广东省深圳市南山区高三数学期末考试(文科)

2009年深圳市南山区高三期末考试数 学（文科）命题人袁作生本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损。

之后务必用黑色签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、班级、姓名及座位号，在右上角的信息栏填写自己的考号，并用2B 铅笔填涂相应的信息点．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。

不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。

不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，不折叠，不破损。

考试结束后，将答题卡交回．参考公式： 如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1、已知集合{}31M x x =-<<，{}3N x x =≤-，则MN =A 、∅B 、{}3x x ≥-C 、{}1x x ≥D 、{}1x x <2、要从其中有50个红球的1000个形状相同的球中，采用按颜色分层抽样的方法抽取100个 进行分析，则应抽取红球的个数为A 、5个B 、10个C 、20个D 、45个 3、已知复数1z i =+，i 为虚数单位，则2z =A 、 22i +B 、 2iC 、22i -D 、2i - 4、已知角α的终边经过点(4,3)P m --，且4cos 5α=-，则m 的值为A 、1B 、1-CD 、5、已知命题:p x R ∀∈，sin 1x ≤，则Ａ、:p x R ⌝∃∈，sin 1x ≥ Ｂ、:p x R ⌝∀∈，sin 1x ≥ Ｃ、:p x R ⌝∃∈，sin 1x >Ｄ、:p x R ⌝∀∈，sin 1x >6、函数2x y e x =+-的零点个数为Ａ、0个Ｂ、1个 Ｃ、2个 Ｄ、3个7、已知向量()1,1=a ，()2,n =b ，若+=⋅a b a b ，则n =A 、3-B 、1-C 、1D 、3 8、等比数列{}n a 的各项均为正数，且16,464==a a ，则公比=qA 、4-B 、2-C 、4D 、2 9、在电脑游戏中，“主角”的生命机会往往被预先设定.如某枪战游戏，“主角”被设置生命6次，每次生命承受射击8次（即被击中8次就失去一次生命机会），假设射击为单发射击，如右图是为“主角”耗用生命机会的过程设计的一个程序框图，请问判断框内应该填A 、6i <B 、8i <C 、 48i >D 、48i < 10、定义：设M 是非空实数集，若a M ∃∈，使得对于x M ∀∈，都有()x a x a ≤≥，则称a 是M 的最大（小）值. 若A 是不含零的 一个非空实数集，且0a 是A 的最大值，则A 、当00a >时，10a -是集合{}1x x A -∈的最小值B 、当00a >时，10a -是集合{}1xx A -∈的最大值C 、当00a <时，10a --是集合{}1x x A --∈的最小值 D 、当00a <时，10a --是集合{}1x x A --∈的最大值第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分，其中14～15是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．把答案填在答题卡上．．．．．．．．．． 11、以原点(0,0)为圆心，且与直线20x y +-=相切的圆的方程为 ． 12、如图，海平面上的甲船位于中心O 的南偏西30，与O 相距10海里的C 处.现甲船以30海里/小时 的速度沿直线CB 去营救位于中心O 正东方向20海里的B 处的乙船，甲船需要 小时到达B 处.13、设ABC ∆的三边长分别为a 、b 、c ，ABC ∆的面积为S ，内切圆半径为r ，则北西 东南2Sr a b c=++.类比这个结论可知：四面体A BCD -的四个面的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，内切球半径为R ，四面体A BCD -的体积为V ，则R = ．14、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点P 为曲线3ρ=上任一点，点Q 为曲线cos 4ρθ=上任一点，则P Q 、两点间距离的最小值 ．15、（几何证明选讲选做题）设A 是圆O 外的一点，过A 作直线与圆O 交于B 、C 两点，若60AB AC ⋅=，8OA =，则圆O 的半径等于 .三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤． 16、（本小题满分12分）已知函数()cos cos(),2f x x x x R π=++∈（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调增区间； （3）若3()4f α=，求sin 2α的值. 17、（本小题满分12分）在同一时间段里，有甲、乙两个气象站相互独立地对天气进行预报，若甲气象站对天气预报的准确率为0.8，乙气象站对天气预报的准确率为0.95，在同一时间段里，求： （1）甲、乙两个气象站对天气预报都准确的概率； （2）至少有一个气象站对天气预报准确的概率. 18、（本小题满分14分）设函数()x f x xe =-.（1）求()f x 的单调区间，并判断它在各区间上是增函数还是减函数； （2）求()f x 在[2,0]-上的最大值与最小值. 19、（本小题满分14分）已知四棱柱1111ABCD A BC D -的三视图如 图所示.（1）画出此四棱柱的直观图，并求出四棱柱的 体积；（2）若E 为1AA 上一点，//EB 平面1ACD ， 试确定E 点位置，并证明EB ⊥平面11AB C D .正视图侧视图2AB D20、（本小题满分14分）已知在平面内点P到两定点12(F F 的距离之和为4. （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为C ，若直线:l y ex m =-+（其中e 为曲线C 的离心率）与曲线C 有两个不同的交点A 与B 且2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点）,求m 的值. 21、（本小题满分14分）如图是一个面积为1的三角形，现进行如下操作. 第一次操作：分别连结这个三角形三边的中点，构成4个三角形，挖去中间一个三角形（如图①中阴影部分所示），并在挖去的三角形上贴上数字标签“1”；第二次操作：连结剩余的三个三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形（如图②中阴影部分所示），同时在挖去的3个三角形上都贴上数字标签“2”；第三次操作：连结剩余的各三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形，同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“3”；……，如此下去.记第n 次操作后剩余图形的总面积为n a .（1）求1a 、2a ；（2）欲使剩余图形的总面积不足原三角形面积的14，问至少经过多少次操作? （3）求第n 次操作后,挖去的所有三角形上所贴标签上的数字和n S .2009年南山区高三期末考试①②数学（文科）参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共5小题，每小题5分，满分20分． 11．222x y += 12 13．12343V S S S S +++ 14．1 15．2 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象和性质、三角恒变形等基础知识，考查运算求解能力）解：解：x x x x x f sin cos )2cos(cos )(-=++=π……………（1分）)sin 22cos 22(2x x -= )4cos(2π+=x ……………（3分）（1）)(x f 的最小正周期为ππ212==T ； ……………（6分） （2）由2224k x k πππππ+≤+≤+ ， Z k ∈ ……………（7分）得372244k x k ππππ+≤≤+， Z k ∈ ……………（8分） )(x f 的单调增区间为37[2,2],44k k k Z ππππ++∈ ……………（9分） （3）因为43)(=αf ，即3cos sin 4αα-= ……………（10分）169cos sin 21=-αα ……………（11分）7sin 216α∴= ……………（12分）17．（本小题满分12分）（本小题主要考查独立重复试验等基础知识，考查或然与必然的数学思想与方法，以及运算求解能力） 解：解：记“甲气象站对天气预报准确”为事件A ，“乙气象站对天气预报准确”为事件B ，则 ……………（1分） （1）甲、乙两个气象站对天气预报都准确的概率为 ()()()0.80.950P A B P A P B ==⨯= ……………（6分） （2）至少有一个气象站对天气预报准确的概率为1()()1(10.8)(10.95)0.99P A P B -=---= ……………（11分） 答：（1）甲、乙两个气象站对天气预报都准确的概率为0.76.（2）至少有一个气象站对天气预报准确的概率为0.99. ……………（12分） 18．（本小题满分14分）解：（1）()(1)x x x f x e xe x e '=--=-+ ……………（3分）令()0f x '=，解得1x =- ……………（4分） 当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表：7分）即()f x 的单调区间为(,1)-∞-和(1,)-+∞， 在(,1)-∞-上，()f x 是增函数，在(1,)-+∞上，()f x 是减函数. ……………（9分）（2）因为22(2)f e -=，1(1)f e-=，(0)0f =， 所以()f x 在[2,0]-上的最大值是1e，最小值是0. ……………（14分）19．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间中线面关系，空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力） （1）（参考右下图——图略）； ……………（3分）1ABCD V S AA =⋅= ……………（6分）（2）作//EF AD 交1A D 于F ，连CF ，则BCFE 共面//EB 平面1ACD ，//BE CF ∴，又//EF BC ，BCFE ∴为平行四边形. 12EF BC AD ∴==，E ∴为1AA 的中点. ……………（10分）在矩形11AA B B 中，2AB =，AE = 1AE ABAB BB ∴=，1AB B ABE ∴∆∆，1AB B ABE ∴∠=∠，1BE AB ∴⊥又1AD AA ⊥，AD AB ⊥，1AA AB A =AD ∴⊥平面11AA B B ，BE ⊂平面11AA B B AD BE ∴⊥， 1A B A D A= BE ⊥平面11AB C D . ……………（14分）20、（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆的概念、椭圆的方程即直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查待定系数法、数形结合的数学思想与方法，以及运算求解能力）解：（1）12124(4)PF PF F F +=<，∴点P 的轨迹是以12,F F 为焦点，长轴长为4的椭圆. ……………（2分）设(,)P x y ，则轨迹方程为22221(0)x y a b a b+=>>，……………（3分）2,a c ∴=.又222,1b a c b =-∴= ……………（5分）∴点P 的轨迹方程为2214x y +=. ……………（6分）（2）设11(,)A x y 、22(,)B x y，2c e a ==，∴直线:2l y xm =-+……（7分）由2214y m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得224()4x m ++=，整理得2210xm +-= ……（8分）222()4(1)40m m ∴∆=--=-> ……………（9分）21212,1x x xx m +=-……………（11分）12121212()()22OA OB x x y y x xx m x m ⋅=+=+-+-+212127()42x x x x m =-++227(1)42m m m =--+25744m =- …（12分）又2OA OB ⋅=，257244m ∴-=，m ∴=.代入①得0∆>，满足题意，∴所求实数m 的值为 ……………（14分） 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列、不等式及其性质等基础知识，化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力）解：（1）求134a =,2916a = ……………（4分,每个2分） （2）因为｛n a ｝是以34为首项,以34为公比的等比数列,所以n a =3()4n…………（6分）由31()44n <,得134n n -< …………（7分）因为102132435434,34,34,34,34>>>><,所以当n=5时, 31()44n < ……（8分）所以至少经过5次操作,可使剩余图形的总面积不足原三角形面积的14……（9分）（3）设第n 次操作挖去n b 个三角形,则｛n b ｝是以1为首项,3为公比的等比数列, 即13n n b -=…………… （11分）所以所有三角形上所贴标签上的数字的和n S =111233n n -⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ……（13分）则3n S =213233nn ⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯,两式相减,得2n S -=21(1333)3n nn -+++⋅⋅⋅+-⨯=3132n n n --⨯, 故n S =11()3244nn -⨯+ (14)。