正余弦定理(第二课时)
1.1 正弦定理和余弦定理第2课时
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(12分)在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且
sin A＝2sin B·cos C，试确定△ABC的形状． 【思路点拨】
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【规范解答】方法一：∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc， ∴(b＋c)2－a2＝3bc. ∴b2＋c2－a2＝bc. b2＋c2－a2 又 cos A＝ 2bc ， bc 1 ∴cos A＝2bc＝2.∴A＝60° . 又∵sin A＝sin(B＋C) ＝sin B· cos C＋cos B· sin C＝2sin B· cos C， 8分
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【借题发挥】1.余弦定理及其推论的每一个等式中都包含四
个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的
三个量，就可以求得第四个量． 2．由已知条件解三角形时要注意正弦定理和余弦定理的灵 活运用，如已知两边和其中一边的对角解三角形时，既可用正 弦定理求解，也可用余弦定理求解，但用正弦定理时，要注意
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【思路点拨】(1)方法一：利用余弦定理求边c，然后用余弦
定理求A，最后求B； 方法二：利用余弦定理求边 c ，再利用正弦定理求 A ，最后 求B. (2) 方法一：用余弦定理得到关于 c 的方程，求出 c 后再用余
弦定理求A，最后求C；
方法二：用正弦定理求A，再求C，最后由正弦定理求边c.
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2．余弦定理和勾股定理有什么联系？
高中数学人教A版必修5课件 1.1 正弦定理和余弦定理 第2课时《余弦定理》
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.
∵2R(sin2A－sin2C)＝( 2a－b)sinB，
∴(2R)2(sin2A－sin2C)＝2R( 2a－b)sinB.
∴a2－c2＝( 2a－b)b，即 a2＋b2－c2＝ 2ab.
∵cosC＝a2＋2ba2b－c2，∴cosC＝
2 2.
(1)利用余弦定理求出第三边； (2)利用余弦定理求出一个角； (3)利用三角形内角和定理求出第三个角． 若求出第三边后，再选用正弦定理求其他角也可以，但计算量大， 故建议此类型题用余弦定理．
变式探究 1 如图，在△ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，AD⊥AC，sin∠BAC
＝232，AB＝3 2，AD＝3，则 BD 的长为________．
例 1 在△ABC 中，已知 a＝2，b＝2 2，C＝15°，求角 A. 分析：已知两边 a＝2，b＝2 2及其夹角 C＝15°，故可利用余弦 定理求出边 c，已知三边求角 A，可用余弦定理的变形解决．
解析：cosC＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°·cos30°＋sin45°sin30°
解析：(1)由正弦定理得
cosA－2cosC cosB
＝
2sinC－sinA sinB
，
即
(cosA
－
2cosC)sinB
＝
(2sinC
－
sinA)cosB，化简可得 sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．
又因为 A＋B＋C＝π，所以 sinC＝2sinA，所以ssiinnCA＝2.
(2)由ssiinnCA＝2，得 c＝2a.由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accosB，得 4＝
解析：由余弦定理得： cosB＝a2＋2ca2c－b2＝522＋×852×－872＝12， 又∵0<B<π，∴B＝60°. 答案：C
高中数学必修二课件：正弦定理(第二课时)
例2 当△ABC为钝角三角形时，求证：S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B.
【证明】 不妨设B为钝角，如图，过A作AD⊥CB交CB的 延长线于D，
则AD＝AB·sin∠ABD＝AB·sin(180°－B)＝ABsin B＝csin B. 又AD＝AC·sin C＝bsin C，∴csin B＝bsin C. ∴S△ABC＝12BC·AD＝12acsin B＝12absin C.同理S△ABC＝12bcsin A＝12acsin B. 所以S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B.
6．4.3 余弦定理、正弦定理(二)(第2课时) 正弦定理
要点1 正弦定理的常见变形
(1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
a (2)sin
A＝sinb
B＝sinc
C＝sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝2R；
(3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
课后巩固
1．(高考真题·课标全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已
π
π
知b＝2，B＝ 6 ，C＝ 4 ，则△ABC的面积为( B )
A．2 3＋2
B. 3＋1
C．2 3－2
D. 3－1
解析
A＝π－(B＋C)＝π－
π6 ＋π4
＝
7π 12
，由正弦定理
a sin
A
＝
b sin
B
5．(2016·北京)在△ABC中，A＝2π 3 ，a＝ 3c，则bc＝____1____．
解析 ∵a＝ 3c，∴sin A＝ 3sin C，∵A＝2π3 ，∴sin A＝ 23，∴sin C＝ 12，又C必为锐角，∴C＝π6 ，∵A＋B＋C＝π，∴B＝π6 ，∴B＝C，∴b＝c，∴ bc＝1.
《余弦定理、正弦定理》平面向量及其应用 PPT教学课件 (第2课时正弦定理)
第六章 平面向量及其应用
(1)已知两边及其中一边的对角解三角形的思路 ①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值； ②如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角， 大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可 求锐角； ③如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的 角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论． (2)已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
【解】 (1)因为sinb B＝sina A，
所以
sin
B＝bsian
A＝20sin 60°＝ 10
3>1，
所以三角形无解．
(2)因为sina A＝sinc C，所以 sin A＝asicn C＝ 22.
因为 c＞a，所以 C＞A.所以 A＝π4.
所以 B＝51π2，b＝ cssiinnCB＝ 6s·isninπ351π2＝ 3＋1.
6．4.3 余弦定理、正弦定理 第2课时 正弦定理
第六章 平面向量及其应用
考点 正弦定理
学习目标 通过对任意三角形边长 和角度关系的探索，掌握 正弦定理的内容及其证 明方法
核心素养 逻辑推理
第六章 平面向量及其应用
问题导学 预习教材 P45－P48 的内容，思考以下问题： 1．在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？ 2．正弦定理的内容是什么？
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
解析：选 D.已知 c－acos B＝(2a－b)cos A，由正弦定理得 sin C
－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，所以 sin(A＋B)－
《正弦定理和余弦定理(第2课时)》课件
理论上正弦定理可解决两类问题: （1）已知两角和任意一边,求其它两边和一角; （2）两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它边和角.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
问题探究一 另类解三角形问题
●活动二
整合旧知,探求边角新关系
如果已知某个三角形的两条边和它们的夹角,则显然三角形的形状 与大小唯一确定,能求出未知的边与角吗? 应用正弦定理显然无法求解三角形
b2 c 2 a 2 0.725 , ∴ A≈44° 详解:∵ cos A 2bc a 2 b2 c 2 0.8071 , ∴ C≈36° ∵ cos C 2ab
∴B＝180°－(A＋C)≈任意一个内角的余弦值.
知识回顾
问题探究三
知识回顾
问题探究三
问题探究
课堂小结
随堂检测
重点、难点知识★▲
利用余弦定理能解决哪些三角形问题?
●活动一 初步运用,运用定理解三角形 例3.在ΔABC中, b cos A a cos B ,则三角形为（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 解析:【知识点:余弦定理】 详解:由正弦定理 sin B cos A sin A cos B 即 sin( A B) 0 , ΔABC为等腰
过程中哪些方法值得总结?另外向量等式有哪些丰富的内涵?等式中隐藏 了哪些信息?
知识回顾
问题探究三
问题探究
课堂小结
随堂检测
重点、难点知识★▲
利用余弦定理能解决哪些三角形问题?
●活动一 初步运用,运用定理解三角形 例1.在ΔABC中,已知a=7,b=10,c=6,求A、B和C. 解析:【知识点:余弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】
高中数学必修二 6 4 3 余弦定理、正弦定理2课时(含答案)
6.4.3正弦定理导学案编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波【学习目标】1.了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其基本应用2.能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状3.能利用正、余弦定理解决综合问题【自主学习】知识点1 正弦定理的呈现形式1.a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (其中R 是△ABC 外接圆的半径)； 2．a ＝b sin A sin B ＝c sin A sin C＝2R sin A ； 3．sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. 知识点2 正弦定理的常见变形1．sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；2.a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ； 3．a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；4．sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. 知识点3 利用正弦定理判断三角形的解的个数已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下：由正弦定理得sin B ＝b sin A a， ①若b sin A a>1，则满足条件的三角形个数为0，即无解． ②若b sin A a＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解． ③若b sin A a <1，则满足条件的三角形个数为1或2.【合作探究】探究一 已知两角和任意一边解三角形【例1】在△ABC 中，已知B ＝30°，C ＝105°，b ＝4，解三角形．[分析] 由三角形的内角和定理可求A 的度数．根据正弦定理可求a ，c .[解] 因为B ＝30°，C ＝105°，所以A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(30°＋105°)＝45°.由正弦定理，得a sin45°＝4sin30°＝c sin105°， 解得a ＝4sin45°sin30°＝42，c ＝4sin105°sin30°＝2(6＋2)．归纳总结：【练习1】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝ .【答案】2113解析：在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513， 可得sin A ＝35，sin C ＝1213， sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365， 又a ＝1，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.探究二 已知两边及一边的对角解三角形【例2】下列三角形是否有解？有解的作出解答．(1)a ＝7，b ＝8，A ＝105°；(2)b ＝10，c ＝56，C ＝60°；(3)a ＝23，b ＝6，A ＝30°.[分析] 利用三角形中大边对大角定理以及结合有解无解的图形来考虑．[解] (1)a ＝7，b ＝8，a <b ，A ＝105°>90°，本题无解．(2)b ＝10，c ＝56，b <c ，C ＝60°<90°，本题有一解．△sin B ＝b sin C c ＝10·sin60°56＝22， △B ＝45°，A ＝180°－(B ＋C )＝75°.△a ＝b sin A sin B ＝10×sin75°sin45°＝10×6＋2422＝5(3＋1)． (3)a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°，又△b sin A ＝6sin30°＝3，△a >b sin A ，△本题有两解． 由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin30°23＝32，△B ＝60°或120°， 当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a sin C sin A ＝23sin90°sin30°＝43； 当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a sin C sin A ＝23sin30°sin30°＝2 3. △B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3.归纳总结：【练习2】在三角形ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是 。
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第二课时)-【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
（2）由公式C（α＋β），得cos 20°cos 70°－sin 20°sin 70° ＝cos（20°＋70°）＝cos 90°＝0；
新知探究
立德树人 和谐发展
例2 利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（3） sin 66°sin 54°－sin 36°sin 24°；
如果α是第四象限角，则所求的三个三角函数值依次是
72 10
，7 2 10
，7．
头脑风暴
立德树人 和谐发展
思考：由以上解答可以看到，在本题的条件下有sin( ) cos( ),
4
4
那么对于任意角，此等式都成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明？
解：方法一、sin( ) cos[ ( )] cos( )
解：（3）方法一：sin 66°sin 54°－sin 36°sin 24°
＝cos24°cos 36°－sin 36°sin 24°，
由公式C（α＋β），原式＝cos（36°＋24°）＝cos60°＝
1 2
．
方法二：sin 66°sin 54°－sin 36°sin 24°
＝sin 66°cos36°－cos 66°sin 36°，
所以 sin
+π
π
π
=sinθcos +cosθsin
4
4
4
= 2× 2 2 + 1 =4+ 2,
2
3
3
6
sin - π =sinθcosπ-cosθsinπ
6
66Leabharlann =2 2× 3-1×1=2 . 6-1
3
23 2 6
余弦定理正弦定理(2)课件高一下学期数学人教A版
2 2
3 2
2) 2
sin 60
3
2
3 2 6. 3
例题
课本47页
例2.在ABC中，已知 B 30,b 2, c 2 ，
解这个三角形.
解：由正弦定理，得sin C csin B 2sin 30 2 .
b
2
2
因为c b, B 30，所以 30 C 180.
于是C 45或 C 135.
可得 a b , b c ， a c . sin A sin B sin B sin C sin A sin C
每个等式均可视为一个方程，知三求一.
利用正弦定理可以解决以下两类有关解三角形 的问题：
（1）已知两角和一边，解三角形； （2）已知两边和其中一边的对角,解三角形.
例题
课本47页
例1：在ABC中，已知 A 15, B 45, c 3 3, 解这个三角形.
6.4.3 余弦定理、正弦定理 2.正弦定理(1)
《必修》（第二册）P45 ~ P48
复习引入
1.余弦定理：在 C 中，有
a2 b2 c2 2bc cos A ，
b2 a2 c2 2ac cos B ，
c2 a2 b2 2ab cos C ．
余弦定理的推论：
b2 c2 a2
cos A
解：由三角形内角和定理，得
C 180 ( A B) 180 (15 45 ) 120 .
由正弦定理，得
a
c sin A sin C
(3 3) sin15 sin120
(3
3) sin（45 30 ) sin120
(3
3)(sin 45 cos30 cos 45 sin 30 ) sin120
6.4.3余弦定理正弦定理课件第二课时
注：2.在△ABC 中常用到以下结论： （1）∵A＋B＋C＝π，
∴sin(A＋B)= sin(π－C) ＝sinC
cos(A＋B)= cos(π－C)＝－cosC tan(A＋B)= tan(π－C)＝－tanC
(2) A B C = 2 22
sin
A
B
sin(
C)
cos
C
2
22
2
AB cos
在三角形中，大角对大边，大边对大角；
大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，
结论：在△ABC中，A>B ⇔ a>b ⇔ sinA>sinB
小结：正弦定理和余弦定理
在△ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，则
正弦定理
余弦定理
内容
a
b
c
sin A＝sin B＝sin C＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accos B，
B
c sin C
＝?
B
a c
b A
外接圆法：
如图，C C
B
sin C c
a
2R
c sin C
c sin C
2R
c A
O
C
b
同理：sinb B 2R，sina A 2R
C
即：
a
sinA
b
sinB
c
sinC
2R
（R为外接圆半径）
正弦定理：
a b c sin A sin B sin C
2R
(R为ABC外接圆的半径） B
C a
b
cA
变形：(1)a 2RsinA，b 2RsinB，c 2RsinC
1.1正弦定理和余弦定理第二课时精品教案
1.1正弦定理和余弦定理【课题】：1.1.2余弦定理【学情分析】：余弦定理是继正弦定理教学之后又一关于三角形的边角关系准确量化的一个重要定理。
在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的结果，就是“在任意三角形中大边对大角，小边对小角”，学生在初中阶段能解决直角三角形中一些边角之间的定量关系。
在高中阶段，学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握任意三角形中边角之间的定量关系，从而进一步运用它们解决实际问题.【教学目标】：（1）知识与技能:使学生掌握余弦定理及推论，并会初步运用余弦定理及推论解三角形（2）过程与方法:通过对三角形边角关系的探究，能用向量方法来证明余弦定理,体验运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题的过程与方法（3）情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力【教学重点】：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用【教学难点】：余弦定理的探究和证明方法，余弦定理与勾股定理的联系【课前准备】：多媒体电脑平台.222222222222cos c a b a b a bc a b a b a b ab C=-=+-⋅=+-⋅⋅+-（）（）222222222222cos c a b a b a bc a b a b a b ab C=-=+-⋅=+-⋅⋅+-（）（）1.在△ABC 中：(1)已知b ＝8，c ＝3，A ＝60°，求a ； (2)已知a ＝20，b ＝29，c ＝21，求B ； (3)已知a ＝3 3 ，c ＝2，B ＝150°，求b ； (4)已知a ＝2，b ＝ 2 ，c ＝ 3 ＋1，求A . 解：(1)由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得a 2＝82＋32－2×8×3cos60°＝49，∴a ＝7. (2)由cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca 得cos B ＝202＋212－2922×20×21＝0，∴B ＝90°.(3)由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得b 2＝(3 3 )2＋22－2×3 3 ×2cos150°＝49，∴b ＝7.(4)由cos A ＝2222b c a +-得cos A ＝（ 2 ）2＋（ 3 ＋1）2－222 2 （ 3 ＋1） ＝ 22 ，∴A ＝45°2.在△ABC 中，已知222a abc b +=-，则内角C 等于 （ ）A ．90B ．60C ．120D ． 30 解：222a ab c b +=-，2222cos a b c ab ab C ∴+-=-=,1cos 2C ∴=-0180C <<,120C ∴=3. 在△ABC 中，其三边长分别为,,a b c ，且三角形面积2224a b c S +-=，则角C =_________解：2222cos cos 1sin ,tan 1,454422a b c ab C ab C S ab C C C +-====∴=∴= 4.在△ABC 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，判断△ABC 三角形的形状 解：sin :sin :sin 2:3:4,::2:3:4A B C a b c =∴=,2,3,4,a b c a b c ∴<<===设则222cos 491630,C a b c C ∴=+-=+-=-<∴为钝角△ABC 为钝角三角形 （中档题）5. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边, 2,3a b ==， cos C =13，则其外接圆的半径为（） A ．2B ．4C ．8D ．9解：22212cos 4922393c a b abC =+-=+-⨯⨯⨯=,3c ∴=1cos,0180,sin 3C C C =<<∴=2sin 3c R C ∴===6．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，设a +c=2b ，A －C=3π，求sinB 的值。
教学案：3.11余弦定理(第二课时)
步骤
解：由正弦定理，可设
有
则 ， ，
则最大角为C.由
＝＝
∴C＝120°.
变式训练
在△ABC中， = ， = ，且 ， 是方程 的两根， .
（1）求角C的度数；
（2）求 的长；
（3）求△ABC的面积.
解：（1） , ;
（2）因为 是方程的两根，所以 ，
由 ，
，解得 ;
（3） .
解题
小结
两道题都是余弦定理的巩固应用：（1）例1是根据三角形的三边关系求角
转化的思想和方程的思想
课后作业
1.在 中，若 则 的面积为.
2.在 中，已知 ，则 .
3.若 ，则△ABC的形状是.等腰直角三角形
4.在 中，若A=60°，AC=2，BC= ，则AB=.1
5. 中，已知AB=3，A=120°，且 的面积为 ，那么BC边的长为.7
6.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为________．
课堂
总结
1、学会利用余弦定理解决两类题型：
（1） 判断三角形的形状；
（2） 三角形中的求值题.
2、两种题型思路的共同点就是从“统一”着眼，或统一转化为角的三角函数，作三角变换；或统一转化为边，作代数变换.
3、解三角形中的求值题时还要注意综合运用三角形的有关性质和三角公式进行变形.
4、本节课渗透的主要数学思想：
教学难点
难点：余弦定理的综合运用
突破：知识梳理，小题训练，例题分析引导.
前置学案
学 生自 主复 习整 理
设置意图
1、知识梳理
1.正弦定理：
(其中 为 的外接圆的半径).
2.余弦定理：
《正弦定理和余弦定理以及其应用-余弦定理(二)》课件11(28张PPT)(人教A版必修5)30页PP
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
《正弦定理和余弦定理以及其应用-余弦 定理（二）》课件11（28张PPT）（人教
A版必修5）
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工
6.4.3.2正弦定理第2课时+正弦定理和余弦定理的综合问题课件-数学人教A版(2019)必修第二册
sin Acos C = 2sin Ccos A，且a2 − c2 = 3b，则b =(
)
√A.9
B.6
C.3
D.18
[解析] 在△ ABC中，由sin Acos C = 2sin Ccos A及正弦定理得
acos C = 2ccos A，
又由余弦定理得a ⋅ a2+b2−c2 = 2c ⋅ b2+c2−a2，即a2 + b2 − c2 =
例2 在△ ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 sin A = 2sin Bcos C，且sin2A = sin2B + sin2C，试判断△ ABC的形状. 解：方法一（利用角的互余关系）：根据正弦定理，得
a = b = c，
sin A sin B sin C
∵ sin2A = sin2B + sin2C，∴ a2 = b2 + c2，∴ A是直角， ∴ 2sin Bcos C = 2sin Bcos(90∘ − B) = 2sin2B = sin A = 1，∴ sin B = 22. ∵ 0∘ < B < 90∘ ，∴ B = 45∘ ，∴ C = 45∘ ，∴△ ABC是等腰直角三角形．
sin A sin B sin C
22
2
又b = 2Rsin B = 3，所以由余弦定理可得
b2 = a2 + c2 − 2accos B = (a + c)2 − 3ac = 3，可得a + c = 230.
课中探究
［素养小结］ 正弦定理和余弦定理的主要作用是将三角形中已知条件的边、角关系 转化为角的关系或边的关系，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、 余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.
余弦定理、正弦定理(第2课时)课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
例1.在 ABC中，已知 A 15 , B 45 , c 3 3 , 解这个三角形。
解：由三角形内角和定理，得
C 180 ( A B) 180 (15 45 ) 120
由正弦定理，得
c sin A (3 3 ) sin 15
(3 3 ) sin（45 30 )
一角。
2、已知三角形的两边与其中一边的对角，出三角形
的其他的边和角。
✓如果出现两个解，根据“三角形中大边对大角”来
决定取舍！
从已有知识出发，你有哪些研究思路？
a
b
c
sin A sin B sin C
可分为锐角三角形，
钝角三角形两种情况分析.
如图，在锐角∆中，CD=a∙sinB=b∙sinA
C
所以
=
b
同理
=
所以
=
=
A
请同学们课下完成钝角三角形的证明
2
同理可得
综上可得
C
a
b
c
.
sin A sin B sin C
a
b
c
sin A sin B sin C
2
正弦定理：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,
即
a
b
c
sin A sin B sin C
说明:
（1）正弦定理可以把三边的比化为三个角正弦值的比，
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[ 例 2] 在△ ABC 中，已知 acosA ＝ bcosB ， 则△ABC为( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
解法一：由 acosA＝bcosB 得
cosA b ＝ . cosB a
b sinB cosA sinB 由正弦定理得 ＝ ，所以 ＝ ， a sinA cosB sinA 即 sinAcosA＝sinBcosB，故 sin2A＝sin2B. 因为角 A、B 为三角形的内角， 所以 2A＝2B，或 2A＝π－2B， π 所以 A＝B 或 A＋B＝ ， 2 即△ABC 为等腰三角形或直角三角形，所以选 C.
[思路探究] (1)可直接使用正弦定理求解，注意解的个数的
判断，也可利用余弦定理求解． (2)题目条件是已知两边及一边的对角，这种情况一般用正弦 定理解，但本题不求 B，并且求出 sinB 后发现 B 非特殊角，故用 正弦定理不是最佳选择，而应直接用余弦定理列出关于 c 的方程 求解．
2 1 (1)解法一：由正弦定理得 ＝ ， sin45° sinC 1 所以 sinC＝ . 2 因为 c<b，所以 C<B，故 C 一定是锐角， 1 a 所以 C＝30° ，所以 A＝105° ，所以 ＝ ， sin30° sin105° 6＋ 2 所以 a＝2sin105° ＝ . 2
• 作业：1、总结本节课所学应注 意的问题和方法； • 2、整理本节课的例题和练习题。
•谢谢合作 •再 见
第七节 正弦定理和余弦定理
(第二课时）
分析近几年的高考试题，有关三角形求解问 题是必考内容，分值大约为4分～17分．试 题主要包括以下两个方面： (1) 直接考查正 弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，这 类题目常以选择题和填空题的形式出现，难 度不大． (2) 以正、余弦定理为框架，以三 角形为载体，综合考查三角问题，一般以解 答题的形式出现，属于中档题．
解：由已知得 a>c>b，∴A 为最大角． b2＋c2－a2 32＋52－72 1 由余弦定理得 cosA＝ ＝ ＝－ ， 2bc 2 2×3×5 又∵0° <A<180° ，∴A＝120° ， 3 ∴sinA＝sin120° ＝ . 2
a c 方法 1：由正弦定理得 ＝ ， sinA sinC 3 5× 2 5 3 csinA ∴sinC＝ ＝ ＝ ， a 7 14 5 3 因此最大角 A 为 120° ，sinC＝ . 14
题后反思
• 利用正弦、余弦定理判断三角形形 状时，对所给的边角关系式一般都 要先化为纯粹的边之间的关系或纯 粹的角之间的关系，再判断.
方法与技巧
• 1．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角， 求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有可能出现 一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中 大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍． A B C • 2.应熟练掌握和运用内角和定理：A＋B＋C＝π，2 2 2 2 中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数. • 3.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1) 化边为角；(2)化角为边，
热点之二 利用正、余 弦定理判断三角形形状
热点之二 利用正、余弦定理判断三角形形状 依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两种方 法： 1．利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过 因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角 形的形状； 2．利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数 间关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系， 从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C ＝π这个结论．
A为锐角 A为钝角 或直角
图形
关系式 a＝bsinA
bsinA<a<b 两解
a≥b 一解
a>b 一解
解的 个数
一解
3．三角形中常见的结论 (1)A＋B＋C＝π. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差 小于第三边．
[例 1] 在△ABC 中， (1)若 b＝ 2，c＝1，B＝45° ，求 a 及 C 的值； (2)若 A＝60° ，a＝7，b＝5，求边 c.
即时训练 .在△ABC中，内角A，B，C所对
的边长分别是a，b，c.若sin C＋sin(B－A)＝ sC＋sin(B－A)＝sin 2A，得sin(A＋B)＋ sin(B－A)＝2sin Acos A，即2sin Bcos A＝2sin Acos A，∴cos A· (sin A－sin B)＝0， • ∴cos A＝0或sin A－sin B＝0，当cos A＝0时， A ∵0<A<π，∴ ，△ABC为直角三角形； 2 • 当sin A－sin B＝0时，得sin B＝sin A，由正弦定 理得a＝b，即△ABC为等腰三角形.∴△ABC为等 腰三角形或直角三角形.
b2＋c2－a2 a2＋c2－b2 解法二：将 cosA＝ ，cosB＝ 代入已知条 2bc 2ac b2＋c2－a2 a2＋c2－b2 件， 得 a· ＝b· .去分母， 得 a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2 2bc 2ac ＋c2－b2)．整理得(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以 a2＝b2 或 a2＋b2 －c2＝0， 即 a＝b 或 a2＋b2＝c2， 所以△ABC 为等腰三角形或直角 三角形，故选 C.
热点之一
利用正、余弦定理 解三角形
解斜三角形的类型
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而求得其他边、角； (3)已知三边，求三个角； (4)已知两边和它们的夹角，求第三边和其 他两个角．
在△ABC中，已知a、b和A时， 解的情况如下：
解法二：根据 b ＝a ＋c －2accosB 得 2＝a ＋1－ 2a，解得 6＋ 2 a＝ ，解角 C 方法同上． 2 (2)因为 a2＝b2＋c2－2bccosA， 所以 49＝25＋c －10ccos60° ，解得 c＝8.
2
2
2
2
2
即时训练 角和 sinC.
在△ABC 中，已知 a＝7，b＝3，c＝5，求最大
a2＋b2－c2 72＋32－52 11 方法 2：cosC＝ ＝ ＝ . 2ab 2×7×3 14 ∵C 为三角形的内角，∴C 为锐角． sinC＝ 1－cos C＝
2
11 2 5 3 1－ ( ) ＝ . 14 14
5 3 所以最大角为 120° ，sinC＝ . 14
题后反思
1．已知两边和一边的对角解三角形时，可 有两解、一解、无解三种情况，应根据 已知条件判断解的情况，主要是根据图 形或由“大边对大角”作出判断． 2 ． 应熟练掌握余弦定理及其推论．解三 角形时，有时可用正弦定理，也可用余 弦定理，应注意用哪一个定理更方便、 简捷．