最新9讲习题二(哈工大线性代数课件王宝玲版)课件PPT
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线性代数及应用PPT课件
上列各式出现的运算皆可行的前提是：矩阵的维数满 足运算要求。
证明矩阵乘法结合律：(AB)C=A(BC)=ABC 证：设
记
证明DC=AG。 因为 元为：
A的 i 行乘以B的 l 列
，
， 则DC的第i,j
得到DC的第i,j元等于AG的第i,j元。
证明 (AB)T =BTAT
证：
即
。
剩下的要证明它们的第i, j元都对应相等。设
通大学出版社
第一章 矩阵
§1.1 矩阵概念 1.1.1 矩阵概念 定义1 m × n元，排成m行n列的矩形阵列：
称作为：维是m × n的矩阵。 一般用黑体大写字母 A，B，C等表示。
简记为：
确定一个矩阵的两要素：
1．元：a ij 的值； 2．维：m，n的值。
矩阵的例： 问题：A的元和维是什么？
广矩阵进行一系列行初等变换，使得
R1R2 ••• R s [A |b]= [R1R2 ••• R s A | R1R2 ••• R s b ]=[ I n | Rb ]
(R= R1R2 ••• R s)。事实上R=A-1
可见只要将增广矩阵中A对应的那一块通过行初等变换化成 单位阵，对应b的那一块变成Rb= A-1 b，即
1.1.2 一些特殊矩阵 对于矩阵
本课程仅限于实矩阵。
n阶方阵：m=n时的矩阵，
a11 a12 a1n
A
a21 a22 a2n
或 An n
an1 an2 ann
列矩阵（列向量）：n=1，
行矩阵（行向量）：m=1，
数或标量：m=n=1。 向量的元称为分量，分量的个数称为向量的维。
例：
分别是3维列向量和4维行向量。
学习参考书目
理论力学哈工大件PPT学习教案
1
牛顿第一定律 任何物体都要保持匀速直线运动或静 止状态 ，直到 外力迫 使它改 变运动 状态为 止
牛顿第二定律 物体加速度的大小跟作用力成正比， 跟物体 的质量 成反比 ，且与 物体质 量的倒 数成正 比；加 速度的 方向跟 作用力 的方向 相同
牛顿第三定律 相互作用的两个物体之间的作用力和 反作用 力总是 大小相 等，方 向相反 ，作用 在同一 条直线 上。
约束特点 ： 轴在轴承 孔内， 轴为非 自由体 、 轴承孔为 约束．
约 束 力 ： 当不计摩擦时，轴与孔在接触处为光滑接触约束— — 法向约束力．约束 力作用 在接触 处，沿 径向指 向轴心．
第19页/共41页
当外界载荷不同时，接触点会变，则约束力的 大小与方向均有改变．
可用二个通过轴心的正交分力 Fx , F表y 示．
第40页/共41页
解： 绳子受力 图如图 （b） 所示
第38页/共41页
梯子左边 部分受 力图如 图（c） 所示
梯子右边 部分受 力图如 图（d）所示
第39页/共41页
整体受力 图如图 （e） 所示
提问：左 右两部 分梯子 在 处， 绳子对 左右两 部分梯 子均有 力作用 ，为什 么在整 体受力 图没有 画出？
A
理论力学
第1页/共41页
2
引言
静力学是研究物体在力系作用下平衡规律的科学。
力 系：是指作用在物体上的一群力。
平 衡：是指物体相对于惯性参考系（地面） 保持静止或作匀速直线运动的状态。
静力学主要研究：1、物体的受力分析； 2、力系的等效替换（简化）； 3、力系的平衡条件及其应用。
理论平力学衡力系：使物体处于第2平页/共衡41的页 力系。
CD
线性代数完整版ppt课件
a11x1 a12x2 b1 a21x1 a22x2 b2
求解公式为
x1
x
2
b1a 22 a11a 22 a11b2 a11a 22
a12b2 a12a 21 b1a 21 a12a 21
请观察，此公式有何特点？ Ø分母相同，由方程组的四个系数确定. Ø分子、分母都是四个数分成两对相乘再
主对角线 a 1 1 a 1 2 a 1 3
a 2 1 a 2 2 a 2 3
a11a22a33a12a23a31a13a21a32
副对角线 a 3 1 a 3 2 a 3 3
a13a22a31a12a21a33a11a23a32
称为三阶行列式.
二阶行列式的对角线法则
并不适用！
.
12
三阶行列式的计算 ——对角线法则
( a a a a ) x a b b a 12 12 12 21 2 12 11 21
当 a 1a 1 2 2a 1a 时2 2，1 该0 方程组有唯一解
x b1a22a12b2
1 a a a a
11 22
12 21
x2
a11b2 b1a21 a11a22a12a21
.
6
二元线性方程组
为列标，表明元素位于第j
列. 8
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线 a 1 1 副对角线 a 2 1
a 12 a 22
a11a22a12a21
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
.
9
二元线性方程组
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
b1 b2
若令
D a11 a12 a21 a22
显然 P n n ( n 1 ) ( n 2 )3 2 1 n !
求解公式为
x1
x
2
b1a 22 a11a 22 a11b2 a11a 22
a12b2 a12a 21 b1a 21 a12a 21
请观察，此公式有何特点？ Ø分母相同，由方程组的四个系数确定. Ø分子、分母都是四个数分成两对相乘再
主对角线 a 1 1 a 1 2 a 1 3
a 2 1 a 2 2 a 2 3
a11a22a33a12a23a31a13a21a32
副对角线 a 3 1 a 3 2 a 3 3
a13a22a31a12a21a33a11a23a32
称为三阶行列式.
二阶行列式的对角线法则
并不适用！
.
12
三阶行列式的计算 ——对角线法则
( a a a a ) x a b b a 12 12 12 21 2 12 11 21
当 a 1a 1 2 2a 1a 时2 2，1 该0 方程组有唯一解
x b1a22a12b2
1 a a a a
11 22
12 21
x2
a11b2 b1a21 a11a22a12a21
.
6
二元线性方程组
为列标，表明元素位于第j
列. 8
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线 a 1 1 副对角线 a 2 1
a 12 a 22
a11a22a12a21
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
.
9
二元线性方程组
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
b1 b2
若令
D a11 a12 a21 a22
显然 P n n ( n 1 ) ( n 2 )3 2 1 n !
线性代数第9讲精品PPT课件
r3 3r1 0 2 6 3 0 1 r3 r2
r1 r2 r3 r2
1 0 2 1 1 0 r1 2r3 0 2 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1 r2 5r3
aj2
a jn
第
i
行
ai1
ai 2
ain
第
j
行
am1 am2 amn
相当于对矩阵 A 施行第一种初等行变换 ：
把 A 的第 i 行与第 j 行对调 (ri rj ).
类似地，
以 n 阶初等矩阵 En(i, j) 右乘矩阵 A，
a11
AEn
(i,
j)
a21
a1 j
a2 j
a12
a1
ai1
ka
j1
ai 2 ka j2
ain
a
jn
a j1
aj2
a jn
am1
am 2
amn
把 A的第 j 行乘 k 加到第 i 行上 (ri krj ).
类似地，以 En(ij(k)) 右乘矩阵 A，其结果相当于 把 A 的第i列乘 k 加到第 j 列上 (c j kci ).
就称这两个线性方程组等价
二、初等矩阵的概念
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵.
1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一 行（列）上去．
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
r1 r2 r3 r2
1 0 2 1 1 0 r1 2r3 0 2 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1 r2 5r3
aj2
a jn
第
i
行
ai1
ai 2
ain
第
j
行
am1 am2 amn
相当于对矩阵 A 施行第一种初等行变换 ：
把 A 的第 i 行与第 j 行对调 (ri rj ).
类似地，
以 n 阶初等矩阵 En(i, j) 右乘矩阵 A，
a11
AEn
(i,
j)
a21
a1 j
a2 j
a12
a1
ai1
ka
j1
ai 2 ka j2
ain
a
jn
a j1
aj2
a jn
am1
am 2
amn
把 A的第 j 行乘 k 加到第 i 行上 (ri krj ).
类似地，以 En(ij(k)) 右乘矩阵 A，其结果相当于 把 A 的第i列乘 k 加到第 j 列上 (c j kci ).
就称这两个线性方程组等价
二、初等矩阵的概念
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵.
1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一 行（列）上去．
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
线性代数与空间解析几何哈工大版课件幻灯和习题2
逆矩阵的概念及运算性质.
逆矩阵 A1 存在 A 0.
逆矩阵的计算方法
1待定系数法;
2利用公式A1
A ;
A
3初等变换法下一章介绍.
思考题
若A可逆,那么矩阵方程AX B是否有唯一解 X A1B? 矩阵方程YA B 是否有唯一解 Y BA1 ?
答：是的。这是由于A-1的唯一性决定的。
可得 B EB CAB CAB CE C.
所以A的逆矩阵是唯一的,即 B C A1.
定理1
矩阵 A 可逆的充要条件是 A 0 ，且 A1 1 A , A
其中A为矩阵A的伴随矩阵.
证明 若A可逆， 即有A1使AA1 E .
故 A A1 E 1, 所以 A 0.
反之，当|A|≠0时，因
例1 下列矩阵A、B是否可逆？若可逆，求出其逆阵
2 1
A
5
3 ,
2 3 1
B
1
3
5 .
1 5 3
解 因|A|＝１≠０， 故A可逆。
又因为A11=3，A12=-5，A21=-1，A22=2
A1
1 A
A
3 5
1
2
2 3 1 由于 B 1 3 5
0,
153
故B不可逆.
二阶可逆阵的逆阵公式为
3 0 1
3 5
1 2
1 0
0
12 2
3 5
1 2
2 10 10
1 4. 4
例4 设方阵A满足方程A2 A 2E 0,证明: A, A 2E都可逆,并求它们的逆矩阵.
证明 由A2 A 2E 0,
A1
得AA E 2E A A E E
2 A A E 1 A 0, 故A可逆.
《线性代数与空间解析几何》(哈工大版)课件幻灯和习题1-习题课
00 00
x 1
0 0 x 1
00
x 1 0 0
0 0 (1)nn( x a1) 0 x
00
0 1
00 0x
证法二：按第一列展开，得
Dn=xDn-1+an 再根据上面的递推公式可得结果。
c1 xc2 xn1cn
证法三：Dn
0
1 0
0
x 1
00 00
0
00
0
0
an
例2 计算
1111
abcd D
a2 b2 c2 d 2
a4 b4 c4 d 4
解：构造
1111 1 abcd x
f (x) a2 b2 c2 d 2 x2
a3 b3 c3 d 3 x3
a4 b4 c4 d 4 x4
（这是一个范德蒙行列式）
=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a) 另外f(x)按最后一列展开，可得
1
11
1
an
an1 an Dn1
an1 an (a1a2 an2 an1Dn2 )
方法三：升级法。看例1
11
1 11
1
解：原式= 0 1 a1
1
1
a1
0
01
1 an 1 0
an
1 aa c1
i
n 2
1 ai 1
ci
n 1
i1 i
1
1
0
a1
0
5. 行列式按行（列）展开
1 ) 余子式与代数余子式 ２）关于代数余子式的重要性质
a A n ki k 1
(完整版)《大学线性代数》PPT课件
下特页点
结束
a11 a12 … a1n
a21
…
a22 … a2n … ……
=
(-1) N ( j1 j2 jn ) a1 j1 a2 j2 anjn 。
an1 an2 … ann
n阶行列式共有n!项，且冠以正号的项和冠以负号的 项各占一半。
在行列式中，a1 j1 a2 j2 anjn 是取自不同行不同列
结束
例2．计算 n 阶下三角形行列式D的值： a11 0 0 … 0 a21 a22 0 … 0
D = a31 a32 a33 … 0 … … … …… an1 an2 an3 … ann
其中aii0(i=1, 2, , n)。
解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，
第一行只能取a11，第二行只能取a22，第三行只能取a33， ， 第 n 行只能取ann。 这样不为零的乘积项只有
结束
对换：
在一个排列i1isitin中，将两个数码 is与it对调， 就得到另一个排列 i1 it is in ，这样的变换称为一个 对换，记为对换(is , it)。
例如，排列 21354 经对换(1, 4)，得到排列24351。 提问：
排列 21354 经对换 (1, 4)，得到的排列是 24351， 排列的奇偶性有无变化？ 提示：
的 n 个元素的乘积。
a1 j1 a2 j2 anjn 之前的符号是 (-1) N(j1 j2 jn) 。
行列式有时简记为| a ij |。一阶行列式|a|就是a。
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四阶行列式
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
线性代数课件
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
偶排列
奇排列
1
N ( j1 j2 j3 )
a1 j1 a2 j2 a3 j3
线性代数 第一章 行列式
11
定义 设有 n 2 个数，排成 n 行 n 列的数表
a11 a12 n 称为n 阶行列式. 简记为 a ij
it 这种变换称为对换，记作（ i s ，）
定理1.1 任一 排列经过一次对换后奇偶性发生改变。
定理1.2
n! n级排列共有 n! 个，其中奇、偶排列相等，各为 2
线性代数 第一章 行列式
10
2
a11 a21 a31
n 阶行列式的定义
a12 a22 a32 a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 a33
主讲
田立芳
统计与数学学院
目录 线性代数 第一章 行列式 退出
1
目
录
行列式 矩阵 线性空间 线性方程组 矩阵的特征值 二次型
线性代数 第一章 主页 行列式 线性代数
退出
2
第一章 行列式
§1 n 阶行列式的定义
§2 行列式的性质 §3 行列式的计算 §4 克莱姆法则
线性代数 第一章 行列式
3
§1.1
线性代数 第一章 行列式
18
性质1 对任何行列式D，有D=DT（行列式与其转置行列式相等） 证
D
T
将DT记为
于是有 bij a ji ( i , j 1,2, , n) 按行列式的定义
j1 j2 jn
偶排列
奇排列
1
N ( j1 j2 j3 )
a1 j1 a2 j2 a3 j3
线性代数 第一章 行列式
11
定义 设有 n 2 个数，排成 n 行 n 列的数表
a11 a12 n 称为n 阶行列式. 简记为 a ij
it 这种变换称为对换，记作（ i s ，）
定理1.1 任一 排列经过一次对换后奇偶性发生改变。
定理1.2
n! n级排列共有 n! 个，其中奇、偶排列相等，各为 2
线性代数 第一章 行列式
10
2
a11 a21 a31
n 阶行列式的定义
a12 a22 a32 a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 a33
主讲
田立芳
统计与数学学院
目录 线性代数 第一章 行列式 退出
1
目
录
行列式 矩阵 线性空间 线性方程组 矩阵的特征值 二次型
线性代数 第一章 主页 行列式 线性代数
退出
2
第一章 行列式
§1 n 阶行列式的定义
§2 行列式的性质 §3 行列式的计算 §4 克莱姆法则
线性代数 第一章 行列式
3
§1.1
线性代数 第一章 行列式
18
性质1 对任何行列式D，有D=DT（行列式与其转置行列式相等） 证
D
T
将DT记为
于是有 bij a ji ( i , j 1,2, , n) 按行列式的定义
j1 j2 jn
哈工大线性代数课件
1 5 D1 1 2 5 2 8, 2 2 3 1 D2 3 2 1 (1) 7, 1 2
D1 8 x1 D 11 ; 则方程组的解可以写成 D2 7 x2 . D 11
为了得出关于三元线性方程组
a11x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 31 1 32 2 33 3 3
线性代数内容包括：行列式、矩阵、向量 代数、线性方程组、特征值与特征向量、二次 型、线性空间与线性变换等． 解析几何的内容包括：几何向量、空间中的 平面与直线、二次曲面. 第一章 n阶行列式 在工程技术和科学研究中，有很多问题需 要用到“行列式”这个 数学工具。本章主要讨 论 如下几个问题： 1、行列式的定义；2、行列式的性质； 3、行列式的计算；4、Cramer 法则．
1 2 n
p1 p2 pn
(1)
( p1 p2 pn )
a1 p1 a 2 p2 a npn
为n阶行列式，其中 p 是对所有 n 阶排列 p p p1 p2 p3 pn 取和． 此行列式可简记 (aij ) 或 D aij n ． 记一阶行列式 a11 a11 ；
性质5 把行列式的某一行（列）的各元素同乘以 数c加到另一行（列）的对应元素上去， 则行列式的值不变，即
a11 ai1 a j1 a n1 a12 ai 2 a j2 an2 a1n a11 a12 ai 2 ca j 2 a j2 an2 a1n ai1 ca j1 ain a jn a j1 a nn a n1 ain ca jn a jn a nn
《工学线性代数》PPT课件_OK
经对换后 a 的逆序数增加1 , b 的逆序数不变;
2021/8/21
13
当a b时， 经对换后 a 的逆序数不变 ，b的逆序数减少1.
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为
a1 alab1 bmbc1 cn 现来对换 a 与b.
2021/8/21
14
a1al a b1bm b c1cn
0001 0020 0300 4000
解 分析 展开式中项的一般形式是 a1 a p1 2 a p2 3 a p3 4 p4 若 p1 4 a1 p1 0, 从而这个项为零，
所以 p1只能等于 4 , 同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
2021/8/21
28
即行列式中不为零的项为a14a23a32a41 .
0001
0 0 2 0 1t 1 4321 2 3 4 24.
0300 4000
例2 计算上三角行列式
↓
主对角线下方
元素全部为零
a11 a12 a1n 0 a22 a2n
0 0 ann
2021/8/21
29
解 分析
展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . pn n, pn1 n 1, pn3 n 3, p2 2, p1 1, 所以不为零的项只有 a11a22ann .
2021/8/21
31
↗ 主对角线上方 元素全部为零
同理可得下三角行列式
a11
0 00
a21 a22 0 0
an1
an2
an3 ann
a11a22ann .
2021/8/21
32
→ 例4 证明对角行列式
对角线以外的 元素全部为零
2.3线性代数讲解PPT课件
anj
0 0
a11 a1, j1
a a i1,1
i1, j1
a a i1,1
i1, j1
an1 an, j1
0 0
a1, j1 a1n
a a i1, j1
i 1, n
a a i1, j1
i 1, n
an, j1 ann
(1)i j aij M ij aij (1)i j M ij aij Aij
cd
(1)2n1 b
cd
c
d0
0
0d
0c
d
c0
0
adD2(n1) bcD2(n1)
(ad bc)D2(n1)
递推公式
D2n (ad bc)1 D2(n1) (ad bc)2 D2(n2)
(ad bc)n1 D2
(ad bc)n
1 5 1 3
1 1 11 例7 设有行列式 1 1 2 3 , 求A41 A42 A43 A44 ，
即
m k 6, m 4k 12.
故 m 4,k 2.
3.3 Laplace定理
定义 设 D是一个n阶行列式，在D中取定某K个行及
某k个列 1 k n ，由这些行与列相交处的元素构成
一个k阶行列式，称之为D的一个k阶子式.
例如
a a a a 11
12
13
14
D a21 a22 a23 a24
a a a a 31
32
33
34
a a a a 41
42
43
44
N1
a22 a32
a23 a33
N2
a21 a41
a23 a43
是 D的两个2阶子式.
0 0
a11 a1, j1
a a i1,1
i1, j1
a a i1,1
i1, j1
an1 an, j1
0 0
a1, j1 a1n
a a i1, j1
i 1, n
a a i1, j1
i 1, n
an, j1 ann
(1)i j aij M ij aij (1)i j M ij aij Aij
cd
(1)2n1 b
cd
c
d0
0
0d
0c
d
c0
0
adD2(n1) bcD2(n1)
(ad bc)D2(n1)
递推公式
D2n (ad bc)1 D2(n1) (ad bc)2 D2(n2)
(ad bc)n1 D2
(ad bc)n
1 5 1 3
1 1 11 例7 设有行列式 1 1 2 3 , 求A41 A42 A43 A44 ，
即
m k 6, m 4k 12.
故 m 4,k 2.
3.3 Laplace定理
定义 设 D是一个n阶行列式，在D中取定某K个行及
某k个列 1 k n ，由这些行与列相交处的元素构成
一个k阶行列式，称之为D的一个k阶子式.
例如
a a a a 11
12
13
14
D a21 a22 a23 a24
a a a a 31
32
33
34
a a a a 41
42
43
44
N1
a22 a32
a23 a33
N2
a21 a41
a23 a43
是 D的两个2阶子式.
线性代数与空间解析几何哈工大学习教案
证：
例3：用向量证明(zhèngmíng)余弦定理 证：在 中，
第15页/共65页
第十五页，共65页。
例4：已知
且向量
与
解：
与 b的夹角(jiā jiǎo)为 ，
垂直，求 的值.
.
即
第16页/共65页
第十六页，共65页。
3.2.3 几何向量的向量积（叉积、外积）
下面介绍向量与向量的另一种乘法。
物理背景：由力学知，力 关于(guānyú)
第3页/共65页
第三页，共65页。
3.1.2 几何(jǐ hé)向量的线性运算
一、加法运算：（向量(xiàngliàng)的加法，数乘向量 (xiàngliàng)）
1．平行四边形法规：设
，则以 为邻边
的平行四边形 的对角线 称为 与 的和，记.
b 2．三角形法则：（便于多个向量求和）. 将 的终点与 的起点重合在一起.
(x2 x1)i ( y2 y1) j (z2 z1)k
a
(x2 x1, y2 第2y51页, /共z625页z1)
第二十五页，共65页。
三 、 向 量 的 运算 的坐 标形式
a axi ay j azk (ax , ay , az )
b bxi by j bzk (bx ,by ,bz ) c cxi cy j czk (cx , cy , cz )
沿直线运动产生的位移为 时，则力 所做的
功是:
抽去物F 理(wùlǐ)意义，
就是两个向量确定一个数的运算.
1．定义（数量(shùliàng)
积），
. 一个向量的模乘以另
一个向量在这个向量上的投影.
第13页/共65页
第十三页，共65页。
例3：用向量证明(zhèngmíng)余弦定理 证：在 中，
第15页/共65页
第十五页，共65页。
例4：已知
且向量
与
解：
与 b的夹角(jiā jiǎo)为 ，
垂直，求 的值.
.
即
第16页/共65页
第十六页，共65页。
3.2.3 几何向量的向量积（叉积、外积）
下面介绍向量与向量的另一种乘法。
物理背景：由力学知，力 关于(guānyú)
第3页/共65页
第三页，共65页。
3.1.2 几何(jǐ hé)向量的线性运算
一、加法运算：（向量(xiàngliàng)的加法，数乘向量 (xiàngliàng)）
1．平行四边形法规：设
，则以 为邻边
的平行四边形 的对角线 称为 与 的和，记.
b 2．三角形法则：（便于多个向量求和）. 将 的终点与 的起点重合在一起.
(x2 x1)i ( y2 y1) j (z2 z1)k
a
(x2 x1, y2 第2y51页, /共z625页z1)
第二十五页，共65页。
三 、 向 量 的 运算 的坐 标形式
a axi ay j azk (ax , ay , az )
b bxi by j bzk (bx ,by ,bz ) c cxi cy j czk (cx , cy , cz )
沿直线运动产生的位移为 时，则力 所做的
功是:
抽去物F 理(wùlǐ)意义，
就是两个向量确定一个数的运算.
1．定义（数量(shùliàng)
积），
. 一个向量的模乘以另
一个向量在这个向量上的投影.
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第十三页，共65页。
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j1
ji
11
例8 设A是n阶方阵，则r(A)1
两个n1的矩阵U,V 使 AUVT.
证
AUVT
r(A)r(UVT)m in(r(U ),r(V ))1.
(1)r(A)0A 0
令 U = V = (0 ,0 , ,0 )T ,
AUVT.
(2)r(A)1,
则
初 1 A
0 ,
0 0
12
可逆阵P,Q 使 1 PAQ 0
15
预习第三章3.1-3.2
若A为mn矩阵r(A)= m<n, B是 n阶矩阵，以下哪些结论成立？ (A) A的任意一个m阶子式 0； (B) A的任意m列线性无关; (C) ATA0; (D) A的m行线性无关; (E) 若AB=0，则B=0; (F) 若r(B)=n，则r(AB)= m.
BA1Bb.
5
例5 设A为mn 矩阵,若对任意n1矩阵B
都有AB = 0, 试证A= 0.
a11 a12
证1
设
A
a21
a22
a1n
a2n
,
Bn1,AB0
am1
am 2
amn
1
取
B
1
0
,
a 11
AB1
a 21
0 m 1
0 0
0
a
m
1
0
有 a 1 1 a 2 1 a m 1 0
• 2、囚 徒困境
疑犯 2
不 坦白
坦白
•
画线法求 解
疑不坦白 1年 犯
1年
15年
0年
1 坦白 0年 15年 5年 5年
1、静态博弈与动 态博弈
2、完全信息博弈 与不完全信息博 弈
博弈的主要类型
A= 0. a11 a12
证
设
A
a21
a22
a1n
a
2
n
,
ATA
a
n1
an2
a
nn
A2 AAT
a11 a12 a21 a22
an1 an2
a1na11 a21 a2na12 a22 anna1n a2n
an1 an2 ann
8
n
a
2 1
j
*
*
*
j1
*
*
*
n
n
a
2 2
j
*
j1
*
0 0
1 0
0
1
0
0
1
A
P -1
0
1
0
0
0 Q-1
1
令
U
P
-1
0
,
V T10
0Q -1
0
AUVT. 13
例9 设A为mn矩阵,B为n P 阶矩阵, r(A) n, 则 r(AB)r(B).
证1 r(B)r(A )r(B)nr(AB) r ( B )
r(AB)r(B)
证2 A为mn矩阵,且 r(A) n, 则
可逆阵P 使PA=B, 即
P A P (1 ,2 , ,n )(P1,P2, ,Pn)
(1 ,2, ,n)B ,P jj,j 1 ,2 , ,n .
10
n
n
n
Pi i k j j k j P j P k j j
j1
j1
j1
ji
ji
j i
两边左乘 P 1 ,
n
得
i k j j .
博弈论应用范围除经济学外
，还包括政治学、军事学、外交 学、国际关系学、犯罪学等。尤 其在寡头市场理论中得到直接的 应用。 当寡头竞争者改变其产品或
定价时, 企业必须要做出反应或调整 ；企业决策时能够预见到对方的反应 为最佳。
一、博弈论的基本概念
• 1、田忌赛马
• 参与者 • 博弈规则（游戏规则、收益函数） • 策略 • 策略空间 • 博弈结果（各方收益）
博弈理论的发展与代表人物
1944年，J·冯·诺依曼、O·摩根 斯坦恩在《博弈理论与经济行为 》中首先提出一些博弈论的概念
。
• 50年代，J·纳什和图克等人 奠定了非合作博弈论的基础。
• 60年代，R·泽尔腾在纳什均 衡中引进动态分析，海萨尼引
进不完全信息的研究。
• 1994年，纳什、泽尔腾和海萨 尼获得诺贝尔经济学奖
1 0
1 4
,
0112
2n
11 04
n
2
例4
Q
AB B b
, 其中A是n阶非奇异矩阵，
B是n1矩阵,b是常数,试证Q可逆的
BA1Bb.
证
Q
A B
B b
A 0
B b BA1B
Q
A B
B b
A 0
B b BA1B
A bBA1B
A非奇异矩阵, A 0 ,
Q 0bBA1B0BA1Bb
故Q可逆的
9讲习题二(哈工大线性代数课 件王宝玲版)
3 4 0 0 2n
例2
求
4
0 0
3 0 0
0 1 0
0
1 2
.
解
3 4 2n
原式
4 3
1 1 02
2n
434324343 4343 5 2 5 2 ,43432n52n52n
011220112
0112
可逆阵P,Q
使
A
P
En 0
Q
,
AB
P
En 0
QB
P
QB 0
r(AB)rPQ0Br
QB 0
r(QB)
r
(
B)
14
例10 设A为n阶方阵,n是奇数,且
AATEn, A1.证明 En A 0.
证 En A AAT A A AT E
AT E A E (1)n EA
EA AE 0.
[(A),(B),(C), (E),不正确; (D) (F)正确.]
17
中国培训师大联盟
博弈论与企业管理
博弈：是指个人或组织在一定的环
境条件下，以一定的规则进行决策 并从中取得相应结果（收益）的过 程。
博弈论（Game Theory）：研究博
弈参与者在利益冲突条件下进行决 策的理论（又称对策论）。
* *
*
*
n
a
2 nj
0
期中 a
i为j 实数
j1
有
a
2 1
j
0 , a 1 2 j 0 ,a 1 j 0 ,j 1 ,2 , ,n
j1
n
a
2 ij
0 , a i2 j 0 ,a ij 0 ,j 1 ,2 , ,n
j1
得 a ij 0 ,i 1 ,2 , ,n .j 1 ,2 , ,n .
6
0
a1j
0
取
B
j
1 ,
0
AB j
a
ij
a m j
0 m 1
0
0
有 a 1ja 2j a m j0 ,j1,2,
A 0
,n
0
证2
反证,若 A 0 ,
a1j
ai j 0,
取B0
1 ,
0
A
B
0
aij
0,
与题设矛盾,所以
A=
0.
a m j
7
例6 设A为n阶实对称矩阵,且A2= 0,试证
A 0
9
例7 设A,B 都是mn矩阵,A经过初等行变换
可以化成B, 若记 j 为A的第j 列, j 为B的第
j 列, 即 A (1,2, ,n),B (1,2, ,n),
n
n
则当 i k j j 时, 有 i k j j .
j1
j1
ji
ji
证 因为A经过初等行变换可以化成B, 所以