一类既约有理真分式的分解方法

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有理分式拆分技巧

有理分式拆分技巧
一个真分式，分子的次数 \uc 分母的次数。

通常第一步会先把分母进行因式分解，然后按照那个因式分裂为小分式对于小分式，分子的次数总会比分母的次数少1次方：deg(分子) = deg(分母) - 1
例如分母是二阶ax^2+bx+c，则分子为ax+b
若分母就是一阶ax+b，则分子为常数a
分解步骤总览：
1.辨别真假分式.
2.真分式分解出待定式.
3.未定系数解方法: 实根法(一次式), 复根法(二次式), 微分法(一次n重), 极限法
(一、二次的二重)
1. 判别真假分式
形例如 [公式] 的分式, 若分子指数等同于或低于分母, 则必须化成真分式
化简方法: 做多项式除法
2. 真分式水解
3. 待定系数求解
并无特征——反解方程法
将各项通分合并, 将分子与原式的分子做系数比对, 写出关于待定系数的方程, 进行求解
多个相同的一次式, 且线框因式——实根代入法
同一个因式的n重式——求导法
针对多个相同线框二次因式部分——复根代入法
一次或二次式的二重因式——极限法
(1) 采用实根、复根法求出来线框因式,多重因式的二次幂项, 剩二重因式的一次幂因式.
(2) 等式两边乘以 [公式] 的某次幂, 使得未分解式的分子分母的最高次幂同阶,趋于无穷的极限为非零常数.
(3)解方程.
(4)若为二次式, 待定系数为 [公式] 的, 只能求出 [公式] , 之后将已知的系数全部带入原式, 再令 [公式] 为一个方便运算的常数, 解出方程即可得到b.。

高数有理分式积分法分解

2
4q p2
4q p2
6
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求四种类型的不定积分：
(4)
(x2
Ax B px
q)k
dx
A 2
d(x2 p (x2 p x
x q) q)k
(B Ap )dx 2
[(x p )2 (q p2 )]k
2 t x 4p
2
A (x2 p x q)k1(B Ap )
A (x a)k
dx
A (x a)k1 C k 1
(k 2,3, 4,)
(3)
Ax B x2 p x q
dx
A 2
d
(x2 p x q) x2 p x q
(B Ap )dx 2
(x p)2 (q p2 )
2
4
A ln(x2 p x q) 2B AP arctan 2x p C
(
x
1 1)2
x(
1 x
1)
1 (x 1)2
x (x 1) x(x 1)
(x
1 1)2
1 x 1
1 x
9
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(2) 用赋值法
x2
x3 5x 6
x3 (x 2)(x 3)
A x2
B x3
A (x 2) 原式
x 2
x3 x3
x2
5
B (x 3) 原式
3
3
1 arctan cos2 x C
3
3sin x
d(t
1 t
)
(t 1t )2 3
26
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2. 简单无理函数的积分

分式运算的几种技巧

分式运算的几种技巧分式是一个数值表达式，其中包含有数字和分数，并且可以进行各种数学运算，例如加法、减法、乘法和除法。

下面将介绍一些分式运算的技巧。

1.化简分式化简分式是将分子和分母中的公因式约简为最简形式的过程。

可以使用最大公约数来找到公因式。

例如，对于分式2/4，可以发现分子和分母都可以被2整除，所以可以约简为1/22.相同分母的分式相加或相减如果两个分式的分母相同，那么可以将它们的分子相加或相减，并保持分母不变。

例如，对于分式1/3和2/3，由于它们的分母相同，所以可以将它们的分子相加得到3/3，即13.分子和分母乘以相同的数可以将分子和分母同时乘以相同的数，使分式的整个值保持不变。

这种操作常用于消除分式中的分数。

例如，对于分式2/3，可以将分子和分母同时乘以3，得到分式6/94.反倒数分式的倒数是指将分子和分母互换位置。

例如，对于分式3/4，它的倒数是4/35.分式的乘法两个分式相乘时，可以先将分子和分母分别相乘，然后将所得结果作为新分子和新分母。

例如，分式2/3乘以3/4等于(2*3)/(3*4)=6/126.分式的除法两个分式相除时，可以通过将第二个分式取倒数，然后进行乘法运算。

即分式a/b除以c/d等于(a/b)*(d/c)=(a*d)/(b*c)。

7.分式的化简对于复杂的分式，可以通过先约简其中的分子和分母，然后再进行其他运算。

例如，对于分式10/15+5/6，可以先将分子和分母分别约简为2/3和5/6，然后再将它们相加。

8.分式运算的顺序在多个分式的运算中，需要按照先乘除后加减的顺序进行计算，可以用括号来改变运算的顺序。

例如，对于分式2/3+4/5-1/6，可以先计算4/5-1/6，再将结果与2/3相加。

这些技巧可以帮助我们在分式运算中更加迅速和准确地进行计算，提高数学问题的解决效率。

数学综合算式分式的运算与化简

数学综合算式分式的运算与化简数学中，分式是一种常见的运算形式，既可以运算，又可以化简。

本文将介绍数学中分式的运算规则与化简方法。

一、分式的基本概念分式是指由两个整数或两个多项式表示的算式，其中上部分称为分子，下部分称为分母。

通常用“÷”或“/”表示。

例如，a/b就是一个分式，其中a是分子，b是分母。

二、分式的加减运算1. 相同分母的分式相加减：如果两个分式具有相同的分母，那么可以直接将分子相加减，分母保持不变。

例如，对于分数1/4和2/4来说，它们的分母相同，可以直接将分子相加：1/4 + 2/4 = 3/4。

2. 不同分母的分式相加减：如果两个分式的分母不同，需要通过分母的最小公倍数将其转化为相同的分母，再进行加减运算。

例如，对于分数1/3和1/4来说，它们的分母不同。

最小公倍数为12，将它们转化为相同分母的分式：1/3 × 4/4 = 4/12，1/4 × 3/3 = 3/12。

现在，它们的分母相同了，可以直接将分子相加：4/12 + 3/12 = 7/12。

三、分式的乘除运算1. 分式的乘法：分式的乘法就是将分式的分子相乘，分母相乘，得到新的分式。

例如，对于分数2/3和4/5来说，它们的乘积为：2/3 ×4/5 = 8/15。

2. 分式的除法：分式的除法相当于将一个分式乘以另一个分式的倒数。

例如，对于分数2/3和4/5来说，它们的商为：2/3 ÷ 4/5 = 2/3 ×5/4 = 10/12 = 5/6。

四、分式的化简当分数的分子和分母有公因数时，可以进行化简。

化简的目的是将分数写成最简形式。

1. 化简分式的步骤：（1）寻找分子与分母的最大公因数。

（2）将分子与分母同时除以最大公因数。

例如，对于分数8/12来说，最大公因数为4，将分子和分母同时除以4，得到最简形式：8/12 ÷ 4/4 = 2/3。

2. 分式的化简要点：（1）分子和分母不能同时为奇数。

综合算式中的分式分式的运算与化简

综合算式中的分式分式的运算与化简综合算式中的分式——分式的运算与化简综合算式中的分式是数学中一种常见的数学表达形式。

在解决实际问题和进行数学运算时，我们经常会遇到需要进行分式的运算和化简。

本文将围绕这一主题展开讨论，重点介绍分式的基本运算和化简方法。

一、分式的基本运算在综合算式中，分式运算是一项重要的基础操作。

我们常见的分式运算包括加法、减法、乘法和除法。

以下将分别就这四种运算进行详细阐述。

1. 加法运算：分式加法是指将两个或多个分式相加的运算。

要进行分式加法，首先需要确保分母相同，然后将分子相加保持同分母。

最后，对结果进行化简，如果有必要，可以约分。

2. 减法运算：分式减法与加法类似，同样需要确保分母相同，然后将分子相减保持同分母。

最后，对结果进行化简和约分。

3. 乘法运算：分式乘法是指将两个或多个分式相乘的运算。

要进行分式乘法，直接将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母。

最后，对结果进行化简和约分。

4. 除法运算：分式除法是指将一个分式除以另一个分式的运算。

要进行分式除法，将被除数的分子乘以除数的分母，被除数的分母乘以除数的分子。

然后，对结果进行化简和约分。

二、分式的化简方法1. 因式分解法：对分子和分母进行因式分解，可以将分式化简为较简单的形式。

首先，我们需要找到分子和分母的公因式，然后将其约去。

这样可以使得分子和分母的形式更简洁。

2. 通分法：当分式的分母不同，需要进行运算时，可以利用通分的方法将分式的分母改为相同，然后再进行运算。

通过乘以合适的因子使得分母相同，最后进行运算。

3. 积化和差法：有时候分式的分子或分母是一个不完全平方数，可以利用积化和差的方法进行化简。

通过利用公式进行分子或分母的因式分解，得到一个平方数的差或者和，从而化简分式。

4. 公约公倍法：当分式需要约分时，我们可以利用公约数或者公倍数进行化简。

将分子和分母同时除以它们的最大公约数，可以使得分式变得更简洁。

总结：综合算式中的分式运算与化简是数学中的重要内容。

有理分式函数的部分分式分解

在高等数学中，常会遇到处理有理真分式函数经
Ｑ）等鲁６ｂｃ（０６ … ｘ１＋＋ｂ＋一
＝
ｎｌ —
பைடு நூலகம்
＋ｎ
、… ’ …
。 ’ … …
，。０圳ｍ。，＃ｂ０
’ ０
的不定积分、高阶导数、幂级数展开等问题，通常是利用待定系数法，将有理真分式函数分解为部分分式之和．由于待定系数法计算量大，且比较复杂，因此有必要寻求一个简便的计算系数的方法，对此问题文
子、母同除以ｂ，分。即化解为这种情形）．
１定理及其证明
引理已知多项式函数Ａ（＝（＋ｐ）ｘ＋ｇ（，一４））Ｐｑ＜０设ａａ为十ｐ．，ｘ＋ｑ＝０的共轭
虚根，Ｂ（）≠ ０则且ｎ．
Ａ‘ ａ（）＝０（ｉ＝１２ … ，一１，，ｒ）
ＡｂｔａｔＢｐｌｉｇｄｒａｉｅｃｌｕａｉｎｈｓｐｐｒｃｍｅｕｔｏｍｕａｗｔｈｃａｉｎｌｒｃｉｎｆｎｔｎｉｓｒｃ：ｙａｐｙｎｅｉｔａｃｌｔ，ｔｉａｅａｐｗｉｌｆｒｌｉｗｉｈａｒｔａａｔｏｕｃｉｓｖｖｏｌａｈｏｆｏａｌｏｂｉｏｏｅ．Ｔｅｆｒｕａｗａｒｖｄｆａｉｌｔｘｍｐｅ．ｂｅｔｅｄｓｍｐｓｄｃｈｏｍｌｓｐｏｅｅｓｅｗｉｅａｌｓｂｈＫｅｒｓａｉｎｌｆｎｔｎａｔｌｒｃｉｎ；ｄｒａｉｅｙｗｏｄ：ｒｔａｃｉ；ｐｒｉａｔｓｅｉｔｏｕｏａｆｏｖｖ

数学教案-分式

数学教案－分式引言分式是数学中一个重要的概念，也是初中数学教学中的一项重要内容。

掌握分式的概念和运算法则，对于学生的数学学习和应用能力的提高具有重要意义。

本教案将围绕分式的概念、分式的化简与运算以及分式方程的解法展开教学，旨在帮助学生全面理解和掌握分式的相关知识和技巧。

一、分式的概念1. 分式的含义分式是由分子和分母组成的表达式，通常用一条水平线将分子和分母分开，如$\\frac{a}{b}$。

其中，分子表示被分成若干份的部分，分母表示整体被分的份数。

分式表示的是分子与分母之间的关系。

2. 分式的分类按照分母的类型，分式可以分为以下几种：•真分式：分子的绝对值小于分母的绝对值，如 $\\frac{1}{2}$。

•假分式：分子的绝对值大于或等于分母的绝对值，如 $\\frac{3}{2}$。

•既约分式：分子和分母的公约数只有1。

•偏分式：分子的次数大于或等于分母的次数。

3. 分式的化简化简分式是将分子和分母不含有公因式的分式，也是简化分式的过程。

化简分式的基本思想是找到分子和分母的公约数，并将其约掉，使得分子和分母的公因式尽量少。

二、分式的运算1. 分式的加减运算分式的加减运算是指将两个分式相加或相减的过程。

加减分式的基本步骤如下：•确定两个分式的分母是否相同，如果不同则需要进行分母的通分。

•对于分子，根据加减的不同，进行相应的运算。

•化简分式，将得到的结果化简为最简形式。

2. 分式的乘除运算分式的乘除运算是指将两个分式相乘或相除的过程。

乘除分式的基本步骤如下：•将两个分式的分子相乘（或分子相除），分母相乘（或分母相除）。

•化简分式，将得到的结果化简为最简形式。

3. 分式的混合运算分式的混合运算是指在一个算式中同时进行加减乘除运算的过程。

混合运算的基本思想是根据运算顺序将分式的乘除运算在加减运算之前进行。

三、分式方程的解法1. 分式方程的定义分式方程是含有自变量x的方程，其中方程的某一部分或全部为分式。

真分式的部分分式分解共25页文档

16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
真分式部分分式分解
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本身就是讲道理 ……法律，也 ----即明示道理。— —爱·科克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一定颓败。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律面前人人是平等的。 ——波洛克
END

有理分式拆项标准步骤

有理分式拆项标准步骤
一、提取公因式
1. 确定分式中各项的公因式。

通常，取各项系数（为整数）的最大公约数作为公因式的系数，同时选取各字母（含根式）中相同字母（或根式）的最低次幂作为公因式的字母（或根式）。

2. 将分式的分子和分母同时乘以公因式。

这个步骤称为“提取公因式”。

二、分子分母分解
1. 将分式的分子和分母进行因式分解（只对多项式进行分解）。

通常情况下，需要将分子和分母分解为若干个因式的乘积。

2. 确定分式中各项的第二公因式。

通常，取各项系数（为整数）的最大公约数作为第二公因式的系数，同时选取各字母（含根式）中相同字母（或根式）的最低次幂作为第二公因式的字母（或根式）。

三、消去公因式
1. 将提取公因式后得到的公因式与第二公因式相乘，得到一个可以消去的公因式。

2. 将分式的分子和分母同时除以消去的公因式。

这个步骤称为“消去公因式”。

四、合并同类项
1. 对分式进行合并同类项。

将相同项合并，使得分式的项数减少。

2. 对于复杂的分式，可能需要多次进行合并同类项的操作。

五、化简分式
1. 通过以上步骤后，检查分式的值是否已经最简。

如果还有可以消去的项或者系数，继续进行相应的操作，直到分式的值不能再简化为止。

2. 在完成化简后，记录下最终结果，完成有理分式的拆项过程。

真分式拆成部分和的形式

真分式拆成部分和的形式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：真分式是代数式的一种简化形式，通常表示为a/b，其中a和b是整数，b不等于0。

在代数式的运算中，有时候需要将真分式拆分成部分和的形式，以便于后续的计算和化简。

本文将介绍如何将真分式拆分成部分和的形式，并举例说明其应用。

我们需要了解真分式的基本概念和性质。

真分式是一种比较简单的分式形式，通常用于表示两个整数的比值。

1/2、3/4、5/6等都是真分式。

当我们需要将一个真分式拆分成部分和的形式时，可以按照以下步骤进行：步骤一：将真分式的分子和分母进行因式分解。

这一步是拆分部分和的基础，需要将真分式中的分子和分母进行因式分解，以便于后续的运算。

对于真分式3/5，我们可以将分子3和分母5分别进行因式分解，得到3=1*3，5=1*5，即3/5可以写成1*3/1*5。

步骤二：将真分式的分子表示成几个部分和的形式。

在拆分部分和时，需要根据部分和的定义将分子表示成不同的部分和形式。

对于真分式3/5，我们可以将分子3表示成1+2，即3=1+2。

步骤四：将真分式的部分和写成总和的形式。

我们将步骤二和步骤三中得到的部分和形式代入原真分式，得到其部分和的形式。

对于真分式3/5，我们将步骤二和步骤三得到的部分和代入，得到3/5=1+2/1+4。

通过以上步骤，我们可以将真分式成功拆分成部分和的形式，以便于后续的计算和分析。

拆分部分和的技巧在代数式的运算中非常有用，可以帮助我们更好地理解和解决复杂的代数问题。

举例说明拆分部分和的应用：假设我们有一个真分式7/9，我们可以按照上述步骤将其拆分成部分和的形式。

我们将分子7和分母9进行因式分解得到7=1*7，9=1*9。

然后，将分子7表示成几个部分和的形式，即7=2+5。

再将分母9表示成几个部分和的形式，即9=3+6。

将部分和代入原式得到7/9=2+5/3+6。

这样，我们成功将真分式7/9拆分成部分和的形式，方便后续计算和化简。

分解有理式的分母

分解有理式的分母有理式的分解是一种将分母分解成多个因式的方法，可以简化有理式的运算。

在学习分解有理式的分母之前，我们首先需要了解分解有理式的基本思想和步骤。

接下来，本文将从以下几个方面进行论述：有理式的基本概念、分解有理式的分母的步骤、分解有理式的实例分析以及分解有理式的应用。

一、有理式的基本概念1. 有理式的定义：有理式是整式与有理函数的商，其中整式是由有理数和未知数通过四则运算得到的代数式，而有理函数是由有理数和未知数通过四则运算和有理函数运算得到的代数式。

2. 有理式的常见形式：有理式通常可以写成一个多项式的分数形式，其中分母是多个因式相乘的结果。

二、分解有理式的分母的步骤分解有理式的分母的步骤如下：1. 将分母化简为最简形式：将分母进行因式分解，使其不能再分解为更简单的形式。

这一步需要我们运用数的因式分解的知识。

2. 写出分解式：将分母分解为多个因式相乘的形式。

分解得到的因式应该是不可约的。

3. 求解分解式中的未知数：根据需要，我们可以通过一些方法求解分解式中的未知数，这一步通常需要运用方程的解的方法。

三、分解有理式的实例分析为了更好地理解分解有理式分母的步骤，我们来看一个实际的例子。

假设我们要分解有理式1/(x^2-1)的分母。

1. 首先，化简分母(x^2-1)为最简形式，我们可以将其分解为(x-1)(x+1)。

2. 接下来，我们将分解式写出，分解得到的因式为(x-1)(x+1)。

3. 最后，我们发现分解式中没有未知数，因此我们的分解过程就完成了。

四、分解有理式的应用分解有理式的分母在数学和科学等领域中有广泛的应用。

它可以用于简化有理式的运算，解决方程或不等式，以及在物理学和工程学等领域中的实际问题的建模与分析。

总结：本文首先介绍了有理式的基本概念，包括定义和常见形式。

然后，详细论述了分解有理式的分母的步骤，强调了将分母化简为最简形式，并写出分解式的重要性。

通过一个实例，我们展示了如何应用这些步骤进行分解有理式的实际操作。

有理真分式部分分式分解的证明及系数公式

有理真分式部分分式分解的证明及系数公式傅莺莺【摘要】基于多项式知识给出了有理真分式部分分式分解定理的一个简洁的构造性证明.此外,还对分解系数的计算方法进行总结,给出了赋值法、极限法与导数法的全部计算公式.结果表明,利用极限法与导数法都能求出全部分解系数,且导数法的计算公式更简单、易算.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2014(030)002【总页数】6页(P82-87)【关键词】有理函数;部分分式;系数公式;导数【作者】傅莺莺【作者单位】北京工商大学理学院,北京100048【正文语种】中文【中图分类】O172.21 引言在高等数学中，经常遇到计算有理函数的高阶导数、幂级数展开、以及不定积分等问题. 除了极其简单或特殊情况以外，这类问题都要用有理真分式的部分分式分解来解决. 然而，数学教材中通常只介绍分解定理的结果而不提证明，并且对于如何确定分解系数都只给出了单一的待定系数法[1,2]，有待进一步讨论的问题很多.对于有理真分式的部分分式分解定理，文献[3]给出了一个基于数学分析技巧和方法的证明，文献[4]通过对分母多项式的次数归纳进行证明，过程都较繁琐. 本文拟用多项式知识构造性地完成其证明，过程较简单. 至于分解系数的确定，文献[5-8]等展开了研究，其中有的针对某些特殊有理函数，有的单从某一角度提出了某种算法，有的提出用泰勒公式、留数等概念进行计算. 所用的方法看似很多，但本质不外乎待定系数法、赋值法、极限法和求导法；得到的公式虽然很多，但形式不统一且结果不完整. 有鉴于此，本文完整地给出了运用赋值法、极限法与导数法求分解系数的计算公式.2 有理真分式部分分式分解的存在唯一性证明引理1 设为一有理真分式，其中Q(x)=Q1(x)Q2(x)…Qs(x)且Q1,…,Qs互素，则存在唯一一组多项式P1(x),P2(x),…,Ps(x)，使得,其中为真分式.证显然只需证明s=2的情形，当s>2时递归应用s=2的结论即可.设Q(x)=Q1(x)Q2(x)且Q1,Q2互素，则存在多项式S1(x),S2(x)使得1=S1Q1+S2Q2，从而.令PS2,PS1分别除以Q1,Q2得PS2=R1Q1+P1,PS1=R2Q2+P2，则=,其中为真分式.上式最后一个等号成立是因为与,均为真分式，所以 R1+R2=0.下证分解的唯一性. 若另有T1(x),T2(x)满足,其中为真分式,则,从而Q2(P1-T1)=Q1(T2-P2). 又因为Q1,Q2互素，所以Q1(P1-T1). 注意到P1-T1的次数低于Q1，故P1=T1. 同理可证P2=T2.定理2 设为一有理真分式，其中Q(x)在实系数内的标准分解为Q(x)=(x-a1)λ1…(x-as)λs(x2+p1x+q1)μ1…(x2+ptx+qt)μt,则可作部分分式分解：,(1)其中Aij,Bij,Cij∈，且该分解形式唯一.证根据引理 1，存在唯一一组实系数多项式P1,…,Ps,,使得,其中等式右侧分式均为真分式. 根据多项式基本知识(事实上是多项式除法)，每一Pi(i=1,…,s) 可唯一地写作Pi=Ai,1(x-ai)λi-1+Ai,2(x-ai)λi-2+…+Ai,λi-1(x-ai)+Ai,λi;每一(i=1,…,t) 可唯一地写作…+(Bi,μix+Ci,μi),其中Aij,Bij,Cij∈. 所以,,代入的前述分解式，命题得证.引理1及定理2构造性地给出了有理真分式部分分式分解的方法，下面给出例子. 例1 求下列有理真分式的部分分式分解：.解记 Q1(x)=(x-2)2,Q2(x)=x2-2x+2. 参照引理 1及定理 2的证明，的分解可经由以下三个步骤得到：步骤1 求多项式S1(x),S2(x)使 S1Q1+S2Q2=1. 对Q1,Q2作辗转相除，得到Q2=1·Q1+(2x-2),·(2x-2)+1,其中前式整理得 2x-2=Q2-Q1. 代入后式，整理得. 故取.步骤2 求多项式P1(x),P2(x)使(两真分式之和).做多项式除法，令 PS2,PS1分别除以 Q1,Q2，得其余项即为.步骤3 分解，累加得到的部分分式分解. 注意到,故.3 有理真分式部分分式分解的系数公式例1的上述分解过程计算量较大，当分母 Q(x)的标准分解包含两种以上因式时情况更棘手. 所幸定理 2确定了有理真分式部分分式分解的形式 (1)，分解系数Aij,Bij,Cij完全可以借助他法来求解. 系数的计算主要有待定系数法、赋值法、极限法和求导法. 当然，算法各有优劣，为了最快速简便地求解系数，各算法常交叉使用.3.1 待定系数法将 (1) 式右端所有部分分式通分，其分子恒等于P(x). 于是由同幂项系数相等可得关于Aij,Bij,Cij的线性方程组，其方程个数恰等于待定系数的个数deg(Q). 根据定理 2，该方程组有且仅有唯一解，求解该方程组即得全部系数. 该方法思路简单，但往往有较大计算量.3.2 赋值法定理3 设 P(x),Q(x)同定理2，则分解式(1) 中的系数满足, i=1,…,s,(2)Bi,μiα, i=1,…,t,(3)其中α为x2+pix+qi=0的复根，且证将 (1)式两端同乘以 Q(x)，得.由于x-ai(i=1,…,s)整除除以外的全体与，故将 x=ai代入上式可得(2)式. 又由于x2+pi x+qi(i=1,…,t)整除除以外的全体与，故将 x2+pix+qi=0的复根x=α代入上式可得(3)式.(2),(3)两式给出了一部分分解系数(共s+2t个)的计算公式. 以例1为例，设,则,解得3.3 极限法定理4 设P(x),Q(x),及α同前，则分解式(1)中的系数满足, i=1,…,s,(4), i=1,…,s;(5), i=1,…,t.证观察 (1)式，注意到 P/Q与Ai,λi/(x-ai)λi(i=1,…,s)为x→ai时的等价无穷大，故(4)式得证. 此外还已知P/Q-Ai,λi/(x-ai)λi与Ai,λi-1/(x-ai)λi-1为x→ai 时的等价无穷大，故(5)式得证. 依此类推可以求得Ai,λi-2,…,Ai,1.类似地，设x=α为x2+pix+qi=0 (i=1,…,t)的复根，则P/Q与(Bi,μix+Ci,μi)/(x2+pix+qi)μi为x→α时的等价无穷大(注意这里将极限推广至复数域显然是可以接受的)，故(6)式得证. 参照 Aij 的处理方法还可依次求得Bi,μi-1,Ci,μi-1,…,Bi,1,Ci,1.极限法提供了计算全部分解系数的方法(其中Ai,λi与Bi,μi,Ci,μi的公式与赋值法本质上相同)，以例1为例，有,解得3.4 求导法定理5 设 P(x),Q(x),及α同前，则分解式(1)中的系数满足, i=1,…,s; k=0,…,λi-1,(7)Bi,μi-kα,i=1,…,t;k=0,…,μi-1.(8)证 (1)式两端同乘以 (x-ai)λi(i=1,…,s)，可写作,其中R1为某有理函数.上式两端求k(0≤k<λi) 阶导并代入 x=ai，得(7)式.类似地，(1)式两端同乘以(x2+pix+qi)μi(i=1,…,t)，可写作其中R2为某有理函数.上式代入 x2+pix+qi=0的复根x=α，得Bi,μiα，即(3)式.上式两端求k(1≤k<μi) 阶导，注意到含有因式 (x2+pix+qi)k+1，故其k阶导可写作R3(x)(x2+pix+qi)，其中R3为有理函数.又因为[(Bi,μi-kx+Ci,μi-k)(x2+pix+qi)k](k)=(Bi,μi-kx+Ci,μi-k)[(x2+pix+qi)k](k)+ k·Bi,μi-k·[(x2+pix+qi)k](k-1)可以写作k!(2x+pi)k(Bi,μi-kx+Ci,μi-k)+R4(x)(x2+pix+qi),其中R4为某多项式，所以代入x=α，整理即得(8)式. 显然(8)式中令 k=0恰为(3)式，据此可以递推地计算Bi,μi-1,Ci,μi-1,…,Bi,1,Ci,1.根据(7),(8)两式可以较快地算出全部分解系数. 以下述分解为例.,其中,解得,解得4 结论与启示本文构造性地证明了有理函数具有部分分式分解形式(1)，并且基于赋值、极限和求导的思想分别给出了分解系数的计算公式(2)-(8). 结果表明，极限法与导数法都能求出全部分解系数,相对而言,导数法的计算公式(7)与(8)形式更简洁、更易于计算. 对于大多数高等数学或数学分析课程，有理函数部分分式分解的教学都出现在不定积分这一章中. 以往学生只是单纯接受教材上的既有结论和固定方法，其能力仅仅是掌握如何按部就班地进行计算. 考虑到学生此前已经掌握了多项式、极限与导数等方面的知识，教师可以将这部分教学内容扩展开来，引导学生充分进行自主学习，鼓励和启发学生运用已有知识思考定理的证明、充分拓展系数计算的方法、甚至借助Matlab等数学软件自行实现算法. 这有助于学生将极限、导数等知识融会贯通，并且对训练他们的逻辑思维与推演能力、培养科研能力与动手能力，都有着重要意义.[参考文献]【相关文献】[1] 同济大学数学系. 高等数学 (上册)[M]. 6版. 北京: 高等教育出版社，2007: 213-218.[2] 华东师范大学数学系. 数学分析 (上册)[M]. 3版. 北京: 高等教育出版社，2001: 190-199.[3] 崔明正. 有理真分式P(x)/Q(x)展开成部分分式定理一种证法及启示 [J]. 工科数学，1993，9(2):105-108.[4] 常建明. 关于有理函数的部分分式展开 [J]. 常熟高专学报，2000，14(4): 16-21.[5] 黄伯强. 有理分式函数的部分分式分解 [J]. 南京工程学院学报，2008，6(2): 13-16.[6] 卢小宁. 确定部分分式中的待定系数的一个方法 [J]. 湖南理工学院学报 (自然科学版). 2008，21(4): 14-16.[7] 邵建新. 用 Laurent 级数展开法化有理分式为部分分式 [J]. 大学数学，2007，23(6): 189-190.[8] 张迎秋. 有理真分式分解中的系数公式 [J]. 工科数学，2000，16(2): 107-108.。

真分式拆分技巧

真分式拆分技巧真分式是指分子的次数小于分母的次数的分式，拆分真分式是数学中常见的一种运算技巧。

拆分真分式的目的是将一个复杂的真分式拆分成简单的部分，便于进行计算和化简。

本文将介绍一些常见的真分式拆分技巧，帮助读者更好地理解和应用这个数学方法。

一、拆分真分式的基本思路拆分真分式的基本思路是将分母进行因式分解，然后根据拆分后的分母，将真分式拆分成若干个部分。

这样做的好处是可以将一个复杂的真分式简化成多个简单的真分式，从而更方便进行计算。

二、常见的拆分真分式技巧1. 单项式拆分当分子是一个单项式，分母也是一个单项式时，可以使用单项式拆分的技巧。

例如，对于真分式$\frac{2x+1}{x-2}$，可以拆分成$\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x}$的形式，其中A和B是待定系数。

2. 分母为一次因式的拆分当分母是一个一次因式的多项式时，可以使用分母为一次因式的拆分技巧。

例如，对于真分式$\frac{x^2+3x+2}{(x-1)(x+2)}$，可以拆分成$\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}$的形式。

3. 分母为二次因式的拆分当分母是一个二次因式的多项式时，可以使用分母为二次因式的拆分技巧。

例如，对于真分式$\frac{2x^2+3x+1}{(x+1)(x+2)}$，可以拆分成$\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}$的形式。

4. 分母为多个一次因式的乘积的拆分当分母是多个一次因式的乘积的多项式时，可以使用分母为多个一次因式的乘积的拆分技巧。

例如，对于真分式$\frac{x^2+5x+6}{(x-1)(x-2)(x-3)}$，可以拆分成$\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$的形式。

三、拆分真分式的步骤拆分真分式的步骤如下：1. 将分母进行因式分解。

2. 根据拆分后的分母，确定需要拆分成的若干个部分。

3. 对于每个部分，设其分子为A，并通过消去分母的方式求出A的值。

有理真分式的积分

有理真分式的积分有理真分式是指多项式除以另一个多项式的形式，其中被除数和除数都是多项式，并且被除数的次数小于除数的次数。

对于这种有理真分式，我们可以采用分式分解的方法进行积分。

接下来，本文将详细介绍有理真分式积分的方法。

一、有理真分式的分类有理真分式可以分为两类：第一类是真分式，即被除数次数小于除数次数，如F(x) = (3x + 2)/(x^2 + 1)；第二类是假分式，即被除数次数大于或等于除数次数，如F(x) = (5x^3 + 4x^2 + x)/(x^2 + 1)。

二、真分式的积分对于真分式F(x) = P(x)/Q(x)，其中P(x)和Q(x)都是多项式，且Q(x)的次数大于P(x)的次数。

我们可以采用以下常用的积分方法：1. 部分分式法部分分式法是分式分解的一种方法，通过分解分式的形式将分子分母分离，从而容易进行积分。

具体过程为：先将分母Q(x)分解为不可约的多项式的积，然后将P(x)/Q(x)分解为一些分母为不可约项的真分式之和，即：P(x)/Q(x) = A1/(x-a1) + A2/(x-a2) + ... + An/(x-an)其中，a1,a2,…,a n是Q(x)的不同不可约因式，A1,A2,…,An都是待求解的常数。

将上式中得到的所有真分式分别进行积分，然后将积分结果相加即可求得F(x)的积分。

2. 代数凑式法当被积函数F(x)含有一些常数项，而分母Q(x)的各项次数较高时，采用代数凑式法可以简化积分运算。

具体过程为：将被积函数写成一个多项式加上一个真分式的形式，然后运用代数凑式的方法将真分式转化成一个多项式。

最后，将得到的表达式进行积分。

三、假分式的积分对于假分式F(x) = P(x)/Q(x)，其中P(x)和Q(x)都是多项式，且Q(x)的次数小于或等于P(x)的次数。

我们可以采用带余除法将分子分解成一个多项式和一个真分式的和，即：P(x) = Q(x)*S(x) + R(x)其中，S(x)是商式，R(x)是余式。

有理函数的部分分式分解

有理函数的部分分式分解部分分式分解是将一个有理函数分解成若干个分式相加的形式，其中每个分式的分母是不可分解的一次或二次多项式。

这种分解方法在求解积分和解线性微分方程等方面具有广泛的应用。

一、一次因式分解法对于有理函数的分母为一次多项式的情况，我们采用一次因式分解法。

假设分母为$ax + b$，则我们可以将有理函数表示为：$$\frac{K}{ax+b}=\frac{A}{ax+b}$$其中，$A$为待求常数。

比较等式两边，我们得到：$$K=A(ax+b)$$将$x$取为$-\frac{b}{a}$，则有$$K=A\cdot 0=0$$因此，我们可以解出待求常数$A$：举例说明，考虑有理函数$f(x)=\frac{3x-1}{x+2}$，我们希望将其分解成若干个一次分式的和。

由于分母为一次多项式$x+2$，我们可以写出等式两端同乘以$x+2$，得到$$-7=-2A$$解得$A=\frac{7}{2}$，因此有二次因式分解法的具体步骤如下：1. 将分母$(ax^2+bx+c)$分解成$(px+q)(rx+s)$的形式，即将二次多项式因式分解；2. 将有理函数表示为：其中，$A$和$B$为待求常数；$$x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$$$$\frac{3x^2+x+1}{x^2+3x+2}=-\frac{11}{2(x+1)}-\frac{1}{2(x+2)}$$三、完全平方分解法对于有理函数的分母为二次多项式，但是不能因式分解的情况，我们使用完全平方分解法。

1. 如果二次多项式为$x^2+a^2$，则我们可以写出：其中，$A$和$B$为待求常数，$\mathrm{i}$为虚数单位。

如果$b$为奇数，则可以将$x^2+b x+c$视为完全平方加常数的形式。

例如，对于$x^2+3x+7$，我们可以将其写成$(x+\frac{3}{2})^2+\frac{1}{4}+7$的形式。

将$x$取为$-1$，得到$$1=B$$对于有理函数的分母为高次多项式的情况，我们采用复杂因式分解法。

高数有理分式积分法分解

22
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例9. 求
1
2
解: 原式
cos x
dx
2
a tan x b
2
2
1 d tan x 2 2 a tan 2 x ( b ) a
1 a arctan( tan x ) C ab b
说明: 通常求含 sin x , cos x 及 sin x cos x 的有理式的积分时, 用代换 t tan x 往往更方便 .
Ax B (3) 2 ( p 2 4q 0) x pxq Ax B 2 (4) 2 ( p 4q 0, k 2,3, 4 ) k ( x p x q)
于是,求任何一个真分式的不定积分问题,也就转化为求
以上四种类型的不定积分.
5
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的分式.(其中A、a、M、N、p、q为常数)
3
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P( x) ( P( x), Q( x) 无公因子)都可定理. 任何一个真分式 Q( x)
分解成若干个简单分式之和,并且 (1) 若Q(x)=0有k重实根a (即把Q(x)在实数范围内因式分解,含有 ( x a)k 因子), 则分解时必含有以下的分式:
9
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(2) 用赋值法
x3 x3 A B 2 x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
x3 A ( x 2) 原式 5 x 2 x 3 x 2 x3 6 B ( x 3) 原式 x 3 x2 x 3
15
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例6. 求

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２００８伍
张慧芬：一类既约有理真分式的分解方法
类似于定理１的证明可得：定理２既约有理真分式
／ｘ／＋ｐ３）（＋ｇ）１ａ）０ｐ－ｑ０，。），２）＝，，
，
１得：便
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次式，由带余除法定理知，这些／＝ｌ２ …，）４，，七是
唯一确定的常数．用一
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数的求和、以至某些常微分方程的求解，特别是有理分式函数的不定积分，都需要把一个既约有理真
分式Ｐｘ／（）解为部分分式之和．是一般教材（Ｑｘ分）但
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关键词：列组合恒等式数中图分类号：７．Ｏ１７２
初等方法文献标识码：Ａ文章编号：７ — ８４２０）３０１— ３１４０７（８ — ０２０６００
在高等数学中，某些分式的恒等变形、某些级
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收稿日期：０８０～０２０ — ２１
作者简介：张慧芬（９４）女山西应县人，１７一，在读硕士，助教，研究方向：高等数学教学与研究
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Ｊｎ２０ｕ．０８
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类既约有理真分式的分解方法
张慧芬
ｆ山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同０７０）３０９
摘要：出了化一类既约有理真分式为部分分式之和的分解定理，提出了把此类有理真分式分解成部分给由此
在高等数学中某些分式的恒等变形某些级数的求和以至某些常微分方程的求解特别是有理分式函数的不定积分都需要把一个既约有理真分式pxqx分解为部分分式之和
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第２４卷第３期
２０年６月０８
山西大同大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆｈｎｉａｏｇＵｉｅｓｙＮｔｒｌｃｎｅｏｒａｏａｘｔｎｖｒｉ（ａｕａｉｃ）ＳＯｎｔＳｅ
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