平面与平面垂直的性质
合集下载
平面与平面垂直的判定和性质
平面与平面垂直的判定和性质
课堂导入
建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检 查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线 和墙面紧贴，那么所砌的墙于地面垂直.这是为什 么呢？
W
1
平面与平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂 线，那么这两个平面相互垂直。
已知： ，AB, α
求 证：
W
5
该命题是假命题。
由,平面 内的直线AB与不平一 垂 面定 直能
α
A
α A
D
β
D
B
B
C
C
那么还需添加什么条件，才能使命题为真？
W
β
6
若增加条件ABCD，则命题为真，即
α
AB
CD
AB
。
A
D
β
AB CD
B
C
平面与平面垂直的性质定理是：
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
W
7
（1）面面垂直线面垂直； （线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
（2）平面 ⊥平面β，要过平面 内一点引平面β
的垂线,只需过这一点在平面内作交线的垂线。
α
D
C
β
W
α A
D
β
B
C
8
例2、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足，AB为O的直径，C是圆周 上异于A、B的一点。
1)求证：平面PAC平面PBC；
α A
D
β
B
C
W
12
2)若PA=AB=a,
A C
6a 3
，
求
二面 P B角 C 的 A
课堂导入
建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检 查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线 和墙面紧贴，那么所砌的墙于地面垂直.这是为什 么呢？
W
1
平面与平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂 线，那么这两个平面相互垂直。
已知： ，AB, α
求 证：
W
5
该命题是假命题。
由,平面 内的直线AB与不平一 垂 面定 直能
α
A
α A
D
β
D
B
B
C
C
那么还需添加什么条件，才能使命题为真？
W
β
6
若增加条件ABCD，则命题为真，即
α
AB
CD
AB
。
A
D
β
AB CD
B
C
平面与平面垂直的性质定理是：
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
W
7
（1）面面垂直线面垂直； （线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
（2）平面 ⊥平面β，要过平面 内一点引平面β
的垂线,只需过这一点在平面内作交线的垂线。
α
D
C
β
W
α A
D
β
B
C
8
例2、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足，AB为O的直径，C是圆周 上异于A、B的一点。
1)求证：平面PAC平面PBC；
α A
D
β
B
C
W
12
2)若PA=AB=a,
A C
6a 3
，
求
二面 P B角 C 的 A
平面与平面垂直的性质
D
C1
D
E
B
C
β
如果α⊥ 如果 ⊥β (1) α里的直线都和 垂直吗？ 里的直线都和β垂直吗 里的直线都和 垂直吗？ (2)什么情况下 里的直线和 垂直？ 什么情况下α里的直线和 垂直？ 什么情况下 里的直线和β垂直
思考3:对于三个平面α 思考3:对于三个平面α、β、γ， 3:对于三个平面 如果两个相交平面都垂直于另 α 如果α⊥γ β⊥γ， α⊥γ， 如果α⊥γ，β⊥γ， ∩ β = l ，那 一个平面， 一个平面，那么这两个平面的 么直线l与平面 的位置关系如何？ 与平面γ 么直线 与平面γ的位置关系如何？ 交线垂直于这个平面. 交线垂直于这个平面. 为什么？ 为什么？
b⊥l
b ⊂ α ⇒ a // α a ⊄α
求证： 求证：如果一个平面与另一个平面的 垂线平行， 垂线平行，则这两个平面互相垂直
αb A B
a β
γ
如图，四棱锥P ABCD的底面是 例2 如图，四棱锥P-ABCD的底面是 矩形，AB=2， 侧面PAB PAB是 矩形，AB=2BC = 2 ，侧面PAB是 ， 等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD. PAB⊥底面 等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD. 证明：侧面PAB⊥侧面PBC PAB⊥侧面PBC； （1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC； 求侧棱PC与底面ABCD所成的角. PC与底面ABCD所成的角 （2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角.
C
D' A’ B’
C’
思考:一般地， 思考:一般地， α ⊥ β , α ∩ β = CD AB ⊂ α , AB ⊥ CD ,垂足为B，那么直 垂足为B AB与平面 的位置关系如何？ 线AB与平面 β 的位置关系如何？ 为什么？ 为什么？
2.3.4平面与平面垂直的性质
β
B 设过直线a与平面内的一点的平面与平面的交线为 b,∵a//,∴a//b,∵a⊥AB,∴b⊥AB,∵b在平面 内,⊥β,∴b⊥β,∴a⊥β
例3.已知平面, , 满足⊥, , ∩ l.求证: l⊥
证明: 如图,
设 m, n.
在γ内任取一点A(不在m,n上),
在γ内过点A作 a⊥m, b⊥n.
(A) 如果平面 ⊥平面 , 那么平面 内所 有直线都垂直于平面
(B) 如果平面 ⊥平面 , 那么平面 内一 定存在直线平行于平面
(C) 如果平面 不垂直于平面 , 那么平面 内一定不存在直线垂直于平面
(D) 如果平面 ⊥平面 , 平面 ⊥平面 , ∩ l, 那么l⊥
(D)选项的证明看:例3.
∵ , ,
∴a⊥, b⊥.
β
又∵ l,
∴ a⊥l, b⊥l.
γn
l α
am bA
a, b,
a∩bA,
⇒l⊥.
结论 如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个 平面的交线垂直于这个平面.
如图：
l α
β γ
判断线面垂直的两种方法：
①线线垂直→线面垂直； ②面面垂直→线面垂直.
例4.AB是⊙O的直径,点C是圆上异于A,B的任意一 点,PA⊥平面ABC,AF⊥PC于F.求证:AF⊥平面PBC。
2. 已知两个平面垂直, 下列命题
① 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内 的任意一条直线.
② 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内 的无数条直线. 另一个平面内垂直于前一个平面的无数条直线.
③ 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面. ④ 过一个平面内任意一点作交线的垂线, 则此垂 线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是 ( B )
B 设过直线a与平面内的一点的平面与平面的交线为 b,∵a//,∴a//b,∵a⊥AB,∴b⊥AB,∵b在平面 内,⊥β,∴b⊥β,∴a⊥β
例3.已知平面, , 满足⊥, , ∩ l.求证: l⊥
证明: 如图,
设 m, n.
在γ内任取一点A(不在m,n上),
在γ内过点A作 a⊥m, b⊥n.
(A) 如果平面 ⊥平面 , 那么平面 内所 有直线都垂直于平面
(B) 如果平面 ⊥平面 , 那么平面 内一 定存在直线平行于平面
(C) 如果平面 不垂直于平面 , 那么平面 内一定不存在直线垂直于平面
(D) 如果平面 ⊥平面 , 平面 ⊥平面 , ∩ l, 那么l⊥
(D)选项的证明看:例3.
∵ , ,
∴a⊥, b⊥.
β
又∵ l,
∴ a⊥l, b⊥l.
γn
l α
am bA
a, b,
a∩bA,
⇒l⊥.
结论 如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个 平面的交线垂直于这个平面.
如图：
l α
β γ
判断线面垂直的两种方法：
①线线垂直→线面垂直； ②面面垂直→线面垂直.
例4.AB是⊙O的直径,点C是圆上异于A,B的任意一 点,PA⊥平面ABC,AF⊥PC于F.求证:AF⊥平面PBC。
2. 已知两个平面垂直, 下列命题
① 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内 的任意一条直线.
② 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内 的无数条直线. 另一个平面内垂直于前一个平面的无数条直线.
③ 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面. ④ 过一个平面内任意一点作交线的垂线, 则此垂 线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是 ( B )
面面垂直的性质
解： 在内作垂直于 与 交线的直线b
, b
又 a , a / / b
a
b
即直线a与平面 平行
a / /
a ,b
探究: 已知平面 ， ，直线a ，且 ，
=AB,a // ,a AB , 试判断 直线a与平面 的位置关系.
思考1：对于三个平面 α ，β ，γ ，若α γ ， β γ ，α β l，那么直线l与平面γ 的位 置关系如何？为什么？
β
l
α b
a
γ
Ⅲ.知识应用
练习1：判断正误。 已知平面α ⊥平面β ,α ∩ β ＝l 下列命题
(1)平面α 内的任意一条直线必垂直于平面β （×） (2)垂直于交线l 的直线必垂直于平面β （× ）
3：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
证明：过点A作AE⊥PB， P 垂足为E， ∵平面PAB⊥平面PBC， 平面PAB∩平面PBC=PB， A ∴AE⊥平面PBC ∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC ∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC ∴PA⊥BC ∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB B
E
(1)EF//PD
A
F
D C
作业： p74，第3题
(2)BF⊥平面PAD
B
A 如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面α 内一定存在直 线平行于平面 β
B如果平面α ⊥平面 β ,那么平面α 内所有直线都垂 直于平面 β C如果平面α 不垂直于平面 β，则平面 α 内一定不 存在直线垂直于平面 β D如果平面 α 、β 都垂直于平面M，且 交于直线 a，则 a ⊥平面M
α与
, b
又 a , a / / b
a
b
即直线a与平面 平行
a / /
a ,b
探究: 已知平面 ， ，直线a ，且 ，
=AB,a // ,a AB , 试判断 直线a与平面 的位置关系.
思考1：对于三个平面 α ，β ，γ ，若α γ ， β γ ，α β l，那么直线l与平面γ 的位 置关系如何？为什么？
β
l
α b
a
γ
Ⅲ.知识应用
练习1：判断正误。 已知平面α ⊥平面β ,α ∩ β ＝l 下列命题
(1)平面α 内的任意一条直线必垂直于平面β （×） (2)垂直于交线l 的直线必垂直于平面β （× ）
3：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
证明：过点A作AE⊥PB， P 垂足为E， ∵平面PAB⊥平面PBC， 平面PAB∩平面PBC=PB， A ∴AE⊥平面PBC ∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC ∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC ∴PA⊥BC ∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB B
E
(1)EF//PD
A
F
D C
作业： p74，第3题
(2)BF⊥平面PAD
B
A 如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面α 内一定存在直 线平行于平面 β
B如果平面α ⊥平面 β ,那么平面α 内所有直线都垂 直于平面 β C如果平面α 不垂直于平面 β，则平面 α 内一定不 存在直线垂直于平面 β D如果平面 α 、β 都垂直于平面M，且 交于直线 a，则 a ⊥平面M
α与
2.3.4平面与平面垂直的性质
已知:α⊥γ，β⊥γ，α∩β=a。 已知:α⊥γ，β⊥γ，α∩β=a。 α a β 求证:a⊥γ. 求证:a⊥γ.
γ
已知: ⊥γ， β=a。 已知:α⊥ γ，β ⊥γ，α ∩ β=a。 求证:a ⊥ γ. 求证:
α a β
证明：设α ∩ γ = AB, β ∩ γ = AC, 在γ内任取一点P, 并在γ内作直线 PM ⊥ AB, PN ⊥ AC.
β
A D
小 结
1、空间垂直关系有哪些?如何实现垂直关系的相互转化 指出下 、空间垂直关系有哪些 如何实现垂直关系的相互转化 如何实现垂直关系的相互转化?指出下 图中空间垂直关系转化的依据. 图中空间垂直关系转化的依据 面面垂直 线面垂直 线线垂直
2、平面α ⊥平面β，要过平面α 内一点引平面β的垂线， 、平面α 平面β 要过平面α 内一点引平面β的垂线， 只需过这一点在平面α 内作交线的垂线。 只需过这一点在平面α 内作交线的垂线。 平面
解：连接BC. 连接 是两个互相垂直的平面α 的交线， 因为 BD ⊥AB，直线 是两个互相垂直的平面α和β的交线，所 ，直线AB是两个互相垂直的平面 的交线 以 BD ⊥ α，BD⊥BC. ⊥
因为 AC⊥AB, ⊥
在直角△ 在直角△BAC中， 中
BC = 32 + 4 2 = 5
C
α
B
在直角△ 在直角△CBD中，CD = 52 + 12 2 = 13 中 长为13cm. 所以 CD长为 长为
平面γ交平面α于直线b.
α
P B
∵ a // α , a ⊂ γ , γ ∩ α = b.
a
b β A
γ
∵由a ⊥ AB,∴ b ⊥ AB.
又α ⊥ β = AB, b ⊂ α .
γ
已知: ⊥γ， β=a。 已知:α⊥ γ，β ⊥γ，α ∩ β=a。 求证:a ⊥ γ. 求证:
α a β
证明：设α ∩ γ = AB, β ∩ γ = AC, 在γ内任取一点P, 并在γ内作直线 PM ⊥ AB, PN ⊥ AC.
β
A D
小 结
1、空间垂直关系有哪些?如何实现垂直关系的相互转化 指出下 、空间垂直关系有哪些 如何实现垂直关系的相互转化 如何实现垂直关系的相互转化?指出下 图中空间垂直关系转化的依据. 图中空间垂直关系转化的依据 面面垂直 线面垂直 线线垂直
2、平面α ⊥平面β，要过平面α 内一点引平面β的垂线， 、平面α 平面β 要过平面α 内一点引平面β的垂线， 只需过这一点在平面α 内作交线的垂线。 只需过这一点在平面α 内作交线的垂线。 平面
解：连接BC. 连接 是两个互相垂直的平面α 的交线， 因为 BD ⊥AB，直线 是两个互相垂直的平面α和β的交线，所 ，直线AB是两个互相垂直的平面 的交线 以 BD ⊥ α，BD⊥BC. ⊥
因为 AC⊥AB, ⊥
在直角△ 在直角△BAC中， 中
BC = 32 + 4 2 = 5
C
α
B
在直角△ 在直角△CBD中，CD = 52 + 12 2 = 13 中 长为13cm. 所以 CD长为 长为
平面γ交平面α于直线b.
α
P B
∵ a // α , a ⊂ γ , γ ∩ α = b.
a
b β A
γ
∵由a ⊥ AB,∴ b ⊥ AB.
又α ⊥ β = AB, b ⊂ α .
平面与平面垂直的性质
平面与平面 垂直的性质
思路分析 在在垂直的判定方法
1、定义法： 、定义法： 两个平面相交， 两个平面相交，如果它们所成的二面 角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 2、判定定理： 、判定定理： 一个平面过另一个平面 的垂线，则这两个平面垂直。 的垂线，则这两个平面垂直。
α
M
o
A N B C
又 ∴AB⊥BC ， AB⊥ MN ， β
定理剖析
1)面面垂直⇒ 面垂直 1)面面垂直⇒线面垂直； 面面垂直
（线 是一个平面内垂直于两平面交 线的一条直线） 线的一条直线）
2)它为判定和作出线面垂直提供依据 它为判定和作出线面垂直提供依据。 它为判定和作出线面垂直提供依据
α
C B
α
M B
A N
⇒ AB ⊥ α
α 已知：如图所示， 已知：如图所示， ⊥ β， I β =MN , AB⊂ β , ，α AB ⊥ MN 于点 B 求证: 求证:AB⊥ α 证明： 证明：在在在α 内作直线 BC ⊥ MN 则∠ ABC是二在角α − MN − β 的在在角。
Qα ⊥ β ， ∠ABC = 90 ∴ 所以 AB⊥ α
两个在在垂直， 两个在在垂直， 其中一个在在的 直线不一定垂直 于另一个在在。 于另一个在在。
（2）观察长方体 ）观察长方体ABCD-A`B`C`D`中，在 中 与在在ABCD垂直，你能否在 垂直， 在AA`D`D与在在 与在在 垂直 在在AA`D`D中找一条直线垂直于在在 在在 中找一条直线垂直于在在 D' ABCD？ ？ C'
B
解题反思 1、运用两个平面垂直的性质定理时，一 般需作辅助线，基本作法是过其中一个 过其中一个 平面内一点作交线的垂线，这样就把面 平面内一点作交线的垂线 面垂直转化为线面垂直或线线垂直。 2、本题充分地体现了面面垂直与线面 垂直之间的相互转化关系。
思路分析 在在垂直的判定方法
1、定义法： 、定义法： 两个平面相交， 两个平面相交，如果它们所成的二面 角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 2、判定定理： 、判定定理： 一个平面过另一个平面 的垂线，则这两个平面垂直。 的垂线，则这两个平面垂直。
α
M
o
A N B C
又 ∴AB⊥BC ， AB⊥ MN ， β
定理剖析
1)面面垂直⇒ 面垂直 1)面面垂直⇒线面垂直； 面面垂直
（线 是一个平面内垂直于两平面交 线的一条直线） 线的一条直线）
2)它为判定和作出线面垂直提供依据 它为判定和作出线面垂直提供依据。 它为判定和作出线面垂直提供依据
α
C B
α
M B
A N
⇒ AB ⊥ α
α 已知：如图所示， 已知：如图所示， ⊥ β， I β =MN , AB⊂ β , ，α AB ⊥ MN 于点 B 求证: 求证:AB⊥ α 证明： 证明：在在在α 内作直线 BC ⊥ MN 则∠ ABC是二在角α − MN − β 的在在角。
Qα ⊥ β ， ∠ABC = 90 ∴ 所以 AB⊥ α
两个在在垂直， 两个在在垂直， 其中一个在在的 直线不一定垂直 于另一个在在。 于另一个在在。
（2）观察长方体 ）观察长方体ABCD-A`B`C`D`中，在 中 与在在ABCD垂直，你能否在 垂直， 在AA`D`D与在在 与在在 垂直 在在AA`D`D中找一条直线垂直于在在 在在 中找一条直线垂直于在在 D' ABCD？ ？ C'
B
解题反思 1、运用两个平面垂直的性质定理时，一 般需作辅助线，基本作法是过其中一个 过其中一个 平面内一点作交线的垂线，这样就把面 平面内一点作交线的垂线 面垂直转化为线面垂直或线线垂直。 2、本题充分地体现了面面垂直与线面 垂直之间的相互转化关系。
平面与平面垂直的性质
b
B1
a
D C
b
A B
b //α或b在α内
面面垂直的性质
D1
α
F
B1
D
C1
A1
D
E
B
C
A
β
如果α⊥β
(1) α里的直线都和β垂直吗？
(2)什么情况下α里的直线和β垂直？
面面垂直的性质
面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一 个平面内垂直于交线的直线与另一个平面 垂直。
β
a l α A
l a a al
a //
画图
面面相交
a
画图
面面垂直 α
β
l
画图
一个平面和两个平行平面相交
a b
画图
三个平面两两垂直
α β l
γ
面面相交
画图
a
面面垂直
α
β 一个平面和两个平行平面相交
l
三个平面两两垂直
α
a b
β l
γ
面面垂直性质
解：设 n m 在α内作直线a ⊥n 在β内作直线b⊥m n a a
面面垂直线面垂直
例5. , a , a , 判断a与 位置关系 解：设 l
α
b
l β A
a
在α内作直线b ⊥l l b b 又a bl
a // b b a
2.3.4 平面与平面垂直的性质
线面垂直的性质
• 线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的 两条直线平行。
面面垂直的基本定义与性质
面面垂直的基本定义与性质在几何学中，面面垂直是指两个平面之间的相对关系。
当两个平面互相垂直时，它们的法线向量之间的夹角为90度。
本文将详细探讨面面垂直的基本定义和性质。
一、基本定义面面垂直的定义可以用如下方式描述：给定两个平面P和Q，如果P与Q的法线向量垂直，则称P与Q是面面垂直的。
二、性质1.垂直平面的法线向量根据定义，当两个平面互相垂直时，它们的法线向量也垂直。
设P 的法线向量为n1=(a1, b1, c1)，Q的法线向量为n2=(a2, b2, c2)，则有以下关系：a1*a2 + b1*b2 + c1*c2 = 02.平面的垂直性与法线向量对于给定的平面P，任意一条与P垂直的直线的方向向量都与P的法线向量平行。
也就是说，如果v=(x, y, z)是P的法线向量，那么对于任意一条在P上的点A，向量OA=(x1, y1, z1)也与v平行。
3.平面的垂直性与交线如果两个平面P和Q是面面垂直的，那么它们的交线与它们的法线向量垂直。
设P与Q的交线为L，则L与P的法线向量n1以及L与Q的法线向量n2都垂直。
4.垂直平面的距离对于两个垂直平面P和Q，它们之间的距离可以通过以下公式计算：d = |(D1-D2)·n1/|n1||其中D1和D2分别表示平面P和Q到原点的距离，n1是P的法线向量。
5.垂直平面的投影当两个平面相互垂直时，它们的投影也相互垂直。
设平面P的法线向量为n1，点A在平面Q上，设Q的法线向量为n2，则A在Q上的投影点B与P的法线向量垂直。
6.垂直平面的内角两个垂直平面的夹角为90度。
由于两个平面的法线向量垂直，它们之间的夹角是90度。
总结：面面垂直是几何学中的一个重要概念，涉及到两个平面之间的相对关系。
本文介绍了面面垂直的基本定义和性质，包括垂直平面的法线向量、平面的垂直性与法线向量、平面的垂直性与交线、垂直平面的距离、垂直平面的投影以及垂直平面的内角等方面。
对于深入理解几何学中的垂直关系以及应用到实际问题中具有重要意义。
平面与平面垂直的性质定理
(
(
×
)
√
)
(
×
)
例３ 如图所示，AB为⊙O的直径， Ｃ为⊙O上一点,PA⊥ 平面ABC，A 在平面PB,PB上射影分别为E,F.求证： PB⊥平面AEF.
点Ｅ在直线 ＰＢ上运动，那么平面ＡＥＦ与平面ＰＢＣ的 位置关系有不没有变化？
面PAC 面PBC 面PAC 面PBC PC AF 面PAC AF PC
b a
c
c P
练习3：通过一条线段的中点且与这条线段垂直的平
面，叫作这条线段的垂直 平分面。这个平面内任意一 点到这条线段的两端距离都相等吗？
M
P O
N
练习4：判断正误
(1)若 ， AB, a , 则a // (2)若 // , , 则 (3)若 , , 则 //
D’ N C M A B C’ B’ D
A’
练习1：请在上题找出与直线MN垂直的直线和平面
拓展应用
练习2.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一 个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一 个平面内.
已知 : , P , P a, a .求证 : a .
P b a
两个平面垂直，则一个平面内垂直于 交线的直线垂直于另一个平面.
已知：平面α ⊥平面β ，α ∩β =CD，
∩
AB
α ， AB⊥CD.
求证：AB⊥β
C
A
证明：在平面β 内过B点作BE⊥CD， 又∵AB⊥CD，
∴∠ABE就是二面角 α -CD-β 的平面角， 。 ∴∠ABE=90 即AB⊥BE 又∵CD∩BE=B， ∴AB⊥β
(
×
)
√
)
(
×
)
例３ 如图所示，AB为⊙O的直径， Ｃ为⊙O上一点,PA⊥ 平面ABC，A 在平面PB,PB上射影分别为E,F.求证： PB⊥平面AEF.
点Ｅ在直线 ＰＢ上运动，那么平面ＡＥＦ与平面ＰＢＣ的 位置关系有不没有变化？
面PAC 面PBC 面PAC 面PBC PC AF 面PAC AF PC
b a
c
c P
练习3：通过一条线段的中点且与这条线段垂直的平
面，叫作这条线段的垂直 平分面。这个平面内任意一 点到这条线段的两端距离都相等吗？
M
P O
N
练习4：判断正误
(1)若 ， AB, a , 则a // (2)若 // , , 则 (3)若 , , 则 //
D’ N C M A B C’ B’ D
A’
练习1：请在上题找出与直线MN垂直的直线和平面
拓展应用
练习2.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一 个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一 个平面内.
已知 : , P , P a, a .求证 : a .
P b a
两个平面垂直，则一个平面内垂直于 交线的直线垂直于另一个平面.
已知：平面α ⊥平面β ，α ∩β =CD，
∩
AB
α ， AB⊥CD.
求证：AB⊥β
C
A
证明：在平面β 内过B点作BE⊥CD， 又∵AB⊥CD，
∴∠ABE就是二面角 α -CD-β 的平面角， 。 ∴∠ABE=90 即AB⊥BE 又∵CD∩BE=B， ∴AB⊥β
平面与平面垂直的判定 和性质
复习回顾
两直线所成角的取值范围： （0o, 90o ]
直线和平面所成角的取值范围： [ 0o, 90o ] o, 180o ] [ 0 平面和平面所成的角的取值范围：
线面垂直判定定理：
B
l
m n
A
mα nα m∩n=B l⊥m l⊥n
l ⊥α
观察: 教室里的墙面所在平面与地面所在平 面相交,它们所成的二面角及其度数. 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面 角，就说这两个平面互相垂直。 两个平面互相垂直通常画成：直立平面的竖边画 成与水平平面的横边垂直。平面α 与β 垂直，记 作：α ⊥β 。
面面垂直的定义：
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二 面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
β
a
A α b
(1)除了定义之外,如何判定两个平面互相垂 直呢? (2)日常生活中平面与平面垂直的例子?
问题：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
问题：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
猜想：
如果一个平面经过了另一个平面的一条 垂线，那么这两个平面互相垂直.
P
l α
l
α
探究
已知AB 面BCD, BC CD 请问哪些平面互相垂直的,为什么?
AB 面BCD 面ABC 面BCD AB 面BCD 面ABD 面BCD CD 面ABC 面ABC 面ACD
B D A
C
面面垂直的性质
D1
α
F
B1
D
C1
A1
D
E
B
C
A
β
如果α⊥β
填空：
无数 个平面 1.过平面α的一条垂线可作_____ 与平面α垂直. 无数个平面与已知平面垂直. 2.过一点可作____
两直线所成角的取值范围： （0o, 90o ]
直线和平面所成角的取值范围： [ 0o, 90o ] o, 180o ] [ 0 平面和平面所成的角的取值范围：
线面垂直判定定理：
B
l
m n
A
mα nα m∩n=B l⊥m l⊥n
l ⊥α
观察: 教室里的墙面所在平面与地面所在平 面相交,它们所成的二面角及其度数. 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面 角，就说这两个平面互相垂直。 两个平面互相垂直通常画成：直立平面的竖边画 成与水平平面的横边垂直。平面α 与β 垂直，记 作：α ⊥β 。
面面垂直的定义：
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二 面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
β
a
A α b
(1)除了定义之外,如何判定两个平面互相垂 直呢? (2)日常生活中平面与平面垂直的例子?
问题：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
问题：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
猜想：
如果一个平面经过了另一个平面的一条 垂线，那么这两个平面互相垂直.
P
l α
l
α
探究
已知AB 面BCD, BC CD 请问哪些平面互相垂直的,为什么?
AB 面BCD 面ABC 面BCD AB 面BCD 面ABD 面BCD CD 面ABC 面ABC 面ACD
B D A
C
面面垂直的性质
D1
α
F
B1
D
C1
A1
D
E
B
C
A
β
如果α⊥β
填空：
无数 个平面 1.过平面α的一条垂线可作_____ 与平面α垂直. 无数个平面与已知平面垂直. 2.过一点可作____
平面与平面垂直的性质(康俊杰)
线面垂直
l
面面垂直
2.两个平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于 交线的直线垂直于另一个平面.
l m m m l
面面垂直 线面垂直
m l
布置作业
P81 A组
第1 、2、5 第3题
题
P82 B组
谢谢大家
P b a
b a
c
c P
例2．如图已知平面α 、β ，α ⊥β ， α ∩β =AB, 直线a⊥β , a
α ,
试判断直线a与平面α 的位置关系
课堂练习
P81 练习
第1、2题
课堂小结
1.两个平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过了另一个平面的一条 垂线，那么这两个平面互相垂直.
l l
第二章 空间点、直线、平面之间的位置关系
平面与平面垂直的性质
温故知新
1.直线与平面垂直的定义:
如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂 直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作： l ⊥ α.
l
a 都有l a l
α
P
.
2.两个平面相互垂直的定义、表示和画法
如果两个平面相交 所成的二面角是直二面 角，那么我们称这两个 平面相互垂直.
两个平面垂直，则一个平面内垂直于 交线的直线垂直于另一个平面.
l m m m l
面面垂直 线面垂直
m l
拓展应用
例1.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个 平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个 平面内.
l
面面垂直
2.两个平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于 交线的直线垂直于另一个平面.
l m m m l
面面垂直 线面垂直
m l
布置作业
P81 A组
第1 、2、5 第3题
题
P82 B组
谢谢大家
P b a
b a
c
c P
例2．如图已知平面α 、β ，α ⊥β ， α ∩β =AB, 直线a⊥β , a
α ,
试判断直线a与平面α 的位置关系
课堂练习
P81 练习
第1、2题
课堂小结
1.两个平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过了另一个平面的一条 垂线，那么这两个平面互相垂直.
l l
第二章 空间点、直线、平面之间的位置关系
平面与平面垂直的性质
温故知新
1.直线与平面垂直的定义:
如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂 直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作： l ⊥ α.
l
a 都有l a l
α
P
.
2.两个平面相互垂直的定义、表示和画法
如果两个平面相交 所成的二面角是直二面 角，那么我们称这两个 平面相互垂直.
两个平面垂直，则一个平面内垂直于 交线的直线垂直于另一个平面.
l m m m l
面面垂直 线面垂直
m l
拓展应用
例1.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个 平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个 平面内.
平面与平面垂直的性质定理
D
E
A
β
C
B
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线 与另一个平面垂直．
符号表示:
CD AB
AB
C
AB CD
AB CD B
A BD
证明： , CD，AB , AB CD,
垂足为B，那么AB ⊥β
证明:在平面 内 作BE⊥CD,
垂足为B.
则∠ABE就是二面角 CD
的平面角.
∵ , ∴AB⊥BE.
又由题意知AB⊥CD,
α
且BE CD=B
∴AB⊥ .
Eβ D
B
A
C
思考1 设平面 ⊥平面 ，点P在平面 内，过点P作平
面 的垂线a，直线a与平面 具有什么位置关系?
直线a在平面内
α aP
β
α a
P
β
思考5 已知平面 ， AB，直线a∥， a AB，试判断直线a与的位置关系. 垂直
［总结提炼］
☆ 定义面面垂直是在建立在二面角的定义的基础上的 ☆ 理解面面垂直的判定与性质都要依赖面面垂直的定义 ☆ 证明面面垂直要从寻找面的垂线入手 ☆ 已知面面垂直易找面的垂线，且在某一个平面内 ☆ 解题过程中应注意充分领悟、应用
线线垂直 面面垂直
线面垂直 线面垂直
面面垂直 线线垂直
垂直、平行关系小结
所成的角。
E
D
M A
C B
如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直， AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点.
(1)求证：BM∥平面ADEF； (2)求证：平面BDE⊥平面BEC.
【证明】(1)取DE中点N，连接MN，AN.
平面与平面垂直的性质
探究：
已知平面 , ，直线a,且 , I ＝AB,
a∥ , a⊥AB,试判断直线a与平面 的
位置关系。
a
α
a
b
B
β
A
课本81页的练习
.
.
.Hale Waihona Puke ....
.
.
.
；离婚律师 离婚律师
例1：如图，已知平面、， ，
直线a , a ,试判断直线a与平面
的位置关系。
解：
α
b
a
在内作垂直于与交线的直线b，
β
b
b垂直与的交线
b a
a
//
b
a
a
//
b
［复习］ 1．二面角与二面角的平面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
2．平面与平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是直角（即成直二面角），就 说这两个平面互相垂直． 3．两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平 面互相垂直．
2.3.4平面与平面垂直的性质
3、平面 ⊥平面β ，要过平面 内一点引平面β 的垂线， 只需过这一点在平面 内作交线的垂线。
2.3.4 平面与平面垂直的性质
探究新知
教室的黑板所在平面与地面 是什么关系？
思考：
• 已知黑板面与地面垂直，你能在黑板面内找到一条 直线与地面平行、相交或垂直吗？这样的直线分别 有什么性质？
a
l
b lBiblioteka cl
• 类比：面面平行→线面平行， 面面垂直→线面垂直？？
结论
平面与平面垂直的性质定理：
解：设 l , 在内作b l
b 又 a a // b 又 a a // 即直线 a与平面 平行。
a
l
b
【练习2】P73练习1，2（直接写在书上）
【练习3】求证：两条平行线和同一个平面所成的角相等。
小
结
1、这节课我们学习了哪些内容，我们是如何得到这些结论的？ 2、空间垂直关系有哪些?如何实现垂直关系的相互转化?指出下 图中空间垂直关系转化的依据. 面面垂直 线面垂直 线线垂直
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂 直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
α a
l
①线在平面内； l ②线垂直于交线 a β a a l
关键点：
例2：如图，已知平面，， , 直线a满足a , a , 试判断直线a与平面的位置关系。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
LOGO
思考：设平面 ⊥平面 ，点P在平面 内，过 点P作平面 的垂线a，直线a与平面 具有什么 位置关系?
α P b
β
α a b
a
β
P
直线a在平面 内
LOGO
如图，已知平面α，β，α⊥β，直线a满足a
垂直β，a α，试判断直线a与平面α的位置关系。
解：在a内作垂直与α与β交线的直线b，
在我们的课室里，黑板所在平面与地面所 在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地 面垂直？
LOGO
在下所给正方体中,判断下列是否正确? D1 1）平面ADD1A1 平面ABCD； A1 2）D1A AB；
C1
B1
3 ） D 1A
面ABCD
D
C
过点A可以在平面ADD1A1 B 内作无数条直线，而这些直 A 线满足什么条件就可以使之与平面ABCD垂直？
LOGO
平面与平面垂直的性质
由NordriDesign™提供
温故知新
1.二面角与二面角的平面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条 射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
2.平面与平面垂直的定义
LOGO
(1)证明直线a垂直于γ内两条相交直线，从而进一步 想如何在γ内找到这两条相交直线；
a α γ b m c P
.
n
β
LOGO
(2)证明直线a与γ的垂线平行，从而进一步想如何 找γ的垂线； a m α b c n β
γ
LOGO
一、两个平面垂直的性质定理
1.如果两个平面垂直, 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线
垂直于另一个平面 .
二、“转化思想” 面面关系 面面平行 面面垂直 线面关系 线线关系 线线平行 线线垂直
线面平行
线面垂直
LOGO
因为 α⊥β，所以 b⊥β
因为 a⊥β，所以 a∥b
α
b
a
又因为 a α，所以 a∥α
即直线a与平面α平行
β
LOGO
探究
已知平面 , ，直线a,且 ＝AB, ,
a∥ , a⊥AB,试判断直线a与平面 的位置关系。
a
β
α
b A B
a
LOGO
已知：α∩β＝a，α⊥γ，β⊥γ，求证：a⊥γ． 分析： “从已知想性质，从求证想判定” 这是证明几何问题的基本思维方法． 从已知出发：面面垂直 线面垂直 线线垂直 从求证出发：欲证直线a与平面γ垂直， 大致有以下思路： (1)证明直线a垂直于γ内两条相交直线，从而进一步 想如何在γ内找到这两条相交直线； (2)证明直线a与γ的垂线平行，从而进一步想 如何找γ的垂线；
探索研究 如果两个平面互相垂直，那么在第一个平面 内垂直于交线的直线，是否垂直于第二个平面呢？
LOGO
已知： ， ＝CD， ， CD于点 求证：
证明：过B在平面β内作BE⊥CD，
AB CD ABE是二面角 CD 的平面角 BE CD α
90
AB BE AB CD BE AB 。 β CD BE CD B
A
D
C
B
E
LOGO
两个面垂直的性质定理：
如果两个平面垂直，那么在一个平面内
垂直于它们交线的直线垂直于另一个面。
1）这个性质定理有什么用？ 2）在运用这个面面垂直的性质定理 时，应具备什么条件？
如果两个平面所成的二面角是直角（即成直二面角），就说这两个平 面互相垂直．
3.两个平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
LOGO
情 境 问 题
为什么墙面和地面垂直的时候，墙体就不容易倒塌 呢？ 将一本书放置在桌面上，且使书所在平面与桌 面垂直．当书面沿书面与桌面的交线转动时，它会 怎么样呢？ 由物理学原理知，它会倒塌．