初中代数第八章 因式分解
【初中数学】因式分解的九种方法
【初中数学】因式分解的九种方法一、运用公式法我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a -b =(a+b)(a-b)a +2ab+b =(a+b)a -2ab+b =(a-b)如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
二、平方差公式1、式子：a -b =(a+b)(a-b)2、语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
三、因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
四、完全平方公式1、把乘法公式(a+b) =a +2ab+b 和(a-b) =a -2ab+b 反过来，就可以得到： a +2ab+b =(a+b) 和a -2ab+b =(a-b) ，这两个公式叫完全平方公式。
这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。
把a +2ab+b 和a -2ab+b 这样的式子叫完全平方式。
2、完全平方式的形式和特点：①项数：三项；②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同；③有一项是这两个数的积的两倍。
3、当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
4、完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
5、分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
五、分组分解法我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式。
如果我们把它分成两组(am+an)和(bm+bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式。
原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义。
因式分解
因式分解知识点一：因式分解的概念及注意事项因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。
1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；知识点二：因式分解基本方法方法一·提公因式法1、提公因式法分解因式的一般形式，如:ma+mb+mc=m（a+b+c）.这里的字母a、b、c、m可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的整式.2、提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式.3、找公因式的一般步骤（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.（4）所有这些因式的乘积即为公因式.4、注意事项：多项式的公因式应是各项所共有的最高因式，公因式的系数原则上是不定的。
但对整系数的多项式，其公因式的系数一般取所有系数的最大公约数；对分数系数的多项式，其公因式的系数一般取所有分母的最小公倍数分之一；公因式的字母取各项共有的字母，各相同字母的指数取其次数最低的。
公因式可以是单项式也可以是多项式，有时要进行适当变形才能出现公因式。
题型展示：1、将下列各式分解因式： （1）y)2b(x -y)3a(x ++;（2）32)(18)(12n m n m -+-;（3）3)2(6)2(3x y y x ---;（4）22222)(83)(41p q ab q p b a ---; 2、下列分解因式结果正确的是( )A.)6)(2()2()2(6x x x x x +-=-+-B.)2(2223x x x x x x +=++C.)()()(2b a a b a ab b a a -=-+- D.)2(3632+=+x xn xn n x提高练习1、如果b －a =－6，ab =7，那么22ab b a -的值是( )A.42B.－42C.13D.－132、若4x 3－6x 2=2x 2(2x +k )，则k =________.3、2(a －b )3－4(b －a )2=2(a －b )2(________).4、36×29－12×33=________.5、分解因式(1)2)())((y x y x y x +--+(2))(4)(82x y b y x a ---6.计算与求值29×20.03+72×20.03+13×20.03－14×20.03.7、.先化简，再求值a (8－a )+b (a －8)－c (8－a )，其中a =1，b =21，c =21.8、已知812=-y x ，2=xy ，求43342y x y x -的值.方法二·公式法【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。
初中因式分解讲义
初中因式分解讲义因式分解是初中数学中相当重要的一个概念，它是解决多项式问题的关键步骤。
通过因式分解，我们可以将一个多项式拆分成更简单的乘积形式，从而更好地理解和解决问题。
本讲义将介绍初中因式分解的基本方法和应用，帮助同学们系统地学习和掌握这一知识点。
一、因式分解的基本概念因式分解是指将一个多项式拆分成若干个乘积形式的过程。
在因式分解中，我们将多项式中的每一个项称为因式，拆分后的乘积形式称为因式分解式。
因式分解的结果应满足两个条件：1）拆分后的每个因式之积等于原多项式；2）每个因式都不能再进行继续拆分。
二、因式分解的基本方法1. 公因式提取法公因式提取法是指将多项式的公因式提取出来，并将多项式拆分成公因式与括号内的乘积形式。
通过公因式提取法，我们可以简化多项式的计算过程和展开过程。
举例说明：多项式7x+14可以进行公因式提取，提取公因式7后，原多项式可以写成7(x+2)，这就是因式分解的结果。
2. 分组分解法分组分解法是指将多项式的项进行适当的分组，然后利用公式或特定规律进行因式分解。
举例说明：多项式x²+xy+2x+2y可以进行分组分解，将x²+xy作为一组，并将2x+2y作为另一组。
然后，在第一组中提取公因式x，第二组中提取公因式2，最终得到因式分解式为x(x+y)+2(x+y)，即(x+2)(x+y)。
三、因式分解的应用因式分解在初中数学中有广泛的应用。
下面我们介绍几个典型的应用场景。
1. 最大公因数和最小公倍数在求最大公因数和最小公倍数的过程中，因式分解是非常有帮助的方法。
通过将两个数分别进行因式分解，然后提取公因式并相乘，我们可以得到它们的最大公因数；同时，将两个数进行因式分解，然后取分解式的所有因子的乘积，我们可以得到它们的最小公倍数。
2. 方程的解法在解一元二次方程和一元三次方程时，因式分解也经常被使用。
通过将方程进行因式分解，可以将原方程转化成更简单的乘积形式，从而更容易求解。
初中代数第八章 因式分解
本文发表于《中学数学杂志》2003年第3期《因式分解》图解教学设计215006 苏州市第一中学 刘祖希图解教学法是一种由来已久的教学形式，可以誉为数学结构化思想的缩影.图解通常呈现表格式、树图式、流程图式、统计图式、示意图式等.图解法较多地出现在单元复习和本章小结，也零星出现在教科书正文部分，如实数分类、三角形四边形分类等，其主要目的是将零散的知识进行疏理、精简、概括、形式化、结构化，以助理解记忆.是否可以突破目前图解对象仅仅限于数学基础知识的状况，将图解对象扩大为整个数学过程，包括认知规律、思想方法、学习技巧、操作要点，这是有待进一步探索的问题.因式分解是数学教学的难点之一，技巧性极强，因此愈发凸现方法的重要性.研究者们创造了多种教学方法，如变元思想串联法、仿造想象法、类比法[1][2]等等．本文运用传统图解法使因式分解教学条理化、系统化，达到分散难点、最终突破难点的目的,其主体是因式分解的知识系统图．1 《因式分解》在教材中的地位、联系分式的运算因式分解整式的乘除整式的加减→⎪⎭⎪⎬⎫→ 2 一级知识系统图便于行文，将《因式分解》知识系统图分解为一级、二级两个层次.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧主要用途一般步骤基本方法基本概念因式分解 3 二级知识系统图3．1因式分解的基本概念⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧≥≥⎩⎨⎧≤⨯⨯⨯→分解，要求分解彻底加深理解，可类比因数）分解（与其他因式无关各因式内部化简、继续项数次数部整理后继续）分解：各因式内哪些多项式可能进行（原来的次数数次数分散：各因式的次逆乘积，与整式的乘法互整式代数和变为整式的因式分解后的变化：律因式分解的依据：分配整式整式整式式因式分解的定义：多项基本概念因式分解323．2因式分解的一般步骤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→→−−−−→−⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−→−⎪⎩⎪⎨⎧−−→−−−−−→−−−−→−−−−→−必要化简继续分解继续分解必要化简四项以上式三项式二项式一般步骤：多项式因式分解在各因式内部分组分组完全平方公式平方差公式提公因式 3．3因式分解的主要用途⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧.底分解情况，采取局部、不彻灵活应用：可根据实际分式的约分、化简因式分解法解方程简便计算主要用途因式分解 3．4因式分解的基本方法⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++=-++=+=--=--=-+-=------⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++++++++⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-⎩⎨⎧)()12()2(133)(4)44(432)(4)1(4)12(32))((32332221222313222232322442242222下略拆项法：如下略添项法：如，下略，可令换元法：如下略配方法：如，展开比较系数，下略分解为待定系数法：如设）十字相乘法：（不举例特殊技巧学精神察能力、思维品质、科分组可以锻炼学生的观””或“六项式：分成“””或“五项式：分成“””或“四项式：分成“分组的技巧结合前两种基本方法分组是一种策略，紧密分组分解法述，口到、心到、手到熟记三个公式的文字叙项”是关键识别多项式中的“平方运用公式法程贯穿于因式分解的全过准确、彻底提公因式的要求、互为相反数：型如、：型如相差倍数、：型如完全一样公因式的类型大公约数系数：找各项系数的最低次字母：找相同字母的最找公因式的方法提公因式法一般方法基本方法因式分解a a a a a a a a a a a a y x x x x x x x x n x m x x x A A kA A A A 4 教学注意事项以上图解基本涵盖了教学全过程，但要实效性突破难点，还必须对几个教学要点进行强化．此处文字较多暂不采用图解法.4．1 加强逆向思维训练为什么“乘法公式”在《整式乘法》中的应用要比在《因式分解》中的应用自然流畅得多？说明我们的学生习惯运算、不习惯思维，长于聚合思维、弱于发散思维，教师应该有意识加强逆向思维、发散思维训练，不仅是在《因式分解》一章中，还必须在整个数学教学中．4．2把握各种方法的关键学习因式分解，要抓住关键，要让学生知道，方法有限，经过有限探索一定可以解决．“提公因式法”的关键是准确、彻底、及时，随时随地；“运用公式法”的关键是善于识别“平方项”；“分组分解法”的关键是勇于探索、迎难而上、永不气馁的意志品质．4．3足量训练、注重总结因式分解是每一代人学习的难点，会出现每一代人都要犯的错误，比如分解不彻底．这些错误完全可以通过足量训练，做到训练有素、熟能生巧．总结经验，比如“轮换对称形式的多项式的分解结果也具有轮换对称性”这一不争事实，就可以帮助我们快速分解因式．4．3紧贴课本、打好基础充分使用课本习题，循序渐进，打好基础，防止任意拔高难度．尤其是接受较慢的学生可以要求他们对三个公式、三种方法的文字叙述做到“三个到”：口到、心到、手到，背得熟、想得到、写得出．4．4设计题组、层层领悟可以精心编选题组，使学生点滴进步、正反思考、逐步参悟．如：提公因式法： (1)=+2221ab b a ； (2))2(21212b N ab M b a +=+，则=M ，=N ． 运用公式法：(1)=++122x x ； (2)=++412x x ； (3)=++21222x x ． 分组分解法：（略．可以按多项式的项数由四项到六项进行安排，也可以按分组时第一项和第二项、或第一项和第三项、或第一项和第四项搭配分别进行设计．）因式分解及其方法的简单运用：(1)若0)2()1(22=-++y x ，则=+y x ；(2)若052422=++-+b a b a ，则b a += ；(3)请你仿造(1) (2)自己编一个类似题目： ．(4)若,5=-y x 则=-y x 66 ；(5)若,6,5==-xy y x 则=-22xy y x ；(6)若,6,5==-xy y x 则=+33xy y x ．（本题有意考察学生碰到阻碍怎么办）参考文献：[1] 沈文选．中学数学思想方法．湖南师范大学出版社，1999、5[2] 朱成杰．数学思想方法教学研究导论．文汇出版社，2001、6。
初中生因式分解
因式分解是将一个多项式表达为几个多项式的乘积的过程。
对于初中生来说，通常需要掌握以下几种基本的因式分解方法：
1. 提公因式法：如果多项式的各项中都有公共的因子，可以提取出来，使得原多项式变为公因子与剩余部分的乘积。
例如：ax + ay = a(x + y)
2. 分组分解法：将多项式的各项分成几组，每组提出公因子，再将提取公因子后的表达式进行合并。
例如：ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)
3. 完全平方公式法：利用完全平方公式(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2和(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2进行因式分解。
例如：x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2
4. 差平方公式法：利用差平方公式a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)进行因式分解。
例如：x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)
5. 十字相乘法：适用于形如ax^2 + bx + c的三项式的因式分解，其中a、b、c是常数。
例如：x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
6. 配方法：通过添加和减去同一个数，将二次项和一次项的部分转换为完全平方的形式。
例如：x^2 + 4x = x^2 + 4x + 4 - 4 = (x + 2)^2 - 4
7. 其他特殊公式：如立方和公式、立方差公式等，用于特定形式的多项式因式分解。
因式分解是初中数学中的一个重要知识点，它不仅能够帮助简化多项式的表达，还是解决方程、不等式等问题的重要工具。
初中数学-代数中的因式分解详解
初中数学-代数中的因式分解详解我选择的知识点是初中数学中的代数中的因式分解。
一、什么是因式分解？因式分解是将一个式子分解成由若干个不可再分的乘积（因子）之积的形式。
二、为什么要进行因式分解？1. 对运算和化简有重要影响。
2. 减少式子的存储空间，便于运算和处理。
3. 在复杂运算中，将式子进行因式分解，使得式子的结构更为清晰，更容易进行化简。
4. 对于一些具有特殊形式的式子，进行因式分解可以使得问题的求解更为简单。
三、因式分解的方法1. 公因式法将多项式中的某个公共因数提取出来作为一个因式，再将剩下的部分分解因式。
例题：将12a^2b+18ab^2进行因式分解。
解答：12a^2b+18ab^2=6ab(2a+3b)。
2. 提公因式法若多项式的各项可以表示成相同的公因式和其他部分的乘积，则先提取公因式，再对其它部分进行分解。
例题：将4x^2-8xy+3y^2进行因式分解。
解答：4x^2-8xy+3y^2=4(x^2-2xy+\frac{3}{4}y^2)=4(x-\frac{3}{2}y)(x-\frac{1}{2}y)。
3. 公式法运用公式将式子分解为特定形式的乘积。
常见的公式有：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2a^2-b^2=(a-b)(a+b)a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)例题：将3x^2+8xy+5y^2进行因式分解。
解答：3x^2+8xy+5y^2=(3x+y)(x+5y)4. 分组法将多项式中的各项分为两部分，每部分各自有公因式，然后再提取公因式进行因式分解。
例题：将6x^2+11xy-10y^2进行因式分解。
解答：6x^2+11xy-10y^2=(2x-5y)(3x+2y)5. 辗转相除法将多项式进行除法计算，不断缩小式子，直至无法再进行除法操作。
例题：将3x^3-2x^2-11x+6进行因式分解。
初中阶段因式分解
初中阶段因式分解因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。
1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7. 因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；一、提公因式法①概念：公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 如 am ＋bm ＋cm ＝m （a+b+c ）③具体方法：（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.（4）所有这些因式的乘积即为公因式.二、运用公式法。
①平方差公式： a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)②完全平方公式： a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b)2注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍. （运用完全平方公式也叫配方法）③立方和公式：a 3+b 3＝ (a+b)(a 2-ab+b 2).立方差公式：a 3-b 3＝ (a-b)(a 2+ab+b 2).④完全立方公式： a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3＝(a ±b)3三、分组分解法.四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
初中数学八年级《因式分解》教育教学课件
乘 法
(3)确定合适的十字图并写出因式分解的结果;
(4)检验。
【例题】
(1) 把6x2 +13x + 6分解因式 解： 2x 3
3x 2 4x+9x=13x ∴ 原式=(2x+3)(3x+2)
常 规 方 法
(2) 例2：把3m3 -3m2 -60m分解因式
■
解： 3m3 -3m2 -60m
十
=3m(m2 -m -20m)
= (y+5)(y-2) = (x2+x+5)(x2+x-2) = (x2+x+5)(x+2)(x-1)．
特
殊
求根公式法
方
法
利用一元二次方程求根公式中两个解与未知数的关系进行分解因式的方法叫做求根公式法。
■
【基本步骤】
求
一般的如果对ax2+bx+c这样的一元二次三项式进行因式分解时，
根
可令：ax2+bx+c=0，构建出一个一元二次方程，
字
m
-5
相
乘
m
4
法
4m-5m = -m
∴ 原式=3m(m-5)(m+4)
常
规
分组分解法
方 法
通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，这种分解因式的方法
■
叫做分组分解法。能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法， 三一分法。
分
组
【例题】
分
(1) 因式分解ax+ay+bx+by
解析：把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘
初中因式分解常用公式
初中因式分解常用公式初中数学中，因式分解是一个重要的概念和技巧。
通过因式分解，我们可以将一个复杂的代数式转化为更简单的乘积形式，从而便于我们进行进一步的计算和研究。
在因式分解中，有一些常用的公式和技巧，它们可以帮助我们更快地完成因式分解的过程。
下面，我将介绍几个常用的因式分解公式。
一、二次差平方公式二次差平方公式是因式分解中的一个重要公式，它可以帮助我们将一个二次多项式分解为两个一次因式的乘积形式。
二次差平方公式的表达式为：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$。
例如，对于一个二次多项式$x^2 - 4$，我们可以利用二次差平方公式将其因式分解为$(x + 2)(x - 2)$。
二、平方差公式平方差公式是因式分解中的另一个常用公式，它可以帮助我们将一个二次多项式分解为两个平方和的乘积形式。
平方差公式的表达式为：$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$。
例如，对于一个二次多项式$x^2 + 4x + 4$，我们可以利用平方差公式将其因式分解为$(x + 2)^2$。
三、一元三次多项式因式分解公式对于一个一元三次多项式$ax^3 + bx^2 + cx + d$，我们可以利用一元三次多项式因式分解公式将其分解为两个一次因式和一个二次因式的乘积形式。
一元三次多项式因式分解公式的表达式为：$ax^3 + bx^2 + cx + d = (x - r_1)(x - r_2)(x - r_3)$。
其中，$r_1$、$r_2$、$r_3$为一元三次多项式的三个根。
四、差的立方公式差的立方公式是因式分解中的另一个常用公式，它可以帮助我们将一个立方多项式分解为两个一次因式和一个二次因式的乘积形式。
差的立方公式的表达式为：$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$。
例如，对于一个立方多项式$x^3 - 8$，我们可以利用差的立方公式将其因式分解为$(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$。
初二数学因式分解方法详解
初二数学因式分解方法详解因式分解是数学中的一项重要概念，它在解决各种数学问题中都起到了至关重要的作用。
初中数学阶段，因式分解也是一个必须掌握的基本功。
本文将详细介绍初二数学中的因式分解方法，旨在帮助同学们更好地理解和运用。
一、整式基础在学习因式分解之前，我们首先需要了解整式的概念。
整式是指包含了常数、变量和各种运算符号（如加减乘除）的表达式。
常见的整式有单项式、多项式和代数式。
单项式是只包含一个项的整式，如3x、-5y^2等；多项式是包含多个项的整式，如2x^2+3xy-4，7a^3-2b^2-6c 等；代数式是指由单项式和多项式通过加减乘除运算得到的整式。
二、提公因式法提公因式法是因式分解中常用的一种方法。
当多项式的每一项都有公共的因子时，可以运用提公因式法进行因式分解。
先来看一个具体的例子：将多项式4x^2-6xy+8xz的各项提取公因式。
首先观察这些项，发现它们都含有公因子2，所以我们可以先提取公因式2。
将原多项式写为：2(2x^2-3xy+4xz)。
接下来，我们观察括号内的部分2x^2-3xy+4xz，发现其中所有的项都含有公因子x，所以再次提取公因子x，得到：2x(x-1.5y+2z)。
至此，我们已经将原多项式完全因式分解为：2x(x-1.5y+2z)。
通过以上步骤，我们可以发现提公因式法的关键是观察多项式的各项之间是否存在公共因子，并将其提取出来。
三、分组分解法分组分解法是解决多项式因式分解的一种有效方法。
当多项式含有四项或更多项时，且项之间没有明显的公因子，可以考虑通过分组的方式进行因式分解。
例如：将多项式x^3+3x^2+2x+6进行因式分解。
首先，我们将多项式按照两两一组进行分组，得到：(x^3+2x)+(3x^2+6)。
接下来，我们观察每一组中的两项，发现它们都可以提取公因子，所以我们可以继续进行提取。
将每一组中的两项分别提取公因子，得到：x(x^2+2)+(3(x^2+2))。
因式分解初中数学知识点之因式分解的方法与应用
因式分解初中数学知识点之因式分解的方法与应用因式分解是初中数学中的一个重要知识点，它在代数运算中具有广泛的应用。
因式分解的核心思想是将一个多项式拆解成一系列乘积的形式，以便于进一步研究和计算。
本文将介绍因式分解的方法及其应用。
一、因式分解的基本方法因式分解有多种方法，我们将重点介绍以下五种常用的因式分解方法：1. 公因式提取法公因式提取法是最基本的因式分解方法。
它基于一个数学原理：如果一个多项式的各项都有相同的因子，那么这个公因式可以从多项式中提取出来。
例如，对于多项式6x + 9y，我们可以提取公因式3，得到3(2x + 3y)。
2. 分组分解法分组分解法常用于四项以上的多项式因式分解。
它的基本思路是将多项式中的项进行分组，找出每个组内的公因式，然后通过提取公因式进行因式分解。
例如，对于多项式x^2 + 4xy + 4y^2 + 2x + 6y，我们可以将其分组为 (x^2 + 4xy + 4y^2) + (2x + 6y)，进而分别提取公因式得到 (x + 2y)^2 + 2(x + 3y)。
3. 公式法公式法是一种通过运用特定的公式进行因式分解的方法。
其中，最常用的公式包括二次差、二次和、二次平方差、立方差等。
例如，对于多项式x^2 - 4y^2，我们可以运用差平方公式(x - 2y)(x + 2y)进行因式分解。
4. 定积分法定积分法是一种对多项式进行因式分解的高级方法。
它基于一个数学概念：多项式在某一区间上的定积分等于这一区间上的导函数的原函数的差。
通过对多项式进行定积分，我们可以得到多项式的因式分解式。
例如，对于多项式x^3 - 2x^2 + x - 2，我们可以对其进行定积分，得到(x - 1)(x - 2)^2。
5. 根与系数定理根与系数定理是一种通过根和系数的关系进行因式分解的方法。
它利用多项式根与系数之间的特定关系，通过找到多项式的根来进一步进行因式分解。
例如，对于二次多项式x^2 - 5x + 6，我们可以使用根与系数定理得出它的因式分解式为(x - 2)(x - 3)。
初中数学精品课件： 因式分解
2．(2019·临沂)将 a3b－ab 进行因式分解，正确的是 ( )
A．a(a2b－b)
B．ab(a－1)2
C．ab(a＋1)(a－1)
D．ab(a2－1)
【答案】 C
3．(2案】 x(y＋2)(y－2)
4．(2019·衢州)已知实数 m，n 满足mm－ ＋nn＝ ＝13， ，则代数式
利用因式分解将多项式分解之后整体代入求值，也可 逆向思维，根据因式分解后的几个多项式(因式)结合恒等 变形的性质求值．
【典例 2】 在当今“互联网＋”时代，有一种用“因式分 解法”生成密码的方法：如将多项式 x3＋2x2－x－2 进行因 式分解，结果为(x－1)(x＋1)(x＋2)．当 x＝19 时，x－1＝ 18，x＋1＝20，x＋2＝21，此时可得到数字密码 182021. (1)根据上述方法，当 x＝37，y＝12 时，对于多项式 x3－xy2 分解因式后可以形成哪些数字密码(写出两个即可)? (2)将多项式 x3＋(m－3n)x2－nx－21 因式分解后，利用题 目中所示的方法，当 x＝87 时可以得到密码 808890，求 m，n 的值．
联
立
m＋n＝0， m－n＝2，
解得mn＝＝－1，1，
∴m2
＋
n2－
mn ＝1
＋
1
＋
1
＝3.
【答案】 3
4．分解因式：(x2＋4)2－16x2.
【解析】 原式＝(x2＋4＋4x)(x2＋4－4x) ＝(x＋2)2(x－2)2.
5．运用简便方法计算：
(1)992＋110908＋1．
(2)1982－396×98＋982．
【解析】 (1)∵x3－xy2＝x(x－y)(x＋y)， ∴当 x＝37，y＝12 时，x－y＝25，x＋y＝49， ∴可得到数字密码 372549 或 374925(答案不唯一)． (2)∵当 x＝87 时，密码为 808890，且 x3 的系数是 1， ∴由(1)可知：x－7＝80，x＋1＝88，x＋3＝90， ∴x3＋(m－3n)x2－nx－21＝(x－7)(x＋1)(x＋3)＝x3－3x2 －25x－21， ∴m－3n＝－3，n＝25，∴m＝72，n＝25.
代数式的因式分解
代数式的因式分解代数式的因式分解是数学中的重要概念之一，它与多项式的化简以及方程的求解等有着密切关系。
通过因式分解，我们可以将给定的多项式表示为若干个乘积的形式，从而更好地理解其结构和性质。
在本文中，我们将探讨因式分解的相关概念、原理和方法，并通过一些具体例子来加深对它的理解。
**一、因式分解的概念和原理**因式分解是指对给定的代数式进行拆解，将其表示为乘积的形式。
例如，对于一个多项式$3x^2+6x$，它可以分解为$3x(x+2)$的形式，其中$3x$和$(x+2)$是原式的因子。
因子是指能够整除原式的式子，也就是在代数运算中满足乘法的封闭性的因式。
在进行因式分解时，我们通常利用一些常见的分解公式和技巧来进行求解。
一些常见的分解公式包括：- 平方差公式：$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$- 平方和公式：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$- 立方差公式：$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$- 立方和公式：$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$此外，我们还可以利用因式分解的性质来求解复杂的代数式。
例如，若已知一个多项式等于零，我们可以通过因式分解将其表示为若干个一次因式的乘积，从而求解出方程的根。
**二、常见的因式分解方法**1. **公因式提取法**公因式提取法是最基础也是最常用的因式分解方法。
它适用于多项式中含有公共因子的情况。
具体步骤如下：- 将多项式中的公共因子提取出来，写成因子与括号的乘积。
- 其余项的系数分别除以公共因子的系数，写成括号内的部分。
例如，对于多项式$2x^2+4x$，我们可以提取公因式2和x，于是因式分解为$2x(x+2)$。
2. **配方法**配方法适用于多项式中含有平方项和线性项的情况。
其基本思想是将多项式中的平方项和线性项分别视为一个整体，然后通过移项和结合同类项来进行因式分解。
具体步骤如下：- 将平方项和线性项分别视为一个整体，记作$ax^2+bx$。
初中代数中的因式分解
初中代数中的因式分解代数学是数学的一个重要分支，其中因式分解是代数学的基础和重要概念之一。
在初中代数学习中，因式分解是一个关键的内容，它帮助我们理解多项式的结构和性质。
在本文中，我们将探讨初中代数中的因式分解的概念、方法和应用。
一、因式分解的概念因式分解是将一个多项式表示为若干个因子相乘的形式。
多项式是由一系列代数项组成的表达式，而因子是多项式的基本组成部分。
因式分解的目的是简化多项式的表达形式，使其更易于计算和分析。
在因式分解中，我们通常会遇到多种多项式形式，如二次多项式、三次多项式等。
每种形式都有对应的因式分解方法和规律。
二、因式分解的方法1. 提公因式法提公因式法是因式分解的最基本方法之一，它适用于多项式中存在公因式的情况。
该方法的关键是找出多项式中所有的公因式，并将其提取出来。
例如，对于多项式3x+6y，我们可以提取公因式3，得到3(x+2y)。
2. 公式法公式法是指直接利用代数公式进行因式分解。
常见的代数公式有二次差平方公式、完全平方公式等。
例如，对于多项式x^2-4，我们可以利用差平方公式进行因式分解，得到(x+2)(x-2)。
3. 分组分解法分组分解法适用于多项式中存在多个项的情况。
该方法的关键是合理地分组，将多个项变成几组。
例如，对于多项式x^3+8y^3+z^3+12xyz，我们可以将其分为两组，得到(x^3+2^3)+(z^3+12xyz)。
然后，我们可以利用立方和式进行进一步的因式分解。
三、因式分解的应用因式分解在代数学习和实际问题求解中有广泛的应用。
1. 简化表达式因式分解可以使复杂的代数表达式简化，更易于计算和理解。
例如，对于多项式x^2+2xy+y^2，我们可以因式分解为(x+y)^2，进一步简化了表达式。
2. 求解方程因式分解在求解代数方程中起到重要的作用。
例如，解方程x^2-4=0，我们可以利用因式分解得到(x+2)(x-2)=0，从而得到解x=-2和x=2。
3. 应用于因式分解题目在数学考试和竞赛中，因式分解题目常常出现。
代数式的因式分解
在实际生活中的应用
代数式的因式分 解在数学领域中 的应用，如解决 方程、不等式和 函数问题。
在物理学科中， 因式分解可以用 于解决与速度、 加速度和力相关 的物理问题。
在计算机科学中 ，因式分解可以 用于加密和解密 算法，如RSA公 钥加密算法。
在经济学中，因 式分解可以用于 分析成本、收益 和利润等问题。
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公式法：平方差公式、完全平方 公式、立方和（差）公式等
分组分解法
02
因式分解的方法
提公因式法
定义：提公因式法是因式分解的一种方法，通过提取多项式中的公因式，将多项式化为几个整 式的积的形式。
步骤：找出多项式中的公因式，将公因式提取出来，得到多项式的因式分解形式。
注意事项：提取公因式时需要注意符号问题，以及多项式中各项的系数和字母部分是否都可以 提取公因式。
例子：将多项式$2x^2 + 4x - 6$进行提公因式法因式分解，得到$2x(x + 2) - 3(x + 2) = (x + 2)(2x - 3)$。
公式法
公式法是因式分解的一种常用方法，通过将代数式转化为乘积的形式，简 化计算过程。
公式法适用于多种形式的代数式，如二次多项式、分式等，具有广泛的适 用性。
在使用公式法进行因式分解时，需要注意公式的选择和代数式的变形技巧， 以确保分解的正确性和简便性。
公式法的掌握需要大量的练习和经验积累，通过不断的实践才能熟练掌握。
分组分解法
定义：将多项式分组，利用提公因式法或公式法进行分解 适用范围：适用于项数较多、有一定规律的代数式 步骤：先将多项式分组，然后提取各组公因式，最后对剩余项进行同样的操作 注意事项：分组时要注意观察代数式的特点，选择合适的分组方式
初中数学七年级下册《8.0第八章因式分解》PPT课件 (1)
二、因式分解的方法
1、提取公因式法：
①系数为各项系数的最大公约数；
2②、字公母式取法各：项相同字母的最低幂。
平方差公式：a
2 a2
b2
(a 2ab
b)( b2
a
b) (a
b)
2
完全平方公式：
a
2
2ab b2
(a
b)2
7、下列因式分解正确吗？不对的给予改正。
一、因式分解的定义
把一个多项式分成几个整式的 积的形式，叫做多项式的因式分解。 即：一个多项式→几个整式的积
因式分解 互逆 整式乘法
1、下列从左到右的变形中，哪些是因式 分(1解)8a，5哪b2些不4是a 2？b2为什2a么3？
(2)m 1 1 (m 1) mm
(3)a 2 16 3b (a 4)(a 4) 3b
(4) x 2 2
1 x2
(x 1 )2 x
(5)m( x y) mx my
(6)1
16 a2
(1
4 )(1 a
4) a
2、下列因式分解正确的是哪些？请将 不正确的改成正确的。
(1)2x2 4xy 2xy 2 2x( x 2 y y 2 ) (2)9b2 4a2 (2a 3b)(2a 3b) (3)x2 3x 4 (x 4)(x 1) (4)4x4 2x3 y x3 (4x 2 y) (5) x2 xy xz x(x2 y z) (6)3a2 y 6ay 3 y 3 y(a2 2a 1)
11、用公式法对下列各式进行因式分解：
(1) 49m4n2 0.16a 2b2
代数之因式分解
个性化教学辅导教案教师姓名学生姓名上课时间学科数学年级教材版本浙教版课称名称教学目标教学重点教学难点课堂教学过程一、学习指导1、代数中常用的乘法公式有：平方差公式：(a+b)(a－b)＝a2－b2完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab+b22、因式分解的公式：将上述乘法公式反过来得到的关于因式公解的公式来分解因式的方法，主要有以下三个公式：平方差公式：a2－b2＝(a+b)(a－b)完全平方公式：a2±2ab+b2＝(a±b)23、应用公式来分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，也就是要从它们的项数系数，符号等方面掌握它们的特征。
明确公式中字母可以表示任何数，单项式或多项式。
③同时对相似的公式要避免发生混淆，只有牢记公式，才能灵活运用公式。
④运用公式法进行因式分解有一定的局限性，只有符合其公式特点的多项式才能用公式法来分解。
二、例题分析：例1：分解因式：（1）4a2－9b2 (2)－25a2y4+16b16解：（1）4a2－9b2＝(2a)2－(3b)2＝(2a+3b)(2a－3b)解：（2）－25a2y4+16b16＝16b16－25a2y4＝(4b8)2－(5ay2)2＝(4b8+5ay2)(4b8－5ay2)注：要先将原式写成公式左边的形式，写成(4b8)2－(5ay2)2例2:分解因式：（1）36b4x8－9c6y10（2）(x+2y)2－(x－2y)2（3）81x8－y8 （4）(3a+2b)2－(2a+3b)2分析：（1）题二项式有公因式9应该先提取公因式，再对剩余因式进行分解，符合平方差公式。
（2）题的两项式符合平方差公式，x+2y和x－2y分别为公式中的a和b。
（3）题也是两项式，9x4和y4是公式中的a和b。
（4）题也是两项式，3a+2b和2a+3b是平方差公式中的a和b。
解：（1）36b4x8－9c6y10＝9(4b4x8－c6y10)＝9[(2b2x4)2－(c3y5)2]＝9(2b2x4+c3y5)(2b2x4－c3y5)注：解题的第二步写成公式的左边形式一定不要丢。
八年级因式分解
八年级因式分解因式分解是代数学中非常重要的一项内容，它是将代数式按照某种规则进行拆解，将其转化为更简化形式的过程。
在八年级的数学学习中，因式分解是一个重要的知识点。
本文将介绍八年级因式分解的相关知识和具体步骤。
一、因式分解的概念与作用因式分解是指将一个代数式分解成多个乘积项的过程。
它的作用在于简化代数式，让我们更好地理解和运用代数式，从而解决各种数学问题。
通过因式分解，我们可以更方便地计算多项式的值，求解方程式，以及进行进一步的运算。
二、因式分解的基本方法1.公因式提取法：对于一个多项式，如果每一项都有相同的因式，我们就可以将这个因式提取出来。
例如，对于多项式2a+4ab+6ac，我们可以提取出公因式2a，得到2a(1+2b+3c)。
2.公式法：有些代数式可以利用特定的公式进行因式分解。
例如，平方差公式(a+b)(a-b)=a^2-b^2可以用来因式分解差的平方。
再如，a^2+2ab+b^2=(a+b)^2是一个完全平方公式。
我们可以根据这些公式进行因式分解。
3.平方差公式：平方差公式是指一个二次多项式的平方可以写成两个一次多项式的乘积。
例如，(a-b)^2=a^2-2ab+b^2。
应用平方差公式可以将一个二次多项式进行因式分解。
4.特殊公式：某些特殊的代数式可以利用一些特殊的公式进行因式分解。
例如，立方差公式(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3可以用来因式分解立方差。
再如，a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)是一个常见的立方和公式。
三、因式分解的实例解析现在我们以具体的例子来说明因式分解的过程。
以多项式2x^2+4xy为例，我们可以先提取公因式2x，得到2x(x+2y)。
这样，我们就完成了对该多项式的因式分解。
再如，对于多项式x^3-y^3，我们可以应用立方差公式将其进行因式分解，得到(x-y)(x^2+xy+y^2)。
四、因式分解的应用举例因式分解在数学中有着广泛的应用。
代数式的因式分解
代数式的因式分解代数式是代数学中非常重要的概念，它可以描述数与运算符号的组合关系。
在代数学中，因式分解是一项重要的计算技巧，可以将复杂的代数式分解为简单的乘法形式，从而更好地理解和处理代数式。
本文将介绍代数式的因式分解方法和相关的应用。
一、因式分解的基本概念因式分解是将代数式分解为两个或多个乘积的形式。
在进行因式分解时，需要找到代数式中的公因子或使用其他因式分解规则来拆分代数式。
因式分解可以使代数式更简洁，方便计算和推导。
二、公因子的提取公因子是多个代数式中共有的因子。
当代数式中存在公因子时，可以将公因子提取出来，从而实现因式分解的目的。
例如，对于代数式2x + 4xy，可以提取公因子 2，得到 2(x + 2y)。
三、二次方差公式的应用二次方差公式是进行因式分解的重要工具之一。
二次方差公式可以将一个平方差分解为两个乘积的形式，由此可以对代数式进行因式分解。
二次方差公式的形式为：a² - b² = (a + b)(a - b)通过使用二次方差公式，可以将一些复杂的代数式进行因式分解。
例如，对于代数式 x² - 4，可以将其因式分解为 (x + 2)(x - 2)。
四、完全平方差公式的应用完全平方差公式是进行因式分解的另一种常用方法。
完全平方差公式可以将一个二次项的平方差分解为两个乘积的形式。
完全平方差公式的形式为：a² - 2ab + b² = (a - b)²通过使用完全平方差公式，可以将一些二次项的平方差进行因式分解。
例如，对于代数式 x² - 4x + 4，可以将其因式分解为 (x - 2)²。
五、三项式的因式分解在进行因式分解时，还需要考虑到三项式的情况。
对于三项式，可以使用多项式因式分解法进行因式分解。
多项式因式分解法可以将三项式分解为两个或多个乘积的形式。
具体的方法可根据题目和代数式的特点选择。
六、应用举例以下是一些代数式因式分解的应用举例：1. 将代数式 x² - 5x + 6 进行因式分解。
因式分解初中
因式分解初中因式分解是数学中的一个重要概念，它是数学中的基础。
因式分解是将一个数分解成几个数字之积的过程。
例如，将4分解成2和2的乘积，将6分解成2和3的乘积等等。
这个概念在初中数学中非常重要，也是其他数学知识的基础。
在初中数学中，学生们需要学习如何分解多项式，这需要先掌握因式分解的基本知识。
多项式是由几个单项式相加或相减而成的，例如：3某+2y-4、4某²+3某+1等等。
在因式分解的过程中，需要找出这些多项式中的共同因子，然后将其提出来，减少多项式中的乘法项。
例如：将6某²+12某分解成6某(某+2)、将12某³-6某²+9某分解成3某(4某²-2某+3)等等。
因式分解不仅是数学基础的一部分，还有许多应用。
例如，在代数中，需要将复杂的代数式分解成简单的乘积形式，这样可以更方便地计算和比较。
在物理学和工程学中，因式分解还可以用来简化和解决问题。
例如，在电路分析中，可以使用因式分解来求解电路的电流和电压。
对于初中生来说，因式分解是一个需要耐心和注意力的过程。
首先，需要仔细观察多项式中的因子，找到它们的公共因子，例如某+4和某²+4某+4中都含有某+4这个因子。
其次，需要学习如何将多项式因式分解成可约分的因式。
最后，需要练习，在实际解题中应用所学的因式分解方法。
因式分解是数学中的一项非常重要的技能。
掌握因式分解的方法不仅有助于学生们在日常生活中更好地理解和解决问题，还有助于他们更轻松地应对高级数学知识的学习。
在学习因式分解时，学生们需要记住公共因子、可约分因式和最终诱因之间的关系，这将有助于他们更好地理解复杂的数学概念。
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本文发表于《中学数学杂志》2003年第3期
《因式分解》图解教学设计
215006 苏州市第一中学 刘祖希
图解教学法是一种由来已久的教学形式，可以誉为数学结构化思想的缩影.图解通常呈现表格式、树图式、流程图式、统计图式、示意图式等.图解法较多地出现在单元复习和本章小结，也零星出现在教科书正文部分，如实数分类、三角形四边形分类等，其主要目的是将零散的知识进行疏理、精简、概括、形式化、结构化，以助理解记忆.
是否可以突破目前图解对象仅仅限于数学基础知识的状况，将图解对象扩大为整个数学过程，包括认知规律、思想方法、学习技巧、操作要点，这是有待进一步探索的问题.
因式分解是数学教学的难点之一，技巧性极强，因此愈发凸现方法的重要性.研究者们创造了多种教学方法，如变元思想串联法、仿造想象法、类比法[1][2]等等．本文运用传统图解法使因式分解教学条理化、系统化，达到分散难点、最终突破难点的目的,其主体是因式分解的知识系统图．
1 《因式分解》在教材中的地位、联系
分式的运算
因式分解整式的乘除整式的加减→⎪⎭
⎪⎬⎫→ 2 一级知识系统图
便于行文，将《因式分解》知识系统图分解为一级、二级两个层次.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧主要用途一般步骤
基本方法基本概念因式分解 3 二级知识系统图
3．1因式分解的基本概念
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧≥≥⎩⎨⎧≤⨯⨯⨯→分解，要求分解彻底加深理解，可类比因数）分解（与其他因式无关各因式内部化简、继续项数次数部整理后继续）分解：各因式内哪些多项式可能进行（原来的次数数次数分散：各因式的次逆乘积，与整式的乘法互整式代数和变为整式的因式分解后的变化：律因式分解的依据：分配
整式整式整式式因式分解的定义：多项基本概念因式分解32
3．2因式分解的一般步骤
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→→−−−−→−⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−→−⎪⎩⎪⎨⎧−−→−−−−−→−−−−→−−−−→−必要化简继续分解继续分解必要化简四项以上式三项式二项式一般步骤：多项式因式分解在各因式内部分组分组完全平方公式平方差公式提公因式
3．3因式分解的主要用途
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧.底分解情况，采取局部、不彻灵活应用：可根据实际分式的约分、化简因式分解法解方程简便计算主要用途因式分解 3．4因式分解的基本方法
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++=-++=+=--=--=-+-=------⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++++++++⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-⎩⎨⎧)()12()2(133)(4)44(432)(4)1(4)12(32))((32332221222313222232322442242222下略拆项法：如下略添项法：如，下略，可令换元法：如下略配方法：如，展开比较系数，下略分解为待定系数法：如设）十字相乘法：（不举例特殊技巧学精神察能力、思维品质、科分组可以锻炼学生的观””或“六项式：分成“””或“五项式：分成“””或“四项式：分成“分组的技巧结合前两种基本方法分组是一种策略，紧密分组分解法述，口到、心到、手到熟记三个公式的文字叙项”是关键识别多项式中的“平方运用公式法程贯穿于因式分解的全过准确、彻底提公因式的要求、互为相反数：型如、：型如相差倍数、：型如完全一样公因式的类型大公约数系数：找各项系数的最低次字母：找相同字母的最找公因式的方法提公因式法一般方法基本方法因式分解a a a a a a a a a a a a y x x x x x x x x n x m x x x A A kA A A A 4 教学注意事项
以上图解基本涵盖了教学全过程，但要实效性突破难点，还必须对几个教学要点进行强化．此处文字较多暂不采用图解法.
4．1 加强逆向思维训练
为什么“乘法公式”在《整式乘法》中的应用要比在《因式分解》中的应用自然流畅得多？说明我们的学生习惯运算、不习惯思维，长于聚合思维、弱于发散思维，教师应该有意识加强逆向思维、发散思维训练，不仅是在《因式分解》一章中，还必须在整个数学教学中．
4．2把握各种方法的关键
学习因式分解，要抓住关键，要让学生知道，方法有限，经过有限探索一定可以解决．
“提公因式法”的关键是准确、彻底、及时，随时随地；
“运用公式法”的关键是善于识别“平方项”；
“分组分解法”的关键是勇于探索、迎难而上、永不气馁的意志品质．
4．3足量训练、注重总结
因式分解是每一代人学习的难点，会出现每一代人都要犯的错误，比如分解不彻底．这些错误完全可以通过足量训练，做到训练有素、熟能生巧．
总结经验，比如“轮换对称形式的多项式的分解结果也具有轮换对称性”这一不争事实，就可以帮助我们快速分解因式．
4．3紧贴课本、打好基础
充分使用课本习题，循序渐进，打好基础，防止任意拔高难度．尤其是接受较慢的学生可以要求他们对三个公式、三种方法的文字叙述做到“三个到”：口到、心到、手到，背得熟、想得到、写得出．
4．4设计题组、层层领悟
可以精心编选题组，使学生点滴进步、正反思考、逐步参悟．如：
提公因式法： (1)=+222
1ab b a ； (2))2(2
1212b N ab M b a +=+，则=M ，=N ． 运用公式法：
(1)=++122x x ； (2)=+
+4
12x x ； (3)=++21222x x ． 分组分解法：（略．可以按多项式的项数由四项到六项进行安排，也可以按分组时第一项和第二项、或第一项和第三项、或第一项和第四项搭配分别进行设计．）
因式分解及其方法的简单运用：
(1)若0)2()1(22=-++y x ，则=+y x ；
(2)若052422=++-+b a b a ，则b a += ；
(3)请你仿造(1) (2)自己编一个类似题目： ．
(4)若,5=-y x 则=-y x 66 ；
(5)若,6,5==-xy y x 则=-22xy y x ；
(6)若,6,5==-xy y x 则=+33xy y x ．（本题有意考察学生碰到阻碍怎么办）
参考文献：
[1] 沈文选．中学数学思想方法．湖南师范大学出版社，1999、5
[2] 朱成杰．数学思想方法教学研究导论．文汇出版社，2001、6。