积分．专题：三角函数的图像与性质．分析：由f（x）dx=0求得cos（φ+）=0，故有φ+=kπ+，k∈z．可取φ=，则f（x）=sin（x﹣）．令x﹣=kπ+，求得x的值，可得函数f（x）的图象的一条对称轴方程．解答：解：∵函数f（x）=sin（x﹣φ），f（x）dx=﹣cos（x﹣φ）=﹣cos（﹣φ）﹣[﹣cos（﹣φ）]=cosφ﹣sinφ=cos （φ+）=0，∴φ+=kπ+，k∈z，即φ=kπ+，k∈z，故可取φ=，f（x）=sin（x﹣）．令x﹣=kπ+，求得x=kπ+，k∈Z，则函数f（x）的图象的一条对称轴为x=，故选：A．点评：本题主要考查定积分，函数y=Asin（ωx+φ）的图象的对称性，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．7．（5分）已知一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积为（）A．4+4+5 B．2+2+C．D．2+2+3考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三棱柱的三视图可得几何体是一个三棱柱，分别计算出棱柱的底面面积，底面周长和高，代入棱柱表面积公式，可得答案．解答：解：由三棱柱的三视图可得几何体是一个三棱柱，底面三角形的三边长为：1，，故底面三角形的面积为：×1×1=，底面周长为：1++，棱柱的高为2，故棱柱的表面积：S=2×+（1++）×2=2+2+3，故选：D点评：本题考查了由三视图求原几何体的体积和表面积，解答的关键是由三视图还原原图形，是基础的计算题．8．（5分）利用如图所示算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=10内的共有（）个．A．2B．3C．4D．5考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是打印满足条件的点，执行程序不难得到所有打印的点的坐标，再判断点与圆x2+y2=10的位置关系，即可得到答案．解答：解：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是打印如下点：（﹣3，6）、（﹣2，5）、（﹣1，4）、（0，3）、（1，2）其中（0，3）、（1，2）满足x2+y2＜10，即在圆x2+y2=10内，故打印的点在圆x2+y2=10内的共有2个，故选：A点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型⇒③解模．9．（5分）已知点A（﹣1，0），若函数f（x）的图象上存在两点B、C到点A的距离相等，则称该函数f（x）为“点距函数”，给定下列三个函数：①y=﹣x+2（﹣1≤x≤2）；②y=；③y=x+4（x≤﹣）．其中，“点距函数”的个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：进行简单的合情推理．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知中函数f（x）为“点距函数”的定义，逐一判断所给定的三个函数，是否满足函数f（x）为“点距函数”的定义，最后综合讨论结果，可得答案．解答：解：对于①，过A作直线y=﹣x+2的垂线y=x+1，交直线y=﹣x+2于D（，）点，D（，）在y=﹣x+2（﹣1≤x≤2）的图象上，故y=﹣x+2（﹣1≤x≤2）的图象上距离D距离相等的两点B、C，满足B、C到点A的距离相等，故该函数f（x）为“点距函数”；对于②，y=表示以（﹣1，0）为圆心以3为半径的半圆，图象上的任意两点B、C，满足B、C到点A的距离相等，故该函数f（x）为“点距函数”；对于③，过A作直线y=x+4的垂线y=﹣x﹣1，交直线y=x+4于E（，）点，E（，）是射线y=x+4（x≤﹣）的端点，故y=x+4（x≤﹣）的图象上不存在两点B、C，满足B、C到点A的距离相等，故该函数f（x）不为“点距函数”；综上所述，其中“点距函数”的个数是2个，故选：C点评：本题考查的知识点是新定义函数f（x）为“点距函数”，正确理解函数f（x）为“点距函数”的概念是解答的关键．10．（5分）设直线l与曲线f（x）=x3+2x+1有三个不同的交点A、B、C，且|AB|=|BC|=，则直线l的方程为（）A．y=5x+1 B．y=4x+1 C．y=x+1 D．y=3x+1考点：函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：根据对称性确定B的坐标，设出直线方程代入曲线方程，求出A的坐标，利用条件，即可求出斜率的值，从而得到直线的方程．解答：解：由题意，曲线f（x）=x3+2x+1是由g（x）=x3+2x，向上平移1个单位得到的，函数g（x）=x3+2x是奇函数，对称中心为（0，0），曲线f（x）=x3+2x+1的对称中心：B（0，1），设直线l的方程为y=kx+1，代入y=x3+2x+1，可得x3=（k﹣2）x，∴x=0或x=±∴不妨设A（，k+1）（k＞2）∵|AB|=|BC|=∴（﹣0）2+（k+1﹣1）2=10∴k3﹣2k2+k﹣12=0∴（k﹣3）（k2+k+4）=0∴k=3∴直线l的方程为y=3x+1故选：D．点评：本题考查直线与曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，设出直线方程是关键．11．（5分）四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为的同一半球面上，则当四棱锥S﹣ABCD的体积最大时，底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（）A．2﹣B．2C．D．+1考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：画出图形，判断四棱锥体积最大时S的位置，然后求解底面ABCD的中心与顶点S之间的距离即可．解答：解：四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为的同一半球面上，则当四棱锥S﹣ABCD的体积最大时，顶点S与球心的连线恰好底面ABCD的一边的中点，如图：此时球心O到底面中心F的距离为：OF==1．即EF=OF=1，∠SEF=45°，SE=，SF==所求距离为：．故选：C．点评：本题考查球的内接体，几何体的高的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（5分）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，则S n=（）A．B．C．D．考点：数列与函数的综合．专题：综合题．分析：根据定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），可得f（x+2）=f（x），从而f（x+2n）=f（x），利用当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x，可求（x）在[2n﹣2，2n）上的解析式，从而可得f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n，进而利用等比数列的求和公式，即可求得{a n}的前n项和为S n．解答：解：∵定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），∴f（x+2）=f（x），∴f（x+4）=f（x+2）=f（x），f（x+6）=f（x+4）=f（x），…f（x+2n）=f（x）设x∈[2n﹣2，2n），则x﹣（2n﹣2）∈[0，2）∵当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．∴f[x﹣（2n﹣2）]=﹣2[（x﹣（2n﹣2）]2+4[x﹣（2n﹣2）]．∴=﹣2（x﹣2n+1）2+2∴f（x）=21﹣n[﹣2（x﹣2n+1）2+2]，x∈[2n﹣2，2n），∴x=2n﹣1时，f（x）的最大值为22﹣n∴a n=22﹣n∴{a n}表示以2为首项，为公比的等比数列∴{a n}的前n项和为S n==故选B．点评：本题以函数为载体，考查数列的通项与求和，解题的关键是确定函数的解析式，利用等比数列的求和公式进行求和．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（5分）已知，那么展开式中含x2项的系数为135．考点：定积分；二项式定理的应用．专题：计算题；导数的概念及应用；概率与统计．分析：根据定积分的计算方法，计算，可得n的值，进而将n=6代入，利用通项公式T r+1=C n r a n﹣r b r来解决，在通项中令x的指数幂为2可求出含x2是第几项，由此算出系数．解答：解：根据题意，=lnx|1{\;}^{{e}^{6}}=6，则中，由二项式定理的通项公式T r+1=C n r a n﹣r b r可设含x2项的项是T r+1=C6r（﹣3）r x6﹣2r可知r=2，所以系数为C62×9=135，故答案为：135．点评：本题考查二项式定理的应用以及定积分的计算，关键是由定积分的计算得到n的值．14．（5分）已知P为△ABC所在的平面内一点，满足的面积为2015，则ABP的面积为1209．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：取AB中点D，根据已知条件便容易得到，所以三点D，P，C共线，并可以画出图形，根据图形即可得到，所以便可得到．解答：解：取AB中点D，则：=；∴；∴D，P，C三点共线，如图所示：∴；∴=1209．故答案为：1209．点评：向量加法的平行四边形法则，以及共线向量基本定理，数形结合的方法及三角形面积公式．15．（5分）若实数a、b、c成等差数列，点P（﹣1，0）在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点N（0，3），则线段MN长度的最小值是：4﹣．考点：等差数列的性质；点到直线的距离公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得动直线l：ax+by+c=0过定点Q（1，﹣2），PMQ=90°，点M在以PQ为直径的圆上，求出圆心为PQ的中点C（0，﹣1），且半径为．求得点N到圆心C的距离，再减去半径，即得所求．解答：解：因为a，b，c成等差数列，故有2b=a+c，即a﹣2b+c=0，对比方程ax+by+c=0可知，动直线恒过定点Q（1，﹣2）．由于点P（﹣1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，即∠PMQ=90°，所以点M在以PQ为直径的圆上，该圆的圆心为PQ的中点C（0，﹣1），且半径为=，再由点N到圆心C的距离为NC=4，所以线段MN的最小值为NC﹣r=4﹣，故答案为：4﹣．点评：本题主要考查等差数列的性质，直线过定点问题、圆的定义，以及点与圆的位置关系，属于中档题．16．（5分）已知函数f（x）=，若存在k使得函数f（x）的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是[，1]．考点：分段函数的应用．专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用．分析：分别作出函数y=log2（1﹣x）+1，（x＞﹣1）和y=x2﹣3x+2的图象，观察函数值在[0，2]内的图象，讨论最小值和最大值的情况，对a讨论，a=1，a＞1，a＜1，以及a＜，a，的情况，即可得到结论．解答：解：分别作出函数y=log2（1﹣x）+1，（x＞﹣1）和y=x2﹣3x+2的图象，由于函数f（x）的值域是[0，2]，则观察函数值在[0，2]内的图象，由于f（﹣1）=log22+1=2，f（0）=02﹣3×0+2=2，显然a=0不成立，a=1成立，a＞1不成立，又f（）=+1=0，若a＜，则最小值0取不到，则a，综上可得，．即有实数a的取值范围是[，1]．故答案为：[，1]．点评：本题考查已知函数的值域，求参数的范围，考查数形结合的思想方法，注意观察和分析，考查运算能力，属于中档题和易错题．三、解答题：本大题共5小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（14分）设向量=（cosωx﹣sinωx，﹣1），=（2sinωx，﹣1），其中ω＞0，x∈R，已知函数f（x）=•的最小正周期为4π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若sinx0是关于t的方程2t2﹣t﹣1=0的根，且，求f（x0）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换以及两个向量的数量积公式化简函数f（x）的解析式为，再根据周期求得ω的值．（Ⅱ）求得方程2t2﹣t﹣1=0的两根，可得，可得x0的值，从而求得f（x0）的值．解答：解：（Ⅰ）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+1=sin2ωx+cos2ωx=，因为T=4π，所以，ω=．…（6分）（Ⅱ）方程2t2﹣t﹣1=0的两根为，因为，所以sinx0∈（﹣1，1），所以，即．又由已知，所以．…（14分）点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，两个向量的数量积公式的应用，属于中档题．18．（14分）为了参加2013年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出12人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：学校学校甲学校乙学校丙学校丁人数 4 4 2 2该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军，现要从中选出两名队员代表冠军队发言．（Ⅰ）求这两名队员来自同一学校的概率；（Ⅱ）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式．专题：概率与统计．分析：（I）“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一学校”记作事件A，根据题设条件，利用排列组合知识能求出这两名队员来自同一学校的概率．（II）ξ的所有可能取值为0，1，2，分别求出其相对应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．解答：解：（I）“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一学校”记作事件A，则．…（6分）（II）ξ的所有可能取值为0，1，2…（7分）则，，∴ξ的分布列为：ξ0 1 2P…（10分）∴…（13分）点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年2015届高考中都是必考题型．19．（14分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（Ⅱ）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求二面角C﹣A1D﹣E的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；二面角的平面角及求法．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）根据题意，得△ABE是正三角形，∠AEB=60°，等腰△CDE中∠CED=（180°﹣∠ECD）=30°，所以∠AED=90°，得到DE⊥AE，结合DE⊥AA1，得DE⊥平面A1AE，从而得到平面A1AE⊥平面平面A1DE．（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C．证出EF∥A1D，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角．利用勾股定理和三角形中位线定理，算出△AEF各边的长，再用余弦定理可算出异面直线AE与A1D所成角的余弦值．（3）建立的空间直角坐标系中，求得平面A1DE的一个法向量，平面CA1D的法向量，利用向量数量积求解夹角余弦值，则易得二面角C﹣A1D﹣E的余弦值．解答：解：（1）依题意，BE=EC=BC=AB=CD，∴△ABE是正三角形，∠AEB=60°，又∵△CDE中，∠CED=∠CDE=（180°﹣∠ECD）=30°∴∠AED=180°﹣∠CED﹣∠AEB=90°，即DE⊥AE，∵AA1⊥平面ABCD，DE⊆平面ABCD，∴DE⊥AA1，∵AA1∩AE=A，∴DE⊥平面A1AE，∵DE⊆平面A1DE，∴平面A1AE⊥平面A1DE．（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C，∵△BB1C中，EF是中位线，∴EF∥B1C∵A1B1∥AB∥CD，A1B1=AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，可得B1C∥A1D∴EF∥A1D，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角．∵△CDE中，DE=CD==A1E=，AE=AB=1∴A1A=，由此可得BF=，AF=EF==，∴cos∠AEF==，即异面直线AE与A1D所成角的余弦值为（Ⅲ）取BE的中点F，以A为原点，AF所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，AA1=则A（0，0，0），D（0，2，0），C（，，0），A1（0，0，），又，设平面CA1D的法向量则得，同理可得平面A1DE的一个法向量为=（）设二面角C﹣A1D﹣E的平面角为θ，且θ为锐角则cosθ=|cos＜＞|===所以二面角C﹣A1D﹣E的余弦值为．点评：本题在直平行六面体中，求证面面垂直并求异面直线所成角余弦，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和异面直线所成角的求法等知识，属于中档题．20．（14分）定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆C1：的长轴长是4，椭圆C2：短轴长是1，点F1，F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点，（Ⅰ）求椭圆C1，C2的方程；（Ⅱ）过F1的直线交椭圆C2于点M，N，求△F2MN面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c'，易知a=2，b=m，n=，根据椭圆C1与椭圆C2的离心率相等，可得关于a，b，m，n的方程，解出即可；（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：．与椭圆C2的方程联立消掉x得y的二次方程，则△＞0，由弦长公式可表示出|MN|，由点到直线的距离公式可表示出△F2MN的高h，则△F2MN的面积S=，变形后运用基本不等式即可求得S的最大值；解答：解：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c'．由已知a=2，b=m，．∵椭圆C1与椭圆C2的离心率相等，即，∴，即∴，即bm=b2=an=1，∴b=m=1，∴椭圆C1的方程是，椭圆C2的方程是；（Ⅱ）显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为：．联立：，得，即，∴△=192m2﹣44（1+4m2）=16m2﹣44＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴，△F2MN的高即为点F2到直线的距离．∴△F2MN的面积，∵，等号成立当且仅当，即时，∴，即△F2MN的面积的最大值为．点评：本题考查椭圆方程及其性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系，考查基本不等式求函数的最值，考查学生的运算能力、分析解决问题的能力．21．（14分）已知f（x）=xlnx，g（x）=，直线l：y=（k﹣3）x﹣k+2（1）函数f（x）在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值（2）若至少存在一个x0∈[1，e]使f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围（3）设k∈Z，当x＞1时f（x）的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求导，根据导数的几何意义得到关于k的方程解得即可．（2）由于存在x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0），则kx0＞2lnx0⇒a＞，只需要k大于h（x）=的最小值即可．（3）分离参数，得到k＜，构造函数，求函数的最小值即可．解答：解：（1）∵f′（x）=1+lnx，∴f′（e）=1+lne=k﹣3∴k=5，（2）由于存在x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0），则ax02＞x0lnx0，∴a＞设h（x）=则h′（x）=，当x∈[1，e]时，h′（x）≥0（仅当x=e时取等号）∴h（x）在[1，e]上单调递增，∴h（x）min=h（1）=0，因此a＞0．（3）由题意xlnx＞（k﹣3）x﹣k+2在x＞1时恒成立即k＜，设F（x）=，∴F′（x）=，令m（x）=x﹣lnx﹣2，则m′（x）=1﹣=＞0在x＞1时恒成立所以m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0，所以在（1，+∞）上存在唯一实数x0（x0∈（3，4））使m（x）=0当1＜x＜x0时m（x）＜0即F′（x）＜0，当x＞＜x0时m（x）＞0即F′（x）＞0，所以F（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，F（x）min=F（x0）===x0+2∈（5，6）故k＜x0+2又k∈Z，所以k的最大值为5点评：本题考查导数在研究函数的单调性、函数恒成立的问题，考查等价转化的思想方法以及分析问题的能力，属于难题．。
2015高考理科综合全真模拟卷参考答案
2015届高中毕业生五月调研考试理科综合评分标准一、选择题：本大题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一项符合题目要求，第18～21题有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
必须做答。
第33题～第40题为选考题，考生根据要求做答。
（一）必考题（共129分）22.（5分）(2)mg (s 2＋s 3＋s 4)（2分）⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2212544421T s s T s s m （2分） (3)pkp E E E ∆∆-∆或kkp E E E ∆∆-∆（1分）23.（10分） 6.0 （2分）(1)电路图如图所示。
（2分）(2)2122I I r I -（2分） (3) 5.663（5.661~5.665） （2分）(4) LRa 16332 （2分）24.（14分）（1）电动车提供的机械功率为 P = UI ×75%…………………………（1分）且 P = F 牵v 0 ………………………………（1分）最大速度行驶时匀速，则：f = F 牵………………………………（1分） 代入数据得：f = F 牵 = 72 N …………………………………（1分） （2）匀速阶段：t 1 = 4 s 内，位移为s 1 = v 0t 1 = 40 m ……………………（1分） 滑行阶段：t 2 = 8 s 内，加速度a 2 =－f /m =－0.72 m/s 2…………（1分） 末速度为 v 2 = v 0＋a 2t 1 = 4.24 m/s ……………………（1分）位移为s 2 =v 0+v 12t 2 = 56.96 m …………………………（1分） 刹车阶段：t 3 = 2 s ……………………………………………（1分） a 3 =－v 2 / t 3 =－2.12 m/s 2 ………………………………（1分） －Δf －f = m a 3 …………………………………………（1分） Δf =－( m a 3＋f )= 140 N …………………………………（1分） （3）刹车阶段：s 3 =v 2+02 t 3= 4.24 m ……………………………………（1分） 总位移s = s 1＋s 2＋s 3 = 101.2 m ………………………………………（1分） 25.（18分） 解：（1）设粒子经过时间t 0打在A 点沿＋x 方向有L = v 0t 0 ……………………………………………（2分） 沿＋y 方向有 L = 12 E 0q m t 02……………………………………（2分）解得 q m = 2v 02E 0L …………………………………………………（2分）（2）粒子通过电场的时间t =2Lv 0= 2T …………………………………………………………（1分） 分析：从t = 0时刻开始，粒子在电场中运动时，每个场强变化周期的前1/4时间内的加速度大小a 1 =3Eqm， 沿＋y 方向；在每个场强变化周期的后3/4时间内加速度大小a 2 = Eqm，沿－y 方向。
2015年_全国I卷理科综合(原卷+答案)
20、如图（a），一物块在 t=0 时刻滑上一固定斜面，
其运动的 v—t 图线如图（b）所示。若重力加速度
及图中的 v0 、 v1 、 t 1 均为已知量，则可求出
A．斜面的倾角 B．物块的质量 C．物块与斜面间的动摩擦因数 D．物块沿斜面向上滑行的最大高度 21、我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运 行；然后经过一系列过程，在离月面 4m 高处做一次悬停（可认为是相对于月球静止）；最后关
M、N、P、Q 是它们的交点，四点处的电势分别为 φM 、
φN 、 φP 、 φP 。一电子有 M 点分别运动到 N 点和 P 点的过程中，
电场力所做的负功相等，则
A.直线 a 位于某一等势面内， φM φQ
B.直线 c 位于某一等势面内， φM φN
C.若电子有 M 点运动到 Q 点，电场力做正功 D.若电子有 P 点运动到 Q 点，电场力做负功 16.一理想变压器的原、副线圈的匝数比为 3:1，在原、副线圈的回路中分别接有阻值相同的电阻， 原线圈一侧接在电压为 220V 的正弦交流电源上，如图所示。设副线圈回路中电阻两端的电压
为U ，原、副线圈回路中电阻消耗的功率的比值为 k，则
A. U 66V ,k 1 9
C. U 66V ,k 1 3
B. U 22V ,k 1 9
D. U 22V ,k 1 3
17.如图，一半径为 R，粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定
放置,直径 POQ 水平。一质量为 m 的质点自 P 点上方高度 R 处
选错的得 0 分。
14.两相邻匀强磁场区域的磁感应强度大小不同、方向平行。一速度方向与磁感应强度方向垂直的
带电粒子（不计重力），从较强磁场区域进入到较弱磁场区域后，粒子的
深圳市2015届高三年级第一次调研考试理科数学
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．（本小题满分12分）函数π()2sin()3f x x ω=+（0ω>）的最小正周期是π． （1）求5π()12f 的值； （2）若03sin 3x =，且0π(0,)2x ∈，求0()f x 的值．17．（本小题满分12分）空气质量指数（简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站．下表是某网站公布的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实时监测到的数据：城市 AQI 数值 城市 AQI 数值 城市 AQI 数值 城市 AQI 数值 城市 AQI 数值 城市 AQI 数值 城市AQI数值广州 118 东莞 137 中山 95 江门 78 云浮 76 茂名 107 揭阳 80 深圳 94 珠海 95 湛江 75 潮州 94 河源 124 肇庆 48 清远 47 佛山 160惠州 113汕头 88汕尾 74阳江 112韶关 68梅州 84（1）请根据上表中的数据，完成下列表格：空气质量 优质 良好 轻度污染 中度污染 AQI 值范围 [0,50) [50，100） [100,150) [150,200) 城市个数（2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取6个城市，省环保部门再从中随机选取3个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为ξ”，求ξ的分布列和数学期望．在三棱锥P ABC -中，已知平面PBC ⊥平面ABC ，AB 是底面△ABC 最长的边．三棱锥P ABC -的三视图如图5所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形．（1）请在图6中，用斜二测画法，把三棱锥P ABC -的直观图补充完整（其中点P 在 xOz 平面内），并指出三棱锥P ABC -的哪些面是直角三角形；（2）求二面角B PA C --的正切值； （3）求点C 到面PAB 的距离．侧视图 正视图 图5 俯视图 42322z 图6 O P y x已知首项大于0的等差数列{}n a 的公差1d =，且12231123a a a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：11b =-，2b λ=，111(1)n n n nn b b n a -+--=+，其中2n ≥． ①求数列{}n b 的通项n b ；②是否存在实数λ，使得数列}{n b 为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．已知椭圆:E 22221(0)+=>>x y a b a b 的离心率为22，过左焦点倾斜角为45︒的直线被椭圆截得的弦长为423．（1）求椭圆E 的方程；（2）若动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点，过点()1,0M 作l 的垂线垂足为Q ，求点Q 的轨迹方程．已知定义在]2,2[-上的奇函数)(x f 满足：当]2,0(∈x 时，)2()(-=x x x f ． （1）求)(x f 的解析式和值域；（2）设a ax x x g 2)2ln()(--+=，其中常数0>a ． ①试指出函数))(()(x f g x F =的零点个数； ②若当11k+是函数))(()(x f g x F =的一个零点时，相应的常数a 记为k a ，其中 1,2,,k n =．证明：1276n a a a +++<（*N ∈n ）．2015年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(理科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一、选择题：本大题每小题5分，满分40分．1 2 3 4 5 6 7 8 C D A C B C D A二、填空题：本大题每小题5分，满分30分．9． 23； 10． 18； 11．9； 12．46； 13．22； 14．2； 15． 4．三、解答题 16．解：（1）()f x 的周期πT =，即2ππω=， …………………………………………1分2ω∴=±，由0ω>，得2ω=，即π()2sin(2)3f x x =+． ……………………………………3分 5π7πππ()2sin 2sin(π)2sin 112666f ∴==+=-=-． ………………………………5分（2）由03sin 3x =得2001cos 212sin 3x x =-=， ………………………………7分又0π(0,)2x ∈，∴02(0,π)x ∈， ……………………………………………8分∴ 20022sin 21cos 23x x =-=， …………………………………………9分000πππ2sin(2)2sin 2cos 2cos 2sin 333x x x +=+221132232232323+=⨯⨯+⨯⨯=． 00π223()2sin(2)33f x x +∴=+=． …………………………………………12分 【说明】 本小题主要考查了三角函数)sin()(ϕω+=x A x f 的图象与性质，同角三角函数的关系式，诱导公式，两角和与差和二倍角的三角函数公式，考查了简单的数学运算能力． 17．（本小题满分12分）解:（1）根据数据，完成表格如下：…………………………………2分 （2）按分层抽样的方法，空气质量 优质 良好 轻度污染 中度污染 AQI 值范围 [0,50) [50，100） [100,150) [150,200) 城市频数 2 12 6 1E F H A z 图2O (B ) PyC xHA zO (B )PyCx从“良好”类城市中抽取11264126n =⨯=+个， ………………………………… 3分 从“轻度污染”类城市中抽取2662126n =⨯=+个， ……………………………4分 所以抽出的“良好”类城市为4个，抽出的“轻度污染”类城市为2个． 根据题意ξ的所有可能取值为：1,2,3．1242361(1)5C C P C ξ===, 2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===．………8分 ξ∴的分布列为：ξ 1 2 3P 15 35 15 所以1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=． ………………………………………………11分答：ξ的数学期望为2个． …………………………………………………12分【说明】本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力． 18．解：（1）三棱锥P ABC -直观图如图1所示；由三视图知ABC ∆和PCA ∆是直角三角形． ……………………3分（2）（法一）：如图2，过P 作PH BC ⊥交BC 于点H ，由三视图知PBC ∆为等腰三角形， 4BC =，23PH =， 4PB PC BC ∴===，取PC 的中点E ，过E 作EF PA ⊥且交PA于点F ，连接BE ，BF ，因为BE PC ⊥，由三视图知AC ⊥面PBC ，且BE ⊂面PBC ，所以AC BE ⊥，又由AC PC C =，所以BE ⊥面PAC ，由PA ⊂面PAC ，所以BE PA ⊥， BE EF E =，所以PA ⊥面BEF ，由BF ⊂面BEF ，所以PA BF ⊥，所以BFE ∠是二面角B PA C --的平面角．………6分~PEF PAC ∆∆，PE EFPA AC∴=， 2,4,42PE AC PA ===，2EF ∴=， ……………………………………8分 ∴在直角CFE ∆中，有tan 6BEBFE EF∠==． 所以，二面角B PA C --的正切值为6． ………………………………………9分 （法二）：如图3，过P 作PH BC ⊥交BC 于点H ，由三视图知PBC ∆为等腰三角形， 4BC =，23PH =，由图3所示的坐标系，及三视图中的数据得：(0,0,0)B ，(4,0,0)C ，(2,0,23)P ，(4,4,0)A ，则(4,4,0)BA =，(2,0,23)BP =，(0,4,0)CA =，(2,0,23)CP =-,设平面PAB 、平面PAC 的法向量分别为m 、n ．A z 图1 O (B ) PyC x设111(,,)x y z =m ，由0BA ⋅=m ，0BP ⋅=m ，得11114402230x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令11z =， 得13x =-，13y =，即(3,3,1)=-m ． …………………6分设222(,,)x y z =n ，由0CA ⋅=n ，0PA ⋅=n ，得222402230y x z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令21=z ， 得23x =，20y =，即(3,0,1)=n ． ………………………7分27cos ,727⋅-∴<>===-m n m n m n ，tan ,6m n <>=-．…………………8分 而二面角B PA C --的大小为锐角，所以二面角B PA C --的正切值为6．…9分（3）（法一）：记C 到面PAB 的距离为h ，由（1）、（2）知42,4P A A B P B ===， 47PAB S ∆∴=，14733C PAB PAB V S h h -∆=⋅=， ………………………………12分三棱锥-P ABC 的体积116333-∆=⋅=P ABC ABC V S PH ， ……………………13分由P ABC C PAB V V --=，可得：4217=h ． ………………………………………14分（法二）：由（2）知，平面PAB 的法向量(3,3,1)=-m ，(0,4,0)CA = 记C 到面PAB 的距离为h ，CA h ⋅∴=m m 437=4217=． ………………………………………………14分 【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，三视图及几何体的直观图，二面角，三棱锥的体积，空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．19．解：（1）（法一）：数列{}n a 的首项10a >，公差1d =，∴1(1)n a a n =+-，11111n n n n a a a a ++=-， ………………………………………2分 12231223111111()()a a a a a a a a ∴+=-+-131********a a a a =-=-=+， ……………3分 整理得211230a a +-=解得11a =或13a =-（舍去）． ……………………………4分 因此，数列{}n a 的通项n a n =． ………………………………………5分 （法二）：由题意得1312231231123a a a a a a a a a ++==， …………………………………1分 数列{}n a 是等差数列，∴1322a a a +=， ……………………………2分∴2123223a a a a =，即133a a =． ………………………………………………………3分又10,1a d >=，∴11(2)3a a +=，解得11a =或13a =-（舍去）． …………………………………4分 因此，数列{}n a 的通项n a n =． ………………………………………5分（2）①111(1)n n n n b b n n-+--=+，11(11(1)(1)n nn nnb n b ++-∴=+--）． ……………………………………………………6分令(1(1)nn nn b c -=-），则有2c λ=，11n n c c +=+(2)n ≥． ∴当2n ≥时，2(2)2n c c n n λ=+-=-+，(21nn n b n λ-+=-)(-1)． ………8分 因此，数列{}n b 的通项1, 1,(2,(2).1n n n b n n n λ-=⎧⎪=⎨-+≥⎪-⎩)(-1)． ………………………9分②11b =-，2b λ=，312b λ+=-， ………………………………………10分∴若数列{}n b 为等比数列，则有2213b b b =，即21(1)()2λλ+=--， 解得1λ=或12λ=-． …………………………………………………………11分当12λ=-时，(252)21n n n b n n -=≥-)(-1)（（），+1n nbb 不是常数，数列{}n b 不是等比数列， 当1λ=时，11b =-，(1)(2)n n b n =-≥，数列{}n b 为等比数列．所以，存在实数1λ=使得数列{}n b 为等比数列． ………………………………14分【说明】考查了等差数列的基本量的计算、递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、等比数列的定义，考查了学生的运算能力，以及化归与转化的思想．20．解：（1）因为椭圆E 的离心率为22，所以2222-=a b a ，解得222a b =，故椭圆E 的方程可设为222212x y b b+=，则椭圆E 的右焦点坐标为(),0b ， 过右焦点倾斜角为45︒的直线方程为:l y x b '=-． ………………………………………2分设直线l '与椭圆E 的交点记为,A B ，由22221,2,x y b b y x b ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ，得2340x bx -=，解得1240,3b x x ==， 因为21242421133b AB x x =+-==，解得1b =． 故椭圆E 的方程为2212+=x y ． ……………………………………………………4分 （2）（法一）（i ）当切线l 的斜率存在且不为0时，设l 的方程为y kx m =+，联立直线l 和椭圆E 的方程，得2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， ……………………………………5分 消去y 并整理，得()222214220k x kmx m +++-=， …………………………6分因为直线l 和椭圆E 有且仅有一个交点，()()222216421220k m k m ∴∆=-+-=， ………………………………………7分化简并整理，得2221m k =+． …………………………………………8分因为直线MQ 与l 垂直，所以直线MQ 的方程为：()11y x k=--，联立()11,,y x ky kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩ 解得221,1,1km x k k m y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩………………………9分222222222222222222(1)()1(1)(1)1(1)(1)(1)1km k m k m k m k m m x y k k k k-++++++++∴+====++++，把2221m k =+代入上式得222x y +=． ① …………………………………11分（ii ）当切线l 的斜率为0时，此时(1,1)Q ，符合①式． …………………………12分（iii ）当切线l 的斜率不存在时，此时(2,0)Q 或(2,0)-，符合①式． ………13分 综上所述，点Q 的轨迹方程为222x y +=． ………………………………………14分 （法二）：设点Q 的坐标为00(,)Q x y ，（i ）当切线l 的斜率存在且不为0时，设l 的方程为y kx m =+，同解法一，得22210k m -+=， ① …………………………………………8分因为直线MQ 与l 垂直，所以直线MQ 的方程为：()11y x k=--， 联立()11,,y x k y kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩ 解得002200001,,x k y x x y m y -⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩② …………………9分 ②代入①并整理，有()()()4222200000002212120+--+-+-=y x x y x x x ，…10分 即()()2222000002210+-+-+=y x yx x ，由点Q 与点M 不重合， ()2222000002110y x x y x ∴+-+=+-≠，220020x y ∴+-=， ③ ……………………………………………………11分 （ii ）当切线l 的斜率为0时，此时(1,1)Q ，符合③式． …………………………12分（iii ）当切线l 的斜率不存在时，此时(2,0)Q 或(2,0)-，符合③式． ………13分 综上所述，点Q 的轨迹方程为222x y +=． ………………………………………14分 （法三）：设点Q 的坐标为00(,)Q x y ，（i ）当切线l 的斜率存在且不为0时，设l 的方程为00()-=-y y k x x ，整理，得l 的方程为00=-+y kx kx y ， ……………………………………………………………5分联立直线l 和椭圆E 的方程，得002212=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx kx y x y ， 消去y 并整理，得()()()2220000214220++-+--=k x k y kx x y kx ， ……………………6分因为直线l 和椭圆E 有且仅有一个交点，()()()222200001682110⎡⎤∴∆=--+--=⎣⎦k y kx k y kx ， ………………………7分化简并整理，得22200002210--+++=y x kx y k ， ① ………………………8分因为MQ 与直线l 垂直，有001-=x k y ， ②……………………………………9分②代入①并整理，有()()()4222200000002212120+--+-+-=y x x y x x x ，…10分 即()()2222000002210+-+-+=y x yx x ，2-x y o 21-11-1图a 图bx y o ln 221-11e点Q 与点M 不重合， ()2222000002110y x x y x ∴+-+=+-≠，220020x y ∴+-=， ③………………………………………………………………11分（ii ）当切线l 的斜率为0时，此时(1,1)Q ，符合③式． …………………………12分（iii ）当切线l 的斜率不存在时，此时(2,0)Q 或(2,0)-，符合③式． ………13分综上所述，点Q 的轨迹方程为222x y +=． ………………………………………14分【说明】本题主要考查轨迹方程和椭圆的定义、直线方程、直线与椭圆相切的位置关系，弦长问题，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想． 21．解：（1）()f x 为奇函数，(0)0f ∴=．当[)2,0x ∈-时，(]0,2x -∈，则()()()(2)(2)f x f x x x x x =--=----=-+，∴[][)(2)0,2,()(2)2,0,x x x f x x x x ⎧-∈⎪=⎨-+∈-⎪⎩ ………………………………………2分 [0,2]x ∈时，[]()1,0f x ∈-，[)2,0x ∈-，[]()0,1f x ∈，()f x ∴的值域为[]1,1-． …………………………………………………3分（2）①函数()f x 的图象如图a 所示，当0t =时，方程()f x t = 有三个实根；当1t =或1t =-时，方程()f x t =只有一个实 根；当(0,1)t ∈或(1,0)t ∈-时，方程()f x t =有两个实根．（法一）：由()0g x =，解得ln(2)2x a x +=+，()f x 的值域为[]1,1-，∴只需研究函数ln(2)2x y x +=+在[]1,1-上的图象特征． 设ln(2)()([1,1])2x h x x x +=∈-+，(1)0h -=，21ln(2)()(2)x h x x -+'=+， 令()0h x '=，得e 2(0,1)x =-∈，1(e 2)eh -=．当1e 2x -<<-时，()0h x '>，当e 21x -<<时，()0h x '<，又32ln 2ln 3<，即ln 2ln 323<，由ln 2(0)2h =，ln 3(1)3h =，得(0)(1)h h <， ()h x ∴的大致图象如图b 所示．根据图象b 可知，当ln 2ln 2ln 310223a a a e <<<<=、、时， 直线y a =与函数()y h x =的图像仅有一个交点，则函数()g x 在[1,1]-上仅有一个零点，记零点为t ，则t 分别在区间(1,0)-、(0,1)、(0,1)上，根据图像a ，方程()f x t =有两个交点，因此 函数()(())F x g f x =有两个零点． …………………………………………5分类似地，当ln 22a =时，函数()g x 在[1,1]-上仅有零点0，因此函数()F x 有1-、0、1这三个零点． ………………………………………………………………6分当ln 33a =时，函数()g x 在[1,1]-上有两个零点，一个零点是1，另一个零点在(0,1)内，因此函数()F x 有三个零点． …………………………………………………………7分当ln 313ea <<时，函数()g x 在[1,1]-上有两个零点，且这两个零点均在(0,1)内，因此函数()F x 有四个零点． ……………………………………………………………8分当1ea >时，函数()g x 在[]1,1-上没有零点，因此函数()F x 没有零点． ………9分 （法二）：1()2g x a x '=-+ ，令0()0g x '=，得012x a=-， 0a >，()02,x ∴∈-+∞．当1(1,2)x a ∈--时，()0g x '>，当1(2,)x a∈-+∞时，()0g x '<， ∴当0x x =时，()g x 取得极大值01()ln 1g x a=-．（Ⅰ）当()g x 的极大值1ln 10a -<，即1ea >时，函数()g x 在区间[]1,1-上无零点，因此函数()(())F x g f x =无零点．（Ⅱ）当()g x 的极大值1ln 10a -=，即1ea =时，02(0,1)x e =-∈，函数()g x 的图像如图c 所示，函数()g x 有零点2e -．由图a 可知方程()e 2f x =-有两不等的实根，因此函数()(())F x g f x =有两个零点．（Ⅲ）当()g x 的极大值1ln 10a ->且0121x a =->，即103a <≤时，()g x 在[1,1]-上单调递增，因为()10g a -=-<，22222(0)ln 22ln 2ln ln1033e 3g a =->-=>=，函数()g x 的图像如图d 所示，函数()g x 在[]1,1-存在唯一零点1t ，其中1(1,0)t ∈-．由图a 可知方程1()f x t =有两不等的实根，因此函数()(())F x g f x =有两个零点．（Ⅳ）当()g x 的极大值1ln 10a ->且0121x a=-<，即113ea <<时：由(0)ln 220g a =-=，得ln 22a =，由(1)ln 330g a =-=，得ln 33a =， 根据法一中的证明有1ln 2ln 31323e<<<． （ⅰ）当1ln 232a <<时，(0)ln 220g a =->，(1)ln 330g a =->，函数()g x 的图像如图e 所示，函数()g x 在区间[1,1]-有唯一零点2t ，其中2(1,0)t ∈-．由图a 可知方程2()f x t =有两不等的实根，因此 函数()(())F x g f x =有两个零点．（ⅱ）当ln 22a =时，(0)ln 220g a =-=，(1)ln 330g a =->，函数()g x 的图像如图f 所示， 函数()g x 在区间[1,1]-有唯一零点0．由图a 可知方程()0f x =有三个不等的实根，因此函数()(())F x g f x =有三个零点．图e 2-x yo1-11-1x 2-xyo21-11-1图c0x图d2-xyo21-11-1x 2-xyo 1-11-1x（ⅲ）当ln 2ln 323a <<时，(0)ln 220g a =-<，(1)ln 330g a =->，函数()g x 的 图像如图g 所示，函数()g x 在区间[1,1]-有唯一零点3t ，其中3(0,1)t ∈．由图a 可知方程3()f x t =有两个不等的实根，因此函数()(())F x g f x =有两个零点．（ⅳ）当ln 33a =时，(0)0g <，(1)ln 330g a =-=，函数()g x 的图像如图h 所示，函数()g x 在区间[1,1]-有 两个零点，分别是1和4t ，其中4(0,1)t ∈．由图a 可知方程()1f x =有一个实根1-，方程4()f x t = 有两个非1-的不等实根，因此函数()(())F x g f x =有三个零点．（ⅴ）当ln 313ea <<时，(0)0g <，(1)ln 330g a =-<， 函数()g x 的图像如图i 所示，函数()g x 在区间[1,1]-有两个 零点5t 、6t ，其中56,(0,1)t t ∈．由图a 可知方程5()f x t =、6()f x t =都有两个不等的实根，且这四个根互不相等，因此函数()(())F x g f x =有四个零点． 综上可得：当ln 2ln 2ln 310223a a a e<<<<=、、时，函数()F x 有两个零点；………………5分当ln 22a =、ln 33a =时，函数()F x 有三个零点； ………………………………7分当ln 313e a <<时，函数()F x 有四个零点； ……………………………………8分 当1e a >时，函数()F x 无零点． ………………………………………………9分②因为k11+是函数))(()(x f g x F =的一个零点，所以有1((1))0g f k +=，(]110,2k +∈，211(1)1f k k∴+=-，2221111((1))(1)ln(1)(1)0k g f g a k k k k ∴+=-=+-+=，221ln(1)11k k a k+∴=+，1,2,,k n =． …………………………………………10分 记()ln(1)m x x x =+-，1()111x m x x x -'=-=++， 当(]0,1x ∈时，()0m x '<，∴当(]0,1x ∈时，()(0)0m x m <=，即ln(1)x x +<．故有2211ln(1)k k +<，则2222211ln(1)111111k k k a k k k+=<=+++()1,2,,k n =⋅⋅⋅． …11分 图g 2-xyo 1-11-10x 0x 图h2-xy o1-11-10x 图i 2-xyo 1-11-1当1n =时，11726a <<； 当2n ≥时， （法一）：2211221121214k k k k <=-+-+-， ………………………………13分 123a a a ∴+++…++++++<+131121111222n a (11)2++n 1222222()()()235572121n n <+-+-+⋅⋅⋅+--+ 12272723216216n n =+-=-<++． 综上，有++21a a (6)7<+n a ，*N ∈n ． ………………………………………14分（法二）：当2n =时，12117725106a a +<+=<； 当3n ≥时，2211111()11211k k k k <=-+--+， ………………………13分 123a a a ∴+++…++++++<+131121111222n a (11)2++n 111111111[()()()]252243511n n <++-+-+⋅⋅⋅+--+ 111111167111677[]()2522316021606n n n n =+++--=-+<<++． 综上，有++21a a (6)7<+n a ，*N ∈n ． ………………………………………14分【说明】本题主要考查函数的性质、分段函数、导数应用、一元二次方程的求解、连续函数的零点存在性定理，放缩法证明数列不等式，考查学生数形结合、分类讨论的数学思想，以及计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识．命题：喻秋生 黄文辉 袁作生 审题：魏显锋。
2015年高三下学期调研考试(理科)
2016年1月高三模拟考试理科数学(试题卷)一：选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设复数，则在复平面内对应的点坐标为 A.(1,1) B ．(1,1)-C ．(1,1)--D ．(1,1)-2.A.B ．C ．D ．3.命题“若x 2+y 2=0，x 、y ∈R ，则x =y =0”的逆否命题是A ．若x ≠y ≠0，x 、y ∈R ，则x 2+y 2=0B ．若x =y ≠0，x 、y ∈R ，则x 2+y 2≠0C ．若x ≠0且y ≠0，x 、y ∈R,则x 2+y 2≠0D ．若x ≠0或y ≠0，x 、y ∈R,则x 2+y 2≠04.高二年级某研究性学习小组为了了解本校高一学生课外阅读状况，分成了两个调查小组分别对高一学生进行抽样调查．假设这两组同学抽取的样本容量相同且抽样方法合理，则下列结论正确的是A.两组同学制作的样本频率分布直方图一定相同 B ．两组同学的样本平均数一定相等 C ．两组同学的样本标准差一定相等D ．该校高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同 5.下列函数中，既是偶函数又在(),0-∞上单调递增的函数是 A.2y x =B ．21log y x=C ．2xy =D ．sin y x = 6.建立从集合{1,2,3,4}A =到集合{5,6,7}B =的所有函数，从中随机抽取一个函数，则其值域是B 的概率为 A ．916B ．316C ．49D ．897.的外接圆的圆心为O ，半径为1，且，则向量在向量方向上的投影为iz --=12z i ⋅0000sin 47sin17cos30cos17-2-12-122ABC ∆2AO AB AC =+ OA AB = BABCA.21B ．23C ．21-D ．23- 8.函数的部分图象如图示，则将的图象向右平移个单位后，得到图象解析式为A.B ． C ．D ．9.执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为 A.1 B ．C ．D ．10.下列各式的展开式中的系数恰能表示从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法总数的选项是 A. B ． C ．D ． 11.某几何体的三视图如右图所示，且该几何体的体积是， 则正视图中的的值是 A ．2 B ．C ．D ．3 )2||00)sin()(πφωφω<>>+=，，（A x A x f )(x f y =6πx y 2sin =x y 2cos =)32sin(π+=x y )62sin(π-=x y 2313216109878x 2310(1)(1)(1)(1)x x x x ++++ (1)(12)(13)(110)x x x x ++++ 2310(1)(12)(13)(110)x x x x ++++ 223210(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x ++++++++++ 32x 329212.对于函数()f x ，若存在区间[],A m n =，使得(){},y y f x x A A =∈=,则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”.给出下列4个函数：①()sin 2x f x π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②()221f x x =-；③()12x f x =-；④()()2log 22f x x =-.其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（） A.①②③B ．②③C ．①③D ．②③④ 二：填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 13.若，且为第三象限角，则 14．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且39108a a a a +=-．若0n a =，则n =15.函数的图象恒过定点A ，若点A 在直线上，则的最小值为 16.如图，将全体正整数排成一个三角形数阵：根据以上排列规律，数阵中第行的从左至右的第3个数是三：解答题：（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若(2)cos cos a c B b C -=. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若3a =，ABC ∆BA AC ⋅ 的值.18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S 、2S 、4S 成等比数列．4cos 5α=-αsin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭()110,1xy aa a ->+=≠()100mx ny mn +-=>11m n+)3(≥n n（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令()11n n b -=-14n n na a +，求数列{}nb 的前n 项和n T . 19．（本小题满分12分）抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据 （Ⅱ）计算（Ⅰ）中样本的均值x 和方差2s（Ⅲ）36名工人中年龄在x s -与x s +之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01%）？20．（本小题满分12分）如图所示，四边形ABCD 为直角梯形，，，为等边三角形，且平面平面ABE ，，P为CE 中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）在内是否存在一点Q ，使平面CDE ，如果存在，求PQ 的长；如果不存在，说明理由.21．（本小题满分12分）//AB CD AB BC ⊥ABE ∆ABCD ⊥222AB CD BC ===AB DE ⊥ABE ∆PQ ⊥已知函数()ax e x f x-+=1（Ⅰ）当21=a 时，求函数()x f 在0=x 处的切线方程； （Ⅱ）函数()x f 是否存在零点？若存在，求出零点的个数；若不存在，说明理由．考生注意：22~24题为选做题，请从中任选一题作答，若三题全做，则按第一题计分． 22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲已知外接圆劣弧AC 上的点（不与点、重合），延长至, 延长交的延长线于．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：． 23.（本小题满分10分）选修4－4；坐标系与参数方程已知直线（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为. （Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直坐标方程；（Ⅱ）设点M 的直角坐标为，直线与曲线C 的交点为A 、B，求MA MB ⋅的值.24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数()|1|||f x x x a =-+-． （Ⅰ）若1a =-，解不等式()3f x ≥；（Ⅱ）如果x ∀∈R ，()2f x ≥，求a 的取值范围．,ABC AB AC ∆=中，D ABC ∆为A C BD E AD BC F CDF EDF ∠=∠AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅5:12x l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2cos ρθ=(5,3)l。
深圳市2015年高三年级第一次调研考试数学理科试卷(扫描版,有答案)
2015年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．二、填空题：本大题每小题5分，满分30分．9．23； 10． 18； 11．9； 12．13．2； 14．2； 15． 4． 三、解答题 16．（本小题满分12分）函数π()2sin()3f x x ω=+（0ω>）的最小正周期是π． （1）求5π()12f 的值；（2）若0sin 3x =，且0π(0,)2x ∈，求0()f x 的值． 解：（1）()f x Q 的周期πT =，即2ππω=， …………………………………………1分2ω∴=±，由0ω>，得2ω=，即π()2sin(2)3f x x =+． ……………………………………3分5π7πππ()2sin 2sin(π)2sin 112666f ∴==+=-=-． ………………………………5分（2）由0sin x =得2001cos 212sin 3x x =-=， ………………………………7分又0π(0,)2x ∈，∴02(0,π)x ∈， ……………………………………………8分 ∴0sin 23x ==， …………………………………………9分 000πππ2sin(2)2sin 2cos 2cos 2sin 333x x x +=+Q1122323=⨯⨯+⨯=．00π()2sin(2)3f x x ∴=+= …………………………………………12分【说明】 本小题主要考查了三角函数)sin()(ϕω+=x A x f 的图象与性质，同角三角函数的关系式，诱导公式，两角和与差和二倍角的三角函数公式，考查了简单的数学运算能力．17．（本小题满分12分）空气质量指数（简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站．下表是某网站公布的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实时监测到的数据：（1）请根据上表中的数据，完成下列表格： （2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取6个城市，省环保部门再从中随机选取3个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为ξ”，求ξ的分布列和数学期望． 解:（1）根据数据，完成表格如下：…………………………………2分 （2）按分层抽样的方法，从“良好”类城市中抽取11264126n =⨯=+个， ………………………………… 3分 从“轻度污染”类城市中抽取2662126n =⨯=+个， ……………………………4分所以抽出的“良好”类城市为4个，抽出的“轻度污染”类城市为2个．根据题意ξ的所有可能取值为：1,2,3．1242361(1)5C C P C ξ===Q , 2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===．………8分ξ∴的分布列为：所以1232555E ξ=⨯+⨯+⨯=． ………………………………………………11分 答：ξ的数学期望为2个． …………………………………………………12分 【说明】本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力．18．（本小题满分14分）在三棱锥P ABC -中，已知平面PBC ⊥平面ABC ，AB 是底面△ABC 最长的边．三棱锥P ABC -的三视图如图5所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形．（1）请在图6中，用斜二测画法，把三棱锥P ABC-的直观图补充完整（其中点P 在 xOz 平面内），并指出三棱锥P ABC -的哪些面是直角三角形； （2）求二面角B PA C --的正切值；（3）求点C 到面PAB 的距离．正视图解：（1）三棱锥P ABC -直观图如图1所示；由三视图知ABC ∆和PCA ∆是直角三角形． （2）（法一）：如图2，过P 作PH BC ⊥交BC 于点H 由三视图知PBC ∆为等腰三角形，4BC =Q ，PH =4PB PC BC ∴===，取PC 的中点E ，过E 作EF PA ⊥且交PA 于点F ，连接BE ，BF ，因为BE PC ⊥，由三视图知AC ⊥面PBC ， 且BE ⊂面PBC ，所以AC BE ⊥，又由AC PC C =I ，所以BE ⊥面PAC ， 由PA ⊂面PAC ，所以BE PA ⊥， BE EF E =I ，所以PA ⊥面BEF ，由BF ⊂面BEF ，所以PA BF ⊥，所以BFE ∠是二面角B PA C --的平面角．………~PEF PAC ∆∆Q ，PE EFPA AC∴=， 2,4,PE AC PA ===Q EF ∴=， ∴在直角CFE ∆中，有tan BEBFE EF∠== 所以，二面角B PA C --． ………………………………………9分 （法二）：如图3，过P 作PH BC ⊥交BC 于点H ，由三视图知PBC ∆为等腰三角形，4BC =，PH =由图3所示的坐标系，及三视图中的数据得：(0,0,0)B ，(4,0,0)C ，(2,0,P ，(4,4,0)A ， 则(4,4,0)BA =u u u r ，(2,0,BP =u u u r ，(0,4,0)CA =u u u r， (2,0,CP =-u u u r,设平面PAB 、平面PAC 的法向量分别为m 、n ．设111(,,)x y z =m ，由0BA ⋅=u u u r m ，0BP ⋅=u u u r m ，得11420x ⎧⎪⎨+=⎪⎩，令11z =， 得1x =1y =(=m ． …………………6分设222(,,)x y z =n ，由0CA ⋅=u u u r n ，0PA ⋅=u u u r n，得2224020y x =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令21=z ，得2x =，20y =，即=n ． ………………………7分cos ,7⋅∴<>===-m n m n m n，tan ,m n <>=8分 而二面角B PA C --的大小为锐角，所以二面角B PA C --．…9分 （3）（法一）：记C 到面PAB 的距离为h ，由（1）、（2）知4PA AB PB ===，PAB S ∆∴=，13C PAB PAB V S h -∆=⋅=， ………………………………12分 三棱锥-P ABC的体积13-∆=⋅=P ABC ABC V S PH ， ……………………13分 由P ABC C PAB V V --=，可得：7=h ． ………………………………………14分 （法二）：由（2）知，平面PAB的法向量(=m ，(0,4,0)CA =u u u r记C 到面PAB 的距离为h ，CA h ⋅∴=u u u rmm== ………………………………………………14分 【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，三视图及几何体的直观图，二面角，三棱锥的体积，空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．19． （本小题满分14分）已知首项大于0的等差数列{}n a 的公差1d =，且12231123a a a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：11b =-，2b λ=，111(1)n n n nn b b n a -+--=+，其中2n ≥． ①求数列{}n b 的通项n b ；②是否存在实数λ，使得数列}{n b 为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：（1）（法一）：Q 数列{}n a 的首项10a >，公差1d =，∴1(1)n a a n =+-，11111n n n n a a a a ++=-， ………………………………………2分 12231223111111()()a a a a a a a a ∴+=-+-131********a a a a =-=-=+， ……………3分 整理得211230a a +-=解得11a =或13a =-（舍去）． ……………………………4分 因此，数列{}n a 的通项n a n =． ………………………………………5分 （法二）：由题意得1312231231123a a a a a a a a a ++==， …………………………………1分 Q 数列{}n a 是等差数列，∴1322a a a +=， ……………………………2分∴2123223a a a a =，即133a a =． ………………………………………………………3分又10,1a d >=Q ，∴11(2)3a a +=，解得11a =或13a =-（舍去）． …………………………………4分因此，数列{}n a 的通项n a n =． ………………………………………5分（2）①111(1)n n n n b b n n-+--=+Q ， 11(11(1)(1)n nn nnb n b ++-∴=+--）． ……………………………………………………6分 令(1(1)nn nn b c -=-），则有2c λ=，11n n c c +=+(2)n ≥．∴当2n ≥时，2(2)2n c c n n λ=+-=-+，(21nn n b n λ-+=-)(-1)． ………8分因此，数列{}n b 的通项1, 1,(2,(2).1n n n b n n n λ-=⎧⎪=⎨-+≥⎪-⎩)(-1)． (9)分②11b =-Q ，2b λ=，312b λ+=-， ………………………………………10分∴若数列{}n b 为等比数列，则有2213b b b =，即21(1)()2λλ+=--， 解得1λ=或12λ=-． …………………………………………………………11分 当12λ=-时，(252)21n n n b n n -=≥-)(-1)（（），+1n n b b 不是常数，数列{}n b 不是等比数列，当1λ=时，11b =-，(1)(2)n n b n =-≥，数列{}n b 为等比数列．所以，存在实数1λ=使得数列{}n b 为等比数列． ………………………………14分 【说明】考查了等差数列的基本量的计算、递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、等比数列的定义，考查了学生的运算能力，以及化归与转化的思想． 20．（本小题满分14分）已知椭圆:E 22221(0)+=>>x y a b a b，过左焦点倾斜角为45︒的直线被椭圆截得的弦长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点，过点()1,0M 作l 的垂线垂足为Q ，求点Q 的轨迹方程．解：（1）因为椭圆E2=，解得222a b =， 故椭圆E 的方程可设为222212x y b b+=，则椭圆E 的右焦点坐标为(),0b ， 过右焦点倾斜角为45︒的直线方程为:l y x b '=-． ………………………………………2分设直线l '与椭圆E 的交点记为,A B ，由22221,2,x y b b y x b ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ，得2340x bx -=，解得1240,3b x x ==，因为1233AB x =-==，解得1b =． 故椭圆E 的方程为2212+=x y ． ……………………………………………………4分 （2）（法一）（i ）当切线l 的斜率存在且不为0时，设l 的方程为y kx m =+，联立直线l 和椭圆E 的方程，得2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， ……………………………………5分消去y 并整理，得()222214220k x kmx m +++-=， …………………………6分 因为直线l 和椭圆E 有且仅有一个交点，()()222216421220k m k m ∴∆=-+-=， ………………………………………7分化简并整理，得2221m k =+． …………………………………………8分 因为直线MQ 与l 垂直，所以直线MQ 的方程为：()11y x k=--， 联立()11,,y x ky kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩ 解得221,1,1km x k k m y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩ ………………………9分 222222222222222222(1)()1(1)(1)1(1)(1)(1)1km k m k m k m k m m x y k k k k -++++++++∴+====++++，把2221m k =+代入上式得222x y +=． ① …………………………………11分（ii ）当切线l 的斜率为0时，此时(1,1)Q ，符合①式． …………………………12分 （iii ）当切线l的斜率不存在时，此时Q或(0)，符合①式． ………13分 综上所述，点Q 的轨迹方程为222x y +=． ………………………………………14分 （法二）：设点Q 的坐标为00(,)Q x y ，（i ）当切线l 的斜率存在且不为0时，设l 的方程为y kx m =+，同解法一，得22210k m -+=， ① …………………………………………8分 因为直线MQ 与l 垂直，所以直线MQ 的方程为：()11y x k=--， 联立()11,,y x k y kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩解得002200001,,x k y x x y m y -⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩② …………………9分 ②代入①并整理，有()()()4222200000002212120+--+-+-=y x x y x x x ，…10分即()()2222000002210+-+-+=y x yx x ，由点Q 与点M 不重合， ()2222000002110y x x y x ∴+-+=+-≠，220020x y ∴+-=， ③ ……………………………………………………11分（ii ）当切线l 的斜率为0时，此时(1,1)Q ，符合③式． …………………………12分 （iii ）当切线l的斜率不存在时，此时Q或(0)，符合③式． ………13分 综上所述，点Q 的轨迹方程为222x y +=． ………………………………………14分 （法三）：设点Q 的坐标为00(,)Q x y ，（i ）当切线l 的斜率存在且不为0时，设l 的方程为00()-=-y y k x x ，整理，得l 的方程为00=-+y kx kx y ， ……………………………………………………………5分联立直线l 和椭圆E 的方程，得002212=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx kx y x y ， 消去y 并整理，得()()()2220000214220++-+--=k x k y kx x y kx ， ……………………6分因为直线l 和椭圆E 有且仅有一个交点，()()()222200001682110⎡⎤∴∆=--+--=⎣⎦k y kx k y kx ， ………………………7分化简并整理，得22200002210--+++=y x kx y k ， ① ………………………8分因为MQ 与直线l 垂直，有01-=x k y ， ②……………………………………9分 ②代入①并整理，有()()()4222200000002212120+--+-+-=y x x y x x x ，…10分 即()()2222000002210+-+-+=y x yx x ，Q 点Q 与点M 不重合， ()2222000002110y x x y x ∴+-+=+-≠，220020x y ∴+-=， ③………………………………………………………………11分（ii ）当切线l 的斜率为0时，此时(1,1)Q ，符合③式． …………………………12分 （iii ）当切线l的斜率不存在时，此时Q或(0)，符合③式． ………13分综上所述，点Q 的轨迹方程为222x y +=． ………………………………………14分 【说明】本题主要考查轨迹方程和椭圆的定义、直线方程、直线与椭圆相切的位置关系，弦长问题，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．21．（本小题满分14分）已知定义在]2,2[-上的奇函数)(x f 满足：当]2,0(∈x 时，)2()(-=x x x f ． （1）求)(x f 的解析式和值域；（2）设a ax x x g 2)2ln()(--+=，其中常数0>a ． ①试指出函数))(()(x f g x F =的零点个数；②若当11k+是函数))(()(x f g x F =的一个零点时，相应的常数a 记为k a ，其中 1,2,,k n =L ．证明：1276n a a a +++<L （*N ∈n ）． 解：（1）()f x Q 为奇函数，(0)0f ∴=．当[)2,0x ∈-时，(]0,2x -∈，则()()()(2)(2)f x f x x x x x =--=----=-+，∴[][)(2)0,2,()(2)2,0,x x x f x x x x ⎧-∈⎪=⎨-+∈-⎪⎩ ………………………………………2分[0,2]x ∈Q 时，[]()1,0f x ∈-，[)2,0x ∈-，[]()0,1f x ∈，()f x ∴的值域为[]1,1-． …………………………………………………3分（2）①函数()f x 的图象如图a 所示，当0t =时，方程()f x t = 有三个实根；当1t =或1t =-时，方程()f x t =只有一个实 根；当(0,1)t ∈或(1,0)t ∈-时，方程()f x t =有两个实根．（法一）：由()0g x =，解得ln(2)2x a x +=+，()f x Q 的值域为[]1,1-，∴只需研究函数ln(2)2x y x +=+在[]1,1-上的图象特征．设ln(2)()([1,1])2x h x x x +=∈-+，(1)0h -=，21ln(2)()(2)x h x x -+'=+， 令()0h x '=，得e 2(0,1)x =-∈，1(e 2)eh -=． Q 当1e 2x -<<-时，()0h x '>，当e 21x -<<时，()0h x '<，又32ln 2ln 3<Q ，即ln 2ln 323<，由ln 2(0)2h =，ln 3(1)3h =，得(0)(1)h h <， ()h x ∴的大致图象如图b 所示．根据图象b 可知，当ln 2ln 2ln 310223a a a e<<<<=、、直线y a =与函数()y h x =的图像仅有一个交点，则函数()g x 在[1,1]-上仅有一个零点，记零点为t ，则t 分别在区间(1,0)-(0,1)、(0,1)上，根据图像a ，方程()f x t =有两个交点，因此函数()(())F x g f x =有两个零点． …………………………………………5分类似地，当ln 22a =时，函数()g x 在[1,1]-上仅有零点0，因此函数()F x 有1-、0、1这三个零点． ………………………………………………………………6分当ln 33a =时，函数()g x 在[1,1]-上有两个零点，一个零点是1，另一个零点在(0,1)内，因此函数()F x 有三个零点． …………………………………………………………7分当ln 313ea <<时，函数()g x 在[1,1]-上有两个零点，且这两个零点均在(0,1)内，因此函数()F x 有四个零点． ……………………………………………………………8分当1ea >时，函数()g x 在[]1,1-上没有零点，因此函数()F x 没有零点． ………9分 （法二）：1()2g x a x '=-+ ，令0()0g x '=，得012x a=-，0a >Q ，()02,x ∴∈-+∞．当1(1,2)x a ∈--时，()0g x '>，当1(2,)x a∈-+∞时，()0g x '<， ∴当0x x =时，()g x 取得极大值01()ln 1g x a=-．（Ⅰ）当()g x 的极大值1ln10a -<，即1e a >时，函数()g x 在区间1,1-上无零点，因此函数()(())F x g f x =无零点．（Ⅱ）当()g x 的极大值1ln10a -=，即1ea =时， 02(0,1)x e =-∈，函数()g x 的图像如图c 所示，函数g由图a 可知方程()e 2f x =-有两不等的实根，因此函数()(())F x g f x =有两个零点．（Ⅲ）当()g x 的极大值1ln 10a ->且0121x a=->，即103a <≤时，()g x 在[1,1]-上单调递增，因为()10g a -=-<，222(0)ln 22ln 2ln ln1033e 3g a =->-=>=，函数()g x 的图像如图d 所示，函数()g x 在[]1,1-存在唯一零点1t ，其中1(1,0)t ∈-．由图a 可知方程1()f x t =有两不等的实根，因此函数()(())F x g f x =有两个零点． （Ⅳ）当()g x 的极大值1ln10a ->且0121x a =-<，即113ea <<时： 由(0)ln 220g a =-=，得ln 22a =，由(1)ln 330g a =-=，得ln 33a =， 根据法一中的证明有1ln 2ln 31323e<<<．（ⅰ）当1ln 232a <<时，(0)ln 220g a =->，(1)ln 330g a =->，函数()g x 的图像如图e 所示，函数()g x 在区间[1,1]-有唯一零点2t ，其中2(1,0)t ∈-．由图a 可知方程2()f x t =有两不等的实根，因此 函数()(())F x g f x =有两个零点． （ⅱ）当ln 22a =时，(0)ln 220g a =-=， (1)ln 330g a =->，函数()g x 的图像如图f 所示，函数()g x 在区间[1,1]-有唯一零点0．由图a 可知方程()0f x =有三个不等的实根，因此函数()(())F x g f x =有三个零点． （ⅲ）当ln 2ln 323a <<时，(0)ln 220g a =-<，(1)ln 330g a =->，函数()g x 的 图像如图g 所示，函数()g x 在区间[1,1]-有唯一零点3t ，其中3(0,1)t ∈．由图a 可知方程3()f x t =()(())F x g f x =有两个零点．（ⅳ）当ln 33a =时，(0)0g <，(1)ln 330g a =-=，函数()g x 的图像如图h 所示，函数()g x 在区间[1,1]-有 两个零点，分别是1和4t ，其中4(0,1)t ∈．由图a 可知方程()1f x =有一个实根1-，方程4()f x t =有两个非1-的不等实根，因此函数()(())F x g f x =（ⅴ）当ln 313ea <<时，(0)0g <，(1)ln 33g a =-<函数()g x 的图像如图i 所示，函数()g x 在区间[1,1]-有两个零点5t 、6t ，其中56,(0,1)t t ∈．由图a 可知方程5()f x t =、6()f x t =且这四个根互不相等，因此函数()(())F x g f x =综上可得：当ln 2ln 2ln 310223a a a e <<<<=、、时，函数()F x 有两个零点；………………5分 当ln 22a =、ln 33a =时，函数()F x 有三个零点； ………………………………7分当ln 313e a <<时，函数()F x 有四个零点； ……………………………………8分当1e a >时，函数()F x 无零点． ………………………………………………9分②因为k11+是函数))(()(x f g x F =的一个零点，所以有1((1))0g f k +=，(]110,2k +∈Q ，211(1)1f k k∴+=-，2221111((1))(1)ln(1)(1)0k g f g a k k k k ∴+=-=+-+=，221ln(1)11k k a k+∴=+，1,2,,k n =L ． …………………………………………10分记()ln(1)m x x x =+-，1()111xm x x x -'=-=++， Q 当(]0,1x ∈时，()0m x '<，∴当(]0,1x ∈时，()(0)0m x m <=，即ln(1)x x +<．故有2211ln(1)k k+<，则2222211ln(1)111111k k k a k k k +=<=+++()1,2,,k n =⋅⋅⋅． …11分当1n =时，11726a <<； 当2n ≥时， （法一）：2211221121214k k k k <=-+-+-Q， ………………………………13分 123a a a ∴+++…++++++<+131121111222n a …112++n 1222222()()()235572121n n <+-+-+⋅⋅⋅+--+ 12272723216216n n =+-=-<++． 综上，有++21a a (6)7<+n a ，*N ∈n ． ………………………………………14分（法二）：当2n =时，12117725106a a +<+=<；当3n ≥时，2211111()11211k k k k <=-+--+Q ， ………………………13分123a a a ∴+++…++++++<+131121111222n a …112++n 111111111[()()()]252243511n n <++-+-+⋅⋅⋅+--+ 111111167111677[]()2522316021606n n n n =+++--=-+<<++．综上，有++21a a (6)7<+n a ，*N ∈n ． ………………………………………14分 【说明】本题主要考查函数的性质、分段函数、导数应用、一元二次方程的求解、连续函数的零点存在性定理，放缩法证明数列不等式，考查学生数形结合、分类讨论的数学思想，以及计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识．。
2015届高三数学上学期调研考试试题 理(含解析)
2015高三调研考试（三）数学理科一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.1.已知集合{})2lg(|x y x A -==，集合{}22|≤≤-=x x B ，则=B A ( ) A.{}2|-≥x x B.{}22|<<-x x C.{}22|<≤-x x D.{}2|<x x考点：集合的运算. 2. 已知命题02,:1>∈∀-x R x p ，则命题p ⌝为（ ）A. 02,1≤∈∀-x R x B. 02,1≤∈∃-x R x C. 02,1<∈∃-x R x D. 02,1<∈∀-x R x【答案】B.考点：命题的否定.3.已知),2(),2,1(m =-=，若⊥=（ ） A.21B.1C.3D.5 【答案】D.【解析】由b a ⊥得到0221=-⨯m ，得1m =,514=+=.考点：平面向量的坐标运算.4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23201410082=++a a a ，则2015S 的值是（ ） A.22015 B.22017C.2015D.2016 【答案】A.考点：等差数列的性质.5.执行下列框图，则输出m 的的值为（ ） A.-2 B.-1 C.0 D.2014cos32013cos【答案】B. 【解析】 .考点：程序框图.6.下列函数中既是奇函数，又在区间内是增函数的为（ ） A.R x x y ∈=,sin B.0,,ln ≠∈=x R x x y 且 C.R x e e y xx∈-=-, D.R x x y ∈+=,13 【答案】C.考点：函数的奇偶性与单调性.7.已知变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-+≥-+0106094y y x y x ，若目标函数ay x z -=取到最大值3，则a 的值为（ ） A.2 B.21 C.52D.1 【答案】A.【解析】画出可行域知，该区域是由点(5,1),(2,1),(1,5)A B C 所围成的三角形区域（包括边界），直线z x ay =-在y 轴上的截距为1z a -，斜率为1a，通过移动直线，易得在点(5,1)A 取到最大值，故351a =-⋅，2a =.cos2cos cosπ+考点：简单的线性规划.8.如图，网格纸上校正方形的边长为1，且实现画出的是某多面体的三视图（第一个为正视图，下面的是侧视图），则该多面体的体积为（ ）A.1B.2C.4D.6【答案】B.【解析】由三视图知该多面体为倒放的直三棱锥，如图所示， 体积11(22)3232V =⨯⨯⨯⨯=. 考点：三视图.9.若m 是1和4的等比中项，则圆锥曲线122=+my x 的离心率为（ ） A.22 B.321或 C.322或 D. 322或 【答案】D.考点：等比中项、圆锥曲线的离心率.10.函数)(x g 的图像是函数x x x f 2cos 32sin )(-=的图像向右平移个单位而得到的，则函数)(x g 的图像的对称轴可以为（ ） A.直线4π=x B. 直线3π=x C. 直线2π=x D. 直线6π=x【答案】C.考点：三角函数图像的平移、三角函数的性质.11.若函数)(x f 对其定义域内的任意21,x x ，当)()(21x f x f =时，总有21x x =，则称)(x f 为紧密函数.例如函数)0(ln )(>==x x x f 是紧密函数，下列命题：①紧密函数必是单调函数；②函数22()(0)x x af x x x ++=>在0<a 时是紧密函数；③函数()⎩⎨⎧<-≥=2,2,2,log 2x x x x x f 是紧密函数；④若函数)(x f 为定义域内的紧密函数，则21x x ≠时,有)()(21x f x f ≠；⑤若函数)(x f 是紧密函数且在定义域内存在导数，则其导函数)('x f 在定义域内的值一定不为零.其中的真命题是（ ）A.②④B.①②C.①②④⑤D.①②③⑤ 【答案】A.考点：新定义题型、函数的性质.12.如图，过原点的直线与圆422=+y x 交于两点Q P ,，点P 在x 轴上方，过点Q P ,分别作x 轴的垂线，垂足分别为点A B ,，将x 轴下方的图形沿x 轴折起，使之与x 轴上方的图形形成直二面角，设点P 的横坐标为x ，三棱锥PBQ O -的体积为)(x f ，则函数)(x f y =的图像大致是（ ）【答案】B.【解析】如图所示，因为点P 的横坐标为x ，所以点p ，根据圆的对称性知QA =且QA ⊥平面POB ,因此当0x >三棱椎的体积为：21111((4)3326POB V S QA x x x ∆=⋅⋅=⋅=⋅-对体积求导知，21()(43)6V x x '=-，易知当x = 而21()(4)6f x x x =-为偶函数，故且函数图象关于y 轴对称.于是选B.考点：折叠问题、几何体的体积.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.抛物线22x y =在点)2,1(处的切线方程为 . 【答案】4x －y －2=0考点：导数的几何意义.14.已知函数)0(tan )(>=k kx x f 的最小正周期为2π，则=-12cos 12sin 22ππk k .【答案】12-15.已知b a ≠且满足022=--a a ，022=--b b ，则点),(b a P 与圆8:22=+y x C 的位置关系是 .（填“点在圆内”、“点在圆上”或“点在圆外”） 【答案】点在圆内【解析】易知点(,)P a b 是方程20x x -=的两个实数根，故22a b +=2()2a b ab +-=21+1+8，故点(,)P a b 在圆C:228x y +=内．考点：一元二次方程的根与系数的关系、点与圆的位置关系.16. 已知b a ,均为实数，且ab b a =++54，则ab 的最小值为 . 【答案】25【解析】因为a>0,b>0,所以4a+b+5=ab 5≥(当且仅当a=b 时取等号)，即50ab --≥1,≤-≥（舍去）５,故ab 的最小值为25.考点：基本不等式.三、解答题:本大题共6题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2015届高考调研理科单元测试卷1
第一章单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．每题中只有一项符合题目要求)1．集合M＝{x|lg x>0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝()A．(1,2) B．[1,2)C．(1,2] D．[1,2]答案 C解析因为M＝{x|x>1}，N＝{x|－2≤x≤2}，所以M∩N＝{x|1<x≤2}＝(1,2]．故选C项．2.已知全集U＝Z，集合A＝{x|x2＝x}，B＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于()A．{－1,2} B．{－1,0}C．{0,1} D．{1,2}答案 A解析依题意知A＝{0,1}，(∁U A)∩B表示全集U中不在集合A中，但在集合B中的所有元素，故图中的阴影部分所表示的集合等于{－1,2}，选A.3．已知∁Z A＝{x∈Z|x＜6}，∁Z B＝{x∈Z|x≤2}，则A与B的关系是() A．A⊆B B．A⊇BC．A＝B D．∁Z A∁Z B答案 A4．已知集合A为数集，则“A∩{0,1}＝{0}”是“A＝{0}”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析∵“A∩{0,1}＝{0}”得不出“A＝{0}”，而“A＝{0}”能得出“A∩{0,1}＝{0}”，∴“A∩{0,1}＝{0}”是“A＝{0}”的必要不充分条件．5．以下选项中，p是q的必要不充分条件的是()A．p：a＋c＞b＋d，q：a＞b且c＞dB．p：a＞1，b＞1，q：f(x)＝a x－b(a＞0，且a≠1)的图像不过第二象限C．p：x＝1，q：x2＝xD．p：a＞1，q：f(x)＝log a x(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数答案 A解析B选项中，当b＝1，a＞1时，q推不出p，因而p为q的充分不必要条件．C选项中，q为x＝0或1，q不能够推出p，因而p为q的充分不必要条件．D选项中，p、q可以互推，因而p为q的充要条件．故选A.6．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数．则以下命题中为真命题的是()A．(綈p)或q B．p且qC．(綈p)且(綈q) D．(綈p)或(綈q)答案 D解析由于命题p是真命题，命题q是假命题，因此，命题綈q是真命题，于是(綈p)或(綈q)是真命题．7．以下命题中，真命题是()B．∀x∈R,2x>x2C．a＋b＝0的充要条件是ab＝－1D．a>1，b>1是ab>1的充分条件答案 D解析∵a>1>0，b>1>0，∴由不等式的性质，得ab>1.即a>1，b>1⇒ab>1.8．已知命题p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：“ac2>bc2”是“a>b”的充要条件，则()A．“p或q”为真B．“p且q”为真C．p真q假D．p，q均为假答案 A解析由x>3能够得出x2>9，反之不成立，故命题p是假命题；由ac2>bc2能够推出a>b，反之，因为1c2>0，所以由a>b能推出ac2>bc2成立，故命题q是真命题．因此选A.9．命题p：∀x∈R，x2＋1>0，命题q：∃θ∈R，sin2θ＋cos2θ＝1.5，则以下命题中真命题是()A．p∧q B．(綈p)∧qC．(綈p)∨q D．p∧(綈q)答案 D解析易知p为真，q为假，綈p为假，綈q为真．由真值表可知p∧q假，(綈p)∧q假，(綈p)∨q假，p∧(綈q)真，故选D.10．已知直线l1：x＋ay＋1＝0，直线l2：ax＋y＋2＝0，则命题“假设a＝1或a＝－1，则直线l1与l2平行”的否命题为()A．假设a≠1且a≠－1，则直线l1与l2不平行B．假设a≠1或a≠－1，则直线l1与l2不平行C．假设a＝1或a＝－1，则直线l1与l2不平行D．假设a≠1或a≠－1，则直线l1与l2平行答案 A解析命题“假设A，则B”的否命题为“假设綈A，则綈B”，显然“a ＝1或a＝－1”的否认为“a≠1且a≠－1”，“直线l1与l2平行”的否认为“直线l1与l2不平行”，所以选A.11．命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是() A．a≥4 B．a≤4C．a≥5 D．a≤5答案 C解析命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4，故其充分不必要条件是实数a的取值范围是集合[4，＋∞)的非空真子集，正确选项为C.12．设x，y∈R，则“|x|≤4且|y|≤3”是“x216＋y29≤1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析画图易知，{(x，y)||x|≤4且|y|≤3}⊇{(x，y)|x216＋y29≤1}．二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知集合A＝{1，a,5}，B＝{2，a2＋1}．假设A∩B有且只有一个元素，则实数a的值为________．答案0或－2解析假设a＝2，则a2＋1＝5，A∩B＝{2,5}，不合题意舍去．假设a2＋1＝1，则a＝0，A∩B＝{1}．假设a2＋1＝5，则a＝±2.而a＝－2时，A∩B＝{5}．假设a2＋1＝a，则a2－a＋1＝0无解．∴a＝0或a＝－2.14．命题“∃x∈R，x2＋ax－4a<0”为假命题，是“－16≤a≤0”的________条件．答案充要解析∵“∃x∈R，x2＋ax－4a<0”为假命题，∴“∀x∈R，x2＋ax－4a≥0”为真命题，∴Δ＝a2＋16a≤0，即－16≤a≤0.故为充要条件．15．设全集U＝A∪B＝{x∈N*|lg x<1}，假设A∩(∁U B)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝________.答案{2,4,6,8}解析A∪B＝{x∈N*|lg x<1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩(∁U B)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}＝{1,3,5,7,9}，∴B＝{2,4,6,8}．16．假设f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1,2]，∃x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则a的取值范围是________．答案(0，1 2]解析由于函数g(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集．函数f(x)的值域是[－1,3]，函数g(x)的值域是[2－a,2＋2a]，则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤12，又a>0，故a的取值范围是(0，12]．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题总分值10分)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．(1)假设A∩B＝[0,3]，求实数m的值；(2)假设A⊆∁R B，求实数m的取值范围．答案(1)2(2)(－∞，－3)∪(5，＋∞)解析由已知得：A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，m ≥1.∴m ＝2，即实数m 的值为2. (2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}． ∵A ⊆∁R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1. ∴m >5或m <－3.∴实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)． 18．(本小题总分值12分)已知命题“∃x ∈R ，|x －a |＋|x ＋1|≤2”是假命题，求实数a 的取值范围． 答案 (－∞，－3)∪(1，＋∞)解析 依题意知，对任意x ∈R ，都有|x －a |＋|x ＋1|>2；由于|x －a |＋|x ＋1|≥|(x －a )－(x ＋1)|＝|a ＋1|，因此有|a ＋1|>2，a ＋1<－2或a ＋1>2， 即a <－3或a >1.所以实数a 的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞)． 19．(本小题总分值12分)已知集合E ＝{x ||x －1|≥m }，F ＝{x |10x ＋6>1}．(1)假设m ＝3，求E ∩F ；(2)假设E ∪F ＝R ，求实数m 的取值范围． 答案 (1){x |－6<x ≤－2} (2)m ≤3解析 (1)当m ＝3时，E ＝{x ||x －1|≥3}＝{x |x ≤－2或x ≥4}， F ＝{x |10x ＋6>1}＝{x |x －4x ＋6<0}＝{x |－6<x <4}．∴E ∩F ＝{x |x ≤－2或x ≥4}∩{x |－6<x <4}＝{x |－6<x ≤－2}． (2)∵E ＝{x ||x －1|≥m }，①当m ≤0时，E ＝R ，E ∪F ＝R ，满足条件． ②当m >0时，E ＝{x |x ≤1－m 或x ≥1＋m }， 由E ∪F ＝R ，F ＝{x |－6<x <4}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－6，1＋m ≤4，m >0，解得0<m ≤3.综上，实数m 的取值范围为m ≤3. 20．(本小题总分值12分)已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |x －2x －(3a ＋1)<0}，B ＝{x |x －a 2－2x －a <0}．(1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，假设q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．答案 (1){x |94≤x <52} (2)[－12，13)∪(13，3－52]解析 (1)当a ＝12时，A ＝{x |x －2x －52<0}＝{x |2<x <52}，B ＝{x |x －94x －12<0}＝{x |12<x <94}，∴∁U B ＝{x |x ≤12或x ≥94}． ∴(∁U B )∩A ＝{x |94≤x <52}．(2)∵a 2＋2>a ，∴B ＝{x |a <x <a 2＋2}．①当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}． ∵p 是q 的充分条件，∴A ⊆B . ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ＋1≤a 2＋2，即13<a ≤3－52.②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，不符合题意． ③当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}， 由A ⊆B ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2，∴－12≤a <13.综上所述，实数a 的取值范围是[－12，13)∪(13，3－52]． 21．(本小题总分值12分)设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋1x ＋1的值域，集合C 为不等式(ax －1a )(x ＋4)≤0的解集．(1)求A ∩B ；(2)假设C ⊆∁R A ，求a 的取值范围． 答案 (1)(－4，－3]∪[1,2) (2)[－22，0) 解析 (1)由－x 2－2x ＋8>0，解得A ＝(－4,2)． 又y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1，所以B ＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 所以A ∩B ＝(－4，－3]∪[1,2)． (2)因为∁R A ＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)， 由(ax －1a )(x ＋4)≤0，知a ≠0.①当a>0时，由(x－1a2)(x＋4)≤0，得C＝[－4，1a2]，不满足C⊆∁R A；②当a<0时，由(x－1a2)(x＋4)≥0，得C＝(－∞，－4]∪[1a2，＋∞)，欲使C⊆∁R A，则1a2≥2，解得－22≤a<0或0<a≤22.又a<0，所以－22≤a<0.综上所述，所求a的取值范围是[－22，0)．22．(本小题总分值12分)已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x20＋2ax0＋2a≤0，假设命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．答案{a|a>2或a<－2}解析由2x2＋ax－a2＝0，得(2x－a)(x＋a)＝0.∴x＝a2或x＝－a.∴当命题p为真命题时|a2|≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2.又“只有一个实数x0满足不等式x20＋2ax0＋2a≤0”，即抛物线y＝x2＋2ax ＋2a与x轴只有一个交点，∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2.∴命题“p或q”为真命题时，|a|≤2.∵命题“p或q”为假命题，∴a>2或a<－2.即a的取值范围为{a|a>2或a<－2}．。
中学2015届高三下学期一调考试物理试题 Word版含答案
2014一2015学年度下学期高三年级一调考试理科综合试卷命题人:刘志营、范灵丽、李兴义本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.总分300分，考试时间150分钟.可能用到的相对原子质足HI()16 C 12 N 14 S 32 F 19 CI 35.5 Br 80 1 127 Si 28Na 23 K 39 Ca 40 Mg 24 A一27 Fe 56 Cu 64 Co 59第I卷(选择题共126分)一、选择题(本大题共13小题，每小题6分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)二、选择题(本题共8小题，每小题6分.共48分.其中14-18为单选题,19-21题为多选题.全部选对的得6分.选对但不全的得3分，有选错的得0分)14.2012年度诺贝尔物理学奖授予了法国科学家塞尔日·阿罗什与美国科学家大卫·维因兰德，以表彰他们独立发明并发展测量和控制粒子个体、同时保持它们量子力学特性的方法。
在物理学的发展过程中，许多物理学家的科学发现推动了人类历史的进步。
下列表述符合物理学史实的是()A.开普勒认为只有在一定的条件下，弹簧的弹力与弹簧的形变量成正比B.库仑利用库仑扭秤巧妙地实现了他对电荷间相互作用为规律的研究C.法拉第发现电流的磁效应，这和他坚信电和磁之间一定存在着联系的哲学思想是分不开的D.安培首先引人电场线和磁感线.极大地促进了他对电磁现象的研究15.如图所示，水平面上停放着A,B两辆小车，质量分别为M和m，M>m,两小车相距为L，人的质量也为m，另有质量不计的硬杆和细绳。
第一次人站在A车上，杆插在B车上;第二次人站在B车上，杆插在A车上;若两种情况下人用相同大小的水平作用力拉绳子，使两车相遇，不计阻力，两次小车从开始运动到相遇的时间分别为t1和t2，则()D.条件不足，无法判断16.如图，一质量为m的滑块静止置于倾角为30的粗糙斜面上，一根轻弹簧一端固定在竖直墙上的P点.另一端系在滑块上.弹簧与斜面垂直，则()A.滑块不可能只受到三个力作用B.弹簧不可能处于伸长状态C.斜面对滑块的支持力大小可能为零mgD.斜面对，块的摩擦力大小一定等于1217.我国连续发射了多颗“北斗一号”导航定位卫星.预示着我国通讯技术的不断提高。
2015年高三理科综合测试卷(1)含参考答案要点
华安一中2015届高三下第八周理综测试（2015422）本试卷共12页，满分300分，考试时间150分钟。
可能需要的相对原子质量：H — I C -12 N-14 0-16 Na - 23 Mg - 24 S-32第I 卷（选择题 共108分）本卷共18小题，每小题6分，共108分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选 项符合题目要求。
1 •下列哪一项不属于.细胞内囊泡的生理功能（）A.分泌胰岛素 B .合成多种水解酶 C.进行细胞内物质运输D .参与形成植物细胞板2 •下列关于生命物质的叙述中，错误的是（）A. 有些质膜蛋白既是递质受体，也是物质通道B. DNA 既能携带遗传信息，也能表达遗传信息C. 乙烯既能促进果实生长，也能促进果实成熟D . NADPH 既携带了氢，也储存了能量3 .右图甲、乙为某细胞连续多次细胞分裂过程中两个不同时期的细胞模式图。
下列相关叙述中，正确的是（ ）A.某细胞的基因型- -定是 Dd B .乙的基因型— -定是 DDddC. 多次分裂过程中出现的次序为甲T 乙D. 甲、乙的子细胞均含有两个染色体组4.真核细胞内RNA 的酶促合成过程如图所示。
下列相关叙 述中，错误的是（）A. 该过程不会发生在细胞质中B. 该过程两个 RNA 聚合酶反向移动C.该DNA 片段至少含有2个基因 D .该DNA 片段的两条链均可作为模板链5 .右图为现代版“桑基鱼塘”农业生态系统的能量流动和物质循环模式图，据图分析正 确的是（ ）A. “ ? T 桑”不能代表能量流动B. 模式图中不应有“ ？ T 池塘”的箭头C. 鱼是二级消费者D. 该生态农业促进了能量流动和物质循环 6.化学与生产、生活、社会密切相关，下列说法正 确的是（ ）A .植物油的主要成分是高级脂肪酸B . CO 2、NO 2或SO 2都会导致酸雨的形成C .碘是人体必须的微量元素，所以要多吃富含高碘酸的食物D .钢筋混凝土、玻璃钢、石棉瓦、碳纤维增强陶瓷都是常见的复合材料 7.下列说法不正确的是（）A .油脂发生皂化反应能生成甘油B .乙烯、丙烯酸（CH 2=CHCOOH ）、醋酸乙烯酯（CH 3COOCH=CH 2）均可作为合成聚 合物的单体甲乙第3题图第4题图 第5题图C •蔗糖及其水解产物均能与新制氢氧化铜反应生成红色沉淀D •甲烷、苯、乙醇、乙酸和乙酸乙酯都可以发生取代反应 &对下列实验装置叙述错误的是(A . 0.2mol/LNaA 溶液和0」mol/L 盐酸溶液等体积混合所得碱性溶液中： + + 一 一c(Na )+C (H ) = C (A )+C (CI )B . 0.lmol/LNa 2CO 3 溶液中：c(Na +) =C (HCO 3 )+C (H 2CO 3)+2C (CO 2') C .常温下pH = 4的醋酸与pH = 10的NaOH 溶液等体积混合后 pH v 7D . pH = 12的Ba(OH) 2溶液和pH = 12的Na z CO s 溶液中，水电离的 C (H +)相等 12.下列图示与对应的选项相符的是()A.图1表示KNO 3的溶解度曲线，图中 a 点表示的溶液通过升温可以得到b 点 B .图2表示某一放热反应，若使用催化剂 E 1、E 2、△ H 都会发生改变 C .图3表示向Na 2CO 3和NaHCO 3的混合溶液中滴加稀盐酸时，产生CO 2的情况A .图B .图C .图D .图 该装置不能制取并收集到干燥纯净的若X 为锌棒，开关 K 置于A 或B 处均可减缓铁的腐蚀 白色固体先变黄色，最后变成黑色，可以得出Agl 溶解度小于Ag 2S可以验证碳酸酸性强于硅酸C (N0)C (S0 3)9. 某可逆反应平衡常数表达式为K =C(N O 2)C (SO2)。
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第一章单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．集合M＝{x|lg x>0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝()A．(1,2) B．[1,2)C．(1,2] D．[1,2]答案 C解析因为M＝{x|x>1}，N＝{x|－2≤x≤2}，所以M∩N＝{x|1<x≤2}＝(1,2]．故选C项．2.已知全集U＝Z，集合A＝{x|x2＝x}，B＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于()A．{－1,2} B．{－1,0}C．{0,1} D．{1,2}答案 A解析依题意知A＝{0,1}，(∁U A)∩B表示全集U中不在集合A中，但在集合B中的所有元素，故图中的阴影部分所表示的集合等于{－1,2}，选A.3．已知∁Z A＝{x∈Z|x＜6}，∁Z B＝{x∈Z|x≤2}，则A与B的关系是() A．A⊆B B．A⊇BC．A＝B D．∁Z A∁Z B答案 A4．已知集合A为数集，则“A∩{0,1}＝{0}”是“A＝{0}”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析∵“A∩{0,1}＝{0}”得不出“A＝{0}”，而“A＝{0}”能得出“A∩{0,1}＝{0}”，∴“A∩{0,1}＝{0}”是“A＝{0}”的必要不充分条件．5．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是()A．p：a＋c＞b＋d，q：a＞b且c＞dB．p：a＞1，b＞1，q：f(x)＝a x－b(a＞0，且a≠1)的图像不过第二象限C．p：x＝1，q：x2＝xD．p：a＞1，q：f(x)＝log a x(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数答案 A解析B选项中，当b＝1，a＞1时，q推不出p，因而p为q的充分不必要条件．C选项中，q为x＝0或1，q不能够推出p，因而p为q的充分不必要条件．D选项中，p、q可以互推，因而p为q的充要条件．故选A.6．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数．则下列命题中为真命题的是()A．(綈p)或q B．p且qC．(綈p)且(綈q) D．(綈p)或(綈q)答案 D解析由于命题p是真命题，命题q是假命题，因此，命题綈q是真命题，于是(綈p)或(綈q)是真命题．7．下列命题中，真命题是()B．∀x∈R,2x>x2C．a＋b＝0的充要条件是ab＝－1D．a>1，b>1是ab>1的充分条件答案 D解析∵a>1>0，b>1>0，∴由不等式的性质，得ab>1.即a>1，b>1⇒ab>1.8．已知命题p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：“ac2>bc2”是“a>b”的充要条件，则()A．“p或q”为真B．“p且q”为真C．p真q假D．p，q均为假答案 A解析由x>3能够得出x2>9，反之不成立，故命题p是假命题；由ac2>bc2能够推出a>b，反之，因为1c2>0，所以由a>b能推出ac2>bc2成立，故命题q是真命题．因此选A.9．命题p：∀x∈R，x2＋1>0，命题q：∃θ∈R，sin2θ＋cos2θ＝1.5，则下列命题中真命题是()A．p∧q B．(綈p)∧qC．(綈p)∨q D．p∧(綈q)答案 D解析易知p为真，q为假，綈p为假，綈q为真．由真值表可知p∧q假，(綈p)∧q假，(綈p)∨q假，p∧(綈q)真，故选D.10．已知直线l1：x＋ay＋1＝0，直线l2：ax＋y＋2＝0，则命题“若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2平行”的否命题为()A．若a≠1且a≠－1，则直线l1与l2不平行B．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2不平行C．若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2不平行D．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2平行答案 A解析命题“若A，则B”的否命题为“若綈A，则綈B”，显然“a＝1或a＝－1”的否定为“a≠1且a≠－1”，“直线l1与l2平行”的否定为“直线l1与l2不平行”，所以选A.11．命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是() A．a≥4 B．a≤4C．a≥5 D．a≤5答案 C解析命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4，故其充分不必要条件是实数a的取值范围是集合[4，＋∞)的非空真子集，正确选项为C.12．设x，y∈R，则“|x|≤4且|y|≤3”是“x216＋y29≤1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析画图易知，{(x，y)||x|≤4且|y|≤3}⊇{(x，y)|x216＋y29≤1}．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知集合A＝{1，a,5}，B＝{2，a2＋1}．若A∩B有且只有一个元素，则实数a的值为________．答案0或－2解析若a＝2，则a2＋1＝5，A∩B＝{2,5}，不合题意舍去．若a2＋1＝1，则a＝0，A∩B＝{1}．若a2＋1＝5，则a＝±2.而a＝－2时，A∩B＝{5}．若a2＋1＝a，则a2－a＋1＝0无解．∴a＝0或a＝－2.14．命题“∃x∈R，x2＋ax－4a<0”为假命题，是“－16≤a≤0”的________条件．答案充要解析∵“∃x∈R，x2＋ax－4a<0”为假命题，∴“∀x∈R，x2＋ax－4a≥0”为真命题，∴Δ＝a2＋16a≤0，即－16≤a≤0.故为充要条件．15．设全集U＝A∪B＝{x∈N*|lg x<1}，若A∩(∁U B)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝________.答案{2,4,6,8}解析A∪B＝{x∈N*|lg x<1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩(∁U B)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}＝{1,3,5,7,9}，∴B＝{2,4,6,8}．16．若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1,2]，∃x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则a的取值范围是________．答案(0，1 2]解析由于函数g(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集．函数f(x)的值域是[－1,3]，函数g(x)的值域是[2－a,2＋2a]，则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤12，又a>0，故a的取值范围是(0，12]．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围． 答案 (1)2 (2)(－∞，－3)∪(5，＋∞)解析 由已知得：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}． (1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，m ≥1.∴m ＝2，即实数m 的值为2. (2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}． ∵A ⊆∁R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1. ∴m >5或m <－3.∴实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)． 18．(本小题满分12分)已知命题“∃x ∈R ，|x －a |＋|x ＋1|≤2”是假命题，求实数a 的取值范围． 答案 (－∞，－3)∪(1，＋∞)解析 依题意知，对任意x ∈R ，都有|x －a |＋|x ＋1|>2；由于|x －a |＋|x ＋1|≥|(x －a )－(x ＋1)|＝|a ＋1|，因此有|a ＋1|>2，a ＋1<－2或a ＋1>2， 即a <－3或a >1.所以实数a 的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞)． 19．(本小题满分12分)已知集合E ＝{x ||x －1|≥m }，F ＝{x |10x ＋6>1}．(1)若m ＝3，求E ∩F ；(2)若E ∪F ＝R ，求实数m 的取值范围． 答案 (1){x |－6<x ≤－2} (2)m ≤3解析 (1)当m ＝3时，E ＝{x ||x －1|≥3}＝{x |x ≤－2或x ≥4}， F ＝{x |10x ＋6>1}＝{x |x －4x ＋6<0}＝{x |－6<x <4}．∴E ∩F ＝{x |x ≤－2或x ≥4}∩{x |－6<x <4}＝{x |－6<x ≤－2}． (2)∵E ＝{x ||x －1|≥m }，①当m ≤0时，E ＝R ，E ∪F ＝R ，满足条件． ②当m >0时，E ＝{x |x ≤1－m 或x ≥1＋m }， 由E ∪F ＝R ，F ＝{x |－6<x <4}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－6，1＋m ≤4，m >0，解得0<m ≤3.综上，实数m 的取值范围为m ≤3. 20．(本小题满分12分)已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |x －2x －(3a ＋1)<0}，B ＝{x |x －a 2－2x －a <0}．(1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．答案 (1){x |94≤x <52} (2)[－12，13)∪(13，3－52]解析 (1)当a ＝12时，A ＝{x |x －2x －52<0}＝{x |2<x <52}，B ＝{x |x －94x －12<0}＝{x |12<x <94}，∴∁U B ＝{x |x ≤12或x ≥94}． ∴(∁U B )∩A ＝{x |94≤x <52}．(2)∵a 2＋2>a ，∴B ＝{x |a <x <a 2＋2}．①当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}． ∵p 是q 的充分条件，∴A ⊆B . ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ＋1≤a 2＋2，即13<a ≤3－52.②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，不符合题意． ③当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}， 由A ⊆B ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2，∴－12≤a <13.综上所述，实数a 的取值范围是[－12，13)∪(13，3－52]． 21．(本小题满分12分)设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋1x ＋1的值域，集合C 为不等式(ax －1a )(x ＋4)≤0的解集．(1)求A ∩B ；(2)若C ⊆∁R A ，求a 的取值范围． 答案 (1)(－4，－3]∪[1,2) (2)[－22，0) 解析 (1)由－x 2－2x ＋8>0，解得A ＝(－4,2)．又y＝x＋1x＋1＝(x＋1)＋1x＋1－1，所以B＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)．所以A∩B＝(－4，－3]∪[1,2)．(2)因为∁R A＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)，由(ax－1a)(x＋4)≤0，知a≠0.①当a>0时，由(x－1a2)(x＋4)≤0，得C＝[－4，1a2]，不满足C⊆∁R A；②当a<0时，由(x－1a2)(x＋4)≥0，得C＝(－∞，－4]∪[1a2，＋∞)，欲使C⊆∁R A，则1a2≥2，解得－22≤a<0或0<a≤22.又a<0，所以－22≤a<0.综上所述，所求a的取值范围是[－22，0)．22．(本小题满分12分)已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x20＋2ax0＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．答案{a|a>2或a<－2}解析由2x2＋ax－a2＝0，得(2x－a)(x＋a)＝0.∴x＝a2或x＝－a.∴当命题p为真命题时|a2|≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2.又“只有一个实数x0满足不等式x20＋2ax0＋2a≤0”，即抛物线y＝x2＋2ax ＋2a与x轴只有一个交点，∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2.∴命题“p或q”为真命题时，|a|≤2.∵命题“p或q”为假命题，∴a>2或a<－2. 即a的取值范围为{a|a>2或a<－2}．。