拉梅系数
矢量分析与场论第四版谢树艺习题答案
习題1 解答1.写出下列曲线的矢長方程，并说明它们規何种曲线。
(1)x=“cos/,y =bsinf(2)x = 3sln/,j = 4sinf,z = 3cos/解：(l)F=“cos〃+"siii{/,其图形是xOy平面上之椭圆。
(2) r = 3sinri +4sin//+ 3coszAr ,其图形是平面4x - 3j = 0 与圆柱面X2+Z2=32之交线，为一椭圆。
2.设有定圆O与动圆C ,半径均为a ,动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点A/ 所描曲线的矢■方程。
解：设M点的矢径为OM ^r^xi + yj ,厶OC = 8,页7与兀轴的夹角为28—希；因OM =OC + CM^r = xi+yj = 2«cos^ + 2«sin^+acos(2&—7r)j +asin(2^—/r)j则x = 2a cos 0-a cos 28, y = 2a sin& - a sin2&・故r =(加cos&-acos2&” + (2«sin&-asin2&)</4.求曲线x = r,j = /2,z = |z3的一个切向单位矢。
2 2 , 解：曲线的矢長方程为f=ti + t j + ~( k则其切向矢長为^ = i + 2tj + 2t2k模为I —-1= J1 + 4/2 + 4严=1 + 2/2 'dtdr dr i + 2(/ + 2t 2k 于是切向单位矢長为示/ I莎'= i +2八—6・求曲线x=asin t,y=asln2t,z=acost,在心二处的一个切向矢1L4解：曲线矢星方程为r=a sin2+«sin2(/^acostkdr7 •求曲线x=t 2 +l,y=4t-3.z = 2t 2 -6t 在对应于f = 2的点M 处的切线方程和 法平面方程。
拉梅常数的力学意义及纵波速度与剪切模量有关的原因
应变
εr 0 ε1 = εθ 0 ε2 = 0 ε3 = ε z = γ= γθ z 0 ε 4 23 = γ= γ rz 0 ε 5 13 = γ= γ rθ c66 ε 6 12
c44 = µV
“弹性动力学”教学片段（1）
拉梅常数的力学意义及 纵波速度与剪切模量有关的原因
胡恒山 哈尔滨工业大学
2012.10.15
cL =
λ + 2µ ρ
1. 拉梅常数 λ 有何物理意义？
2. 纵波速度为什么随 剪切模量 µ 变化？ 剪切模量反映材料抵 抗偏应变的能力==> 纵波引起偏应变吗？
1. 拉梅常数λ 的意义
v < 0 的材料,
纵向拉伸会引起横向膨胀。 拉胀材料
必须施加横向压应力，才能使横向应变为零。
σ 22 表明 = <0 λ ε11
σ 22 = ε11λ
ε11 ε11
E v λ= (1 + v)(1 − 2v) 2µ v λ= (1 − 2v)
1 −1 < v < 2
σ 33 = ε11λ
弹性常数随泊松比的变化
一维应变引起的剪切变形
σ 11 − σ 22 > 0 ⇒ x1 x2 平面内存在剪应力不为0的面
ε11 > 0, ε 22 == ε 33 0 ⇒ x1 x2
B
平面内，原本相互正交的方向， 变形后不再正交
B
γ
A C A
σ 22 = ε11λ
ε11 ε11
M
C
(λ + 2 µ )ε11 = σ 11
c12 = λ12 = λH = > c11 − 2c66 c11 = λH + 2 µ H = c12 + 2c66
拉梅系数资料
拉梅系数拉梅系数，也称拉密系数，是用来衡量一种物质的黏度与流变特性的参数。
它是由法国科学家E.C.拉梅于19世纪提出的。
在流体力学和固体力学领域，拉梅系数被广泛应用于描述流体的黏性和变形特性。
它是一个无量纲的指标，通常表示为一个小写的希腊字母 eta（η）。
拉梅系数的定义拉梅系数可以用来描述流体的黏性，它定义为单位剪切力与单位剪切速率之比。
在流体力学中，拉梅系数是关键的参数之一，它决定了流体的黏度，即流体抵抗变形的能力。
拉梅系数的计算方法拉梅系数的计算方法通常依赖于具体的流体特性和实验条件。
对于牛顿流体，拉梅系数可以用下面的公式来计算：$$\\eta = \\frac{\\tau}{\\dot{\\gamma}}$$其中，η表示拉梅系数，τ表示单位面积上的剪切力，$ \dot{\gamma}$表示单位时间内的剪切速率。
拉梅系数与流变特性拉梅系数是描述流体流变特性的重要参数。
当拉梅系数较小时，流体表现出低黏度的特性，即流动性强；而当拉梅系数较大时，流体表现出高黏度的特性，即流动性差。
在工程应用中，对于不同的流体，可以通过测量其拉梅系数来确定其流变特性，从而选择合适的流体处理设备和工艺参数。
拉梅系数的应用领域拉梅系数广泛应用于化工、食品、医药等领域。
在化工工程中，通过调控流体的拉梅系数，可以实现流体的混合、散热、输送等工艺操作。
在食品工业中，拉梅系数可用于评估食品的口感和质地。
在医药领域，拉梅系数的测量对于药物的制备和输送具有重要意义。
综上所述，拉梅系数是一个重要的流体力学参数，它在工程应用中扮演着重要的角色，为我们理解和控制流体黏度和变形特性提供了有力的工具。
高等传热学导热练习题
高等传热学导热练习题1. 试求圆柱坐标),,(z r φ的拉梅系数。
圆柱坐标(,,)r z φ和直角坐标(,,)x y z 的 关系是：cos x r φ=，sin y r φ=，z z = 解：由题目条件得：2222221cos sin 1x y z a r r r φφ∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭得：11a =()()22222222sin cos x y z a r r r φφφφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=++=−+= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭得：2a r =222231x y z a z z z ∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭得：31a =123a a a a r ==3. 一维无限大平板，0≤x ≤L ，初始温度为F(x)。
当时间0>τ时，x=0处与x=L 处的边界温度维持零度。
试求时间0>τ时，平板内温度),(τx t 的表达式。
并求当初始温度F(x)=t 0=常数这种特殊情况下的温度),(τx t 。
解：该导热问题的数学描写为：()()()()()()22,,1,0,00,0,0,0t x t x x L x t t L t x F x τττατττ⎧∂∂=<<>⎪∂∂⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩ 分离变量：()()(),t x X x ττ=⋅Γ 代入温度微分方程得：()()()()22211d X x d const X x dx d τβαττΓ==−=Γ得时间函数：()2e αβττ−Γ=空间变量的特征值问题为：()()()()222000d X x X x dxX X L β⎧+=⎪⎨⎪==⎩查表得：()(),sin m m X x x ββ=，()12m N Lβ=，m β是()sin 0m L β=的正根 温度通解为：()()21,,m m m m t x c X x e αβττβ∞−==∑代入初始条件可得：()()(),Lm mm X x F x dxc N ββ=⎰将上式代入温度的通用级数解，可得：()()()()2012,sin sin m L m m m t x x F x dx x e Lαβττββ∞−='''=⋅⋅∑⎰ 对于()0F x const t ==的情形，可得：()()()2011cos 2,sin m m m m m L t t x x e Lαβτβτββ∞−=−=⋅∑4. 一维无限大平板，0≤x ≤L ，初始温度为F(x)。
表11介质的弹性参数
(
2 ) 2u
2u t 2
0
(
2
)2v
2v t 2
0
(
2
)2w
2w t 2
0
(1.12)
此方程代表的波称为疏密波，或压缩波。
若波动引起介质的形变，只有剪切变形和转动而无体积变化时，则方程变为
2u
2u t 2
0
2v
2v t 2
0
2w
2w t 2
0
(1.13)
此方程代表的波称为剪切波，或等容波
σ
0 0.1 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5
Vp/Vs 1.41 1.50 1.63 1.73 1.87 2.45 ∞
讨论：①σ＝0.25, 一般岩石, Vp/Vs = 3
②σ＝0，极坚硬岩石, Vp/Vs = 2
③σ＝0.5，浮土,於泥土, Vp/Vs ∞
④横波最小波速=0, 液体和气体中不存在横波。 解决某些特殊问题，如探测充满液体的洞穴（如溶洞）, Vs=0
3.5
0.20～ ～2.65
0.32
对于同一岩砂、岩 土介4.5质，弹3模数值除1.5了与岩2性.5 有关外00..22，08～还与～测2.4试5 的方法不同而异。
静弹模：用页静岩 力测3 试的方2法所得弹1 模，用1Es表示00；..2420～ ～2.35 动弹模：用弹性波（地震或声波测试）测试的方法称为动力法，所得弹模，用Ed表示。
2.粘弹性体（介质） 粘滞性：小外力、长时间 不能恢复原状 粘弹性：既有弹性，又有粘滞性的性质 浅震中：接收信号 （不同）激发信号――波形变“胖”，振幅变小。 原因：吸收高频，能量损耗。 显然，岩土既有弹性、又有粘滞性，岩土层就可以称为粘弹性体（介质）。
拉梅系数
c2, c3 而只有 q1 在变化，我们称此曲线为坐标曲线q1
或q1 曲线。同理我们可以类似地定义 q2 曲线和 q 3 曲线。
正交曲线坐标系
• 如果在空间任一点处，三个坐标曲线都互相正交（即各 坐标曲线在该点的切线互相正交），相应地，三个坐标 曲面也互相正交（即各坐标曲面在交点处的法线互相正 交），则称这样的坐标系为正交曲线坐标系。
为此我们先考虑沿坐标曲线dzdydxdsdqdqdqdzdydxdzdydxdzdqdydq同理沿坐标曲线的切向的线元长度平方为沿坐标曲线的切向的线元长度平方为dzdydxds对于任意线元其在正交曲线坐标系下向三个方向分解各个方向上的长度平方分别为而由于这三个方向是正交的总的长度平方为dsdqdsdqdsdsdsds
q i 的等
值曲面。给 c i 以不同的数值，则得到三组等值曲面，而 这三组等值曲面称为坐标曲面。 坐标曲面之间两两相交的曲线称为坐标曲线。
• 在由坐标曲面
q2 ( x, y, z ) = c2 , q3 ( x, y, z ) = c3
相交而成的坐标曲线上，因为 q 2 与 q 3 分别保持为常数
ds1 = dx12 + dy12 + dz12 = (
2
∂x 2 2 ∂y ∂z ) dq1 + ( ) 2 dq12 + ( ) 2 dq12 = h12 dq12 ∂q1 ∂q1 ∂q1
• 同理沿坐标曲线 q2 的切向的线元长度平方为 沿坐标曲线 q3 的切向的线元长度平方为
2 ds3 = h32 dq3 2
正交曲线坐标系 的拉梅系数
曲线坐标
• 如果空间里的点，其位置不是用直角坐标 示，而是用另外三个有序数 每三个有序数
拉梅常数的力学意义及纵波速度与剪切模量有关的原因
1 ε= (ε11 + ε 22 + ε 33 ) 3
K
µ
∇ ⋅ u 体应变 纵波速度 ∇ × u 局部转动 横波速度
偏应变
? 速度
纵波速度随剪切模量变化
= VP
λ + 2µ = ρ
4 K+ µ 3
ρ
纵波引起偏应变吗？
（采用“偏应变”一词的理由，见第9、12、13页）
无旋波、纵波、P波、膨胀波
一维应变引起的剪切变形
σ 11 − σ 22 > 0 ⇒ x1 x2 平面内存在剪应力不为0的面
ε11 > 0, ε 22 == ε 33 0 ⇒ x1 x2
B
平面内，原本相互正交的方向， 变形后不再正交
B
γ
A C A
σ 22 = ε11λ
ε11 ε11
M
C
(λ + 2 µ )ε11 = σ 11
0
1 ∂ψ ≠0 2 2 cT ∂t
2
v < 0 的材料,
纵向拉伸会引起横向膨胀。 拉胀材料
必须施加横向压应力，才能使横向应变为零。
σ 22 表明 = <0 λ ε11
σ 22 = ε11λ
ε11 ε11
E v λ= (1 + v)(1 − 2v) 2µ v λ= (1 − 2v)
1 −1 < v < 2
σ 33 = ε11λ
弹性常数随泊松比的变化
一维应变时，横向应力与 纵向应变比值
当X 方向拉伸时，横向将发生应变。 为阻止横向应变，维持一维拉应变，必须施加的侧向拉应力大小，就是 λε 11.
刚性框架 侧面所受的压应力
第二讲：三种常用的正交坐标系、梯度、散度1
§1.2 三种常用的正交坐标系
一、坐标系的概念
1、坐标
确定一个空间点需要三个有序数 q1, q2 , q3 ，称为空间点的坐标。
由于空间点同时可用 x, y, z表示，因此
q1 q1x, y, z q2 q2 x, y, z q3 q3 x, y, z
q3 eˆ3
eˆ1 q1
q2 eˆ2
2、坐标面、坐标线
5、拉梅系数： h1 h3 1 ， h2 四、球坐标系
1、坐标变量： r,,
const
2、坐标面： r C1 ， C2 ， C3
坐标线：一条直线、两条曲线
r const
坐标变换： x r sin cos
x
y r sin sin
z
eˆr
Pr,, •
eˆ
r
θ
eˆ
o
y const
三标量场的梯度1梯度的概念梯度gradient是一个矢量它的方向表示标量场u变化率最大的方向大小等于最大的空间变化率用g等值面等值面p02梯度的计算公式梯度的定义与坐标系无关可以选择任意坐标系来计算
1.2 三种常用的正交坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1、了解三种常用坐标系的特点； 2、熟悉球坐标、柱坐标的基矢，基矢变化及空间微元表示； 3、理解梯度的物理意义，掌握其计算公式。 重点：1、基矢及空间微元表示， 2、梯度的物理意义及计算公式。 难点：基矢的变化。 讲授、练习 学时：2 学时
矢量表示： A eˆx Ax eˆy Ay eˆz Az ，例：位置矢量 r eˆx x eˆy y eˆz z
(x,y,z)
y为常数平面
y
4、空间微元：
线元： dr eˆxdx eˆydy eˆzdz
空间直角坐标系的拉梅系数之比
空间直角坐标系的拉梅系数之比1.引言1.1 概述概述空间直角坐标系是一种常用的坐标系统，用于描述和定位空间中的点和物体。
它的定义和特点对于理解和应用拉梅系数之比非常重要。
本文将探讨空间直角坐标系的定义和特点，以及拉梅系数的概念和计算方法，并介绍拉梅系数之比的意义和应用。
在空间直角坐标系中，我们可以用三个相互垂直的坐标轴来表示任意一个点的位置。
这三个坐标轴分别是X轴、Y轴和Z轴。
X轴和Y轴在水平平面上，垂直于地面，形成一个水平的平面。
Z轴与水平平面垂直，指向空间的上方。
通过这三个坐标轴，我们可以确定一个点在空间中的位置。
在确定空间直角坐标系之后，我们就可以通过坐标来表示点的位置。
每个坐标轴上都有一个原点，表示坐标为0的位置。
对于一个点来说，它的坐标就是相对于这三个原点的位置。
例如，一个点的坐标可以表示为(x, y, z)，其中x、y和z分别代表这个点在X轴、Y轴和Z轴上的坐标值。
拉梅系数是应用于空间直角坐标系中的一个重要概念。
它是用来衡量物体或系统中的应力和扭矩之间的关系。
拉梅系数的计算方法包括测量物体或系统的几何形状和材料特性，并将其代入拉梅系数的公式中进行计算。
本文将介绍拉梅系数的计算方法，并讨论其在空间直角坐标系中的应用。
特别是，我们将关注拉梅系数之比的意义和应用。
通过对拉梅系数之比的研究，我们可以更好地理解和应用空间直角坐标系中的力学和力学性质。
在结论部分，我们将总结本文的主要内容，并探讨拉梅系数之比在实际应用中的潜在价值。
拉梅系数之比的研究不仅对于理论物理学家和工程师具有重要意义，而且对于各个领域的科研和实际应用都具有深远的影响。
通过本文的研究，我们将更加深入地理解空间直角坐标系和拉梅系数之比的概念和应用，为相关领域的进一步研究和实践提供参考和借鉴。
本文的结构将如下所述，以便读者能够更好地理解和掌握相关知识。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以写成如下形式：1.2 文章结构本文将按照以下结构来呈现关于空间直角坐标系的拉梅系数之比的内容：2.1 空间直角坐标系的定义和特点在本节中，将介绍空间直角坐标系的定义和其在三维空间中的特点。
拉梅常数与弹性模量的关系
拉梅常数与弹性模量的关系
，
朗梅特常数与弹性模量的关系一直是在弹性力学中一个重要的话题。
朗梅特常
数是弹性力学最重要的常数，它是指以某种形状改变的一块体的体积和体积变化的弹性应变的比率。
而弹性模量是指一定形状的块体在受到弹性力时，产生的应变与应力成正比的常数，它代表了物体耐受弹性力量的强度。
朗梅特常数和弹性模量之间存在很强的关联，尤其是近乎线性的关系。
根据Hooke定律，内力和应变成正比，这就可以写出朗梅特常数和弹性模量的关系式，
即Young模量与朗梅特常数的乘积即为1。
也就是说，Young模量可以使用朗梅特
常数来计算，反之亦然。
此外，朗梅特常数是一个基本常量，通过它可以推断出物体的结构和性能，从
而准确定量地表示材料的性能，用来检测和审视材料真实密度、抗压强度和抗压能力，也可以估算均匀性。
由于朗梅特常数和弹性模量本质上是同一个物理概念，所以它们之间的关系是紧密的。
因此，朗梅特常数和弹性模量的关系是一个可以精确测量物质性能的重要参量，它也是材料学、力学和决策中一个很重要的指标。
朗梅特常数和弹性模量之间紧密相关，可以使材料性能成为可量化、可预测的结果，从而为实验或计算制定出一致的标准。
列联系数、cramer系数,λ系数 (lambda)计算实例
列联系数、cramer系数,λ系数 (lambda)计算实例联系数（Correlation coefficient）是用来衡量两个变量之间相关关系强度的统计量，通常用符号 r 表示，取值范围在 -1 到 1 之间。
其中，正值表示正相关关系（即两个变量朝同一方向变化），负值表示负相关关系（即两个变量朝相反方向变化），0 表示无相关关系。
假设我们有两组数据如下：X = [1, 2, 3, 4, 5]Y = [2, 4, 6, 8, 10]我们可以使用以下公式计算联系数：1. 首先计算 X 和 Y 的均值：mean_X = (1+2+3+4+5)/5 = 3mean_Y = (2+4+6+8+10)/5 = 62. 计算 X 和 Y 的差值平方和：sum_sq_X = (1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^2 = 10 sum_sq_Y = (2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2 = 403. 计算 X 和 Y 的乘积和：sum_prod_XY = (1-3)*(2-6) + (2-3)*(4-6) + (3-3)*(6-6) + (4-3)*(8-6) + (5-3)*(10-6) = -204. 计算联系数 r：r = sum_prod_XY / sqrt(sum_sq_X * sum_sq_Y) = -20 / sqrt(10 *40) = -1因此，这两组数据的联系数为 -1，表示它们具有完全的负相关关系。
Cramer系数（Cramer's V）是用来衡量分类变量之间关联度的指标。
它是基于卡方检验的结果而计算得到的，取值范围在 0 到 1 之间。
Cramer系数越大，表示两个分类变量之间的关联度越高。
假设我们有以下两个分类变量的交叉表：Y1 Y2 Y3Group1 10 20 15Group2 30 25 20我们可以使用以下公式计算Cramer系数：1. 计算卡方统计量χ^2：χ^2 = Σ((O - E)^2 / E)，其中 O 表示观察频数， E 表示期望频数。
学习CFD，只懂直角坐标系怎么够？
学习CFD，只懂直角坐标系怎么够？相信在大多数CFD研究者眼里，流体力学与传热学基本上就是求解关于质量、动量以及能量守恒的偏微分方程。
只不过，CFD发展到现在，再想拿顶盖驱动流、水中气泡上升等这种简单问题来水文章已经比较困难了。
于是，像帕坦卡这种水博士就只能把几何模型越做越复杂，再强行总结一些规律出来。
反正世上结构千千万，总有一个和之前的不一样。
虽说没什么卵用，但是却能帮帕坦卡水SCI顺利毕业啊！这就够了。
这种结构，相信大家已经见怪不怪了不同的几何结构，自然也就有不同的处理方式。
一般而言，我们主要采用直角坐标系计算方形区域；对于圆柱形区域内的计算，则使用柱坐标系更为方便；而对于球形区域内的计算，我们往往使用球坐标系。
是不是用圆柱坐标系更好些？1. 拉普拉斯算子下面就来看一下，温度T的拉普拉斯算子在不同坐标系下的表达式到底有什么区别？首先，在直角坐标系(x, y, z)下，毋庸置疑就是那么，如果采用柱坐标系(r, θ, z)的话，上述表达式又应该是是什么呢？我们已经知道，在直角坐标系下，温度T是x, y, z的函数，而x, y, z又分别是柱坐标系变量r, θ, z的函数，也就是说所以有进一步，将三者求和，即可得到整理一下后就是这就是温度T在柱坐标系(r, θ, z)下的拉普拉斯算子。
同理可得到温度T在球坐标系(r, θ, φ)下的拉普拉斯算子为一通操作之后，我们总算勉强得到了温度T在三种坐标系下的拉普拉斯算子，可是相信很多人看后仍然觉得，这也太复杂了吧！不止如此，偏微分方程里面还涉及梯度和散度的计算，而关于向量的处理则更加复杂！2. 拉梅系数幸运的是，数学家已经为我们完成了上面的推导，并把不同坐标系下的梯度、散度以及拉普拉斯算子建立了联系，这就是所谓的拉梅系数。
G·拉梅（Lame，Gabriel，1795.7.22-1870.5.1）法国数学家、工程师假设直角坐标系(x, y, z)与一正交坐标系（注意必须是正交坐标系）(α, β, γ)满足则拉梅系数为从而不同坐标系下的梯度、散度以及拉普拉斯算子为有了上面的理论基础，我们只需要求出不同坐标系下对应的的拉梅系数，就可以轻轻松松获得该坐标系下的偏微分方程表达式了。
拉梅常数的力学意义及纵波速度与剪切模量有关的原因
一维应变引起的剪切变形
σ 11 − σ 22 > 0 ⇒ x1 x2 平面内存在剪应力不为0的面
ε11 > 0, ε 22 == ε 33 0 ⇒ x1 x2
B
平面内，原本相互正交的方向， 变形后不再正交
B
γ
A C A
σ 22 = ε11λ
ε11 ε11
M
C
(λ + 2 µ )ε11 = σ 11
4 (λ + 2 µ ) / ρ = cL = K + µ/ ρ 3
类似地,
横波引起偏应变，也引起局部转动
1 ∂ψ ∇ψ = 2 ∂t 2 cT
2
2
(1)
cT = µ / ρ
* 反映抵抗偏应变能力的剪切模量 * 刚体转动不引起材料应变（无散矢量场可以包含刚体转动）
2 ∇ × u = ∇ × ∇ ×ψ = ∇∇ ⋅ψ − ∇ ψ
c44 = µV
c12 = λ12 = λH = > c11 − 2c66 c11 = λH + 2 µ H = c12 + 2c66
2. 偏应变及其传播
固体中微元的位移==（1）平动+（2 ）局部转动+（3）变形
ε13 ε11 ε12 ε13 ε 0 0 ε11 − ε ε12 ε ε ε 0 ε 0 ε ε ε ε = + − 22 23 21 22 23 21 ε ε ε 0 0 ε ε ε ε ε − 32 33 31 32 33 31 ,
球应变 偏应变
1 ε= (ε11 + ε 2 + ε 33 ) 3
矢量分析与场论第四版谢树艺习题答案
.习题1 解答1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。
()1x a t y b t cos ,sin ==()2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos ===解： ()1r a ti b tj cos sin =+，其图形是xOy 平面上之椭圆。
()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++，其图形是平面430x y -=与圆柱面2223x z +=之交线，为一椭圆。
2．设有定圆O 与动圆c ，半径均为a ，动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点M 所描曲线的矢量方程。
解：设M 点的矢径为OM r xi yj ==+，AOC θ∠=，CM 与x 轴的夹角为2θπ-；因OM OC CM =+有()()r xi yj a i a j a i a j θθθπθπ2cos 2sin cos 2sin 2=+=++-+-则.2sin sin 2,2cos cos 2θθθθa a y a a x -=-=故j a a i a a r )2sin sin 2()2cos cos 2(θθθθ-+-=4．求曲线3232,,t z t y t x ===的一个切向单位矢量τ。
解：曲线的矢量方程为k t j t ti r 3232++= 则其切向矢量为k t tj i dtdr 222++= 模为24221441||t t t dtdr+=++= 于是切向单位矢量为222122||/t kt tj i dt dr dt dr +++=6．求曲线x a t y a t z a t 2sin ,sin 2,cos ,===在t π4=处的一个切向矢量。
解：曲线矢量方程为r a ti a tj a tk 2sin sin2cos =++切向矢量为ra ti a tj a tk tτd sin22cos2sin d ==+- 在t π4=处，t r ai ak tπτ4d d ===- 7.求曲线t t z t y t x 62,34,122-=-=+= 在对应于2=t 的点M 处的切线方程和法平面方程。
弹性波场中的几个物理参数
那么纵横波速度比为：
VP = VS 1−σ 1 −σ 2
由上式可知，由 σ 就可以推出 VP VS 的值，同样知道 VP VS 的值亦 可反算 σ 的值。假设
A= VP VS
则
A= VP = VS 1−σ 1 −σ 2
所以
σ =
A2 − 2 2( A2 − 1)
VP VS 值和泊松比 σ 的关系分别如表 2 和图 2 所示：
表1
各种介质的弹性参数
泊松比 σ 与纵横波速度比 VP VS 有着密切的关系， 在地震勘探中尤 其重要。 从弹性场中我们知道纵波和横波在均匀无限介质中传播的速 度分别为：
VP =
λ + 2μ = ρ
VS =
E
1−σ ρ (1 + σ )(1 − 2σ ) ⋅
μ E 1 = ⋅ ρ 2ρ 1 + σ
σ =
Δd d ex =− ez ΔL L
泊松比 σ 是表示岩石强度很重要的一个物理量，其值越大表明岩 石越软弱破碎。泊松比 σ 在 0 至 0.5 之间变化，一般的岩石的 σ 值在 0.25 左右，极坚硬的岩石的 σ 值仅为 0.05，流体的 σ 值为 0.5，而软 的没有固结的类黏土等的 σ 值可达 0.45。 下表列出了各种介质的弹性参数：
λ=
Px ez
即横的拉应力与纵向应变之比。所以 λ 的意义就是衡量阻止横向 压缩所需的拉应力的一个物理量，阻止横向压缩的拉应力越大， λ 值 就越大。另一个拉梅常数 μ 其实也是切变模量，是在简单切向应力作 用时，应力与应变的比例常数，其物理意义是衡量阻止剪切应变的一 个物理量。液体没有剪切应变，故 μ = 0 。 2、杨氏模量 E 杨氏模量 E 是衡量物质对受力作用的抵抗能力的一个物理量。胡 克定律指出，在弹性限度内应力和应变成正比关系。当弹性体在弹性 限度内被单向拉伸时，应力和应变的比值称为杨氏模量，用符号 E 表 示。从图 1 中看出，当弹性体被纵向拉伸时，其横切面积会减小。则 应力为：
几种常见的正交曲线坐标系
2.3、曲线坐标1）.要研究空间场的性质，首先要对空间加以描述，即在空间建立坐标。
坐标的定义：如果以某种方式使空间的每一个点对应一组有序数()321,,q q q ，而每一组有序数也对应于空间的一个点，这样的有序数称为坐标。
如果有两组坐标()321,,q q q 和()321,,p p p ，这两组坐标由于与空间的点一一对应，所以这两组坐标也一一对应，它们可以互相表示，即()321,,q q q p p i i =；()321,,p p p q q i i =。
=i q 常数，对应于空间的一张曲面，不同的常数对应于不同的曲面。
这就构成了三族曲面，这三族曲面称为坐标曲面。
对于空间的每一个点，每族曲面只有一张曲面过该点。
曲面=2q 常数和=3q 常数的交线称为坐标曲线，在这条曲线上只有1q 可以变化，也称之为坐标曲线1q ，或1q 曲线。
如果空间中每一点的坐标曲线都是正交的（坐标曲线的切线相互正交），则称这样的曲线坐标为正交曲线坐标。
如果每一条坐标曲线都是直线，则称为直角坐标或笛卡尔坐标。
一般用()z y x ,,来表示。
如果用321,,e e e表示321,,q q q 曲线在某一点的切向单位矢量，并指向321,,q q q 增加的方向，习惯上让它们构成右手系。
这样的321,,e e e称为坐标的基矢量。
一般地讲，i e的方向是随空间位置的变化而变化的。
在直角坐标中坐标基矢量的方向是不随空间位置变化的，习惯上用k j i,,表示。
因此在直角坐标中矢径可以表示为：k z j y i x r++=。
作为初步，本课程中只介绍正交曲线坐标。
2）.正交曲线坐标系中对弧的微分 考虑一个微元矢径123112233123i i i ir r r r dr dq dq dq dq ds e ds e ds e ds e q q q q ∂∂∂∂=++==++=∂∂∂∂因此，由坐标曲线及基矢量的定义可知i q r ∂∂ 与i e平行，设ii q rH ∂∂=则()i ie H q r=∂∂i H 称为拉梅系数，一般地讲，拉梅系数i H 是空间的函数。
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q i 的等
值曲面。给 c i 以不同的数值，则得到三组等值曲面，而 这三组等值曲面称为坐标曲面。 坐标曲面之间两两相交的曲线称为坐标曲线。
• 在由坐标曲面
q2 ( x, y, z ) = c2 , q3 ( x, y, z ) = c3
相交而成的坐标曲线上，因为 q 2 与 q 3 分别保持为常数
ˆ ˆ ˆ • 我们用 e1 , e2 , e3 分别表示 q1 , q2 , q3 曲线上的切向单位矢
量，它们分别指向 q1 , q2 , q3 增加的方向，我们还假定 它们构成右手系。
拉梅系数
• 我们知道，对空间无穷小线元，其长度平方为
ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2
• 现在考虑该线元长度平方在正交曲线坐标系的形式。 为此，我们先考虑沿坐标曲线 元坐标为 dq1 , dq2 = 0, dq3 = 0
ds1 = dx12 + dy12 + dz12 = (
2
∂x 2 2 ∂y ∂z ) dq1 + ( ) 2 dq12 + ( ) 2 dq12 = h12 dq12 ∂q1 ∂q1 ∂q1
• 同理沿坐标曲线 q2 的切向的线元长度平方为 沿坐标曲线 q3 的切向的线元长度平方为
2 ds3 = h32 dq3 2
2 2 ds2 = h2 dq2 2
• 对于任意线元，其在正交曲线坐标系下向三个方向分解，各个方向 上的长度平方分别为
2 2 2 2 2 ds12 = h12 dq12 , ds2 = h2 dq2 , ds3 = h32 dq3
而由于这三个方向是正交的，总的长度平方为
2 2 ds 2 = ds12 + ds2 + ds3
坐标曲面和坐标曲线
• 每个曲线坐标qi是空间点 ( x, y, z ) 的函数
qi = qi ( x, y, z )
反之也类似，每个直角坐标也是曲线坐标的函数
x = x(q1 , q2 , q3 ), y = y (q1 , q2 , q3 ), z = z (q1 , q2 , q3 )
而这样的三个方程 qi ( x, y, z ) = ci 分别代表三个
正交曲线坐标系 的拉梅系数
曲线坐标
• 如果空间里的点，其位置不是用直角坐标 示，而是用另外三个有序数 每三个有序数
( x, y , z )
来表
(q1, q2, q3 ) 来表示。就是说
就确定空间的一个点；反之，
(q1, q2, q3 )
空间的一个点就对应一组三个有序数，则称这组有序数
(q1, q2, q3 ) 为空间点的曲线坐标
即
2 2 2 ds 2 = h12 dq12 + h2 dq2 + h32 dq3
q1 的切向的线元。在该坐标(dx1 , dy2 , dz3 ) ，则 (dx , dy , dz ) 1 2 3 满足关系
dx1 = ∂x ∂y ∂z dq1 , dy1 = dq1 , dz1 = dq1 , ∂q1 ∂q1 ∂q1
因而，该线元长度平方为
c2, c3 而只有 q1 在变化，我们称此曲线为坐标曲线q1
或q1 曲线。同理我们可以类似地定义 q2 曲线和 q 3 曲线。
正交曲线坐标系
• 如果在空间任一点处，三个坐标曲线都互相正交（即各 坐标曲线在该点的切线互相正交），相应地，三个坐标 曲面也互相正交（即各坐标曲面在交点处的法线互相正 交），则称这样的坐标系为正交曲线坐标系。