最新全国各地2011届高考数学试题汇编：空间几何体的结构、三视图和直观图2

图2俯视图侧视图正视图34空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积题组二一、选择题1．(吉林省实验中学2011届高三文）如图是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几何体的表面积为（）A．π)3412(+B．20πC．π)3420(+D．28π答案 B.2. (浙江省温州十校联合体2011届高三文）如图2为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的全面积为( )A．6+23B．24+23C．143D．32+23答案 B.3．(浙江省温州十校联合体2011届高三文）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），那么可得这个几何体的体积是（）（A）31cm3 （B）32cm3（C）34cm3 （D）38cm3 22 2211正视图左视图俯视图C 1B A 1答案 C4．(浙江省桐乡一中2011届高三学理)已知M 是△ABC 内的一点，且32=⋅AC AB ，︒=∠30BAC ，若MBC ∆，MCA ∆和△MAB 的面积分别为yx ,,21，则yx 41+的最小值是（A ）9 （B ）18 （C ）16 （D ）20答案 B.5. (山西省四校2011届高三文）如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12．则该几何体的俯视图可以是（ ）答案 C.6．(福建省福州八中2011届高三文) 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示， 则这个几何体的表面积是A ．30B ．40C ．60D ．80答案 C.7．（广东省河源市龙川一中2011届高三理）如图，三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为1的正三角形，1111AA A B C ⊥面，正视图是长为2，宽为1的矩形,则该三棱柱的侧视图（或左视图）的面积为（ ）ABCD1111A ．3B ． 32C ． 1D ．32答案 A.8．（广东省河源市龙川一中2011届高三文）如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ）答案 B. 二、填空题9．（浙江省桐乡一中2011届高三理）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为 答案 4.三、解答题（本大题共6 个小题，共75 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 10．（2011湖南嘉禾一中）（本小题满分13 分） 如图（1）是一正方体的表面展开图，MN 和PB 是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN 和PB 画出来，并就这个正方体解决下面问题。

（1）求证：MN//平面PBD ； （2）求证：AQ ⊥平面PBD ；（3）求二面角P —DB —M 的大小．答案 10．解：M 、N 、Q 、B 的位置如右图示。

（正确标出给1分） （1）∵ND//MB 且ND=MB∴四边形NDBM 为平行四边形 ∴MN//DB ………………3分∴BD ⊆平面PBD ，MN PBD 平面⊄∴MN//平面PBD ……………………4分（2）∵QC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥QC ……………………5分 又∵BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面AQC …………………………6分∵AQ ⊂面AQC ∴AQ ⊥BD ，同理可得AQ ⊥PB ， ∵BD PD=B ∴AQ ⊥面PDB ……………………………8分 （3）解法1：分别取DB 、MN 中点E 、F 连结 PE 、EF 、PF ………………9分 ∵在正方体中，PB=PB ∴PE ⊥DB ……………………10分 ∵四边形NDBM 为矩形 ∴EF ⊥DB ∴∠PEF 为二面角P —DB —M 为平面角…………11分 ∵EF ⊥平面PMN ∴EF ⊥PF 设正方体的棱长为a ，则在直角三角形EFP 中∵a PF a EF 22,==∴22tan ==∠EF PF PEF 22arctan=∠PEF …………………………13分 解法2：设正方体的棱长为a ，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系如图： 则点A （a,0，0），P （a,0,a ），Q （0,a,a ）…………9分 ∴),,(),0,,(a a a AQ a a PQ -=-=………………10分 ∵PQ ⊥面DBM ，由（2）知AQ ⊥面PDB∴PQ AQ ,分别为平面PDB 、平面DBM 的法向量……………………12分∴||||,cos PQ AQ PQ AQ PQ AQ ⋅⋅>=<363222=⋅=aa a∴22arctan,,22,tan >=<>=<PQ AQ PQ AQ ………………13分 11．（四川成都市玉林中学2010—2011学年度）（本题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点.（1）证明 ∥PA 平面EDB ；（2）求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值. 答案 11．（本小题满分12分）（I ）证明：连结AC ，AC 交BD 于O .连结EO .底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点在PAC ∆中，EO 是中位线，PA EO ∴∥. ………………3分 而EO ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB ，所以PA ∥平面EDB . ………………5分 （II ）解：作EF DC ⊥交DC 于F .连结BF .设正方形ABCD 的边长为a .PD ⊥ 底面ABCD ，.PD DC ∴⊥ ,EF PD F ∴∥为DC 的中点.EF ∴⊥底面ABCD ，BF 为BE 在底面ABCD 内的射影，故EBF ∠为直线EB 与底面ABCD 所成的角.………………8分在Rt BCF ∆中， 22225().22a BF BC CF a a =+=+=1,22aEF PD ==∴ 在Rt EFB ∆中，52tan .552aEF EBF BF a ===所以EB 与底面ABCD 所成的角的正切值为5.5…………………………12分ECBPF OEC AB D P12．（江苏泰兴市重点中学2011届理）已知E ，F 分别是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BC 和CD 的中点，求：（1）A 1D 与EF 所成角的大小； （2）A 1F 与平面B 1EB 所成角； （3）二面角C-D 1B 1-B 的大小．（1）因为111(1,0,1),(,,0),22A D EF =--=-- 所以221221(1)0(1)2112()()0222110022A D EF A D EF =-++-==-+-+==++=可知向量1A D 与EF 的夹角为60︒因此1A D 与EF 所成角的大小为60︒（2）在正方体1111ABCD A BC D -中，因为AB ⊥平面11B C CB ,所以AB 是平面1B EB 的法向量 因为 (1,1,0)(1,0,0)(0,1,0)AB =-=111(0,,0)(1,0,1)(1,,1)22A F =-=--所以131,,2AB A F == 112A F AB = ，由11cos ,3A F AB <>= ，所以可得向量之间的夹角约为19.47︒（3）因为1AC ⊥平面11B D C ，所以1AC是平面11B D C 的法向量，因为111(1,1,1),(1,1,0),3,2,2AC AC AC AC AC AC =-=-===所以16cos ,3AC AC <>= ，所以可得两向量的夹角为35.26︒根据二面角夹角相等或互补可知，二面角约为35.26︒13．（浙江省桐乡一中2011届高三文）（ 14分）已知空间向量a ＝（sin α，－1，cos α），b ＝（1，2cos α,1），a ·b ＝51，α∈（0，2π）. （1）求α2sin 及αsin ，αcos 的值；（2）设函数)(2cos )2cos(5)(R x x x x f ∈+-=α，求)(x f 的最小正周期和图象的对称轴方程； （3）求函数)(x f 在区间]245,2411[ππ--上的值域。

答案 13．解：（1）∵51=⋅b a∴51cos sin =-αα①……………………2分 ∴251cos sin 21=-αα∴25242sin =α②……………………4分联立①，②解得：53cos ,54sin ==αα……………………6分（2）x x x f 2cos )2cos(5)(+-=αx x x 2cos sin 2sin 5cos 2cos 5++=ααx x x 2cos 2sin 42cos 3++=)2cos 2(sin 4x x += )42sin(24π+=x ……………………10分∴.)(π=T x f 的最小正周期……………………11分 令:,242得πππ+=+k x )(,82Z k k x ∈+=ππ……………………12分图象的对称轴方程为：)(,82Z k k x ∈+=ππ（3）当x ∈]245,2411[ππ--,2x+]6,32[4πππ--∈,∴]21,1[)42sin(--∈+πx∴f(x)的值域为[]22,24--14．（福建省四地六校联考2011届高三文）（本小题满分12分）某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由二个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200m 2的十字型地域，计划在正方形MNPQ 上建一座“观景花坛”，造价为4 200元/m 2，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/m 2，再在四个空角（如△DQH 等）上铺草坪，造价为80元/m 2.（1）设总造价为S 元，AD 长为x m ，试建立S 与x 的函数关系；（2）当x 为何值时，S 最小？并求这个最小值.答案15．(本小题满分12分)(1)依题意得:)2100()100(40003800022<<++=x xx S ……6分 (2) ∵x 2+100x 2 ≥20,当且仅当x 2=100x2 即x=10 时取等号,∵10 ∈(0,10 2 ),∴ m x 10=, 元118000min =S (12)。