2020版高考数学新增分大一轮新高考鲁京津琼专用讲义第四章高考专题突破二
2020版高考数学(鲁京津琼)新增分大一轮讲义：第四章4.3三角函数的图象与性质Word版含解析
§4.3 三角函数的图象与性质最新考纲 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴交点等)．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )概念方法微思考1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？ 提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期．2．思考函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件？ 提示 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × )(2)由sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2π3＝sin π6知，2π3是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期．( × ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (5)y ＝sin|x |是偶函数．( √ ) 题组二 教材改编2．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是． 答案 π3．y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域是． 答案 ⎣⎡⎦⎤－32，3 解析 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3， 即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. 4．函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的单调递减区间为．⎝8282解析 由－π2＋k π<2x －3π4<π2＋k π(k ∈Z )，得π8＋k π2<x <5π8＋k π2(k ∈Z )， 所以y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的单调递减区间为 ⎝⎛⎭⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )．题组三 易错自纠5．下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 答案 B解析 函数y ＝2sin ⎝⎛⎫2x －π6的最小正周期T ＝2π2＝π， 又sin ⎝⎛⎭⎫2×π3－π6＝1， ∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象关于直线x ＝π3对称． 6．函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间是． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z ) 解析 f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 所以要求f (x )的单调递减区间，只需求y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间． 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π12＋k π≤x ≤512π＋k π(k ∈Z )． 所以函数f (x )的单调递减区间是⎣⎦12127．cos23°，sin68°，cos97°的大小关系是． 答案 sin68°>cos23°>cos97° 解析 sin68°＝cos22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， ∴sin68°>cos23°>cos97°.题型一 三角函数的定义域1．函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠π6 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π6(k ∈Z ) D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π6(k ∈Z ) 答案 D解析 由正切函数的定义域，得2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，即x ≠k π2＋π6(k ∈Z )，故选D.2．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为． 答案 ⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ) 解析 方法一 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .方法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)．所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 3．函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤2k π＋π3，k ∈Z 解析 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，k ∈Z ，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤2k π＋π3，k ∈Z . 思维升华三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．题型二 三角函数的值域(最值)例1 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－3B ．0C ．－1D ．－1－ 3 答案 A解析 因为0≤x ≤9，所以－π3≤πx 6－π3≤7π6，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3≤1，则－3≤y ≤2.所以y max ＋y min ＝2－ 3.(2)函数y ＝cos2x ＋2cos x 的值域是( ) A ．[－1,3] B.⎣⎡⎦⎤－32，3 C.⎣⎡⎦⎤－32，－1 D.⎣⎡⎦⎤32，3答案 B解析 y ＝cos2x ＋2cos x ＝2cos 2x ＋2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎫cos x ＋122－32，因为cos x ∈[－1,1]，所以原式的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. 思维升华求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； (3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值．跟踪训练1(1)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是． 答案 ⎣⎡⎦⎤π3，π解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6， ∵当x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴由函数的图象(图略)知，π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π. (2)(2018·长沙质检)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为． 答案 ⎣⎡⎦⎤－12－2，1解析 设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x ·cos x ，sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1，t ∈[－2，2]．当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－12－2，1. 题型三 三角函数的周期性与对称性例2 (1)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________． 答案 2或3解析 由题意得1<πk <2，k ∈N ，∴π2<k <π，k ∈N ， ∴k ＝2或3.(2)(2018·武汉模拟)若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为___________． 答案 2解析 由题意知ωπ6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，∴ωmin ＝2.思维升华 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点． (2)求三角函数周期的方法 ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.跟踪训练2 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象( ) A ．关于原点对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线x ＝π6对称答案 B解析 ∵当x ＝－π6时，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6×2＋π3＝0， ∴函数图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称． (2)若直线x ＝54π和x ＝94π是函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0)图象的两条相邻对称轴，则φ的一个可能取值为( ) A.34πB.π2C.π3D.π4 答案 A解析 由题意，函数的周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫94π－54π＝2π，∴ω＝2πT ＝1，∴y ＝cos(x ＋φ)，当x ＝54π时，函数取得最大值或最小值，即cos ⎝⎛⎭⎫54π＋φ＝±1，可得54π＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝k π－54π，k ∈Z .当k ＝2时，可得φ＝34π.题型四 三角函数的单调性命题点1 求三角函数的单调区间例3(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调递减区间为． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．(2)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的单调递增区间是． 答案 ⎝⎛⎭⎫k π2－5π12，k π2＋π12(k ∈Z ) 解析 由k π－π2<2x ＋π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－5π12<x <k π2＋π12(k ∈Z )， 所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的单调递增区间为 ⎝⎛⎭⎫k π2－5π12，k π2＋π12(k ∈Z )．(3)函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间是． 答案 ⎣⎡⎦⎤0，π6 解析 ∵y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， 由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z )．∴函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z )， 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π6. 命题点2 根据单调性求参数例4已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是． 答案 ⎣⎡⎦⎤12，54解析 由π2<x <π，ω>0，得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4， 又y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ， 所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z .又由4k ＋12－⎝⎛⎭⎫2k ＋54≤0，k ∈Z 且2k ＋54>0，k ∈Z ，得k ＝0，所以ω∈⎣⎡⎦⎤12，54. 引申探究本例中，若已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是． 答案 ⎣⎡⎦⎤32，74解析 函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，则⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4≤2k π，k ∈Z ，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝⎛⎭⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14>0，k ∈Z ， 得k ＝1，所以ω∈⎣⎡⎦⎤32，74.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． (2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． 跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤3π8＋2k π，7π8＋2k π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤－π8＋2k π，3π8＋2k π(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z ) 答案 D解析 函数的解析式可化为f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π(k ∈Z )，即函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z )． (2)(2018·武汉联考)若函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在区间⎣⎡⎦⎤0，a 3和⎣⎡⎦⎤4a ，7π6上均单调递增，则实数a 的取值范围是．答案 ⎣⎡⎭⎫π6，7π24解析 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，可得 k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )， ∴g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． 又∵函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，a 3和⎣⎡⎦⎤4a ，7π6上均单调递增， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 3≤π6，4a ≥2π3，4a <7π6，解得π6≤a <7π24.三角函数的图象与性质纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分．例(1)在函数①y ＝cos|2x |；②y ＝|cos x |；③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6；④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③答案 A解析 ①y ＝cos|2x |＝cos2x ，最小正周期为π；②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π；③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π； ④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2，故选A. (2)(2017·全国Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减答案 D解析 A 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确； B 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )， 所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，B 项正确； C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－5π6(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝π6， 所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确； D 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )， 单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )， 所以⎝⎛⎭⎫π2，2π3是f (x )的单调递减区间，⎣⎡⎭⎫2π3，π是f (x )的单调递增区间，D 项错误． 故选D.(3)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为．答案 ⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析 由图象知，周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫54－14＝2，。
2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用讲义：第四章 4.7 解三角形的实际应用
§4.7解三角形的实际应用最新考纲能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．测量中的有关几个术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：坡角与坡比坡面与水平面所成二面角的度数叫坡度，θ为坡角；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比，即i＝hl＝tan θ概念方法微思考在实际测量问题中有哪几种常见类型，解决这些问题的基本思想是什么？提示实际测量中有高度、距离、角度等问题，基本思想是根据已知条件，构造三角形(建模)，利用正弦定理、余弦定理解决问题．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( × ) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎡⎦⎤0，π2.( × ) (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( √ ) (4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是⎣⎡⎭⎫0，π2.( √ ) 题组二 教材改编2.如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出A ，C 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为________ m.答案 502解析 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin B ，又B ＝30°，∴AB ＝AC sin ∠ACBsin B ＝50×2212＝502(m)．3．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为60°，则山高h ＝______米．答案22a 解析 由题图可得∠P AQ ＝α＝30°，∠BAQ ＝β＝15°，在△P AB 中，∠P AB ＝α－β＝15°， 又∠PBC ＝γ＝60°，∴∠BP A ＝()90°－α－()90°－γ＝γ－α＝30°，∴在△P AB中，asin 30°＝PBsin 15°，∴PB＝6－22a，∴PQ＝PC＋CQ＝PB·sin γ＋a sin β＝6－22a×sin 60°＋a sin 15°＝22a.题组三易错自纠4．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为()A．10 2 m B．20 mC．20 3 m D．40 m答案D解析设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝－20(舍去)或x＝40.故电视塔的高度为40 m.5．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC＝________.答案130°解析60°＋70°＝130°.6．海上有A，B，C三个小岛，A，B相距5 3 海里，从A岛望C和B成45°视角，从B岛望C和A成75°视角，则B，C两岛间的距离是________海里．答案52解析由题意可知∠ACB＝60°，由正弦定理得ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，即53sin 60°＝BCsin 45°，得BC＝5 2.题型一测量距离问题1．(2018·长春检测)江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距____m.答案103 解析 如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)， ON ＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)， 在△MON 中，由余弦定理得 MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝10 3 (m)．2.如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，要测出A ，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，若测得CD ＝32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°， ∠ACB ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________ km.答案64解析 ∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°，∠ACD ＝60°， ∴∠DAC ＝60°， ∴AC ＝DC ＝32km. 在△BCD 中，∠DBC ＝45°，由正弦定理，得BC ＝DC sin ∠DBC ·sin ∠BDC ＝32sin 45°·sin 30°＝64(km)．在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.∴AB ＝64km. ∴A ，B 两点间的距离为64km. 3．如图，为了测量两座山峰上P ，Q 两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m 且和P ，Q 两点在同一平面内的路段AB 的两个端点作为观测点，现测得∠P AB ＝90°，∠P AQ ＝∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，则P ，Q 两点间的距离为________ m.答案 900解析 由已知，得∠QAB ＝∠P AB －∠P AQ ＝30°. 又∠PBA ＝∠PBQ ＝60°， ∴∠AQB ＝30°，∴AB ＝BQ .又PB 为公共边，∴△P AB ≌△PQB ， ∴PQ ＝P A .在Rt △P AB 中，AP ＝AB ·tan 60°＝900，故PQ ＝900， ∴P ，Q 两点间的距离为900 m. 思维升华 求距离问题的两个策略(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 题型二 测量高度问题例1 (2018·福州测试)如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°，若山高AD ＝100 m ，汽车从B 点到C 点历时14 s ，则这辆汽车的速度约为________ m/s.(精确到0.1，参考数据：2≈1.414，5≈2.236)答案 22.6解析 因为小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD ＝60°，∠CAD ＝45°，设这辆汽车的速度为v m/s ，则BC ＝14v ，在Rt △ADB 中，AB ＝ADcos ∠BAD ＝AD cos 60°＝200.在Rt △ADC 中，AC ＝AD cos ∠CAD ＝100cos 45°＝100 2.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ，所以(14v )2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos 135°，所以v ＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.思维升华 (1)高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．跟踪训练1 如图所示，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ，则山高CD ＝____________.答案h cos αsin βsin (α－β)解析 由已知得∠BCA ＝90°＋β，∠ABC ＝90°－α，∠BAC ＝α－β，∠CAD ＝β. 在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC，即AC sin (90°－α)＝BCsin (α－β)，∴AC ＝BC cos αsin (α－β)＝h cos αsin (α－β).在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β＝h cos αsin βsin (α－β).故山高CD 为h cos αsin βsin (α－β).题型三 角度问题例2 如图所示，一艘巡逻船由南向北行驶，在A 处测得山顶P 在北偏东15°(∠BAC ＝15°)的方向，匀速向北航行20分钟后到达B 处，测得山顶P 位于北偏东60°的方向，此时测得山顶P 的仰角为60°，已知山高为2 3 千米．(1)船的航行速度是每小时多少千米？(2)若该船继续航行10分钟到达D 处，问此时山顶位于D 处南偏东多少度的方向？ 解 (1)在△BCP 中，由tan ∠PBC ＝PCBC，得BC＝PCtan∠PBC＝2，在△ABC中，由正弦定理得BCsin∠BAC＝ABsin∠BCA，即2sin 15°＝ABsin 45°，所以AB＝2(3＋1)，故船的航行速度是每小时6(3＋1)千米．(2)在△BCD中，BD＝3＋1，BC＝2，∠CBD＝60°，则由余弦定理得CD＝6，在△BCD中，由正弦定理得CDsin∠DBC＝BCsin∠CDB，即6sin 60°＝2sin∠CDB，所以sin∠CDB＝22，所以，山顶位于D处南偏东45°的方向．思维升华解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角和方向角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．跟踪训练2 如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东60°的方向上，则灯塔A在灯塔B的______的方向上．答案北偏西10°解析由已知得∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°，∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°的方向上．1．(2018·武汉调研)已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为()A．10 km B．10 3 kmC．10 5 km D．107 km答案 D解析 如图所示，由余弦定理可得AC 2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，∴AC ＝107.2.如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于( )A.32 B.22C.3－1D.2－1 答案 C解析 在△ABC 中，由正弦定理得AB sin 30°＝AC sin 135°，∴AC ＝100 2.在△ADC 中，AC sin (θ＋90°)＝CDsin 15°，∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝AC ·sin 15°CD＝3－1.3．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( ) A ．10 2 海里 B ．10 3 海里 C ．20 3 海里 D ．20 2 海里答案 A解析 如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20， ∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°， 根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°， 解得BC ＝10 2.4.如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° 答案 B解析 依题意可得AD ＝2010，AC ＝305， 又CD ＝50，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝(305)2＋(2010)2－5022×305×2010＝ 6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°， 所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.5．(2018·郑州质检)如图所示，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于( )A ．5 6B ．153C ．5 2D ．156答案 D解析 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理得BC sin 30°＝CD sin 135°，所以BC ＝15 2.在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝152×3＝15 6. 故选D.6．(2018·广州模拟)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A．240(3＋1)m B．180(2－1)m C．120(3－1)m D．30(3＋1)m 答案C解析如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60 m，在Rt△ACD中，CD＝ADtan∠ACD＝60 tan 30°＝603(m)，在Rt△ABD中，BD＝ADtan∠ABD＝60tan 75°＝602＋3＝60(2－3)m，∴BC＝CD－BD＝603－60(2－3)＝120(3－1)m.7．(2018·哈尔滨模拟)如图，某工程中要将一长为100 m，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长________m.答案1002解析设坡底需加长x m，由正弦定理得100sin 30°＝xsin 45°，解得x＝100 2.8.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ的值为________．答案2114解析 在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°， 由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800， 得BC ＝207.由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC ，即sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217.由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角， 则cos ∠ACB ＝277.由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°) ＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114. 9．(2018·青岛模拟)一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时________海里． 答案 10解析 如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°， 所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在Rt △ABC 中，得AB ＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/时)．10．(2018·泉州质检)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为______米．答案 507解析 如图，连接OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°.由余弦定理得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得OC ＝507.11.如图，在山底A 点处测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为______米．答案 1 000 解析 由题图知 ∠BAS ＝45°－30°＝15°，∠ABS ＝45°－(90°－∠DSB )＝30°， ∴∠ASB ＝135°，在△ABS 中，由正弦定理可得1 000sin 30°＝ABsin 135°，∴AB ＝1 0002，∴BC ＝AB2＝1 000.12.如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．解 (1)依题意知，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BCA ＝α. 在△ABC 中，由余弦定理，得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784， 解得BC ＝28.所以渔船甲的速度为BC2＝14(海里/时)．(2)在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°，即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314.13.如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m 的铁塔AA 1和BB 1.已知从塔AA 1的底部看塔BB 1顶部的仰角是从塔BB 1的底部看塔AA 1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C 分别看两塔顶部的仰角互为余角，则从塔BB 1的底部看塔AA 1顶部的仰角的正切值为________；塔BB 1的高为________ m.答案 1345解析 设从塔BB 1的底部看塔AA 1顶部的仰角为α， 则AA 1＝60tan α，BB 1＝60tan 2α.∵从两塔底部连线中点C 分别看两塔顶部的仰角互为余角，∴△A 1AC ∽△CBB 1，∴AA 130＝30BB 1， ∴AA 1·BB 1＝900，∴3 600tan αtan 2α＝900， ∴tan α＝13，tan 2α＝34，则BB 1＝60tan 2α＝45.14.如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km 以内的地区都将受到影响，求该码头将受到热带风暴影响的时间．解 记现在热带风暴中心的位置为点A ，t 小时后热带风暴中心到达B 点位置，在△OAB 中，OA ＝600，AB ＝20t ，∠OAB ＝45°，根据余弦定理得OB 2＝6002＋400t 2－2×600×20t ×22，令OB 2≤4502，即4t 2－1202t ＋1 575≤0，解得302－152≤t ≤302＋152，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为302＋152－302－152＝15(h)．15．某舰艇在A 处测得一艘遇险渔船在其北偏东40°的方向距离A 处10海里的C 处，此时得知，该渔船正沿南偏东80°的方向以每小时9海里的速度向一小岛靠近，若舰艇的时速为21海里，求舰艇追上渔船的最短时间．解 如图所示，设舰艇追上渔船的最短时间是t 小时，经过t 小时渔船到达B 处，则舰艇也在此时到达B 处．在△ABC 中，∠ACB ＝40°＋80°＝120°，CA ＝10，CB ＝9t ，AB ＝21t ，由余弦定理得(21t )2＝102＋(9t )2－2×10×9t ×cos 120°，即36t 2－9t －10＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍)．所以＝23.16.如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ，现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m /min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量得cos A ＝1213，sin B ＝6365.(1)问乙出发多少 min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？(2)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？解 (1)∵cos A ＝1213，sin B ＝6365，∴sin A ＝513，cos B ＝－1665，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝45，在△ABC 中，由正弦定理AC sin B ＝AB sin C， 得AB ＝1 040 m ，设乙出发t min 后，甲、乙距离为d ，由余弦定理得d 2＝(130t )2＋(100＋50t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213，即d 2＝200(37t 2－70t ＋50)＝200⎣⎡⎦⎤37⎝⎛⎭⎫t －35372＋62537. ∵0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，∴当t ＝3537时，即乙出发3537 min 后，乙在缆车上与甲的距离最短．(2)∵sin A ＝513，∴由正弦定理，得BC sin A ＝AC sin B ，即BC 513＝1 2606365，∴BC ＝500 m.乙从B 出发时，甲已经走了50(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙的步行速度为v m/min ，则⎪⎪⎪⎪500v －71050≤3，故－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514.故为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514范围内.。
2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用讲义：第三章 高考专题突破一 第2课时 Word版含解析
第 2 课时 导数与方程
题型一 求函数零点个数 1
例 1 设函数 f(x)＝ x2－mln x，g(x)＝x2－(m＋1)x， 2
当 m≥1 时，讨论 f(x)与 g(x)图象的交点个数．
解 令 F(x)＝f(x)－g(x)
1 ＝－ x2＋(m＋1)x－mln x，x>0，
2 问题等价于求函数 F(x)的零点个数．
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x2
1 ln x
跟踪训练 1 设函数 f(x)＝ － ，g(x)＝－ － ＋m，试讨论函数 f(x)与 g(x)在(0，＋∞)上
ex e
xx
的交点个数．
解 令 h(x)＝f(x)－g(x)
x 2 1 ln x ＝ － ＋ ＋ －m(x>0)，
ex e x x
e
e
e
2
2
若－ －m≥0，即 m≤－ ，函数 h(x)有一个零点，即函数 f(x)与 g(x)的图象在(0，＋∞)上有
e
e
2
2
1
一个交点，当－ －m<0，即－ <m<1－ 时，函数 h(x)有 2 个零点，即函数 f(x)与 g(x)的图象
e
e
e
在(0，＋∞)上有两个交点．
1 综上，当 m>1－ 时，f(x)与 g(x)在(0，＋∞)上没有交点；
( )1
1
又 g ＝m－2－ ，g(e)＝m＋2－e2，
e
e2
( ) ( ) 1
1
1
g(e)－g e ＝4－e2＋e2<0，则 g(e)<g e ，
[ ]1
所以 g(x)在 ，e 上的最小值是 g(e)． e
2020版高考数学新增分大一轮新高考鲁京津琼专用讲义第四章高考专题冲破二
高考专题冲破二 高考中的三角函数与解三角形问题题型一 三角函数的图象和性质例1 (2016·山东)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原先的2倍(纵坐标不变)，再把取得的图象向左平移π3个单位长度，取得函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值．解 (1)由f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )．因此f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12k ∈Z .(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1， 把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原先的2倍(纵坐标不变)， 取得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋3－1的图象， 再把取得的图象向左平移π3个单位长度，取得y ＝2sin x ＋3－1的图象， 即g (x )＝2sin x ＋3－1.因此g ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3. 思维升华 三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，然后将t ＝ωx ＋φ视为一个整体，结合y ＝sin t 的图象求解． 跟踪训练1 已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋532(其中x ∈R )，求：(1)函数f (x )的最小正周期； (2)函数f (x )的单调区间；(3)函数f (x )图象的对称轴和对称中心． 解 (1)因为f (x )＝52sin 2x －532(1＋cos 2x )＋532＝5⎝⎛⎭⎫12sin 2x －32cos 2x ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 因此函数的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，因此函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． 由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )，因此函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )． (3)由2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )，因此函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )．由2x －π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，因此函数f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2＋π6，0(k ∈Z )． 题型二 解三角形例2 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边别离为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求角A 和边长c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 解 (1)∵sin A ＋3cos A ＝0， ∴tan A ＝－3， 又0<A <π，∴A ＝2π3，由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即28＝4＋c 2－2×2c ×⎝⎛⎭⎫－12， 即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)或c ＝4，故c ＝4. (2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴16＝28＋4－2×27×2×cos C ， ∴cos C ＝27，∴CD ＝AC cos C ＝227＝7，∴CD ＝12BC ，∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12×4×2×32＝23，∴S △ABD ＝12S △ABC ＝ 3.思维升华 依照三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在解决有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，对结果进行正确的取舍． 跟踪训练2 (2017·北京)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a .(1)求sin C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．解 (1)在△ABC 中，因为∠A ＝60°，c ＝37a ，因此由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝37×32＝3314.(2)因为a ＝7，因此c ＝37×7＝3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得 72＝b 2＋32－2b ×3×12，解得b ＝8或b ＝－5(舍去)．因此△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×3×32＝6 3.题型三 三角函数和解三角形的综合应用例3 (2018·南通考试)如图，某机械厂欲从AB ＝2米，AD ＝2 2 米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形ABEF 加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：点E ，F 别离在边BC ，AD 上，且EB ＝EF ，AF <BE .设∠BEF ＝θ，四边形ABEF 的面积为f (θ)(单位：平方米)．(1)求f (θ)关于θ的函数关系式，求出概念域；(2)当BE ，AF 的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF 的面积最小，并求出最小值． 解 (1)过点F 作FM ⊥BE ，垂足为M .在Rt △FME 中，MF ＝2，∠EMF ＝π2，∠FEM ＝θ，因此EF ＝2sin θ，ME ＝2tan θ，故AF ＝BM ＝EF －EM ＝2sin θ－2tan θ，因此f (θ)＝12(AF ＋BE )×AB＝12×⎝⎛⎭⎫2sin θ－2tan θ＋2sin θ×2＝4sin θ－2tan θ，由题意可知，AF <BE ，因此θ<π2，且当点E 重合于点C 时，EF ＝EB ＝22，FM ＝2，θ＝π4，因此函数f (θ)＝4sin θ－2tan θ的概念域为⎣⎡⎭⎫π4，π2. (2)由(1)可知，f (θ)＝4sin θ－2tan θ＝4⎝⎛⎭⎫sin 2θ2＋cos 2θ22sin θ2cos θ2－22tanθ21－tan 2θ2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫tan θ2＋1tan θ2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan θ2－tan θ2 ＝3tan θ2＋1tan θ2≥23tan θ2·1tan θ2＝23，当且仅当3tan θ2＝1tan θ2时，等号成立，又θ∈⎣⎡⎭⎫π4，π2，θ2∈⎣⎡⎭⎫π8，π4，故当tan θ2＝33，即θ2＝π6，θ＝π3时，四边形ABEF 的面积最小，现在BE ＝2sin θ＝433，AF ＝2sin θ－2tan θ＝233，f (θ)＝4sin θ－2tan θ＝2 3.答 当BE ，AF 的长度别离为433 米，233 米时，裁剪出的四边形ABEF 的面积最小，最小值为2 3 平方米．思维升华 三角函数和解三角形的综合问题要利用正弦定理、余弦定理进行转化，结合三角函数的性质，要注意角的范围对变形进程的阻碍．跟踪训练3 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边别离为a ，b ，c ，且a sin B －b cos C ＝c cos B .(1)判定△ABC 的形状；(2)若f (x )＝12cos 2x －23cos x ＋12，求f (A )的取值范围．解 (1)因为a sin B －b cos C ＝c cos B ，由正弦定理可得sin A sin B －sin B cos C ＝sin C cos B . 即sin A sin B ＝sin C cos B ＋cos C sin B ， 因此sin(C ＋B )＝sin A sin B .因为在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，因此sin A ＝sin A sin B ， 又sin A ≠0，因此sin B ＝1，B ＝π2，因此△ABC 为直角三角形． (2)因为f (x )＝12cos 2x －23cos x ＋12＝cos 2x －23cos x ＝⎝⎛⎭⎫cos x －132－19， 因此f (A )＝⎝⎛⎭⎫cos A －132－19， 因为△ABC 是直角三角形， 因此0<A <π2，且0<cos A <1，因此当cos A ＝13时，f (A )有最小值－19.因此f (A )的取值范围是⎣⎡⎭⎫－19，13.1.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R 的部份图象如图．(1)求函数f (x )的解析式．(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，5π12上的最值，并求出相应的x 值． 解 (1)由题干图象可知|A |＝2， 又A >0，故A ＝2.周期T ＝43×⎝⎛⎭⎫13π12－π3＝43×3π4＝π， 又T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)，由题干图象知f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝2， ∴2π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，φ＝－π6＋2k π，k ∈Z ， 又|φ|<π2，∴φ＝－π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，5π12，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈[－1，2]. 当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝f (0)＝－1.2．(2018·天津联考)设函数f (x )＝2tan x 4·cos 2x4－2cos 2⎝⎛⎭⎫x 4＋π12＋1. (1)求f (x )的概念域及最小正周期． (2)求f (x )在[－π，0]上的最值． 解 (1)f (x )＝2sin x 4cos x4－cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 ＝sin x 2－cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝sin x 2－32cos x 2＋12sin x2 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π6. 由x 4≠π2＋k π(k ∈Z )， 得f (x )的概念域为{x |x ≠2π＋4k π(k ∈Z )}，故f (x )的最小正周期为T ＝2π12＝4π.(2)∵－π≤x ≤0，∴－2π3≤x 2－π6≤－π6.∴当x 2－π6∈⎣⎡⎦⎤－2π3，－π2， 即x ∈⎣⎡⎦⎤－π，－2π3时，f (x )单调递减， 当x 2－π6∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π6， 即x ∈⎣⎡⎦⎤－2π3，0时，f (x )单调递增， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－2π3＝－3， 又f (0)＝－32，f (－π)＝－32， ∴f (x )max ＝f (0)＝－32. 3.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6－2cos 2ωx2，x ∈R (其中ω>0)． (1)求函数f (x )的值域；(2)假设函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－1的两个相邻交点间的距离为π2，求函数y ＝f (x )的单调递增区间． 解 (1)f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx ＋32sin ωx －12cos ωx －(cos ωx ＋1) ＝2⎝⎛⎭⎫32sin ωx －12cos ωx －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6－1. 由－1≤sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6≤1，得－3≤2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6－1≤1， 因此函数f (x )的值域为[－3,1]．(2)由题设条件及三角函数的图象和性质可知，y ＝f (x )的周期为π，因此2πω＝π，即ω＝2.因此f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1， 再由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．因此函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． 4．已知点P (3，1)，Q (cos x ，sin x )，O 为坐标原点，函数f (x )＝OP →·QP →. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若A 为△ABC 的内角，f (A )＝4，BC ＝3，求△ABC 周长的最大值． 解 (1)由已知，得OP →＝(3，1)，QP →＝(3－cos x,1－sin x )， 因此f (x )＝OP →·QP →＝3－3cos x ＋1－sin x ＝4－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， 因此函数f (x )的最小正周期为2π. (2)因为f (A )＝4，因此sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝0， 又0<A <π，因此π3<A ＋π3<4π3，A ＝2π3.因为BC ＝3，因此由正弦定理，得AC ＝23sin B ，AB ＝23sin C ， 因此△ABC 的周长为3＋23sin B ＋23sin C ＝3＋23sin B ＋23sin ⎝⎛⎭⎫π3－B ＝3＋23sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3. 因为0<B <π3，因此π3<B ＋π3<2π3，因此当B ＋π3＝π2，即B ＝π6时，△ABC 的周长取得最大值，最大值为3＋2 3.5.已知a ，b ，c 别离为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若AD 为BC 边上的中线，cos B ＝17，AD ＝1292，求△ABC 的面积．解 (1)a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0，由正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin B ＋sin C ， 即sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin(A ＋C )＋sin C ， 亦即sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin C ， 则3sin A sin C －cos A sin C ＝sin C .又sin C ≠0，因此3sin A －cos A ＝1，因此sin(A －30°)＝12.在△ABC 中，0°<A <180°，那么－30°<A －30°<150°， 因此A －30°＝30°，得A ＝60°.(2)在△ABC 中，因为cos B ＝17，因此sin B ＝437.因此sin C ＝sin(A ＋B )＝32×17＋12×437＝5314. 由正弦定理，得a c ＝sin A sin C ＝75.设a ＝7x ，c ＝5x (x >0)，那么在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ， 即1294＝25x 2＋14×49x 2－2×5x ×12×7x ×17， 解得x ＝1(负值舍去)，因此a ＝7，c ＝5， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝10 3.6．已知函数f (x )＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋t (ω>0)，若f (x )的图象上相邻两条对称轴的距离为π4，图象过点(0,0)．(1)求f (x )的表达式和f (x )的单调增区间；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原先的2倍(纵坐标不变)，取得函数y ＝g (x )的图象，假设函数F (x )＝g (x )＋k 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个零点，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋t＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋t ， f (x )的最小正周期为2π2ω＝π2，∴ω＝2， ∵f (x )的图象过点(0,0)，∴2sin π6＋t ＝0， ∴t ＝－1，即f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6－1. 令2k π－π2≤4x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 求得k π2－π6≤x ≤k π2＋π12，k ∈Z ， 故f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π2－π6，k π2＋π12，k ∈Z .(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，可得 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x －π2＋π6－1＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3－1的图象， 再将图象上各点的横坐标伸长到原先的2倍(纵坐标不变)，取得函数g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－1的图象．∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1， 故g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－1在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为[]－3－1，1.假设函数F (x )＝g (x )＋k 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个零点， 由题意可知，函数g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－1的图象和直线y ＝－k 有且只有一个交点， 依照图象(图略)可知，k ＝－1或1－3<k ≤3＋1. 故实数k 的取值范围是{－1}∪(1－3，3＋1]．。
2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用精练：第2讲 用样本估计总体 Word版含解析
第2讲用样本估计总体一、选择题1.(2015·重庆卷)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是()A.19B.20C.21.5D.23解析从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B.答案 B2.学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n位同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10，50](单位：元)内，其中支出在[30，50](单位：元)内的同学有67人，其频率分布直方图如图所示，则n的值为()A.100B.120C.130D.390解析支出在[30，50]内的同学的频率为1－(0.01＋0.023)×10＝0.67，n＝67 0.67＝100.答案 A3.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A.134石B.169石C.338石D.1 365石解析254粒和1 534石中夹谷的百分比含量是大致相同的，可据此估计这批米内夹谷的数量.设1 534石米内夹谷x石，则由题意知x1 534＝28 254，解得x≈169.故这批米内夹谷约为169石.答案 B4.(2016·全国Ⅲ卷)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为 5 ℃.下面叙述不正确的是()A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个解析对于选项A，由图易知各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；对于选项B，七月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离大于一月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；对于选项C，三月和十一月的平均最高气温均为10 ℃，所以C 正确；对于选项D，平均最高气温高于20 ℃的月份有七月、八月、共2个月份，故D错误.答案 D5.(2015·安徽卷)若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1，2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为( )A.8B.15C.16D.32解析 已知样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为s ＝8，则s 2＝64，数据2x 1－1，2x 2－1，…，2x 10－1的方差为22s 2＝22×64，所以其标准差为22×64＝2×8＝16，故选C.答案 C二、填空题6.(2015·广东卷)已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的平均数x ＝5，则样本数据2x 1＋1，2x 2＋1，…，2x n ＋1的平均数为________.解析 由条件知x ＝x 1＋x 2＋…＋x n n＝5，则所求平均数 x 0＝2x 1＋1＋2x 2＋1＋…＋2x n ＋1n ＝2（x 1＋x 2＋…＋x n ）＋n n＝2x ＋1＝2×5＋1＝11.答案 117.某校女子篮球队7名运动员身高(单位：cm)分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175 cm ，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数字记为x ，那么x 的值为________.解析 170＋17×(1＋2＋x ＋4＋5＋10＋11)＝175，17×(33＋x )＝5，即33＋x ＝35，解得x ＝2.答案 28.为了了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.解析底部周长在[80，90)的频率为0.015×10＝0.15，底部周长在[90，100)的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm的株数为(0.15＋0.25)×60＝24.答案24三、解答题9.某车间20名工人年龄数据如下表：(1)求这20名工人年龄的众数与极差；(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；(3)求这20名工人年龄的方差.解(1)这20名工人年龄的众数为30；这20名工人年龄的极差为40－19＝21.(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图如下：(3)这20名工人年龄的平均数为(19＋28×3＋29×3＋30×5＋31×4＋32×3＋40)÷20＝30；所以这20名工人年龄的方差为120(30－19)2＋320(30－28)2＋320(30－29)2＋520(30－30)2＋420(30－31)2＋320(30－32)2＋120(30－40)2＝12.6.10.(2016·北京卷)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：(1)如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当w ＝3时，估计该市居民该月的人均水费.解 (1)由用水量的频率分布直方图，知该市居民该月用水量在区间[0.5，1]，(1，1.5]，(1.5，2]，(2，2.5]，(2.5，3]内的频率依次为0.1，0.15，0.2，0.25，0.15.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意，w 至少定为3.(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表如下：4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元).11.如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是( )A.12.5，12.5B.13，13C.13.5，12.5D.13.5，13解析 第1组的频率为0.04×5＝0.2，第2组的频率为0.1×5＝0.5，则第3组的频率为1－0.2－0.5＝0.3，估计总体平均数为7.5×0.2＋12.5×0.5＋17.5×0.3＝13.由题意知，中位数在第2组内，设为10＋x ，则有0.1x ＝0.3，解得x ＝3，从而中位数是13.答案 B12.将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图，后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为( )A.1169B.367C.36D.677解析由题意知87＋94＋90＋91＋90＋90＋x＋917＝91，解得x＝4.所以s2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝17(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝36 7.答案 B13.(2015·湖北卷)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示.(1)直方图中的a＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________. 解析(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3.(2)区间[0.3，0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5，0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.因此，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.答案(1)3(2)6 00014.(2014·全国Ⅰ卷)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？解(1)样本数据的频率分布直方图如图所示：(2)质量指标值的样本平均数为x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104. (3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.。
2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用讲义：第四章 4.6 正弦定理和余弦定理 Word版含解析
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题型一 利用正弦、余弦定理解三角形
( )π
例 1 (2018·天津)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 bsin A＝acos B－ . 6
(1)求角 B 的大小；
(2)设 a＝2，c＝3，求 b 和 sin(2A－B)的值．
2R
2R
2R
c2＋a2－b2
＝
；cos C＝
2ac
a2＋b2－c2
2ab
(5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(6)asin B＝bsin A，
bsin C＝csin B，
asin C＝csin A
2．在△ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况
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A 为锐角
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A 为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A
解的个数
一解
bsin A<a<b 两解
a≥b 一解
a>b 一解
3.三角形常用面积公式
1 (1)S＝2a·ha(ha 表示边 a 上的高)；
1
1
1
(2)S＝ absin C＝ acsin B＝ bcsin A；
2
2
2
1 (3)S＝ r(a＋b＋c)(r 为三角形内切圆半径)．
(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( √ )
题组二 教材改编
2．在△ABC 中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为
．
答案 等腰三角形或直角三角形
解析 由正弦定理，得 sin Acos A＝sin Bcos B，
2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用精练：第二章 阶段强化练(二) Word版含解析
阶段强化练(二)一、选择题1．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln x D ．y ＝x 2＋1答案 A解析 y ＝cos x 是偶函数且有无数多个零点，y ＝sin x 为奇函数，y ＝ln x 既不是奇函数也不是偶函数，y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点．故选A. 2．方程log 3x ＋2x ＝6的解所在区间是( ) A ．(1,2) B ．(3,4) C ．(2,3) D ．(5,6) 答案 C解析 令f (x )＝log 3x ＋2x －6， 则函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 且函数在(0，＋∞)上连续，因为f (2)<0，f (3)>0，故有f (2)·f (3)<0，所以函数f (x )＝log 3x ＋2x －6的零点所在的区间为(2,3)， 即方程log 3x ＋2x ＝6的解所在区间是(2,3)．故选C. 3．(2018·咸阳模拟)函数f ()x ＝2x －1x 零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 在同一平面直角坐标系下，作出函数y ＝2x 和y ＝1x的图象，如图所示．函数f (x )＝2x －1x 的零点个数等价于方程2x ＝1x 的根的个数，等价于函数y ＝2x 和y ＝1x 的交点个数．由图可知，有一个交点，所以有一个零点．故选B.4．若函数f (x )＝x 2＋mx ＋1有两个不同零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 C解析 依题意，知Δ＝m 2－4＞0，∴m ＞2或m ＜－2.5．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点有( ) A ．多于4个 B ．4个 C ．3个 D ．2个 答案 B解析 因为偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，故函数的周期为2.当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，故当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x .函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点的个数等于函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象，如图所示．显然函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象有4个交点，故选B.6．(2019·山西大学附中诊断)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x >0，2x ＋1，x ≤0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 D解析 对于求函数f (x )＝ln x －x 2＋2x 的零点个数，可以转化为方程ln x ＝x 2－2x 的根的个数问题，分别画出y ＝ln x ，y ＝x 2－2x 的图象如图．由图象可得两个函数有两个交点．又方程2x ＋1＝0的根为x ＝－12<0，个数是1.故函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x >0，2x ＋1，x ≤0的零点个数为3.故选D.7．(2019·珠海摸底)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ≤1，ln (x －1)，x >1，若函数g (x )＝f (x )－x ＋a 只有一个零点，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞， 0]∪{2} B ．[0, ＋∞)∪{－2} C ．(－∞， 0] D ．[0, ＋∞)答案 A解析 因为g (x )＝f (x )－x ＋a 只有一个零点， 所以y ＝f (x )与y ＝x －a 只有一个交点， 作出函数y ＝f (x )与y ＝x －a 的图象，y ＝x －a 与y ＝e x －1(x ≤1)只有一个交点，则－a ≥0，即a ≤0，y ＝ln(x －1)，x >1与y ＝x －a 只有一个交点， 则它们相切，因为y ′＝1x －1，令1x －1＝1，则x ＝2， 故切点为(2,0)，所以0＝2－a ，即a ＝2， 综上所述，a 的取值范围为(－∞ , 0]∪{2}． 故选A.8．(2019·淄博期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x >a(a >0)，若存在实数b 使函数g (x )＝f (x )－b有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(1,2 019) D ．[1，＋∞)答案 B解析 由题设有f (x )为(－∞，a ]上的增函数， 也是(a ，＋∞)上的增函数，当a 3>a 2时，f (x )不是R 上的增函数，故必定存在b ，使得直线y ＝b 与f (x )的图象有两个交点，即g (x )＝f (x )－b 有两个零点，此时a >1.故选B.9．已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[0,2]时，f (x )＝(x －1)2，如果g (x )＝f (x )－log 5|x －1|，则方程g (x )＝0的所有根之和为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案 D解析 在平面直角坐标系中画出函数y ＝f (x )及y ＝log 5|x －1|的图象，结合函数的图象可以看出函数共有8个零点，且关于x ＝1对称，故所有零点的和为2×4＝8，故选D.10．(2019·长春质检)已知函数f (x )＝x －1x －2与g (x )＝1－sin πx ，则函数 F (x )＝f (x )－g (x )在区间[－2,6]上所有零点的和为( ) A ．4 B ．8 C ．12 D ．16 答案 D解析 F (x )＝f (x )－g (x )在区间[－2,6]上所有零点的和，等价于函数g (x )，f (x )的图象交点横坐标的和，画出函数g (x )，f (x )在区间[－2,6]上的图象，函数g (x )，f (x )的图象关于点(2,1)对称，则F (x )＝0在区间[－2,6]上共有8个零点，其和为16.故选D.11．(2019·河北衡水中学模拟)对于函数y ＝f (x )，若存在x 0，使f (x 0)＋f (－x 0)＝0，则称点(x 0，f (x 0))是曲线f (x )的“优美点”．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，－x ＋2，x ≥0，则曲线f (x )的“优美点”的个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．6 答案 B解析 曲线f (x )的“优美点”个数，就是x <0的函数f (x )关于原点对称的函数图象， 与y ＝2－x (x ≥0)的图象的交点个数， 由当x <0时，f (x )＝x 2＋2x ，得关于原点对称的函数y ＝－x 2＋2x ，x >0， 联立y ＝－x ＋2和y ＝－x 2＋2x ，解得x ＝1或x ＝2， 则存在点(1,1)和(2,0)为“优美点”， 曲线f (x )的“优美点”个数为2，故选B.12．(2019·惠州调研)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x 2，0≤x <2，2－x e x ，x ≥2，若函数F (x )＝f (x )－m 有 6 个零点，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－1e 3，14 B.⎝⎛⎭⎫－1e 3，0∪⎝⎛⎭⎫0，14 C.⎝⎛⎦⎤－1e 3，0 D.⎝⎛⎭⎫－1e 3，0 答案 C解析 函数f (x )是定义在R 上的偶函数， 函数F (x )＝f (x )－m 有六个零点，则当x ≥0时，函数F (x )＝f (x )－m 有三个零点， 令F (x )＝f (x )－m ＝0， 即m ＝f (x )，①当0≤x ＜2时，f (x )＝x －x 2＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14， 当x ＝12时有最大值，即为f ⎝⎛⎭⎫12＝14， 且f (x )＞2－4＝－2，故f (x )在[0,2)上的值域为⎝⎛⎦⎤－2，14. ②当x ≥2时，f (x )＝2－xex ≤0，且当x →＋∞时，f (x )→0， ∵f ′(x )＝x －3ex ，令f ′(x )＝x －3e x ＝0，解得x ＝3，当2≤x ＜3时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 当x ≥3时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增， ∴f (x )min ＝f (3)＝－1e3，故f (x )在[2，＋∞)上的值域为⎣⎡⎦⎤－1e 3，0， ∵－1e3＞－2，∴当－1e 3＜m ≤0，x ≥0时，函数F (x )＝f (x )－m 有三个零点，故当－1e 3＜m ≤0时，函数F (x )＝f (x )－m 有六个零点，故选C. 二、填空题13．(2019·西安一中月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤0，x 2－3x ＋1，x >0，则f (x )零点的个数是________．答案 3解析 令2x －1＝0，解得x ＝0， 令x 2－3x ＋1＝0，解得x ＝3±52，所以函数零点的个数为3.14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln (x －1)|，x >1，2x －1＋1，x ≤1，若函数g (x )＝f (x )－a 有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______________． 答案 (1,2]解析 函数g (x )＝f (x )－a 有三个不同的零点等价于y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有三个不同交点，作出函数y ＝f (x )的图象：由图易得a ∈(1,2]．15．(2019·山东胶州一中模拟)已知函数f (x )满足f (1－x )＝f (x ＋1)＝f (x －1)(x ∈R )，且当0≤x ≤1时f (x )＝2x －1，则方程|cos πx |－f (x )＝0在[－1,3]上的所有根之和为________． 答案 11解析 由题意知，函数满足f (1－x )＝f (x ＋1)，可得函数f (x )的图象关于x ＝1对称，又f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )是以2为周期的周期函数，方程|cos πx |－f (x )＝0在[－1,3]上的零点个数，即函数y ＝|cos πx |和y ＝f (x )在[－1,3]上图象的交点的个数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1， 在同一坐标系内，作出两个函数在[－1,3]的图象的草图，如图所示， 结合图象可知，两个函数共有11个交点，即方程|cos πx |－f (x )＝0在[－1,3]上有11个根，所有根的和为2×5＋1＝11.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2mx －1，0≤x ≤1，mx ＋2，x >1，若f (x )在区间[0，＋∞)上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－12，0 解析 当0≤x ≤1时，2x 2＋2mx －1＝0， 易知x ＝0不是方程2x 2＋2mx －1＝0的解， 故m ＝12x －x .又g (x )＝12x －x 在(0,1]上是减函数，故m ≥12－1＝－12.即m ≥－12时，方程f (x )＝0在[0,1]上有且只有一个解，当x >1时，令mx ＋2＝0得，m ＝－2x ，故－2<m <0，即当－2<m <0时，方程f (x )＝0在(1，＋∞)上有且只有一个解， 综上所述，若f (x )在区间[0，＋∞)上有且只有2个零点， 则实数m 的取值范围是－12≤m <0.三、解答题17．(2019·湖南岳阳一中质检)已知f (x )＝|2x －3|＋ax －6(a 是常数，a ∈R )． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)如果函数y ＝f (x )恰有两个不同的零点，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －3|＋x －6＝⎩⎨⎧3x －9，x ≥32，－3－x ，x <32，则原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥32，3x －9≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x <32，－3－x ≥0，解得x ≥3或x ≤－3，则原不等式的解集为{x |x ≥3或x ≤－3}． (2)由f (x )＝0，得|2x －3|＝－ax ＋6，令y ＝|2x －3|，y ＝－ax ＋6，作出它们的图象(图略)，可以知道，当－2<a <2时，这两个函数的图象有两个不同的交点， 所以函数y ＝f (x )恰有两个不同的零点时， a 的取值范围是(－2,2)．18．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，x ＋2，x ≤0，若存在实数x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，使f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)．(1)画出函数f (x )的图象； (2)求x 1f (x 2)的取值范围．解 (1)由函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，x ＋2，x ≤0，可得函数f (x )的图象如图所示．(2)由存在实数x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3， 设f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝m ，m ∈(0,2]， 且x 1∈(－2,0]，x 2∈(0,1)，则f (x 1)＝m ，即x 1＋2＝m ，解得x 1＝m －2， 所以x 1f (x 2)＝(m －2)×m ＝m 2－2m ＝(m －1)2－1， m ∈(0,2]，当m ＝1时，x 1f (x 2)取得最小值－1， 当m ＝2时，x 1f (x 2)取得最大值0， 所以x 1f (x 2)的取值范围是[－1,0]．。
2020版新高考数学新增分大一轮(鲁京津琼)专用课件：第三章 高考专题突破一 第2课时
数的性质画出大致图象，充分利用导数工具和数形结合思想.
跟踪训练2 已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3(a为实数)，若方程g(x)
＝2f(x)在区间
1 ， e e
上有两个不等实根，求实数a的取值范围.
PART TWO
2
课时作业
基础保分练
1.已知函数 f(x)＝a＋ x· ln x(a∈R)，试求 f(x)的零点个数.
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
拓展冲刺练
5.已知函数f(x)＝(3－a)x－2ln x＋a－3在
1 0 ， 上无零点，求实数a的取值范围. 4
1
2
3
4
5
6
6.已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点.
(1)求a的取值范围；
1
2
3
4
5
6
(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2<2.
在(1，＋∞)上单调递增.
1
2
3
4
5
6
(2)判断函数F(x)在(0，＋∞)上零点的个数.
1
2
3
4
5
6
1 3 1 2 3.已知函数 f(x)＝3x －2x －2x＋c 有三个零点，求实数 c 的取值范围.
1
2
3
4
5
6
技能提升练
4.已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点.求a的取值范围.
大一轮复习讲义
第三章 高考专题突破一
高考中的导数应用问题
2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用课件：第四章 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数
【概念方法微思考】 1.总结一下三角函数值在各象限的符号规律. 提示 一全正、二正弦、三正切、四余弦.
2.三角函数坐标法定义中，若取点P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点， 怎样定义角α的三角函数？ 提示 设点 P 到原点 O 的距离为 r，则 sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0).
.
解析 作直线 x＝－12交单位圆于 C，D 两点，
连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为 角α终边的范围，
故满足条件的角 α 的集合为α2kπ＋32π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z
.
(2)若 －34π<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小关 系是 sin α<cos α<tan α . 解析 如图，作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，
5.集合αkπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z
中的角所表示的范围(阴影部分)是
√
解析 当 k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋4π≤α≤2nπ＋2π， 此时 α 表示的范围与4π≤α≤π2表示的范围一样； 当 k＝2n＋1 (n∈Z)时，2nπ＋π＋4π≤α≤2nπ＋π＋π2， 此时 α 表示的范围与 π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选 C.
2.弧度制
(1)定义：把长度等于 半径 长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度.正角的弧度数是一个 正数 ，负角的弧度数是一个 负数 ，
零角的弧度数是 0 .
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝ π
rad,1°＝
π 180
rad，1 rad＝ 1π80°.
(3)扇形的弧长公式：l＝
2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用精练：阶段自测卷(四)
阶段自测卷(四)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2019·衡水中学考试)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 10＝100，则a 7的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14答案 C解析 由S 10＝100及公差为2，得10a 1＋10×(10－1)2×2＝100，所以a 1＝1.所以a n ＝2n －1，故a 7＝13.故选C.2．(2019·四川诊断)若等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a 2a 1等于( ) A.32 B.23 C.12D ．2 答案 A解析 设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ，a 7＝a 1＋6d .因为a 1，a 3，a 7成等比数列，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，解得a 1＝2d .所以a 2a 1＝2d ＋d 2d ＝32.故选A. 3．(2019·四省联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＝30，S 10＝10，则S 16等于( )A ．－160B ．－80C ．20D ．40答案 B解析 由于数列为等差数列，故⎩⎪⎨⎪⎧6a 1＋15d ＝30，10a 1＋45d ＝10， 解得a 1＝10，d ＝－2，故S 16＝16a 1＋120d ＝16×10＋120×(－2)＝－80，故选B.4．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( ) A ．－3 B ．5 C ．－31 D ．33答案 D解析 由题意知公比q ≠1，S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1＋q 3＝9，∴q ＝2，S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)1－q＝1＋q 5＝1＋25＝33. 5．(2019·湖南五市十校联考)已知数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，a 2＋a 4＋a 6＝12，a 1＋a 3＋a 5＝9，则a 1＋a 6等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 B解析 由数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)得数列{a n }为等差数列，所以a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝12，即a 4＝4，同理a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝9，即a 3＝3，所以a 1＋a 6＝a 3＋a 4＝7.6．(2019·新乡模拟)为了参加冬季运动会的5 000 m 长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划：第1天跑5 000 m ，以后每天比前1天多跑200 m ，则这个同学7天一共将跑( )A ．39 200 mB ．39 300 mC ．39 400 mD ．39 500 m答案 A解析 依题意可知，这个同学第1天，第2天，…跑的路程依次成首项为5 000，公差为200的等差数列，则这个同学7天一共将跑5 000×7＋7×62×200＝39 200 (m)．故选A. 7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于( )A ．38B ．20C ．10D ．9答案 C解析 因为{a n }是等差数列，所以a m －1＋a m ＋1＝2a m ，由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，得2a m －a 2m ＝0，由S 2m －1＝38知a m ≠0，所以a m ＝2，又S 2m －1＝38，即(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝38， 即(2m －1)×2＝38，解得m ＝10，故选C.8．(2019·青岛调研)已知各项均不相等的等比数列{a n }，若3a 2，2a 3，a 4成等差数列，设S n为数列{a n }的前n 项和，则S 3a 3等于( ) A.139 B.79C ．3D ．1 答案 A解析 设等比数列{a n }的公比为q ，∵3a 2，2a 3，a 4成等差数列，∴2×2a 3＝3a 2＋a 4，∴4a 2q ＝3a 2＋a 2q 2，化为q 2－4q ＋3＝0，。
2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用精练：第四章 阶段强化练(三) Word版含解析
阶段强化练(三)一、选择题1．(2019·福建闽侯五校期中联考)sin 215°－cos 215°等于( ) A. －12 B.12 C ．－32 D.32答案 C解析 sin 215°－cos 215°＝－(cos 215°－sin 215°) ＝－cos 30°＝－32.故选C. 2．若sin α＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos α等于( ) A.225 B ．－225 C.425 D ．－425答案 A解析 sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos α ＝sin αcos π4＋cos αsin π4－22cos α＝45×22＝225.3．(2019·安徽皖中名校联考)已知sin α＝－45，且α是第四象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( ) A.5210 B.325 C.7210 D.425 答案 C解析 由同角三角函数基本关系可得cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－452＝35，结合两角差的正弦公式可得sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin π4cos α－cos π4sin α＝22⎝⎛⎭⎫35＋45＝7210.故选C. 4．(2019·长春质检)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin x 的最大值为( ) A. 3 B ．2 C ．2 3 D ．4 答案 A解析 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin x ＝12sin x ＋32cos x ＋sin x ＝32sin x ＋32cos x＝3⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤ 3.故f (x )的最大值为 3. 故选A.5．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)－1⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π8，其图象与直线y ＝1相邻两个交点的距离为4π3，若f (x )＞0对x ∈⎝⎛⎭⎫－π8，π4恒成立，则φ的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π12，0 B.⎝⎛⎦⎤－π8，－π24 C.⎣⎡⎭⎫－π12，π8 D.⎣⎡⎦⎤0，π12 答案 B解析 由已知得函数f (x )的最小正周期为4π3，则ω＝32，当x ∈⎝⎛⎭⎫－π8，π4时，32x ＋φ∈⎝⎛⎭⎫－3π16＋φ，3π8＋φ， 因为f (x )＞0，即cos ⎝⎛⎭⎫32x ＋φ＞12， 所以⎩⎨⎧－3π16＋φ≥－π3＋2k π，3π8＋φ≤π3＋2k π(k ∈Z )，解得－7π48＋2k π≤φ≤－π24＋2k π(k ∈Z )，又|φ|＜π8，所以－π8＜φ≤－π24，故选B.6．(2019·山师大附中模拟)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)在x ＝π6时取得最大值，则函数g (x )＝cos(2x ＋φ)的图象( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称 B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝π6对称D ．关于直线x ＝π3对称答案 A解析 因为当x ＝π6时，f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)取得最大值，所以φ＝π6，即g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2＋π6，0，k ∈Z ，对称轴x ＝k π2－π12，k ∈Z ，故选A.7．(2019·沈阳东北育才学校模拟)如图平面直角坐标系中，角α⎝⎛⎭⎫0<α<π2，角β⎝⎛⎭⎫－π2<β<0的终边分别交单位圆于A ，B 两点，若B 点的纵坐标为－513，且满足S △AOB ＝34，则sin α2·⎝⎛⎭⎫3cos α2－sin α2＋12的值为( )A ．－513 B.1213 C ．－1213 D.513答案 B解析 由图易知∠xOA ＝α，∠xOB ＝－β. 由题可知，sin β＝－513.由S △AOB ＝34知∠AOB ＝π3，即α－β＝π3， 即α＝π3＋β.则sin α2⎝⎛⎭⎫3cos α2－sin α2＋12 ＝3sin α2cos α2－sin 2α2＋12＝32sin α－12(1－cos α)＋12＝32sin α＋12cos α＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋β＋π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋β＝cos β＝1－sin 2β＝1213.故选B.8．(2019·重庆铜梁一中月考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)，x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，2π3的图象如图，若f (x 1)＝f (x 2)，且x 1≠x 2，则f (x 1＋x 2) 的值为( )A. 3B. 2 C ．1 D ．0答案 C解析 由图象得3T 4＝2π3－⎝⎛⎭⎫－π12，∴T ＝π，ω＝2πT ＝2， 由2sin ⎝⎛⎭⎫π6×2＋φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝2， 得π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z )， 由x 1＋x 2＝π6×2＝π3，得f (x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π6＋2k π＝1，故选C. 9．(2019·重庆巴蜀中学期中)已知f (x )＝sin(ωx ＋θ) ⎝⎛⎭⎫其中ω>0，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，|x 1－x 2|的最小值为π2，f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π3－x ，将f (x )的图象向左平移π6个单位长度得g (x )，则g (x )的单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z ) 答案 A解析 ∵f (x )＝sin(ωx ＋θ)⎝⎛⎭⎫其中ω>0，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 由f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0可得x 1，x 2是函数的极值点， ∵|x 1－x 2|的最小值为π2，∴12T ＝πω＝π2，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋θ)，又f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π3－x ，∴f (x )的图象的对称轴为x ＝π6，∴2×π6＋θ＝k π＋π2，k ∈Z ，又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴θ＝π6，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 将f (x )的图象向左平移π6个单位长度得g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π6＝cos 2x 的图象，令2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z ，∴k π≤x ≤k π＋π2，k ∈Z ，则g (x )＝cos 2x 的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )，故选A. 10．(2019·成都七中诊断)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(其中ω>0)的最小正周期为π，函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋3f (x )，若对∀x ∈R ，都有g (x )≤⎪⎪⎪⎪g ⎝⎛⎭⎫π3，则φ的最小正值为( ) A.π3 B.2π3 C.4π3 D.5π3 答案 B解析 由函数f (x )的最小正周期为π，可求得ω＝2， ∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋3f (x ) ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋φ＋3sin(2x ＋φ) ＝cos(2x ＋φ)＋3sin(2x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π6， ∴g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π6， 又g (x )≤⎪⎪⎪⎪g ⎝⎛⎭⎫π3， ∴x ＝π3是g (x )的一条对称轴，代入2x ＋φ＋π6中，有2×π3＋φ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，解得φ＝－π3＋k π(k ∈Z )，当k ＝1时，φ＝2π3，故选B.11．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，a cos B ＋b cos Ac ＝2cos C ，则c 等于( )A ．27B ．4C ．2 3D ．3 3 答案 C解析 ∵a cos B ＋b cos Ac＝2cos C ，由正弦定理，得sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin C cos C ， ∴sin(A ＋B )＝sin C ＝2sin C cos C ，由于0<C <π，sin C ≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝π3，∵S △ABC ＝23＝12ab sin C ＝34ab ，∴ab ＝8，又a ＋b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋16－8＝12，∴c ＝23，故选C. 12．(2019·河北衡水中学调研)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6 (ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，112∪⎣⎡⎦⎤14，23 B.⎝⎛⎦⎤0，16∪⎣⎡⎦⎤13，23 C.⎣⎡⎦⎤14，23 D.⎣⎡⎦⎤13，23答案 B解析 易知函数y ＝sin x 的单调区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π2，k π＋3π2，k ∈Z .由k π＋π2≤ωx ＋π6≤k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π3ω≤x ≤k π＋4π3ω，k ∈Z .因为函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，所以f (x )在区间(π，2π)内单调， 所以(π，2π)⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3ω，k π＋4π3ω，k ∈Z ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧k π＋π3ω≤π，k π＋4π3ω≥2π，k ∈Z ，解得k ＋13≤ω≤k 2＋23，k ∈Z .由k ＋13≤k 2＋23，k ∈Z ，得k ≤23，k ∈Z .当k ＝0时，得13≤ω≤23；当k ＝－1时，得－23≤ω≤16.又ω>0，所以0<ω≤16.综上，得ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，16∪⎣⎡⎦⎤13，23. 故选B. 二、填空题13．(2019·陕西四校联考)已知sin α＝2cos α，则cos 2α＝________. 答案 －35解析 由已知得tan α＝2，cos 2α＝cos 2α－sin 2α ＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝1－44＋1＝－35.14．(2019·山师大附中模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝14，则sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝________. 答案 78解析 根据三角函数诱导公式，得 sin ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x ＝14， sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝－2cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋1＝78. 15．(2019·武汉示范高中联考)函数y ＝sin x ＋cos x ＋2sin x cos x 的最大值为________． 答案2＋1解析 令t ＝sin x ＋cos x ，则t ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，所以t ∈[－2，2]， 则t 2＝1＋2sin x cos x ，所以sin x cos x ＝t 2－12，所以y ＝t 2＋t －1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－54， 对称轴为t ＝－12，因为t ∈[－2，2]，所以当t ＝2时取得最大值，为2＋1.16．(2019·银川一中月考)已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，则下列四个命题中正确的是________．(写出所有正确命题的序号) ①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2； ②f (x )的最小正周期是2π； ③f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是增函数； ④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称．答案 ③④解析 f (x 1)＝－f (x 2)，即12sin 2x 1＝－12sin 2x 2，由f (x )图象(图略)可知， ①错误；由周期公式可得T ＝2π2＝π ，②错误；由f (x )的图象可知，③正确； f ⎝⎛⎭⎫3π4＝12sin 3π2＝－12，故④正确． 故填③④. 三、解答题17．(2019·抚州七校联考)已知函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的图象相邻两个对称轴之间的距离为π2，且f (x )的图象与y ＝sin x 的图象有一个横坐标为π4的交点.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，7π8时，求f (x )的最小值，并求使f (x )取得最小值的x 的值． 解 (1)由题可知，T ＝π＝2πω，ω＝2，又cos ⎝⎛⎭⎫2×π4＋φ＝sin π4，|φ|<π2，得φ＝－π4. 所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4. (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，7π8，所以2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π2， 当2x －π4＝π，即x ＝5π8时，f (x )取得最小值．f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫5π8＝－1.18．(2019·福建闽侯五校期中联考)已知向量a ＝(3sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，－cos x )，f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)若x ∈⎝⎛⎭⎫7π12，5π6，a ·b ＝－54，求cos 2x 的值． 解 (1)f (x )＝a ·b ＝3sin x cos x －cos 2x ＝32sin 2x －cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－12， ∴f (x )的最小正周期是π.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，∴k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． (2)∵a ·b ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－12＝－54， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝－34. ∵x ∈⎝⎛⎭⎫7π12，5π6， ∴2x －π6∈⎝⎛⎭⎫π，3π2 ， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝－74， ∴cos 2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x －π6＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6cos π6－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6sin π6 ＝－74×32－⎝⎛⎭⎫－34×12＝3－218.。
2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用精练：第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
阶段自测卷(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2019·太原期中)函数y ＝ln x ＋1－x 的定义域是( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1] 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1－x ≥0， 解得0＜x ≤1，所以函数f (x )的定义域为(0,1]．故选C.2．(2019·凉山诊断)下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,1)上递减的函数是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝⎝⎛⎭⎫13|x |C ．y ＝tan xD ．y ＝x －3答案 D解析 由于y ＝cos x 是偶函数，故A 不是正确选项．由于y ＝⎝⎛⎭⎫13|x |是偶函数，故B 不是正确选项．由于y ＝tan x 在(0,1)上为增函数，故C 不是正确选项．D 选项中y ＝x －3既是奇函数，又在(0,1)上递减，符合题意．故选D.3．(2019·晋江四校期中)设函数y ＝log 3x 与y ＝3－x 的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 答案 C解析 因为方程log 3x ＝－x ＋3的解，就是m (x )＝log 3x ＋x －3的零点， 因为m (x )＝log 3x ＋x －3单调递增且连续， m (x )＝log 3x ＋x －3在(1,2)上满足m (1)m (2)>0， m (x )＝log 3x ＋x －3在(2,3)上满足m (2)m (3)<0， 所以m (x )＝log 3x ＋x －3的零点在(2,3)内， 可得方程log 3x ＋x －3＝0的解所在的区间是(2,3)， 即则x 0所在的区间是(2,3)，故选C.4．(2019·福建闽侯五校期中联考)若a ＝π82，⎝⎛⎭⎫12b ＝1πlog b ，c ＝log 2⎝⎛⎭⎫sin π3，则( )A ．b >c >aB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >a >c答案 B解析 a ＝π82＞20＝1，∵0<1π<1，1πlog b ＝⎝⎛⎭⎫12b >0，∴0<b <1， c ＝log 2⎝⎛⎭⎫sin π3＝log 232＜log 21＝0, ∴a >b >c . 故选B.5．(2019·山师大附中模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a (x <1)，ln x (x ≥1) 的值域为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B.⎣⎡⎦⎤12，1 C.⎣⎡⎭⎫－1，12 D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 C解析 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ＋3a (x <1)ln x (x ≥1)，的值域为R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，(1－2a )＋3a ≥0，解得－1≤a <12，故选C.6．函数y ＝2xln|x |的图象大致为( )答案 B解析 采用排除法，函数定义域为{x |x ≠0且x ≠±1}，排除A ；当x >1时，ln|x |>0，y ＝2xln|x |>0，排除D ；当x <－1时，ln|x |>0，y ＝2xln|x |<0，排除C ，故选B. 7．(2019·山师大附中模拟)函数f (x )是R 上的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，若f (x )在[－1,0]上单调递减，则函数f (x )在[3,5]上是( ) A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数答案 D解析 已知f (x ＋1)＝－f (x )，则函数周期T ＝2，因为函数f (x )是R 上的偶函数，在[－1,0]上单调递减，所以函数f (x )在[0,1]上单调递增，即函数在[3,5]上是先减后增的函数．故选D. 8．(2019·新乡模拟)设函数f (x )＝e －x －e x －5x ，则不等式f (x 2)＋f (－x －6)<0的解集为( )A ．(－3,2)B ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)C ．(－2,3)D ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)答案 D解析 由f (x )＝e －x －e x －5x ，得f (－x )＝e x －e －x ＋5x ＝－f (x )，则f (x )是奇函数，故f (x 2)＋f (－x －6)<0⇔f (x 2)<－f (－x －6)＝f (x ＋6)．又f (x )是减函数，所以f (x 2)<f (x ＋6)⇔x 2>x ＋6，解得x <－2或x >3，故不等式f (x 2)＋f (－x －6)<0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，故选D.9．(2019·广东六校模拟)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )，若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)等于( ) A ．－2 018 B ．2 C ．0 D ．50 答案 C解析 f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数， 可得f (－x )＝－f (x )，f (1－x )＝f (1＋x )即有f (x ＋2)＝f (－x )， 即f (x ＋2)＝－f (x )，进而得到f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， f (x )为周期为4的函数，若f (1)＝2，可得f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2， f (2)＝f (0)＝0，f (4)＝f (0)＝0，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋0－2＋0＝0， 可得f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019) ＝504×0＋2＋0－2＝0. 故选C.10．(2019·衡水中学摸底)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－e x ，x ≤0，ln x ，x >0(e 为自然对数的底数)，若关于x 的方程f (x )＋a ＝0有两个不相等的实根，则a 的取值范围是( ) A ．a >－1 B ．－1＜a ＜1 C ．0＜a ≤1D ．a ＜1答案 C解析 画出函数f (x )的图象如图所示，若关于x 的方程f (x )＋a ＝0有两个不相等的实根，则函数f (x )与直线y ＝－a 有两个不同交点，由图可知－1≤－a <0，所以0<a ≤1.故选C.11．(2019·新疆昌吉教育共同体月考)若关于x 的不等式1＋a cos x ≥23sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x 在R 上恒成立，则实数a 的最大值为( ) A ．－13 B.13 C.23 D ．1答案 B解析 1＋a cos x ≥23sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝23cos 2x ＝23(2cos 2x －1)，令cos x ＝t ∈[－1,1]，并代入不等式，则问题转化为不等式4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1,1]上恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋3a －5≤0，4－3a －5≤0，所以－13≤a ≤13.所以实数a 的最大值为13.12．(2019·沈阳东北育才学校模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，x ≤0，|log 4x |，x >0，若关于x 的方程f (x )＝a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则x 3(x 1＋x 2)＋1x 23x 4的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－1，72 B.⎝⎛⎭⎫－1，72 C ．(－1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，72 答案 A解析 画出函数f (x )的图象如图所示，根据对称性可知，x 1和x 2关于x ＝－1对称，故x 1＋x 2＝－2.由于|log 4x |＝⎪⎪⎪⎪log 41x ，故1x 3＝x 4，x 3·x 4＝1.令log 41x ＝1，解得x ＝14，所以x 3∈⎣⎡⎭⎫14，1.x 3(x 1＋x 2)＋1x 23x 4＝－2x 3＋1x 3，由于函数y ＝－2x ＋1x 在区间⎣⎡⎭⎫14，1上为减函数，故－2x 3＋1x 3∈⎝⎛⎦⎤－1，72，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．函数f (x )＝ln x －2的定义域为________． 答案 [e 2，＋∞)解析 ∵函数f (x )＝ln x －2，∴ln x －2≥0， 即ln x ≥ln e 2，∴x ≥e 2，∴函数f (x )＝ln x －2的定义域为[e 2，＋∞)．14．(2019·浏阳六校联考)f (x )是定义在R 上的周期为3的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－72＋f (6)＝________. 答案 －2解析 由题意得f ⎝⎛⎭⎫－72＝f ⎝⎛⎭⎫－72＋3＝f ⎝⎛⎭⎫－12 ＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－124＝－2， 又f (6)＝f (0)＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫－72＋f (6)＝－2. 15．(2019·青岛调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x ＋1)，x >0，3－x ，x ≤0， f (m )>1，则m 的取值范围是____________．答案 (－∞，0)∪(2，＋∞)解析 若f (m )＞1，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，log 3(1＋m )>log 33或⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤0，3－m >1，即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m ＋1>3或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤0，－m >0，解得m ＞2或m ＜0.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3a ，x <0，log a (x ＋1)＋1，x ≥0(a >0且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34解析 画出函数y ＝|f (x )|的图象如图，由函数y ＝f (x )是单调递减函数可知，0＋3a ≥log a (0＋1)＋1，即a ≥13，由log a (x 0＋1)＋1＝0得，x 0＝1a －1≤2，所以当x ≥0时，y ＝2－x 与y ＝|f (x )|图象有且仅且一个交点．所以当2≥3a ，即13≤a ≤23时，函数y ＝|f (x )|与函数y ＝2－x 图象恰有两个不同的交点，即方程|f (x )|＝2－x 恰好有两个不相等的实数解，结合图象可知当直线y ＝2－x 与函数y ＝x 2＋3a 相切时，得x 2＋x ＋3a －2＝0. 由Δ＝1－4(3a －2)＝0，解得a ＝34，此时也满足题意．综上，所求实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.三、解答题(本大题共70分)17．(10分)(2019·酒泉敦煌中学诊断)求下列函数的解析式： (1)已知2f (x －1)－f (1－x )＝2x 2－1，求二次函数f (x )的解析式； (2)已知f (x －1)＝x ，求f (x )的解析式． 解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f (x －1)＝a (x －1)2＋b (x －1)＋c ， f (1－x )＝a (1－x )2＋b (1－x )＋c ，所以2f (x －1)－f (1－x )＝2ax 2－4ax ＋2a ＋2bx －2b ＋2c －(ax 2－2ax ＋a ＋b －bx ＋c ) ＝ax 2－(2a －3b )x ＋a －3b ＋c ＝2x 2－1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，2a －3b ＝0，a －3b ＋c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝43，c ＝1，所以f (x )＝2x 2＋43x ＋1.(2)令t ＝x －1，t ≥－1，则x ＝(t ＋1)2， ∴f (t )＝(t ＋1)2 (t ≥－1)．∴f (x )的解析式为f (x )＝(x ＋1)2，x ≥－1.18．(12分)(2019·廊坊省级示范高中联考)已知函数f (x )＝log 3(ax 2－x ＋3)． (1)若函数f (x )的定义域为R ，求a 的取值范围；(2)已知集合M ＝[1,3]，方程f (x )＝2的解集为N ，若M ∩N ≠∅，求a 的取值范围． 解 (1)因为函数的定义域为R ，所以ax 2－x ＋3>0恒成立， 当a ＝0时，－x ＋3>0不恒成立，不符合题意；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－12a <0，解得a >112.综上所述a >112.(2)由题意可知，ax 2－x ＋3＝9在[1,3]上有解． 即a ＝6x 2＋1x 在[1,3]上有解，设t ＝1x，t ∈⎣⎡⎦⎤13，1，则a ＝6t 2＋t ， 因为y ＝6t 2＋t 在⎣⎡⎦⎤13，1上单调递增，所以y ∈[1,7]． 所以a ∈[1,7]．19．(12分)函数f (x )对任意的a ，b ∈R 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x ＞0时，f (x )>1 . (1)判断函数f (x )是否为奇函数； (2)证明：f (x )在R 上是增函数； (3)解不等式f (3m 2－m －2)＜1.(1)解 当a ＝b ＝0时，解得f (0)＝1，显然函数不可能是奇函数． (2)证明 任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)－1，∵x 2－x 1>0, ∴f (x 2－x 1)>1，∴f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x )在R 上是增函数． (3)∵f (0)＝1，∴f (3m 2－m －2)<1＝f (0)， 又f (x )在R 上递增，所以3m 2－m －2<0， 解得－23<m <1，∴不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－23，1. 20．(12分)已知定义在R 上的函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ＋1. (1)求函数f (x )在R 上的解析式；(2)若方程m ＝f (x )有4个根x 1，x 2，x 3，x 4，求m 的取值范围及x 1＋x 2＋x 3＋x 4的值． 解 (1)设x <0⇒－x >0⇒f (－x )＝(－x )2－4(－x )＋1＝x 2＋4x ＋1， 由函数f (x )是偶函数，则f (x )＝f (－x )＝x 2＋4x ＋1，综上f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋1，x ≥0，x 2＋4x ＋1，x <0或f (x )＝x 2－4|x |＋1.(2)作出函数f (x )的图象如图所示，由图可知，当－3<m <1时，方程m ＝f (x )有4个根． 令x 1<x 2<x 3<x 4，由x 1＋x 22＝－2，x 3＋x 42＝2，得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 4＝4， 则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝0.21．(12分)(2019·荆州质检)为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为5万元，每年生产x 万件，需另投入流动成本为C (x )万元，且C (x )＝⎩⎨⎧12x 2＋4x ，0<x <8，11x ＋49x －35，x ≥8，每件产品售价为10元．经市场分析，生产的产品当年能全部售完．(1)写出年利润P (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式； (注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 解 (1)因为每件产品售价为10元，则x 万件产品销售收入为10x 万元， 依题意得，当0<x <8时，P (x )＝10x －⎝⎛⎭⎫12x 2＋4x －5 ＝－12x 2＋6x －5，当x ≥8时，P (x )＝10x －⎝⎛⎭⎫11x ＋49x －35－5＝30－⎝⎛⎭⎫x ＋49x ， 所以P (x )＝⎩⎨⎧－12x 2＋6x －5，0<x <8，30－⎝⎛⎭⎫x ＋49x ，x ≥8.(2)当0<x <8时，P (x )＝－12(x －6)2＋13，当x ＝6时，P (x )取得最大值P (6)＝13，当x ≥8时，P ′(x )＝－1＋49x 2<0，所以P (x )为减函数，当x ＝8时，P (x )取得最大值P (8)＝1278，因为13<1278，故当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为1278万元． 22．(12分)(2019·佛山禅城区调研)已知f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x 4x ＋1. (1)求f (x )在(－1,1)上的解析式；(2)若g (x )是周期为2的函数，且x ∈(－1,1)时g (x )＝f (x )，求x ∈(2n ，2n ＋1)，n ∈N 时函数g (x )的解析式．解 (1)当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1), 因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x1＋4x.因为f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，所以f (0)＝0， 故当x ∈(－1,1)时，f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧2x4x ＋1，x ∈(0，1)，0，x ＝0，－2x 1＋4x，x ∈(－1，0).(2)设x ∈(2n ，2n ＋1)，则x －2n ∈(0,1) ， g (x －2n )＝2x－2n4x －2n ＋1.因为g (x )周期为2，n ∈N ，所以2n 也是周期， g (x －2n )＝g (x )，所以x ∈(2n,2n ＋1)时， g (x )＝2x－2n4x －2n ＋1.。
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高考专题突破二 高考中的三角函数与解三角形问题题型一 三角函数的图象和性质例1 (2016·山东)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝⎛⎭⎫π6的值． 解 (1)由f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2 ＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )⎝⎛⎭⎫或⎝⎛⎭⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ). (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1， 把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋3－1的图象， 再把得到的图象向左平移π3个单位长度，得到y ＝2sin x ＋3－1的图象， 即g (x )＝2sin x ＋3－1. 所以g ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3. 思维升华 三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，然后将t ＝ωx ＋φ视为一个整体，结合y ＝sin t 的图象求解．跟踪训练1 已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋532(其中x ∈R )，求：(1)函数f (x )的最小正周期； (2)函数f (x )的单调区间；(3)函数f (x )图象的对称轴和对称中心． 解 (1)因为f (x )＝52sin 2x －532(1＋cos 2x )＋532＝5⎝⎛⎭⎫12sin 2x －32cos 2x ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以函数的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． 由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )． (3)由2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )．由2x －π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，所以函数f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2＋π6，0(k ∈Z )． 题型二 解三角形例2 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求角A 和边长c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 解 (1)∵sin A ＋3cos A ＝0， ∴tan A ＝－3， 又0<A <π，∴A ＝2π3，由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即28＝4＋c 2－2×2c ×⎝⎛⎭⎫－12， 即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)或c ＝4，故c ＝4. (2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴16＝28＋4－2×27×2×cos C ， ∴cos C ＝27，∴CD ＝AC cos C ＝227＝7，∴CD ＝12BC ，∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12×4×2×32＝23，∴S △ABD ＝12S △ABC ＝ 3.思维升华 根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在解决有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，对结果进行正确的取舍． 跟踪训练2 (2017·北京)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a .(1)求sin C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．解 (1)在△ABC 中，因为∠A ＝60°，c ＝37a ，所以由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝37×32＝3314.(2)因为a ＝7，所以c ＝37×7＝3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得 72＝b 2＋32－2b ×3×12，解得b ＝8或b ＝－5(舍去)．所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×3×32＝6 3.题型三 三角函数和解三角形的综合应用例3 (2018·南通考试)如图，某机械厂欲从AB ＝2米，AD ＝2 2 米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形ABEF 加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：点E ，F 分别在边BC ，AD 上，且EB ＝EF ，AF <BE .设∠BEF ＝θ，四边形ABEF 的面积为f (θ)(单位：平方米)．(1)求f (θ)关于θ的函数关系式，求出定义域；(2)当BE ，AF 的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF 的面积最小，并求出最小值． 解 (1)过点F 作FM ⊥BE ，垂足为M .在Rt △FME 中，MF ＝2，∠EMF ＝π2，∠FEM ＝θ，所以EF ＝2sin θ，ME ＝2tan θ，故AF ＝BM ＝EF －EM ＝2sin θ－2tan θ，所以f (θ)＝12(AF ＋BE )×AB＝12×⎝⎛⎭⎫2sin θ－2tan θ＋2sin θ×2＝4sin θ－2tan θ，由题意可知，AF <BE ，所以θ<π2，且当点E 重合于点C 时，EF ＝EB ＝22，FM ＝2，θ＝π4，所以函数f (θ)＝4sin θ－2tan θ的定义域为⎣⎡⎭⎫π4，π2.(2)由(1)可知，f (θ)＝4sin θ－2tan θ＝4⎝⎛⎭⎫sin 2θ2＋cos 2θ22sin θ2cos θ2－22tanθ21－tan 2θ2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫tan θ2＋1tan θ2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan θ2－tan θ2 ＝3tan θ2＋1tan θ2≥23tan θ2·1tan θ2＝23，当且仅当3tan θ2＝1tan θ2时，等号成立，又θ∈⎣⎡⎭⎫π4，π2，θ2∈⎣⎡⎭⎫π8，π4，故当tan θ2＝33，即θ2＝π6，θ＝π3时，四边形ABEF 的面积最小，此时BE ＝2sin θ＝433，AF ＝2sin θ－2tan θ＝233，f (θ)＝4sin θ－2tan θ＝2 3.答 当BE ，AF 的长度分别为433 米，233 米时，裁剪出的四边形ABEF 的面积最小，最小值为2 3 平方米．思维升华 三角函数和解三角形的综合问题要利用正弦定理、余弦定理进行转化，结合三角函数的性质，要注意角的范围对变形过程的影响．跟踪训练3 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a sin B －b cos C ＝c cos B . (1)判断△ABC 的形状；(2)若f (x )＝12cos 2x －23cos x ＋12，求f (A )的取值范围．解 (1)因为a sin B －b cos C ＝c cos B ，由正弦定理可得sin A sin B －sin B cos C ＝sin C cos B . 即sin A sin B ＝sin C cos B ＋cos C sin B ， 所以sin(C ＋B )＝sin A sin B .因为在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＝sin A sin B ，又sin A ≠0，所以sin B ＝1，B ＝π2，所以△ABC 为直角三角形． (2)因为f (x )＝12cos 2x －23cos x ＋12＝cos 2x －23cos x ＝⎝⎛⎭⎫cos x －132－19， 所以f (A )＝⎝⎛⎭⎫cos A －132－19， 因为△ABC 是直角三角形， 所以0<A <π2，且0<cos A <1，所以当cos A ＝13时，f (A )有最小值－19.所以f (A )的取值范围是⎣⎡⎭⎫－19，13.1.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R 的部分图象如图．(1)求函数f (x )的解析式．(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，5π12上的最值，并求出相应的x 值． 解 (1)由题干图象可知|A |＝2， 又A >0，故A ＝2.周期T ＝43×⎝⎛⎭⎫13π12－π3＝43×3π4＝π， 又T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)，由题干图象知f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝2，∴2π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，φ＝－π6＋2k π，k ∈Z ， 又|φ|<π2，∴φ＝－π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，5π12，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈[－1，2]. 当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝f (0)＝－1.2．(2018·天津联考)设函数f (x )＝2tan x 4·cos 2x4－2cos 2⎝⎛⎭⎫x 4＋π12＋1. (1)求f (x )的定义域及最小正周期． (2)求f (x )在[－π，0]上的最值． 解 (1)f (x )＝2sin x 4cos x4－cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 ＝sin x 2－cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝sin x 2－32cos x 2＋12sin x2 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π6. 由x 4≠π2＋k π(k ∈Z )， 得f (x )的定义域为{x |x ≠2π＋4k π(k ∈Z )}， 故f (x )的最小正周期为T ＝2π12＝4π.(2)∵－π≤x ≤0，∴－2π3≤x 2－π6≤－π6.∴当x 2－π6∈⎣⎡⎦⎤－2π3，－π2， 即x ∈⎣⎡⎦⎤－π，－2π3时，f (x )单调递减， 当x 2－π6∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π6， 即x ∈⎣⎡⎦⎤－2π3，0时，f (x )单调递增，∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－2π3＝－3， 又f (0)＝－32，f (－π)＝－32， ∴f (x )max ＝f (0)＝－32. 3.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6－2cos 2ωx2，x ∈R (其中ω>0)． (1)求函数f (x )的值域；(2)若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－1的两个相邻交点间的距离为π2，求函数y ＝f (x )的单调递增区间． 解 (1)f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx ＋32sin ωx －12cos ωx －(cos ωx ＋1) ＝2⎝⎛⎭⎫32sin ωx －12cos ωx －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6－1. 由－1≤sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6≤1，得－3≤2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6－1≤1， 所以函数f (x )的值域为[－3,1]．(2)由题设条件及三角函数的图象和性质可知，y ＝f (x )的周期为π，所以2πω＝π，即ω＝2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1， 再由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．所以函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． 4．已知点P (3，1)，Q (cos x ，sin x )，O 为坐标原点，函数f (x )＝OP →·QP →. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若A 为△ABC 的内角，f (A )＝4，BC ＝3，求△ABC 周长的最大值． 解 (1)由已知，得OP →＝(3，1)，QP →＝(3－cos x,1－sin x )， 所以f (x )＝OP →·QP →＝3－3cos x ＋1－sin x ＝4－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，所以函数f (x )的最小正周期为2π. (2)因为f (A )＝4，所以sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝0， 又0<A <π，所以π3<A ＋π3<4π3，A ＝2π3.因为BC ＝3，所以由正弦定理，得AC ＝23sin B ，AB ＝23sin C ， 所以△ABC 的周长为3＋23sin B ＋23sin C ＝3＋23sin B ＋23sin ⎝⎛⎭⎫π3－B ＝3＋23sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3. 因为0<B <π3，所以π3<B ＋π3<2π3，所以当B ＋π3＝π2，即B ＝π6时，△ABC 的周长取得最大值，最大值为3＋2 3.5.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若AD 为BC 边上的中线，cos B ＝17，AD ＝1292，求△ABC 的面积．解 (1)a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0，由正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin B ＋sin C ， 即sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin(A ＋C )＋sin C ， 亦即sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin C ， 则3sin A sin C －cos A sin C ＝sin C .又sin C ≠0，所以3sin A －cos A ＝1，所以sin(A －30°)＝12.在△ABC 中，0°<A <180°，则－30°<A －30°<150°， 所以A －30°＝30°，得A ＝60°.(2)在△ABC 中，因为cos B ＝17，所以sin B ＝437.所以sin C ＝sin(A ＋B )＝32×17＋12×437＝5314. 由正弦定理，得a c ＝sin A sin C ＝75.设a ＝7x ，c ＝5x (x >0)，则在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ， 即1294＝25x 2＋14×49x 2－2×5x ×12×7x ×17， 解得x ＝1(负值舍去)，所以a ＝7，c ＝5， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝10 3.6．已知函数f (x )＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋t (ω>0)，若f (x )的图象上相邻两条对称轴的距离为π4，图象过点(0,0)．(1)求f (x )的表达式和f (x )的单调增区间；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若函数F (x )＝g (x )＋k 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个零点，求实数k 的取值范围． 解 (1)f (x )＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋t ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋t ， f (x )的最小正周期为2π2ω＝π2，∴ω＝2，∵f (x )的图象过点(0,0)，∴2sin π6＋t ＝0，∴t ＝－1，即f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6－1.百度文库 - 让每个人平等地提升自我11 令2k π－π2≤4x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 求得k π2－π6≤x ≤k π2＋π12，k ∈Z ， 故f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π2－π6，k π2＋π12，k ∈Z .(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，可得 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x －π2＋π6－1＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3－1的图象， 再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－1的图象．∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1， 故g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－1在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为[]－3－1，1. 若函数F (x )＝g (x )＋k 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个零点， 由题意可知，函数g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－1的图象和直线y ＝－k 有且只有一个交点， 根据图象(图略)可知，k ＝－1或1－3<k ≤3＋1. 故实数k 的取值范围是{－1}∪(1－3，3＋1]．。