备战2018中考15分钟精华题考点：25相似-数学备课大师
2018年最新中考数学分类汇编___相似(超经典)
相似一.选择题1.如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB=AD ，CD=AB ，点E 、F 分别为AB 、AD 的中点，则△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O 为位似中心，相似比为31，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为（ ）A ．(2，1)B ．(2，0)C ．(3，3)D ．(3，1)3．如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB ＝1，CD ＝3，那么EF 的长是 ( )A ．13 B ．23 C ．34 D ．45第7题图FE BDA C4．如图所示，△ABC 中，DE ∥BC ，若，则下列结论中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2015•甘肃武威,第9题3分）如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，DE ∥AC ，若S △BDE ：S △CDE =1：3，则S △DOE ：S △AOC 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．6.如图，在△ABC 中，AB=CB ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ．过点C 作CF ∥AB ，在CF 上取一点E ，使DE=CD ，连接AE ．对于下列结论：①AD=DC ；②△CBA ∽△CDE ；③=；④AE 为⊙O 的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是（ ）A．①②B．①②③C．①④D．①②④7.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．=D．=10. 如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为l：2，∠OCD=90°，CO=CD.若B(1，0)，则点C[中国^的坐标为( )yxDC BAOA.(1,2)B.(1,1)C.(2, 2)D.(2,1)11.如图，在ABC ∆中，BC DE //，6=AD ，3=DB ，4=AE ,则EC 的长为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）412.如图，∥∥，两条直线与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和D 、E 、F ．已知，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．13.如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2这与三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF的长为（）A． 4 B． 5 C． 6 D． 814．如图，在矩形ABCD中，AB=10 , BC=5 ．若点M、N分别是线段AC AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为（）A． 10 B． 8 C． 53 D． 615.若，则的值为（）A．1 B． C． D．16.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC．点D是线段AB上的一点，连结CD，过点B 作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF．给出以下四个结论：①；②若点D是AB的中点，则AF=AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；④若，则．其中正确的结论序号是（）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④17.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF．若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（）A． 2 B． 4 C． 6 D． 8考点：平行线分线段成比例；菱形的判定与性质；作图—基本作图．.分析：根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线，推出AE=DE，AF=DF，求出DE∥AC，DF ∥AE，得出四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质得出AE=DE=DF=AF，根据平行线分线段成比例定理得出=，代入求出即可．解答：解：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF，∴∠EAD=∠EDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EDA=∠CAD，∴DE∥AC，同理DF∥AE，∴四边形AEDF是菱形，∴AE=DE=DF=AF，∵AF=4，∴AE=DE=DF=AF=4，∵DE∥AC，∴=，∵BD=6，AE=4，CD=3，∴=，∴BE=8，故选D．点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．……依次顺延18．（2015•甘肃兰州,第5题，4分）如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2），D （2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为（5，0），则点A的坐标为A.（2，5）B.（2.5，5）C. （3，5）D.（3，6）【答案】B【考点解剖】本题考查了坐标和相似的有关知识【思路点拔】根据题意：AO:CO=BO:DO=5:2，而位似中心恰好是坐标原点O，所以点A的横、纵坐标都是点C横、纵坐标的2.5倍，因此选B。
教育最新K122018年中考数学真题汇编 图形的相似
中考数学真题汇编:图形的相似一、选择题1.已知，下列变形错误的是（）A. B.C.D.【答案】B2.已知与相似，且相似比为，则与的面积比（）A. B.C.D.【答案】D3.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为，和，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边为（）A. 3cmB. 4cmC. 4.5cmD. 5cm【答案】C4.在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8），B（10，2），若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（）A. （5，1）B. （4，3） C. （3，4） D. （1，5）【答案】C5.如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA=CB ，CE=CD ，△ACB 的顶点A 在△ECD 的斜边DE 上，若AE=，AD=，则两个三角形重叠部分的面积为（ ）A. B. C. D.【答案】D6.在平面直角坐标系中,点是线段上一点,以原点 为位似中心把放大到原来的两倍,则点 的对应点的坐标为( )A.B. 或C.D.或【答案】B 7.如图，点 在线段 上，在的同侧作等腰和等腰， 与、分别交于点 、.对于下列结论：①；②；③.其中正确的是（ ）∵∠BEA=∠CDA ∠PME=∠AMD∴P 、E 、D 、A 四点共圆 ∴∠APD=AED=90°∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90° ∴△CAP ∽△CMA ∴AC 2=CP•CM ∵AC=AB∴2CB 2=CP•CM所以③正确A. ①②③B. ①C. ①②D. ②③【答案】A8.如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为9，阴影部分三角形的面积为4.若，则等于（）A. 2B. 3C.D.【答案】A9.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到位置，已知，，垂足分别为，，，，，则栏杆端应下降的垂直距离为( )A. B.C.D.【答案】C10.如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE，记△ADE，△BCE的面积分别为S1， S2，（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D11.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD ＝60°,则△OCE的面积是（）。
2018年中考数学总复习课件：相似三角形(共27张PPT)
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2018挑战中考数学压轴题全套含答案及解析
第一部分函数图象中点的存在性问题§1．1 因动点产生的相似三角形问题例1 2014年市中考第28题例2 2014年市中考第21题例3 2015年湘西州中考第26题例4 2015年市中考第25题例5 2016年市中考第26题例6 2016年市中考第24题例7 2016年市崇明县中考模拟第25题例8 2016年市黄浦区中考模拟第26题§1．2 因动点产生的等腰三角形问题例9 2014年市中考第26题例10 2014年市第25题例11 2014年市中考第26题例12 2014年市中考第27题例13 2015年市中考第22题例14 2015年市中考第26题例15 2016年市中考第26题例16 2016年市长宁区金山区中考模拟第25题例17 2016年省中考第23题§1．3 因动点产生的直角三角形问题例19 2015年市中考第21题例20 2015年市中考第26题例21 2016年市中考第26题例22 2016年市松江区中考模拟第25题例23 2016年义乌市市中考第24题§1．4 因动点产生的平行四边形问题例24 2014年市中考第24题例25 2014年市中考第20题例26 2014年市中考第25题例27 2015年市中考第25题例28 2015年黄冈市中考第24题例29 2016年市中考第26题例30 2016年市嘉定区宝山区中考模拟中考第24题例31 2016年市徐汇区中考模拟第24题§1．5 因动点产生的面积问题例32 2014年市中考第25题例33 2014年永州市中考第25题例35 2015年市中考第26题例36 2015年株洲市中考第23题例37 2015年市中考第28题例38 2016年市中考第22题例39 2016年永州市中考第26题例40 2016年市中考第26题例41 2016年省中考第25题§1．6 因动点产生的相切问题例42 2014年市中考第27题例43 2014年株洲市中考第23题例44 2015年市中考第25题例45 2015年湘西州中考第25题例46 2016年市中考第25题例47 2016年市中考第26题例48 2016年市闵行区中考模拟第24题例49 2016年市普陀区中考模拟中考第25题§1．7 因动点产生的线段和差问题例50 2014年市中考第26题例51 2014年湘西州中考第25题例53 2015年市中考第28题例54 2015年市中考第25题例55 2016年市中考第26题例56 2016年市中考第24题例57 2016年市中考第21题第二部分图形运动中的函数关系问题§2．1 由比例线段产生的函数关系问题例1 2014年市中考第26题例2 2014年市中考第25题例3 2014年市中考第25题例4 2015年市中考第25题例5 2015年市中考第26题例6 2015年市中考第25题例7 2015年市中考第26题例8 2016年市中考第25题例9 2016年湘西州中考第26题例10 2016年市静安区青浦区中考模拟第25题例11 2016年市中考第27题第三部分图形运动中的计算说理问题§3．1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例1 2014年市中考第25题例2 2014年市中考第23题例3 2014年市中考第26题例4 2014年株洲市中考第24题例5 2015年市中考第27题例6 2015年市中考第25题例7 2015年永州市中考第26题例8 2015年市中考第25题例9 2015年株洲市中考第24题例10 2016年市中考第22题例11 2016年市中考第25题例12 2016年株洲市中考第26题例13 2016年市中考第25题例14 2016年市中考第26题§3．2 几何证明及通过几何计算进行说理问题例15 2014年市中考第26题例16 2014年市中考第26题例17 2014年市中考第23题例18 2015年市中考第26题例19 2015年市中考第20题例20 2015年永州市中考第27题例21 2015年市中考第23题例22 2016年市中考第25题例23 2016年市中考第25题例24 2016年永州市中考第27题例25 2016年市中考第23题例26 2016年株洲市中考第25题例27 2016年市中考第25题第四部分图形的平移、翻折与旋转§4．1 图形的平移例1 2015年市中考第15题例2 2015年市中考第14题例3 2015年株洲市中考第14题例4 2016年市虹口区中考模拟第18题§4．2 图形的翻折例5 2016年市奉贤区中考模拟第18题例6 2016年市静安区青浦区中考模拟第18题例7 2016年市闵行区中考模拟第18题例8 2016年市浦东新区中考模拟第18题例8 2016年市普陀区中考模拟第18题例10 2016年市中考第15题例11 2016年市中考第14题例12 2016年市中考第18题例13 2016年市中考第15题例14 2016年市中考第12题§4．3 图形的旋转例15 2016年昂立教育中学生三模联考第18题例16 2016年市崇明县中考模拟第18题例17 2016年市黄浦区中考模拟第18题例18 2016年市嘉定区宝山区中考模拟第18题例19 2016年市闸北区中考模拟第18题例20 2016年市中考第13题例21 2016年株洲市中考第4题§4．4 三角形例22 2016年省中考第10题例23 2016年市中考第10题例24 2016年省中考第16题例25 2016年市中考第10题例27 2016年市中考第10题例28 2016年省中考第14题例29 2016年江市中考第11题例30 2016年市中考第18题§4．5 四边形例31 2016年湘西州中考第11题例32 2016年市中考第4题例33 2016年市中考第6题例34 2016年市中考第16题例35 2016年市中考第14题例36 2016年市中考第13题例37 2016年市中考第18题例38 2016年市中考第17题例39 2016年市中考第15题§4．6 圆例40 2016年滨州市中考第16题例41 2016年市中考第17题例42 2016年市中考第16题例43 2016年市中考第17题例45 2016年市中考第18题例46 2016年市中考第9题例47 2016年宿迁市中考第16题例48 2016年市中考第17题例49 2016年市中考第18题例50 2016年湘西州中考第18题例51 2016年永州市中考第20题§4．7 函数的图象及性质例52 2015年荆州市中考第9题例53 2015年市中考第12题例54 2015年市中考第12题例55 2015年市中考第10题例56 2015年市中考第10题例57 2015年呼和浩特市中考第10题例58 2016年市中考第18题例59 2016年市中考第19题例60 2016年市中考第15题例61 2016年株洲市中考第9题例62 2016年永州市中考第19题例63 2016年市中考第8题例64 2016年市中考第16题例65 2016年市中考第14题例66 2016年株洲市中考第10题例67 2016年株洲市中考第17题例68 2016年东营市中考第15题例69 2016年市中考第13题例70 2016年市中考第16题例71 2016年宿迁市中考第15题例72 2016年市中考第14题例73 2016年义乌市市中考第9题例74 2016年市中考第12题例75 2016年市中考第16题§1．1 因动点产生的相似三角形问题课前导学相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A ＝∠D ，探求△ABC 与△DEF 相似，只要把夹∠A 和∠D 的两边表示出来，按照对应边成比例，分AB DE AC DF =和AB DF AC DE=两种情况列方程． 应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等． 应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好． 如图1，如果已知A 、B 两点的坐标，怎样求A 、B 两点间的距离呢？我们以AB 为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB 的长了．水平距离BC 的长就是A 、B 两点间的水平距离，等于A 、B 两点的横坐标相减；竖直距离AC 就是A 、B 两点间的竖直距离，等于A 、B 两点的纵坐标相减．图1例 1 2014年省市中考第28题二次函数y ＝a x 2＋b x ＋c （a ≠0）的图象与x 轴交于A (－3, 0)、B (1, 0)两点，与y 轴交于点C (0,－3m )（m ＞0），顶点为D ．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m 的代数式表示）；（2）如图1，当m ＝2时，点P 为第三象限抛物线上的一个动点，设△APC 的面积为S ，试求出S 与点P 的横坐标x 之间的函数关系式及S 的最大值；（3）如图2，当m 取何值时，以A 、D 、C 三点为顶点的三角形与△OBC 相似？图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“1428”，拖动点P 运动，可以体验到，当点P 运动到AC 的中点的正下方时，△APC 的面积最大．拖动y 轴上表示实数m 的点运动，抛物线的形状会改变，可以体验到，∠ACD 和∠ADC 都可以成为直角．思路点拨1．用交点式求抛物线的解析式比较简便．2．连结OP ，△APC 可以割补为：△AOP 与△COP 的和，再减去△AOC ．3．讨论△ACD 与△OBC 相似，先确定△ACD 是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似．4．直角三角形ACD 存在两种情况．图文解析（1）因为抛物线与x 轴交于A (－3, 0)、B (1, 0)两点，设y ＝a (x ＋3)(x －1)．代入点C (0,－3m )，得－3m ＝－3a ．解得a ＝m ．所以该二次函数的解析式为y ＝m (x ＋3)(x －1)＝mx 2＋2mx －3m ．（2）如图3，连结OP ．当m ＝2时，C (0,－6)，y ＝2x 2＋4x －6，那么P (x , 2x 2＋4x －6)．由于S △AOP ＝1()2P OA y ⨯-＝32-(2x 2＋4x －6)＝－3x 2－6x ＋9， S △COP ＝1()2P OC x ⨯-＝－3x ，S △AOC ＝9， 所以S ＝S △APC ＝S △AOP ＋S △COP －S △AOC ＝－3x 2－9x ＝23273()24x -++． 所以当32x =-时，S 取得最大值，最大值为274．图3 图4 图5（3）如图4，过点D 作y 轴的垂线，垂足为E ．过点A 作x 轴的垂线交DE 于F ． 由y ＝m (x ＋3)(x －1)＝m (x ＋1)2－4m ，得D (－1,－4m )．在Rt △OBC 中，OB ∶OC ＝1∶3m ．如果△ADC 与△OBC 相似，那么△ADC 是直角三角形，而且两条直角边的比为1∶3m ．①如图4，当∠ACD ＝90°时，OA OC EC ED =．所以331m m =．解得m ＝1． 此时3CA OC CD ED ==，3OC OB =．所以CA OC CD OB =．所以△CDA ∽△OBC ． ②如图5，当∠ADC ＝90°时，FA FD ED EC =．所以421m m=．解得2m =． 此时222DA FD DC EC m===，而3232OC m OB ==．因此△DCA 与△OBC 不相似． 综上所述，当m ＝1时，△CDA ∽△OBC ．考点伸展第（2）题还可以这样割补：如图6，过点P 作x 轴的垂线与AC 交于点H ．由直线AC ：y ＝－2x －6，可得H (x ,－2x －6)．又因为P (x , 2x 2＋4x －6)，所以HP ＝－2x 2－6x ．因为△PAH 与△PCH 有公共底边HP ，高的和为A 、C 两点间的水平距离3，所以S ＝S △APC ＝S △APH ＋S △CPH＝32(－2x 2－6x ) ＝23273()24x -++． 图6例2 2014年省市中考第21题如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，∠B＝60°，AB＝10，BC＝4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP＝x．2·1·c·n·j·y（1）求AD的长；（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S＝S1＋S2，求S的最小值.动感体验图1请打开几何画板文件名“1421”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，圆心O的运动轨迹是线段BC的垂直平分线上的一条线段．观察S随点P运动的图象，可以看到，S有最小值，此时点P看上去象是AB的中点，其实离得很近而已．思路点拨1．第（2）题先确定△PCB是直角三角形，再验证两个三角形是否相似．2．第（3）题理解△PCB的外接圆的圆心O很关键，圆心O在确定的BC的垂直平分线上，同时又在不确定的BP的垂直平分线上．而BP与AP是相关的，这样就可以以AP 为自变量，求S的函数关系式．图文解析（1）如图2，作CH⊥AB于H，那么AD＝CH．在Rt△BCH中，∠B＝60°，BC＝4，所以BH＝2，CH＝23．所以AD＝23．（2）因为△APD是直角三角形，如果△APD与△PCB相似，那么△PCB一定是直角三角形．①如图3，当∠CPB＝90°时，AP＝10－2＝8．所以APAD ＝23＝43，而PCPB＝3．此时△APD与△PCB不相似．图2 图3 图4 ②如图4，当∠BCP＝90°时，BP＝2BC＝8．所以AP＝2．所以AP AD ＝23＝3．所以∠APD ＝60°．此时△APD ∽△CBP ． 综上所述，当x ＝2时，△APD ∽△CBP ．（3）如图5，设△ADP 的外接圆的圆心为G ，那么点G 是斜边DP 的中点．设△PCB 的外接圆的圆心为O ，那么点O 在BC 边的垂直平分线上，设这条直线与BC 交于点E ，与AB 交于点F ．设AP ＝2m ．作OM ⊥BP 于M ，那么BM ＝PM ＝5－m ．在Rt △BEF 中，BE ＝2，∠B ＝60°，所以BF ＝4．在Rt △OFM 中，FM ＝BF －BM ＝4－(5－m )＝m －1，∠OFM ＝30°，所以OM ＝3(1)m -． 所以OB 2＝BM 2＋OM 2＝221(5)(1)3m m -+-． 在Rt △ADP 中，DP 2＝AD 2＋AP 2＝12＋4m 2．所以GP 2＝3＋m 2．于是S ＝S 1＋S 2＝π(GP 2＋OB 2)＝22213(5)(1)3m m m π⎡⎤++-+-⎢⎥⎣⎦＝2(73285)3m m π-+． 所以当167m =时，S 取得最小值，最小值为1137π．图5 图6考点伸展关于第（3）题，我们再讨论个问题．问题1，为什么设AP ＝2m 呢？这是因为线段AB ＝AP ＋PM ＋BM ＝AP ＋2BM ＝10． 这样BM ＝5－m ，后续可以减少一些分数运算．这不影响求S 的最小值．问题2，如果圆心O 在线段EF 的延长线上，S 关于m 的解析式是什么？如图6，圆心O 在线段EF 的延长线上时，不同的是FM ＝BM －BF ＝(5－m )－4＝1－m ．此时OB 2＝BM 2＋OM 2＝221(5)(1)3m m -+-．这并不影响S 关于m 的解析式．例 3 2015年省湘西市中考第26题如图1，已知直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A 、B 两点，点P 在线段OA 上，从点O 出发，向点A 以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q 在线段AB 上，从点A 出发，向点B 以每秒2个单位的速度匀速运动，连结PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t 为何值时，△APQ 为直角三角形；（3）过点P 作PE //y 轴，交AB 于点E ，过点Q 作QF //y 轴，交抛物线于点F ，连结EF ，当EF //PQ 时，求点F 的坐标；（4）设抛物线顶点为M ，连结BP 、BM 、MQ ，问：是否存在t 的值，使以B 、Q 、M 为顶点的三角形与以O 、B 、P 为顶点的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由． 图1动感体验请打开几何画板文件名“15湘西26”，拖动点P 在OA 上运动，可以体验到，△APQ 有两个时刻可以成为直角三角形，四边形EPQF 有一个时刻可以成为平行四边形，△MBQ 与△BOP 有一次机会相似．思路点拨1．在△APQ 中，∠A ＝45°，夹∠A 的两条边AP 、AQ 都可以用t 表示，分两种情况讨论直角三角形APQ ．2．先用含t 的式子表示点P 、Q 的坐标，进而表示点E 、F 的坐标，根据PE ＝QF 列方程就好了．3．△MBQ 与△BOP 都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论． 图文解析（1）由y ＝－x ＋3，得A (3, 0)，B (0, 3)．将A (3, 0)、B (0, 3)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得930,3.b c c -++=⎧⎨=⎩ 解得2,3.b c =⎧⎨=⎩ 所以抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3．（2）在△APQ 中，∠PAQ ＝45°，AP ＝3－t ，AQ ＝2t ．分两种情况讨论直角三角形APQ ：①当∠PQA ＝90°时，AP ＝2AQ ．解方程3－t ＝2t ，得t ＝1（如图2）．②当∠QPA ＝90°时，AQ ＝2AP ．解方程2t ＝2(3－t )，得t ＝1.5（如图3）．图2 图3（3）如图4，因为PE //QF ，当EF //PQ 时，四边形EPQF 是平行四边形．所以EP ＝FQ ．所以y E －y P ＝y F －y Q ．因为x P ＝t ，x Q ＝3－t ，所以y E ＝3－t ，y Q ＝t ，y F ＝－(3－t )2＋2(3－t )＋3＝－t 2＋4t ． 因为y E －y P ＝y F －y Q ，解方程3－t ＝(－t 2＋4t )－t ，得t ＝1，或t ＝3（舍去）．所以点F 的坐标为(2, 3)．图4 图5（4）由y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，得M (1, 4)．由A (3, 0)、B (0, 3)，可知A 、B 两点间的水平距离、竖直距离相等，AB ＝2． 由B (0, 3)、M (1, 4)，可知B 、M 两点间的水平距离、竖直距离相等，BM 2 所以∠MBQ ＝∠BOP ＝90°．因此△MBQ 与△BOP 相似存在两种可能： ①当BM OB BQ OP =23322t t=-．解得94t =（如图5）． ②当BM OP BQ OB =23322t t =-．整理，得t 2－3t ＋3＝0．此方程无实根． 考点伸展第（3）题也可以用坐标平移的方法：由P (t , 0)，E (t , 3－t )，Q(3－t , t )，按照P →E 方向，将点Q 向上平移，得F (3－t , 3)．再将F (3－t , 3)代入y ＝－x 2＋2x ＋3，得t ＝1，或t ＝3．§1．2 因动点产生的等腰三角形问题课前导学我们先回顾两个画图问题：1．已知线段AB ＝5厘米，以线段AB 为腰的等腰三角形ABC 有多少个？顶点C 的轨迹是什么？2．已知线段AB ＝6厘米，以线段AB 为底边的等腰三角形ABC 有多少个？顶点C 的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C ．已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB ＝AC ，②BA ＝BC ，③CA ＝CB 三种情况． 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC 的∠A （的余弦值）是确定的，夹∠A 的两边AB 和AC 可以用含x 的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB ＝AC ，直接列方程；②如图2，如果BA ＝BC ，那么1cos 2AC AB A =∠；③如图3，如果CA ＝CB ，那么1cos 2AB AC A =∠． 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x 的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．图1 图2 图3例 9 2014年市中考第26题如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的对称轴为y 轴，且经过(0,0)和1(,)16a 两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点A (0, 2)． （1）求a 、b 、c 的值；（2）求证：在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交；（3）设⊙P 与x 轴相交于M (x 1, 0)、N (x 2, 0)两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“1426”，拖动圆心P 在抛物线上运动，可以体验到，圆与x 轴总是相交的，等腰三角形AMN 存在五种情况．思路点拨1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P 在x 轴上截得的弦长MN ＝4是定值．2．等腰三角形AMN 存在五种情况，点P 的纵坐标有三个值，根据对称性，MA ＝MN 和NA ＝NM 时，点P 的纵坐标是相等的．图文解析（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以y ＝ax 2．所以b ＝0，c ＝0．将1(,)16a 代入y ＝ax 2，得2116a =．解得14a =（舍去了负值）． （2）抛物线的解析式为214y x =，设点P 的坐标为21(,)4x x ． 已知A (0, 2)，所以222411(2)4416PA x x x =+-+＞214x ． 而圆心P 到x 轴的距离为214x ，所以半径PA ＞圆心P 到x 轴的距离． 所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交．（3）如图2，设MN 的中点为H ，那么PH 垂直平分MN ．在Rt △PMH 中，2241416PM PA x ==+，22411()416PH x x ==，所以MH 2＝4． 所以MH ＝2．因此MN ＝4，为定值．等腰△AMN 存在三种情况：①如图3，当AM ＝AN 时，点P 为原点O 重合，此时点P 的纵坐标为0．图2 图3 ②如图4，当MA ＝MN 时，在Rt △AOM 中，OA ＝2，AM ＝4，所以OM ＝23．此时x ＝OH ＝232+．所以点P 的纵坐标为22211(232)(31)42344x =+=+=+． 如图5，当NA ＝NM 时，根据对称性，点P 的纵坐标为也为423+．图4 图5③如图6，当NA ＝NM ＝4时，在Rt △AON 中，OA ＝2，AN ＝4，所以ON ＝23．此时x ＝OH ＝232-．所以点P 的纵坐标为22211(232)(31)42344x =-=-=-． 如图7，当MN ＝MA ＝4时，根据对称性，点P 的纵坐标也为423-．图6 图7考点伸展如果点P 在抛物线214y x =上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点B (0, 1)，那么在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．这是因为：设点P 的坐标为21(,)4x x ．已知B (0, 1)，所以2114PB x ==+． 而圆心P 到直线y ＝－1的距离也为2114x +，所以半径PB ＝圆心P 到直线y ＝－1的距离．所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．例 10 2014年省市中考第25题如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）过O 、B 、C 三点，B 、C 坐标分别为(10, 0)和1824(,)55-，以OB 为直径的⊙A 经过C 点，直线l 垂直x 轴于B 点．（1）求直线BC 的解析式；（2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点M 是⊙A 上一动点（不同于O 、B ），过点M 作⊙A 的切线，交y 轴于点E ，交直线l 于点F ，设线段ME 长为m ，MF 长为n ，请猜想mn 的值，并证明你的结论；（4）若点P 从O 出发，以每秒1个单位的速度向点B 作直线运动，点Q 同时从B 出发，以相同速度向点C 作直线运动，经过t （0＜t ≤8）秒时恰好使△BPQ 为等腰三角形，请求出满足条件的t 值． 图图1 动感体验请打开几何画板文件名“1425”，拖动点M 在圆上运动，可以体验到，△EAF 保持直角三角形的形状，AM 是斜边上的高．拖动点Q 在BC 上运动，可以体验到，△BPQ 有三个时刻可以成为等腰三角形．思路点拨1．从直线BC 的解析式可以得到∠OBC 的三角比，为讨论等腰三角形BPQ 作铺垫．2．设交点式求抛物线的解析式比较简便．3．第（3）题连结AE 、AF 容易看到AM 是直角三角形EAF 斜边上的高．4．第（4）题的△PBQ 中，∠B 是确定的，夹∠B 的两条边可以用含t 的式子表示．分三种情况讨论等腰三角形．图文解析（1）直线BC 的解析式为31542y x =-． （2）因为抛物线与x 轴交于O 、B (10, 0)两点，设y ＝ax (x －10)． 代入点C 1824(,)55-，得241832()555a -=⨯⨯-．解得524a =． 所以2255255125(10)(5)2424122424y x x x x x =-=-=--． 抛物线的顶点为125(5,)24-． （3）如图2，因为EF 切⊙A 于M ，所以AM ⊥EF ． 由AE ＝AE ，AO ＝AM ，可得Rt △AOE ≌Rt △AME ．所以∠1＝∠2．同理∠3＝∠4．于是可得∠EAF ＝90°．所以∠5＝∠1．由tan ∠5＝tan ∠1，得MA ME MF MA=． 所以ME ·MF ＝MA 2，即mn ＝25．图2（4）在△BPQ 中，cos ∠B ＝45，BP ＝10－t ，BQ ＝t ． 分三种情况讨论等腰三角形BPQ ： ①如图3，当BP ＝BQ 时，10－t ＝t ．解得t ＝5．②如图4，当PB ＝PQ 时，1cos 2BQ BP B =∠．解方程14(10)25t t =-，得8013t =． ③如图5，当QB ＝QP 时，1cos 2BP BQ B =∠．解方程14(10)25t t -=，得5013t =．图3 图4 图5考点伸展在第（3）题条件下，以EF 为直径的⊙G 与x 轴相切于点A ．如图6，这是因为AG 既是直角三角形EAF 斜边上的中线，也是直角梯形EOBF 的中位线，因此圆心G 到x 轴的距离等于圆的半径，所以⊙G 与x 轴相切于点A ．图6例11 2014年省市中考第26题在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－(m＋n)x＋mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．（1）若m＝2，n＝1，求A、B两点的坐标；（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是(0,－1)，求∠ACB的大小；（3）若m＝2，△ABC是等腰三角形，求n的值．动感体验请打开几何画板文件名“1426”，点击屏幕左下方的按钮（2），拖动点A在x轴正半轴上运动，可以体验到，△ABC保持直角三角形的形状．点击屏幕左下方的按钮（3），拖动点B在x轴上运动，观察△ABC的顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到，等腰三角形ABC有4种情况．思路点拨1．抛物线的解析式可以化为交点式，用m，n表示点A、B、C的坐标．2．第（2）题判定直角三角形ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用锐角的三角比．3．第（3）题讨论等腰三角形ABC，先把三边长（的平方）罗列出来，再分类解方程．图文解析（1）由y＝x2－(m＋n)x＋mn＝(x－m)(x－n)，且m＞n，点A位于点B的右侧，可知A(m, 0)，B(n, 0)．若m＝2，n＝1，那么A(2, 0)，B(1, 0)．．（2）如图1，由于C(0, mn)，当点C的坐标是(0,－1)，mn＝－1，OC＝1．若A、B两点分别位于y轴的两侧，那么OA·OB＝m(－n)＝－mn＝1．所以OC2＝OA·OB．所以OC OB．OA OC所以tan ∠1＝tan ∠2．所以∠1＝∠2．又因为∠1与∠3互余，所以∠2与∠3互余．所以∠ACB ＝90°．图1 图2 图3（3）在△ABC 中，已知A (2, 0)，B (n , 0)，C (0, 2n )．讨论等腰三角形ABC ，用代数法解比较方便：由两点间的距离公式，得AB 2＝(n －2)2，BC 2＝5n 2，AC 2＝4＋4n 2．①当AB ＝AC 时，解方程(n －2)2＝4＋4n 2，得43n =-（如图2）． ②当CA ＝CB 时，解方程4＋4n 2＝5n 2，得n ＝－2（如图3），或n ＝2（A 、B 重合，舍去）．③当BA ＝BC 时，解方程(n －2)2＝5n 2，得51n +=-（如图4），或51n -=（如图5）．图4 图5考点伸展第（2）题常用的方法还有勾股定理的逆定理．由于C (0, mn )，当点C 的坐标是(0,－1)，mn ＝－1．由A (m , 0)，B (n , 0)，C (0,－1)，得AB 2＝(m －n )2＝m 2－2mn ＋n 2＝m 2＋n 2＋2， BC 2＝n 2＋1，AC 2＝m 2＋1．所以AB 2＝BC 2＋AC 2．于是得到Rt △ABC ，∠ACB ＝90°．第（3）题在讨论等腰三角形ABC 时，对于CA ＝CB 的情况，此时A 、B 两点关于y轴对称，可以直接写出B (－2, 0)，n ＝－2．例 12 2014年省市中考第27题如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝3cm ．如果点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，同时点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为1cm/s ．连结PQ ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜4），解答下列问题：（1）设△APQ 的面积为S ，当t 为何值时，S 取得最大值？S 的最大值是多少？（2）如图2，连结PC ，将△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP ′C ，当四边形PQP ′C 为菱形时，求t 的值；（3）当t 为何值时，△APQ 是等腰三角形？图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“1427”，拖动点Q 在AC 上运动，可以体验到，当点P 运动到AB 的中点时，△APQ 的面积最大，等腰三角形APQ 存在三种情况．还可以体验到，当QC ＝2HC 时，四边形PQP ′C 是菱形．思路点拨1．在△APQ 中，∠A 是确定的，夹∠A 的两条边可以用含t 的式子表示．2．四边形PQP ′C 的对角线保持垂直，当对角线互相平分时，它是菱形，．图文解析（1）在Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，所以AB ＝5，sin A ＝35，cos A ＝45． 作QD ⊥AB 于D ，那么QD ＝AQ sin A ＝35t ． 所以S ＝S △APQ ＝12AP QD ⋅＝13(5)25t t -⨯＝23(5)10t t --＝23515()+1028t --． 当52t =时，S 取得最大值，最大值为158．（2）设PP ′与AC 交于点H ，那么PP ′⊥QC ，AH ＝AP cos A ＝4(5)5t -．如果四边形PQP ′C 为菱形，那么PQ ＝PC ．所以QC ＝2HC ． 解方程4424(5)5t t ⎡⎤-=⨯--⎢⎥⎣⎦，得2013t =．图3 图4（3）等腰三角形APQ 存在三种情况：①如图5，当AP ＝AQ 时，5－t ＝t ．解得52t =． ②如图6，当PA ＝PQ 时，1cos 2AQ AP A =．解方程14(5)25t t =-，得4013t =． ③如图7，当QA ＝QP 时，1cos 2AP AQ A =．解方程14(5)25t t -=，得2513t =．图5 图6 图7考点伸展在本题情境下，如果点Q 是△PP ′C 的重心，求t 的值．如图8，如果点Q 是△PP ′C 的重心，那么QC ＝23HC ． 解方程2444(5)35t t ⎡⎤-=⨯--⎢⎥⎣⎦，得6023t =．图8例 13 2015年省市中考第22题如图1，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 以每秒1个单位的速度从A 向C 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从A →B →C 方向运动，它们到C 点后都停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒．（1）在运动过程中，求P 、Q 两点间距离的最大值；（2）经过t 秒的运动，求△ABC 被直线PQ 扫过的面积S 与时间t 的函数关系式；（3）P ，Q 两点在运动过程中，是否存在时间t ，使得△PQC 为等腰三角形．若存在，求出此时的t 值，若不存在，请说明理由．（24.25≈，结果保留一位小数）图1动感体验请打开几何画板文件名“1522”，拖动点P 在AC 上运动，可以体验到，PQ 与BD 保持平行，等腰三角形PQC 存在三种情况．思路点拨1．过点B 作QP 的平行线交AC 于D ，那么BD 的长就是PQ 的最大值．2．线段PQ 扫过的面积S 要分两种情况讨论，点Q 分别在AB 、BC 上．3．等腰三角形PQC 分三种情况讨论，先罗列三边长．图文解析（1）在Rt △ABC 中，AC ＝8，BC ＝6，所以AB ＝10．如图2，当点Q 在AB 上时，作BD //PQ 交AC 于点D ，那么22AB AQ t AD AP t===． 所以AD ＝5．所以CD ＝3． 如图3，当点Q 在BC 上时，16228CQ t CP t-==-． 又因为623CB CD ==，所以CQ CB CP CD =．因此PQ //BD ．所以PQ 的最大值就是BD ． 在Rt △BCD 中，BC ＝6，CD ＝3，所以BD ＝35．所以PQ 的最大值是35．图2 图3 图4（2）①如图2，当点Q 在AB 上时，0＜t ≤5，S △ABD ＝15．由△AQP ∽△ABD ，得2()AQPABDS AP S AD =△△．所以S ＝S △AQP ＝215()5t ⨯＝235t ． ②如图3，当点Q 在BC 上时，5＜t ≤8，S △ABC ＝24． 因为S △CQP ＝12CQ CP ⋅＝1(162)(8)2t t --＝2(8)t -，所以S ＝S △ABC －S △CQP ＝24－(t －8)2＝－t 2＋16t －40．（3）如图3，当点Q 在BC 上时，CQ ＝2CP ，∠C ＝90°，所以△PQC 不可能成为等腰三角形．当点Q 在AB 上时，我们先用t 表示△PQC 的三边长：易知CP ＝8－t ．如图2，由QP //BD ，得QP AP BD AD =，即535t =．所以35QP t =． 如图4，作QH ⊥AC 于H ．在Rt △AQH 中，QH ＝AQ sin ∠A ＝65t ，AH ＝85t ． 在Rt △CQH 中，由勾股定理，得CQ ＝22QH CH +＝2268()(8)55t t +-． 分三种情况讨论等腰三角形PQC ：（1）①当PC ＝PQ 时，解方程358t t -=，得6510t =-≈3.4（如图5所示）． ②当QC ＝QP 时，226835()(8)55t t t +-=．整理，得2111283200t t -+=． 所以(11t －40)(t －8)＝0．解得4011t =≈3.6（如图6所示），或t ＝8（舍去）． ③当CP ＝CQ 时，22688()(8)55t t t -=+-．整理，得25160t t -=．解得165t =＝3.2（如图7所示），或t ＝0（舍去）． 综上所述，当t 的值约为3.4，3.6，或等于3.2时，△PQC 是等腰三角形．图5 图6 图7考点伸展第（1）题求P 、Q 两点间距离的最大值，可以用代数计算说理的方法：①如图8，当点Q 在AB 上时，PQ ＝22QH PH +＝2268()()55t t t +-＝35t ． 当Q 与B 重合时，PQ 最大，此时t ＝5，PQ 的最大值为35．②如图9，当点Q 在BC 上时，PQ ＝22CQ CP +＝22(2)CP CP +＝5(8)t -． 当Q 与B 重合时，PQ 最大，此时t ＝5，PQ 的最大值为35．综上所述，PQ 的最大值为35．图8 图9§1．3 因动点产生的直角三角形问题课前导学我们先看三个问题：1．已知线段AB ，以线段AB 为直角边的直角三角形ABC 有多少个？顶点C 的轨迹是什么？2．已知线段AB ，以线段AB 为斜边的直角三角形ABC 有多少个？顶点C 的轨迹是什么？3．已知点A (4,0)，如果△OAB 是等腰直角三角形，求符合条件的点B 的坐标．图1 图2 图3如图1，点C 在垂线上，垂足除外．如图2，点C 在以AB 为直径的圆上，A 、B 两点除外．如图3，以OA为边画两个正方形，除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B，共6个．解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．如图4，已知A(3, 0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标．我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C．如果作BD⊥y轴于D，那么△AOC∽△CDB．设OC＝m，那么341mm-=．这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交点．图4例19 2015年省市中考第21题如图1，已知抛物线E1：y＝x2经过点A(1,m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2)，点A、B关于y轴的对称点分别为点A′、B′．（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；（2）如图1，在第一象限，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，P为第一象限的抛物线E1上与点A不重合的一点，连结OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．。
2018中考复习北师大版数学——图形的相似(经典题-超全)
图形的相似知识点1比例的性质、单选题531.已知———,那么的值是X21015 3A.3 B • C •D•2.已知3x=4y(xy乞0则下列比例式成立的是（）A. j 4 C . = J D・ y3，则下列各式不成立的是（）2耳4 2x y6•若=，贝U 的值为(x y1 2 A •B•7.已知2x=3y （xy工），则下列各式中错误的是（）A x^-vA.卞=A MT CB .〒=三J 」广叱卩]a5a-b8・已知工=_n, 则的值是（）a+b■n94A•卞 B .巧 C •可D•号a3a+b〜9.若—则的值为（)b5b3・不为0的四个实数a、b , c、d 满足励■=•：＜/，改写成比例式错误的是（a d cb d b a cA B • C • D •—-zc b ad a c b d1■十片7X4・如果，那么的值是（)•) 5•若yX10.已知x ： y=3: 2，则下列各式中不正确的是（）、解答题11. 已知 a ： b : c=2： 3 : 4,且 2a+3b -2c=10，求 a -2b+3c 的值. 12.已知 == ,且 x+y -z=6,求 x 、y 、z 的值.—ra b5a-2b 的值.13. 已知=口 0求代数式a 2b已知x 2y14.=,且 x -y=2,求y 的值.2a b c,求a 、b 、c 的值15. 已知 a+b+c= 60,且一——一3 4 516.已知a3，求下列算式的值.b 217.已知 —b，求代数式5a _2b的值.23 a 2bx y z 18. 已知2 34亠x 2y …（1） 求的值；z（2） 如果 \ x 3 y z ，求x 的值.b c— —, 求a 、b 、c 的值.45专= =身，x - y+z=6,求：代数式3x - 2y+z 的值.三、填空题8-5 A5一2一一1-n士-¥■19.已知 a+b+c=60，且20.已知: 35C3-1Dx 21. 若—22. 已知 a:b=3:2，贝U (a-b):a= _____ .x y23. 如果x ： y=4: 3，那么 一ya 3小2a"亠24. 已知，贝U的值为 _______b 4 a bx+y25. 如果x ： y=1: 2，那么 一yx y3x 2y26. 已知，则—2 4 x ya 3a b27. 如果 T = W ,那么 ----------- ------ 1 (填“=”>'”“”)b3 4 ra b28. 右==，则4c。
人教版数学中考复习方案：第25课时 相似形(共39张PPT)
第26课时 视图与投影
(3) 如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对
应________ 成比例 ，那么这两个三角形相似．
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考点4 相似三角形的性质
如图 25 － 3 ，△ ABC 中， BC ＝ 2 ， DE 是它的中位线，下面三 个结论： (1)DE ＝ 1 ； (2) △ADE∽△ ABC ； (3) △ ADE 的面积与
【归纳总结】
成比例 成比例
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考点3 相似三角形及其判定
已知：如图 25 － 2 ①②中各有两个三角形，其边长和角的 度数已在图上标注，图②中 AB ， CD 交于点 O ，对于各图中的两
个三角形而言，下列说法正确的是( A )
A ．都相似 似 B ．都不相似 C ．只有①相似 D ．只有②相
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3．线段的黄金分割 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC(AC>BC)， 如果 AC 是线段 AC BC 5－1 AB 和 BC 的比例中项，且 ＝ ＝ ≈0.618，则 C 点叫做线段 AB AC 2
黄金分割点 ． AB 的____________
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第26课时 视图与投影 例3 [2013·湘西] 如图25－5，在▱ABCD中，E是AD边上的
图25－4
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第26课时 视图与投影
DE 1 [解析] 由题意可知，DE 为△ABC 的中位线，∴DE∥BC， ＝ ， BC 2
2018中考专题相似三角形
2018中考数学专题相似形(共40题)1.如图，△ ABC和厶ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，/ BACK DAE=90, 点P为射线BD, CE的交点.(1)求证：BD=CE(2)若AB=2, AD=1,把厶ADE绕点A旋转，当/ EAC=90时，求PB的长；备用图备坪圏2.如图，直角△ ABC中，/ BAC=90，D在BC上，连接AD,作BF丄AD分别交AD 于E, AC于F.(1)如图1,若BD=BA 求证：△ ABE^A DBE;(2)如图2，若BD=4DC取AB的中点G,连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC; ② A*AF?AC圍1 亂3.如图，在锐角三角形ABC中，点D, E分别在边AC, AB上, AG丄BC于点G, AF丄DE于点F,Z EAFK GAC(1)求证：△ ADE^A ABC;4•如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE,过顶点B作BF 丄DE,垂足为F, BF分别交AC于H,交CD于G.(1)求证：BG=DE(2)若点G为CD的中点，求二的值.5. (1)如图1在正方形ABCD中，点E, F分别在BC, CD上, AE±BF于点M , 求证：AE=BF(2)如图2,将 (1 中的正方形ABCD改为矩形ABCD, AB=2 BC=3 AE±BF 于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论.置n 阖＜6. 如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD AC平分/ BAD,点P是AC延长线上点，且PD丄AD.(1)证明：/ BDC=/ PDC(2)若AC与BD相交于点E, AB=1, CE CP=2 3,求AE的长.7. A ABC 和△ DEF 是两个全等的等腰直角三角形，/ BACK EDF=90, △ DEF 的 顶点E 与厶ABC 的斜边BC 的中点重合，将△ DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线 段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q .(1) 如图①，当点 Q 在线段AC 上，且AP=AQ 时，求证：△ BPE^A CQE(2) 如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△ BP0A CEQ 并求当 BP=2 CQ=9时 BC 的长.8. 如图，在矩形 ABCD 中，E 为AB 边上一点，EC 平分/ DEB F 为CE 的中点, 连接AF ，BF,过点E 作EH// BC 分别交AF ，CD 于G ，H 两点.(1) 求证：DE=DC(2) 求证：AF 丄BF ;(3) 当AF?GF=28寸，请直接写出 CE 的长.9. 在Rt A ABC 中，/ BAC=90,过点B 的直线MN // AC, D 为BC 边上一点，连 接AD ，作 DE 丄AD 交MN 于点E,连接AE(1) 如图 1,当/ ABC=45时，求证：AD=DE(2) 如图2,当/ABC=30时，线段AD 与DE 有何数量关系？并请说明理由.图① 圍②10•如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE=AB点P 从点D出发，以每秒1个单位长度沿XC-B向终点B运动，直线EP交AD 于点F,过点F作直线FG丄DE于点G,交AB于点R.(1)求证：AF=AR(2)设点P运动的时间为t，①求当t为何值时，四边形PRBC是矩形？②如图2,连接PB•请直接写出使厶PRB是等腰三角形时t的值.图1 图211 •如图，正方形ABCD的对角线AC, BD相交于点O,延长CB至点F，使CF=CA 连接AF,Z ACF的平分线分别交AF, AB, BD于点E, N, M，连接EO.(1) 已知BD=二求正方形ABCD的边长；(2) 猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.12.将两块全等的三角板如图1摆放，其中/ A1CB=/ ACB=90, / A = / A=30°. (1)将图1中厶A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2,点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP=CQ(2)在图2中，若AP1=a,贝U CQ等于多少？(3)将图2中厶A1B1C绕点C顺时针旋转到△ A2B2C (如图3),点P2是A2C与APi 的交点•当旋转角为多少度时，有△ AP i C sA CPP 2?这时线段CP 与P 1P 2之 间存在一个怎样的数量关系？13•把Rt A ABC 和Rt ^ DEF 按如图(1)摆放(点C 与E 重合)，点B 、C (E )、F 在同一条直线上.已知：/ ACBN EDF=90, / DEF=45, AC=8cm, BC=6cm EF=10cm 如图(2), △ DEF 从图(1)的位置出发，以1cm/s 的速度沿CB 向厶ABC 匀速移动，在△ DEF 移动的同时，点P 从厶ABC 的顶点A 出发，以2cm/s 的 速度沿AB 向点B 匀速移动；当点P 移动到点B 时，点P 停止移动，△ DEF 也随 之停止移动.DE 与AC 交于点Q ,连接PQ,设移动时间为t (s ).(1) 用含t 的代数式表示线段AP 和AQ 的长，并写出t 的取值范围；(2) 连接PE,设四边形APEQ 的面积为y (cm 2),试探究y 的最大值;14. A ABC, / A 、/ B 、/ C 的对边分别是a 、b 、c , 一条直线DE 与边AC 相交(1)如图①，若DE 将△ ABC 分成周长相等的两部分，贝U AD+AE 等于多少；(用 a 、b 、c 表示)(2)如图②，若AC=3 AB=5, BC=4. DE 将厶ABC 分成周长、面积相等的两部 分，求AD;图1 砂 图3(3)当t 为何值时，△ APQ 是等腰三角形.于点D ,与边AB 相交于点E.(3)如图③，若DE将△ ABC分成周长、面积相等的两部分，且DE// BC,则a、b、c满足什么关系？15. 已知：如图，四边形ABCD是正方形，/ PAQ=45,将/ PAQ绕着正方形的顶点A旋转，使它与正方形ABCD的两个外角/ EBC和/FDC的平分线分别交于点M 和N,连接MN.(1) 求证：△ ABM s^ NDA;(2) 连接BD，当/BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明.16. 如图，在锐角厶ABC中，D，E分别为AB, BC中点，F为AC上一点，且/ AFE=/ A，DM / EF交AC于点M .(1)点G 在BE上，且/ BDG=/ C,求证：DG?CF=DM?EG(2)在图中，取CE上一点H,使/ CFH=/ B,若BG=1,求EH的长.17. A ABC中，AB=AC 点D、E、F分别在BC AB AC上，/ EDF=/ B.(1)如图1,求证：DE?CD=DF?BE(2)D为BC中点如图2,连接EF.①求证：ED平分/ BEF；②若四边形AEDF为菱形，求/ BAC的度数及竺的值.18. 如图，在厶ABC中，点P是AC边上的一点，过点P作与BC平行的直线PQ, 交AB于点Q，点D在线段BC上，联接AD交线段PQ于点E,且丄Q，点GCD BD在BC延长线上，/ ACG的平分线交直线PQ于点F.(1)求证：PC=PE(2)当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形.19•如图，已知△ ABC中，AC=BC点D、E、F分别是线段AC BC AD的中点, BF、ED的延长线交于点G,连接GC(1)求证：AB=GD20•如图，在△ ABC中，D、E分别为AB AC上的点，线段BE CD相交于点O, 且/ DCB=/ EBC二/ A.2(1)求证：△ BOR A BAE(2) 求证：BD=CE(3) 若M 、N 分别是BE 、CE 的中点，过MN 的直线交AB 于P ,交AC 于Q ,线 段AP 、AQ 相等吗？为什么？21. 如图，在矩形 ABCD 和矩形 PEFG 中, AB=8, BC=6 PE=2 PG=4 PE 与 AC 交于点M , EF 与AC 交于点N ,动点P 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速 度向点B 匀速运动，伴随点P 的运动，矩形PEFG 在射线AB 上滑动；动点K 从 点P 出发沿折线PE-- EF 以每秒1个单位长的速度匀速运动.点P 、K 同时开始 运动，当点K 到达点F 时停止运动，点P 也随之停止.设点P 、K 运动的时间是 t 秒(t > 0).(1) 当 t=1 时，KE ______ , EN= ______;(2) 当t 为何值时，△ APM 的面积与厶MNE 的面积相等？(3) 当点K 到达点N 时，求出t 的值；(4) 当t 为何值时，△ PKB 是直角三角形？22. 如图(1),在厶ABC 中，AD 是BC 边的中线，过 A 点作AE// BC 与过D 点作 DE// AB 交于点E,连接CE(1) 求证：四边形ADCE 是平行四边形.(2) 连接BE, AC 分别与BE 、DE 交于点F 、G ,如图(2),若AC=6求FG的J3 G — F 貝V D23 •已知：在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是CB CD 延长线上的点，且 BE=DF 联结AE 、AF 、DE 、DE 交AB 于点M .(1)如图1,当E 、A 、F 在一直线上时，求证：点 M 为ED 中点;(2)已知，如图2,在厶ABC 中，点D 为边AC 上任意一点，连结 BD ,取BD 中 (3) 在(2)的条件下，若AB=AC AF=CD 求卑的值. Ar 1(2)如图2,点E ，F 在AB 及其延长线上，/ A=60°, AB=4, BE=3求BF 的长.第9页(共78页)点E ,连结CE 并延长CE 交边AB 于点F ，求证: BF 工AF AC(1)求证：DE// BC.(1) 求证：AD 2=BG?DH (2) 求证：CE= PG; (3) 求证:EF= HG .27. 如图，C 为线段BD 上一动点，过B 、D 分别作BD 的垂线，使AB=BC DE=DB 连接AD 、AC BE,过B 作AD 的垂线，垂足为F ,连接CE EF.（1）求证:AC?DF= :BF?BDF ,交 BD 于 H 、G.D（2）点C运动的过程中，/ CFE的度数保持不变，求出这个度数; CE// BF?并说明理由.28. 如图，在△ ABC中，点D在边AB上（不与A，B重合），DE/ BC交AC于点巳将厶ADE沿直线DE翻折，得到△ A D,E直线DA，EA分别交直线BC于点M，第10页（共78页）N .(1) 求证：DB=DM.(2) 若如=2，DE=6,求线段MN 的长.29. 如图，已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，点E 在线段DC 上，点A 、D 、G 在同一直线上，且 AD=3, DE=1,连接AC 、CG AE,并延长AE 交OG 于点 H .(1) 求证：/ DAE=Z DCG (2) 求线段HE 的长.30. 如图，△ ABC 中，点E 、F 分别在边AB, AC 上, BF 与CE 相交于点P ,且/ 仁/2丄/ A .(用含n 的代数式表示).DB(1)如图1,若AB=AC 求证：BE=CF(2)若图2,若AB M AC,①(1)中的结论是否成立？请给出你的判断并说明理由；②求证：二.CE AC31 •如图1,在锐角△ ABC中，D、E分别是AB BC的中点，点F在AC上，且满足/ AFEN A, DM // EF交AC于点M .(1) 证明：DM=DA;(2) 点G在BE上，且/ BDGd C,如图2,求证：△ DES A ECF(3) 在图2中，取CE上一点H,使得/ CFHN B,若BG=5,求EH的长.32. 如图，正方形ABCD中，边长为12, DE±DC交AB于点E, DF平分/ EDC 交BC于点F,连接EF.(1)求证：EF=CF33. 如图，已知在厶ABC中，P为边AB上一点，连接CP, M为CP的中点，连接BM并延长，交AC于点D, N为AP的中点，连接MN .若/ ACP玄ABD.(1)求证：AC?MN=BN?AP(2)若AB=3, AC=2,求AP 的长.DC34. 如图，已知AC、EC分别为四边形ABCD和EFCG勺对角线，点E在厶ABC 内, / CAEn Z CBE=90,当四边形ABCD和EFCG匀为正方形时，连接BF.（1）求证：△ CA0A CBF（2）若BE=1, AE=2 求CE的长.35. 如图①，矩形ABCD中, AB=2, BC=5 BP=1, Z MPN=90，将Z MPN 绕点P 从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交边AB （或AD）于点E, PN交边AD （或CD）于点F,当PN旋转至PC处时，Z MPN的旋转随即停止.（1）特殊情形：如图②，发现当PM过点A时，PN也恰巧过点D,此时，△ ABP △PCD（填么”或Q”；（2）类比探究：如图③，在旋转过程中，二丄的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.36. 如图，点M是厶ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ ABC的各边，所形成的三个小三角形△ 1、出、厶3 （图中阴影部分）的面积分别是1、4、25.则△ ABC的面积是 _____ .37. 如图，△ ABC中，/ ACB=90, AC=5, BC=12 CO丄AB于点O, D 是线段OB 上一点，DE=2 ED// AC (Z ADE< 90°),连接BE、CD.设BE、CD的中点分别为P、Q.(1)求AO的长；(2)求PQ的长；(3)设PQ与AB的交点为M，请直接写出|PM- MQ|的值.38. 尤秀同学遇到了这样一个问题：如图1所示，已知AF，BE是厶ABC的中线, 且AF丄BE,垂足为P,设BC=a AC=b, AB=c.求证：a2+b2=5c?该同学仔细分析后，得到如下解题思路：先连接EF,利用EFABC的中位线得到△ EPF^A BPA故寻書曙# ,Dr 1 A. LJL L£设PF=m PE=n用m , n把PA PB分别表示出来,再在Rt A APE Rt A BPF中利用勾股定理计算，消去m, n即可得证(1)请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程.(2)禾I」用题中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC, BD的交点，E, F分别为线段AO, DO 的中点，连接BE, CF并延长交于点M , BM, CM分别交AD于点G, H,如图2所示，求MG2+MH2的值.39•如图，在△ ABC 中，点D , E 分别在边AB, AC 上，/ AEDN B ,射线AG 分 别交线段D E BC 于点F , G ,且- (1)求证：△ ADF ^A ACQ长线上的任意一点，PF 交AD 于M , PE 交BC 于N , EF 交MN 于K.E, F 分别是AB, CD 的中点，P 为对角线AC 延的值.(2)若 FG坐4,求世AC ~2参考答案与试题解析（共40题）1. （2017?阿坝州）如图，△ ABC和厶ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，/ BACK DAE=90,点P为射线BD, CE的交点.（1）求证：BD=CE（2）若AB=2, AD=1,把厶ADE绕点A旋转，当/ EAC=90时，求PB的长；备用囹备坪圍【解答】解：（1厂.上ABC和厶ADE是等腰直角三角形，/ BACK DAE=90，••• AB=AC AD=AE / DAB=Z CAE•••△ADB^A AEC••• BD=CE（2）解：①当点E在AB上时，BE=AB- AE=1.vZ EAC=90,二CE=「；I L - ' = !,.同（1）可证△ADB^A AEC•••Z DBA=Z ECAvZ PEB=Z AEC，• △PEB^A AECPB_BEACPB_ 12PB=—L§②当点E在BA延长线上时，BE=3图二vZ EAC=90,同（1）可证△ADB^A AEC.Z DBA=Z ECAvZ BEP Z CEA.△PEB^A AECB£AC CEL-'_ 一；PB_综上所述，PB的长为二或'_ '.5 52. (2017?常德)如图，直角△ ABC中，Z BAC_90, D在BC上，连接AD,作BF 丄AD分别交AD于E，AC于F.(1)如图1,若BD_BA 求证：△ ABE^A DBE;(2)如图2，若BD_4DC取AB的中点G,连接CG交AD于M，求证：①GM_2MC;② A G_AF?AC图1亂【解答】证明：(1)在Rt A ABE和Rt A DBE中，/BA=BD 应二BE •••△ABE^A DBE(2)①过G作GH// AD交BC于H,••• AG=BG••• BH=DH••• BD=4DC设DC=1, BD=4,••• BH=DH=2••• GH// AD ,G!L-HD.2m DC r••• GM=2MC;②过C作CN丄AC交AD的延长线于N ,贝U CN// AG, •••△AGM s^ NCM ,AG..GJ/lNC MC '由①知GM=2MC ,••• 2NC=AGvZ BACK AEB=90 ,•••/ ABF=Z CAN=90 -Z BAE,•••△ACN SA BAF,AF.-ABCN ACv AB=2AGAF.2AGCN AC••• 2CN?AG=AF?C,••• A*AF?AC3. （2017?杭州）如图，在锐角三角形 ABC 中，点D , E 分别在边AC, AB 上，AG 丄 BC 于点 G , AF 丄 DE 于点 F ,Z EAF=Z GAC【解答】 解：（1）v AG 丄BC, AF 丄DE,• / AFE=/ AGC=90,vZ EAF=/ GAC ,• / AED=/ ACBvZ EAD=/ BAC ,• △ ADE^A ABC,（2）由（1）可知：△ ADE^A ABC,•坐型=1•.忑氓=5由（1）可知：Z AFE=/ AGC=90 ,• Z EAF=/ GAC ,• △ EAF^A CAQ（1）求证：△ AD3A ABC;的值.4. （2017?眉山）如图，点 E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，连结 DE, 过顶点B 作BF 丄DE,垂足为F , BF 分别交AC 于H ,交CD 于G.（1） 求证：BG=DE（2） 若点G 为CD 的中点，求亠的值.【解答】解：(1)v BF 丄DE,•••/ GFD=90,vZ BCG=90,Z BGC=/ DGF,•••/ CBG Z CDE在^ BCG 与△ DCE 中，ZCBG=ZCDEBC 二 CDZ BCG =Z DCE•••△ BCG^A DCE( ASA ,••• BG=DE(2)设 CG=1,v G 为CD 的中点，A GD=CG=1由(1)可知：△ BCG^A DCE( ASA ),A CG=CE=,1A 由勾股定理可知：DE=BG=儿,[••• si n/ CDE J L J-,DE GD•••GF亠,5••• AB// CG• △ABH^A CGHAB BH._2• BH= n, GH= n,w J=5GF35. （2017?可池）（1）如图1,在正方形ABCD中，点E, F分别在BC, CD上，AE丄BF于点M，求证：AE=BF（2）如图2,将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD AB=2 BC=3 AE±BF 于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论.【解答】（1）证明：•••四边形ABCD是正方形,•/ ABC2 C, AB=BC••• AE 丄BF,•/ AMB=/ BAM+/ ABM=90 ,v/ ABM+/ CBF=90,•/ BAM=/ CBF.在厶ABE ftA BCF中,AB=CB ,k ZABE=ZBCF•••△ ABE^A BCF( ASA ,••• AE=BF(2)解:AE J BF,3理由：•••四边形ABCD是矩形，•••/ ABC=/ C,••• AE 丄BF,•••/ AMB=Z BAM+Z ABM=90 ,vZ ABM+Z CBF=90,•••Z BAM=Z CBF,•••△ ABE^A BCF6. (2017?泰安)如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD AC平分Z BAD,点P是AC 延长线上一点，且PD丄AD.(1)证明：Z BDC=/ PDC(2)若AC与BD相交于点E, AB=1, CE CP=2 3,求AE的长.【解答】(1)证明：v AB=AD, AC平分Z BAD,•AC丄BD,•Z AC&Z BDC=90,••• AC=AD•••/ ACD=/ ADC,•••/ ADC+Z BDC=90,••• PD 丄AD,•••Z ADC+Z PDC=90,•••Z BDC=/ PDQ(2)解：过点C作CM丄PD于点M ,vZ BDC=/ PDC•CE=CMvZ CMP=Z ADP=90 , Z P=Z P,•△CPM^A APD,设CM=CE=xv CE CP=2 3,• PC^x,v AB=AD=AC=13r.\1\■37. (2017?天水)△ ABC和△ DEF是两个全等的等腰直角三角形，/ BACKEDF=90,△ DEF的顶点E与厶ABC的斜边BC的中点重合，将厶DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△ BPE^A CQE(2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△ BP0A CEQ并求当BP=2 CQ=9时BC 的长.F【解答】（1）证明：•••△ ABC是等腰直角三角形,•••/ B=Z C=45 , AB二AC，••• AP=AQ••• BP=CQ••• E是BC的中点，••• BE=CE在厶BPE ft^ CQE中，BE=CE一…厶，BP=CQ•••△ BPE^A CQE( SAS ;(2)解：DEF是两个全等的等腰直角三角形,.•./ B=Z C=Z DEF=45,vZ BEQ=/ EQC+Z C,即/ BEF+Z DEF=Z EQG Z C,.Z BEF+45°=Z EQC+450,.Z BEP Z EQC.△BPE^A CEQv BP=2 CQ=9 BE=CE.BW=18 ,.BE=CE=3 :,.BC=6：:.8. (2017?绥化)如图,在矩形ABCD中,E为AB边上一点,EC平分Z DEB F 为CE 的中点，连接AF, BF,过点E作EH// BC分别交AF , CD于G , H两点.(1)求证：DE=DC(2)求证：AF丄BF;(3)当AF?GF=28时,请直接写出CE的长.【解答】解：(1)v四边形ABCD是矩形, ••• AB// CD,•••/ DCE=/ CEB••• EC平分/ DEB•••/ DEC=/ CEB•••/ DCE=/ DEC••• DE=DC(2)如图,连接DF ,•••DE二DC F为CE的中点,••• DF 丄EC,•••/ DFC=90 ,在矩形ABCD中 , AB二DC / ABC=90 ,••• BF=CF=EF=EC,•••/ ABFN CEB• Z DCE=/ CEB•••/ ABF=Z DCF,在厶ABFft^ DCF中,•••△ ABF ^A DCF ( SAS ,•••/ AFBN DFC=90, ••• AF 丄 BF ;(3) CE=4 ：理由如下：••• AF 丄BF,•••/ BAF+Z ABF=90,••• EH// BC,Z ABC=90,•••Z BEH=90,•••Z FEF+Z CEB=90,vZ ABF=Z CEB• Z BAF=Z FEHvZ EFG Z AFE• △ EF3A AFE_,即 EP=AF?GFEF AF v AF?GF=28• EF=2 一 ,• CE=2EF=4：9. (2017?雨城区校级自主招生)在 Rt A ABC 中,Z BAC=90 °过点B 的直线MN // AC, D 为BC 边上一点,连接 AD ，作DEX AD 交MN 于点E,连接AE.(1)如图 1,当Z ABC=45时,求证：AD 二DEBF^CF. ■:-,AB 二 DC贝U/ BDE+Z FDE=90,••• DE 丄 AD ,•••Z FDE+Z ADF=90, •••Z BDE=/ ADF, vZ BAC=90,Z ABC=45, • Z C=45, v MN // AC,• Z EBD=180-Z C=135 , vZ BFD=45 , DF 丄 BC, • Z BFD=45 , BD=DF • Z AFD=135 , • Z EBD=/ AFD,在△BDE 和△ FDA 中ZEBD=ZAFDBD 二DF ,Z BDE =Z AD ?• △ BDE^A FDA (ASA ),• AD=DE(2)解:DE=「；AD ,理由：如图2,过点D 作DG 丄BC,交AB 于点G , 贝UZ BDE F Z GDE=90 ,v DE 丄 AD , •••/ GDE+Z ADG=90,[?并请说明理由.【解答】(1)证明：如图1,过点D 作DF 丄BC,交AB 于点F ,•••/ BDE=/ ADG,vZ BAC=90,Z ABC=30,:丄 C=60,v MN // AC,•••Z EBD=180-Z C=120,vZ ABC=30, DG丄BC,•Z BGD=60,•Z AGD=120,•Z EBD=/ AGD,•△BD0A GDA在Rf B DG中，一希30 =_ ,• DE= 'AD.10. （2017?深圳模拟）如图1,边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE=AB点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿D^C^B向终点B运动，直线EP交AD于点F,过点F作直线FG丄DE于点G,交AB于点R.(1) 求证：AF=AR（2）设点P 运动的时间为t ,①求当t 为何值时，四边形PRBC 是矩形?【解答】(1)证明：如图，在正方形 ABCD 中，AD=AB=2 ••• AE=AB ••• AD=AE•••/ AED=/ ADE=45, 又••• FG 丄 DE,•••在 RtAEGR 中,/ GER / GRE=45, •••在 RtAARF 中,/ FRANAFR=45, • / FRA=/ RFA=45, • AF=AR（2）解：①如图，当四边形PRBC 是矩形时, 贝U 有 PR// BC, • AF / PR,• △ EAF^A ERPAF EAAR 2AF -二由2 '2 ~2+AR ，解得：匕-1- 或（不合题意，舍去），I '「 I 7,•••点P 从点D 出发，以每秒1个单位长度沿D^CF 向终点B 运动,（秒）;②如图2,连接PB •请直接写出使厶PRB 是等腰三角形时t 的值.即:(1)得 AF=AR②若PR=PB过点P作PK L AB于K,设FA=x 贝U RK J BR J (2 -x),2 2•••△ EFA^A EPK解得：x=±近^-3 （舍去负值）;••• t=」I （秒）；2若PB=RB则厶EFA^A EPBBP」AB=- X 2—3 3 3.CP=BC- BP=2-2县,33，.谒(秒)-综上所述，当PR=PB时，t= [ •;当PB=RB时，t--秒.2 '--111. (2017?江汉区校级模拟)如图，正方形ABCD的对角线AC, BD相交于点0, 延长CB至点F，使CF=CA连接AF, / ACF的平分线分别交AF, AB, BD于点E, N, M，连接E0.(1) 已知BD=T:，求正方形ABCD的边长；(2) 猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.【解答】解：(1)v四边形ABCD是正方形,•••△ ABD是等腰直角三角形，••• 2AB^=BD2, ••• BD=]:, ••• AB=1,•••正方形ABCD的边长为1;(2) CN=2EM证明方法一、理由：•••四边形ABCD是正方形,••• AC丄BD, 0A=0CV CF=CA CE是/ ACF的平分线,••• CELAF, AE=FE••• EO%A AFC的中位线••• EO// BC-BC ~CN•••在Rt A AEN中，OA=OCEO=OC=AC,2PC BM J•CM=「EMV CE平分/ ACF,•/ OCM=Z BCN,V Z NBC=/ COM=90 ,•△CBN^A COM ,•CM 二CC_ 1••苛BC二占,•CN= [CM ,即CN=2EM.证明方法二、V四边形ABCD是正方形，•Z BAC=45=Z DBC,由（1）知,在Rt A ACE中,EO」AC=CO •Z OEC Z OCEV CE平分Z ACF,•Z OCE Z ECB Z OEC•EO// BC,•Z EOM=Z DBC=45 ,V Z OEM=Z OCE•△EOM^A CAN,•EM EO 1CN~CA'2•CN=2CM12. (2017?济宁二模)将两块全等的三角板如图1摆放，其中/ A i CB = / ACB=90, /A i=Z A=30°.(1)将图1中厶A i B i C绕点C顺时针旋转45°得图2,点P i是A i C与AB的交点，点Q是A i B i与BC的交点，求证：CR=CQ(2)在图2中，若AP i=a,贝U CQ等于多少？(3)将图2中厶A i B i C绕点C顺时针旋转到△ A2B2C (如图3)，点P2是A2C与APi的交点•当旋转角为多少度时，有△ AP i C sA CPP2?这时线段CP与P1P2之间存在一个怎样的数量关系？.【解答】(1)证明：I / BiCB=45, / B i CA=90°,B i CQ=/ BCP=45°;又B i C=BC / B i=/ B,B i CQ^A BCP (ASA)--CQ=CP；(2)解：如图：作P i D丄AC于D，v/ A=30°，• P i D^-AP i;v/ P i CD=45，•••CRMP I D Q A P I;2又AP i=a, CQ=CP,• CQ=「a；2(3)解：当/ P i CR=/ P I AC=30时，由于/ CPF2=/AP i C,则厶AP i C s^ CPR, 所以将图2中厶A i B i C绕点C顺时针旋转30°到厶A2B2C时，有△ AP i C sA CPP2.P1巳CP-V2i3. (20i7?惠阳区模拟)把Rt A ABC和Rt A DEF按如图(i)摆放(点C与E重合)，点B、C(E)、F 在同一条直线上.已知：/ ACB=/ EDF=90, / DEF=45,AC=8cm BC=6cm EF=i0cm 如图(2), △ DEF从图(i)的位置出发，以icm/s 的速度沿CB向厶ABC匀速移动，在△ DEF移动的同时，点P从厶ABC的顶点A 出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动.DE与AC交于点Q,连接PQ,设移动时间为t (s).(1) 用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；(2) 连接PE,设四边形APEQ的面积为y (cm2),试探究y的最大值;(3) 当t为何值时，△ APQ是等腰三角形.这时【解答】(1)解：AP=2t vZ EDF=90, / DEF=45,•••/ CQE=45=Z DEF, ••• CQ=CE=t••• AQ=8- t,t的取值范围是：O W t<5;(2)过点P 作PG丄x 轴于G,可求得AB=1O, SinB二,PB=1O- 2t,5• PG=PBSinB= (10 - 2t)• y=S\ ABC—S\ PBE—S\QC冷心X诸(5) X啟10如寺2=罟，罟伕普"詈)若AP=PQ 如图①：过点P作PH丄AC,贝U AH=QH」,PH// BCAP ABAH-'AC 52t108-t_82解得：-二上-(s) 若AQ=PQ如图②：过点Q作QI丄AB,则AI=P=AP=tvZ AIQ=Z ACB=90Z A=Z A ,EB=6-t, 265•••当-二亠(在O W t< 5内)，y有最大值，y最大值二…‘一(cm2)(3)若AP=AQ则有2t=8 - t解得:14. (2017?庐阳区一模)△ ABC, / A 、/ B 、/ C 的对边分别是 a b 、c , 一条 直线DE 与边AC 相交于点D ,与边AB 相交于点E.(1)如图①，若DE 将△ ABC 分成周长相等的两部分，贝U AD+AE 等于多少；(用 a 、b 、c 表示)(2) 如图②，若AC=3 AB=5, BC=4. DE 将厶ABC 分成周长、面积相等的两部 分，求AD ;(3) 如图③，若DE 将△ ABC 分成周长、面积相等的两部分，且 DE// BC,则a 、 b 、c 满足什么关系?【解答】解：(1)v DE 将厶ABC 分成周长相等的两部分, ••• AD+AE=CBBGBE 丄(AB+AGBC )丄(a+b+c );(2)设 AD=x, AE=6- x ,••• S ADE =-AD?AE?si nA=3 即：丄x (6-x ) ?_=3, 解得：沪斗(舍去)，x 2 J ••• AD=」;2综上所述, 8或辿 或 32 t_3 或时，△ APQ 是等腰三角形.C J3图3(3)v DE// BC,•••△ ADE^A ABC,15. （2017?嘉兴模拟）已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，/ PAQ=45,将/ PAQ 绕着正方形的顶点A 旋转，使它与正方形 ABCD 的两个外角/ EBC 和/FDC 的平分线分别交于点M 和N ,连接MN .（1） 求证：△ ABM s^ NDA ;（2） 连接BD ,当/BAM 的度数为多少时，四边形BMND 为矩形，并加以证明.【解答】（1）证明：•••四边形ABCD 是正方形,•••/ ABC=/ ADC=Z BAD=90 ,••• BM 、DN 分别是正方形的两个外角平分线，•••/ ABM=Z ADN=135 ,vZ MAN=4° ,•••/ BAM=Z AND=45 -Z DAN,c,2 (a+b+c ),•••△ABM s^ NDA;(2)解：当Z BAM=22.5时，四边形BMND为矩形；理由如下:vZ BAM=22.5，Z EBM=45,•••Z AMB=22.5 ,•••Z BAM=Z AMB,•AB=BM,同理AD=DN,v AB=AD • BM=DN,v四边形ABCD是正方形•Z ABD=Z ADB=45,•Z BDN=Z DBM=9°•Z BDN+Z DBM=18° ,•BM// DN•四边形BMND为平行四边形，vZ BDN=90 ,•四边形BMND为矩形.16. (2017?肥城市三模)如图，在锐角厶ABC中，D, E分别为AB, BC中点，F 为AC上一点，且Z AFE=/ A, DM // EF交AC于点M .(1)点G 在BE上，且Z BDG=/ C,求证：DG?CF=DM?EG(2)在图中,取CE上一点H ,使Z CFH=/ B,若BG=1,求EH的长.【解答】(1)证明：如图1所示,••• D, E分别为AB, BC中点，••• DE// ACv DM // EF,•••四边形DEFM是平行四边形，••• DM=EF如图2所示，v D、E分别是AB BC的中点，••• DE/ AC,•••/ BDE=/ A,Z DEG=/ C,vZ AFE=/ A,•••/ BDE=/ AFE,•••Z BDGb Z GDE=/ C+Z FECv/ BDG=Z C,•Z GDE=/ FEC•△DEa A ECF•丄亠•x 一丨，••二二DM CF•DG?CF=DM?EG(2)解：如图3所示,vZ BDG=Z C=Z DEB Z B=Z B ,•△BDG^^ BED,•二」—一•- BD2=BG?BEvZ AFE=/ A, Z CFH=/ B ,•Z C=180 -Z A-Z B=180°-Z AFE-Z CFH=/ EFH 又vZ FEH=/ CEFEH =-EF_EF••• EP=EH?EC•••DE// AC, DM // EF,•••四边形DEFM是平行四边形,••• EF=DM=DA=BD••• BG?BE=EH?EC• BE=EC17. (2017?肥城市模拟)△ ABC中，AB=AC 点D、E、F分别在BC AB、AC上, / EDF玄 B.(1)如图1,求证：DE?CD=DF?BE(2) D为BC中点如图2,连接EF.①求证：ED平分/ BEF；v D 为BC 中点,••• BD=CD BE.DEBD DFvZ B=Z EDF,•••△ BDPA DFE•••Z BED=/ DEF , ••• ED 平分Z BEF ；②v四边形AEDF 为菱形,• Z AEF=/ DEF ,vZ BED=/ DEF ,• Z AEF=60 ,v AE=AF:丄 BAC=60,②若四边形AEDF 为菱形，求/ BAC 的度数及 【解答】（1）证明:：△ ABC 中，AB=AC•••/ B=Z C.vZ B+Z BDE F Z DEB=180,Z BDE^Z EDF+Z FDC=180,Z EDF=/ B,•••/ FDC=/ DEB•••△ BDE^^ CFD ,即 DE?CD=DF?B ；（2）解：①由（1）证得△ BD0A CFD ,的值.vZ BAC=60,•••△ ABC是等边三角形,•••Z B=60°,•••△ BED是等边三角形,•BE=DEv AE=DE•AE丄AB,2=1AB218. （2017?长宁区二模）如图,在厶ABC中，点P是AC边上的一点,过点P作与BC平行的直线PQ,交AB于点Q,点D在线段BC上,联接AD交线段PQ于点E ,且—,点G在BC延长线上,Z ACG的平分线交直线PQ于点F.（1）求证：PC=PE（2）当P是边AC的中点时,求证：四边形AECF是矩形.【解答】（1）证明：v PQ// BC,△AQE^^ABD, △AEF^A ADC,QE AB PE AEBD AD CD _AD'PE QECD BDCP QECD BDCP PECD~CD••• PC=PE(2)v PF// DG,•••/ PFC玄FCGv CF平分/ PCG•••/ PCF玄FCG•••/ PFC玄FCG••• PF=PC••• PF=PEv P是边AC的中点,••• AP=CP•••四边形AECF是平行四边形,v PQ// CD,•••/ PEC2 DCE•••/ PCE2 DCE•••/ PCE■/PCF二(/ PCD F Z PCG =90。
九年级数学上册第25章图形的相似25.4相似三角形的判定第2课时相似三角形的判定定理2作业冀教版(
[25。
4 第2课时相似三角形的判定定理2］一、选择题1．如图20－K－1,四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O,且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是（）A．①和②相似 B．①和③相似C．①和④相似 D．②和③相似图20－K－12．如图20－K－2,图①和图②中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图②中AB，CD相交于点O，对于各图中的两个三角形而言,下列说法正确的是( )图20－K－2A．都相似 B．都不相似C．只有①相似 D．只有②相似3．如图20－K－3,已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法．．判定△ABC∽△ADE 的是（）A。
错误!＝错误! B。
错误!＝错误!C．∠B＝∠D D．∠C＝∠AED图20－K－3 图20－K－44．[2017·石家庄精英中学模拟]如图20－K－4，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是( )A．AC∶BC＝AD∶BD B．AC∶BC＝AB∶ADC．AB2＝CD·BC D．AB2＝BD·BC5．[2017·邢台临城县期中］在△ABC与△A′B′C′中,有下列条件：(1）ABA′B′＝错误!；（2)错误!＝错误!；（3）∠A＝∠A′；（4)∠C＝∠C′.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判定△ABC∽△A′B′C的共有( ）A．1组 B．2组C．3组 D．4组图20－K－56．[2017·石家庄桥西区模拟］如图20－K－5,点A,B,C，D的坐标分别是(1，7)，(1,1)，(4，1)，(6,1），以点C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是( ）A．(6，0）B．(6，3）C．(6，5）D．（4,2）二、填空题7．如图20－K－6，若错误!＝______，则△OAC∽△OBD。
图20－K－6 图20－K－78．如图20－K－7，在△ABC中，D是BA延长线上的一点，AB＝6,AC＝4，AD＝2。
九年级数学上册第25章图形的相似25.5相似三角形的性质第2课时相似三角形的性质定理2练习冀教版(
2018年秋九年级数学上册第25章图形的相似25.5 相似三角形的性质第2课时相似三角形的性质定理2练习（新版）冀教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋九年级数学上册第25章图形的相似25.5 相似三角形的性质第2课时相似三角形的性质定理2练习（新版）冀教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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［第2课时相似三角形的性质定理2］知｜识|目|标1．通过对应线段的比等于相似比、周长与边长之间的关系的理解,掌握相似三角形的周长比等于相似比,并会用它解决问题．2．通过对应边、对应高的比等于相似比、三角形的面积公式理解相似三角形的面积比等于相似比的平方，并会用它解决问题．目标一能利用相似三角形周长的比等于相似比解决问题例1 教材补充例题已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝5 cm，BC＝6 cm,AC＝7 cm.△A′B′C′中最短边长为15 cm，求△A′B′C′的另两边长及周长．【归纳总结】利用相似三角形的性质求三角形的边长或周长时,要注意边的对应关系，熟记相似三角形的周长比等于相似比．目标二能利用相似三角形面积的比等于相似比的平方解决问题例 2 教材补充例题如图25－5－3，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC。
若DE＝2，BC＝5，S＝20，求S四边形BCED。
△ABC图25－5－3【归纳总结】利用相似三角形的性质求三角形的面积时，一定要熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方．知识点相似三角形的性质相似三角形周长的比等于__________．相似三角形面积的比等于____________．如图25－5－4，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD∶BC＝1∶3.求S△AOD∶S△AOB的值．图25－5－4解：∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴错误!＝错误!＝错误!，∴S△AODS△AOB＝（错误!）2＝错误!。
九年级数学上册第25章图形的相似25.6相似三角形的应用第1课时利用相似三角形测量高度练习冀教版(
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25。
6 相似三角形的应用[第1课时利用相似三角形测量高度］知｜识｜目｜标1．通过解决实际问题，能利用阳光下的影子测量物体的高度．2．通过动手实践和师生讨论,能利用标杆测量物体的高度．3．通过师生讨论，能利用平面镜测量物体的高度．目标一能利用阳光下的影子测量物体的高度例1 教材补充例题在同一时刻,身高1。
6米的小丽在阳光下的影长为2。
5米，小丽旁边的一棵大树此时在阳光下的影长为5米，则这棵树的高度为（）A．1.5米B．2。
3米C．3.2米 D．7.8米【归纳总结】在阳光的照射下，同一时刻物体的影长与高度成正比，据此可以列出比例式．目标二能利用标杆测量物体的高度例2 教材P68“一起探究”针对训练如图25－6－1，九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度．已知标杆的高度CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m,人的眼睛与地面的高度EF＝1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，此时，旗杆的顶端A，标杆的顶端C，人眼E恰好在一条直线上,求旗杆AB的高度．图25－6－1【归纳总结】解决此类问题的关键是在图中构造相似三角形，在构造的相似三角形中，寻找与所求高度有关的比例式,求解即可．目标三能利用平面镜测量物体的高度例3 教材补充例题如图25－6－2所示,小明为了测量楼房MN的高度，在离点N 20 m的A 处放了一个平面镜,小明沿着NA后退到点C，恰好从镜中看到楼顶点M.若AC＝1.5 m,小明的眼睛离地面的距离BC＝1.6 m,请你帮助小明计算这幢楼房的高度（结果精确到0。
九年级数学上册第25章图形的相似25.7相似多边形和图形的位似第1课时相似多边形作业冀教版(202
2018年秋九年级数学上册第25章图形的相似25.7 相似多边形和图形的位似第1课时相似多边形作业（新版）冀教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋九年级数学上册第25章图形的相似25.7 相似多边形和图形的位似第1课时相似多边形作业（新版）冀教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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25.7 第1课时相似多边形一、选择题1．下列说法正确的是（)A．对应边成比例的多边形相似B．对应角相等的多边形相似C．边数相等且边长不等的正多边形相似D．所有的矩形都相似2．图26－K－1中有三个矩形，其中相似的是( ）图26－K－1A．甲和乙 B．甲和丙C．乙和丙 D．没有相似的矩形3．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边长为3和5的矩形按图②的方式向外扩张,得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是( )A．两人都对 B．两人都不对C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对4．一个矩形剪去一个以宽为边长的正方形后，所剩下的矩形与原矩形相似,则原矩形的长与宽的比是( )A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!二、填空题5．若五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且AB＝25 cm，A′B′＝20 cm，则五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE的相似比为________．6．已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，且∠A′∶∠B′∶∠C′∶∠D′＝4∶1∶2∶3,则四边形ABCD各角的度数为__________________．7．已知六边形ABCDEF的最长边与最短边的比为3∶2，与它相似的六边形A′B′C′D′E′F′的最长边为15，则六边形A′B′C′D′E′F′的最短边长为________。
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相似
一、选择题
1.如图，在Rt △ABC 中，∠C
=90°，AC =8，BC =6，DE ∥BC ，且AD =2CD ，则以D
为圆心DC 为半径的⊙D 和以E 为圆心EB
为半径的⊙E 的位置关系是（ ）
（A ）外离； （B ）外切；
（C ）相交； （D ）不能确定．
2．如图，等腰直角△ABC 的直角边长为3，P 为斜边BC 上一点，且BP=1， D 为AC 上一点，若∠APD=45°，则CD 的长为（ ▲ ）
A ．53
C.13
D.35
3.在比例尺1：6000000的地图上，量得南京到北京的距离是15㎝，这两地的实际距离是 （ ）
A ．0.9㎞ B. 9㎞ C.90㎞ D.900㎞
4.如图所示，平地上一棵树高为6米，两次观察地面上的影子，•第一次是当阳光与地面成60°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长 ( )
A. 3
B. 3-
5.如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则下列结论：①BC=2DE ；②△ADE ∽△ABC ；③
AD AB
AE AC
=
；其中正确的有 （ ） A 、3个 B 、2个 C 、1个 D 、0个
6.为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高2m 集设计方案.小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中。
如图
45°
A
D
C
P B
第2
题图 A
D
(第1题图)
第3题
是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的设计高度(精确到0.01m ，参考数据：错误！未找到引用源。
≈1.414，错误！未找到引用源。
≈1.732，错误！未找到引用源。
≈2.236)是（ ）
A.0.62m
B.0.76m
C.1.24m
D.1.62m
二、填空题
1.生活经验表明；靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙约为梯子长度的
1
3
，则梯子比较稳定，现有一长度为9m 的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能到达8.5m 高的墙头吗？ （填’能’或者’不能’）
2.将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为E F ．已知AB ＝AC ＝6，BC ＝8，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 ．
3.一天，小青想利用影子测量校园内一根旗杆的高度，在同一时刻内，小青的影长为2米，旗杆的影长为20米，若小青的身高为1.60米,则旗杆的高度为 米．
4.Rt △ABC 中，AD 为斜边BC 上的高，若4ABC ABD S S ∆∆=, 则
AB
BC
= ▲ ．
5.现有一个标准的视力表，它是以能否分辨出表中“Ｅ”的开口朝向为依据，该表要求的测试距离为５米，若把表中的“Ｅ”都缩小为原来的
3
5
，要使测试的标准不变，则测试距离应定为 米。
6.已知△ABC 中，DE ∥BC ，且DE =2，BC =5，则△ADE 和△ABC 的面积比为___________
7.如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE//BC ，若AD ：AB=3：4， DE=6，则BC= ________．
E
A
B ′
C
F
（第2题）
图3
图2
图1
2n-1B 2C 2A C
B 1
C 1C 1
B 1C
B
A
8．已知在△ABC 中，BC=a.如图1，点B 1 、C 1分别是AB 、AC 的中点，则线段B 1C 1的长是_______；如图2，点B 1 、B 2 ，
C 1 、C 2分别是AB 、AC 的三等分点，则线段B 1C 1 + B 2C 2的值是__________；
如图3, 点12......、、
、n B B B ，
12......、、、n C C C 分别是AB 、AC 的（n+1）等分点，则线段B 1C 1 +
B 2
C 2+……+ B n C n 的值是 ______.
答案： 选择题 1、C 2、C 3、D 4、B 5、A 6、C
填空题 1、答案: 不能 2、答案： 4 ，7
24 3、答案：16 4、答案：
12
5、答案: 3
6、答案 _4:25_
7、答案：8
8、答案：
1,2a a ,12
na。