江苏省常熟中学2017-2018学年高二数学(理)下学期期中考试试卷
2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题 word版含答案
2017-2018学年度高二年级期中考试数学（理科）试卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设正弦函数y ＝sinx 在x ＝0和x ＝π2附近的瞬时变化率为k1、k2，则k1、k2的大小关系为( )A ．k1>k2B ．k1<k2C ．k1＝k2D ．不确定2．命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为（ ）A ．对任意x R ∈,使得20x <B ．不存在x R ∈,使得20x <C ．存在0x R ∈,都有200x ≥D ．存在0x R ∈,都有200x <3．设z 是复数,则下列命题中的假命题是（ ）A ．若20z ≥, 则z 是实数B ．若20z <, 则z 是虚数C ．若z 是虚数, 则20z ≥D ．若z 是纯虚数, 则20z <4．一物体以速度v ＝(3t2＋2t)m/s 做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是（ ）A ．31mB ．36mC ．38mD ．40m5．3．复数31iz i +=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．对于命题p 和q ，若p 且q 为真命题，则下列四个命题：①p 或¬q 是真命题；②p 且¬q 是真命题；③¬p 且¬q 是假命题；④¬p 或q 是假命题．其中真命题是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④7．三次函数f(x)＝mx3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则m 的取值范围是( )A ．m<0B ．m<1C ．m≤0D ．m≤18．已知抛物线y ＝－2x2＋bx ＋c 在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，则b ＋c 的值为( )A ．20B ．9C ．－2D ．29．设f(x)=cos 2tdt ，则f =( )A.1B.sin 1C.sin 2D.2sin 410．“ a=b ”是“直线与圆22()()2x a y b -++=相切的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件11．设函数f(x)的图象如图，则函数y ＝f ′(x)的图象可能是下图中的( )12．若关于x 的不等式x3－3x2－9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2，2]恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(－∞，－20]C ．(－∞，0]D ．[－12,7]二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．若曲线f(x)＝x4－x 在点P 处的切线垂直于直线x －y ＝0，则点P 的坐标为________14．f(x)＝ax3－2x2－3，若f′(1)＝2，则a 等于________．15．220(4)x x dx --=⎰_______________．16．已知z C ，且|z|=1，则|z-2i|（i 为虚数单位）的最小值是________三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本题满分10分) (1) 求导数22sin(25)y x x =+ (2)求定积分：10(1)x x dx +⎰18. (本题满分12分)设：x2-8x-9≤0，q ：，且非p 是非q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.19．(本题满分12分)已知z 为复数，i z +和i z-2均为实数，其中i 是虚数单位. （Ⅰ）求复数z 和||z ；（Ⅱ）若immzz27111+--+=在第四象限，求m的范围.20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．21．(本题满分12分) 设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋4.(1)求y＝f(x)的表达式；(2)求直线y=2x+4与y=f(x)所围成的图形的面积.22．(本题满分12分) 设函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，4)，且在点P处有相同的切线y=4x+4.(1)求a，b，c，d的值.(2)若存在x≥-2时，f(x)≤k-g(x)，求k的取值范围.20[解析] (1)f ′(x)＝－3x2＋6x.令f ′(x)<0，解得x<0，或x>2，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12＋a＝20＋a，f(2)＝－8＋12＋a＝4＋a，∴f(－2)>f(2)．∵在(0,2)上f ′(x)>0，∴f(x)在(0,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，0]上单调递减，因此f(0)是f(x)在区间[－2,2]上的最大值，于是有f(0)=a＝20∴f(x)＝－x3＋3x2－20∴f(2)＝＝－16，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－16.21[解析] (1)f ′(x)＝－3x2＋6x.令f ′(x)<0，解得x<0，或x>2，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12＋a＝20＋a，f(2)＝－8＋12＋a＝4＋a，∴f(－2)>f(2)．∵在(0,2)上f ′(x)>0，∴f(x)在(0,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，0]上单调递减，因此f(0)是f(x)在区间[－2,2]上的最大值，于是有f(0)=a＝20∴f(x)＝－x3＋3x2－20∴f(2)＝＝－16，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－16.22【解题指南】(1)根据曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，2)，可将P(0，2)分别代入到y=f(x)和y=g(x)中，再利用在点P处有相同的切线y=4x+2，对曲线y=f(x)和曲线y=g(x)进行求导，列出关于a，b，c，d的方程组求解.(2)构造函数F(x)=kg(x)-f(x)，然后求导，判断函数F(x)=kg(x)-f(x)的单调性，通过分类讨论，确定k的取值范围.【解析】(1)由已知得f(0)=2，g(0)=2，f′(0)=4，g′(0)=4.而f′(x)=2x+a，g′(x)=ex(cx+d+c).故b=2，d=2，a=4，d+c=4.从而a=4，b=2，c=2，d=2.(2)由(1)知f(x)=x2+4x+2，g(x)=2ex(x+1).设F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2，则F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)=0，即2(x+2)(kex-1)=0，得x1=-lnk，x2=-2.①若1≤k<e2，则-2<x1≤0，从而当x∈(-2，x1)时，F′(x)<0，当x∈(x1，+∞)时，F′(x)>0，即F(x)在x∈(-2，x1)上单调递减，在x∈(x1，+∞)上单调递增，故F(x)在[-2，+∞)上有最小值为F(x1).F(x1)=2x1+2--4x1-2=-x1(x1+2)≥0.故当x≥-2时，F(x)≥0恒成立，即f(x)≤kg(x).②若当k=e2，则F′(x)=2e2(x+2)(ex-e-2)，当x>-2时，F′(x)>0，即F(x)在(-2，+∞)上单调递增，而F(-2)=0，故当且仅当x≥-2时，F(x)≥0恒成立，即f(x)≤kg(x).③若k>e2，则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.从而当x≥-2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立.综上，k的取值范围为[1，e2].。
江苏省常熟中学2017-2018学年高二下学期期中考试文数试题(解析版)
江苏省常熟中学2017-2018学年高二下学期期中考试文数试题一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卷相应的位置上．．．．．．．．．.1. 已知集合，，若，则实数的值为__________.【答案】2【解析】分析：根据交集的定义知或（无解），从而得解.详解：集合，，若，则或（无解）.所以，此时.故答案为2.点睛：本题主要考查了集合交集的运算，属于基础题.2. 设函数，则__________ .【答案】1【解析】分析：将代入分段函数，由自变量的范围结合函数关系求解即可.详解：由函数，得.故答案为：1.点睛：求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，属于基础题.3. 复数的虚部等于__________ .【答案】【解析】分析：利用复数的除法运算化简得，进而得解.详解：复数.虚部为.故答案为：.点睛：本题主要考查了复数的除法运算，属于基础题.4. 已知幂函数过点，则__________ .【答案】【解析】分析：设幂函数，将点代入求解即可.详解：设幂函数，由过点，得，解得.所以.故答案为：.点睛：本题主要考查了待定系数法求解幂函数的解析式，属于基础题.5. 若且，则__________ .【答案】【解析】分析：利用余弦的二倍角公式，可得，结合的范围可得解.详解：由，解得.又，所以，所以.即.点睛：本题主要考查了余弦的二倍角公式，属于基础题.6. 函数的单调递增区间为__________ .【答案】【解析】y′＝.令y′>0，得1－ln x>0，∴0<x<e.故增区间为(0，e)答案：(0，e)点睛：求函数单调区间的方法：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性7. 设的内角，，所对边的长分别为，，.若且，则角__________ .【答案】【解析】分析：利用正弦定理得，结合条件得，由余弦定理可得，代入求解即可.详解：由正弦定理，可得：，即.又，可得.由余弦定理可得.所以.故答案为：.点睛：本题主要考查了运用正弦定理边角互化，余弦定理求解三角形内角，属于基础题.8. 设，，则__________.（用含，的式子表示）【答案】【解析】分析：利用换底公式及对数的运算法则得，带入条件可得解.详解：.由，，得.点睛：本题主要考查了对数的换底公式：且.属于基础题.9. 已知定义在上的奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为__________ .【答案】【解析】分析：利用奇函数的中心对称性及函数的单调性和奇函数满足可求解.详解：在上单调递减，且，当时，有.又为奇函数，图象关于原点对称，所以在上，可得.又奇函数满足.所以不等式的解集为.故答案为：.点睛：本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的关系及数形结合进行求解是解决本题的关键．解这种题型往往是根据函数所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性（偶函数在对称区间上的单调性相反，奇函数在对称区间上的单调性相同），然后再根据单调性列不等式求解.10. 已知，则的值为__________ .【答案】【解析】分析：由同角三角函数关系得，诱导公式得，进而得解.详解：由，得..所以.故答案为：.点睛：本题主要考查了同角三角函数的关系和诱导公式，属于基础题.11. 在平面内，以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比为1:4.类比该命题，在空间中，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原四面体的体积之比为__________ .【答案】1:27【解析】由题意，以正三角形的三边的中点为顶点的三角形与原正三角形的边长比为，其面积比为边长比的平方，即为，以此类比，又正三角形中心点是对应高的三等分点，则易知，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原正四面体的边长比为，因此其体积比为.12. 已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，则__________. 【答案】0【解析】分析：由函数的奇偶性分别得，，从而得，进而得解.详解：，.由是定义在上的奇函数，可得.又是定义在上的偶函数，所以.综上可得.所以.故答案为：0.点睛：本题中主要考查了函数的奇偶性的性质，以及抽象复合函数的奇偶性，属于难点，需要区别以下难点：是偶函数，则，是奇函数，则，是偶函数，则，是奇函数，则.13. 已知的图像过点，为函数的导函数，若当时恒有，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】分析：构造函数，并求导可得在（0，+∞）上单调递增，由，即得，即可得出结论．详解：构造函数,则，∴在上单调递增，由，即得，∴，故答案为：.点睛：本题主要考查构造函数，常用的有：，构造xf(x)；2xf(x)+x2f′(x)，构造x2f(x)；，构造;，构造；，构造.等等.14. 设钝角的内角为，，，且，若，则的取值范围是__________ .【答案】【解析】分析：由三角形内角和的关系将条件变形为，记，进而化简得，利用以，所以，得，而，从而得解.详解：内角满足.所以，由，得：.记，则上式为：.进而得：，展开得：.两边同时除以可得：.可得：.由，且为钝角三角形，所以，所以.，所以.所以.又.故答案为：.点睛：本题主要考查了三角形内角和的关系，及和差角公式的灵活应用，还有同角三角函数的弦切互化，本题的难点在于建立于条件的关系，解本题的关键在于设，及将和作为整体化简求值求范围.二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卷指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数.（1）求函数的对称轴方程；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）化简函数得，令，可得对称轴；（2）由，，得，，利用和角的正弦展开代入求解即可.详解：（1）.令，解得，即为所求的对称轴方程.（2）由，，则，而，将，代入上式，求得：.点睛：研究三角函数的性质，最小正周期为，最大值为.求对称轴只需令，求解即可，求对称中心只需令，单调性均为利用整体换元思想求解.16. 在中，角，，所对边分别为，，，已知.（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据三角形内角和定理和和与差公式化简可得角B的大小；（2）利用正弦定理，边化角，根据三角函数的有界限即可求解b的取值范围．试题解析：（1）由已知得：，即，∵，∴，即，又为三角形的内角，则；（2）∵，即，，∴由余弦定理得：，即，∵，∴，则．17. 设复数，且，.（1）求复数的模；（2）求复数实部的取值范围；（3）设，求证：为纯虚数.【答案】（1）1；（2）；（3）见解析【解析】分析：（1）由，由得，从而虚部为0，得，进而可得解；（2）由（1）知，从而求范围即可；（3）化简，由（1）知，则，从而得证.详解：（1），由得，则，由，解得，所以，（2）由（1）知，所以，即复数的实部的取值范围是.（3），由（1）知，则，应为，所以为纯虚数.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.18. 如图，某小区内有两条互相垂直的道路与，平面直角坐标系的第一象限有一块空地，其边界是函数的图象，前一段曲线是函数图象的一部分，后一段是一条线段.测得到的距离为8米，到的距离为16米，长为20米.（1）求函数的解析式；（2）现要在此地建一个社区活动中心，平面图为梯形（其中，为两底边），问：梯形的高为多少米时，该社区活动中心的占地面积最大，并求出最大面积.【答案】（1）；（2）当梯形的高为米时，活动中心的占地面积最大，最大面积为平方米【解析】分析：（1）以代入，得，再由，两点可得直线，从而利用分段函数表示即可；（2）设梯形的高为米，则，进而得，梯形的面积，求导利用函数单调性求解最值即可.详解：（1）以代入，得，因为，得直线：，所以.（2）设梯形的高为米，则，且，，所以，所以梯形的面积，由，令，得，列表如下：所以当时，取得极大值，即为最大值为.答：当梯形的高为米时，活动中心的占地面积最大，最大面积为平方米.点睛：本题主要考查了分段函数的额解析式，函数的实际应用问题，属于中档题.19. 已知函数，且定义域为.（1）求关于的方程在上的解；（2）若在区间上单调减函数，求实数的取值范围；（3）若关于的方程在上有两个不同的实根，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】分析：（1）由题意得，讨论和两种情况去绝对值解方程即可；（2）由，函数单减则有，从而得解；（3）讨论和下解方程即可.详解：（1）令，即有.当时，方程即为，方程无解；当时，方程即为，解得（负值舍去）.综上，方程的解为.（2），由在上单调递减，则，解得，所以实数的取值范围是.（3）当时，，①当时，，②若，则①无解，②的解为，故不成立；若，则①的解为 .（Ⅰ）当，即时，中，则一个根在内，另一根不在内，设，因为，所以，解得，又，则此时，（Ⅱ）当，即或时，②在内有不同两根，由，知②必有负数根，所以不成立，综上.点睛：分段函数连续单调的问题.分段函数有两段，第一段是一次函数，第二段是二次函数.对于一次函数，要单调递增就需要斜率大于零，对于二次函数，要关注开口方向和对称轴与区间的位置关系.两段分别递减还不行，还需要在两段交接的地方减，这样才能满足在身上单调递减.20. 设函数，.（1）当时，函数，在处的切线互相垂直，求的值；（2）当函数在定义域内不单调时，求证：；（3）是否存在实数，使得对任意，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出最大整数的值；若不存在，请说理由.（参考数据：，）【答案】（1）；（2）见解析；（3）1【解析】分析：（1）求导得切线斜率为和，由垂直得斜率积为-1，从而得解；（2），求导得，令，要使函数在定义域内不单调，只需要在有非重根，利用二次方程根的分别即可得解；（3）对恒成立，令，，令，存在，使得，即，则，取到最小值, 所以，即在区间内单调递增，从而得解. 详解：（1）当时，，则在处的斜率为，又在处的斜率为，则，解得 .（2）函数，则 .∵，∴，令，要使函数在定义域内不单调，只需要在有非重根，由于开口向上，且只需要，得，因为，所以，故，当且仅当时取等号，命题得证 .（3）假设存在实数满足题意，则不等式对恒成立，即对恒成立 .令，则，令，则，因为在上单调递增，，，且的图象在上不间断，所以存在，使得，即，则，所以当时，单调递减；当时，单调递增. 则取到最小值，所以，即在区间内单调递增，所以，所以存在实数满足题意，且最大整数的值为1 .点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .。
【全国百强校word】江苏省常熟中学2017-2018学年高二下学期期中考试文数试题
1江苏省常熟中学2017-2018学年高二下学期期中考试文数试题第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卷相应的位置上．．．．．．．．．. 1.已知集合{}2,4A =，{}2,3B a a =+，若{}2AB =，则实数a 的值为 .2.设函数()()2log (32),01,0x x f x f x x +≤⎧=⎨->⎩，则()2f = .3.复数23ii+-的虚部等于 . 4.已知幂函数()f x 过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()f x = .5.若4cos 5α=-且32παπ<<，则cos 2α= .6.函数ln xy x=的单调递增区间为 . 7.设ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若2b c a +=且3sin 5sin A B =，则角C = .8.设lg 2m =，lg3n =，则5log 12= .（用含m ，n 的式子表示） 9.已知定义在R 上的奇函数()f x 在()0,+∞上单调递减，且()20f =，则不等式()0f x ≥的解集为 .10.已知3cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则25sin cos 66παπα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为 .11.在平面内，以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比为1:4.类比该命题，在空间中，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原四面体的体积之比为 . 12.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()()1g x f x =-，则()()20172019f f += .213. 已知()()y f x x R =∈的图像过点()1,0，()'f x 为函数()f x 的导函数，若当0x >时恒有()'1xf x >，则不等式()ln f x x ≤的解集为 .14.设钝角ABC 的内角为A ，B ，C ，且B A C <<，若()sin 2sin cos2A B C A-=，则tan C 的取值范围是 .第Ⅱ卷（共90分）二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卷指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数()2cos sin cos f x x x x =+.（1）求函数()f x 的对称轴方程； （2）若3sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求224f απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 16.在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知()cos cos 3sin cos 0C A A B +-=.（1）求角B 的大小；（2）若1a c +=，求b 的取值范围. 17. 设复数(,0)za bi ab R b =+∈≠且，且1z zω=+，12ω-<<.（1）求复数z 的模；（2）求复数z 实部的取值范围； （3）设11zuz-=+，求证：u 为纯虚数. 18. 如图，某小区内有两条互相垂直的道路1l 与2l ，平面直角坐标系xOy 的第一象限有一块空地OAB ，其边界OAB 是函数()yf x =的图象，前一段曲线OA 是函数y k x =图象的一部分，后一段AB 是一条线段.测得A 到1l 的距离为8米，到2l 的距离为16米，OB 长为20米. （1）求函数()yf x =的解析式；（2）现要在此地建一个社区活动中心，平面图为梯形OPQB （其中PQ ，OB 为两底边），问：梯形的高3为多少米时，该社区活动中心的占地面积最大，并求出最大面积.19. 已知函数22()1f x x x kx =-++，且定义域为()0,2.（1）求关于x 的方程()3f x kx =+在()0,2上的解；（2）若()f x 在区间()0,2上单调减函数，求实数k 的取值范围；（3）若关于x 的方()0f x =程在()0,2上有两个不同的实根，求实数k 的取值范围.20. 设函数()ln f x x =，()()()01m x n g x m x +=>+.（1）当1m =时，函数()f x ，()g x 在1x =处的切线互相垂直，求n 的值；（2）当函数()()yf xg x =-在定义域内不单调时，求证：3m n ->；（3）是否存在实数k ，使得对任意1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，都有函数()k y f x x =+的图象在()x e g x x =的图象的下方？若存在，请求出最大整数k 的值；若不存在，请说理由.（参考数据：ln 20.6931=，121.6487e =）4试卷答案一、填空题1. 22. 13. 124. 12x -5. 1010-6.()0,e 7. 23π 8.21m nm+- 9. (][],20,2-∞- 10.233+ 11. 1:27 12. 0 13. (]0,1 14. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭6,012⎡⎫-⎪⎢⎣⎭二、解答题15.（1）()1cos 21sin 222x f x x +=+ 21sin 2242x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 令()242x k k Z πππ+=+∈，解得()82k x k Z ππ=+∈，即为所求的对称轴方程. （2）由3sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则24cos 1sin 5αα=--=-，而2121sin sin cos cos sin 2242322332f αππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，将3sin 5α=，4cos 5α=-代入上式，求得：32461022420f απ-+⎛⎫+=⎪⎝⎭. 16. （1）由已知可得：()cos cos cos 3sin cos 0A B A B A B -++-=，即有sin sin 3sin cos 0A B A B -=，由()0,A π∈，则sin 0A >，则有sin 3cos BB =，即tan 3B =，由()0,B π∈，所以角3B π=.5（2）由余弦定理得2222cos ba c ac B =+-，由1a c +=，1cos 2B =，()22213131324a c b a c ac ac +⎛⎫=+-=-≥-= ⎪⎝⎭， 则12b ≥（当且仅当12a c ==时等号成立），又1b a c <+=，综上，b 的取值范围是1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 17.（1）22222211a bi a b z a bi a bi a b i z a bi a b a b a b ω-⎛⎫⎛⎫=+=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 由12ω-<<得R ω∈， 则22bb a b-+， 由0b ≠，解得221a b +=，所以221z a b =+=，（2）由（1）知()21,2a ω=∈-，所以1,12a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭， 即复数z 的实部的取值范围是1,12⎛⎫-⎪⎝⎭. （3）()()()()()()()()222212111111111a b bi a bi a bi a bi z u z a bi a bi a bi a b ---⎡--⎤⎡+-⎤---⎣⎦⎣⎦====+++⎡++⎤⎡+-⎤++⎣⎦⎣⎦， 由（1）知221a b +=，则()22211bbu i i a a b=-=-+++， 应为0b ≠，所以u 为纯虚数. 18.（1）以()16,8A 代入y kx =，得2k =，因为()20,0B，得直线AB ：240y x =-+，所以()2,016240,1620x x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩.6（2）设梯形的高为t 米，则08t <<，且2,4t P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，120,2Q t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2112024PQt t =--，所以梯形的面积()21112020224St t t t ⎡⎤⎛⎫=--+⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 32112084t t t =--+，由()()()2311'203208828S t t t t t =--+=--+， 令()'0S t =，得203t =，列表如下： t 200,3⎛⎫ ⎪⎝⎭20320,83⎛⎫ ⎪⎝⎭()'S t ＋ 0 － ()S t↗极大值↘所以当203t=时，()S t 取得极大值，即为最大值为230027. 答：当梯形的高为203米时，活动中心的占地面积最大，最大面积为230027平方米. 19. （1）令()3f x kx =+，即有22130x x -+-=.当(]0,1x ∈时，方程即为22130x x -+-=，方程无解；当()1,2x ∈时，方程即为22130x x -+-=，解得2x =（负值舍去）.综上，方程的解为2x=.（2）()21,0121,12kx x f x x kx x +<≤⎧=⎨+-<<⎩，7由()f x 在()0,2上单调递减，则024k k <⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得8k≤-，所以实数k 的取值范围是(],8-∞-.（3）当01x <≤时，1kx =-， ①当12x <<时，2210x kx +-=， ②若0k=，则①无解，②的解为()21,22x =±∉，故0k =不成立； 若0k ≠，则①的解为1x k=- .（Ⅰ）当(]10,1k-∈，即1k ≤-时，中280k ∆=+>， 则一个根在()1,2内，另一根不在()1,2内，设()221g x x kx =+-，因为12102x x =-<，所以()()1020g g ⎧<⎨>⎩，解得712k -<<-，又1k≤-，则此时712k -<<-，（Ⅱ）当(]10,1k-∉，即10k -<<或0k >时，②在()1,2内有不同两根， 由12102x x =-<，知②必有负数根，所以不成立， 综上712k -<<-. 20.（1）当1m =时，()()21'1ng x x -=+，则()yg x =在1x =处的斜率为()1'14ng -=， 又()yf x =在1x =处的斜率为()'11f =，则114n-=-，解得5n = .8（2）函数()()()ln 1m x n y f x g x x x +=-=-+，则()()()()2221211'11m n x m mn x y x x x x -+-++=-=++ . ∵0x >，∴()210xx +>，令()()221p x x m mn x =+-++，要使函数在定义域内不单调，只需要()0p x =在()0,+∞有非重根，由于()p x 开口向上，且()01p =只需要()2202240m mn m mn -+⎧->⎪⎨⎪∆=-+->⎩，得()14m n ->， 因为0m >，所以41n m->-， 故441213m n m m m m->+-≥⋅-=，当且仅当2m =时取等号，命题得证 . （3）假设存在实数k 满足题意，则不等式ln x k e x x x +<对1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立，即ln x k e x x <-对1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立 .令()ln x h x e x x =-，则()'ln 1x h x e x =--， 令()ln 1x rx e x =--，则()1'x r x e x=-， 因为()'r x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，121'202r e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()'110r e =->，且()'r x 的图象在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上不间断， 所以存在01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()0'0r x =，即0010x e x -=，则00ln x x =-，所以当01,2x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()r x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()r x 单调递增.9则()rx 取到最小值()000000011ln 112110xr x e x x x x x =--=+-≥⋅-=>， 所以()'0h x >，即()h x 在区间1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭内单调递增， 所以11221111ln ln 2 1.995252222k h e e ⎛⎫≤=-=+= ⎪⎝⎭，所以存在实数k 满足题意，且最大整数k 的值为1 .101112131415161718。
【数学】江苏省常熟中学2017-2018学年高二下学期期中考试(文)(word版附答案)
江苏省常熟中学2017-2018学年高二下学期期中考试（文）第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卷相应的位置上．．．．．．．．．. 1.已知集合{}2,4A =，{}2,3B a a =+，若{}2A B = ，则实数a 的值为 .2.设函数()()2log (32),01,0x x f x f x x +≤⎧=⎨->⎩，则()2f = .3.复数23ii+-的虚部等于 . 4.已知幂函数()f x 过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()f x = .5.若4cos 5α=-且32παπ<<，则cos 2α= .6.函数ln xy x=的单调递增区间为 . 7.设ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若2b ca +=且3sin 5sin A B =，则角C = .8.设lg 2m =，lg3n =，则5log 12= .（用含m ，n 的式子表示） 9.已知定义在R 上的奇函数()f x 在()0,+∞上单调递减，且()20f =，则不等式()0f x ≥的解集为 .10.已知cos 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则25sin cos 66παπα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为 . 11.在平面内，以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比为1:4.类比该命题，在空间中，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原四面体的体积之比为 . 12.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()()1g x f x =-，则()()20172019f f += .13. 已知()()y f x x R =∈的图像过点()1,0，()'f x 为函数()f x 的导函数，若当0x >时恒有()'1xfx >，则不等式()ln f x x ≤的解集为 .14.设钝角ABC 的内角为A ，B ，C ，且B A C <<，若()sin 2sin cos2A B C A -=，则tan C 的取值范围是 .第Ⅱ卷（共90分）二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卷指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数()2cos sin cos f x x x x =+. （1）求函数()f x 的对称轴方程；（2）若3sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求224f απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.16.在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知()cos cos cos 0C A A B +-=.（1）求角B 的大小； （2）若1a c +=，求b 的取值范围.17. 设复数(,0)za bi ab R b =+∈≠且，且1z zω=+，12ω-<<.（1）求复数z 的模；（2）求复数z 实部的取值范围； （3）设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数.18. 如图，某小区内有两条互相垂直的道路1l 与2l ，平面直角坐标系xOy 的第一象限有一块空地OAB ，其边界OAB 是函数()y f x =的图象，前一段曲线OA 是函数y =象的一部分，后一段AB 是一条线段.测得A 到1l 的距离为8米，到2l 的距离为16米，OB 长为20米. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）现要在此地建一个社区活动中心，平面图为梯形OPQB （其中PQ ，OB 为两底边），问：梯形的高为多少米时，该社区活动中心的占地面积最大，并求出最大面积.19. 已知函数22()1f x x x kx =-++，且定义域为()0,2.（1）求关于x 的方程()3f x kx =+在()0,2上的解；（2）若()f x 在区间()0,2上单调减函数，求实数k 的取值范围；（3）若关于x 的方()0f x =程在()0,2上有两个不同的实根，求实数k 的取值范围.20. 设函数()ln f x x =，()()()01m x n g x m x +=>+.（1）当1m =时，函数()f x ，()g x 在1x =处的切线互相垂直，求n 的值；（2）当函数()()y f x g x =-在定义域内不单调时，求证：3m n ->；（3）是否存在实数k ，使得对任意1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，都有函数()k y f x x =+的图象在()xe g x x=的图象的下方？若存在，请求出最大整数k 的值；若不存在，请说理由.（参考数据：ln 20.6931=，121.6487e =）参考答案一、填空题1. 22. 13. 124. 12x -5.6.()0,e 7. 23π 8.21m nm+- 9. (][],20,2-∞-10.23+ 11. 1:27 12. 0 13. (]0,1 14. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭二、解答题 15.（1）()1cos21sin 222x f x x +=+1sin 2242x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 令()242x k k Z πππ+=+∈，解得()82k x k Z ππ=+∈，即为所求的对称轴方程. （2）由3sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则4cos 5α==-，而11sin cos cos sin 2242322332f αππππααα⎛⎫⎛⎫⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，将3sin 5α=，4cos 5α=-代入上式，求得：1022420f απ⎛⎫+=⎪⎝⎭. 16. （1）由已知可得：()cos cos cos cos 0A B A B A B -++-=，即有sin sin cos 0A B A B =，由()0,A π∈，则sin 0A >，则有sin B B =，即tan B =由()0,B π∈，所以角3B π=.（2）由余弦定理得2222cos ba c ac B =+-，由1a c +=，1cos 2B =，()22213131324a c b a c ac ac +⎛⎫=+-=-≥-= ⎪⎝⎭， 则12b ≥（当且仅当12a c ==时等号成立），又1b ac <+=， 综上，b 的取值范围是1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 17.（1）22222211a bi a b z a bi a bi a b i za bi ab a b a b ω-⎛⎫⎛⎫=+=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 由12ω-<<得R ω∈，则22bb a b -+，由0b ≠，解得221a b +=，所以1z ==，（2）由（1）知()21,2a ω=∈-，所以1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，即复数z 的实部的取值范围是1,12⎛⎫-⎪⎝⎭. （3）()()()()()()()()222212111111111a b bi a bi a bi a bi z u z a bi a bi a bi a b ---⎡--⎤⎡+-⎤---⎣⎦⎣⎦====+++⎡++⎤⎡+-⎤++⎣⎦⎣⎦， 由（1）知221ab +=，则()22211bbu i i aa b=-=-+++， 应为0b ≠，所以u 为纯虚数. 18.（1）以()16,8A代入y =，得2k =，因为()20,0B，得直线AB ：240y x =-+，所以()16240,1620x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩.（2）设梯形的高为t 米，则08t <<，且2,4t P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，120,2Q t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2112024PQ t t =--， 所以梯形的面积()21112020224S t t t t ⎡⎤⎛⎫=--+⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦32112084t t t =--+，由()()()2311'203208828S t t t t t =--+=--+， 令()'0S t =，得203t =，列表如下：所以当203t=时，()S t 取得极大值，即为最大值为230027. 答：当梯形的高为203米时，活动中心的占地面积最大，最大面积为230027平方米. 19. （1）令()3f x kx =+，即有22130x x -+-=.当(]0,1x ∈时，方程即为22130x x -+-=，方程无解；当()1,2x ∈时，方程即为22130x x -+-=，解得x =（负值舍去）.综上，方程的解为x =（2）()21,0121,12kx x f x x kx x +<≤⎧=⎨+-<<⎩，由()f x 在()0,2上单调递减，则024k k <⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得8k≤-，所以实数k 的取值范围是(],8-∞-.（3）当01x <≤时，1kx =-， ①当12x <<时，2210x kx +-=， ②若0k=，则①无解，②的解为()1,22x =±∉，故0k =不成立； 若0k≠，则①的解为1x k=- .（Ⅰ）当(]10,1k-∈，即1k ≤-时，中280k ∆=+>， 则一个根在()1,2内，另一根不在()1,2内，设()221g x x kx =+-，因为12102x x =-<，所以()()1020g g ⎧<⎨>⎩，解得712k -<<-， 又1k≤-，则此时712k -<<-，（Ⅱ）当(]10,1k-∉，即10k -<<或0k >时，②在()1,2内有不同两根， 由12102x x =-<，知②必有负数根，所以不成立，综上712k -<<-. 20.（1）当1m =时，()()21'1ng x x -=+，则()y gx =在1x=处的斜率为()1'14ng -=， 又()y f x =在1x =处的斜率为()'11f =，则114n-=-，解得5n = . （2）函数()()()ln 1m x n yf xg x x x +=-=-+，则()()()()2221211'11m n x m mn x y x x x x -+-++=-=++ . ∵0x >，∴()210xx +>，令()()221p x x m mn x =+-++，要使函数在定义域内不单调，只需要()0p x =在()0,+∞有非重根，由于()p x 开口向上，且()01p =只需要()2202240m mn m mn -+⎧->⎪⎨⎪∆=-+->⎩，得()14m n ->， 因为0m >，所以41n m->-，故4113m n m m ->+-≥=，当且仅当2m =时取等号，命题得证 . （3）假设存在实数k 满足题意，则不等式ln x k e x x x +<对1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立，即ln x k e x x <-对1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立 .令()ln x h x e x x =-，则()'ln 1x h x e x =--， 令()ln 1x rx e x =--，则()1'x r x e x=-， 因为()'r x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，121'202r e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()'110r e =->，且()'r x 的图象在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上不间断， 所以存在01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()0'0r x =，即0010x e x -=，则00ln x x =-，所以当01,2x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()r x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()r x 单调递增.则()rx 取到最小值()000001ln 11110x r x e x x x =--=+-≥-=>， 所以()'0h x >，即()h x 在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，所以11221111ln ln 2 1.995252222k h e e ⎛⎫≤=-=+= ⎪⎝⎭，所以存在实数k 满足题意，且最大整数k 的值为1 .。
【数学】江苏省常熟中学2017-2018学年高二下学期期中考试(文)
江苏省常熟中学2017-2018学年高二下学期期中考试（文）第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卷相应的位置上．．．．．．．．．. 1.已知集合{}2,4A =，{}2,3B a a =+，若{}2AB =，则实数a 的值为 .2.设函数()()2log (32),01,0x x f x f x x +≤⎧=⎨->⎩，则()2f = .3.复数23ii+-的虚部等于 . 4.已知幂函数()f x 过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()f x = .5.若4cos 5α=-且32παπ<<，则cos 2α= .6.函数ln xy x=的单调递增区间为 . 7.设ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若2b c a +=且3sin 5sin A B =，则角C = .8.设lg 2m =，lg3n =，则5log 12= .（用含m ，n 的式子表示） 9.已知定义在R 上的奇函数()f x 在()0,+∞上单调递减，且()20f =，则不等式()0f x ≥的解集为 .10.已知3cos 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则25sin cos 66παπα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为 . 11.在平面内，以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比为1:4.类比该命题，在空间中，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原四面体的体积之比为 . 12.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()()1g x f x =-，则()()20172019f f += .13. 已知()()y f x x R =∈的图像过点()1,0，()'f x 为函数()f x 的导函数，若当0x >时恒有()'1xfx >，则不等式()ln f x x ≤的解集为 .14.设钝角ABC 的内角为A ，B ，C ，且B A C <<，若()sin 2sin cos2A B C A-=，则tan C 的取值范围是 .第Ⅱ卷（共90分）二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卷指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数()2cos sin cos f x x x x =+.（1）求函数()f x 的对称轴方程；（2）若3sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求224f απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 16.在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知()cos cos 3sin cos 0C A A B +-=.（1）求角B 的大小；（2）若1a c +=，求b 的取值范围.17. 设复数(,0)za bi ab R b =+∈≠且，且1z zω=+，12ω-<<.（1）求复数z 的模；（2）求复数z 实部的取值范围；（3）设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数.18. 如图，某小区内有两条互相垂直的道路1l 与2l ，平面直角坐标系xOy 的第一象限有一块空地OAB ，其边界OAB 是函数()yf x =的图象，前一段曲线OA 是函数y k x =图象的一部分，后一段AB 是一条线段.测得A 到1l 的距离为8米，到2l 的距离为16米，OB 长为20米. （1）求函数()yf x =的解析式；（2）现要在此地建一个社区活动中心，平面图为梯形OPQB （其中PQ ，OB 为两底边），问：梯形的高为多少米时，该社区活动中心的占地面积最大，并求出最大面积.19. 已知函数22()1f x x x kx =-++，且定义域为()0,2.（1）求关于x 的方程()3f x kx =+在()0,2上的解；（2）若()f x 在区间()0,2上单调减函数，求实数k 的取值范围；（3）若关于x 的方()0f x =程在()0,2上有两个不同的实根，求实数k 的取值范围.20. 设函数()ln f x x =，()()()01m x n g x m x +=>+.（1）当1m =时，函数()f x ，()g x 在1x =处的切线互相垂直，求n 的值；（2）当函数()()yf xg x =-在定义域内不单调时，求证：3m n ->；（3）是否存在实数k ，使得对任意1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，都有函数()k y f x x =+的图象在()xe g x x=的图象的下方？若存在，请求出最大整数k 的值；若不存在，请说理由.（参考数据：ln 20.6931=，121.6487e =）参考答案一、填空题1. 22. 13. 124. 12x -5.1010-6.()0,e 7. 23π 8. 21m n m+- 9. (][],20,2-∞-10.233+ 11. 1:27 12. 0 13. (]0,1 14. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭6,012⎡⎫-⎪⎢⎣⎭二、解答题 15.（1）()1cos 21sin 222x f x x +=+ 21sin 2242x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 令()242x k k Z πππ+=+∈，解得()82k x k Z ππ=+∈，即为所求的对称轴方程. （2）由3sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则24cos 1sin 5αα=--=-， 而2121sin sin cos cos sin 2242322332f αππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，将3sin 5α=，4cos 5α=-代入上式，求得：32461022420f απ-+⎛⎫+=⎪⎝⎭. 16. （1）由已知可得：()cos cos cos 3sin cos 0A B A B A B -++-=，即有sin sin 3sin cos 0A B A B -=，由()0,A π∈，则sin 0A >，则有sin 3cos B B =，即tan 3B =，由()0,B π∈，所以角3B π=. （2）由余弦定理得2222cos ba c ac B =+-，由1a c +=，1cos 2B =，()22213131324a c b a c ac ac +⎛⎫=+-=-≥-= ⎪⎝⎭， 则12b ≥（当且仅当12a c ==时等号成立），又1b ac <+=， 综上，b 的取值范围是1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 17.（1）22222211a bi a b z a bi a bi a b i za bi ab a b a b ω-⎛⎫⎛⎫=+=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 由12ω-<<得R ω∈， 则22bb a b -+，由0b ≠，解得221a b +=，所以221z a b =+=，（2）由（1）知()21,2a ω=∈-，所以1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，即复数z 的实部的取值范围是1,12⎛⎫-⎪⎝⎭. （3）()()()()()()()()222212111111111a b bi a bi a bi a bi z u z a bi a bi a bi a b ---⎡--⎤⎡+-⎤---⎣⎦⎣⎦====+++⎡++⎤⎡+-⎤++⎣⎦⎣⎦， 由（1）知221ab +=，则()22211bbu i i aa b=-=-+++， 应为0b ≠，所以u 为纯虚数. 18.（1）以()16,8A 代入y kx =，得2k =，因为()20,0B，得直线AB ：240y x =-+，所以()2,016240,1620x x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩.（2）设梯形的高为t 米，则08t <<，且2,4t P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，120,2Q t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2112024PQt t =--，所以梯形的面积()21112020224St t t t ⎡⎤⎛⎫=--+⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 32112084t t t =--+，由()()()2311'203208828S t t t t t =--+=--+， 令()'0S t =，得203t =，列表如下： t200,3⎛⎫ ⎪⎝⎭20320,83⎛⎫ ⎪⎝⎭()'S t＋ 0 － ()S t↗极大值↘所以当203t=时，()S t 取得极大值，即为最大值为230027. 答：当梯形的高为203米时，活动中心的占地面积最大，最大面积为230027平方米. 19. （1）令()3f x kx =+，即有22130x x -+-=.当(]0,1x ∈时，方程即为22130x x -+-=，方程无解；当()1,2x ∈时，方程即为22130x x -+-=，解得2x =（负值舍去）.综上，方程的解为2x =.（2）()21,0121,12kx x f x x kx x +<≤⎧=⎨+-<<⎩，由()f x 在()0,2上单调递减，则024k k <⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得8k≤-，所以实数k 的取值范围是(],8-∞-.（3）当01x <≤时，1kx =-， ①当12x <<时，2210x kx +-=， ②若0k=，则①无解，②的解为()21,22x =±∉，故0k =不成立； 若0k≠，则①的解为1x k=- .（Ⅰ）当(]10,1k-∈，即1k ≤-时，中280k ∆=+>， 则一个根在()1,2内，另一根不在()1,2内，设()221g x x kx =+-，因为12102x x =-<，所以()()1020g g ⎧<⎨>⎩，解得712k -<<-， 又1k≤-，则此时712k -<<-，（Ⅱ）当(]10,1k-∉，即10k -<<或0k >时，②在()1,2内有不同两根， 由12102x x =-<，知②必有负数根，所以不成立， 综上712k -<<-. 20.（1）当1m =时，()()21'1ng x x -=+，则()yg x =在1x =处的斜率为()1'14ng -=， 又()yf x =在1x =处的斜率为()'11f =，则114n-=-，解得5n = . （2）函数()()()ln 1m x n yf xg x x x +=-=-+，则()()()()2221211'11m n x m mn x y x x x x -+-++=-=++ . ∵0x >，∴()210xx +>，令()()221p x x m mn x =+-++，要使函数在定义域内不单调，只需要()0p x =在()0,+∞有非重根，由于()p x 开口向上，且()01p =只需要()2202240m mn m mn -+⎧->⎪⎨⎪∆=-+->⎩，得()14m n ->， 因为0m >，所以41n m->-， 故441213m n m m m m->+-≥⋅-=，当且仅当2m =时取等号，命题得证 . （3）假设存在实数k 满足题意，则不等式ln x k e x x x +<对1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立，即ln x k e x x <-对1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立 .令()ln x h x e x x =-，则()'ln 1x h x e x =--， 令()ln 1x rx e x =--，则()1'x r x e x=-， 因为()'r x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，121'202r e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()'110r e =->，且()'r x 的图象在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上不间断， 所以存在01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()0'0r x =，即0010x e x -=，则00ln x x =-，所以当01,2x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()r x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()r x 单调递增.则()rx 取到最小值()000000011ln 112110x r x e x x x x x =--=+-≥⋅-=>， 所以()'0h x >，即()h x 在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，所以11221111ln ln 2 1.995252222k h e e ⎛⎫≤=-=+= ⎪⎝⎭，所以存在实数k 满足题意，且最大整数k 的值为1 .。
2017-2018学年江苏省常熟中学高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2017-2018学年江苏省常熟中学高二下学期期中考试数学(理)试题一、填空题1．已知，则__________.【答案】7【解析】分析：根据,可得，从而可得结果.详解：因为，所以,可得，故答案为.点睛：本题主要考查的应用，意在考查对基本公式掌握的熟练程度.2．随机变量的分布列为，1，2，3，4，则__________ .【答案】【解析】分析：根据所给的离散型随机变量的分布列,可以写出变量等于和时的概率,结合互斥事件的概率公式可得结果.详解：，，，故答案为.点睛：本题主要考查分布列的性质以及互斥事件的概率公式，属于简单题.3．为虚数单位，复数的共轭．．复数对应的点位于第__________象限 .【答案】四【解析】分析：先利用复数的运算法则化简，由共轭复数的定义求出共轭复数，利用复数的几何意义即可得结果.详解：因为，所以数的共轭复数，对应坐标为，复数的共轭复数对应的点位于第四象限，故答案为四.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.4．已知函数，若函数在点处切线与直线平行，则__________ .【答案】【解析】分析：求出导函数，可得切线斜率，利用切线斜率等于列方程求解即可.详解：因为函数，所以可得函数，由函数在点处切线与直线平行，可得，解得，故答案为.点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率，属于简单题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点解方程即可.5．若，则__________ .【答案】2或3【解析】分析：由可得或,从而可得结果.详解：由组合数公式的性质可得或，解得或，故答案为或.点睛：本题主要考查组合数公式的应用，意在考查分类讨论的数学思想以及灵活运用基本公式的能力.6．6x⎛⎝ 的二项展开式中的常数项为______.【答案】15【解析】试题分析：展开式的通项公式为()362161rrrr T C x-+=-，令36042r r -=∴=，常数项为()446115C -=【考点】二项式定理7．甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为__________ . 【答案】0.65【解析】分析：根据互相独立事件的概率乘法公式，求得甲乙都没有击中敌机的概率，然后利用对立事件的概率公式求解即可.详解：根据独立事件与独立事件的概率公式可得， 甲乙都没有击中敌机的概率为，由对立事件的概率公式可得， 敌机被击中的概率为，故答案为. 点睛：本题主要考查对立事件及独立事件的概率公式，属于中档题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.8．将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有一个空盒的方法共有 种（用数字作答）． 【答案】144【解析】试题分析：由题意得：11224342()144.C C C A ⋅⋅= 【考点】排列组合 9．用数学归纳法证明“”时，由时等式成立推证时，左边应增加的项为__________ .【答案】【解析】分析：时，左端为，时，左端为，相减即可得结果.详解： 因为假设时，命题成立，左端为； 当时，左端为，两式相减可得，从“”需增添的项是，故答案为.点睛：项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.10．若，则__________ .【答案】-1【解析】分析：在所给的等式中，令，可得；令可得，，从而求得的值.详解：在中，令可得，，即，在中，令可得，，即，而，故答案为.点睛：本题主要考查二项展开式定理的应用及灵活变形求值，特别是解决二项式的系数和的问题时，常采取赋值法，属于中档题.11．在平面内，以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比为1:4.类比该命题，在空间中，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原四面体的体积之比为__________ .【答案】1:27【解析】由题意，以正三角形的三边的中点为顶点的三角形与原正三角形的边长比为，其面积比为边长比的平方，即为，以此类比，又正三角形中心点是对应高的三等分点，则易知，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原正四面体的边长比为，因此其体积比为.12．观察下列等式：＋＝；＋＋＋＝；＋＋＋＋＋＝；则当且时，＋＋＋＋＋＋＝________(最后结果用表示)．【答案】【解析】试题分析：观察可知：＋＋＋=（＋）＋（＋）=（＋）＋（＋），有项，＋＋＋＋＋＝（＋）＋（＋）＋（＋）＝（＋）＋（＋）＋（＋），有项，因此＋＋＋＋＋＋共有项，利用倒序求和：＋＋＋＋＋+【考点】归纳猜想13．袋中混装着9个大小相同的球（编号不同），其中5只白球，4只红球，为了把红球与白球区分开来，采取逐只抽取检查，若恰好经过5次抽取检查，正好把所有白球和红球区分出来了，则这样的抽取方式共有__________种（用数字作答） .【答案】600【解析】分析：分种情况讨论:①前次取出的全部为白球；②前次取出个红球、个白球，第次取出红球，分别求出每种情况下的取法数目，再利用分类计数原理可得结果.详解：根据题意，恰好经过次抽取检查，正好把所有白球和红球区分开来，则一共有种请况：①前次取出的全部为白球，需要将个白球全排列，安排在前次取出，有种情况.②前次取出个红球、个白球，第次取出红球，，需要在个红球中取出个，只白球中取出个，安排在前次取出，第次取出第只红球，有种情况，共有种不同的抽取方式，故答案为.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.14．已知函数()22,0{ 3,02xlnx x x f x x x x ->=+≤的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是__________．【答案】1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】试题分析：∵函数()22,0{ 3,02xlnx x x f x x x x ->=+≤的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=-1的对称点在y=kx-1的图象上，而函数y=kx-1关于直线y=-1的对称图象为y=-kx-1，∴()22,0{ 3,02xlnx x x f x x x x ->=+≤的图象与y=-kx-1的图象有且只有四个不同的交点，作函数()22,0{ 3,02xlnx x x f x x x x ->=+≤的图象与y=-kx-1的图象如下，易知直线y=-kx-1恒过点A （0，-1），设直线AC 与y=xlnx-2x 相切于点C （x ，xlnx-2x ），y′=lnx -1， 故ln 21ln 1x x x x x -+-=，解得，x=1；故k AC =-1；设直线AB 与232y x x =+相切于点B 23,2x x x ⎛⎫+⎪⎝⎭， y′=2x+32，故2313222x x x x+++=，解得，x=-1；故31222AB k =-+=-；故-1＜-k ＜-12，故12＜k ＜1； 【考点】函数的性质的判断与应用二、解答题15．已知是复数，，均为实数（为虚数单位），且复数在复平面上对应的点在第一象限. （1）求复数；（2）求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用复数的运算法则化简，由复数为实数的充要条件可得出，从而可得结果；（2）利用复数的运算法则可得，由几何意义列不等式可得结果.详解：（1）设（，）， ∴，由题意得，∴，由题意得， ∴，（2）∵，根据条件得，解得，∴实数的取值范围为.点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算以及复数的几何意义，属于中档题．解题时一定要注意和以及运算的准确性，否则很容易出现错误.16．5名师生站成一排照相留念，其中教师1人，男生2人，女生2人.（1）求两名女生相邻而站的概率；（2）求教师不站中间且女生不站两端的概率.【答案】（1）.（2）.【解析】分析：（1）两名女生站在一起有种站法，视为一个元素与其余个全排，有种排法，共有不同站法种，根据古典概型概率公式可得结果（2）教师站两侧之一，另一侧由男生站，有种站法；两侧全由男生站，教师站除两侧和正中外的另外个位置之一，有种站法，共有种不同站法，利用古典概型概率公式可得结果.详解：5名师生站成一排照相留念共有种站法，（1）记“两名女生相邻而站”为事件，两名女生站在一起有种站法，视为一个元素与其余3个全排，有种排法，所以事件有不同站法种，则，答：两名女生相邻而站的概率为.（2）记“教师不站中间且女生不站两端”为事件，事件分两类：①教师站两侧之一，另一侧由男生站，有种站法；②两侧全由男生站，教师站除两侧和正中外的另外2个位置之一，有种站法，所以，事件有种不同站法，则.答：教师不站中间且女生不站两端的概率为.点睛：本题主要考查元素有限制的排列问题，以及古典概型概率公式的应用，常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.17．已知（其中，）的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列.（1）求的值；（2）写出它展开式中的所有有理项.【答案】（1）. （2），，.【解析】分析：（1）利用二项式展开式的通项公式求出各项的二项式系数，利用等差数列的定义列出方程可得结果；（2）先求得展开式的通项公式，在通项公式中令的幂指数为有理数，求得的值，即可求得展开式中有理项.详解：（1）因为（其中，）的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数分别为，，.依题意得.可化为，化简得，解得或，∵，∴.（2）展开式的通项，所以展开式中的有理项当且仅当是6的倍数，又，，∴或或，∴展开式中的有理项共3项是，，.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.. 18．射击测试有两种方案，方案1：先在甲靶射击一次，以后都在乙靶射击；方案2：始终在乙靶射击，某射手命中甲靶的概率为，命中一次得3分；命中乙靶的概率为，命中一次得2分，若没有命中则得0分，用随机变量表示该射手一次测试累计得分，如果的值不低于3分就认为通过测试，立即停止射击；否则继续射击，但一次测试最多打靶3次，每次射击的结果相互独立。
2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z1=（m2﹣2m+3）+（m2﹣m+2）i（m∈R），z2=6+8i，则m=3是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除3．定积分（x2+sinx）dx的值为（）A． +B．﹣C．﹣D． +4．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z的共轭复数是（）A． i B．﹣ i C．3i D．﹣3i5．求曲线y2=4x与直线y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（）A．B．πC．πD．24π6．若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．37．已知=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．﹣f′（x）8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．十六进制01234567十进制01234567十六进制89A B C D E F十进制89101112131415例如，用十六进制表示E+D=1B，则A×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C09．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i17）﹣= ．14．在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC 上的高为h，则．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．19．设数列{an }的前n项和为Sn，且关于x的方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1．（1）求出S1，S2，S3；（2）猜想{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．20．设铁路AB长为100，BC⊥AB，且BC=30，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x 的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z1=（m2﹣2m+3）+（m2﹣m+2）i（m∈R），z2=6+8i，则m=3是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m，即可判断出结论．【解答】解：由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m=3．∴m=3是z1=z2的充要条件．故选：C．2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除．【解答】解：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除，故选 B．3．定积分（x2+sinx）dx的值为（）A． +B．﹣C．﹣D． +【考点】67：定积分．【分析】根据定积分的运算，即可求得答案．【解答】解：（x2+sinx）dx=（x3﹣cosx）=（﹣）﹣（0﹣1）=+，（x2+sinx）dx=+，故选B．4．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z的共轭复数是（）A． i B．﹣ i C．3i D．﹣3i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简z=，结合已知条件列出方程组，求解可得a的值，然后代入z=化简求出复数z，则复数z的共轭复数可求．【解答】解：∵z===是纯虚数，∴，解得a=6．∴z==．则复数z的共轭复数是：﹣3i．故选：D．5．求曲线y2=4x与直线y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（）A．B．πC．πD．24π【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用定积分求体积．【解答】解：解方程组得x=4，y=4．∴几何体的体积V=π（4x﹣x2）dx=π•（2x2﹣）|=．故选B．6．若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．3【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由|z+3+i|=的几何意义，即复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为画出图形，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+i|=的几何意义，复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为，可作图象如图：∴|z|的最大值为|OP|+=．故选：B．7．已知=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．﹣f′（x）【考点】6F：极限及其运算．【分析】化简，根据极限的运算，即可求得答案．【解答】解：==+=2f′（x），∴=2f′（x），故选C．8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．十六进制01234567十进制01234567十六进制89A B C D E F十进制89101112131415例如，用十六进制表示E+D=1B，则A×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C0【考点】EM：进位制．【分析】本题需先根据十进制求出A与C的乘积，再把结果转化成十六进制即可．【解答】解：∵A×C=10×12=120，∴根据16进制120可表示为78．故选：B．9．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣【考点】RG：数学归纳法．【分析】只须求出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．【解答】解：当n=k时，左边的代数式为，当n=k+1时，左边的代数式为，故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：，故选：D．10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]【考点】63：导数的运算．【分析】求导，当x=1时，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），即可求得θ+∈（﹣，），根据正弦函数的性质，即可求得导数f′（1）的取值范围．【解答】解：f（x）=x3+x2+，f′（x）=x2+x，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），则θ+∈（﹣，），则sin（θ+）∈（﹣，1]，∴导数f′（1）的取值范围（﹣，1]，故选A．11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】设g（x）=，根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）=，∵当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，∴当x＞0时，g′（x）＞0∴g（x）在（0，+∞）递增，∵f（﹣x）=f（x），∴g（﹣x）==﹣g（x），∴g（x）是奇函数，∴g（x）在（﹣∞，0）递增，∵f（2）=0∴g（2）==0，当x＞0时，f（x）＜0等价于＜0，∴g（x）＜0=g（2），∴0＜x＜2，当x＜0时，f（x）＜0等价于＞0，∴g（x）＞0=g（﹣2），∴﹣2＜x＜0，不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（0，2），故选：C．12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由f′（x）＜0求出f（x）的减区间，利用对称性求得f（﹣x）的增区间，再由平移变换可得函数f（1﹣x）的单调递增区间．【解答】解：由f′（x）=x2﹣3x﹣10＜0，得﹣2＜x＜5，∴函数f（x）的减区间为（﹣2，5），则函数y=f（﹣x）的增区间为（﹣5，2），而f（1﹣x）=f[﹣（x﹣1）]是把函数y=f（﹣x）向右平移1个单位得到的，∴函数f（1﹣x）的单调递增区间是（﹣4，3）．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i17）﹣= 4+2i ．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的运算法则分别计算即可．【解答】解：原式=+（3+i）﹣=+3+i﹣i10=i+3+i+1=4+2i；故答案为：4+2i．14．在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC 上的高为h，则+．【考点】F3：类比推理．【分析】立体几何中的类比推理主要是基本元素之间的类比：平面⇔空间，点⇔点或直线，直线⇔直线或平面，平面图形⇔平面图形或立体图形，故本题由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可．【解答】解：∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC．设PD在平面PBC内部，且PD⊥BC，由已知有：PD=，h=PO=，∴，即．故答案为：．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为4x+y﹣4=0 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，再把已知点代入，求出切点横坐标，则切线方程可求．【解答】解：设切点为（），由y=，得y′=，∴，则切线方程为y﹣，把点（1，0）代入，可得，解得．∴切线方程为y﹣2=﹣4（x﹣），即4x+y﹣4=0．故答案为：4x+y﹣4=0．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】题目中给出了函数图象与x轴围成的封闭图形的面积，所以我们可以从定积分着手，求出函数以及函数与x轴的交点，建立等式求解参数．【解答】解：由已知对方程求导，得：f′（x）=3x2+2ax+b．由题意直线y=0在原点处与函数图象相切，故f′（0）=0，代入方程可得b=0．故方程可以继续化简为：f（x）=x3+ax2=x2（x+a），令f（x）=0，可得x=0或者x=﹣a，可以得到图象与x轴交点为（0，0），（﹣a，0），由图得知a＜0．故对﹣f（x）从0到﹣a求定积分即为所求面积，即：﹣a f（x）dx=3，﹣∫将 f（x）=x3+ax2代入得：﹣a（﹣x3﹣ax2）dx=3，∫求解，得a=﹣．故答案为：﹣．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】复数z+i，均为实数，可设z=x﹣i， =﹣i，可得﹣=0，z=﹣2﹣i．在复平面内，（z+ai）2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，可得4﹣（a﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解出即可得出．【解答】解：∵复数z+i，均为实数，设z=x﹣i， ==﹣i，∴﹣ =0，∴x=﹣2．∴z=﹣2﹣i．∵在复平面内，（z+ai）2=[﹣2+（a﹣1）i]2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，∴4﹣（a﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解得：1＜a＜3．∴实数a的取值范围是（1，3）．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出f′（x）=x2﹣（3a+2）x+6a，由函数f（x）在x=1处取得极值﹣，列出方程组，能求出a，b．（2）由f′（x）=x2﹣3x+2，利用导数性质能求出函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）∵f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R，∴f′（x）=x2﹣（3a+2）x+6a，∵函数f（x）在x=1处取得极值﹣，∴，解得a=，b=﹣1．（2）由（1）得f（x）=﹣+2x﹣1，∴f′（x）=x2﹣3x+2，由f′（x）=x2﹣3x+2＞0，得x＞2或x＜1，∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1]，[2，+∞）．19．设数列{an }的前n项和为Sn，且关于x的方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1．（1）求出S1，S2，S3；（2）猜想{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．【考点】RG：数学归纳法；8E：数列的求和．【分析】（1）由题设求出S1=，S2=．S3=．（2）由此猜想Sn=，n=1，2，3，…．然后用数学归纳法证明这个结论．【解答】解：（1）当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为S1﹣1=a1﹣1，于是（a1﹣1）2﹣a1（a1﹣1）﹣a1=0，解得a1=．当n=2时，x2﹣a2x﹣a2=0有一根为S2﹣1=a2﹣，于是（a2﹣）2﹣a2（a2﹣）﹣a2=0，解得a2=由题设（Sn ﹣1）2﹣an（Sn﹣1）﹣an=0，Sn 2﹣2Sn+1﹣anSn=0．当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1，代入上式得Sn﹣1Sn﹣2Sn+1=0．①得S1=a1=，S2=a1+a2=+=．由①可得S3=．（2）由（1）猜想Sn=，n=1，2，3，…．下面用数学归纳法证明这个结论．（i）n=1时已知结论成立．（ii）假设n=k时结论成立，即Sk=，当n=k+1时，由①得Sk+1=，可得Sk+1=，故n=k+1时结论也成立．综上，由（i）、（ii）可知Sn=对所有正整数n都成立．20．设铁路AB长为100，BC⊥AB，且BC=30，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x 的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由题意，AB=100，BC⊥AB，BC=30，BM=x，则AM=100﹣x．MC=，可得总运费y表示为x的函数；（2）根据（1）中的关系式，利用导函数单调性，可得最值．【解答】解：（1）由题意，AB=100，BC⊥AB，BC=30，BM=x，则AM=100﹣x．MC=，∴总运费y=2×+4×MC=200﹣2x+4，．（2）由（1）可得y=200﹣2x+4，．则y′=﹣2+4××令y′=0．可得：2=4x，解得：x=10．当时，y′＜0，则y在当单调递减．当时，y′＞0，则y在单调递增．∴当x=10时，y取得最大值为200+60．∴选点M距离B点时才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．【考点】8G：等比数列的性质．【分析】y，z为正数，可得≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．根据a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0．可得2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，可得2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2⇔（m﹣n）2≥0，【解答】证明：∵y，z为正数，∴≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．∵a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0，∴2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，则2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2．⇔（m﹣n）2≥0，上式显然成立，因此：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由题意求得a=1，得到函数解析式，构造函数g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．利用导数可得函数在[1，+∞）上为增函数，可得g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，求其导函数，结合（1）放缩可得h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．然后对m分类讨论求解．【解答】（1）证明：由f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1），得f′（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）=2axlnx+ax ﹣1．∵曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0，∴a﹣1=0，得a=1．则f（x）=x2lnx﹣x+1．设g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．g′（x）=2xlnx﹣x+1，g″（x）=2lnx+1＞0，∴g′（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g′（x）≥g′（1）=0，则g（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）解：设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，h′（x）=2xlnx+x﹣2m（x﹣1）﹣1，由（1）知，x2lnx≥（x﹣1）2+x﹣1=x（x﹣1），∴xlnx≥x﹣1，则h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．①当3﹣2m≥0，即m时，h′（x）≥0，h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（1）=0成立；②当3﹣2m＜0，即m＞时，h′（x）=2xlnx+（1﹣2m）（x﹣1），h″（x）=2lnx+3﹣2m．令h″（x）=0，得＞1，∴当x∈[1，x）时，h′（x）＜h′（1）=0，）上单调递减，则h（x）＜h（1）=0，不合题意．∴h（x）在[1，x综上，m．。
2017-2018学年(下)高二年段期中考理科数学试题含答案
（下）高二年段期中考试题理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分.考试时间120分钟.选择题的答案一律写在答题卷上，凡写在试卷上的无效；解答题请写出完整步骤。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中有且只有一个选项是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1． 《新课程标准》规定,那些希望在理学、工科等方面发展的学生,除了修完数学必修内容和选修系列二的全部内容外,基本要求是还要在系列四的4个专题中选修2个专题,则每位同学的不同选课方案有( )种A.4B.6C.8D.12 2.函数2sin y x x =的导数为（ ）A ．22sin cos y x x x x '=+B ．22sin cos y x x x x '=-C ．2sin 2cos y x x x x '=+D ．2sin 2cos y x x x x '=- 3．下列积分值为2的是( )A.12xdx ⎰ B . 1xe dx ⎰ C . 11edx x⎰D .sin xdx π⎰4，则a 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 5. 设函数()x f x xe =,则（ ）A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点6．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为3181233y x x =-+-，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件 7. 在一个盒子中有大小一样的20个球，其中10个红球，10个白球，则在第一个人摸出1个红球的条件下，第二个人摸出1个白球的概率为（ ）(A) 1019 (B) 519 (C) 12 (D) 19208.若n xx )2(-展开式中二项式系数之和为64，则展开式中常数项为 （ ）A ．20B ．－160C ．160D ．—2709． 位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向左或向右，并且向左、向右移动的概率都是12，质点P 移动6次后回到原点的概率是（ ）A ．612⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．63612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．33612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．6336612C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭10. 84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是 （ ）A ．56B ．84C ．112D ．16811. 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体。
江苏盐城中学高二数学(理)2017—2018学年度第二学期期中考试试卷
江苏盐城中学高二数学(理）2017—2018学年度第二学期期中考试试卷试卷说明：本场考试时间120分钟，总分160分。
一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分） 1.已知复数34z i =+（i 为虚数单位），则||z = ▲ ．2.某学校高三有1800名学生，高二有1500名学生，高一有1200名学生，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则应在高一抽取 ▲ 人．3.某学校有两个食堂，甲、乙两名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为 ▲ ．4.抛物线28y x =的准线方程为 ▲ ．5.若631818-=x x C C ，则=x ▲ ． 6.根据如图所示的伪代码，可知输出的S 的值为 ▲ ．7.在四面体O ABC -中，===,,，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则= ▲ ． （用,,a b c 表示）8.若曲线321:612C y ax x x =-+与曲线2:2x C y e =在1x =处的两条切线互相垂直，则实数a 的值为 ▲ ．9.已知命题:[1,0],x p x a e ∃∈-≤，命题2:,0q x R x x a ∀∈++>，若命题p 且q 是真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ．10.已知1()2(1)f x xf x'=+，则(2)f '= ▲ ． 11.若423401234(3x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为 ▲ ． 12.有7个座位连成一排，现有4人就坐，则恰有2个空座位相邻的不同坐法有 ▲ 种.（用数字作答）13.已知F 是椭圆221:19x C y +=与双曲线2C 的一个公共焦点,,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点.若0,⋅=AF BF 则2C 的离心率为 ▲ ．14.若函数32()4(3)1f x x mx m x =--+-+是R 上的单调减函数，已知()()nx m x x g 26ln --+=，第6题1()=+h x n x,且()()0≤g x h x 在定义域内恒成立，则实数n 的取值范围为 ▲ . 二、解答题（本大题共6小题，计90分. ）15.（本题满分14分）假定某射手每次射击命中目标的概率为23，且只有3发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为X ，求： （Ⅰ）2=X 的概率；（Ⅱ）数学期望()X E .16.（本题满分14分）在如图所示的坐标系中，长方体1111ABCD A B C D -，已知2AB =，11AA =，直线BD 与平面11AA B B 所成的角为30，AE 垂直BD 于点E ，F 是11A B 的中点． （Ⅰ）求异面直线AE 与BF 所成角的余弦值； （Ⅱ）求直线1AA 与平面BDF 所成角的正弦值.17.（本题满分14分）随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高，由于工作繁忙无法抽出时间来享受美味，这样网上外卖订餐应运而生.若某商家的一款外卖便当每月的销售量y （单位：千盒）与销售价格x （单位：元/盒）满足关系式,)16(4122-+-=x x ay 其中1612<<x ,a 为常数，已知销售价格为14元/盒时,每月可售出21千盒.（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）假设该款便当的食物材料、员工工资、外卖配送费等所有成本折合为每盒12元（只考虑销售出的便当盒数），试确定销售价格x 的值，使该店每月销售便当所获得的利润最大.（结果保留一位小数）18.（满分16分）已知数列{}n a 是等差数列，且123,,a a a 是1(1)2mx +展开式的前三项的系数. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）求1(1)2mx +展开式的中间项； （Ⅲ）当2n ≥时，用数学归纳法证明：212111113n n n n a a a a ++++++>.19.（满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 长轴长32，短轴长22．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)记椭圆的左右顶点B A ,，分别过B A ,作x 轴的垂线交直线3=y 于点C D ,，P 为椭圆上位于x 轴上方的动点，直线AP ，BP 分别交直线CD 于点E ，F ．(i)当直线AP 的斜率为220.（本题满分16分）已知函数()2ln )4(ln 22+++-+=m x m x m x x f . （Ⅰ）当4=m 时，求函数()x f 在区间[]4,1上的值域； （Ⅱ）当0>m 时，试讨论函数()x f 的单调性；（Ⅲ）若对任意()2,1∈m ，存在(]4,3∈x ，使得不等式()())14(ln 22-+->m m m a x f 成立，求实数a 的取值范围.参考答案（第19题图）1、52、403、12 4、2x =- 5、3或6 6、21 7、111244a b c ++ 8、1 6e- 9、1(,1]410、7411、16 12、480 13、14、12n e≥或2n e =- 15.解：（1）92（2）91316、解：在长方体1111ABCD A B C D -中，以AB所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，以1AA 所在的直线为z 轴，建立如图 所示空间直角坐标系．由已知2AB =，11AA =，可得(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(1,0,1)F ．又AD ⊥平面11AA B B ，从而BD 与平面11AA B B 所成的角为30DBA ∠=，而2AB =，AE BD⊥，1AE =，AD =1(2E ，D ．(4分) （1）因为1(,,0)22AE =，(1,0,1)BF =-，所以12cos ,42AE BF AE BF AE BF-⋅<>===-⋅． 于是，异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为4． （2）易知直线1AA 的一个方向向量为(0,0,1)m =，设(,,)n x y z =是平面BDF 的一个法向量，(BD =-，由n BF n BD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩00n BF n BD ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩0203x z x y -+=⎧⎪⇒⎨-=⎪⎩x z y =⎧⎪⇒= 取1x =，得(1,3,1)n =，所以5cos ,5m nm n m n⋅<>==⋅，即直线1AA 与平面BDF 所成角的正弦值17.解：（1）因为14=x 时，21y =， 代入关系式()216412-+-=x x m y ，得16212m +=， 解得10m =.（2）由（1）可知，套题每日的销售量()21641210-+-=x x y ， 所以每日销售套题所获得的利润()()()()22)16(12410164121012--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=x x x x x x f从而)403)(16(4)('--=x x x f . 令()'0f x =，得340=x , 且在)340,12(上,0)('>x f ，函数)(x f 单调递增；在⎪⎭⎫⎝⎛16,340上，0)('<x f ，函数)(x f 单调递减， 所以340=x 是函数)(x f 在()16,12内的极大值点，也是最大值点， 所以当3.13340≈=x 时，函数)(x f 取得最大值. 故当销售价格为3.13元/盒时，餐厅每日销售所获得的利润最大.18.解：（1）122111(1)1()()222m m m x C x C x +=+++依题意11a =，212a m =，3(1)8m m a -=，由2132a a a =+可得1m =（舍去），或8m = （2）所以1(1)2m x +展开式的中间项是第五项为：44458135()28T C x x ==； （3）证明：①3n =时，结论成立，②设当n k =时，212111113k k k k a a a a ++++++>， 则1n k =+时，2(1)(1)1(1)2(1)1111k k k k a a a a ++++++++++21)(1)1(1)211111()k k k k k a a a a a +++++=+++++22212(1)1111()kk k k a a a a +++++++-22212(1)11111()3kk k k a a a a +++>++++-21(21)133(1)232k k k +>+-+-- 221(21)(32)[3(1)2]3[3(1)2][32]k k k k k +--+-=++--2213733[3(1)2][32]k k k k --=++-- 由3k ≥可知，23730k k -->即2(1)(1)1(1)2(1)111113k k k k a a a a ++++++++++> 综合①②可得，当2n ≥时，212111113n n n n a a a a ++++++> 19.解：（1）椭圆的方程为22132x y +=．（2）由（1）知(A ，B ，设),(00y xp ，则2200236x y +=，直线AP 的方程为y x =+，令y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-3,333000y y x E ， 直线BP的方程为y x =，令y =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+3,333000y y x F ， （i ）当直线AQ 的斜率为2时，有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+63223202000y x x y ，消去0y 并整理得，0153127020=++x x ，解得7350-=x 或3-（舍）， 所以AMN △的面积0000003333332323y y x y y x EF S AEF -+-+-==∆4932923=⨯=．（ii ）00000333333y x y y x DE +=++-=,00000333333y x y y x CF -=--+=， 所以2933330000=-⋅+=⋅y x y x CF DE ． 所以对任意的动点P ，CF DE +的最小值为23． 20.解：（1）当4=a 时，函数())0(22ln 28ln 82>++-+=x x x x x f ，所以(),0)2(28822'≥-=-+=xx x x x f 所以函数()x f 单调递增，故函数()x f 在区间[]4,1上的最小值为(),52ln 21-=f 最大值为()142ln 184-=f ，所以区间[]4,1上的值域为[]142ln 18,52ln 2--（2）xa x x a x a x x f )2)(2()4(22)('--=+-+= 令,0)('=x f 得2,221ax x == 当4>a 时，22>a ，由0)('>x f 得2a x >或20<<x ，由0)('<x f 得22ax <<，所以在区间()2,0和⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,2a 上，函数()x f 单调递增，在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,2a 上，函数()x f 单调递减. 当4=a 时，0)('≥x f ，所以函数()x f 单调递增. 当40<<a 时，22<a，由0)('>x f 得2>x 或20a x <<，由0)('<x f 得22<<x a ，所以在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0a 和()+∞,2上，函数()x f 单调递增，在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,2a 上，函数()x f 单调递减. （3）由（2）知，当()2,1∈a 时，函数()x f 在(]4,3上单调递增，故当(]4,3∈x 时，()()4max f x f =，因为对任意()2,1∈a ，存在(]4,30∈x ，使得不等式()())14(ln 220-+->a a a m x f 成立，（4）所以)14(ln 2)(2ln )4(44ln 2162-+->+++-+a aa m a a a ，（5）得02)2(ln 2>++-+a m ma a ，对任意()2,1∈a 恒成立记()2)2(ln 2++-+=x m mx x x h ，则xmx x m mx x x h )1)(12()2(21)('--=+-+=当()2,1∈x 时，012>-x 若,1≥m 则,01>-mx 从而0)('>x h ，所以函数()x h 在()2,1∈x 上单调递增，所以当()2,1∈x 时，()(),01=>h x h 符合题意若10<<m ，则存在()2,10∈x ，使得010=-mx ，则()x h 在()0,1x 上单调递减，在)2,(0x 上单调递增，从而当()2,10∈x 时，()()()010min =<=h x h x h ，说明当()2,10∈x 时，()0>x h 不恒成立，不符合题意若0≤m ，则)(,0)('x h x h <在()2,1上单调递减，所以当()2,10∈x 时，()()01=<h x h ，不符和题意。
优质金卷：江苏省常熟中学2017-2018学年高二下学期期中考试文数试题(考试版)
绝密★启用前江苏省常熟中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学（文）试题考试范围：集合、函数与导数、复数、三角函数与解三角形、不等式；考试时间：120分钟； 【名师解读】本卷难度中等，全卷梯度设置合理．命题内容符合考试说明命题要求，全卷覆盖面广，涵盖了高中数学集合、函数与导数、复数、三角函数与解三角形、不等式等内容，无偏难怪出现，命题所占比例基本符合教章所占比例，重点内容重点考查.全卷突出基础知识、基本运算能力及推理论证能力的考查，选题贴近高考.一、填空题1．已知集合，，若，则实数的值为__________. 2．设函数，则__________ .3．复数的虚部等于__________ .4．已知幂函数过点，则__________ . 5．若且，则__________ .6．函数()ln xf x x=的单调递增区间是 ． 7．设的内角，，所对边的长分别为，，.若且，则角__________ .8．设，，则__________.（用含，的式子表示）9．已知定义在上的奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为__________ .10．已知，则的值为__________ .11．在平面内，以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比为1:4.类比该命题，在空间中，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原四面体的体积之比为__________ . 12．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，则__________.13．已知的图像过点，为函数的导函数，若当时恒有，则不等式的解集为__________.14．设钝角的内角为，，，且，若，则的取值范围是__________ .二、解答题15．已知函数.（1）求函数的对称轴方程；（2）若，，求的值.16．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()cos cos cos 0C A A B +=．（1）求角B 的大小；（2）若1a c +=，求b 的取值范围.17．设复数，且，.（1）求复数的模；（2）求复数实部的取值范围；（3）设，求证：为纯虚数.18．如图，某小区内有两条互相垂直的道路与，平面直角坐标系的第一象限有一块空地，其边界是函数的图象，前一段曲线是函数图象的一部分，后一段是一条线段.测得到的距离为8米，到的距离为16米，长为20米.（1）求函数的解析式；（2）现要在此地建一个社区活动中心，平面图为梯形（其中，为两底边），问：梯形的高为多少米时，该社区活动中心的占地面积最大，并求出最大面积.19．已知函数，且定义域为.（1）求关于的方程在上的解；（2）若在区间上单调减函数，求实数的取值范围；（3）若关于的方程在上有两个不同的实根，求实数的取值范围.20．设函数，.（1）当时，函数，在处的切线互相垂直，求的值；（2）当函数在定义域内不单调时，求证：；（3）是否存在实数，使得对任意，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出最大整数的值；若不存在，请说理由.（参考数据：，）。
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江苏省常熟中学2017-2018学年高二数学(理)下学期期中考试试卷第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知111110985mA =⨯⨯⨯⨯ ，则m = .2.随机变量X 的分布列为()10kP X k ==，k =1，2，3，4，则()3P X <= . 3.i 为虚数单位，复数21i-的共轭．．复数对应的点位于第 象限 . 4.已知函数()ln f x x x =+，若函数()f x 在点()()00,P x f x 处切线与直线310x y -+=平行，则0x = .5.若12199x x C C +-=，则x = . 6.6x⎛- ⎝的展开式中的常数项为 .7.甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为 .8.四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法有 种（用数字作答） .9.用数学归纳法证明“()()()12321121n n n +++++=++ ”时，由()*1,n k k k N =≥∈时等式成立推证1n k =+时，左边应增加的项为 . 10.若()()201622016012201612x a a x a x a x x R -=++++∈ ，则20161222016222a a a +++= . 11.在平面内，以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比为1:4.类比该命题，在空间中，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原四面体的体积之比为 . 12.观察下列等式：12133+=； 781011123333+++=；16171920222339333333+++++=； ……则当m n <且,m n N ∈时，313234353231333333m m m m n n ++++--++++++= （最后结果用m ，n 表示） .13.袋中混装着9个大小相同的球（编号不同），其中5只白球，4只红球，为了把红球与白球区分开来，采取逐只抽取检查，若恰好经过5次抽取检查，正好把所有白球和红球区分出来了，则这样的抽取方式共有 种（用数字作答） .14.已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是 . 第Ⅱ卷（共90分）二、解答题：本大题共6小题，共90分. 15.已知z 是复数，2z i +，2z i-均为实数（i 为虚数单位），且复数()2z ai +在复平面上对应的点在第一象限.（1）求复数z ；（2）求实数a 的取值范围.16. 5名师生站成一排照相留念，其中教师1人，男生2人，女生2人. （1）求两名女生相邻而站的概率；（2）求教师不站中间且女生不站两端的概率.17. 已知n（其中15n<，*n N∈）的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列.（1）求n的值；（2）写出它展开式中的所有有理项.18.射击测试有两种方案.方案一：先在甲靶射击一次，以后都在乙靶射击；方案二：始终在乙靶射击.某射手命中甲靶的概率为23，命中一次得3分；命中乙靶的概率为34，命中一次得2分.若没有命中则得0分.用随机变量ξ表示该射手一次测试累次得分，如果ξ的值不低于3分就认为通过测试，立即停止射击．．．．．．；否则继续射击，但一次测试最多．．打靶3次，每次射击的结果相互独立.（1）如果该射手选择方案一，求其测试结束后所得总分ξ的分布列和数学期望Eξ；（2）该射手选择哪种方案通过测试的可能性大？请说明理由.19. 已知()()1nn f x x =+，*n N ∈. （1）若3()()g x f x =，求'(0)g 的值；（2）若23102310012310()()()()h x f x f x f x a a x a x a x a x =+++=+++++ ，求2a 的值； （3）若n P是)n f 展开式中所有无理项的二项式系数和，数列{}n c 是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明:()()()12121111n nn c c c Pc c c +++≤+ .20.设函数()ln f x x =，()()()01m x n g x m x +=>+. （1）当1m =时，函数()f x ，()g x 在1x =处的切线互相垂直，求n 的值； （2）当函数()()y f x g x =-在定义域内不单调时，求证：3m n ->；（3）是否存在实数k ，使得对任意的1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，都有函数()k y f x x =+的图象在()x e g x x =的图象的下方？若存在，请求出最大整数k 的值；若不存在，请说理由.（参考数据：ln 20.6931=，121.6487e =）参考答案1. 72.3103. 四4. 125. 2或36. 157. 0.658. 1449. 45k + 10. -1 11. 1:27 12. 22n m -13. 600 14. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭二、解答题15.（1）设z x yi =+（x ，y R ∈），∴()22z i x y i +=++，由题意得2y =-， ∴()()()()21112222422555z x i x i i x x i i i -==-+=++---，由题意得4x =， ∴42z i =-， （2）∵()()()2212482z ai a a a i +=+-+-，根据条件得()21240820a a a ⎧+->⎪⎨->⎪⎩，解得26a <<，∴实数a 的取值范围为()2,6.16. 5名师生站成一排照相留念共有55120A =种站法，（1）记“两名女生相邻而站”为事件A ，两名女生站在一起有22A 种站法，视为一个元素与其余3个全排，有44A 种排法，所以事件A 有不同站法242448A A =种，则()4821205P A ==，答：两名女生相邻而站的概率为25. （2）记“教师不站中间且女生不站两端”为事件B ，事件B 分两类：①教师站两侧之一，另一侧由男生站，有11322324A A A =种站法；②两侧全由男生站，教师站除两侧和正中外的另外2个位置之一，有2122228A A A =种站法，所以，事件B 有种不同站法11321222322232A A A A A A +=，则()32412015P B ==. 答：教师不站中间且女生不站两端的概率为415. 17.（1）因为n+（其中15n <，*n N ∈）的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数分别为8n C ，9n C ，10n C .依题意得81092n n nC C C +=. 可化为()()()!!!=28!810!109!9n n n n n n +⋅---！！！，化简得2373220n n -+=，解得14n =或23n =，∵15n <，∴14n =. （2）展开式的通项1432114r r r r T C xx -+=， 所以展开式中的有理项当且仅当r 是6的倍数，又014r ≤≤，*r N ∈，∴0r =或6r =或12r =，∴展开式中的有理项共3项是077114T C x x ==，66714T C x =，1255131491T C x x ==.18.在甲靶射击命中记作A ，不中记作A ；在乙靶射击命中记作B ，不中记作B ，其中()23P A =，()21133P A =-=，()34P B =，()31144P B =-=.（1）ξ的所有可能取值为0,2,3,4.()()()()()1111034448P P ABB P A P B P B ξ====⨯⨯=，()()()()()()()()()131113123443448P P ABB P ABB P A P B P B P A P B P B ξ==+=+=⨯⨯+⨯⨯=()()233P P A ξ===，()()()()()1333434416P P ABB P A P B P B ξ====⨯⨯=. ξ的分布列为：1123023********E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）设射手选择方案一通过测试的概率为1P ，射手选择方案二通过测试的概率为2P .()12941334848P P ξ=≥=+=； ()()()()213331333273=4444444432P P P BBB P BBB P BB ξ=≥=++⨯⨯+⨯⨯+⨯=，因为12P P >，所以应该选择方案一通过测试的概率更大.19. （1）由题意()()31g x x =+，所以()()2'31g x x =+，所以()'03g =. （2）()()()()2310111h x x x x =++++++ ，所以2222223410a C C C C =++++ 322233341011165C C C C C =++++== .（3）因为(1rrr n T C +=，所以要得无理项，r 必为奇数，所以13512n n n n nP C C C -=+++= ， 要证明()()()12121111n nn c c c Pc c c +++≤+ ，只要证明()()()()1121211121n n n c c c c c c -+++≤+ ，用数学归纳法证明如下： （Ⅰ）当1n =时，左边=右边，当2n =时，()()()()()1212121121110c c c c c c ++-+=---<，∴1,2n =时，不等式成立. （Ⅱ）假设当n k =()*2,k k N ≥∈时，()()()()1121211121k k k c c c c c c -+++<+ 成立， 则1n k =+时，()()()()()()11211211111211k k k k k c c c c c c c c -++++++<++ （*） ∵()()()()()11121121121211212110k k k k k k k k k c c c c c c c c c c c c --+++++-+=---< ， ∴结合（*）得：()()()()()121121111121k k k k c c c c c c c c ++++++<+ 成立， ∴1n k =+时，不等式成立.综合（Ⅰ）（Ⅱ）可知()()()()1121211121n n n c c c c c c -+++≤+ 对一切*n N ∈均成立. ∴不等式()()()12121111n nn c c c Pc c c +++≤+ 成立 .20.（1）当1m =时，()()21'1ng x x -=+，则()y g x =在1x =处的斜率为()1'14ng -=， 又()y f x =在1x =处的斜率为()'11f =，则114n-=-，解得5n = . （2）函数()()()ln 1m x n y f x g x x x +=-=-+，则()()()()2221211'11m n x m mn x y x x x x -+-++=-=++ . ∵0x >，∴()210x x +>，令()()221p x x m mn x =+-++，要使函数在定义域内不单调，只需要()0p x =在()0,+∞有非重根， 由于()p x 开口向上，且()01p =只需要()2202240m mn m mn -+⎧->⎪⎨⎪∆=-+->⎩，得()14m n ->， 因为0m >，所以41n m->-，故4113m n m m ->+-≥=，当且仅当2m =时取等号，命题得证 . （3）假设存在实数k 满足题意，则不等式ln x k e x x x +<对1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立，即ln x k e x x <-对1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立 . 令()ln x h x e x x =-，则()'ln 1x h x e x =--， 令()ln 1x r x e x =--，则()1'x r x e x=-， 因为()'r x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，121'202r e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()'110r e =->，且()'r x 的图象在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上不间断，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0'0r x =，即0010x e x -=，则00ln x x =-， 所以当01,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()r x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()r x 单调递增. 则()r x 取到最小值()000001ln 1110x r x e x x x =--=+->>， 所以()'0h x >，即()h x 在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，所以11221111ln ln 2 1.995252222k h e e ⎛⎫≤=-=+= ⎪⎝⎭，所以存在实数k 满足题意，且最大整数k 的值为1 .。