复变函数试题汇总
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复变函数试题汇总
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《复变函数》考试试题(一）
一、 判断题（2０分）:
1.若ｆ(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(ｚ)在ｚ0解析． （ )
2.
有
界
整
函
数
必
在
整
个
复
平
面
为
常
数
.
( ） ３
.
若
}
{n z 收敛，则
}
{Re n z 与
}
{Im n z 都收敛.
（ )
4．若ｆ(z)在区域Ｄ内解析，且
0)('≡z f ，则C z f ≡)((常数）.
( )
５.若函数ｆ(z)在z ０处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ） 6.若
z 0是
)(z f 的
m
阶零点，则
z 0是
1/
)(z f 的
m 阶极
点． （ ) 7.若
)
(lim 0
z f z z →存在且有限，则z
０
是函数f(z)的可去奇点.
( ) 8.若函数f(z)在是区域
D
内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠.
（ ）
9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C
0)(=⎰
C
dz z f .
10.若函数f （z ）在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f （ｚ)在区域D 内恒等于常数.( ） 二．填空题（20分）
1、 =-⎰=-1||0
0)(z z n
z z dz
＿__＿______.(n 为自然数)
2.
=+z z 22cos sin ____＿____. 3．函数z sin 的周期为_________＿＿．
4.设
11
)(2+=
z z f ,则)(z f 的孤立奇点有____＿__＿__.
5．幂级数
n
n nz
∞
=∑的收敛半径为__＿＿＿_＿＿_＿.
6．若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__＿___＿＿__.
７.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n
n (i)
21___＿__＿_______．
8.=
)0,(Re n z
z e s _＿＿_____,其中n 为自然数.
9. z
z sin 的孤立奇点为_____＿＿＿ .
10.若0z 是)(z f 的极点,则___
)(lim 0
=→z f z z .
三.计算题（40分）：
1. 设
)2)(1(1
)(--=
z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.
2.
.cos 1
1||⎰=z dz z
３. 设⎰-++=C d z z f λ
λλλ1
73)(2,其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +
４. 求复数
11
+-=
z z w 的实部与虚部.
四． 证明题.(２0分) 1． 函数
)(z f 在区域D 内解析． 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D
内为常数． 2. 试证： ()(1)f z z z =
-在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,
并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.
《复变函数》考试试题(二）
一. 判断题.（20分)
1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u （x,ｙ)与v (x ，ｙ)都在Ｄ内
连续. ( )
2. cos z 与sin z 在复平面内有界.
( )
3. 若函数f （z )在z 0解析,则ｆ(z )在z ０连续. ( ) 4． 有界整函数必为常数. ( )
5. 如z 0是函数ｆ（z )的本性奇点，则)(lim 0
z f z z →一定不存在.
( )
6. 若函数f (z )在z ０可导，则f （z )在z 0解
析． ( )
7. 若f （z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰C
dz z f ．
8.
若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛.
( ）
9． 若f （z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( ）
10. 存在一个在零点解析的函数f (ｚ)使0)11(
=+n f 且,...2,1,21
)21(==n n
n f . ( )
二. 填空题. （20分)
1. 设i z -=,则____,arg __,||===z z z
2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f i
z _______＿．