全国初中数学联赛试题答案及解
初中四科联赛试题及答案
初中四科联赛试题及答案一、语文试题1. 请解释下列词语的意思：（1）栩栩如生（2）昙花一现2. 阅读以下古文，回答后面的问题：《出师表》节选先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。
然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。
诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。
（1）“先帝”指的是谁？（2）“此诚危急存亡之秋也”中的“秋”是什么意思？3. 请写出“草长莺飞二月天，拂堤杨柳醉春烟”的作者和出处。
二、数学试题1. 计算下列表达式的值：（1）\((3x - 2)^2\)（2）\(\frac{3}{4} \div \frac{2}{3}\)2. 解方程：（1）\(2x + 3 = 11\)（2）\(5x - 7 = 8\)3. 一个长方体的长、宽、高分别是10cm、8cm、6cm，求其体积。
三、英语试题1. 根据所给词的适当形式填空：（1）He often ________ (read) books in the library.（2）There ________ (be) many people in the park yesterday.2. 将下列句子翻译成英文：（1）他每天骑自行车上学。
（2）她喜欢在周末去购物。
3. 阅读下面的短文，回答问题：My name is Tom. I am a student. I like playing football. I often play football with my friends on weekends.（1）What is Tom's hobby?（2）When does Tom usually play football?四、科学试题1. 列举三种常见的可再生能源。
2. 解释光合作用的过程。
3. 描述水循环的三个主要阶段。
答案：一、语文试题1. （1）栩栩如生：形容画作或雕塑等艺术作品形象逼真，如同活的一样。
初中数学奥林匹克竞赛全真试题(全国联赛卷)(详解版)
初中数学奥林匹克竞赛全真试题(全国联赛卷)(详解版)初中数学奥林匹克竞赛全真试题（全国联赛卷）（详解版）一、填空题1. 如果函数 f(x)=x^2-2x+1的根为 a,b，那么a + b 等于_____.答案：-12. 已知正整数 m、n 满足 mx+ny=1（m、n 都不为 0），若 m + n 等于 8，则 m - n 等于_____.答案：73. 若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1=3，Sn=15，则 n 的值是_____.答案：64. 在△ABC 中，已知 a=4，b=4，c=8，若 AB+AC=9，则∠B =_____.答案：45°二、选择题5. 已知 A、B 两点的坐标分别为（3，1）、（5，-1），则 AB 是_______.A. 水平的直线B. 斜率为 1 的直线C. 斜率为 -1/3 的直线D. 竖直的直线答案：B6. 若正方形的边长为 x，周长为 5x，则 x 的值等于_______.A. 4B. 5C. 8D. 10答案：A7. 已知tanα=2，cotβ=-3，则 tan（α-β）等于_______.A. 5B. -5C. -1/5D. 1/5答案：B8. 把一个正整数分成 K 份，第一份的数量是剩下的 K-1 份的总和的（）A. 1/2B. 3/2C. 2/3D. 3/4答案：B三、解答题9. 已知函数 f(x)=2x+1，若直线 4x+3y=37 与曲线 f(x) 相切，求该曲线上点 P 的坐标答：设点 P 的坐标为 (x,y)，因为直线 4x+3y=37 与曲线 f(x) 相切，所以曲线上点 P 的 y 值可由 4x+3y=37 中求得，即 y=12-4/3x，由函数 f(x)可得 12-4/3x=2x+1，故 x=7，代入 y=12-4/3x 可得 y=12-4/3(7)=8。
点 P的坐标即为 (7, 8)。
10. 已知△ABC 中，a=3，b=3，∠A=120°，求 B 的坐标答：由△ABC 中 A 的坐标为（0，0），a=3，b=3 可知 C 的坐标为（3，0），∠A=120°，∠C=60°，因为∠B=60，则以 C 为外接圆圆心，半径为3 的圆○上可得点B，即B(√3，1)，综上所述，点B 的坐标为（√3，1）。
全国初中数学联赛浙江省复赛试卷
全国初中数学联赛浙江省复赛试卷一、解答题（共5小题，满分100分）1．（20分）已知a2+b2＝1，对于满足条件0≤x≤1的一切实数x，不等式a（1﹣x）（1﹣x ﹣ax）﹣b x（b﹣x﹣b x）≥0（1）恒成立．当乘积ab取最小值时，求a，b的值．2．（20分）如图，圆O与圆D相交于A，B两点，BC为圆D的切线，点C在圆O上，且AB＝BC．（1）证明：点O在圆D的圆周上．（△2）设ABC的面积为S，求圆D的半径R的最小值．3．（20分）设a为质数，b为正整数，且9（2a+b）2＝509（4a+511b）（1）求a，b的值．4．（20分）已知a2+b2＝1，对于满足条件x+y＝1，xy≥0的一切实数对（x．y），不等式ay2﹣xy+b x2≥0（1）恒成立．当乘积ab取最小值时，求a，b的值．5．（20分）设a为质数，b，c为正整数，且满足求a（b+c）的值．全国初中数学联赛浙江省复赛试卷参考答案与试题解析一、解答题（共5小题，满分100分）1．（20分）已知a2+b2＝1，对于满足条件0≤x≤1的一切实数x，不等式a（1﹣x）（1﹣x ﹣ax）﹣b x（b﹣x﹣b x）≥0（1）恒成立．当乘积ab取最小值时，求a，b的值．【分析】由已知条件a2+b2＝1，代入已知不等式重新整理，利用特殊值法确定关于a，b 的不等式，利用二次函数的增减性，确定判别式的取值范围，进而可以解决．【解答】解：整理不等式（1）并将a2+b2＝1代入，得（1+a+b）x2﹣（2a+1）x+a≥0（2）在不等式（2）中，令x＝0，得a≥0；令x＝1，得b≥0．易知1+a+b＞0，0＜＜1，故二次函数y＝（1+a+b）x2﹣（2a+1）x+a的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间．由题设知，不等式（2）对于满足条件0≤x≤1的一切实数x恒成立，所以它的判别式＝（△2a+1）2﹣4（1+a+b）a≤0，即ab≥．由方程组（3）消去b，得16a4﹣16a2+1＝0，所以a2＝又因为a≥0，所以a＝或a＝或a2＝，．于是方程组（3）的解为或，所以ab的最小值为，此时a，b的值有两组，分别为a＝，b＝和a＝，b＝．（ 【点评】此题主要考查了二次函数与不等式以及二元二次方程的解法，综合性较强，需耐心思考．2．（20 分）如图，圆 O 与圆 D 相交于 A ，B 两点，BC 为圆 D 的切线，点 C 在圆 O 上，且AB ＝BC ．（1）证明：点 O 在圆 D 的圆周上．（△2）设 ABC 的面积为 S ，求圆 D 的半径 R 的最小值．【分析】 1）连 OA ，OB ，OC ，△AC ，可证 OBA ∽△OBC ，即可证明∠OBA ＝∠OBC ，所以 DB ＝DO ，即可证点 O 在圆 D 的圆周上；（2）设圆 O 的半径为 a ，BO 的延长线交 AC 于点 E ，设 AC ＝2y （0＜y ≤△a ）即可求证BDO ∽△ABC ，进而可以 r ，即可求 r 的最小值，即可解题．【解答】解：（1）连 OA ，OB ，OC ，AC ，因为 O 为圆心，AB ＝BC ，所以△OBA ∽△OBC ，从而∠OBA ＝∠OBC ．因为 OD ⊥AB ，DB ⊥BC ，所以∠DOB ＝90°﹣∠OBA ＝90°﹣∠OBC ＝∠DBO ，所以 DB ＝DO ，因此点 O 在圆 D 的圆周上．（2）设圆 O 的半径为 a ，BO 的延长线交 AC 于点 E ，易知 BE ⊥AC ．设 AC ＝2y （0＜y ≤a ），OE ＝x ，AB ＝l ，则 a 2＝x 2+y 2，S ＝y （a +x ），l 2＝y 2+（a +x ）2＝y 2+a 2+2ax +x 2＝2a 2+2ax ＝2a （a +x ）＝因为∠ABC ＝2∠OBA ＝2∠OAB ＝∠BDO ，AB ＝BC ，DB ＝DO ，所以△BDO∽△ABC，所以＝，即，故r＝．所以r2＝＝×＝×≥，即r≥，其中等号当a＝y时成立，这时AC是圆O的直径．所以圆D的半径r的最小值为．【点评】本题考查了相似三角形对应角相等、对应边比值相等的性质，考查了不等式的极值问题，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中求点O在圆D的圆周上是解题的关键．3．（20分）设a为质数，b为正整数，且9（2a+b）2＝509（4a+511b）（1）求a，b的值．【分析】首先将9（2a+b）2＝509（4a+511b）变形为＝，此时假设m＝，n＝，则可得到b＝＝与n＝m2．因而可转化为关于m的一元二次方程3m2﹣511m+6a＝0．利用根与系数的关系，求得m的取值进而讨论a、b的取值．【解答】解：①式即＝，故设m＝，n＝，则b＝＝②∴3n﹣511m+6a＝0，又n＝m2，所以3m2﹣511m+6a＝0③由①式可知，（2a+b）2能被509整除，而509是质数，于是2a+b能被509整除，故m 为整数，即关于m的一元二次方程③有整数根，所以它的判别式△＝5112﹣72a为完全平方数．不妨设△＝5112﹣72a＝t2（t为自然数），则72a＝5112﹣t2＝（511+t）（511﹣t）．由于511+t和511﹣t的奇偶性相同，且511+t≥511，所以只可能有以下几种情况：①②③④两式相加，得36a+2＝1022，没有整数解．两式相加，得18a+4＝1022，没有整数解．两式相加，得12a+6＝1022，没有整数解．两式相加，得6a+12＝1022，没有整数解．⑤⑥两式相加，得4a+18＝1022，解得a＝251．两式相加，得2a+36＝1022，解得a＝493，而493＝17×29不是质数，故舍去．综合可知a＝251．此时方程③的解为m＝3或m＝（舍去）．把a＝251，m＝3代入②式，得b＝＝7．答：a＝251，b＝7．【点评】本题考查一元二次方程整数根与有理根、数的整除性问题．解决本题的关键是将问题转化为一元二次方程来解决．4．（20分）已知a2+b2＝1，对于满足条件x+y＝1，xy≥0的一切实数对（x．y），不等式ay2﹣xy+b x2≥0（1）恒成立．当乘积ab取最小值时，求a，b的值．【分析】利用特殊值法可得出a、b的范围，把y＝1﹣x代入不等式，可整理成（1+a+b）x2﹣（2a+1）x+a≥0，再利用二次函数的性质可得到关于a、b的不等式，可求得ab的最小值，结合条件a2+b2＝1，可得到关于a、b的方程组，则可求得a、b的值．【解答】解：∵x+y＝1，xy≥0，∴0≤x≤1，0≤y≤1．在（1）式中，令x＝0，y＝1，得a≥0；令x＝1，y＝0，得b≥0．将y＝1﹣x代入（1）式，得a（1﹣x）2﹣x（1+x）+b x2≥0，即（1+a+b）x2﹣（2a+1）x+a≥0（2），∵a2+b2＝1，∴1+a+b＞0，0＜＜1，∴二次函数y＝（1+a+b）x2﹣（2a+1）x+a的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间．∵不等式（2）对于满足条件0≤x≤1的一切实数x恒成立，∴＝（△2a+1）2﹣4（1+a+b）﹣a≤0，即ab．由方程组（3），消去b，得16a4﹣16a2+1＝0，解得∵a≥0，∴a＝或a＝．∴方程组（3）的解为或或a2＝，∴满足条件的a，b的值有两组，分别为a＝，b＝和a＝，b＝．【点评】本题为二次函数的综合应用，构造二次函数，根据二次函数的性质得到ab≥，从而求得ab的最小值是解题的关键．本题综合性较强，涉及构造的思想，难度较大．5．（20分）设a为质数，b，c为正整数，且满足求a（b+c）的值．【分析】先把（1）式化为完全平方的形式，再把原方程化为关于m、n、a的三元二次方程，再根据n＝m2，此方程化为二元二次方程，由（1）可判断出m为整数，再由一元二次方程的判别式可得5112﹣72a为完全平方数，设5112﹣72a＝t（t为自然数），再把关于t的方程进行因式分解，求出符合条件的a的值代入（2）即可求解．【解答】解：把（1）式化为＝，设m＝2b﹣c＝，n＝＝（3），则故3n﹣511m+6a＝0，又n＝m2，所以3m2﹣511m+6a＝0（4）（5分）由（1）式可知，（2a+2b﹣c）2能被509整除，而509是质数，于是2a+2b﹣c能被509整除，故m为整数，即关于m的一元二次方程（4）有整数根，所以它的判别式＝511△2﹣72a为完全平方数．（10分）不妨设△＝5112﹣72a＝t2（t为自然数），则72a＝5112﹣t2＝（511+t）（511﹣t）．由于511+t和511﹣t的奇偶性相同，且511+t≥511，所以只可能有以下几种情况：①②③④⑤⑥舍去．两式相加，得36a+2＝1022，没有整数解；两式相加，得18a+4＝1022，没有整数解；两式相加，得12a+6＝1022，没有整数解；两式相加，得6a+12＝1022，没有整数解；两式相加，得4a+18＝1022，解得a＝251；两式相加，得2a+36＝1022，解得a＝493，而493＝17×29不是质数，故综合可知a＝251，此时方程（4）的解为m＝3或m＝把a＝251，m＝3代入（3）式，得2b﹣c＝（舍去）．（20分）＝7，即c＝2b﹣7．代入（2）式得b＝（2b﹣7）＝2，所以b＝5，c＝3，因此a（b+c）＝251×（5+3）＝2008．（25分）故答案为：2008．【点评】本题考查的是质数与合数的定义、奇数与偶数、一元二次方程根的判别式，涉及面较广，难度较大．。
2019-2020年初中数学联赛初赛试卷及答案
2019-2020年初中数学联赛初赛试卷及答案四、（本题满分25分）如图，AB 是⊙o 的直径，AB=d ，过A 作⊙o 的切线并在其上取一点C ，使AC=AB ，连结OC 叫⊙o 于点D ，BD 的延长线交AC 于E ，求AE 的长。
五、（本题满分25分）设x = a+b －c ,y=a+c －b ,z= b+c －a ,其中a 、b 、c 是待定的质数，如果x 2试求积abc 的所有可能的值。
B A OE D C参考解答及评分标准一、选择题（每小题7分，共计42分）1、D2、B3、C4、A5、C6、C二、填空题（每小题7分，共计28分）3、45°4、12 1、a2－2 2、2三、解：∵原点是线段AB 的中点⇒点A 和点B 关于原点对称设点A 的坐标为（a ，b ），则点B 的坐标为（―a ，―b ）……5分又 A 、B 是抛物线上的点，分别将它们的坐标代入抛物线解析式，得：22242242b a a b a a ⎧=+-⎪⎨-=--⎪⎩ …………………………10分 解之得： a = 1 , b = 4 或者a = －1 ,b = －4…………………15分 故 A 为（1，4），B 为（-1，-4） 或者 A （-1，-4），B （1，4）.……20分 四、解：如图连结AD ，则∠1=∠2=∠3=∠4∴ΔCDE ∽ΔCAD∴T 1T 122-+⋅CD CADE AD =① ………………5分 又∵ΔADE ∽ΔBDA ∴AE ABDE AD=② ………………10分 由①、②及AB=AC ，可得AE=CD …………15分 又由ΔCDE ∽ΔCAD 可得CD CE CA CD=，即AE 2=CD 2=C E ·CA …………20分 设AE=x ，则CE=d －x ，于是 x 2=d(d －x) 即有AE = x =1d 2（负值已舍去） ……………………25分五、解：∵a+b －c=x, a+c －b=y, b+c －a =z ,∴a =1(x y)2+, b=1(x z)2+, c=1(y z)2+ …………………5分 又∵ y=x 2 , 故 a=21(x x )2+---(1); b=1(x z)2+-----(2) BA O EDC 43 2 1c=21(x z)2+----(3)∴∵x 是整数，得1+8a=T 2，其中T 是正奇数。
全国初中数学联赛试题(含参考答案)
全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、设17-=a ，则=--+12612323a a a （ A ）A 、24B 、 25C 、1074+D 、1274+ 2、在ABC ∆中，最大角A ∠是最小角C ∠的两倍，且7=AB ，8=AC ，则=BC （ C ） A 、27 B 、10 C 、105 D 、37 3、用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程[]0322=--x x 的解的个数为（ C ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、 44、设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ B ）A 、143 B 、73 C 、21 D 、74 5、如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，2=BC ，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则=∠CBE sin （ D ）A 、36 B 、32C 、31D 、10106、设n 是大于1909的正整数，使得nn --20091909为完全平方数的n 的个数是 （ B ）A 、3B 、 4C 、 5D 、6 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程0122=-+-t x x 的两个非负实根，则()()1122--b a的最小值是____________.答案：3-2、设D 是ABC ∆的边AB 上的一点，作BC DE //交AC 于点E ，作AC DF //交BC 于点F ，已知ADE ∆、DBF ∆的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为______.答案：mn 23、如果实数a ，b 满足条件122=+b a ，2212|21|a b a b a -=+++-，则____=+b a . 答案：1-4、已知a ，b 是正整数，且满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a 15152是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有_对。
1991—年全国初中数学联赛试题【附答案】
19９1年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A)、(Ｂ）（C)、（Ｄ）四个答案结论，其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． １．设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立,其中a ,x ，ｙ是两两不同的实数,则22223yxy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； (B ）31； （C)２； (D ）35.答（ )２． 如图，AB ‖EF ‖C Ｄ，已知ＡＢ=2０,CD =80，B Ｃ=1０0，那么EF 的值是 （A ） １0； （B ）１２； （C ） 1６; （Ｄ）1８． 答（ ）３． 方程012=--x x 的解是(A)251±； (Ｂ）251±-;（Ｃ）251±或251±-； （D ）251±-±．答（ ) ４．已知:)19911991(2111n nx --=(ｎ是自然数）．那么n x x )1(2+-,的值是(Ａ）11991-； （Ｂ)11991--; （C ）1991)1(n -； （D)11991)1(--n . 答( ） ５．若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则M(Ａ）能被2整除,但不能被3整除； (B)能被３整除，但不能被2整除； (C ）能被4整除,但不能被３整除;（Ｄ）不能被3整除,也不能被2整除．答（ )６． 若a ,c ，d 是整数,ｂ是正整数,且满足c b a =+,d c b =+，a d c =+,那么 d c b a +++的最大值是(A ）1-；(Ｂ)5-;（Ｃ）0；(D)１． 答( )７． 如图，正方形ＯＰQ Ｒ内接于ΔＡＢC ．已知ΔA ＯR 、ΔＢOP 和ΔＣRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ,那么,正方形ＯＰQR 的边长是 （A ）2；(Ｂ）3；(C ）２ ;(Ｄ）3． 答（ ） ８．在锐角ΔABC 中,1=AC ，c AB =, 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则（A ）21< ｃ < 2 ; (B ）０< c ≤21;答( )（C)c ＞ 2； （Ｄ)c = 2. 答( ) 二、填空题1.Ｅ是平行四边形ABC Ｄ中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 .２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－1和４，那么,=+a cb 32 .3.设m ,n ，ｐ,q 为非负数,且对一切ｘ ＞0，qpn m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2( .４．四边形ＡＢCD 中,∠ A ＢＣ 135=，∠BCD 120=,AB 6=,BC 35-=，CD = ６,则AD = ．第二试11=S 3S =132=S120135xｘ+ y, x －y, x y,y四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对(x , y）.二、ΔＡBC中，AB<AC＜ＢC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且ＢD＝BE＝AC，ΔBＤE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点(如图）.求证：ＢＦ=AＦ+CF三、将正方形AＢCD分割为2n个相等的小方格（n是自然数）,把相对的顶点A,Ｃ染成红色，把B，Ｄ染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数.1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了（A), (Ｂ), （C), （D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A ）1; （Ｂ)2; （C)3； (D)4．2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(Ａ)∆＞M （B)∆＝M （Ｃ)∆>M ； (D)不确定. 3.若01132=+-x x ，则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3； (C ）5; (D)7. 答( )4．在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为（A ）7; (B ）6; （C ）5; （Ｄ）4. 答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xky 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S ２,则Ｓ1与S 2的关系是(A)21S S > (B)21S S = (C)21S S < (D ）不确定ﻩﻩﻩﻩ答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为８的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 （A)0; (B ）1； (C ）2; (Ｄ)３. 答( )7．如图，在等腰梯形ABC Ｄ中, AB //CD , AB=2C Ｄ,︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点，且ＦE=FB ＝ＡC , F Ａ=AB .则ＡE :EB 等于(A)1:2 （B)１:3(C ）2:5 （D ）3：１０ 答( )８.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数，且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是（A ）８; （B ）9； (C)10; (Ｄ)1１. 答( ） 二．填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于１8cm ,腰上的中线等１5cm ，则这个等腰三角形的面积等于_＿_____＿___＿＿__＿．2.若0≠x ，则xx x x 44211+-++的最大值是＿__＿＿___＿＿.３．在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点,又AB PE ⊥于E 点,若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(ba ab . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围．二、如图，在ABC ∆中,D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点,且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1,2,３,5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下:Ａ：320651ﻩﻩﻩB:10５２63Ｃ：６12３05 ﻩ D:31６２50已知编码A 、B 、C 、Ｄ各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.Ｄ恰有三个数字的位置与M 和Ｎ相同.试求：Ｍ和Ｎ.１993年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一．选择题本题共有8个小题，每小题都给出了(Ａ), (B), (C ）， (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.１.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A ）1; （B)-1; （C)1-x ; (D ）1+x ; ２.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ．内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是(A ）Ⅰ,Ⅱ都对 (B ）Ⅰ对，Ⅱ错 (C )Ⅰ错,Ⅱ对． （D )Ⅰ,Ⅱ都错. 3．设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论: Ⅰ．y 没有最小值;Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值；Ⅲ.有有限多个x （不止一个)使y 取到最大值； Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值．其中正确的是(A )Ⅰ (Ｂ)Ⅱ (C )Ⅲ (D ）Ⅳ 4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++.;;;;52154154354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x 其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是 (A)54321x x x x x >>>>; (B ）53124x x x x x >>>>; (C )52413x x x x x >>>>; (D ）24135x x x x x >>>>． 5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A )等于４ (Ｂ)小于4 (Ｃ）大于５ (D )等于5 6．在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角,则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (Ａ）22-(B)22 (C)23 (Ｄ)21-． 答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , ｂ， c ,它的外心到三边的距离分别为m , n , ｐ,那么m :n :p 等于(Ａ）cb a 1:1:1; (Ｂ)c b a ::(C ）C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin ． 答（ )8．13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; （Ｂ))12(333- (C)123- （D ）123+ 答( )二.填空题1.当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是_____＿____＿.２.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有____＿_＿__＿个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则k =___＿_＿____＿_.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A ．以B Ｃ边为直径作圆,与A Ｂ, AC 分别交于D ， E ,连接DE , 把三角形A ＢC 分成三角形ＡDE 与四边形ＢDE Ｃ，设它们的面积分别为S １, S 2,则S １:S ２＝＿__________.第二试一.设H 是等腰三角形A ＢC 垂心,在底边B Ｃ保持不变的情况下让顶点A 至底边B Ｃ的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大，还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, B Ｃ=5, AC =1２, ＡB =1３, 在边AB ，AC 上分别取点Ｄ, E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三．已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x （2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3）求c b ,所有可能的值．199４年全国初中数学联赛试题第一试(4月３日上午８:3０—9：30)考生注意:本试共两道大题，满分80分．一、选择题（本题满分4８分,每小题6分）本题共有8个小题都给出了Ａ，B、C，Ｄ,四个结论,其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得６分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内)，一律得0分.〔答〕( ）２.设a,b,ｃ是不全相等的任意实数，若ｘ=a２－bｃ，y=b2-ca,z=c2-ab,则ｘ,y,zＡ．都不小于0Ｂ．都不大于0C．至少有一个小０于ﻩD．至少有一个大于0ﻩ〔答〕（)3．如图1所示,半圆O的直径在梯形AＢCD的底边ＡB上，且与其余三边BＣ，ＣＤ，ＤA相切，若BC=２,DA＝3,则AB的长A.等于4ﻩB．等于5C.等于6D.不能确定〔答〕( )A.1Ｂ．-1 ﻩC.２２001ﻩD．-22001ﻩ〔答〕（)5.若平行直线EＦ,MN与相交直线ＡB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A.４对ﻩB．8对C．１2对D.1６对〔答〕( )ﻩ〔答〕（）７．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CＦ相交于H。
全国初中数学竞赛试题及答案
全国初中数学竞赛试题及答案This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.2001年全国初中数学联赛一、选择题（每小题7分，共42分）1、a ，b ，c 为有理数，且等式62532+=++c b a 成立，则2a +999b +1001c 的值是（ ）（A ） 1999（B ）2000（C ）2001（D ）不能确定2、若1≠ab ，且有5a 2+2001a +9=0及05200192=++b b ，则ba 的值是（ ） （A ）59（B ）95（C ）52001-（D ）92001- 3、已知在△ABC 中，∠ACB =900，∠ABC =150，BC =1，则AC 的长为（ ） （A ）32+（B ）32-（C ）30⋅（D ）23-4、如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的一点，下面四种情况中，△ABD ∽△ACB 不一定成立的情况是（ ）（A ）BD AB BC AD •=• （B ）AC AD AB •=2（C ）∠ABD =∠ACB （D ）BD AC BC AB •=•5、①在实数范围内，一元二次方程02=++c bx ax 的根为a ac b b x 242-±-=；②在△ABC 中，若222AB BC AC >+，则△ABC 是锐角三角形；③在△ABC 和111C B A ∆中，a ，b ，c 分别为△ABC 的三边，111,,c b a 分别为111C B A ∆的三边，若111,,c c b b a a >>>，则△ABC 的面积S 大于111C B A ∆的面积1S 。
以上三个命题中，假命题的个数是（ ） （A ）0（B ）1（C ）2（D ）36、某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折扣；②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠。
初中数学竞赛题详细解析全套(完整版)
都是锐角。已知 EG=k，FH= l ，四边形 EFGH 的面积为 s．
（1）求证： sin 2s ； kl
（2）试用 k, l, s 表示正方形 ABCD 的面积．
物超过 200 元但不超过 500 元的，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过 500 元的，其中
500 元按第②条给予优惠，超过 500 元的部分则给予八折优惠。某人两次去购物，分别付款
－７－
初中数学竞赛题详解
168 元和 423 元；如果他只去一次购物同样的商品，则应付款是【
】
（A）522.8 元
】
b
（A） 9 5
（B） 5 9
（C） 2001 5
（D） 2001 9
3、已知在△ABC 中，∠ACB＝900，∠ABC＝150，BC＝1，则 AC 的长为【
】
（A） 2 3
（B） 2 3
（C） 0 3
（D） 3 2
4、如图，在△ABC 中，D 是边 AC 上的一点，下面四种情况中，△ABD∽△ACB 不一定成立的
二、1、20；2、150；3、4；4、
详解 一、1．(Ｃ) ∵ 14 6 5 (3 5)2 ,
,∴ 原式
2． (Ａ ). 由 已 知 条 件 知 x≠0， y≠0 . 把 已 知 等 式 变 形 并 利 用 等 比 消 去 y， 得
则 x=3y .
故
3． (Ｃ )
设 a = 1 , b = 3 ，得 x = 1 0 , y = 2 . 从 而 否 定 ( A ) 及 ( B ) . 设 a = 3 , b = 4 ，得 x = 17 ，
1991-1992全国初中数学联赛真题和详解
1991全国初中数学联合竞赛试卷一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． １．设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是（ ） （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35． ２．如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（ ）（A ） 10； （B ）12； （C ） 16； （D ）18． ３．方程012=--x x 的解是（ ）（A ）251±； （B ）251±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-±．４．已知：)19911991(2111n nx --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（ ）（Ａ）11991-； （Ｂ）11991--； （Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ．５．若M n1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（ ）（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．６．若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是（ ） （Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１．７．如图，正方形OPQR 内接于△ABC ．已知△AOR 、△BOP 和△CRQ的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是（ ）（Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．11=S 3S =132=S８．在锐角△ABC 中，1=AC ，c AB =，60=∠A ，△ABC 的外接圆半径R ≤1，则（ ）（Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤21； （C ）c > 2； （ D ）c = 2．二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果△BEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ．２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+acb 32 ． 3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，qpnm x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则=++q p n m 22)2( ．４．四边形ABCD 中，∠ ABC135=，∠BCD120=，AB 6=，BC 35-=，CD = 6，则AD = ．三、解答题一、实数x 与y ，使得x + y ， x － y ， x y ，yx 四个数中的三个有相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）．二、△ABC 中，AB ＜AC ＜BC ，D 点在BC 上，E 点在BA 的延长线上，且BD ＝BE ＝AC ，△BDE 的外接圆与△ABC 的外接圆交于F 点（如图）．求证：BF ＝AF ＋CF三、将正方形ABCD 分割为 2n 个相等的小方格（n 是自然数），把相对的顶点A ，C 染成红色，把B ，D 染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．120135答案 1．（B ）据算术根性质，由右端知y <a <x ，又由左端知a ≥0且a ≤0，故a ＝0． 由此得x=－y ，代入所求式算得值为31２．（C ）由平行截割定理，有①②①+②，得∴３．（D ） 设0x 是方程的解，则—0x 也是方程的解，排除（A ）、（B ）；（D ）的两值必是方程的解，否则方程的解也不是（C ）． 将)51(21-代入方程，左边≠0，排除（C ）． ４．（D ）．（所以 原式， 112112221991)1()1991)19911991(21)199121991(4111-----=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+-+=+n n nn n n n x5．（A ）在1³2³3³…³100的质因数分解中，2的因子有所以，P P 21232100321484897⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ ，其中2不整除P ，3不整除P ，因而M =2P ．６．（B ） (a +b )+(c +d )=c +a ， ∴b =-d ．代入 b +c =d 得c =2d ，a =c +d =3d ，故a +b +c +d =2d +3d =5d =-5b ≤-5 (∵b ≥1)． 故 a =-3，b =1，c =-2，d =-1． ７．（C ） 设正方形OPRQ 的边长为x ，即OP =PQ =QR =OR = x ．作△ABC 的高AD ，交OR 于F ，在△AOR 中，xOR S AF 221==．如图．８．（A ）作CD ⊥AB ，因△ABC 是锐角三角形，故D 在AB 内， 从而c = AB ＞AD = AC cos A = cos A =21． 又由正弦定理，得c = AB = 2R sin C ＜2R ≤2，所以21＜c ＜2． 二、填空题1．12 由△BEG ∽△DAG ，得DG ∶GB ＝AD ∶BE ＝２∶１， ∴ DB ＝３GB ．连接DE ，则２．６ 设甲将a 看为a ′，由韦达定理得．于是 ． ， 438'6'-===-c b a ca b由于一次项系数b 的符号不改变判别式的值，因此，乙只能是看错a 或c 的符号．于是a ’ ．4=ac由①②得３．９．－，即，则有再取 ． 为奇数，因此 由于．，则有恒成立，取对一切由于q n n q n m p p m qpn m x m p x x xx x x -==-===-≠=-=>+=-+2232112321,012,0221210)1(1)1(若n >q ，则上式左边为奇数，右边为偶数，矛盾．若n <q ，则上式左边为整数，右边为真分数，矛盾． 所以，只能是n =q =1．于是93)2(222==++qp n m ．４．192作AE ∥BC ，交CD 于E ，自B ，C 分别作AE 的垂直线BF 与CG ，F ，G 分别为垂足（如图）．BCGF 为矩形，△AFB 为等腰直角三角形，32===AB AF BF ．．，，所以 ．2165)1610(21542222321==+=+++=+++=x x x xx x S S S S S OPRQ ． ．所以6126323=+-=+-=ac b ba1234222=⨯=⨯==E E ABCD S S S S在Rt △CEG 中，三、解答题 一.由于yx有意义，所以y ≠0，从而x + y ≠x －y ． 因此x y =yx，即x (2y －1) = 0． 所以x = 0或y = ±1． （１）若x = 0，则由x y = x + y ，或x y = x －y ，得y = 0，这样yx无意义； （２）若y = 1，则由x y = x + y 得x = x +1， 或由x y = x －y 得x = x －1，都导致矛盾； （３）若y = -1，则由x y = x + y 得x =21， 由x y = x －y 得x =21-， 所以符合要求的数对只有 )121()121(---， 和 ，． 二、证法１ 延长AF 到M ，使FM =CF ．连CM 、DF ，在△EBD 与△FCM 中，由于BE =BD ，FM =CF ，因此△EBD 、△FCM 都是等腰三角形． ∵ ∠EBD =∠MFC ， ∴ ∠BED =∠CMF ， 又 ∠BED =∠BFD ， ∴ ∠CMF =∠BFD ， 在△BFD 与 △AMC 中，∠2=∠1，∠BFD =∠CMF ，BD =AC ， ∴ △BFD ≌△AMC ． ∴ BF =AM =AF +FM ． 又∵ FM =CF ， ∴ BF =AF +CF ． 证法2 如图，连EF 、DF ∵ ∠1=∠2， ∠2=∠3， ∴ ∠1=∠3， ∵ ∠4=∠5， ∠5=∠6， ∴ ∠4=∠6．∴ △AFC ∽△EFD ．．＝＝＝ ．＝＝ ＝＝所以 ．＝＝，＝，＝ 知＝，由＝ 426613533521330--+-++-︒∠CE CD ED GE FG AF AE BC FG CE GE CGGCE ．所以 ．中应用余弦定理，有又 1927676241636120cos 2120222===++=︒⋅-+=︒=∠=∠AD ED AE ED AE AD BCD AED ²于是k CFDFAC DE AF EF ===， 即EF =k ²AF ，DE =k ²AC ，DF =k ²CF ．由托勒密定理，知BF ²DE =BD ²EF +BE ²DF ， 即BF ²k ²AC =BD ²k ²AF +BE ²k ²CF ． 但是AC =BE =BD ≠0， 所以BF =AF +CF .一、证法１ 用数代表颜色，将红色记为０，蓝色记为１，再将小方格编号，记为1,2,3,…,2n .又记第i 个小方格四个顶点数字之和为i A ,若恰有三个顶点同色,则i A =1或3为奇数,否则i A 为偶数.在221n A A A +++ 中,有如下事实:对正方形内部的交点,各加了4次； 原正方形边上非端点的交点,各加了２次(含两个０,两个１).因此221n A A A +++ ＝４(内部交点相应的数之和)＋２³(边上非端点的交点相应的数之和)＋２必为偶数.于是，在2,,,21n A A A 中必有偶数个奇数，这就是说，恰有三个顶点同色的小方格必有偶数个．证法2 用数代表颜色，红色记为l ，蓝色记为－1，将小方格编号，记为l ，2，…，2n ． 记第 i 个小方格四顶点数字之乘积为i A ，若恰有三顶点同色，则1,1=-=i i A A 否则． 现在考虑乘积221n A A A ⨯⨯．对正方形内部交点，各点相应的数重复出现4次；A ，B ，C ，D 边上的不是端点的交点相应的数各出现2次；A ，B ，C ，D 四点相应的数的乘积为１³１³（－1）³（－1）＝１．于是 221n A A A ⨯⨯＝１．因此，221n A A A ⨯⨯中－１的个数必为偶数，即恰有三顶点同色的小方格必有偶数个． 证法3 考虑染了色之后，改变一个交点的染色方式，这时以此点为顶点的小方格，要么由三顶点同色变为非三顶点同色，要么由非三顶点同色变成三顶点同色．注意：除A ，B ，C ，D 之外，每一交点必是偶数个小方格的顶点，因此，改变一个交点的染色并不改变三顶点同色小方格数目的奇偶性． 当n ＝l 时，结论显然成立．当n ＞1时，每次改变一个交点的染色，最终总可以使B ，D 之外的点皆为红色，这时，三顶点同色的小方格只有两个，为偶数．因此，任意染色之下，三顶点同色的小方格有偶数个．1992年全国初中数学联赛试题一.选择题1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是（ ） (A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是（ ）(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定. 3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是（ ） (A)1; (B)3; (C)5; (D)7.4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为（ ）(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xky 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是（ ） (A)21S S > (B)21S S = (C)21S S < (D)不确定6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是（ ）(A)0; (B)1; (C)2; (D)3.7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD , ︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , F A=AB .则AE :EB 等于（ ）(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:108.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x , 则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是（ ） (A)8; (B)9; (C)10; (D)11. 二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(ba ab . 三.解答题一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N.1.(C)由⎩⎨⎧==-01ab b a ⇒(1,0)(0,1). 又由⇒⎩⎨⎧==-1,0ab b a (1,1). ∴共有3对.2.(B)设0x 是方程的根,则0020=++c bx ax .所以202022044)2(b abx x a b ax ++=+ac b c bx ax a 4)(42020-+++=ac b 42-=.3.(D)由01132-+-x x 知0≠x .所以131=+-x x ,167213222=-=+-x x .2167244-=+-x x ,从而42-+x x 的个位数字为9-2=7.4.(C)若满足条件的多边形的边数大于或等于6,则至少有一边所对的圆心角不大于60°.由余弦定理知该边长必不大于1;同理,若存在满足条件的四边形,则它至少有一边长不小于2.5.(B)设A 点的坐标为(11,y x ),C 点的坐标为(22,y x ),则k y x y x ==2211. ∴22211121212121S CD OD y x y x AB OB S =⋅===⋅=. 6.(B)据正方形的对称性,只需考虑它的41部分即可.记圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和为1'S ，圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和为2'S ，则841'-=πS ，π4152'-=S . ∴44.256.44158444212'1'≈--==ππS S S S .故21S S 的整数部分是1. 7.(B) 设1=CD ,则2==AB FA ,易证121==AB BC ,90=∠ABC ,3===AC FB FE .∴ FG是等腰三角形BFD顶角平分线，因而也是底边BD上的中线．即 BG=GD．所以BD=2BG=2DC．三、对于编码M，考虑编码A中恰有两个数位上的数字与M中相应数位上的数字相同．设这两位是x1，x2数位．由于B、C中该两数位上的数字均与A在这两数位上的数字不同，因此B，C中这两数位上的数字必与M中这两数位上的数字不同，于是B中与 M中数字相同的数位必异于x1，x2．不妨设为x3，x4；同理C中与 M中数字相同的数位只能是异于x1，x2，x3，x4的x5，x6两位．关于 N也有类似的结论．这就是说，在每个数位上，A，B，C分别在该数位上的数字中，必有一个与M在该数位上的数字相同；同样地，也必有一个与N在该数位上的数字相同．由此知，D中的6，0两数字必不是M，N在相应数位上的数字．于是D的3，1，2，5中只有一个数字与M在相应数位上的数字不同；与Ⅳ相比较也有类似的结果．(A)若3不对，则有610253，013256；(B)若1不对，则有360251，301256；(C)若2不对，则有312056，310652；(D)若5不对，则有310265，315206．经检验知：该信封上编码M，N或者同为610253，或者同为310265．或者一个是610253，另一个是310265．。
全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准(A卷和B卷)
全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准（A 卷和B 卷）第一试（A ）一、选择题（每小题7分，共42分）1．设实数a ，b ，c 满足：3a b c ++=，2224a b c ++=，则222222222a b b c c a c a b+++++=---（）A. 0B. 3C. 6D. 92．若抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，且过点A （m ，n ），B （m －8，n ），则n ＝（）A. 8B. 12C. 16D. 243．矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝10，E 、F 分别为矩形外的两点，BE ＝DF ＝4，AF ＝CE ＝3，则EF ＝（）A． B ．15 CD．4．已知O 为䝐标原点，位于第一象限的点A 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上，位于第二象限的瀹B 在反比例函数4(0)y x x=-<的图象上且OA ⊥OB ，则tan ∠ABO 的值为（） A ．12B．2C ．1D ．25．已知实数x （y 满足关系式1xy x y --=，则22x y +的最小值为（） A．3-B．6-C ．1D．6+6．设n 是小于100的正整数且使2535n n +-是15的倍数，则符合条件的所有正整数n 的和是（） A ．285 B ．350 C ．540 D ．635 二、填空题（每小题7分，共28分）7．设a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根，则32234a b a ++的值为. 8．从三边长均为整数且周长为24的三角形中任取一个，它是直角三角形 的概率为.9．已知锐角△ABC 的外心为O ，AO 交BC 于D ，E 、F 分别为△ABD 、△ACD 的外心，若AB ＞AC ，EF ＝BC ，则∠C －∠B ＝.AB CD EF10．将数字1，2，3，…，34，35，36填在6×6的方格中，每个方格填一个数字，要求每行数字从左到右是从小到大的顺序，则第三列所填6个数字的和的最小值为.第一试（B ）一、选择题（每小题7分，共42分）1．设实数a ，b ，c 满足：3a b c ++=，2224a b c ++=，则222222222a b b c c a c a b+++++=---（）A. 12B. 9C. 6D. 32．若抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，且过点A （m ，n ），B （m －8，n ），则n ＝（）A. 8B. 12C. 16D. 243．矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝10，E 、F 分别为矩形外的两点，BE ＝DF ＝4，AF ＝CE ＝3，则EF ＝（） A． B ．15CD． 4．已知实数x ，y 满足关系式223x xy y ++=，则2()x y -的最大值为（）A ．3B ．6C ．9D ．125．已知O 为坐标原点，位于第一象限的点A 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上，位于第二象限的点B 在反比例函数4(0)y x x=-<的图象上，且OA ⊥OB ，则tan ∠ABO 的值为（） A ．12B．2C ．1D ．26．设n 是小于100的正整数且使2232n n --是6的倍数，则符合条件的所有正整数n 的和是（） A ．784B ．850C ．1536D ．1634二、填空题（每小题7分，共28分）7．设a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根，则32234a b a ++的值为. 8．三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为.9．C 、D 两点在以AB 为直径的半圆周上，AD 平分∠BAC ，AB ＝20，AD＝AC 的长为.10．在圆周上按序摆放和为15的五个互不相等的正整数a，b，c，d，e，使得ab＋bc＋cd ＋de＋ea最小，则这个最小值为.第二试（A）1．（20分）关于xx有且仅有一个实数根，求实数m的取值范围.2．（25分）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E，且AC⊥BD，AB＝AC.过点D作DF⊥BD，交BA的延长线于点F，∠BFD的平分线分别交AD、BD于点M、N.（1）证明：∠BAD＝3∠DAC；（2）如果BF DF CDBD AC-=，证明：MN＝MD.3．（25分）设正整数m ，n 满足：关于x 的方程()()x m x n x m n ++=++至少有一个正整数解，证明：222()5m n mn +<.第二试（B ）1．（20分）若正数a ，b 满足ab ＝1，求11112M a b=+++的最小值. 2．（25分）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，且AC ⊥BD ，AB ＝AC ＝BD . 过点D 作DF ⊥BD ，交BA 的延长线于点F ，∠BFD 的平分线分别交AD 、BD 于点M 、N .（1）证明：∠BAD ＝3∠DAC ；（2）如果MN ＝MD ，证明：BF ＝CD ＋DF .3．（25分）若关于x 的方程2343410x x k -+-=至少有一个正整数根，求满足条件的正整数k 的值.2015年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试（A ）1. 解：D. 提示：∵3a b c ++=，2224a b c ++=，∴222222222444(2)(2)(2)222222a b b c c a c a b c a b c a b c a b +++---++=++=+++++------6()9a b c =+++=.2. 解：C. 提示：依题意，有22(8)(8)n m bm c m b m c =++=-+-+，于是可得82b m =-. ∵抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，∴240b c -=，∴221(4)4c b m ==-.因此222(82)(4)16n m bm c m m m m =++=+-+-=.3. 解：C. 提示：易知∠AFD ＝∠BEC ＝90°，△BEC ≌△DF A ，∴∠DAF ＝∠BCE . 延长F A ，EB 交于点G . ∵∠GAB ＝90°－∠DAF ＝∠ADF ， ∠GBA ＝90°－∠CBE ＝∠BCE ＝∠DAF ， ∴△BGA ∽△AFD ，且∠AGB ＝90°，∴AG ＝8，BG ＝6， ∴GF ＝11，GE ＝10，∴EF ==4. 解：A. 提示：过点A 、B 分别作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足为C 、D . 由OA ⊥OB 得∠AOB ＝90°，于是可得△AOC ∽△OBD ，∴12OAABO OB∠====. 5. 解：B. 提示：设x y t +=，则由题设条件可知11xy x y t =++=+，AB CD EFG∴x ，y 是关于m 的一元二次方程210m tm t -++=的两个实数根， 于是有：24(1)0t t ∆=-+≥，解得2t ≥+2t ≤-又∵22222()22(1)(1)3x y x y xy t t t +=+-=-+=--，∴当2t =-1x y ==）时，22x y +取得最小值，最小值为2(21)36---=-6. 解：D. 提示：∵2535n n +-是15的倍数， ∴25|(535)n n +-，∴5|3n ，∴5|n . 设5n m =（m 是正整数），则2222535125155120155(1)n n m m m m m +-=+-=++-. ∵2535n n +-是15的倍数，∴21m -是3的倍数， ∴31m k =+或32m k =+，其中k 是非负整数.∴5(31)155n k k =+=+或5(32)1510n k k =+=+，其中k 是非负整数. ∴符合条件的所有正整数n 的和是(5203550658095)(102540557085)635++++++++++++=. 7. 解：11. 提示：∵a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根， ∴1ab =-，1a b +=，21a a =+，21b b =+， ∴332222343423(1)42(1)3362a b a b b a a b b a a b a++=++=++++=+++ 3(1)3626()511a a b a b =++++=++=.8. 解：112. 提示：设三角形的三边长为a ，b ，c （a b c ≥≥）， 则324a a b c ≥++=，2()24a a b c <++=，∴812a ≤<，故a 的可能取值为8，9，10或11， 满足题意的数组（a ，b ，c ）可以为： （8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6）， （10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）. 共12组，其中，只有一组是直角三角形的三边长， ∴所求概率为112.9. 解：60°. 提示：作EM ⊥BC 于点M ，FN ⊥BC 于点N ，FP ⊥EM 于点P . ∵E 、F 分别为△ABD 、△ACD 的外心， ∴M 、N 分别为BD 、CD 的中点. 又EF ＝BC ，∴PF ＝MN ＝12BC ＝12EF ，∴∠PEF ＝30°. 又EF ⊥AD ，EM ⊥BC ，∴∠ADC ＝∠PEF ＝30°.又∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝∠B ＋12(180°－2∠C )＝90°＋∠B －∠C ， ∴∠C －∠B ＝90°－∠ADC ＝60°.10. 解：63. 提示：设第三列所填6个数字按从小到大的顺序排列后依次为A ，B ，C ，D ，E ，F .∵A 所在行前面需要填两个比A 小的数字，∴A 不小于3； ∵B 所在行前面需要填两个比B 小的数字，且A 及A 所在行前面两个数字都比B 小，∴B 不小于6.同理可知：C 不小于9，D 不小于12，E 不小于15，F 不小于18.因此，第三列所填6个数字之和A ＋B ＋C ＋D ＋E ＋F ≥3＋6＋9＋12＋15＋18＝63. 如图即为使得第三列所填6个数字之和取得最小值的一种填法（后三列的数字填法不唯一）.第一试（B ）1. 解：B. 提示：∵3a b c ++=，2224a b c ++=，∴222222222444(2)(2)(2)222222a b b c c a c a b c a b c a b c a b +++---++=++=+++++------6()9a b c =+++=.2. 解：C. 提示：依题意，有22(8)(8)n m bmc m b m c =++=-+-+，于是可得82b m =-. ∵抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，∴240b c -=，∴221(4)4c b m ==-.因此222(82)(4)16n m bm c m m m m =++=+-+-=.3. 解：C. 提示：易知∠AFD ＝∠BEC ＝90°，△BEC ≌△DF A ，∴∠DAF ＝∠BCE . 延长F A ，EB 交于点G . ∵∠GAB ＝90°－∠DAF ＝∠ADF ， ∠GBA ＝90°－∠CBE ＝∠BCE ＝∠DAF ， ∴△BGA ∽△AFD ，且∠AGB ＝90°，∴AG ＝8，BG ＝6， ∴GF ＝11，GE ＝10，∴EF ==4. 解：D. 提示：设x y t -=，则x y t =+，AB CD EFG代入题设等式得22()()3y t y t y y +++++=，整理得223330y ty t ++-=. 由判别式22(3)12(3)3t t ∆=--≥得t -≤≤，故22()12x y t -=≤. 5. 解：A. 提示：过点A 、B 分别作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足为C 、D . 由OA ⊥OB 得∠AOB ＝90°，于是可得△AOC ∽△OBD ，∴12OAABO OB∠====. 6. 解：D. 提示：∵2232n n --是6的倍数， ∴22|(232)n n --，∴2|3n ，∴2|n .设2n m =（m 是正整数），则2222232862662(1)n n m m m m m --=--=-+-. ∵2232n n --是6的倍数，∴21m -是3的倍数，∴31m k =+或32m k =+，其中k 是非负整数.∴2(31)62n k k =+=+或2(32)64n k k =+=+，其中k 是非负整数. ∴符合条件的所有正整数n 的和是(2814869298)(41016828894)1634++++++++++++=.7. 解：11. 提示：∵a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根， ∴1ab =-，1a b +=，21a a =+，21b b =+， ∴332222343423(1)42(1)3362a b a b b a a b b a a b a++=++=++++=+++ 3(1)3626()511a a b a b =++++=++=.8. 解：12. 提示：设三角形的三边长为a ，b ，c （a b c ≥≥）， 则324a a b c ≥++=，2()24a a b c <++=，∴812a ≤<，故a 的可能取值为8，9，10或11， 满足题意的数组（a ，b ，c ）可以为： （8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6）， （10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）. 共12组，∴三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为12.9. 解：4. 提示：连接OD 、OC ，作DE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F . ∵AD 平分∠BAC ，∴∠DOB ＝2∠BAD ＝∠OAC .又OA ＝OD ，∴△AOF ≌△ODE ，∴OE ＝AF ，∴AC ＝2OF ＝2OE . 设AC ＝2x ，则OE ＝AF ＝x . 在Rt △ODE中，由勾股定理得DE =在Rt △ADE 中，AD 2＝DE 2＋AE 2，即222(100)(10)x x =-++，解得x ＝2.∴AC ＝2x ＝4.10. 解：37. 提示：和为15的五个互不相等的正整数只能是1，2，3，4，5.注意到五个数在圆周上是按序摆放的，且考虑的是和式ab bc cd de ea ++++，不妨设a ＝5.如果1和5的位置不相邻，不妨设c ＝1（如图2）， 此时的和式为155P b b d ed e =++++； 交换1和b 的位置后，得到如图3的摆法， 此时的和式为255P b bd ed e =++++.∵1255(5)(1)0P P b d bd d b -=+--=-->，∴12P P >.因此，交换1和b 的位置使得1和5相邻（如图3）以后，和式的值会变小. 如图3，如果d ＝2，此时的和式为35225P b b e e =++++； 交换e 和2的位置以后，得到如图4的摆法，此时的和式为45210P b be e =++++. ∵342510(5)(2)0P P b e be b e -=+--=-->，∴34P P >. 因此，交换e 和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小. 如果b ＝2，此时的和式为55225P d ed e =++++；交换e 和2的位置以后，得到如图5的摆法，此时的和式为65210P e ed d =++++. ∵5625104(2)0P P e e e -=+--=->，∴56P P >.因此，交换e 和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小. 综上可知：1和2摆在5的两边（如图5）时，和式的值会变小. 当d ＝3，e ＝4时，和式的值为754126103P =++++=； 当d ＝4，e ＝3时，和式的值为853*******P =++++=. 因此，所求最小值为37.第二试（A ）1. 解：将所给方程记为方程①，显然有2x m ≥且1x ≥.若0m <x >，此时方程①无解，不符合题意，故0m ≥.方程①变形得x两边平方后整理得2242x m +-=- 再平方，整理得228(2)(4)m x m -=-.显然，应该有02m ≤<，并且此时方程①只可能有解x =将x =1=-，化简整理得，于是有403m ≤≤，dddd e图1图2图3图4图5此时方程①有唯一解x =综上所述，所求实数m 的取值范围为403m ≤≤.2. 证明：（1）在BE 上取一点P ，使得∠BAP ＝∠DAC ， 则△BAP ≌△CAD ，∴AP ＝AD .又AE ⊥PD ，∴△ADE ≌△APE ，∴∠P AE ＝∠DAE ， ∴∠P AE ＝∠BAP ＝∠DAC ，∴∠BAD ＝3∠DAC .（2）设∠DAC ＝α，则∠BAC ＝2α，∠BAD ＝3α，∠NDM ＝90°－α. 在FB 上截取FQ ＝FD ，连接QD ，则BQ ＝BF －FQ ＝BF －FD . 又BF DF CD BD AC -=，∴BQ CDBD AC=. 又∠QBD ＝∠DCA ，∴△QBD ∽△DCA ，∴∠QDB ＝∠DAC .又∵∠DBC ＝∠DAC ，∴∠QDB ＝∠DBC ，∴QD ∥BC ，∴∠FQD ＝∠ABC . 又AB ＝AC ，∠BAC ＝2α，∴∠ABC ＝90°－α，∴∠FQD ＝90°－α. 又FQ ＝FD ，∴∠BFD ＝2α.∵FN 平分∠BFD ，∴∠AFM ＝α，∴∠NMD ＝∠AMF ＝∠BAD －∠AFM ＝3α－α＝2α， ∴∠MND ＝180°－∠NMD －∠NDM ＝90°－α＝∠MDN ，∴MN ＝MD . 3. 证明：方程即2(1)0x m n x mn m n ++-+--=①， 方程①的判别式222(1)4()()42()1()2()1m n mn m n m n mn m n m n m n ∆=+----=+-+++=-+++.不妨设m n ≥，由题设可知，整系数方程①至少有一个正整数解，∴∆应为完全平方数. 注意到222()2()1(1)4(1)m n m n m n n m n ∆=-+++=-++>-+，22()2()1(3)(488)m n m n m n m n ∆=-+++=-+--+，若4880m n -+>，即22m n >-，则2(3)m n ∆<-+，从而有22(1)(3)m n m n -+<∆<-+，故只可能2(2)m n ∆<-+， 即22()2()1(2)m n m n m n -+++=-+，整理得332m n =-， 这与m ，n 均为正整数矛盾.因此22m n ≤-，从而可得2m n <，∴2mn<. 又∵112m n >>，∴有1()(2)02m m n n --<，整理即得222()5m n mn +<.第二试（B ）1. 解：∵1ab =，∴1b a=， ∴2111111211211211212321a a M a b a a a a a a a a=+=+=+=+-=-++++++++++. 设232a a N a++=，则22333N a a =++=+++当a =.∴103N <≤=-111(32M N=-≥--=.因此，当ab =时，11112M a b =+++取得最小值2.2. 证明：（1）在BE 上取一点P ，使得∠BAP ＝∠DAC ，则△BAP ≌△CAD ，∴AP ＝AD .又AE ⊥PD ，∴△ADE ≌△APE ，∴∠P AE ＝∠DAE ，∴∠P AE ＝∠BAP ＝∠DAC ，∴∠BAD ＝3∠DAC .（2）设∠DAC ＝α，则∠BAC ＝2α，∠BAD ＝3α.∵AC ⊥BD ，∴∠NDM ＝90°－α.∵MN ＝MD ，∴∠MND ＝∠MDN ＝90°－α，∴∠NMD ＝180°－∠MND －∠NDM ＝2α，∴∠AMF ＝2α，∴∠AFM ＝∠BAD －∠AMF ＝3α－2α＝α.∵FN 平分∠BFD ，∴∠BFD ＝2∠AFM ＝2α.在FB 上截取FQ ＝FD ，连接QD ，则∠FQD ＝90°－α.又AB ＝AC ，∠BAC ＝2α，∴∠ABC ＝90°－α，∴∠FQD ＝∠ABC ，∴QD ∥BC ，∴∠QDB ＝∠DBC .又∵∠DBC ＝∠DAC ，∴∠QDB ＝∠DAC .又∵DB ＝AC ，∠QBD ＝∠DCA ，∴△QBD ∽△DCA ，∴BQ ＝CD ，∴BF ＝BQ ＋FQ ＝CD ＋DF .3. 解：设方程的两个根为x 1，x 2，且x 1为正整数，则1234x x +=，12341x x k =-.由1234x x +=知2134x x =-，∴ x 2也是整数.由k 为正整数及12341x x k =-可知20x >，∴x 2是正整数.注意到121212(1)(1)134(1)x x x x x x k ++=+++=+，∴1217|(1)(1)x x ++，∴117|(1)x +或217|(1)x +. 若117|(1)x +，则由112134x x x +≤+=知：1117x +=或1134x +=. 当1117x +=时，116x =，218x =，此时3411618k -=⨯，k 无整数解； 当1134x +=时，133x =，21x =，此时341331k -=⨯，解得k ＝1. 若217|(1)x +，同样可得k ＝1.∴满足条件的正整数k ＝1.。
1992年全国初中数学联赛试题及解答
1992年全国初中数学联合竞赛试题第一试一.选择题1.满足1=+−ab b a 的非负整数的个数是),(b a (A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若是一元二次方程的根,则判别式与平方式的关系是0x )0(02≠=++a c bx ax ac b 42−=Δ20)2(b ax M +=(A)>ΔM (B)Δ=M (C)Δ>M ; (D)不确定. 3.若,则的个位数字是01132=+−x x 44−+x x (A)1; (B)3; (C)5; (D)7.答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.答( )5.如图,正比例函数的图像与反比例函数)0(>==a ax y x y 和)0(>=k xky 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt Δ和的面积分别为S COD Δ1和S 2,则S 1与S 2的关系是(A) (B)S 21S S >21S = (C) (D)不确定答( )21S S <6.在一个由88×个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为,则1S 2S 21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3. 答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD ,,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , F A=AB .°=∠60A 则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,的最小值是19x x −(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.答( )二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若,则0≠x xx x x 44211+−++的最大值是__________.3.在中,的平分线相交于ABC ΔB A C ∠∠=∠和,90o P 点，又AB PE ⊥于E 点，若，则3,2==AC BC =⋅EB AE .4.若都是正实数，且b a ,0111=+−−b a b a ，则=+33()(ba ab .第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程的两根，当这样的三角形只有一个时，求的取值范围.062=+−a x x a二、如图，在ABC Δ中，是底边上一点，D AC AB ,=BC E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N.1992年全国初中数学联合竞赛试题答案第一试一 选择题二 填空题第二试。
历年(95-10)全国初中数学竞赛(联赛)分类题型详解-几何(1)
历年(95-10)年全国数学竞赛(联赛)分类题型详解 - 几何(1)选择题(30道题)1. 如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［ ]A．62πB．63π C．64πD．65π1995年全国初中数学联赛试题答案: D详解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一．又由AB2＋AD2 ＝252＋602 ＝52×（52＋122）＝52×132＝(32＋42)×132 ＝392＋522 ＝BC2＋CD2故可取BD＝65为直径，得周长为65π，选D．2. 设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则[ ]A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定1995年全国初中数学联赛试题答案: B详解1: 不失一般性，设CE≥ED，在CE上取CF＝ED，则有OF＝OE，且S△ACE－S△ADE＝S△AEF＝2S△AOE．同理，S△BCE－S△BDE＝2S△BOE．相加，得S△ABC－S△DAB＝2S△OAB，即M＝N．选B．详解2: 若过C、D、O分别作AB的垂线（图3），CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB，垂足分别为E、F、L．连CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂径分弦定理，知L是EF的中点．根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有｜CE－DF｜＝2OL．即M＝N．选B．3．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于[ ]1996年全国初中数学联赛试题答案: B4．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的[ ]A．内心B．外心C．重心D．垂心1996年全国初中数学联赛试题答案: A5．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有[ ]A．4个B．8个 C．12个 D．24个1996年全国初中数学联赛试题答案: C6. 在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于（）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）181998年全国数学联赛试卷答案: C详解: 连ED，则又因为DE是△ABC两边中点连线，所以故选C．7．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（）．A．11 B．12 C．13 D．141999年全国初中数学竞赛答案: C8．在三角形ABC 中，D 是边BC 上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC 的面积是（ ）．A ．30B ．36C ．72D ．1251999年全国初中数学竞赛答案: B9．在正五边形ABCDE 所在的平面内能找到点P ，使得△PCD 与△BCD 的面积相等，并且△ABP 为等腰三角形，这样的不同的点P 的个数为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．51999年全国初中数学竞赛答案: D10. 设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a b a b a +++=，则它的内角∠A 、∠B 的关系是（ ）。
初三数学竞赛试题及答案精选
全国初中数学联赛试题第一试一、选择题1．已知a＝355,b＝444,c＝533,则有［ ]A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜bA．1 B．2 C．3 D．43．如果方程(x－1)(x2－2x－m)＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是4．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［ ]A．62πB．63π C．64πD．65π5．设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S △CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则[ ]A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定6．设实数a、b满足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，则[ ]A．a＞0且b＞0 B．a＜0且b＞0C．a＞0且b＜0 D．a＜0且b＜0二、填空题1．在12，22，32…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____个。
4．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2＝AC·BC，则∠CAB＝______．第二试一、已知∠ACE＝∠CDE＝90°，点B在CE上，CA＝CB＝CD，经A、C、D三点的圆交AB于F（如图）求证F为△CDE的内心。
二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数理由。
三、试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。
初中数学联赛参考答案第一试一、选择题1．讲解：这类指数幂的比较大小问题，通常是化为同底然后比较指数，或化为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有c＝(53)11＝12511＜24311＝(35)11＝a＜25611＝(44)11＝b。
选C。
利用lg2＝0.3010，lg3＝0.4771计算lga、lgb、lgc也可以，但没有优越性。
2．讲解：这类方程是熟知的。
先由第二个方程确定z＝1,进而可求出两个解：(2，21，1)、(20，3，1)．也可以不解方程组直接判断：因为x≠y(否则不是正整数)，故方程组①或无解或有两个解，对照选择支，选B。
全国初中数学联赛试题及答案(修正版)
O1A B O2全国初中数学联赛试题一、选择题1、已知a＝2－1，b＝22－6，c＝6－2，那么a，b，c的大小关系是【】(A) a＜b＜c (B) b＜a＜c (C) c＜b＜a(D)c＜a＜b2、若m2＝n＋2，n2＝m＋2(m≠n)，则m3－2mn＋n3的值为【】(A) 1 (B)0 (C)－1 (D)－23、已知二次函数的图象如图所示，并设M＝|a＋b＋c|－|a－b＋c|＋|2a＋b|－|2a－b|，则【】(A)M＞0 (B)M＝0 (C)M＜0 (D)不能确定M为正、为负或为04、直角三角形ABC的面积为120，且∠BAC＝90º，AD是斜边上的中线，过D作DE⊥AB 于E，连CE交AD于F，则△AFE的面积为【】(A)18 (B)20 (C)22 (D)245、圆O₁与O₂圆外切于点A，两圆的一条外公切线与圆O₁相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则圆O₁与圆O₂的半径之比为【】(A)2：5 (B)1：2 (C)1：3 (D)2：36、如果对于不小于8的自然数n，当3n＋1是一个完全平方数是，n＋1都能表示成个k 完全平方数的和，那么k的最小值为【】(A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、填空题P ′QA B C RP 7、 已知a ＜0，ab ＜0，化简，1 │a －b －32│－│b －a ＋3│＝____________8、 如图，7根圆柱形筷子的横截面圆的半径均为r ，则捆扎这7根筷子一周的绳子和长度为___________9、 甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有8元和9元，若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 件10、 设N ＝23x ＋92y 为完全平方数，且不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对 （x ，y ）共有 ____对三、解答题11、已知：a ，b ，c 三数满足方程组⎩⎨⎧=+-=+482882c c ab b a ，试求方程bx 2＋cx －a ＝0的根。
初中联赛数学试题及答案
初中联赛数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知一个数列的前三项为1，2，4，且每一项都是前一项的2倍，那么这个数列的第5项是多少？A. 8B. 16C. 32D. 64答案：C2. 一个圆的半径为5厘米，那么它的周长是多少？A. 31.4厘米B. 50.24厘米C. 62.8厘米D. 100.48厘米答案：B3. 如果一个三角形的两边长分别为3和4，那么第三边长的取值范围是？A. 1到7之间B. 1到7（不包括1和7）C. 大于1且小于7D. 大于1或小于7答案：C4. 一个长方形的长是宽的2倍，如果宽增加2厘米，长减少2厘米，面积不变，那么原来的长方形的长和宽分别是多少？A. 4厘米和2厘米B. 6厘米和3厘米C. 8厘米和4厘米D. 10厘米和5厘米答案：B5. 下列哪个分数是最简分数？A. 3/6B. 4/8C. 5/10D. 7/14答案：A6. 一个数的平方等于它本身，这个数是多少？A. 0B. 1C. 0或1D. 以上都不是答案：C7. 一个等腰三角形的底角是45度，那么顶角是多少度？A. 90度B. 45度C. 60度D. 30度答案：A8. 一个数的绝对值是5，那么这个数可能是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 以上都不是答案：C9. 一个数除以1/2等于它本身乘以2，这个数是多少？A. 0B. 1C. 2D. 任何数答案：D10. 一个数的相反数是-3，那么这个数是多少？A. 3B. -3C. 0D. 6答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 一个数的立方等于它本身，这个数可能是______。
答案：0，1，-12. 如果一个数的相反数是它本身，那么这个数是______。
答案：03. 一个数的绝对值是它本身，这个数可能是______。
答案：非负数4. 一个等边三角形的内角和是______度。
答案：1805. 一个数的平方根是它本身，这个数可能是______。
全国数学联赛初中数学试题及答案打印版
2 0 13 年全国初中数学竞赛试题班级姓名成绩供稿人：李锦扬一、选择题〔共5小题,每题7分,共35分.每道小题均给出了代号为A, B, C, D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里 ,不填、多填或错填都得0 分〕1 .设非零实数a , b , c满足 a 2b 3c 0那么"b C聚的值为(). 2a 3b 4c 0, a2 b2 c2(A) 2 (B) 0 (C) 1 (D) 12.a , b, c是实常数,关于x的一元二次方程ax2 bx c 0有两个非零实根Xi, X2,那么以下关于X的一元二次方程中,以口,4X1 x2为两个实根的是().222 2 222 2(A) c x (b 2ac)x a 0 (B) c x (b 2ac)x a 0(C) c2x2(b22ac)x a20 (D) c2x2(b22ac)x a203.如图,在Rt^ABC中, O是斜边AB的中点,CDLAB垂足为D, DH OC垂足为E.假设AD DB CD的长度都是有理数,那么线段OD OE DE AC的长度中,不一定是有• • •理数的为〔〕.〔A〕 OD 〔B〕 OE(D) AC4.如图,△ ABC的面积为24,点D在线段AC上,点F 在线段BC的延长线上,且BC 4CF , DCFE是平行四边形,那么图中阴影局部的面积为〔〕.〔A〕 3 〔B〕 4(C) 6 (D) 85.对于任意实数x, y, z,定义运算“ *〞为:3 3 - 2 2 33x y 3x y xy 45x y --------------- 3 -------------------- 3-------- ,x 1 y 1 60且xyz x y z,那么2021 2021 L 3 2 的值为().〔第3题〕〔第4题〕(C) DE6 .设a ® b 是a 2的小数局部,那么〔b 2〕3的值为.7 .如图,点D, E 分别是△ ABC 勺边AC AB 上的 松 日百点,直线Bg CE 交于点F,ACDF ABFE ABCF 〔弟7屉〕 的面积分别是3, 4, 5,那么四边形AEFD 勺面积是.8 .正整数 a, b, c 满足a b 2 2c 2 0 , 3a 2 8b c 0 ,那么abc 的最大值为.9 .实数a, b, c, d 满足：一元二次方程x 2 cx d 0 的两根为a, b, 一元二次方程x 2 ax b 0的两根为c, d,那么所有满足条件的数组〔a,b c d 〕为.10 .小明某天在文具店做志愿者卖笔,铅笔每支 售4元,圆珠笔每支售7元.开始时他有铅笔和圆珠笔共 350支, 当天虽然笔没有全部卖完,但是他的销售收入恰好是 2021元.那么他 至少卖出了支圆珠笔.三、解做题11 .如图,抛物线y ax 2 bx 3,顶点为E,该抛物线与x 轴交于 A, B 两点,与y 轴交于点C,且OB= OC= 3OA 直线1 一 "一一 〔第 11 题y - x 1与y 轴父于点D.3求/ DBC/ CBE12 .设△ ABC 的外心,垂心分别为O, H ,假设B, C, H, O 共圆,对于所有的△ ABC,求BAC 所有可 能的度数.13 . 设a, b, c 是素数,记 xbca, ycab, zabc, 当 z 2y,五百2 时,a, b, c 能否构成三角形的三边长？证实你的结论.14 .如果将正整数 M 放在正整数 m 左侧,所得到的新数可被 7 整除,那么称 M 为m 的“魔术数〞〔例如,把 86放在415的左侧, 得到的数86415能被7整除,所以称86为415的魔术数〕.求正整 数n 的最小值,使得存在互不相同的正整数 a1, a 2,…,an,满足对任 意一个正整数 m 在即a"…,品中都至少有一个为 m 的魔术数.(A)607 967、填空题(B)1821 967(D)16389 9679672021全国数学联赛试题参考答案 一、选择题i .设非零实数a, b, c 满足a ,3c 0；那么a b b c c a 的值为(). 2a 3b 4c 0, a 2 b 2 c 2(A)1(B) 0 (C) 1(D) 122【答案】A【解答】由得a b c (2a 3b 4c) (a 2b 3c) 0 ,故21.2 .2 2ab bc ca1 b c) 0 . 于是 ab bc ca-(ab c ), 所以 - -- 2——2 一 .2a 2b 2c 222.a, b, c 是实常数,关于x 的一元二次方程ax 2 bx c 0 有两个非零实根X1,X2,那么以下关于X 的一元二次方程中,以口,3X 1x 2为两个实根的是().(A) c 2x 2 (b 2 2ac)x a 2 0 (B) c 2x 2 (b 2 2ac)x a 2 0 (C)c 2x 2 (b 2 2ac)xa 2(D) c 2x 2(b 2 2ac)xa 2【解答】由于ax 2 bx c 0是关于x 的一兀二次方程,x 〔 x 2—, x 〔x 2 c , 且 x 〔x 2 0 , 所 以 aa1(% x 2)2 2x 1x 2 b 2 2ac 1 1a 2~2 2~22) ~ ~2 ~2 )x 24x 2cx 1 x 2c(a 那么a 0.因c 0 , 且为 工 ~2x于是根据方程根与系数的关系,以』为两个实根的一元二次方程是 x 2 b —22acx — 0 即 c 2x 2 (b 2 2ac)x a 2 0 . c c3.如图,在RtA ABC^, O 是斜边AB 的中 点,CD! AB,垂足为D, Da OC 垂足为E.假设AD DB CD 的长度都是有理数,那么线段 OD OE DE AC 的长度中,不一定 是有理数的为(). • • •(A) OD (B) OE (C) DE(D) AC(第3题)【解答】因AD 所以,.与.氏OC=DB CD的长度都是有理数,AD BD是有理数.于是,OD2〔第3题做题〕=OA- AD是有理数.由RS DOEs2 RtA COD,知OE OD-, OC ,DE变坨都是有理数,而AC= /AD-AB不一定是OC有理数.4.如图,△ ABC的面积为24,点D在线段AC上,点F在线段BC的延长线上,且面积为〔〕.〔A〕 3 BC 4CF , DCFE是平行四边形,那么图中阴影局部的(B) 4〔第4题〕〔C〕 6【答案】【解(D) 8C由于DCF里平行四边形,所以DE/ CF连接CE 由于DE/ CF,即DE/ BF,所以$△DEF S ADEC因此原来阴影局部的面积等于^ ACE勺面积.连接AF,由于EF/ CD 即EFF/ AC 所以S AACE=S A ACF.由于BC 4CF ,所以S A AB C=4S X ACF.故阴影局部的面积为6.5.x, y, z,〔第4题做题〕(A) z x6073 2 2 33x y 3x y xy 453x 1 y 1那么202120211821(B)——967602的值为().5463(C)——967(D)16389967 C设20212021 L2021 2021 L 4 43mm ,那么3 3 3m2 9 m 27 45于是2021 2021 L 3 2 3m23 933m 1 64 602 3 910322 93 609 ,32 45 5463967、填空题6 .设a 语,b 是a 2的小数局部,那么(b 2)3的值为. 【答案】【解答 (b 2)3 (39)3 7.如图, 91 由于1a2 a 2 3, 故ba 2 2&2, 因此9 .点D, E 分别是△ ABC 勺边AG AB 上的点,直线Bg CE 交于点F,△ CDF ABFE ABCF 的面积分别是3, 4, 5,那么四边形AEFD 勺面积是.［答案］理(第7题)13【解答】如图,连接AF,那么有:S AEF 4 S AEF S BFE BFS AFD S AFD 3 S AEF解得S AEF 警13 S AFDFDS AFD S CDFCF S AEFFEc96 SAFD —— •13s BCFS GDFS BCF SBEF5 3 '54,(第7题做题)所以,四边形AEFD 勺面积是8 .正整数 a, b, c3a 28b c 0,那么abc 的最大值为. 204* 13满足ab 2【答案】2021【解答】由a b 2 2c 2 b 假设 假设假设2 6a 21,那么 2,那么 3,那么66 .由a 为正整数及 8b 6a 2 c 0消去C, 并整理得 a <66,可得 1wa03.28 28 28(ii )假设b 5,那么 59,无正整数解； 40,无正整数解； 9,于是可解得b 11, c 61 ,从而可得abc 3c 13,从而可得abc 3 b 11 5 5 . 61 2021； 13 195.综上知abc 的最大值为2021. 9.实数a, b, c, d 满足：一元二次方程x 2cx d 0的两根为a,b, 一元二次方程x 2 ax b 0的两根为c, d,那么所有满足条件的数组 (a, b c d)为.【答案】(1 2,1, 2), (t, 0 t, 0) (t 为任意实数)a b c, 【解答】由韦达定理得abd c d a,cd b.由上式,可知b a c d .假设bd0,那么 ad1,cPl,进而 b d a c 2 . b d假设 b d 0 ,那么 c a ,有(a, b c d) (t, 0 t, 0) (t 为任意实数). 经检验,数组(1, 2,1, 2)与(t, 0 t, 0)( t 为任意实数)满足条件.10 .小明某天在文具店做志愿者卖笔,铅笔每支售 4元,圆珠 笔每支售7元.开始时他有铅笔和圆珠笔共 350支,当天虽然笔没 有全部卖完,但是他的销售收入恰好是 2021元.那么他至少卖出了支 圆珠笔.【答案】207【解答】设x, y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数,那么4x 7y 2021, x y 350,所以 x - (503 2y) 口, 4 4于是上^是整数.又2021 4(x y) 3y 4 350 3y , 4 所以y 204 ,故y 的最小值为207,此时x 141 . 三、解做题 11 .如图,抛物线y ax 2 bx 3,顶点为E,该抛物线与x 轴交于 A, B 两点,与y 轴交于点C,且O 氏OO 30A 直线 『1 _ (第11题) y - x 1与y 轴交于点D.3求/ DBC/ CBE【解答】将x 0分别代入y1x 1 , y ax 2 bx 33知,D (0, 1), q0, 3),所以 B(3 , 0) , A ( 1 , 0).直线 y 1x 1 过点 B. 3将点C (0 , 3)的坐标代入y a(x 1)(x 3),得a 1 .―(第11题做题)............ 5分抛物线y x 2 2x 3的顶点为E (1 , 4).于是由勾股 定理得BC= 3", CP 灰,BE= 26.由于BC+CE= B& 所以,△ BCE 为直角三角形, BCE 90 .............. 10分因止匕 tan CBE=CE =1,又 tan / DBOOD -,贝fj/ DBG= CBE .CB 3OB 3'............. 15分所以, DBC CBE DBC DBO OBC 45 .............. 20分12.设^ ABC 的外心,垂心分别为 O, H ,假设B, C, H, O 共圆,对 于所有的^ ABC,求BAC 所有可能的度数.【解答】分三种情况讨论.〔i〕假设^ ABC为锐角三角形.由于BHC 180 A BOC 2 A,所以由BHC BOC,可得180 A2A,于是 A 60 ............. 5分〔第12题做题〔ii〕〕〔第12题做题〔i〕〕〔ii 〕假设△ ABC 为钝角三角形.当 A 90时,因为BHC 180 A, BOC 2 180 A ,所以由BHC BOC 180 ,可得 3 180 A 180 ,于是 A 120 .............. 10分当 A 90时,不妨假设 B 90 ,由于BHC A, BOC 2 A,所以由BHC BOC 180 ,可得3 A 180 ,于是 A 60 .............. 15分〔iii 〕假设^ ABC为直角三角形.当A 90时,由于.为边BC的中点,B, C, H, O不可能共圆,所以A不可能等于90 ;当A 90时,不妨假设 B 90 ,此时点B与H重合,于是总有8, C, H, O 共圆,因此 A 可以是满足0 A 90的所有角.综上可得,A 所有可能取到的度数为所有锐角及 120 ............. 20分13 .设a, b, c 是素数,记 x bca, y cab, z abc,当 z 2 y, .X J 2时,a, b, c 能否构成三角形的三边长？证实你的 结论.【解答】不能.依题意,得 a 1( y z), b - (x z), c 1(x y) 2 2 2 由于 y z 2 所以 a -(y z) 1(z 2 z) zz- 2 22又由于z 为整数,a 为素数,所以z 2或3,当 z 2时,y z 2 4, x (百 2)2 16 .进而, c 是素数矛盾；当z 3时,a b c 0,所以a, b , c 不能构成三角形的三边长.20分14 .如果将正整数 M 放在正整数 m 左侧,所得到的新数可被 7 整除,那么称 M 为m 的“魔术数〞(例如,把 86放在415的左侧, 得到的数86415能被7整除,所以称86为415的魔术数).求正整数n 的最小值,使得存在互不相同的正整数 为,a 2,…,a n,满足对任 意一个正整数 m 在即a"…,品中都至少有一个为 m 的魔术数.【解答】假设nW 6,取m 1, 2,…,7,根据抽屉原理知, 必有a b a 2,…,a n中的一个正整数 M 是i, j(1W i V j W 7)的公共的 魔术数,即 7|( 10M i ), 7|( 10M j ).那么有 7|( j i ),但 0Vj i06,矛盾.故 n>7............. 10分又当a2,…,第为1, 2,…,7时,对任意一个正整数 m 设 其为k 位数(k 为正整数).那么10k i m (i 1, 2,…,7)被7除的余数 两两不同.假设不然,存在正整数i, j(1&iVjW7),满足7|[( 10k j m) (10k i m)],即 7110k (j i),从而 7|(j i),矛盾.故必存在一个正整数i (iWi07),使得7|( i0k i m),即i 为m 的 魔术数. 所以,n 的最小值为7.a 3..............10分 b 9, c 10,与 b ,.............15分............ 20分。
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2016年全国初中数学联合竞赛试题
（初二年级）
第一试
一、选择题（本题满分
42分，每小题7分）
1. 用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知
3
21-=
t ，a 是t 的小数部分，b 是-t 的小数部分，则=-a b 1
21
A.2
1
B.
2
3 D.3
2. 三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元
购买上述图书30本，那么不同的购书方案共有
种 种 种 种
3. 如图，P 为?ABC 内一点，︒=∠70BAC ，︒=∠120BPC ，BD 是ABP ∠的平
分线，CE 是ACP ∠的平分线，BD 与CE 交于F ，则=∠BFC A.︒85 B.︒90 C.︒95 D.︒100
4. 记()2
2222211
113121121111++
++++++++
=n n S n Λ， P
A
E
D
则
=20162016
S A.2017
2016
B.2016
2017
C.2018
2017
D.
2017
2018
5. 点D 、E 、F 分别在?ABC 的三边BC 、AB 、AC 上，且AD 、BF 、CE 相交于一点M ，若
5=+CF AC BE AB ，则=MD AM
A.
B. C. D.
6. 设a,b,c,d 都是正整数，且a 5=b 2，c 3=d 4,a -c =319,则
=-d c a b 2
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1. 如图，已知四边形ABCD 的对角互补，且DAC BAC ∠=∠，AB=15，AD=1
2.过顶点C 作AB CE ⊥于点E ，则
._______=BE AE
2. 已知整数a ,b ,c 满足不等式c b ab c b a 20282112222++<+++，
则a +b -c =___________.
3. 若质数
p ,q 满足：111043<+=--q p p q ，，则pq 的最大值
2
53
2
7
2
为____________.
4. 将
5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列
的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中个数之和，设这5个和的最小值为M ，则M 的最大值为________.
第二试
一、（本题满分20分）
如图，ABCD 为平行四边形，E 为BC 的中点，AE DF ⊥于F ，H 为DF 的中点，证明：DF CH ⊥.
二、（本题满分25分）
设互不相等的非零实数a ,b ,c 满足a
c c b b a 2
22
+
=+=+，求2
2
2
222⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+a c c b b a 的值.
A
B
C
D
E
F H
三、（本题满分25分）
已知a ,b 为正整数，求42322---=b ab a M 能取到的最小正整数值.
答案与解
第一试 一、选择题
1.
[][]2
1
13132413
2432134
332=
---=⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=---=-=-=<<∴+=原式，t t b t t a t t 2.
种方案
，有本
设三种书分别买11100010022010020151030,,≤≤⎩⎨⎧≥+=≥-=⇒⎩⎨
⎧=++=++x x z x y z y x z y x z y x
3. 略
4.
()()()()2017
2018
1
2
1211111113121121111
1111111121112111121211111222
22
22
22=
++=
⇒++=+-+=+-+++-++-+=+-
+=+++⨯+⨯-⎪⎭
⎫
⎝⎛+=++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++-++=+++原式n n n S n n
n n n n n S k k k k k k k k k k k k k k k k k n n Λ5.
()3
3525,111111==+⋅⇒=++⇒=+⎩⎨⎧⋅=⋅==+=+=+=+=+=+=+=+=∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆t S S S t S S
S S CF AC BE AB S t S S t S t MD AM S S
S S CF AF CF CF AF CF AC S S S S BE AE
BE BE AE BE AB BMC BMD DMC BMC AMB BMC AMC BMD
AMB DMC AMC BMC
AMB BFC AFB BMC AMC BEC AEC 设 6.(
)(
)
17
3
201129319319,,,34
452
2
4
2
3452124310
25=-=-=⇒⎩⎨⎧==⇒⨯==-+⇒=-====⇒⎪⎩⎪⎨⎧====n m n n m m n m n m n m n m m d m c m b m a n
d c m b a 原式设
二、填空题
1.略
2.
()()2
10
84011084720
211202822
22
222=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧===⇒<--+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-<+---++原式c b a c b b a c b ab c b a 3.
A B C
D E
F
M
()1007
5319,6523432,3,5,7,11,13,17,19,23291114443=====-==<⇒<-⇒-=原式时，舍；时，取最大值，当原式p q p q q q q q q q q p
4.()103
3215=++⨯=
M
第二试
一、略（提示：倍长AE 至G ，连GC ）
二、
()()()()()()
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()6
328:46:65:546252422
8
:32132221222222
222633222===⇒=⇒-=⇒---=---⎪⎩
⎪
⎨⎧-=---=---=--⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+===+
=⨯⨯⎪⎩
⎪⎨⎧-=--=--=--=-⇒+=+⇒+=+k k k abc k b c a b c a abc a c c b b a k b c a b a k a b c a c k c a b c b k ca ka ac kc ab kb k b
a abc
b a a
c ab a c c b ac c b b a bc c b c b abc b c b c abc c
bc b ab 原式设同理，ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
三、
()()()
2
14mod 334,34412331
24mod 152145452235252312
222222=≠∴≡++=-+=-+=≡+∴+=+=+=-++=-=M M k k q n ab a n a b p m b m b b a ab a b b ab a M 矛盾设，设为偶数
为奇数，故为奇数为奇数，得由，则若。