宿迁2016-2017高一下学期期末数学试卷及答案

宿迁市2016~2017学年度第二学期期末考试高一数学试卷（考试时间120分钟，试卷满分160分)注意事项:1．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的地方． 2．答题时，请使用0.5毫米的黑色中性笔或碳素笔书写，字迹工整，笔迹清楚． 3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．请保持卡面清洁，不折叠，不破损．考试结束后，请将答题卡交回． 参考公式：V 柱=Sh ，S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答．题卡相应位．．．．．置上．．． 1．直线10l y -+=的倾斜角为 ▲ ．2．在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，．已知60a b A === ，则B 的度数为 ▲ ．3．在等比数列{}n a 中，公比为q ，n S 为其前n 项和．已知4380q S ==，，则1a 的值为 ▲ ． 4．已知正实数x y ，满足21x y +=，则xy 的最大值为 ▲ ．5．已知点(,)P x y 在不等式组001x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥，≥，≤所表示的平面区域内运动，则4z x y =-的取值范围为 ▲ ．6．已知一个正三棱柱的侧面积为18，且侧棱长为底面边长的2倍，则该正三棱柱的体积为 ▲ ．7．在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，且1410a a a ，，成等比数列，则1a d的值为 ▲ ． 8．已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列四个命题中，所有正确命题的序号为 ▲ ．① 若m n ⊥，n α⊂，则m α⊥； ② 若αβ ，n α⊂，则n β ； ③ 若m α⊥，m β ，则αβ⊥； ④ 若,m α ，n α⊂，则m n ． 9．在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，．已知357a b c ===，，，则ABC△的面积为 ▲ ．ABMDP（第16题）10．若直线1:10l x ay ++=与2:(1)220l a x y a -++=平行，则1l 与2l 之间的距离为 ▲ ． 11．已知π(0)2α∈，，π1sin()63α-=-，则cos α的值为 ▲ ．12．已知数列{}n a 满足134a =，121n n a a n +-=+，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S = ▲ ． 13．关于x 的不等式(1)(+21)0ax x a -->的解集中恰含有3个整数，则实数a 的取值集合是▲ ．14．在ABC △中，若12113sin sin tan tan A B A B+=+()，则cos C 的最小值为 ▲ ． 二、解答题: 本大题共6小题， 共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c，，．已知2π3C =，5=c ,sin a A =． （1）求b 的值； （2）求4π(tan +B 的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，M 为AD 的中点． （1）若AD BC ，2AD BC =，求证：BM 平面PCD ； （2）若PA PD =，平面PAD ⊥平面PBM ，求证：AD PB ⊥．17．（本小题满分14分）某校一个校园景观的主题为“托起明天的太阳”，其主体是一个半径为5米的球体，需设计一个透明的支撑物将其托起，该支撑物为等边圆柱形的侧面，厚度忽略不计．轴截面如图所示，设OAB α∠=．（注：底面直径和高相等的圆柱叫做等边圆柱．） （1）用α表示圆柱的高；（2）实践表明，当球心O 和圆柱底面圆周上的点D 的距离达到最大时，景观的观赏效果最佳，求此时α的值．18．（本小题满分16分）在ABC △中，边AB ，AC 所在直线的方程分别为270x y -+=，60x y -+=，已知(1,6)M 是BC 边上一点．（1）若AM 为BC 边上的高，求直线BC 的方程； （2）若AM 为BC 边的中线，求ABC △的面积．19．（本小题满分16分）已知函数2()12()f x ax x a a =--+∈R ． （1）当12a =时，解不等式()0f x ≥； （2）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．(第17题)20．（本小题满分16分）已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，且2344026a a S ⋅==，. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 的前n 项和为n T ，且11=b ，132(1)n n b b a +=+. ①求证:数列{}n b 是等比数列； ②求满足n n T S >的所有正整数n 的值．宿迁市2016~2017学年度第二学期高一年级期末调研测试数 学（参考答案及评分标准）一、填空题： 1．π3； 2．45 ； 3．2； 4．18； 5．[1,4]-； 6．92； 7．3； 8．②③； 910； 11； 12．421n n +； 13．1,12⎧⎫--⎨⎬⎩⎭； 14．二、解答题:15．（1）法一：因为sin a A =，BbA a sin sin =，所以sin sin A B A =，所以sin B =……………………………………………3分 又因为sin sin b cB C=，所以sin sin c Bb C===． …………………………7分法二：在ABC △中，sin sin a c A C ==， ………………………………3分又sin a A =，即sin aA=，b =．………………………………………7分 （2）由（1）得sin B =30π<<B ，所以cos B === …………………………………9分所以sin 1tan cos 2B B B ===， ……………………………………………11分所以1tan tan142tan()3141tan tan 142B B B πππ+++===--． ……………………………………14分A BCMDP（第16题）16．证明：（1）因为AD BC ，2AD BC =，M 为AD 中点， 所以BC MD ，且BC MD =，所以四边形BCDM 为平行四边形， ……2分 故CD BM ， ……………………4分 又BM ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以BM 平面PCD ． …………………7分 （2）因为PA PD =，M 为AD 中点，所以PM AD ⊥， …………………9分又平面PAD ⊥平面PBM ，平面PAD ⋂平面PBM PM =，AD ⊂平面PAD ， 所以AD ⊥平面PBM ， ……………………12分又PB ⊂平面PBM ，所以AD PB ⊥．17．（1）作OM AB ⊥于点M ，则在直角三角形OAM 中， 因为OAB α∠=，所以cos 5cos AM OA αα==， ………………3分 因为四边形ABCD 是等边圆柱的轴截面， 所以四边形ABCD 为正方形，所以210cos AD AB AM α===． ………………6分 （2）由余弦定理得：222π5(10cos )25(10cos )cos()2OD ααα=+-⨯⨯+，……8分225100cos 50sin 22550(1cos 2)50sin 250(sin 2cos 2)75π)75.4ααααααα=++=+++=++=++ …………………………………10分 因为π(0,)2α∈，所以ππ5π2(,)444α+∈，所以当ππ242α+=，即π8α=时，2OD 取得最大值75+21)=+，…12分所以当π8α=时，OD 的最大值为1)+． 答：当π8α=时，观赏效果最佳． ……………………………………14分 (第17题)18．（1）由27060x y x y -+=⎧⎨-+=⎩解得15x y =-⎧⎨=⎩，即(1,5)A -， ………………………………2分又(1,6)M ，所以6511(1)2AM k -==--，因为AM 为BC 边上的高，所以2BC k =-， ………………………………4分 (1,6)M 为BC 边上一点，所以:BC l 62(1)y x -=--，所以直线BC 的方程为280x y +-=． ……………………………6分 （2）法一：设点B 的坐标为(,)a b ，由(1,6)M 为BC 的中点，得点C 的坐标为(2,12)a b --，又点B 与点C 分别在直线AB 和AC 上， 所以270(2)(12)60a b a b -+=⎧⎨---+=⎩，解得31a b =-⎧⎨=⎩，所以点B 的坐标为(3,1)-， …………………………8分 由（1）得(1,5)A -，又(1,6)M ，所以直线AM 的方程为2110x y -+=， …………………………10分所以点B 到直线AM 的距离d ， ………………12分又AM == …………………………14分所以11322BAM S d AM ===△， 又M 为BC 的中点所以2236ABC BAM S S ==⨯=△△. …………………………16分 法二：（上同法一）点B 的坐标为(3,1)-， …………………………8分 又(1,6)M 为BC 上一点，所以直线BC 的方程为54190x y -+=． …………………………10分 由（1）知(1,5)A -，所以点A 到直线BC 的距离d …………………………12分 又C 的坐标为(5,11)，=…………………………14分所以11622ABCS d BC===△．…………………………16分法三：若直线BC的斜率不存在，即BC的方程为10x-=，由27010x yx-+=⎧⎨-=⎩解得19xy=⎧⎨=⎩，即B的坐标为(1,9)，同理可得C的坐标为(1,7)，而7962+≠，M不是BC的中点，所以直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为6(1)y k x-=-由2706(1)x yy k x-+=⎧⎨-=-⎩解得129122kxkkyk+⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，即B的坐标为1912(,)22k kk k+---同理可得C的坐标为76(,)11k kk k---，(1,6)M为BC的中点所以12121912762621k kk kk kk k+⎧+=⨯⎪⎪--⎨--⎪+=⨯⎪--⎩解得54k=，所以直线BC的方程为56(1)4y x-=-，即为54190x y-+=．（下同法二）法四：求BAC∠正弦值即AB，AC长用面积公式（略）．19．（1）当12a=时，得211102x x--+≥，①当1x≥时，得211102x x-++≥，即2240x x-+≥，因为=120∆-<，所以x∈R，所以1x≥；……………………………………………2分②当1x<时，得211102x x+-+≥，即220x x+≥，所以02x x-≥或≤，所以012x x<-≤或≤．………………………………4分综上：{}02x x x-≥或≤．………………………………………6分（2）法一：若()0f x≥恒成立，则2120ax x a--+≥恒成立，所以2|1|2x a x -+≥恒成立， ………………………8分 令1x t -=，则1x t =+（t ∈R ）， 所以2||(1)2t a t ++≥恒成立， ①当0t =时，0a ≥； …………………………………………10分 ②当0t >时，2(1)2ta t ++≥132t t=++恒成立，因为3t t +=≥（当且仅当t =，所以132t t++所以a ； ……………………………………………12分 ③当0t <时，2(1)2ta t -++≥132t t=-+--恒成立，因为3t t -+≥-t =，所以132t t-+--，所以a ……………………………………………14分综上：a ． ……………………………………………16分 法二：因为()0f x ≥恒成立，所以(0)0f ≥，所以12a ≥， ………………8分①当1x ≥时，2(1)20ax x a --+≥恒成立， 对称轴112x a=≤，所以()f x 在[1,)+∞上单调增， 所以只要(1)0f ≥，得0a ≥， ………………………10分 所以12a ≥； ………………………12分②当1x <时，2(1)20ax x a +-+≥恒成立，对称轴11,0)2x a=-∈-[， 所以2(1)20ax x a +-+=的判别式14(21)0a a ∆=--≤，解得aa ………………………14分 又12a ≥，所以a ．综合①②得：a ． ………………………16分 20．（1）法一：因为数列{}n a 是正项等差数列，设首项为1a ，公差为(0)d d >， 所以111()(2)40,4(41)426,20.a d a d d a d ++=⎧⎪-⎪+=⎨⎪>⎪⎩ …………………………………………2分解得123a d =⎧⎨=⎩，所以31n a n =-． …………………………………………4分法二：因为数列{}n a 是公差为正数的等差数列,设公差为)0(>d d ，又因为2344026a a S ⋅=⎧⎨=⎩， 所以231423404()2()262a a a a a a ⋅=⎧⎪⎨+=+=⎪⎩ ， ……………2分所以23234013a a a a =⎧⎨+=⎩，解得2358a a =⎧⎨=⎩或2385a a =⎧⎨=⎩，又因为0>d ，所以⎩⎨⎧==8532a a ，所以323=-=a a d ，所以13-=n a n . …………………………………4分 （2）①证明：由（1）知31n a n =-，因为1322n n b b a +=+，所以132(31)26n n n b b b +=-+=，即12n n b b +=， …………………………6分 因为110b =≠，所以0n b ≠，所以12n nb b +=， 所以数列{}n b 是等比数列. …………………………………………8分 ②由（1）知13-=n a n ，所以232)13(2n n n n S n +=+=， 由（2）中①知12-=n n b ，所以122121-=--=n nn T ， …………………………10分要使n n T S >，即12232->+n n n ，即122312>+++n n n ， 设21322n n n n c +++=，求满足n n S T >的所有正整数n ，即求1n c >的所有正整数n ， 令22212213(1)(1)237621326242n n n n n n c n n n n c n n +++++++++==≥++++，即23520n n --≤， 解得，123n -≤≤，因为*n ∈N ，所以1n =或2n =， 即321413c c c =>=>，当3n ≥时，数列{}n c 是单调递减数列，………………14分 又因为56821161,164128c c =>=<， 所以当n 取1,2,3,4,5时，1n c >，当6n ≥时，1n c <， 所以满足n n S T >的n 所有取值为1,2,3,4,5. …………………………………16分。