江苏省2019高考数学一轮复习突破140必备专题01函数的切线问题学案
江苏省2019高考数学一轮复习 突破140必备 专题02 讨论含有参数的函数的单调性学案
巩固练习答案解析：
1、解： ，对称轴为 ，
①当 ，即 时
在 上恒成立，故 在区间 单调递增；
②当 ，即 时， 在 上有一解为
当 时， ， 单调递减
当 ， ， 单调递增
③当 ，即 时， 在 上有两解为
当 ， ， 单调递增
当 ， ， 单调递减
当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 和 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
对于求含有参数的函数的单调区间或者讨论含有参数的函数的单调性解题思路与没有参数基本一致：（1）确定函数定义域，对函数 求导；（2）令导函数 解根，此时可能解出的根含有参数或者参数在分母上，就要对参数进行分类讨论，若在分母上，先讨论是否等于零，再讨论是否在定义域内，不在定义域内说明原函数单调，若在，分区间判定导函数符号，如果有一个根有参数另一个根没有，还要比较两者大小（3）最后总结，写出参数范围下函数 的单调区间。
综上所述：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减
4、分析： 的定义域为 ， ，先考虑 ，当 时， 得 ，若 ，说明 有解，若 ， 无解，即 就是单调的。
解： 的定义域为 ，
①当 ， 恒成立， 在 上单调递增；
②当 ，即 或
时， 恒成立， 在 上单调递增；
时， 恒成立， 在 上单调递减；
例1、（2015江苏高考19）已知函数
（1）试讨论 的单调性；
解：（1）
令 ，可得 或 ．
时， ， 在 上单调递增；
时， 时， ， ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ， ，
函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
(江苏专版)2019版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第七节函数的图象及其应用实用课
(3)对称变换： y＝f(x)关――于―x轴―对―→称y＝ －f(x) ； y＝f(x)关――于―y轴―对―→称y＝ f(－x) ； y＝f(x)―关―于―原―点―对―称→y＝－f(－x) ． (4)翻折变换： y＝f(x)―去将―掉y―轴y轴―右―左边―边的―图图―，象―保翻―留―折y―到轴―左右―边边―去图→y＝ f(|x|) ； y＝f(x)―将―x―轴―下―方保―的留―图x―轴象―上翻―方―折图―到―上―方―去→y＝ |f(x)| .
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.[考点二](2018·扬州模拟)函数 y＝sinx x，x∈(－π，0)∪(0，π) 的图象大致是________．(填序号)
解析：函数 y＝sinx x，x∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，所以图象 关于 y 轴对称，排除②③，又当 x→π 时，y＝sinx x→0.故①正确． 答案：①
(2)如图，矩形 ABCD 的周长为 8，设 AB＝ x(1≤x≤3)，线段 MN 的两端点在矩形的边上滑 动，且 MN＝1，当 N 沿 A→D→C→B→A 在矩形的边上滑动一 周时，线段 MN 的中点 P 所形成的轨迹为 G，记 G 围成的区域 的面积为 y，则函数 y＝f(x)的图象大致为________．(填序号)
解析：当 l 从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快， 过了 D 点后面积保持匀速增加，过了 C 点后面积的增加速度 又逐渐减慢．故③正确． 答案：③
5.[考点一]作下列函数的图象： (1)y＝x－1 1＋1； (2)y＝x2－2x＋2，x∈(－1,2]； (3)y＝|x－1|，x∈R. 解：(1)可先作出函数 y＝1x的图象， 然后将 y＝1x的图象向右平移一个单位，再 向上平移一个单位，得到函数 y＝x－1 1＋1 的图象，如图(1)所示．
2019届一轮复习苏教版基本初等函数学案
专题1：基本初等函数问题归类篇类型一：分段函数一、前测回顾1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥1，－x 2＋4，x ＜1，①若f (x )≥2，则x 的取值范围为 ．②f (x )在区间[－1，3]的值域为 ． 答案：①[－2，＋∞)；②[2，4]．2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x3－1，x ≥0，1x ，x ＜0，若f (f (b ))＝－2，求实数b 的值．答案：b ＝34或－2． 二、方法联想方法1：分类讨论，按分段区间进行分类讨论，最后汇总(求并集)；方法2：图象法，画出分段函数的图象，根据图象探讨不等式解集及值域问题． 三、归类巩固*1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，log 2x ＋1，x ＞1，则f [f (－1)]＝ ． 答案：0．(考查分段函数求值问题) *2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧1＋log 2(2－x )，x ＜12x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝ ．答案：9**3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是________．答案：[0，＋∞)**4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ≤0ln(x ＋1)，x ＞0，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是 ．答案：[－2，0]***5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|ln x |，x ＞0x 2＋4x ＋1，x ≤0，若关于x 的方程f (x )2－bf (x )＋c ＝0(b ，c ∈R )有8个不同的实数根，则b ＋c 的取值范围是 ． 答案：(0，3)***6已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎨⎧0，0＜x ≤1|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________． 答案：4类型二：求函数的解析式一、前测回顾1．已知f [f (x )]＝9＋4x ，且f (x )是一次函数，则f (x )＝ ．若f (x 2＋1)＝x 2，则f (x )＝ ．答案：①2x ＋3或－2x －9；②．x －1(x ≥1)2．已知函数满足2f (x )＋f (1x )＝x ，则f (2)＝ ；f (x )＝ ． 答案：76，23x －13x 二、方法联想方法1：待定系数法； 方法2：换元法、拼凑法； 方法3：函数方程法． 三、归类巩固*1．已知f (x )＝x 2＋3x ＋2，则f (x ＋1)＝________． 答案：x 2＋5x ＋6．*2．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________． 答案：2x ＋7*3．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )的表达式为______ 答案：12x 2＋12x ．**4．已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝_________． 答案：lg 2x －2．**5．若2f (x )－f (－x )＝x ，则f (x )＝ ． 答案：则f (x )＝x3．***6．若f (x －2x )＝x 2＋4x 2－3x ＋6x ，则f (x )＝ ． 答案：x 2＋－3x ＋4 ．类型三：二次函数一、前测回顾1．若二次不等式f (x )＜0的解集为(1，2)，且函数y ＝f (x )的图象过点(－1，2)，则f (x )＝ ． 答案：13x 2－x ＋23；．2．已知f (x )＝－x 2＋2x －2，x ∈[t ，t ＋1]，若f (x )的最小值为h (t )，则h (t )＝ ．已知函数满足2f (x )＋f (1x )＝x ，则f (2)＝ ；f (x )＝ ． 答案：⎩⎨⎧－t 2＋2t －2，t ＜12－t 2－1， t ≥12二、方法联想二次函数的解析式一般设为三种形式：(1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；(2)顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)； (3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．二次函数在给定区间内的值域与最值问题: 方法: 结合图象，分区间讨论．步骤: ①配方求对称轴（也可以用公式），画出草图(关注：对称轴，开口方向及给定区间)；②结合图象，由函数的单调性，求出最值．若对称轴在给定区间内，则考虑顶点及端点的函数值，若对称轴不在给定区间内，则最值为端点的函数值．三、归类巩固*1．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的顶点为(－1，10)，且方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根的平方和为12，则f (x )的解析式是____________． 答案：f (x )＝－2x 2－4x ＋8．*2．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]．若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为________． 答案：1．**3．若定义域为R 的二次函数f (x )的最小值为0，且有f (1＋x )＝f (1－x )，直线g (x )＝4(x －1)被f (x )的图像截得的线段长为417，则函数f (x )的解析式为__________．解析：设f (x )＝a (x －1)2(a ＞0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a x －12，y ＝4x －1，得ax 2－(4＋2a )x ＋a ＋4＝0．由韦达定理，得x 1＋x 2＝4＋2a a ，x 1·x 2＝a ＋4a ．由弦长公式，得 417＝1＋42⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫4＋2a a 2－4·a ＋4a ． ∴a ＝1．∴f (x )＝(x －1)2． 答案：f (x )＝(x －1)2．**4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是________． 答案：(－2，1) ．**5．方程mx 2－(m －1) x ＋1＝0在区间(0，1)内有两个不同的实数根，则m 的取值范围为__________．解析：令f (x )＝mx 2－(m －1)x ＋1，则f (x )的图像恒过定点(0，1)，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ＝m －12－4m ＞0，0＜m －12m＜1，f (1)＝2＞0.解得m ＞3＋22．答案：m ＞3＋22．***6．函数f (x )＝2x 2－2ax ＋3在区间[－1，1]上的最小值记为g (a )，求g (a )的函数表达式为___________．答案：g (a )＝⎩⎨⎧2a ＋5，a ＜－23－a 22，－2≤a ≤25－2a ，a ＞2．类型四：指数函数与对数函数一、前测回顾1．已知2x 2＋x ≤(14)x －2，则函数y ＝( 3)x 2＋2x 的值域为 ． 答案：[33，81] ．2．设log a 13＜2，则实数a 的取值范围为 ．答案：(0，33)∪(1，＋∞) ．3．已知函数y ＝log 0.5(x 2－2x ＋2)，则它的值域为 ． 答案：(－∞，0]． 二、方法联想（1）指(对)数方程与不等式问题：方法1：转化为同底的指(对)数，利用指(对)数函数的单调性化简方程或不等式，与对数有关问题要注意定义域及转化过程中的等价性．方法2：利用换元法，转化为代数方程或不等式． 变式：解不等式lg 2x －lg x 2－3≥0．(答案：0＜x ≤110或x ≥1000，考查利用换元法解指(对)不等式)． （2）与指(对)数函数有关的值域问题，方法1：复合函数法，转化为利用指(对)数函数的单调性； 方法2：换元法，转化为基本初等函数的复合函数来求．（3）指数首先要注意值域，对数首先要注意定义域，其次这两个函数都要考虑单调性． 三、归类巩固*1．若点(a ，9)在函数y ＝3x 的图像上，则tan a π6的值为_______．答案：3． *2．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )＞f (n )，则m ，n 的大小关系为__________． 答案：m ＜n ．**3．函数y ＝a x －2－1(a ＞0，a ≠1)的图像恒过定点__________． 答案：(2，0) ．**4．解不等式lg 2x －lg x 2－3≥0的解集是_________． 答案：0＜x ≤110或x ≥1000．**5．已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a ＞0，且a ≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为__________．解析：由题可知函数f (x )＝a x ＋log a x 在[1，2]上是单调函数，所以其最大值与最小值之和为f (1)＋f (2)＝a ＋log a 1＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，整理可得a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)，故a ＝2．答案：a ＝2．***6．已知函数f (x )＝log 2(a －2x )＋x －2，若f (x )＝0有解，则实数a 的取值范围是____________．解析：方法一：f (x )＝log 2(a －2x )＋x －2＝0，得a －2x ＝22－x ，即a －2x ＝42x ，令t ＝2x (t＞0)，则t 2－at ＋4＝0在t ∈(0，＋∞)上有解，令g (t )＝t 2－at ＋4，g (0)＝4＞0，故满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞0，Δ＝a 2－16≥0，得a ≥4． 方法二：f (x )＝log 2(a －2x )＋x －2＝0，得a －2x ＝22－x ，a ＝2x ＋42x ≥4．答案：a ≥4．类型五：函数的零点问题一、前测回顾1．函数f (x )＝lg x －sin x 零点的个数为 ． 答案：3 ．2．函数f (x )＝2x ＋x －4零点所在区间为(k ，k ＋1 )，k ∈N ，则k ＝ ． 答案：1． 二、方法联想零点存在定理：连续函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有f (a )f (b )＜0，则f (x )在(a ，b )上至少存在一个零点．反之不一定成立．零点存在问题：①能解出x ＝x 0；②x 0∈A （定义域）；方法2：分离参数，转化为求值域（要分清谁是参数，谁是自变量）；方法3：数形结合法．零点个数问题：方法1：数型结合；方法2：①解出x ＝x i (＝1，2，…，n )，②根据问题中零点有k 个，则选择k 个x ∈A （定义域），n －k 个x ∈∕A ． 三、归类巩固*1．若一次函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点为2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是 ． 答案：0和－12．*2．函数函数f (x )＝log 2(x+2)－x 有____________个零点． 答案：2．**3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，2x ，x ＞0则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是 ． 答案：m ≤0或m ＞1．**4．已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系是__________．解析：由于f (－1)＝12－1＝－12＜0，f (0)＝1＞0，故f (x )＝2x ＋x 的零点a ∈(－1，0)． 因为g (2)＝0，故g (x )的零点b ＝2； h ⎝⎛⎭⎫12＝－1＋12＝－12＜0，h (1)＝1＞0， 故h (x )的零点c ∈⎝⎛⎭⎫12，1，因此a ＜c ＜b ． 答案：a ＜c ＜b ．**5．若函数x 2－m x ＋4(x ＞0)存在零点，则实数的取值范围是__________． 答案：[2，＋∞)．***6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧kx ＋2，x ≤0ln x ，x ＞0(k ∈R )，若函数y ＝|f (x )|＋k 有三个零点，则实数k 的取值范围是 ． 答案：k ≤－2．综合应用篇一、例题分析例1 已知函数f (x )＝log a (8－2x )(a ＞0，且a ≠1)．（1）当a ＝2时，求满足不等式f (x )≤2的实数x 的取值范围； （2）当a ＞1时，求函数y ＝f (x )＋f (－x )的最大值． 答案：（1）实数x 的取值范围为[2，3)． （2）函数y ＝f (x )＋f (－x )的最大值为log a 49． 〖教学建议〗（1）主要问题归类与方法：1．解指(对)数不等式问题：方法：①利用指(对)数函数的单调性，将不等式转化为代数不等式来解．②换元法：转化为整式不等式，指（对）数必须先注意值（定义）域．2．与指(对)数有关的函数值域：方法：①考察对应函数(复合函数)的单调性，利用单调性处理．②用换元法，转化为几个基本函数的值域问题．（2）方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法①，因为本题既含对数，也含有指数，用换元不能一次转化为代数不等式，所以选择方法①．对于问题2，学生一般会选择方法②，因为用换元法转化为几个基本函数的值域，处理比较方便，所以选择方法①．指数函数、对数函数的单调性受底数a的影响，解决与指、对数函数特别是单调性有关的问题时，首先要看底数的范围．本题的易错点有两个，一是第一问中的“8－2x＞0”的定义域部分；二是第二问中函数y＝f(x)＋f(－x)的定义域．例2已知函数f(x)＝a－1|x|．（1）求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；（2）若f(x)＜2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数y＝f(x)在[m，n]上的值域是[m，n](m≠n)，求实数a的取值范围．解：（1）f(x)在(0，＋∞)上为增函数．（2）a的取值范围为(－∞，3]．（3）a的取值范围为{0}∪(2，＋∞)．〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法：1．讨论函数的单调性问题：方法:①利用函数的图象；②复合函数的单调性；③利用函数单调性的定义．④利用导函数来求函数的单调区间．2．不等式恒成立问题：3．已知函数的值域，求参数的取值： (2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法③或④，因为本题是证明函数的单调性，方法①②不能用作证明，所以选择方法③或④．对于问题2，学生一般会选择方法①，因为本题分离变量较容易，而且对应函数的值域比较容易求，所以选择方法①．例3已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0． （1）若ab ＞0，判断函数f (x )的单调性，并证明； （2）若ab ＜0，求f (x ＋1)＞f (x )时x 的取值范围． 解：（1）当a ＞0，b ＞0时，函数f (x )在R 上是增函数．当a ＜0，b ＜0时，函数f (x )在R 上是减函数．（2）当a ＜0，b ＞0时，x 的取值范围为(log 1．5⎝⎛⎭⎫－a2b ，＋∞)； 当a ＞0，b ＜0时，x 的取值范围为(－∞，log 1．5⎝⎛⎭⎫－a2b )． 解析：（1）当a ＞0，b ＞0时，任意x 1，x 2∈R ， x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a （2x 1－2x 2）＋b （3x 1－3x 2）∵2x 1＜2x 2，a ＞0⇒ a （2x 1－2x 2）＜0，同理b （3x 1－3x 2）＜0∴f (x 1)－f (x 2)＜0∴函数f (x )在R 上是增函数同理，当a ＜0，b ＜0时，函数f (x )在R 上是减函数．（2）f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x ＞0当a ＜0，b ＞0时，（32）x ＞－a 2b ，则x 的取值范围为(log 1．5⎝⎛⎭⎫－a 2b ，＋∞)；当a ＞0，b ＜0时，（32）x ＜－a2b ，x 的取值范围为(－∞，log 1.5⎝⎛⎭⎫－a 2b )． 〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法： 1．讨论函数的单调性问题：方法:①利用函数的图象； ②复合函数的单调性；③利用函数单调性的定义；④利用导函数．2．与指(对)数有关的解不等式问题：方法：①利用函数的单调性，转化为代数不等式；②用换元法，依次解几个代数不等式．(2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法③或④，因为本题不仅要求判断还需要证明结论，方法①②不能用作证明，所以选择方法③或④．对于问题2，学生一般会选择方法①，因为本题函数的单调性比较明确，便于转化，所以选择方法①．本题的易错点是第二问中忽视字母a的符号对不等号的方向的影响．本题中的分类讨论是由数学运算的要求而引起的，“ab＞0”和“ab＜0”的含义是字母a、b同号或异号，因此需要具体到a、b各自的符号．例4已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设h(x)＝f(f(x))－c，其中c∈[－2，2]，求函数y＝h(x)的零点个数．解：（1）a＝0，b＝－3；（2）有9 个零点．〖教学建议〗（1）主要问题归类与方法：1．求函数的解析式问题:方法：待定系数法，换元法，函数方程法2．讨论函数的零点个数问题：方法：解方程，图象法，零点的存在定理与单调性（2）方法选择与优化建议：对于第1小题，是常规问题，方法也非常清楚——待定系数法。
江苏省2019高考数学二轮复习考前冲刺必备一主干知识回扣学案(含答案)
必备一主干知识回扣技法一函数性质1.函数的单调性(1)定义:一般地,设函数f(x)的定义域为A,如果对于属于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)),那么就说f(x)在这个区间I上是增(减)函数.(2)证明方法:定义法、导数法.2.函数的奇偶性(1)定义:对于函数f(x),如果对于定义域内任意一个x都有f(-x)=-f(x),那么f(x)就叫做奇函数;如果对于定义域内任意一个x都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.如果函数f(x)是奇函数或偶函数,那么就说函数f(x)具有奇偶性.(2)图象特征:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称.3.函数零点(1)对于函数y=f(x),x∈D,我们把使函数y=f(x)的值为0的实数x(x∈D)称为函数y=f(x)的零点,实质上函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根,它是实数而不是点.函数y=f(x)-g(x)的零点可以看成是方程f(x)-g(x)=0的根或函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象的交点的横坐标.(2)零点存在性定理:一般地,若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,且f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点.这一定理一般用来证明函数有零点,其逆命题是假命题.技法二导数1.导数的几何意义:f'(x0)表示曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线斜率.2.常见的导数公式:(x n)'=nx n-1;(a x)'=a x lna(a>0且a≠1);(e x)'=e x;(log a x)'=1(a>0且a≠1);( x)'=1;(sinx)'=cosx;(cosx)'=-sinx.3.导数的运算法则:[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);[f(x)·g(x)]'=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x);() ()'='()()-()'()[()](g(x)≠0).4.导数与函数的单调性:f'(x)>0⇒函数f(x)在相应区间上为单调增函数;f'(x)<0⇒函数f(x)在相应区间上为单调减函数.5.导数与函数的极值、最值:(1)函数的极值:设函数f(x)在点x0附近有定义,且对x0附近的所有点都有f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0),则称f(x0)为函数f(x)的一个极大(或小)值,其中x0称为极值点,f(x0)称为极值,所以极值点是实数而不是点.(2)函数在闭区间上的最值在极值点处或区间端点处取得.技法三基本初等函数1.指数的概念及运算性质:(1)()n=a( ∈N*);当n为奇数时,=a;当n为偶数时,=|a|;(2)正数的分数指数幂的意义:=;-=1=(a>0,m、 ∈N*,且n>1).2.对数的概念及运算性质:(1)a b=N⇔log a N=b(a>0且a≠1);(2)对数的运算法则:log a(M·N)= og a M+log a N;log a=log a M-log a N;log a M n=nlog a M(a>0且a≠1);(3)换底公式:log a N= og Nog a(a>0且a≠1,b>0且b≠1).3.指数函数的定义:一般地,函数y=a x(a>0,且a≠1)叫做指数函数;对数函数的定义:一般地,函数y=log a x(a>0,且a≠1)叫做对数函数;幂函数的定义:一般地,形如y=x a的函数叫做幂函数.4.指数函数、对数函数的图象和性质:技法四三角函数1.任意角的三角函数的定义:sinα=,cosα=,tanα=.2.同角三角函数的关系式(同角公式):平方关系:sin2α+cos2α=1,商数关系:tanα=o.3.诱导公式:k·±α(k∈Z)与α的三角函数值之间的等量关系式,记忆口诀是奇变偶不变,符号看象限.4.三角函数的图象和性质:x x∈R,x≠+kπ,k∈Z2kπ-, 2kπ+,k∈Zkπ-, kπ+,k∈Z2kπ+,2kπ+,k∈Z特别关注:(1)三角函数与其他函数构成的复合函数的单调性,要注意函数的定义域.(2)三角函数的值域与最值的常见题型:一是可以利用三角公式化为标准型y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0);二是转化为基本函数型,如:y=cos2x-sinx+1,y=sin2x+sinx+cosx均可以通过换元转化为二次函数;三是利用导数法.(3)三角函数的周期:y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)都可以利用周期公式T=求解;y=Atan(ωx+φ)(A>0,ω>0)利用周期公式T=求解.y=|Asin(ωx+φ)|(A>0,ω>0)、y=|Acos(ωx+φ)|(A>0,ω>0)和y=|Atan(ωx+φ)|(A>0,ω>0)的周期都是T=;y=|Asin(ωx+φ)+b|(A>0,ω>0,b≠0)的周期公式是T=.(4)奇偶性:y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)是奇函数⇔φ=kπ,k∈Z,是偶函数⇔φ=kπ+,k∈Z.y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)是奇函数⇔φ=kπ+,k∈Z,是偶函数⇔φ=kπ,k∈Z.(5)对称性:求对称轴、对称中心;已知对称轴或对称中心,求参数的取值(用特值法).5.三角恒等变换:(1)两角和与差的三角函数:sin(α±β)=sinαcosβ± o αsinβ;cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ;;.tan(α±β)= a a1 a a.(2)二倍角公式:sin2α=2sinαcosα;cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;tan2α= a1- a(3)降幂公式:sin2α=1- o ;cos2α=1 o .6.解三角形:(1)正弦定理:===2R;S△ABC=1absinC=1bcsinA=1casinB.(2)余弦定理:cosA=-,cosB=-,cosC=-,a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.技法五平面向量1.平面向量共线定理:(1)向量b与非零向量a共线⇔存在唯一的实数λ,使得b=λ a.(2)平面向量共线定理的坐标表示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0.2.平面向量基本定理:若e1、e2是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使得a=λ1e1+λ2e2,其中e1、e2称为基底.3.两个向量的数量积:(1)向量的夹角:已知两个非零向量a与b,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角.注意:夹角的范围是[0,π];作图时两向量一定要共起点.(2)已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则a·b=|a||b|· o θ.注意:数量积运算的结果是数量,而线性运算的结果仍然是向量.技法六数列1.等差数列与等比数列:2.已知数列的递推公式,求通项公式的常用方法:累加法、累乘法、构造新数列法、取倒数法.3.常见复杂数列求和的基本数学思想:转化与化归思想,即把复杂数列求和问题等价转化为基本数列求和.常用方法:(1)并项求和法(正负相间的项的求和);(2)裂项相消法;(3)错位相减法;(4)分组求和法.求和时先分析通项,再选择求和方法.技法七不等式1.不等式的重要性质:①若a<b,且ab>0,则1>1,即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变;②如果不等式两边同时乘(或除以)一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.2.基本不等式:(1)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.即若a,b>0,则≥(当且仅当a=b时,取等号).基本变形:①a+b≥ ;≥ab;②若a,b∈R,则a2+b2≥ ab,≥.(2)基本应用:求函数最值注意:①一正二定三相等;②积定和最小,和定积最大.已知a,b为正数.当ab=p(常数)时,a+b≥ ,当且仅当a=b=时,a+b取得最小值2;当a+b=s(常数)时,ab≤,当且仅当a=b=时,ab取得最大值.技法八直线与圆1.几个距离公式:(1)两点间距离公式:设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(1-)(1-);(2)点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式:d=;(3)两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间距离公式:d=1.2.(1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2;(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),把一般方程配方得+=-(D2+E2-4F>0).(2)判断直线与圆的位置关系的方法:利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小,若d>r,则相离;若d=r,则相切;若d<r,则相交.3.圆与圆的位置关系.设☉C1的半径为r1,☉C2的半径为r2,d=|C1C2|,则☉C1与☉C2相外离⇔d>r1+r2;☉C1与☉C2相外切⇔d=r1+r2;☉C1与☉C2相交⇔|r1-r2|<d<r1+r2;☉C1与☉C2相内切⇔d=|r1-r2|;☉C1与☉C2相内含⇔0≤d<|r1-r2|.技法九椭圆1.椭圆的定义(1)第一定义平面内到两定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距.需要注意的是:常数大于|F1F2|.若常数等于|F1F2|,则轨迹是线段F1F2;若常数小于|F1F2|,则无轨迹.表达式:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|).(2)第二定义:平面内动点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0<e<1)的轨迹是椭圆,定点是椭圆的一个焦点,定直线是与焦点同侧的准线,常数e是椭圆的离心率,焦点在x轴上的椭圆,准线方程是x=±;焦点在y轴上的椭圆,准线方程是y=±.2.椭圆的标准方程及其几何性质技法十空间直线与平面的位置关系1.平行公理(公理4):平行于同一条直线的两条直线平行,符号语言:a∥b,b∥ ⇒a∥ .2.直线和平面平行:(1)判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.符号表示:a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α.(2)性质定理:若一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.符号表示:a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b.3.直线和平面垂直:(1)判定定理:一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直,符号表示为:a⊥b,a⊥ ,b, ⊂α,b∩ =A⇒a⊥α.(2)性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.符号表示为:a⊥α,b⊥α⇒a∥b.4.平面与平面平行:(1)判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行;符号表示:a∥α,b∥α,a∩b=P,a⊂β,b⊂β⇒α∥β.(2)性质:①如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一平面;②性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行,符号表示:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b.5.平面与平面垂直:(1)判定定理:一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直,符号表示为:a⊥α,a⊂β⇒α⊥β.(2)性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号表示为:α⊥β,α∩β= ,a⊥ ,a⊂α⇒a⊥β.。
苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第二章第一节函数及其表示教案文解析版
１．函数的概念（１）定义：设A，B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，记为y＝f（x），x∈A.（２）函数的定义域、值域：在函数y＝f（x），x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．（３）函数的三要素：定义域、值域和对应关系．（４）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．（５）函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．２．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．[小题体验]１．（２0１9·无锡一中期中测试）函数f（x）＝ln（x２—x）的定义域为________．解析：由题意知，x２—x＞0，即x＜0或x＞１．则函数的定义域为（—∞，0）∪（１，＋∞）．答案：（—∞，0）∪（１，＋∞）２．已知f（错误!）＝x—１，则f（２）＝________.解析：令错误!＝２，则x＝４，所以f（２）＝３．答案：３３．（２0１9·海头高级中学高三期中）若函数f（x）＝错误!则f（错误!）＋f（—错误!）＝________.答案：５４．已知函数f（x）＝错误!若f（x）＝２，则x＝________.解析：依题意得当x≤１时，３x＝２，所以x＝log３２；当x＞１时，—x＝２，x＝—２（舍去）．故x＝log３２．答案：log３２１．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域．２．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．[小题纠偏]１．（２0１9·常州一中检测）若函数f（x）＝错误!则f错误!＝________.解析：因为错误!＞１，所以f错误!＝log２错误!，又因为log２错误!＜１，所以f错误!＝２23log2—２＝—错误!.答案：—错误!２．（２0１8·苏州中学测试）已知f（x）的定义域为{x|x≠0}，满足３f（x）＋５f错误!＝错误!＋１，则函数f（x）的解析式为________．解析：用错误!代替３f（x）＋５f错误!＝错误!＋１中的x，得３f错误!＋５f（x）＝３x＋１，所以错误!２×５—１×３得f（x）＝错误!x—错误!＋错误!（x≠0）．答案：f（x）＝错误!x—错误!＋错误!（x≠0）错误!错误![题组练透]１．（２0１8·常州期末）函数y＝错误!＋lg（x＋２）的定义域为________．解析：由题意可得错误!解得—２＜x≤１，故所求函数的定义域为（—２,１]．答案：（—２,１]２．（２0１8·南通中学高三测试）函数y＝错误!的定义域为________________．解析：由函数y＝错误!得错误!解得错误!即—１≤x≤１且x≠—错误!，所以所求函数的定义域为错误!∪错误!.答案：错误!∪错误!３．若函数y＝f（x）的定义域是[１,２0１9]，则函数g（x）＝错误!的定义域是________．解析：令t＝x＋１，由已知函数的定义域为[１,２0１9]，可知１≤t≤２0１9．要使函数f（x＋１）有意义，则有１≤x＋１≤２0１9，解得0≤x≤２0１8，故函数f（x＋１）的定义域为[0，２0１8]．所以使函数g（x）有意义的条件是错误!解得0≤x＜１或１＜x≤２0１8．故函数g（x）的定义域为[0,１）∪（１，２0１8]．答案：[0,１）∪（１,２0１8]４．（２0１8·南京师范大学附中模拟）函数f（x）＝错误!的定义域是________．解析：由题意得log（２x—３）≥0⇒0＜２x—３≤１⇒错误!＜x≤２，即函数f（x）的定义域是错误!.12答案：错误![谨记通法]函数定义域的求解策略（１）已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式（组）求解．（２）实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式（组）求解．（３）抽象函数：１若已知函数f（x）的定义域为[a，b]，其复合函数f（g（x））的定义域由不等式a≤g（x）≤b求出；２若已知函数f（g（x））的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g（x）在x∈[a，b]时的值域．错误!错误![典例引领]（１）已知f（x）是二次函数，且f（0）＝0，f（x＋１）＝f（x）＋x＋１，求f（x）；（２）已知f错误!＝x２＋错误!，求f（x）的解析式；（３）已知f错误!＝lg x，求f（x）的解析式；（４）已知函数f（x）满足f（—x）＋２f（x）＝２x，求f（x）的解析式；（５）已知f（0）＝１，对任意的实数x，y都有f（x—y）＝f（x）—y（２x—y＋１），求f（x）的解析式．解：（１）（待定系数法）设f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），由f（0）＝0，知c＝0，f（x）＝ax２＋bx，又由f（x＋１）＝f（x）＋x＋１，得a（x＋１）２＋b（x＋１）＝ax２＋bx＋x＋１，即ax２＋（２a＋b）x＋a＋b＝ax２＋（b＋１）x＋１，所以错误!解得a＝b＝错误!.所以f（x）＝错误!x２＋错误!x，x∈R.（２）（配凑法）由于f错误!＝x２＋错误!＝错误!２—２，所以f（x）＝x２—２，x≥２或x≤—２，故f（x）的解析式是f（x）＝x２—２，x≥２或x≤—２．（３）（换元法）令错误!＋１＝t得x＝错误!，代入得f（t）＝lg错误!，又x＞0，所以t＞１，故f（x）的解析式是f（x）＝lg错误!，x＞１．（４）（解方程组法）由f（—x）＋２f（x）＝２x，１得f（x）＋２f（—x）＝２—x，２１×２—２，得，３f（x）＝２x＋１—２—x.即f（x）＝错误!.所以f（x）的解析式是f（x）＝错误!.（５）（赋值法）令x＝0，得f（—y）＝f（0）—y（—y＋１）＝１＋y２—y，所以f（y）＝y２＋y＋１，即f（x）＝x２＋x＋１．[由题悟法]求函数解析式的５种方法１．（２0１9·如皋测试）已知f（x）是一次函数，且f（f（x））＝x＋２，则f（x）＝________.解析：设f（x）＝kx＋b，由f（f（x））＝x＋２，可得k（kx＋b）＋b＝x＋２，即k２x＋kb＋b＝x＋２，所以k２＝１，kb＋b＝２，解得k＝１，b＝１，即f（x）＝x＋１．答案：x＋１２．已知f（错误!＋１）＝x＋２错误!，求f（x）的解析式．解：法一：（换元法）设t＝错误!＋１，则x＝（t—１）２，t≥１，代入原式有f（t）＝（t—１）２＋２（t—１）＝t２—２t＋１＋２t—２＝t２—１．故f（x）＝x２—１，x≥１．法二：（配凑法）因为x＋２错误!＝（错误!）２＋２错误!＋１—１＝（错误!＋１）２—１，所以f（错误!＋１）＝（错误!＋１）２—１，错误!＋１≥１，即f（x）＝x２—１，x≥１．错误!错误![锁定考向]分段函数作为考查函数知识的最佳载体，一直是高考命题的热点，解题过程中常渗透着分类讨论的数学思想，高考对分段函数的常见的命题角度有：（１）分段函数的求值问题；（２）求参数或自变量的值与范围；（３）分段函数与不等式问题．[题点全练]角度一：分段函数的求值问题１．设函数f（x）＝错误!则f错误!＝________.解析：因为—１＜错误!—１≤0，所以f错误!＝错误!＝错误!，则f错误!＝f错误!＝tan 错误!＝１．答案：１角度二：求参数或自变量的值与范围２．已知f（x）＝错误!若f（a）＝错误!，则a＝________.解析：若a≥0，由f（a）＝错误!得，a 12＝错误!，解得a＝错误!；若a＜0，则|sin a|＝错误!，a∈错误!，解得a＝—错误!.综上可知，a＝错误!或—错误!.答案：错误!或—错误!角度三：分段函数与不等式问题３．（２0１8·如东期末）设函数f（x）＝错误!则使得f（２x＋１）＞f（x—１）成立的x的取值范围是________．解析：当x＞0时，f（—x）＝x２e x＝f（x），且为增函数，同理当x＜0时，f（—x）＝错误!＝f（x），且为减函数，所以f（x）关于y轴对称，且左减右增．要使f（２x＋１）＞f（x—１），则需|２x＋１|＞|x—１|，两边平方化简得x２＋２x＞0，解得x＜—２或x＞0，故所求x的取值范围是（—∞，—２）∪（0，＋∞）．答案：（—∞，—２）∪（0，＋∞）[通法在握]１．分段函数的求值问题的解题思路（１）求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f（f（a））的形式时，应从内到外依次求值．（２）求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．２．分段函数与不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．[演练冲关]１．（２0１9·姜堰中学测试）已知函数f（x）的定义域为实数集R，∀x∈R，f（x—90）＝错误!则f （１0）—f（—１00）的值为________．解析：因为f（１0）＝f（１00—90）＝lg １00＝２，f（—１00）＝f（—１0—90）＝—（—１0）＝１0，所以f（１0）—f（—１00）＝２—１0＝—8．答案：—8２．（２0１8·无锡高三第一学期期末）已知函数f（x）＝错误!g（x）＝—x２—２x—２．若存在a ∈R，使得f（a）＋g（b）＝0，则实数b的取值范围是________．解析：当x≤—错误!时，f（x）＝１＋错误!＜１，此时f（x）＝１＋错误!＝１＋错误!—错误!在错误!上单调递减，易求得f（x）∈[—7,１）；当x＞—错误!时，f（x）＝log错误!，12此时f（x）在错误!上单调递减，易求得f（x）∈（—∞，２），∴f（x）的值域为（—∞，２）．故存在a∈R，使得f（a）＋g（b）＝0⇒—g（b）＝f（a）∈（—∞，２）⇒b２＋２b＋２＜２⇒b ∈（—２,0）．答案：（—２,0）３．（２0１8·南通期末）已知函数f（x）＝错误!则不等式f（x２—２）＋f（x）＜0的解集为__________．解析：函数f（x）＝错误!的图象如图所示，所以f（x）是定义域为R的奇函数也是增函数，所以不等式f（x２—２）＋f（x）＜0⇔f（x２—２）＜f（—x）⇔x２—２＜—x，解得—２＜x＜１，所以原不等式的解集为（—２,１）．答案：（—２,１）一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·淮安调研）函数f（x）＝错误!的定义域是________．解析：由lg（５—x２）≥0，得５—x２≥１，即x２≤４，解得—２≤x≤２．∴函数f（x）＝错误!的定义域是[—２,２]．答案：[—２,２]２．（２0１8·苏州高三期中调研）函数y＝错误!的定义域为________．解析：由错误!解得x＞１，且x≠２，所以函数的定义域为（１,２）∪（２，＋∞）．答案：（１,２）∪（２，＋∞）３．已知f错误!＝２x—５，且f（a）＝6，则a＝________.解析：令t＝错误!x—１，则x＝２t＋２，f（t）＝２（２t＋２）—５＝４t—１，则４a—１＝6，解得a＝错误!.答案：错误!４．已知f（x）是一次函数，满足３f（x＋１）＝6x＋４，则f（x）＝________.解析：设f（x）＝ax＋b（a≠0），则f（x＋１）＝a（x＋１）＋b＝ax＋a＋b，依题设，３ax＋３a＋３b＝6x＋４，∴错误!∴错误!则f（x）＝２x—错误!.答案：２x—错误!５．（２0１9·盐城模考）已知函数f（x）＝错误!若f（0）＝３，则f（a）＝________.解析：因为f（0）＝３，所以a—２＝３，即a＝５，所以f（a）＝f（５）＝9．答案：96．设函数f（x）＝错误!则f（f（２））＝________，函数f（x）的值域是________．解析：因为f（２）＝错误!，所以f（f（２））＝f错误!＝—错误!.当x＞１时，f（x）∈（0,１），当x≤１时，f（x）∈[—３，＋∞），所以f（x）∈[—３，＋∞）．答案：—错误![—３，＋∞）二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１9·如东高级中学高三学情调研）设函数f（x）＝错误!则f（—２）＋f（log２１２）＝________.解析：因为f（—２）＝１＋log２４＝３，f（log２１２）＝２log２１２—１＝6，所以f（—２）＋f（log２１２）＝9．答案：9２．（２0１8·苏州期末）函数f（x）＝错误!的值域为________．解析：画出f（x）的图象如图所示，可看出函数的值域为（—∞，１]．答案：（—∞，１]３．（２0１8·南京名校联考）f（x）＝错误!则f错误!＝________.解析：因为f错误!＝log３错误!＝—２，所以f错误!＝f（—２）＝错误!—２＝9．答案：9４．（２0１9·南通调研）函数f（x）＝错误!＋lg（x＋１）的定义域是________．解析：由题意得错误!⇒x＞—１且x≠１，所以函数f（x）的定义域是（—１,１）∪（１，＋∞）．答案：（—１,１）∪（１，＋∞）５．（２0１8·启东中学检测）已知函数y＝f（x２—１）的定义域为[—错误!，错误!]，则函数y＝f（x）的定义域为________．解析：因为y＝f（x２—１）的定义域为[—错误!，错误!]，所以x∈[—错误!，错误!]，x２—１∈[—１,２]，所以y＝f（x）的定义域为[—１，２]．答案：[—１,２]6．已知具有性质：f错误!＝—f（x）的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：１y＝x—错误!；２y＝x＋错误!；３y＝错误!其中满足“倒负”变换的函数的序号是________．解析：对于１，f（x）＝x—错误!，f错误!＝错误!—x＝—f（x），满足；对于２，f错误!＝错误!＋x ＝f（x），不满足；对于３，f错误!＝错误!即f错误!＝错误!故f错误!＝—f（x），满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是１３.答案：１３7．（２0１9·扬州一模）若函数f（x）＝错误!为奇函数，则f（g（２））＝________.解析：因为函数f（x）＝错误!为奇函数，所以当x＞0时，—x＜0，则f（—x）＝２x—２＝—f（x），所以f（x）＝—２x＋２，即g（x）＝—２x＋２．所以g（２）＝—２２＋２＝—２，f（g（２））＝f（—２）＝２２—２＝２．答案：２8．已知函数f（x）＝错误!若f（１）＝错误!，则f（３）＝________.解析：由f（１）＝错误!，可得a＝错误!，所以f（３）＝错误!２＝错误!.答案：错误!9．（２0１9·泰州一调）设函数f（x）＝错误!若f（x）＞２，则x的取值范围是________．解析：不等式f（x）＞２可化为错误!或错误!解得x＞错误!或x＜—１．答案：（—∞，—１）∪错误!１0．（２0１9·无锡一中月考）已知函数f（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝log错误!f（x）的定义域是________．解析：要使函数g（x）有意义，需f（x）＞0，由f（x）的图象可知，当x∈（２,8]时，f（x）＞0．答案：（２,8]１１．（２0１9·南京金陵中学月考）二次函数f（x）满足f（x＋１）—f（x）＝２x，且f（0）＝１．（１）求f（x）的解析式；（２）若在区间[—１,１]上，函数y＝f（x）的图象恒在直线y＝２x＋m的上方，试确定实数m的取值范围．解：（１）由f（0）＝１，可设f（x）＝ax２＋bx＋１（a≠0），故f（x＋１）—f（x）＝a（x＋１）２＋b（x＋１）＋１—（ax２＋bx＋１）＝２ax＋a＋b，由题意得错误!解得错误!故f（x）＝x２—x＋１．（２）由题意，得x２—x＋１＞２x＋m，即x２—３x＋１＞m，对x∈[—１,１]恒成立．令g（x）＝x２—３x＋１，则问题可转化为g（x）min＞m，又因为g（x）在[—１,１]上递减，所以g（x）min＝g （１）＝—１，故m＜—１，即实数m的取值范围为（—∞，—１）．１２．（２0１8·南京期末）已知二次函数f（x）满足f（１）＝１，f（—１）＝５，且图象过原点．（１）求二次函数f（x）的解析式；（２）已知集合U＝[１,４]，B＝错误!，求∁U B.解：（１）设f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），因为f（１）＝１，f（—１）＝５，且图象过原点，所以错误!解得a＝３，b＝—２，所以f（x）＝３x２—２x.（２）y＝错误!＝３—错误!，当x∈[１,４]时，函数y＝３—错误!是增函数，当x＝１时，y取得最小值１；当x＝４时，y取得最大值错误!，所以B＝错误!，又集合U＝[１,４]，故∁U B＝错误!.三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．已知实数a≠0，函数f（x）＝错误!若f（１—a）＝f（１＋a），则a＝________.解析：当a＞0时，１—a＜１,１＋a＞１．由f（１—a）＝f（１＋a）得２—２a＋a＝—１—a—２a，解得a＝—错误!，不合题意；当a＜0时，１—a＞１,１＋a＜１，由f（１—a）＝f（１＋a）得—１＋a—２a＝２＋２a＋a，解得a＝—错误!，所以a的值为—错误!.答案：—错误!２．定义在R上的函数f（x）满足f（x＋２）＝２f（x），若当0≤x≤２时，f（x）＝x（２—x），则当—４≤x≤—２时，f（x）＝________.解析：由题意知f（x＋４）＝２f（x＋２）＝４f（x），当—４≤x≤—２时，0≤x＋４≤２，所以f（x）＝错误!f（x＋４）＝错误!（x＋４）[２—（x＋４）]＝—错误!（x＋４）（x＋２），所以当—４≤x≤—２时，f（x）＝—错误!（x＋４）（x＋２）．答案：—错误!（x＋４）（x＋２）３．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y（米）与汽车的车速x（千米/时）满足下列关系：y＝错误!＋mx＋n（m，n是常数）．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y（米）与汽车的车速x（千米/时）的关系图．（１）求出y关于x的函数表达式；（２）如果要求刹车距离不超过２５．２米，求行驶的最大速度．解：（１）由题意及函数图象，得错误!解得m＝错误!，n＝0，所以y＝错误!＋错误!（x≥0）．（２）令错误!＋错误!≤２５．２，得—7２≤x≤70．因为x≥0，所以0≤x≤70．故行驶的最大速度是70千米/时．。
(江苏专版)2019版高考数学一轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 第五节 指数与指数函数实用教案
a1b3＝－54aabb2 .
(3)原式＝a
1 3
b
1
2 ·a
15
1 2
b
1 3
＝a
1 3
1 2
1 6
·b
1 2
1 3
5 6
＝1a
.
a6b6
[易错提醒]
2
(1)分数指数幂中的指数不能随便约分，例如要将 a 4 写成
1
a 2 时必须认真考察
a
的取值才能决定，如(－1)
2 4
＝4
－12＝
解析：将函数解析式与图象对比分析，因为函数 f(x)＝1－e|x| 是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有①满足上述两个性质． 答案：①
3.[考点二] (2018·衡水模拟)若曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有 公共点，则 b 的取值范围是________． 解析：曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 的图象如图所示，由图可知： 如果|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 应满足的条件是 b∈[－1,1]．
1 3
2
a ÷
3
－2b a
3
×
a·a 3 2
1 11
a 2 ·a 3 5
＝
5
11
1
a 3 (a 3 －2b 3 )×
1
a
1
×a
6 1
＝a
1 3
×a×a
2 3
＝a2.
a 3 －2b 3 a 6
答案：a2
4．若
1
x＞0，则2x 4
＋3
3 2
1
2x 4
江苏省2019高考数学一轮复习 突破140必备 专题04 函数极值点与极值问题学案
专题04 函数极值点与极值问题一、函数极值及极值点的定义一般的，函数)(x f 在点0x x =处及附近有定义，若果对于0x x =附近所有点都满足)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值,0x x =叫做函数)(x f 的极大值点；若果对于0x x =附近所有点都满足)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的极小值,0x x =叫做函数)(x f 的极小值点;二、函数极值及极值点的求解求函数)(x f 的导函数)('x f ，令0)('=x f 解得0x x =，判断导函数)('x f 在0x x =处两侧的符号,若是异号，则0x x =是函数)(x f 的极值点，)(0x f 也就是函数)(x f 的极值。
若)('x f 在0x x =两侧的符号满足先正后负,则0x x =是函数)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；若)('x f 在0x x =两侧的符号满足先负后正,则0x x =是函数)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值；总结：通过极值点的定义我们可以知道其实极值点也是零点的一种,它只不过是导函数的零点。
但极值点与导函数的零点又有区别，导函数0)('=x f 解得的0x 是)('x f 零点，但不一定是极值点，因为极值点还要满足第二个条件即0x x =处)('x f 两侧的符号要改变.例如3)(x x f =,0)('=x f 解得0=x ，但是0=x 左右两侧0)('>x f ,符号不改变，故0=x 不是极值点，积3)(x x f =是单调增的。
因此，我们在求解与极值点有关的试题时，可以先将极值点简单的看成导函数等于零的点，但是求出的导函数的零点要检验是不是极值点还要看导函数的符号有没有改变，有两种情况下导函数的零点不是极值点，一是函数区间的端点，因为区间的左端点只有右侧没有左侧,区间的右端点没有右侧只有左侧，就不可能满足左右两侧导函数的符号改变，二是满足导函数等于零的点，但是该点左右两侧导函数符号相同，比如刚刚举例的3)(x x f =,我们把这样的点称为重根。
2019届一轮复习苏教版导数及其应用学案
专题7：导数及其应用问题归类篇类型一：切线方程一、前测回顾1．曲线y ＝x 3上在点(－1，－1)的切线方程为 ． 答案：y ＝3x ＋2．解析：y ′＝3x 2，则切线的斜率是3×(－1)2，再利用点斜式． 2．曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 过点(0，0)的切线方程为 ． 答案：y ＝2x 或y ＝－14x ．解析：y ′＝3x 2－6x ＋2，设切点为（x 0，x 03－3x 02＋2x 0），则切线的斜率为3x 02－6x 0＋2．切线方程为y －(x 03－3x 02＋2x 0)＝(3x 02－6x 0＋2)(x －x 0)，（0，0）代入，得x 0的值，从而得到切线方程．二、方法联想涉及函数图象的切线问题，如果已知切点利用切点求切线；如果不知切点，则先设切点坐标求出切线方程的一般形式再来利用已知条件．注意：(1)“在”与“过”的区别：“在”表示该点为切点，“过”表示该点不一定为切点．(2)切点的三个作用：①求切线斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．三、归类巩固*1．若曲线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b 的值为 . (已知切线方程求参数值) 答案：ln2－1，**2．曲线y ＝－1x(x ＜0)与曲线y ＝ln x 公切线（切线相同）的条数为 .（求两曲线的公切线条数） 答案：1***3．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线y ＝x 2(x ＞0)和y ＝x 3(x ＞0)均相切，切点分别为A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2),则x 1x 2的值是（已知两曲线的公共切线，求切点） 答案 43．解析：由题设函数y ＝x 2在A (x 1，y 1)处的切线方程为：y ＝2x 1 x －x 12，函数y ＝x 3在B (x 2，y 2)处的切线方程为y ＝3 x 22 x －2x 23．所以⎩⎨⎧2x 1＝3x 22x 12＝2x 23，解之得：x 1＝3227，x 2＝89．所以 x 1x 2＝43．**4．若存在过点(1，0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，求a 的值． (已知公切线，求参数的值) 答案：－2564或－1．解析：设曲线y ＝x 3的切点(x 0，x 30)，则切线方程为y －x 30＝3x 20 (x －x 0)，切线过点(1，0)，所以－x 30＝3x 20 (1－x 0)，所以x 0＝0或x 0＝32， 则切线为y ＝0或y ＝274x －274，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切，则ax 2＋154x －9＝0，所以a ≠0且△＝0； 由或y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，则ax 2＋154x －9＝274x －274，所以a ≠0且△＝0。
【数学】2019届一轮复习人教A版切线方程学案
2019年高考数学总复习切线方程考点一。
导数的运算1.求下列函数的导数(1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝x 2sin ； (3)y ＝3x e x －2x＋e ； (4)y ＝ln xx 2＋1；(5)y ＝ln(2x －5).解 (1)∵y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ，∴y ′＝18x 2－10x －4. (2)y ′＝(x 2)′sin ＋x 2(sin )′＝2x sin ＋x 2cos .(3)y ′＝(3x)′e x＋3x(e x)′－(2x)′＝3x e xln 3＋3x e x－2xln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.(4)y ′＝22222)1(x ln 21)1(x ln 21+-=+-x x x xx x . (5)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u)′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.2.(1)f (x )＝x (2 016＋ln )，若f ′(x 0)＝2 017，求x 0的值。
(2)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，求f ′(－1)的值。
解 (1)f ′(x )＝2 016＋ln ＋x ×1x＝2 017＋ln ，又f ′(x 0)＝2 017＋ln 0＝2 017，解得x 0＝1.(2)f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数，且f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2.考点二。
导数的几何意义命题点1 已知切点的切线方程问题3.(1)求函数f (x )＝ln x －2xx的图像在点(1，－2)处的切线方程。
解 (1)f ′(x )＝1－ln x x2，则f ′(1)＝1，故该切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0.（2）求曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程。
高三数学一轮复习导学案22 函数的切线
例()
函数的切线
一、课前准备：
【自主梳理】
．导数的几何意义: 函数
在处的导数的几何意义就是曲线在点处的.
．求函数
在点处的切线斜率应先求,再将代入得到斜率. ．求函数在处的切线方程一般步骤为:
()先确定切点,()再求出,()最后利用点斜式求出切线方程. .解决函数切线问题时,如果切点未知,则应先把假设出来. 【自我检测】
.函数
在处切线斜率为. .曲线在点处的切线方程是.
.函数＝＋的图象与直线＝相切，则切点坐标为＝. .函数
图象上任一点的切线的斜率取值范围为. .过原点且与函数
图象相切的切线方程为. . 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为. （说明：以上内容学生自主完成，原则上教师课堂不讲）
二、课堂活动：
【例】填空题：
() 函数在处切线方程为; ()若直线与曲线相切，则实数。
()已知函数及其导函数的图象如图所示，则
曲线在点处的切线方程是． () 设函数
，若曲线
在点处的切线方程为，则
【例】已知曲线.⑴求曲线在点处的切线方程；⑵求过点且与曲线相切的切线方程；
【例】已知函数在点处的切线方程为,求函数的解析式.
课堂小结
三、课后作业
.函数在点处的切线方程为.
.若的切线与直线平行,则切点坐标为.
. 直线是曲线的一条切线，则实数.
.过原点作曲线的切线,则切线方程为.
. 已知曲线，则作斜率为的切线，共可作条.
.曲线在点处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为.
.设曲线在点处的切线与直线垂直，则..
.函数图象上动点到直线的最小距离为.
.已知函数与的图象都过点，且在点处有公共切线，。
江苏专版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第四节函数的图象学案理含解析050647.doc
第四节 函数的图象1．描点法作图其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：(1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)．(2)列表(注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点)． (3)描点，连线． 2．图象变换 (1)平移变换①y ＝f (x )的图象――――――――→a ＞0，右移a 个单位a ＜0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )的图象； ②y ＝f (x )的图象――――――――→b ＞0，上移b 个单位b ＜0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b 的图象． (2)对称变换①y ＝f (x )的图象――――――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )的图象； ②y ＝f (x )的图象――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )的图象； ③y ＝f (x )的图象―――――→关于原点对称 y ＝－f (－x )的图象； ④y ＝a x(a ＞0且a ≠1)的图象――――――→关于直线y ＝x 对称 y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象．(3)伸缩变换 ①y ＝f (x )的图象②y ＝f (x )的图象――――――――――――――――――――→a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )的图象． (4)翻转变换①y ＝f (x )的图象―――――――――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象；②y ＝f (x )的图象――――――――――――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象．[小题体验]1．f (x )的图象如图所示，则f (x )＝________.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，－12x ，x ∈，2]2．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x关于y 轴对称，则f (x )＝________.解析：与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的图象对应的解析式为y ＝e －x ，将函数y ＝e －x的图象向左平移1个单位长度即得y ＝f (x )的图象，所以f (x )＝e－(x ＋1)＝e－x －1.答案：e－x －13．(2018·扬州期末)若函数y ＝f (x )的图象经过点(1,2)，则函数y ＝f (－x )＋1的图象必经过的点的坐标是________．解析：把函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，再向上平移1个单位，可得函数y ＝f (－x )＋1的图象．把函数y ＝f (x )的图象上的点(1,2)关于y 轴对称，再向上平移1个单位，可得点(－1,3)，故函数y ＝f (－x )＋1的图象必定经过的点的坐标是(－1,3)． 答案：(－1,3)1．函数图象的每次变换都针对自变量“x ”而言，如从f (－2x )的图象到f (－2x ＋1)的图象是向右平移12个单位，其中是把x 变成x －12.2．明确一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．如函数y ＝f (|x |)的图象属于自身对称，而y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称是两个函数．[小题纠偏]1．函数y ＝5x与函数y ＝－15x 的图象关于________对称．答案：原点2．把函数y ＝f (2x )的图象向右平移________个单位得到函数y ＝f (2x －3)的图象． 答案：32考点一 作函数的图象基础送分型考点——自主练透[题组练透]分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |； (2)y ＝2x ＋2；(3)y ＝x 2－2|x |－1.解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0＜x ＜1.图象如图1.(2)将y ＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图2.(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x ＜0.图象如图3.[谨记通法]作函数图象的3种常用方法考点二 识图与辨图重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜－1，x ＋a ，x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)＝________.解析：由图象可得－a ＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，得a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x ＜－1，x ＋，x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1.答案：－12．(2019·启东检测)若函数f (x )＝|a x＋b |(a ＞0，a ≠1，b ∈R)的图象如图所示，则a ＋b 的取值范围是________．解析：由图可得，函数f (x )的零点为12，即a ＋b ＝0.由图可得，当x ＞12时，函数f (x )为增函数，故a ＞1，所以a ＋b ＝a －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122－14∈(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞)[由题悟法]识图3种常用的方法[即时应用]1．已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f (x )的值域为________． 解析：由图象易知f (x )的值域为(－∞，－1]∪(1,3)． 答案：(－∞，－1]∪(1,3)2．如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f＝________. 解析：由图象知f (3)＝1，所以1f＝1，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫1f＝f (1)＝2.答案：2考点三 函数图象的应用 题点多变型考点——多角探明[锁定考向]函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．常见的命题角度有： (1)研究函数的性质； (2)求参数的值或范围； (3)研究不等式；(4)确定方程根(零点)的个数．(详见本章第八节考点二)[题点全练]角度一：研究函数的性质 1．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2－1，x ∈－∞，1]∪[3，＋，－x －2＋1，x ∈，作出函数f (x )的图象如图所示．(1)由图知函数f (x )的单调递增区间为[1,2]和[3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1]和[2,3]．(2)由图象可知，若y ＝f (x )与y ＝m 图象有四个不同的交点，则0＜m ＜1， 所以集合M ＝{m |0＜m ＜1}． 角度二：求参数的值或范围2．(2019·苏州实验中学测试)定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，b ＜a ，已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4，若动直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为________．解析：设g (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}，则f (x )＝g (x )＋4，故把g(x)的图象向上平移4个单位长度，可得f(x)的图象，函数f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4的图象如图所示，由直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有3个交点，可得m的取值范围为(4,5)．答案：(4,5)角度三：研究不等式3．(2018·启东中学测试)如图所示，函数y＝f(x)的图象是圆x2＋y2＝2上的两段弧，则不等式f(x)＞f(－x)－2x的解集是________．解析：由图象可知，函数f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f(x)＞－x，在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x的图象，由图象可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，2]．答案：(－1,0)∪(1，2]4．若不等式(x－1)2＜log a x(a＞0，且a≠1)在x∈(1,2)内恒成立，则实数a的取值范围为________．解析：要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜loga x恒成立，只需函数y＝(x－1)2在(1,2)上的图象在y＝log a x的图象的下方即可．当0＜a＜1时，显然不成立；当a＞1时，如图，要使x∈(1,2)时，y＝(x－1)2的图象在y＝log a x的图象的下方，只需(2－1)2≤log a2，即log a2≥1，解得1＜a≤2，故实数a的取值范围是(1,2]．答案：(1,2][通法在握]函数图象应用的常见题型与求解策略(1)研究函数性质：①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．④从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等．(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．(3)研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．[演练冲关]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0，若f (3－a 2)＜f (2a )，则实数a 的取值范围是________．解析：如图，画出f (x )的图象，由图象易得f (x )在R 上单调递减，因为f (3－a 2)＜f (2a )，所以3－a 2＞2a ，解得－3＜a ＜1.答案：(－3,1)2．(2019·扬州中学高三调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －1，x ＜0，log a x a ＞0，a ，x ＞0的图象上关于y 轴对称的点恰有9对，则实数a 的取值范围是________．解析：若x ＞0，则－x ＜0，∵x ＜0时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －1，∴f (－x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2x －1＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －1， 则若f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x －1，x ＜0关于y 轴对称，则f (－x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －1＝f (x )， 设g (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x －1，x ＞0，作出函数g (x )的大致图象如图所示．要满足题意，则须使g (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －1，x ＞0与f (x )＝log ax ，x ＞0的图象恰有9个交点，则0＜a ＜1，且满足f (17)＞g (17)＝－2，f (21)＜g (21)＝－2， 即－2＜log a 17，log a 21＜－2，解得2121＜a ＜1717. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫2121，1717一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知函数f (x )＝x 2＋1，若0＜x 1＜x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为________． 解析：作出函数图象(图略)，知f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x 1)＜f (x 2)． 答案：f (x 2)＞f (x 1)2．(2018·常州一中期末)将函数y ＝e x的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，再向右平移2个单位，所得函数的解析式为________．解析：将函数y ＝e x 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，可得y ＝e 2x，再向右平移2个单位，可得y ＝e2(x －2)＝e2x －4.答案：y ＝e2x －43．(2018·前黄中学月考)设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)的偶函数，在区间(－∞，0)是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为________．解析：y ＝f (x ＋1)向右平移1个单位得到y ＝f (x )的图象，由已知可得f (x )的图象的对称轴为x ＝1，过定点(2,0)，且函数在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，则f (x )的大致图象如图所示．不等式(x －1)f (x )≤0可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，f x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，f x 由图可知符合条件的解集为(－∞，0]∪(1,2]．答案：(－∞，0]∪(1,2]4．使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是________．解析：在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1,0)．答案：(－1,0)5．若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意a ＝|x |＋x令y ＝|x |＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，0，x ＜0，图象如图所示，故要使a ＝|x |＋x 只有一解，则a ＞0. 答案：(0，＋∞)6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )的图象如图所示，令t ＝f (a )，则f (t )≤2，由图象知t ≥－2，所以f (a )≥－2，当a ＜0时，由a 2＋a ≥－2，即a 2＋a ＋2≥0恒成立，当a ≥0时，由－a 2≥－2，得0≤a ≤2，故a ≤ 2.答案：(－∞， 2 ]二保高考，全练题型做到高考达标1．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．解析：设g (x )上的任意一点A (x ，y )，则该点关于直线x ＝1的对称点为B (2－x ，y )，而该点在f (x )的图象上．所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132－x ＝3x －2，即g (x )＝3x －2.答案：g (x )＝3x －22．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．解析：当－1≤x ≤0时，设解析式为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1.∴当－1≤x ≤0时，f (x )＝x ＋1.当x ＞0时，设解析式为f (x )＝a (x －2)2－1(a ＞0)， ∵图象过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1，∴a ＝14，∴当x ＞0时，f (x )＝14(x －2)2－1＝14x 2－x .故函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14x 2－x ，x ＞0.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14x 2－x ，x ＞03．(2019·江阴中学检测)方程x 2－|x |＋a ＝1有四个不同的实数解，则a 的取值范围是________．解析：方程解的个数可转化为函数y ＝x 2－|x |的图象与直线y ＝1－a 交点的个数，作出两函数的图象如图，易知－14＜1－a ＜0，所以1＜a ＜54.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，544．(2019·启东中学期中)设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f (x )的图象如图，则不等式f xx －1≤0的解集为________． 解析：不等式f xx －1≤0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x －1＜0或⎩⎪⎨⎪⎧f x，x －1＞0.由图象可知：当1＜x ≤5时，由f (x )≤0，解得2≤x ≤5. 当0≤x ＜1时，由f (x )≥0，解得0≤x ＜1，因为f (x )为奇函数，当－2＜x ＜0时，由f (x )≥0，此时无解， 当－5≤x ≤－2时，由f (x )≥0，解得－5≤x ≤－2， 故不等式的解集为[－5，－2]∪[0,1)∪[2,5]． 答案：[－5，－2]∪[0,1)∪[2,5]5．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f x －，x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a有两个不同实根，则a 的取值范围为________．解析：x ≤0时，f (x )＝2－x－1， 0＜x ≤1时，－1＜x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.故x ＞0时，f (x )是周期函数， 如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点， 故a ＜1，即a 的取值范围是(－∞，1)． 答案：(－∞，1)6．(2019·镇江中学测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，0＜x ≤10，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12x ＋6，x ＞10.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是________．解析：作出函数f (x )的图象如图所示，不妨设a ＜b ＜c ，则b ＋c ＝2×12＝24，a ∈(1,10)，则a ＋b ＋c ＝24＋a ∈(25,34)． 答案：(25,34)7．(2019·徐州调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，fx ＋，x ＜0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，若直线y ＝kx ＋k (k ＞0)与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，则k 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f x ＋，x ＜0，∴作出函数f (x )的图象如图所示．∵y ＝kx ＋k ＝k (x ＋1)，故该直线的图象一定过点(－1,0)，若y ＝kx ＋k 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，则f (x )＝kx ＋k 有三个不同的根， ∵k ＞0，∴当y ＝kx ＋k 过点(2,1)时，k ＝13，当y ＝kx ＋k 过点(3,1)时，k ＝14，要使f (x )＝kx ＋k 有三个不同的根，则实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13 8．(2019·金陵中学月考)已知y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域均为[－π，π]，且它们在x ∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式f (x )·g (x )＜0的解集是________．解析：f (x )·g (x )＜0⇒f (x )与g (x )在同一区间内符号相反，由图可知，当x ∈[0，π]时，两者异号的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π. 又f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，∴当x ∈[－π，0)时，两者异号的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0， ∴f (x )·g (x )＜0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π9．(2018·盐城一中测试)已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R)，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象并判断其零点个数； (3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f (x )＞0的解集；(5)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有三个不相等的实根}． 解：(1)因为f (4)＝0，所以4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)因为f (x )＝x |4－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －，x ≥4，－x x －，x ＜4.即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2－4，x ≥4，－x －2＋4，x ＜4，所以函数f (x )的图象如图所示． 由图象知函数f (x )有两个零点．(3)从图象上观察可知：f (x )的单调递减区间为[2,4]．(4)从图象上观察可知：不等式f (x )＞0的解集为{x |0＜x ＜4或x ＞4}． (5)由图象可知若y ＝f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，则0＜m ＜4， 所以集合M ＝{m |0＜m ＜4}． 10．已知函数f (x )＝2x，x ∈R.(1)当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m ＞0在R 上恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x－2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示．由图象可知，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0＜m ＜2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解． (2)令f (x )＝t (t ＞0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )＞H (0)＝0.因此要使t 2＋t ＞m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0， 即所求m 的取值范围为(－∞，0]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．对于函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)，给出如下三个命题：①f (x ＋2)是偶函数；②f (x )在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f (x )没有最小值．其中正确命题的个数为________．解析：因为函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)，所以函数f (x ＋2)＝lg(|x |＋1)是偶函数；由y ＝lg x ――――――――――→图象向左平移1个单位长度y ＝lg(x ＋1)――――――――――――――――――――――――――→去掉y 轴左侧的图象，以y 轴为对称轴，作y 轴右侧的对称图象y ＝lg(|x |＋1)――――――――――→图象向右平移2个单位长度y ＝lg(|x －2|＋1)，如图，可知f (x )在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值为0.所以①②正确．答案：22．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －1x ＋2，所以y ＝f (x )＝x ＋1x(x ≠0)．(2)g (x )＝f (x )＋a x ＝x ＋a ＋1x， g ′(x )＝1－a ＋1x2.因为g (x )在(0,2]上为减函数， 所以1－a ＋1x 2≤0在(0,2]上恒成立， 即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立， 所以a ＋1≥4，即a ≥3，故实数a 的取值范围是[3，＋∞)．命题点一 函数的概念及其表示1．(2018·江苏高考)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________．解析：由log 2x －1≥0，即log 2x ≥log 22，解得x ≥2，所以函数f (x )＝log 2x －1的定义域为{x |x ≥2}．答案：{x |x ≥2}2．(2016·江苏高考)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________．解析：要使函数有意义，需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，得(x －1)(x ＋3)≤0，即－3≤x ≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]．答案：[－3,1]3．(2016·浙江高考)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝____，b ＝________.解析：因为f (x )＝x 3＋3x 2＋1， 所以f (a )＝a 3＋3a 2＋1， 所以f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2)＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2.由此可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－3， ①a 2＋2ab ＝0， ②a 3＋3a 2＝a 2b . ③因为a ≠0，所以由②得a ＝－2b ，代入①式得b ＝1，a ＝－2. 答案：－2 14．(2018·全国卷Ⅰ改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，则满足f (x ＋1)＜f (2x )的x的取值范围是________．解析：法一：①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)＜f (2x )，即为2－(x ＋1)＜2－2x ，即－(x ＋1)＜－2x ，解得x ＜1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ＞0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，2x ≤0，即－1＜x ≤0时，f (x ＋1)＜f (2x )，即为1＜2－2x ，解得x ＜0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0)．法二：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，∴函数f (x )的图象如图所示． 结合图象知，要使f (x ＋1)＜f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＜0，2x ＜0，2x ＜x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x ＜0，∴x ＜0.答案：(－∞，0)[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________．解析：因为函数f (x )的周期为2，结合在[－1,1)上f (x )的解析式，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，得－12＋a ＝110，解得a ＝35.所以f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.答案：－252．(2013·江苏高考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为________．解析：由于f (x )为R 上的奇函数，所以当x ＝0时，f (0)＝0； 当x ＜0时，－x ＞0，所以f (－x )＝x 2＋4x ＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0.由f (x )＞x ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＞x ，x ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ＞x ，x ＜0，解得x ＞5或－5＜x ＜0，所以原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)． 答案：(－5,0)∪(5，＋∞)3．(2018·全国卷Ⅱ改编)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝________.解析：法一：∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．由f (1－x )＝f (1＋x )，得－f (x －1)＝f (x ＋1)， ∴f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数． 由f (x )为奇函数得f (0)＝0.又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50) ＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.法二：由题意可设f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ，作出f (x )的部分图象如图所示．由图可知，f (x )的一个周期为4，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.答案：24．(2017·全国卷Ⅱ改编)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是________． 解析：由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是 (－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)5．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________.解析：由已知得，f (－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12， 又函数f (x )是奇函数，所以f (2)＝－f (－2)＝12. 答案：126．(2017·山东高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈ [－3,0]时，f (x )＝6－x，则f (919)＝________.解析：因为f (x ＋4)＝f (x －2)，所以f (x ＋6)＝f (x )， 所以f (x )的周期为6，因为919＝153×6＋1，所以f (919)＝f (1)． 又f (x )为偶函数，所以f (919)＝f (1)＝f (－1)＝6. 答案：6命题点三 函数的图象1.(2016·全国卷Ⅱ改编)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝________.解析：因为f (－x )＝2－f (x )，所以f (－x )＋f (x )＝2.因为－x ＋x2＝0，f －x ＋f x2＝1，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．函数y ＝x ＋1x ＝1＋1x，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以∑i ＝1mx i ＝0，∑i ＝1my i ＝2×m2＝m ，所以∑i ＝1m(x i＋y i )＝m .答案：m2．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________. 解析：因为f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)， 所以4＝a ×(－1)3－2×(－1)， 解得a ＝－2. 答案：－2精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
江苏省2019高考数学一轮复习 突破140必备 专题01 函数的切线问题学案
（2）若对任意的实数 ，函数 （ 为实常数）的图象与函数 的图象总相切于一个定点.
①求 与 的值；
6、（2016南通高三一模13）在平面直角坐标系 中，直线 与曲线 和 均相切，切点分别为 和 ,求 的值
7、（2016盐城高三三模19）已知函数 （ ）.
2、（2018无锡高三上期末20）已知函数 ， ，其中 .
（1）求过点 和函数 的图像相切的直线方程；
3、（2018扬州高三上期末19）已知函数 ， .
（1）若 ，且函数 的图像是函数 图像的一条切线，求实数a的值；
4、（2018南京盐城高三上期末20）设函数 ， （ ）.
（ 1）当 时，若函数 与 的图象在 处有相同的切线，求 的值；
所以当 时 ，即当 时
又当 时
因此当 时，函数 必有零点；即当 时，必存在 使得 成立；即存在 使得函数 上点 与函数 上点 处切线相同．
又由 得：
所以 单调递减，因此
所以实数 的取值范围是 ．
巩固练习：
1、（2018常州高三上期末11）已知函数 ，其中 ．若过原点且斜率为 的直线与曲线 相切，则 的值为
所以切线方程为 ，因为切线过 ，
所以 ，
化简得 ，解得 .
当 时，切线方程为 ，
当 时，切线方程为 .
3、解：（1）由 知， 的图象直线过点 ，
设切点坐标为 ，由 得切线方程是
此直线过点 ，故 ，解得 ，所以
4、解：（1）由 ，得 ，又 ，所以 .
当 时， ，所以 ，所以 .
因为函数 与 的图象在 处有相同的切线，
⑵若存在与函数 ， 的图象都相切的直线，求实数 的取值范围．
江苏省2019高考数学一轮复习 突破140必备 专题03 函数的零点问题学案
专题03 函数的零点问题函数的零点是江苏高考中的热门考点，在填空题和大题中都有涉及，在填空题中考察学生主要以函数的性质、函数与方程的思想有关，难度不大,而在大题中经常要结合导数、不等式、零点定理来判断零点个数或者由零点个数求取值或取值范围等。
本专题的侧重点放在后者。
江苏近七年的高考中有四年都考到了函数零点的大题，分别是2013年、2015年、2016年、2018年，2018年从题目上看不是零点,但本质最后就是寻找零点的问题.由此可见其重要性.而在函数零点的解题过程中用的最多的就是利用函数与方程的思想将其看成是两个函数图像的交点的横坐标，运用数形结合画图去判断零点。
这样的解题方法在填空题中也许还说的过去，但是在大题中解题过程值得商榷,导数判断函数的单调性只能得到函数图像的走势，并不能准确的画出函数图像,再结合一些函数的渐近线更加无法说明，要解决这类试题需要借助零点定理；即)(x f 在区间),(b a 上是连续不间断的，且0)()(<⋅b f a f ，则)(x f 在),(b a 上存在零点,如果再确定具体是几个,还要结合单调性。
例1、（2013江苏省高考20）设函数ax x x f -=ln )(，ax e x g x -=)(，其中a 为实数。
（1) 若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数，且)(x g 在),1(+∞上有最小值，求a 的范围； （2） 若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数，试求)(x f 的零点个数，并证明你的结论。
（2) )(x g 在),1(+∞-上是单调增函数，∴0)('≥x g 在),1(+∞∈x 上恒成立，则0≥-a e x，即ea 1≤①当0=a 时，由0)1(=f 以及01)('>=xx f ，得)(x f 存在唯一的零点； ②当0<a 时，由于0)1()(<-=-=a a a e a ae a e f ，0)1(>-=a f ，且函数)(x f 在)1,(ae 上的图象连续不间断，所以)(xf 在)1,(ae 上存在零点．当0>x 时，01)('>-=a xx f ，故)(x f 在),0(+∞上是单调增函数，所以)(x f 只有一个零点； ③当e a 10≤<时，令01)('=-=a x x f ，解得a x 1=．当a x 10<<时，0)('>x f ，当ax 1>时，0)('<x f ,所以，a x 1=是)(x f 的最大值点，且最大值为1ln )1(--=a af ． 01当01ln =--a ，即ea 1=时，)(x f 有一个零点；02当01ln >--a ，即ea 10<<时，)(x f 最多有两个零点;01)1(<--=e a e f ，0)1(>a f ，且函数)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛a e 1,1上的图象不间断，∴)(x f 在⎪⎭⎫⎝⎛a e 1,1上存在零点．当)1,0(a x ∈时， 01)('>-=a x x f ，故)(x f 在)1,0(a 上是单调增函数，所以)(x f 在)1,0(a上只有一个零点．（先证明2,x e x e x x >>在),0(+∞是成立的，这里留给同学们自己证明)),1(1+∞∈a e a ,01111)(221211=⋅-<-=-=a a a aea ae a e f aaa 又0)1(>a f ，且函数)(x f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a e a 1,1上的图象连续不间断，所以)(x f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a e a 1,1上存在零点．又)(x f 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1a 上是单调减函数，所以)(x f 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1a 上有且只有一个零点． 综上所述：当0≤a 或e a 1=时,()f x 的零点个数为1，当ea 10<<时，)(x f 的零点个数为2． 注：零点问题可以用转化的思想转化成两个图形的交点问题，此题第二问可以利用参变分离转化成x x a ln =，则有()f x 的零点个数即为y a =与ln x y x =图像交点的个数 令()ln ()0xh x x x=>,运用导数求单调性画出图形,利用数形结合得到答案。
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专题01 函数的切线问题由导数的几何意义可知函数)(x f y =在0x x =处的导数即是函数在))(,(00x f x 处的切线的斜率。
故函数)(x f y =在))(,(00x f x 处的切线方程是))((')(000x x x f x f y -=-，))(,(00x f x 是切点坐标，既在函数)(x f y =上也在切线方程))((')(000x x x f x f y -=-上；与切线有关的考题一般分为以下三类：①过)(x f y =上的点))(,(00x f x 的切线方程为))((')(000x x x f x f y -=-②过)(x f y =外一点),(n m 向其作切线，先设切点为))(,(00x f x ，写出切线方程))((')(000x x x f x f y -=-，又),(n m 在切线上，代入得))((')(000x m x f x f n -=-③函数)(x f y =与)(x g y =的公切线。
若切点是同一点，这按照①的解题方法。
若切点不同，先假设)(x f y =上的切点))(,(11x f x A ，得到切线方程))((')(111x x x f x f y -=-；)(x g y =上的切点))(,(22x g x B ，得到切线方程))((')(222x x x g x g y -=-，因为切线是同一条直线，故得到两个等式)(')('21x g x f =、)(')()(')(222111x g x x g x f x x f -=- 下面通过具体与切线有关的例题来看看实际应用。
例1、（2015江苏高考17）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为21,l l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，N M ,为C 的两个端点，测得点M 到21,l l 的距离分别为5千米和40千米，点N 到21,l l 的距离分别为20千米和5.2千米，以21,l l 所在的直线分别为X Y ,轴，建立平面直角坐标系xoy ，假设曲线C 符合函数bx ay +=2（其中b a ,为常数）模型． （1）求b a ,的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t ． ①请写出公路l 长度的函数解析式)(t f ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．解：（1）由题意可得：)40,5(M ，)5.2,20(N 代入函数bx ay +=2 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+5.24004025bab a解得⎩⎨⎧==01000b a答：当210=t 时，公路l 的长度最短，最短长度为315千米。
例2、（2015无锡高三期末20）设函数()22ln +f x x x ax b =-在点00(,())x f x 处的切线方程为y x b =-+.（1）求实数a 及0x 的值；解：(1)()2ln 2f x x x x ax '=+-所以在点()()0,0x f x 处的切线方程为220000ln y x x x x ax b =-++-+ 其中220000ln x x x ax b b +-+=，00002ln 21x x x ax +-=-解得01,1x a ==例3、（2018高三上百校联考21）已知函数b ax x x x f +++=2325)(（b a 、为常数），其图像是曲线C （3）已知A 为曲线C 上的动点，在点A 处作曲线C 的切线1l 与曲线C 交于另一点B ，在点B 处作曲线C 的切线2l ，设切线21,l l 的斜率分别为21,k k .问：是否存在常数λ，使得12k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.例4、（2018苏锡常镇高三二模19）已知函数),(,1)(23R b a bx ax x x f ∈+++=（2）函数)(x f 图象上点A 处的切线1l 与()f x 的图象相交于另一点B ，在点B 处的切线为2l ，直线21,l l 的斜率分别为12k k ，，且124k k =，求b a 、满足的关系式．解：设))(,(00x f x A ，则)(x f 在点A 的切线方程为：))((')(000x x x f x f y -=-即))(23()1(002002030x x b ax x bx ax x y -++=+++-与1)(23+++=bx ax x x f 联立方程组得：))(23()1()1(00200203023x x b ax x bx ax x bx ax x -++=+++-+++ 分组因式分解化简：0)2()(020=++-a x x x x 所以B 点的横坐标)2(0B a x x +-=b ax x k ++=020123，b a ax x b a x a a x k +++=++-+=20200202812)2(2)2(3由题意)23(48120202020b ax x b a ax x ++=+++ 即b a 32=例5、（2018苏北四市高三上期末19）已知函数1)(2++=ax x x f ，)(,ln )(R a a x x g ∈-= ⑵若存在与函数)(x f ，)(x g 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围． 解：（2）设函数)(x f 上点11(,())x f x 与函数)(x g 上点22(,())x g x 处切线相同，a x x f +=112)('，)(x f 的切线方程：))(2()1(11121x x a x ax x y -+=++-221)('x x g =，)(x g 的切线方程：)(1)(ln 222x x x a x y -=-- 所以2112x a x =+ ①；1ln 1221--=+-a x x ② 由①解得22121ax x -=代入②中得： 222221ln 20(*)424a a x a x x -++--= 设221()ln 2424a a F x x a x x =-++--，则23231121()222a x ax F x x x x x +-'=-++=不妨设2000210(0)x ax x +-=>则当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '> 所以()F x 在区间0(0,)x 上单调递减，在区间0(,)x +∞上单调递增代入20000121=2x a x x x -=-可得：2min 000001()()2ln 2F x F x x x x x ==+-+-设21()2ln 2G x x x x x =+-+-，则211()220G x x x x'=+++>对0x >恒成立， 所以()G x 在区间(0,)+∞上单调递增，又(1)=0G所以当01x <≤时()0G x ≤，即当001x <≤时0()0F x ≤ 又当2a x e+=时222421()ln 2424a a a a a F x e a e e +++=-++-- 2211()04a a e+=-≥ 因此当001x <≤时，函数()F x 必有零点；即当001x <≤时，必存在2x 使得(*)成立；即存在12,x x 使得函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同． 又由12y x x =-得：2120y x'=--< 所以12(0,1)y x x=-在单调递减，因此20000121=2[1+)x a x x x -=-∈-∞，所以实数a 的取值范围是[1,)-+∞．巩固练习：1、（2018常州高三上期末11）已知函数x bx x f ln )(+=，其中R b ∈．若过原点且斜率为k 的直线与曲线)(x f y =相切，则b k -的值为e12、（2018无锡高三上期末20）已知函数()(32)x f x e x =-，()(2)g x a x =-，其中,a x R ∈. （1）求过点(2,0)和函数()y f x =的图像相切的直线方程；3、（2018扬州高三上期末19）已知函数x e x f =)(，()R b a b ax x g ∈+=,,.（1）若()01=-g ，且函数()x g 的图像是函数()x f 图像的一条切线，求实数a 的值； 4、（2018南京盐城高三上期末20）设函数()ln f x x =，()bg x ax c x=+-（,,a b c R ∈）. （1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值； 5、（2017盐城高三第三次模拟19）设函数2()=()xf x xe ax a R -∈.（2）若对任意的实数a ，函数()h x kx b =+（,k b 为实常数）的图象与函数()f x 的图象总相切于一个定点.① 求k 与b 的值；6、（2016南通高三一模13）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线)0(2>=x x y 和)0(3>=x x y 均相切，切点分别为),(11y x A 和),(22y x B ,求21x x 的值 7、（2016盐城高三三模19）已知函数()ln f x m x =（m R ∈）. （3）试给出一个实数m 的值，使得函数()y f x =与1()(0)2x h x x x-=>的图象有且只有一条公切线，并说明此时两函数图象有且只有一条公切线的理由.8、（2016南京高三三模19）设函数)0()(23>-+-=m m mx x x f（3）若存在0≤t ，使得函数)(x f 图象上有且仅有两个不同的点，且函数)(x f 的图象在这两点处的两条切线都经过点),2(t ，试求m 的取值范围．巩固练习答案解析：2、解：（1）设切点为00(,)x y ，'()(31)x f x e x =+，则切线斜率为00(31)xe x +， 所以切线方程为0000(31)()xy y e x x x -=+-，因为切线过(2,0)， 所以00000(32)(31)(2)xxe x e x x --=+-，化简得200380x x -=，解得080,3x =.当00x =时，切线方程为2y x =-，当083x =时，切线方程为8833918y e x e =-.3、解：（1）由()01=-g 知，()x g 的图象直线过点)0,1(-，设切点坐标为))(,(00x f x ，由x e x f =)('得切线方程是)(000x x e ey x x -=-此直线过点)0,1(-，故)1(000x e ex x --=-，解得00=x ，所以10==x e a4、解：（1）由()ln f x x =，得(1)0f =，又1()f x x'=，所以(1)1f '=. 当0c =时，()b g x ax x =+，所以2()bg x a x'=-，所以(1)g a b '=-. 因为函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，所以(1)(1)(1)(1)f g f g ''=⎧⎨=⎩，即10a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.6、解：2x y =在点A 处的切线：)(21121x x x x y -=-3x y =在点B 处的切线：)(322232x x x x y -=-所以⎩⎨⎧-=-=3221221232x x x x ，即3421=x x 7、解：（3）12m =符合题意. 此时1()ln 2f x x =. 设函数()f x 与()h x 上各有一点111(,ln )2A x x ，2221(,)2x B x x -， 则()f x 以点A 为切点的切线方程为11111ln 222y x x x =+-，()h x 以点B 为切点的切线方程为22222122x y x x x -=+， 由两条切线重合，得2122121122211ln 222x x x x x ⎧=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩ （*），消去1x ，整理得221ln 1x x =-，即221ln 10x x -+=，令1()ln 1x x x ϕ=-+，得22111()x x x x xϕ-'=-=， 所以函数()x ϕ在(0,1)单调递减，在(1+)∞，单调递增， 又(1)0ϕ=，所以函数()x ϕ有唯一零点1x =，从而方程组（*）有唯一解1211x x =⎧⎨=⎩，即此时函数()f x 与()h x 的图象有且只有一条公切线.故12m =符合题意. 注：其实这个题目最后就是由xx x 1ln -≥加入控制变量得到的，很多恒成立的不等式都是根据数形结合结合曲线的切线得到的，在后面的专题05和06中都会经常用到这个不等式8、解：（3）设两切点的横坐标分别是21x x 、则函数)(x f )在这两点的切线的方程分别为))(23()(11212131x x mx x m mx x y -+-=-+-- ))(23()(22222232x x mx x m mx x y -+-=-+--将),2(t )代入两条切线方程，得)2)(23()(11212131x mx x m mx x t -+-=-+-- )2)(23()(22222232x mx x m mx x t -+-=-+--即可以将21x x 、看成是方程)2)(23()(223x mx x m mx x t -+-=-+--不相等的两个实根 整理得m mx x m x t -++-=4)6(223设m mx x m x x h -++-=4)6(2)(23，则)2)(3(2)('--=x m x x h ①当6=m 时，0)('≥x h 恒成立，所以)(x h 单调递增，不满足题意． ②当6≠m 时，0)('=x h 解得2=x 或3m x =)(x h 极值分别为83)(-=m x h ，m m m m h -+-=3227)3(23 因为)2)(23()(223x mx x m mx x t -+-=-+--有不相等的两个实根所以83-=m t 或者m m m t -+-=322723． 因为0≤t ，所以083≤-m 或0322723≤-+-m m m 又0>m ，所以解得m 的范围为),639[]38,0(+∞+⋃。