02高斯定理
高二物理竞赛课件：高斯定理
• (2) 每一条磁力线是环绕电流的无头无尾 的闭合线；－》磁场环路定理。
• （3）电流与磁场方向满足右手螺旋定则。
磁通量：仿照电通量概念，定义曲面S的磁通量为
m B dS B dS
S
S
单位： 1Wb 韦伯 1T m2
B dm ds
用磁感应线描述磁场的分布，规定： 方向：曲线上切线，代表磁感强度的方向. 大小：曲线的密度, 与磁感强度的大小成正比.
实验和理论都证明：在任何磁场中，每一条磁感线都是环 绕电流的无头无尾的闭合线，而且每条闭合磁感线都与闭合 载流回路互相套合。
磁力线的特性： • （1）它是连续的， 在磁场中任一点磁力线
dm B dS
m d B dS
直导线磁感线分布：
B 0I 2a
B
o
x
圆电流磁感线分布：
B
o
x
[证明]：因为任意一磁场，都是由许多电流元产生 的磁场叠加而成，其磁通量也满足叠加原理，所 以只需证明电流元产生的磁场遵守高斯定理。
取电流元为坐标原点，Z轴沿电流元强度的方向，
dB
B
0 4
I
L
dl r r3
0 4
I
L
dR r r3
0 Ir0 4 r03
I
L
dR
0 4 r03
I
L
R dR
30 4 r05
I
L
(r0
R)(r0 dR)
＝ 0 4
m r03
0 4
3(m r0 )r0 r05
对于闭合电流，磁矩m或园面积S与坐标原点的选取无关。
磁感应线及磁通量
02高斯定理
【解】 电荷体密度
分析对称性
q
4
3
π
R23
R13
由电荷分布的中心对称性→
场强分布球对称且沿径向。
R2
R1
r
O
dq1 dE2
dq2 P
dE1
dE 所以选取通过场点的同心 球面为高斯面（应用高斯
（q）（dq2= dq1）
定理的闭合面）
12
◆球E对 d称S场对球E型d高S斯面 的E 电d通S量：E4 r 2
一. 高斯定律的证明:
1.通过点电荷q为球心的球面的电通量
等于q/0
nˆ E e E d S
S
r dS
rˆ
q
1
4π0
q r2
rˆ d Snˆ
1q
q
4 π0 r 2
dS
0
6
2.通过包围点电荷 q 的任意封闭曲面的
电 通量都等于q/0
这是因为点电荷q 的
高斯面上各处的 E ; 而 q内只是对高斯面内的
电荷求和。
8
明确几点： 1.高斯面为闭合面。
e E d S （S）
q内
0
高斯面为几何面， q内 和 q外 总能分清。
2. 式中的电场强度为高斯面上某点的场强，是由空间 所有电荷产生的，与面内面外电荷都有关。
3.电通量 Φ 只与面内电荷有关，与面外电荷无关。
高斯定理高斯定理公式高斯定理求场强高斯定理的应用静电场的高斯定理大学物理高斯定理磁场的高斯定理静电场高斯定理高斯定理适用范围磁场高斯定理
电磁学
电场中的高斯定理
张三慧教材： 10.4、10.5、10.6
大一物理高斯定理知识点
大一物理高斯定理知识点高斯定理是电磁学中重要的定理之一，用于计算电场和磁场的流量。
它是由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯提出的，因此得名。
高斯定理有助于我们理解电场和磁场的分布情况，并且在解决电磁学中的问题时有着广泛的应用。
在大一物理课程中，我们通常会学习高斯定理的基本概念和应用。
高斯定理的表述形式如下：对于一个闭合曲面S，其内部包含了一个电场或磁场分布，高斯定理表明该场的流量等于该场在曲面外部的散度的体积分。
根据高斯定理的表述，我们可以将其用于计算电场和磁场的流量，以及求解与电场和磁场相关的问题。
下面我们将重点介绍高斯定理在电场和磁场中的应用。
1. 电场中的高斯定理：在静电学中，高斯定理被用来计算电场的流量。
根据高斯定理，电场的流量等于该电场在闭合曲面内的电荷量除以真空介电常数。
具体地说，假设我们有一个点电荷Q，它位于坐标原点，那么通过以该点电荷为球心的任意闭合曲面S的电场流量可以用下式计算：ΦE = (1/ε0)·Q其中，ΦE表示电场流量，ε0为真空介电常数（约为8.85×10^-12 C^2/N·m^2），Q为包围点电荷Q的曲面S内的电荷量。
2. 磁场中的高斯定理：与电场不同，磁场中的高斯定理并不容易直接应用，因为不存在磁荷（即磁单极子）。
然而，在一些特殊情况下，我们仍然可以利用高斯定理来计算磁场的流量。
例如，在无限长直导线产生的磁场中，可以使用高斯定理计算磁场的流量。
假设我们有一根无限长直导线，通过以导线为轴的任意闭合曲面S的磁场流量可以用下式计算：ΦB = 0这是因为根据高斯定理，该曲面S内部的磁场散度为零。
3. 高斯定理的应用：高斯定理在物理学的各个领域都有重要的应用，特别是在电磁学中。
在电学中，我们可以利用高斯定理计算电场的流量，从而求解与电荷、电场相关的问题。
例如，通过计算电场流量，我们可以确定电荷分布、电场强度值以及电场线的分布情况。
大学物理高斯定理公式
大学物理高斯定理公式大学物理中的高斯定理公式是一种关于电场和电流分布的基本定律。
高斯定理可以用于描述物体电场和电流分布，同时可以用于计算一般电场和电流分布情况下的电容量和电侵蚀率。
这里介绍几种常用的高斯定理公式。
一、单点电荷的高斯定理公式通常情况，单一的常规的静电场的电荷分布是具有点特征的，此时只需要考虑一个点电荷的作用，可以根据高斯定理，给出点电荷产生的电场的表达式：$$E(r)=\frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2}$$其中，$E$ 是点电荷$q$所产生的电场，$\epsilon_0$是空气介电常数，$r$是测量点相较于点电荷的距离。
二、多点电荷组合的高斯定理公式当考虑多点电荷时，就没有简单地表达式了，首先根据高斯定理，给出多点电荷产生的电场的概念的表达式：$$E(r, t)=\sum\limits_{i=1}^n \frac{q_i}{4\pi \epsilon_0 r_i^2}$$其中，$E(r,t)$是测量点相较于多点电荷源的电场强度，$q_i$表示第i个点电荷，$\epsilon_0$是空气介电常数，$r_i$是测量点和第i个点电荷的距离，n表示点电荷的数量。
有时，我们可以使用梯度运算来分析多点电荷组合作用下的电场，即：$$\nabla E(r, t)=\sum\limits_{i=1}^n \frac{q_i \cdot \nabla r_i}{4\pi\epsilon_0 r_i^3}$$三、静电场介电体上的高斯定理公式静电场介电体的电场分布可以根据高斯定理给出：$$E(r, t)=\sum\limits_{i=1}^n \frac{q_i \cdot \nabla r_i}{4\pi \epsilon(r)r_i^2}$$其中，$E(r,t)$是测量点相较于多点电荷源的介电体静电场强度，$q_i$表示第i个点电荷，$\epsilon(r)$是介电体在多点电荷源处的介电常数，$r_i$是测量点和第i个点电荷的距离，n表示点电荷的数量。
第二节 高斯定理
SE dS
1
0
q内
(不连续分布的源电荷)
Φe
SE dS
V
1 dV 0
(连续分布的源电荷)
E是所有电荷产生的; e 只与内部电荷有关。
结论பைடு நூலகம்
真空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，等
于该曲面所包围的电荷电量的代数和乘以
1 0
——高斯定理
说明
(1)高斯定理是静电场的基本定理之一，揭示了场和场源的 内在联系．它从一个侧面反映了静电场是有源场。
根据高斯定理得
E 2r l 1 l 0
E 2 0 r
n r
l n
E
n
当电场分布不具备对称性，或虽有一定的对称性，但对称 性不够高时，这里难以用高斯定理求解电场分布，并不是说在 这种情况下高斯定理不正确，而是电场强度 E 不能作为常量从 积分号内分离出来，使得计算相当困难。这时应该用点电荷的 场强公式和场强叠加原理这一基本方法求解电场分布。
0 ES ES 2ES
E
根据高斯定理有
n
2ES 1 S
E
0
2 0
n
E
n
➢ 带等量异号电荷的两块无限大均匀带电平面的电场分布：
E
E
E外 0
E内
０
E外 0
根据场强叠加原理由图可知：
E外 0
E内 E E
S
E
n
E
dS
E
n
ds
3. 闭合曲面电通量
dΦe E dS
电场的高斯定理及其应用
电场的高斯定理及其应用1. 高斯定理的背景高斯定理，也称为高斯电场定理，是电磁学中的基本定律之一。
它描述了电场通过任意闭合曲面的电通量与该闭合曲面内部的总电荷之间的关系。
这个定理是由德国数学家和物理学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪初期提出的。
高斯定理在电磁学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。
2. 高斯定理的数学表述高斯定理的数学表述如下：对于任意闭合曲面S，电场通过S的电通量（记作ΦE）与曲面S内部的总电荷（记作q）之间存在以下关系：ΦE = ∫∫S E·dA = q / ε₀其中，E是电场强度，dA是曲面元素的面积向量，ε₀是真空的电介质常数（也称为电常数），其值约为8.85×10^-12 C2/N·m2。
3. 高斯定理的物理意义高斯定理的物理意义可以从两个方面来理解：（1）电场线与闭合曲面的关系：高斯定理说明，对于任意闭合曲面S，电场线通过S的电通量等于曲面S内部的总电荷。
这意味着，无论曲面S如何选择，只要它是闭合的，电场线穿过它的总通量都与曲面内部的电荷有关，而与曲面的形状和位置无关。
（2）电场的分布与电荷的关系：高斯定理表明，电场是通过闭合曲面的电通量的度量，而电通量与曲面内部的总电荷成正比。
这意味着，电场的强度和分布与曲面内部的电荷量有关，而与曲面的具体形状和位置无关。
4. 高斯定理的应用高斯定理在电场分析和计算中有着广泛的应用，下面列举几个常见的应用例子：（1）计算静电场中的电荷分布：通过高斯定理，可以计算静电场中某个闭合曲面内的电荷分布。
只需测量通过该曲面的电通量，然后根据电通量与电荷的关系，可以确定曲面内部的电荷量。
（2）设计电容器和绝缘材料：在电容器和绝缘材料的设计中，高斯定理可以用来分析电场的分布和电荷的积累。
通过合理选择闭合曲面的形状和位置，可以优化电场分布，提高电容器的性能和绝缘材料的可靠性。
（3）研究电磁波的传播：在研究电磁波的传播过程中，高斯定理可以用来分析电磁波在不同介质中的电场分布和电荷的变化。
高斯定理及其适用范围
详解高斯定理高斯定理（Gauss theorem），矢量分析的重要定理之一。
它给出，矢量场通过任意闭合曲面的通量（面积分）等于该矢量场的散度在闭合曲面所包围体积内的积分（体积分）。
如果通量恒为零，则矢量场是无源场亦称无散场；如果通量可以不为零，则矢量场是有源场亦称有散场。
高斯定理是比较、区别各种矢量场特征的重要手段之一。
在静电学中，表明在闭合曲面内的电荷之和与产生的电场在该闭合曲面上的电通量积分之间的关系。
高斯定律（Gauss' law）表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。
高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律，而二者都被集中在麦克斯韦方程组中。
因为数学上的相似性，高斯定律也可以应用于其它由平方反比律决定的物理量，例如引力或者辐照度。
穿过一封闭曲面的电通量与封闭曲面所包围的du电荷量成正比。
换一种说法就是，电场强度在一封闭曲面上的面积分与封闭曲面所包围的电荷量成正比。
由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合起来了。
如果对于一个闭合曲面，定义向外为正法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为0。
这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理。
高斯定理的适用范围：1、高斯定理适用于任何静电场。
2、高斯定律（Gauss“law）表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。
高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律，而二者都被集中在麦克斯韦方程组中。
3、因为数学上的相似性，高斯定律也可以应用于其它由平方反比律决定的物理量，例如引力或者辐照度。
第二讲 高斯定理课件
如图所示，在流速场中（在流体力学中，速度v
是一个矢量函数，整个流体是一个速度场） ，取一
微小面元Δ s,n为面元Δ s的法线方向的单位矢量.
vn
S
ˆ n
v
单位时间内流过Δ S的流体体积叫做Δ S的通量，由于 Δ S很小，可以认为其上各点的流速v处处相等。单位时间 内通过Δ S的流体体积，它在数值上等于以Δ S为底以v为 母线的柱体体积，即
E E S ES cos
即场强 E 与面元 S 在场强方向的投影的乘积就是面 S
元的电通量。
n
S
S
E
S
. P
E
n
下面，我们对电通量作进一步的讨论 （1）电通量是代数量。场强 E 和面元矢量 S 的 夹角θ 之不同，电通量有正、负。
二、 高斯定理
如何实际地计算电场中任一曲面，尤其是闭合曲 面的电通量呢？1839年，德国科学家高斯在这方面作 了重要工作，高斯定理可以表述为：静电场中任意闭 合曲面s的电通量φ e，等于该曲面所包围的电荷的代 数和Σ qi除以ε 0，与闭合面外的电荷无关。这里s通 常是一个假象的闭合曲面，习惯上叫高斯面。其数学 形式为：
E ds
S
q
i 1
n
i
0
高斯定理的证明：（根据库仑定律和场强叠加原
理从特殊到一般，分几步来证明这个定理。） （1）包围点电荷 q 的同心球面的电通量都等于 以正点电荷q所在处为中心，任意半径r作一球 面，根据库仑定律，球面上场强具有球对称性，在 球面上任取一小面元ds，其外法线矢量n也是沿半 径方向向外的，即n与E 的夹角为0，
间距离Ｌ比所考虑的场点到二者的距离小的多时，这一电荷系
高斯定理在力学中的推广及应用
高斯定理在力学中的推广及应用
高斯定理（Gauss’s theorem）是创建霍普夫斯基力学的数学基础。
该定理最初是由力学表示的，在推广到其他物理问题中也很有用。
它
的内容是，对于某个区域所有的质量点的外场，其外力总和等于这个
区域内力的积分。
如果把这个定理应用于力学中，可以推广出不同的
有关力学现象的数学模型，从而为解决力学问题提供更有效的解决方案。
高斯定理在力学中的推广和应用有：
（1）运动学中的坐标变换：可以用高斯定理来研究在不同坐标系下同
一物体运动的位置和速度变化情况，这有助于更好地理解物体在不同
坐标系中运动行为。
（2）力学学习中的力定式：可以利用高斯定理来推导着名的力定式，
它给出了一种描述任何物体受力作用时质心上运动行为的公式。
（3）转动力学中的定转矩定律：可以用高斯定理推导定转矩定律，用
来研究各种与转动力学相关的问题，从而更好地理解物体的旋转行为。
（4）势能的传递：高斯定理可以用来理解势能的传递，即可以用来估
算势能的传递方向，以及在物体受力的情况下物体如何发生变形。
（5）热传导场中的温度变化：高斯定理可以用于热传导场中温度变化
的研究，它可以有助于更好地理解热源对物体温度分布的影响。
高斯定理2.pptx
以 >0为例：∵两底面上各点场强∥底面，
∴通 过两 底面的电通 量为0.
E dS
S
E dS＋ E dS＋ E dS
上底
下底
侧面
EdS
侧面
E
2rh8
E 2rh
qi
0
E
qi
2rh 0
2 Rh 2 R 1
2 rh 0
2 0r
令2πR · 1 · σ = λ
（作为Gauss面S）
由24个小正方形
q
平面组成。
电场线均匀辐射
由Gauss定理，有
q
？
S
E
dS
24 S1 q
E
1 S1 E dS 24 0
dS
正方体0 为一闭合曲面
正方体是封闭合图形
14
练习2、有一边长为a的正方形平面，在其中垂线上
距中心o为a/2处有一电量为q的正点电荷，如图，
(电荷面密度为 ) 的电场分布。
解：(1)对称 性分析：
各点的 E ⊥平面（ >0， 向外； <0 ，指向 平面）
到平面等距的点 E 大小 相等。
oP
6
(2) 选取Gauss面，如图所示。 (3)应用Gauss定理：
以 >0为例：
∵侧面上各点场强∥侧面，
oP
∴通过侧面的电通量为0.
E dS E dS＋ E dS＋ E dS
的电场分布。 利用课件例8结论
解：根据电场分布的轴对称性，可以选与圆筒同
轴的圆柱面(上下封顶)作高斯面。再根据高斯定
律即可得出：
在筒内，r < R1 ： E 0
在筒间， R1 < r < R2 ：
请简述高斯定理并写出相关数学表达式
请简述高斯定理并写出相关数学表达式如下：
在静电场中，通过任意闭合曲面的电通量，等于该曲面内电荷量的代数和除以真空中的介电常数。
这一规律称为高斯定理。
它的数学表达式为：
上式积分的闭合曲面称为高斯面。
根据高斯定理可以得出以下结论：
1.闭合曲面的电通量只与面内的电荷有关，但面上各点的场强与面内、面外所有电荷都有关。
2.闭合曲面的电通量为零，并不表示面内没有电荷。
3.电场线起始于正电荷，终止于负电荷。
高斯定理是静电场的基本规律，它适用于任意静电场，研究发现它也适用任意电磁场，所以高斯定理的数学表达式是电磁场理论的基本方程之一。
高斯定理——精选推荐
⾼斯定理⾼斯定理设空间有界闭合区域，其边界为分⽚光滑闭曲⾯。
函数及其⼀阶偏导数在上连续，那么：[1]或记作：其中的正侧为外侧，为的外法向量的⽅向余弦。
⾼斯投影即⽮量穿过任意闭合曲⾯的通量等于⽮量的散度对闭合⾯所包围的体积的积分。
它给出了闭曲⾯积分和相应体积分的积分变换关系，是⽮量分析中的重要恒等式，也是研究场的重要公式⽮量分析⾼斯定理是⽮量分析的重要定理之⼀。
它可以被表述为：这式⼦与坐标系的选取⽆关。
式中称向量场的散度(divergence)。
静电学定理指出：穿过⼀封闭曲⾯的电通量与封闭曲⾯所包围的电荷量成正⽐：换⼀种说法：电场强度在⼀封闭曲⾯上的⾯积分与封闭曲⾯所包围的电荷量成正⽐。
（当所涉体积内电荷连续分布时，上式右端的求和应变为积分。
）它表⽰，电场强度对任意封闭曲⾯的通量只取决于该封闭曲⾯内电荷的代数和，与曲⾯内电荷的位置分布情况⽆关，与封闭曲⾯外的电荷亦⽆关。
在真空的情况下,Σq是包围在封闭曲⾯内的⾃由电荷的代数和。
当存在介质时,Σq应理解为包围在封闭曲⾯内的⾃由电荷和极化电荷的总和。
⾼斯定理反映了静电场是有源场这⼀特性。
⾼斯定理是从库仑定律直接导出的，它完全依赖于电荷间作⽤⼒的平⽅反⽐律。
把⾼斯定理应⽤于处在静电平衡条件下的⾦属导体，就得到导体内部⽆净电荷的结论，因⽽测定导体内部是否有净电荷是检验库仑定律的重要⽅法。
当空间中存在电介质时，上式亦可以记作式中为曲⾯内⾃由电荷总量。
它说明电位移对任意封闭曲⾯的通量只取决于曲⾯内⾃由电荷的代数和，与⾃由电荷的分布情况⽆关，与极化电荷亦⽆关。
电位移对任⼀⾯积的能量为电通量，因⽽电位移亦称电通密度。
对于各向同性的线性的电介质，如果整个封闭曲⾯S在⼀均匀的相对介电常数为的线性介质中，则电位移与电场强度成正⽐，,式中称为介质的相对介电常数，这是⼀个⽆量纲的量。
更常遇到的是逆反问题。
给定区域中电荷分布，所求量为在某位置的电场。
这问题⽐较难解析。
虽然知道穿过某⼀个闭合曲⾯的电通量，但这信息还不⾜以确定曲⾯上各点处的电场分布，在闭合曲⾯任意位置的电场可能会很复杂。
02高斯定理
(
•q 2 • q1 • q• n q•+1 n • q•+m n
)
有些电荷在高斯面内，有些电荷在高斯面外， 有些电荷在高斯面内，有些电荷在高斯面外，
′ ′ = ∫∫ E1 + E 2 + ⋯ ⋅ d S + ∫∫ ( E n+ 1 + E n + 2 + ⋯) ⋅ d S
内
(
)
=
ε0
q1
+
ε0
q2
S
E
θ
S
θ
n
E
Φ e = ES
Φe = ES cosθ = E • S
5
电场不均匀， 为任意曲面 电场不均匀，S为任意曲面
dΦe = EdS⊥ = EdS cos θ = E ⋅ dS Φ e = ∫ d Φ e = ∫ E cos θ dS
S
S
= ∫ E ⋅ dS = ∫ E ⋅ n dS
S S
q1 q2
q3
q4
13
b.电通量 Фe只与面内电荷有关，与面外电荷无关。 电通量 只与面内电荷有关，与面外电荷无关。 c. Ф e = 0不一定面内无电荷，有可能面内电荷等量异号。 不一定面内无电荷， 不一定面内无电荷 有可能面内电荷等量异号。 d. Ф e=0，不一定高斯面上各点的场强为 0。 ， 。 e. ∑ q i > 0 ⇒ Φ e > 0 表明电场线从正电荷发出，穿出闭合曲面, 表明电场线从正电荷发出，穿出闭合曲面 所以正电荷是静电场的源头 正电荷是静电场的源头。 所以正电荷是静电场的源头。
+q
因为有几条电场线进面内必然有同样数目的电场线 从面内出来。 从面内出来。
一、高斯定理文字叙述：在任何静电场中，通过任一闭合曲面的电通量
一、 高斯定理文字叙述：在任何静电场中，通过任一闭合曲面的电通量等于这闭合曲面所包围的自由电荷的代数和．数学表达式为Φe ⎰∑===ni iq dS D 1cos θ （9-18）不严格的证明：第一种情况：点电荷的电场,闭合曲面（称高斯面）是以点电荷为球心、以r 为半径的球面：球面上各点电位移的大小相等，方向均向外（设），与面积元d S 的方向相同，所以Φe⎰⎰==⋅==q r r q dS r q dS D 222440cos 4cos πππθ若点电荷为负电荷，即q=-∣q ∣，则⎰⎰=-=-=⋅==Φqq r r q dS r q dS D e 22244cos 4cos ππππθ与r 无关，即与球面的半径无关.第二种情况：点电荷的电场,任意闭合曲面：S ’为任意闭合曲面，S 为球面，S 和S ’包围同一点电荷Q ，S ’与S 之间并无其他自由电荷．由于电位移线的连续性，可以看出通过闭合曲面S ’的电位移线的数目和通过球面S 的电位移线的数目是一样的．因此通过闭合曲面S ’的电通量Φe 的量值也等于q ．第三种情况：点电荷在任意闭合曲面外：点电荷q 在闭合曲面S ”的外面时，可以看到进入该曲面的电位移线的数目与穿出该曲面的电位移线的数目也是相等的．因为我们规定穿出为正、进入为负，因此通过该闭合曲面的总电通量为零．第四种情况：点电荷系的电场：设空间有（n+m ）个点电荷时，其中n 个在闭合曲面内，m 个在闭合曲面外.根据电场叠加原理：m n n n D D D D D +++++++=11，可得：∑⎰⎰⎰⎰⎰=++=++++=∙++∙+∙++∙=∙=Φni in m n n n e q q q S d D S d D S d D S d D S d D 11110式中m 为空间自由点电荷的总数，而n 为闭合曲面内包围的自由点电荷的数目，（m-n ）为闭合曲面外的自由点电荷的数目，因此可得通过任一闭合曲面的电通量等于这闭合曲面所包围的自由电荷的代数和．可以证明 高斯定理是普遍成立的. 注：1.物理意义：说明静电场是有源场（静电场的特性之一），静电场的源就是正电荷和负电荷（负源）.2.要注意区分通过闭合曲面的电通量（D 的通量）与闭合曲面上每一点的D ：(1) 通过任一闭合曲面的电通量只与闭合曲面内的自由电荷有关，但闭合曲面上每一点的D 却与空间（闭合曲面内、外）的所有电荷有关.（2）0=∙⎰S d D，不一定曲面上每一点的D 都是零；也不一定曲面内没有自由电荷，只不过曲面内自由电荷的代数和为零（即净电荷为零）罢了.3.高斯定理是普遍成立的，但用来求电场时只能用于具有某些对称性的电场.四、高斯定理的应用 1.均匀带电球体的电场设有一电介质球体，半径为R ，均匀带电，电荷体密度为ρ，总电荷为q ，如图9-16.现在计算球内和球外任意点p 1和p 2处的电位移．设球体的介电系数为ε1，球外电介质的介电系数为ε2.先研究球内p 1处的情况．通过p 1点作半径为的同心球面S 1(r 1<R)，面积等于4πr 12．由于对称关系，球面S 1上各点的电位移应与球面相垂直且有相同的量值，假定为D 1，相应地通过球面S 1的电通量为4πr 12 D 1.已知球面S 1所包围的电荷为（4/3）πr 31ρ.所以由高斯定理，得3311211134344cos R q r D r dS D dS D e πππθ====Φ⎰⎰相应地，因D 1=ε1E 1，得1311114r R qD E πεε==(9-19a) 由此可见，对均匀带电球体来说．球内任何点的场强与该点到球心的距离成正比，在球心处场强为零.再来研究球外p 2点处的情况．通过p 2点作半径为r 2的同心球面S 2(r 2> R)，面积为4πr 22．同理，设球面S 2上电位移的量值为D 2．相应地，通过球面S 2的电通量为4πr 22 D 2．已知球面S 2所包的电荷为q ，所以按高斯定理得4πr 22 D 2 =q所以2224r qD π=相应地，因D 2=ε2E 2，得2222224r qD E πεε==(9-19b) 上式与点电荷的场强公式完全相同，可见均匀带电球体在球外一点产生的场强，相当于全部电荷集中在球心上时点电荷产生的场强 .场强与距离r 的关系，以及电位移与距离r 的关系，分别如图9-17所示（有何区别？为什么？）2．均匀带电球面的电场设有一个球面，半径为R ，表面均匀带电，电荷面密度为σ，总电量为q ，即q=4πR 2σ．显然，可用与带电球体相同的方法，求得球内任一点的电位移和场强均为零；即D=0，E=0 (均匀带电球面内) (9-20a)而球外任一点的电位移和场强则与带电球体的球外电场相同，即在球外任一点(与球心相距为r)处，224rq D π=2224r qE πε=式中ε2.是球外电介质的介电系数．均匀带电球面内外的场强与r 的关系如图9-18所示. 3．无限大均匀带电平面的电场设有无限大均匀带电平面，平面的电荷面密度为σ．在靠近平面中部而距离平面不远的区域内，由于对称关系，可以确定电场是均匀的，而且场强垂直于平面(田9-19)．局限在上述区域内的电场，称为无限大均匀带电平面的电场．为了计算这个电场的场强，可通过平面上一小面积ΔS ，作一封闭柱面S ，柱面的轴线和平面正交，两底面的面积都等于ΔS ，按高斯定理，通过整个S 面的电通量应等于S 面所包围的自由电荷的代数和，即Φe =∮Dcos θdS=∫底面1Dcos θdS+∫底面2Dcos θdS+∫侧面Dcos θdS = D （ΔS ） + D （ΔS ）+0=∑q 这里，通过柱体侧面的电通量等于零（因为侧面上各处θ=π /2）.通过两底面的电位移线都与底面正交，而且都是向外的(设σ为正值)，所以θ=0，cos θ=1．设D 为两底面上的电位移，可知通过两底面的电通量等于D(ΔS) + D （ΔS)．已知s 面所包围的总电荷为σ(ΔS)，所以 D (ΔS) + D (ΔS) =σ(ΔS)从而求得 D=σ/2或02εσ=E （真空中）εσ2=E （无限大均匀电介质中） 可见在无限大均匀带电平面的电场中，各点的场强与离开平面的距离无关．(上述结果与例题9—2中用积分计算所得的结果一致，但这里的计算简单得多．)4．无限长均匀带电圆柱面的电场设有无限长均匀带电圆柱面，半径为R ，电荷面密度为σ(设σ为正)．由于电荷分布的轴对称性，可以确定，在靠近圆柱面中部离开圆柱面轴线的距离比圆柱面的长度小得多的地方（在这些地方才可以将圆柱面看成是无限长的），带电圆柱面产生的电场也具有轴对称性，即离开圆柱面轴线等距离各点的场强大小相等，方向都垂直于圆柱面而向外，如图9—20所示．局限于上述区域的电场称为无限长均匀带电圆柱面的电场．为了求无限长圆柱面外任一点p 处的场强，可过p 点作一封闭圆柱面，柱面高为l ，底面半径为r ，轴线与无限长圆柱面的轴线相重合．由于封闭圆柱面的侧面上各点电位移D 的大小相等，方向处处与侧面正交，所以通过该侧面的电通量是2πrlD ；通过两底面的电通量为零．而圆柱面所包围的电荷为σ2πRl,所以按高斯定理得2πrlD=σ2πR l 由此算出 D=R σ/r 相应地，由D=εE ，得 E=R σ/r ε式中ε是圆柱面外电介质的介电系数．如果令λ=2πR σ表示圆柱面每单位长度的电量，则上两式可化为D=λ/2πr E=λ/2πεr由此可见，无限长均匀带电圆柱面在柱外各点产生的场强，相当于其电荷全部集中在其轴线上的无限长均匀带电直线产生的场强 (参看例题9—1)．根据同样的讨论，可知带电圆柱面内部的场强等于零．各点的场强随各该点到带电圆柱面轴线的距离r 的变化关系．如图9—20所示．小结：从上面几个例子中可以看出，在有些情况下，利用高斯定理计算带电系统的场强是很方便的．问题的关键在于找到合适的闭合面使∮Dcos θdS 易于计算，显然，当带电系统均匀带电并具有如上各例的对称性时，就能做到这一点．用高斯定理求场强的步骤： 1.选高斯面（闭合曲面）：找到合适的闭合面使∮Dcos θdS 易于计算，例如使电场强度都垂直于这个闭合面的全部或一部分，而且大小处处相等（这时D 可以提出积分号外）；或者使一部分场强与该面平行，因而通过这部分面积的电通量为零．1. 求Φe ⎰=dS D θcos2. 求Σq i 内3. 求D 的大小和方向4. 求E =D /ε（记忆：D =εE ）。
电磁学2高斯定理
E的单位： N m2 / C
E 0
3.真空中静电场的高斯定理
——静电场的基本规律之一 （1）高斯定理
通过任意闭合 曲面S的电通量
S面包围的 电荷的代数和
1 即： E E dS qi S
0 S内
证明：
1 E S E dS qi
S
q2 q1 qn
取任意闭合面S， 其电通量为: E S E dS S (E1 E2 ... En) dS S E1 dS S E2 dS ... S En dS 1 2 n 1 qi 定理得证！ o S内 qi q 在 S 内 i 由单个点电荷的结论 i o qj不在S内 j 0
体密度
ra
r E r E E
E0
a
b
E 2π 0r rb E0
arb
r
E
r
例12.无限大薄平板均匀带电，面电荷密度+ ， 求 场强分布? 并且 解：由电荷分布可知场相对平面对称 , E平板 E
1
E2
S1
So
S2 S3
0 S内 i 1 S1 E1 dS S2 E2 dS S3 E3 dS 0 q i S内 E1S1 E2S20 1 So 0 E1 E2 E
E
o
R
r
4π o
q
r 3 R
方向为 r
r＝0 时, E＝0.
例11. 用高斯定理求均匀带电的 无限长圆柱棒的电场分布,已知线电荷密度 。
简述高斯定理
高斯定理1. 介绍高斯定理是电磁学中的一个基本定理，描述了电场的流量和电荷之间的关系。
它是由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪提出的。
高斯定理也被称为Gauss定律或Gauss-奥姆定律。
在电磁学中，电场是指由电荷产生的力场。
而高斯定理则是描述电场如何通过一个闭合曲面的总通量与该闭合曲面内的总电荷之间的关系。
2. 数学表达在数学上，高斯定理可以使用以下公式来表示：∮E S ⋅n dS=1ϵ0∭ρV dV其中：•∮ES⋅n dS表示电场E通过闭合曲面S的总通量。
•E是电场矢量。
•n是曲面元素的单位法向量。
•dS是曲面元素的面积。
•ϵ0是真空中的电介质常数，约为8.854×10−12 C2/(Nm2)。
•∭ρV dV表示闭合曲面内的总电荷量，其中ρ是电荷密度。
这个公式可以用来计算闭合曲面内的总电荷量，只要我们能够计算出电场通过该曲面的总通量。
3. 物理解释高斯定理的物理解释非常简单直观。
它告诉我们，电场通过一个闭合曲面的总通量与该曲面内的总电荷量成正比。
这是因为电场的起源是电荷，而电场的流动通过电场线来表示。
对于一个点电荷，电场是呈球对称的，其电场线由该点电荷发出，并以径向分布。
如果我们选取一个包围该点电荷的闭合曲面，根据高斯定理，通过该曲面的电场线总数与曲面上的面积成正比。
这可以通过一个简单的比喻来理解。
假设有一个喷泉，每秒喷出一定数量的水，水以喷泉为中心向四周扩散。
我们观察到每秒通过一个球面的水流量是相同的，而这个球面的面积是不同的。
换句话说，水流通过球面的总量与该球面的面积成正比。
类似地，电场线也是呈球对称的，通过一个闭合曲面的电场总通量与该曲面的面积成正比。
综上所述，高斯定理提供了电场流量和电荷之间的定量关系，为我们理解和计算电场提供了重要的工具。
4. 应用高斯定理在电磁学中有广泛的应用。
下面介绍几个重要的应用：4.1. 计算电场根据高斯定理，如果我们知道一个闭合曲面内的电荷分布情况，就可以通过计算电场通过该曲面的总通量来确定该闭合曲面内的电场分布。
高数高斯定理
高数高斯定理高数高斯定理，也称为高斯积分定理，是数学中的一个重要定理，它建立了曲线、曲面和体积之间的联系。
该定理是由德国数学家高斯在19世纪中期提出的，被广泛应用于物理学、工程学等领域。
高斯定理的基本思想是将空间中的曲面和曲线与曲面内部的体积联系起来。
它将曲面的积分与曲面内部的体积积分相联系，从而实现了将高维空间中的问题转化为低维空间中的问题求解。
这一思想在数学和物理学中具有重要的意义。
根据高斯定理，对于一个封闭的曲面S，通过该曲面内部的任何一点P引出的曲线都是闭合的。
曲面S将空间分为两个部分，内部和外部。
高斯定理指出，通过曲面S内部的体积的通量等于通过曲面S上的边界的曲面积分。
这一定理可以表示为以下公式：∮S F·dS = ∭V (∇·F) dV其中，F是一个矢量场，S是曲面的边界，V是曲面S所包围的体积，∮S表示曲面上的积分，∭V表示体积上的积分，∇·F表示矢量场F 的散度。
高斯定理在物理学中有广泛的应用。
例如，它可以用于计算电场的通量、电荷分布和电势的关系。
根据高斯定理，通过一个闭合曲面的电场通量等于该曲面内部的电荷分布除以介电常数。
这个公式不仅可以用于计算电场，还可以用于计算其他物理量，如磁场、流体力学中的流量等。
在工程学中，高斯定理也被广泛应用。
例如，在流体力学中，可以使用高斯定理来计算液体或气体通过封闭曲面的流量。
在传热学中，高斯定理可以用来计算热通量。
在结构力学中，高斯定理可以用来计算力的分布和应力的大小。
高数高斯定理是数学中的一个重要定理，它建立了曲线、曲面和体积之间的联系。
该定理广泛应用于物理学、工程学等领域，可以用于计算电场、磁场、流体力学中的流量和传热学中的热通量等物理量。
高斯定理的应用使得问题的求解变得更加简洁和高效，对于理解和解决实际问题具有重要的意义。
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(方向沿垂直于轴线的半径) 方向沿垂直于轴线的半径)
S1
v v ∫∫ E • dS = 2π rL ⋅ E
s
L
S2
ρ 2 ∑ qi ε0 = ε π R L j 0
ρ 2π rL ⋅ E = π R2L ε0
S3
ρ λ 2 E= R = 2ε 0 r 2πε 0 r
(方向沿垂直于轴线的半径) 方向沿垂直于轴线的半径)
4. 本章的场源模型：点、线、面、体；如何求场强 方法一：库仑场强迭加法 方法二：应用高斯定理 方法三：………………
第一节
电场线
图组1
电通量
续28
闭合曲面
凡例
特例引入下节
高斯定理
续32
续33
续28
请在放映状态下点击你认为是对的答案
随堂小议
通量为零， 若通过一闭合曲面的 通量为零， 则此闭合曲面上的 一定是
讨论： 讨论：
无限长圆柱面，单位长度电荷为 ， 无限长圆柱面，单位长度电荷为λ， 圆柱面 求：柱面内外场强 ?
带电长圆柱面
续上
应用举例
归纳
点电荷
带电量
均匀带电
球体
带电量
均匀带电
球面
带电量
无限长 均匀带电
直线
无限长 均匀带电
圆柱面
无限大 均匀带电
电荷面密度
电荷线密度
电荷面密度
平面
近场
请就以下问题展开讨论（点名提问）： 请就以下问题展开讨论（点名提问）： 求解一个立方体一个面上的电通量， 求解一个立方体一个面上的电通量， 电荷在立方体的一个角上。 电荷在立方体的一个角上。
Φ eS
1 q = 6 ε0
Φ eS ′
11 q = 4 6 ε0
作业
作业： 作业：
P3 - P4
独立认真完成作业！ 独立认真完成作业！
非均匀带电球体的电场分布: 非均匀带电球体的电场分布:
qe ρ (r ) = − 3 e πa0
−
2r a0
a0
+qe
qe Q = 4π ∫ − 3 e πa0 0
)
(
qe 2 r 2 r 2 − a0 1 + 4π ⋅ r 2 E = + 2 e ε 0 a0 a0
)
2r
2r 2r 1 + E= + 2 e 2 4πε 0 r a0 a0 qe
2
−
2r a0
一半径为R、电荷密度为ρ 的均匀带电球内有 一半径 为r 的空腔，证明空腔内为均匀电场。 取以r'为半径， 为心的高斯球面用高斯定理 为心的高斯球面用高斯定理： 取以 为半径，o'为心的高斯球面用高斯定理： 为半径 R o r o'
∞
−
2r a0
4 qe 2! r dr = − 3 = qe 3 a0 2 − a 0
2
v 1 r v v 2 ∫∫ E (r ,t) • dS = ε 0 ∫ ρ (r )⋅ 4π r dr + qe s 0
(
r q − 2r 1 a0 − e3 e ⋅ 4π r 2 dr + q e 4π ⋅ r 2 E = ε 0 ∫ πa 0 球面
续41
应用：球体
比较结果
无限长直带电圆柱体，体电荷密度 ， 无限长直带电圆柱体，体电荷密度ρ，λ= ρ 圆柱体
。
S1
<
L
∫∫
s
v v E • d S = 2π rL ⋅ E
S2
S3
ρ 2 ∑ qi ε0 = ε π r L j 0 ρ 2 2π rL ⋅ E = π r L ε0
真空中的静电场
(二)
电荷 电荷守恒定律 库仑定律 电场 电场强度 电通量 高斯定理 静电场的环路定理 电势 电场强度和电势的微分关系
上节回顾：
1. 电荷是物质的基本属性；静止带电体是静电场的源。 2. 场是物质存在的基本形态。静电场的基本属性是对 场中的电荷有电场力的作用。 3. 电场强度 ； 静电场是矢量场，且 。
r′′
r r r ρ r r ρ r ρ r E = E′ + E′′ = r′ − r′′ = (r′ −r′′) 3εo 3εo 3εo
r r r′ −r′′ = oo′
r ρ ∴E = oo′ 3o ε
均匀场
P
R +ρ
o
过空腔内任一点P，作以r’为半径，O为心的 ， 高斯球面，由高斯定理：
r O’ l
r ρ r′ E′ = r + 3 o ε
过空腔内任一点P，作以r’’为半径，O’为 ， 心的高斯球面，由高斯定理：
. o′
r′′P
P 点的合场强：
r ρ r′ ′ =− ′ E r′ − 3 o ε
o
r′ o′
r r Φ = ∫ E⋅ dS = ∫ E⋅ dS = E⋅ 4 r2 ? π E 1 Φ = ∫ dq = 0 E
∴E = 0
补偿法: 补偿法:
εo V
E为均匀电场。 为均匀电场。 为均匀电场
设想空腔内充有+ 的电荷；所有+ 设想空腔内充有+ρ 和 −ρ 的电荷；所有+ρ 构成 一完整的带电球； 一完整的带电球；空腔内的电场应该是带正电荷的大球和带负 电荷小球共同产生。 电荷小球共同产生。
小议链接2 高斯定理与数学高斯公式的关系
（高斯定理的微分式） 高斯定理的微分式）
说 明
高斯定理是物理公式，有明确的物理含义； 高斯定理是物理公式，有明确的物理含义；高斯公式 只是将面积分和体积分互换的数学公式， 只是将面积分和体积分互换的数学公式，不包含具体 的物理意义。 的物理意义。
应用：直线
（1）处处为零； 处处为零； （2）可能为零，也可能不为零。 可能为零，也可能不为零。
结束选择
小议链接1 请就以下问题展开讨论（点名提问）： 请就以下问题展开讨论（点名提问）：
电场线的特点是起于正电荷，终于负电荷，在没有电荷的地 方不会中断。这些性质我们是怎么知道的？
1、曲面包含正电荷时，电通量为正，有电场线穿出，正电荷 是电场线的源头。 2、曲面包含负电荷时，电通量为负，有电场线穿入，负电荷 是电场线的尾阈。 3、曲面不包含电荷的情况，电通量为零，电场线不中断。 电场线的性质是高斯定理的推论； 电场线的性质是高斯定理的推论；