新人教版必修4高中数学3.1.1《两角和与差的余弦公式》练习题
(人教版必修四)同步练习第三章-3.1-3.1.1-两角差的余弦公式(含答案)
数学·必修4(人教A 版)第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式基础提升1．cos 27°cos 57°－sin 27°cos 147°等于( ) A.32 B ．－32 C.12 D ．－12解析：原式＝cos 27°cos 57°－sin 27°cos ()180°－33°＝cos 27°cos 57°＋sin 27°cos 33°＝cos 27°cos 57°＋sin 27°sin 57°＝cos ()57°－27°＝cos 30°＝32.故选A. 答案：A2．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ()α＋β＋sin αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－()α＋β等于( ) A ．cos β B ．cos αC ．sin βD ．sin α解析：原式＝cos αcos ()α＋β＋sin αsin ()α＋β＝cos []α－()α＋β＝cos ()－β＝cos β.故选A.答案：A3.3cos π12＋sin π12的值是( )A ．0B ．－ 2 C.6＋22 D ．2解析：原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12＋12sin π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6cos π12＋sin π6sin π12＝2cos π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3cos π4＋sin π3sin π4＝2×2＋64＝6＋22.故选C.答案：C4．若α，β都是锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＝－13，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－45，则cos ()α－β的值是( )A.82－315 B.82＋315 C.－82－315 D.－82＋315解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＝－sin β＝－13，∴sin β＝13，又α，β都是锐角， ∴cos β＝223.∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos α＝－45，∴cos α＝45.又α，β都是锐角，∴sin α＝35，∴cos ()α－β＝cos αcos β＋sin αsin β＝45×223＋35×13＝82＋315.故选B.答案：B5．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝15，cos β＝110，则α－β等于() A ．－π4 B.3π4 C.π4 D ．－π4或π4解析：∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝15，cos β＝110，∴cos α＝25，sin β＝310.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝25×110＋15×310＝22.又sin α<sin β， ∴－π2<α－β<0，故α－β＝－π4.故选A. 答案：A巩固提高6．若cos α＝117，cos ()α＋β＝－4751，且α，β都是锐角，则cos β的值为( )A ．－17 B.13 C.403867 D ．－403867解析：∵β＝()α＋β－α，又cos α＝117，cos ()α＋β＝－4751， α，β都是锐角， ∴α＋β是钝角，∴sin α＝12217，sin ()α＋β＝14251. ∵cos β＝cos []()α＋β－α＝cos ()α＋βcos α＋sin ()α＋βsin α，∴cos β＝－4751×117＋14251×12217＝－47＋33651×17＝28951×17＝13. 答案：B7．已知cos α＋cos β＝35，sin α＋sin β＝45，则cos ()α－β的值为( )A ．－1B ．－12 C.12 D.32解析：∵cos α＋cos β＝35，sin α＋sin β＝45， ∴925＝cos 2α＋cos 2β＋2cos αcos β， 1625＝sin 2α＋sin 2β＋2sin αsin β， 两式相加得1＝2＋2cos αcos β＋2sin αsin β＝2＋2cos ()α－β，∴cos ()α－β＝－12.故选B.答案：B8．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.解析：α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin ()α＋β＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213， ∴α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4， ∴ cos(α＋β)＝45，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－513， 则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝45·⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35·1213＝－5665. 答案：－56659．已知函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A >0,0<φ<π)(x ∈R)的最大值是1，其图象经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12.(1)求f (x )的解析式；解析：(1)∵－1≤sin(x ＋φ)≤1，A >0，∴[]f (x )max ＝A ＝1，∵f (x )的图象经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝12， 由0<φ<π，得π3<π3＋φ<4π3，∴π3＋φ＝5π6，解得φ＝π2. ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x .(2)已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且f (α)＝35，f (β)＝1213，求f (α－β)的值．解析：(2)由f (α)＝35，f (β)＝1213，得cos α＝35，cos β＝1213，又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝1－cos 2α＝45，sin β＝1－cos 2β＝513，∴f (α－β)＝cos(α－β) ＝cos α·cos β＋sin α·sin β ＝35×1213＋45×513＝5665.。
数学人教版必修4：3.1.1 两角和与差的余弦 作业 Word版含解析
双基达标 (限时20分钟)1．计算cos 80°cos 20°＋sin 80°·sin 20°的值为 ( )．A.22B.32C.12 D ．－22答案 C2．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin α＝35，则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝ ( )．A.75 B.15 C ．－75D ．－15解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝35，∴cos α＝45.∴2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αcos π4＋sin αsin π4＝cos α＋sin α＝45＋35＝75. 答案 A3．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为( )．A.π6B.π4C.3π4D.5π6解析 ∵0<α<β<π2， ∴－π2<α－β<0,0<2α<π，∴由cos(α－β)＝55，得sin (α－β)＝－255，由cos 2α＝1010，得sin 2α＝31010. ∴cos(α＋β)＝cos []2α－(α－β) ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝1010×55＋31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－22. 又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4. 答案 C4．计算12sin 60°＋32cos 60°＝________. 解析 原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60° ＝cos(60°－30°)＝cos 30°＝32. 答案 325．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝18，则cos α＋3sin α的值为________．解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos π3cos α＋sin π3sin α＝12cos α＋32sin α ＝12()cos α＋3sin α＝18，故cos α＋3sin α＝14. 答案 146．已知sin α＝－45，sin β＝513，且180°<α<270°，90°<β<180°，求cos(α－β)． 解 因为sin α＝－45，180°<α<270°， 所以cos α＝－35.因为sin β＝513，90°<β<180°，所以cos β＝－1213. 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513 ＝3665－2065＝1665.综合提高 (限时25分钟)7．下列式子中正确的个数是( )．①cos(α－β)＝cos α－cos β；②cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β；③cos(π2－α)＝cos α；④cos(π2＋α)＝cos α.A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①②③④都错． 答案 A8．不满足sin αsin β＝22－cos αcos β的一组α，β值是 ( )．A ．α＝π2，β＝π4 B ．α＝2π3，β＝5π12 C ．α＝2π3，β＝π12D ．α＝π4，β＝π2解析 因为sin αsin β＝22－cos αcos β，所以cos(α－β)＝22，经检验C 中的α，β不满足，故选C.答案 C9．若α为锐角，且cos α＝255，则cos (π4－α)＝________.解析 由α为锐角，且cos α＝255，可得sin α＝55.于是cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cosα＋sin αsin π4＝22×255＋22×55＝31010.答案 3101010．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin ()α＋β＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.解析 ∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，∴α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4， 又sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，∴cos(α＋β)＝1－sin 2(α＋β)＝45， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－ 1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－513.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1213＝－5665.答案 －566511．已知α、β为锐角，且cos α＝45，cos(α＋β)＝－1665，求cos β的值． 解 ∵0<α，β<π2，∴0<α＋β<π. 由cos(α＋β)＝－1665，得sin(α＋β)＝6365. 又∵cos α＝45，∴sin α＝35. ∴cos β＝cos [](α＋β)－α ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1665×45＋6365×35＝513.12．(创新拓展)已知cos (α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，求角β的值．解 由cos (α－β)＝－1213，且π2<α－β<π， 得到sin(α－β)＝513，由cos(α＋β)＝1213，且3π2<α＋β<2π， 得到sin(α＋β)＝－513.于是cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝1213×(－1213)＋(－513)×513＝－1. 由于π2<α－β<π，所以－π<β－α<－π2，与3π2<α＋β<2π相加得到， π2<2β<3π2.故2β＝π，从而β的值为π2.。
人教版高中数学必修四 3.1. 1 两角差的余弦公式 练习 【教师版】
必修四第三章两角差的余弦公式一、选择题．化简(＋)(－)＋(＋)(－)的结果是( )．．．－．－【答案】【解析】原式＝(＋)(－)＋(＋)·(－)＝[(＋)－(－)]＝.故选。
、°· °＋°· °的值是(). ．－. ．【答案】【解析】°· °＋°· °＝°· °＋°· °＝(°－°)＝°＝.故选。
.若＝( °， °)，＝( °， °)，则·＝( )．－【答案】【解析】·＝°°＋°·°＝(°－°)＝°＝.故选..下列式子中，正确的个数为( )①(α－β)＝α－β；②＝β；③(α－β)＝αβ－αβ.．个．个．个．个【答案】【解析】①错误；＝－β，故②错误；③中，(α－β)＝αβ＋αβ，所以③错误，故选.．在△中，若<，则△是()．等边三角形．直角三角形．锐角三角形．钝角三角形【答案】【解析】由题意，得－>.即(＋)>，－>，<.又<<π，故<<π，△为钝角三角形．故选。
.若，∈，则＋的最大值为( )．．．．【答案】【解析】＋＝(－)，故所求最大值为.故选。
二、填空题.已知α＝，α∈，则＝.【答案】【解析】因为α＝，α∈，所以α＝－，所以＝α＋α＝×＋×＝。
．°－ °的值等于．【答案】－【解析】原式＝(°－°)－(°－°)＝°°＋° °－( ° °＋°°)＝－×＋×－×－×＝－。
高中数学人教B版必修4作业：3.1.1 两角和与差的余弦 Word版含解析
一、选择题1．cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°的值为( ) A ．－32 B.32 C.22D ．－22【解析】 cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝32. 【答案】 B2．若α∈(0，π)，且cos(α＋π3)＝45，则cos α等于( ) A.4－3310B.－4－3310 C.4＋3310D.－4＋3310【解析】 ∵α∈(0，π)且cos(α＋π3)＝45， ∴sin(α＋π3)＝35. cos α＝cos[(α＋π3)－π3] ＝45×12＋35×32＝4＋3310. 【答案】 C3．已知：cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45，且180°＜α＜270°，则tan α等于( )A.34 B ．－34 C.45D ．－45【解析】 由已知得cos[(α＋β)－β]＝－45，即cos α＝－45.又180°＜α＜270°，所以sin α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝34.【答案】 A4．设α∈(0，π2)，sin α＝35，则2cos(α＋π4)＝( ) A.15 B ．－15 C.25D ．－25【解析】 ∵α∈(0，π2)，sin α＝35，∴cos α＝45，∴2cos(α＋π4)＝2(cos αcos π4－sin αsin π4)＝cos α－sin α＝45－35＝15. 【答案】 A5．若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)的值为( ) A ．－12 B.12 C ．－32D.32【解析】 ∵(sin α－sin β)2＋(cos α－cos β)2＝2－2cos(α－β)＝(1－32 )2＋(12)2，∴cos(α－β)＝32.【答案】 D 二、填空题6．化简：2cos 10°－sin 20°cos 20°＝________.【解析】 2cos 10°－sin 20°cos 20°＝2cos (30°－20°)－sin 20°cos 20°＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°cos 20°＝ 3.【答案】37．(2019·成都高一检测)若cos θ＝－1213，θ∈(π，3π2)，则cos(θ＋π4)＝________.【解析】 ∵cos θ＝－1213，θ∈(π，3π2)， ∴sin θ＝－513，∴cos(θ＋π4)＝cos θcos π4－sin θsin π4＝－1213×22－(－513)×22＝－7226. 【答案】 －72268．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，α，β∈(0，π)且a ⊥b ，则α－β的值为________．【解析】 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，即cos αcos β＋sin αsin β＝0，从而cos(α－β)＝0. ∵α，β∈(0，π)，∴－π＜α－β＜π， ∴α－β＝π2或－π2. 【答案】 ±π2 三、解答题9．已知α、β为锐角，且cos α＝110，cos β＝15，求α＋β的值． 【解】 ∵α，β为锐角，∴sin α＝310，sin β＝25， ∴cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝110·15－310·25＝－550＝－22.又0＜α＋β＜π，∴α＋β＝3π4.10．(2019·广东高考)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈R .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值；(2)若cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6.【解】 (1)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝2cos π4＝2×22＝1.(2)因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，cos θ＝35，所以sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6－π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ＋22sin θ＝cos θ＋sin θ＝35－45＝－15.11．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255. (1)求cos(α－β)；(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－513，求sin α. 【解】 (1)∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， ∴a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)． ∵|a －b |＝255，∴(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝255， 即2－2cos(α－β)＝45，∴cos(α－β)＝35. (2)∵0<α<π2，－π2<β<0，∴0<α－β<π. ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵sin β＝－513，∴cos β＝1213. ∴cos α＝cos[(α－β)＋β] ＝cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β ＝35×1213－45×(－513)＝5665.π2，∴sin α＝1－cos2α＝3365.又0<α<。
高中数学必修四 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 测试题
3.1.1 两角差的余弦公式 一、 选择题1．cos(－75°)的值是( )A.6－22B.6＋22C.6－24D.6＋242．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝1213，sin β＝－35，则cos(α－β)的值为( )A ．－6365B ．－3365 C.6365 D.33653．已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos(2π－β)的值为( )A.3365 B ．－3365 C.5465 D ．－5465 4．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形 5．已知α，β均为锐角，且cos α＝2 55，cos β＝1010，则α－β等于( )A.π4 B ．－π4 C.π2 D ．－π26．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝45，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，7π4，则cos x 的值为( ) A.210 B.7 210 C.310 D.7 310二、填空题7．已知α是第二象限角，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－35，则cos α＝________.8．若a ＝(cos60°，sin60°)，b ＝(cos15°，sin15°)，则a ·b ＝________. 三、解答题9．已知sin(π－α)＝437，cos(α－β)＝1314，0<β<α<π2，求角β的大小．10．已知函数f (x )＝－cos2x cos 5π4＋sin2x sin 9π4.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若π8<α<β<π2，f (α)＝2＋64，且f (β)＝6－24，求角2β－2α的大小．3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式二、 选择题1．已知下列四个等式：①sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； ②cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；③cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α；④tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.其中恒成立的等式有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 2.1－tan15°1＋tan15°的值为( ) A. 3 B.33C ．1D ．－ 33．若sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＋α＝( ) A ．－210 B ．210 C ．－7210 D ．72104．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β等于( )A ．2B ．1 C.12 D ．45．若0<α<π2，0<β<π2，且tan α＝17，tan β＝34，则α＋β等于( )A.π6B.π4C.π3D.3π46．已知tan α和tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则a ，b ，c的关系是( )A ．b ＝a ＋cB ．2b ＝a ＋cC ．c ＝b ＋aD ．c ＝ab二、填空题7．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝______.8．若sin(α＋β)＝15，sin(α－β)＝35，则tan αtan β＝________.三、解答题9．求下列各式的值．(1)tan π12； (2)tan75°－tan15°1＋tan75°tan15°.10．已知tan α＝－13，cos β＝55，α，β∈(0，π)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f (x )＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值．。
高中数学必修四《3.1两角和与差的三角函数测试》练习题新人教版必修4
A.-cot2
2
B. -
3
3
3
C.-
D.
2
2
6. 已知 sin θ +cosθ ＝ 2 (0 ＜ θ＜ π ) ，则 cos2 θ 的值为 ( ) 2
A. ± 3 2
B.- 3 2
C. 3 2
D.- 1 2
7. 已知 cos78 °约等于 0.20 ，那么 sin66 °约等于 ( )
A. 0.92
-sin10 ° ( cos5 - sin 5 ) ＝ cos10 -sin10 °
4 sin 10 cos10
sin 5 cos5
2 sin 10
cos10
cos10
cos10 2 sin 20 cos10 2 sin(30 10 )
＝
-2cos10 °＝
＝
＝
sin 5 cos5 2sin10
2sin10
2
16. 解：∵ tan α-tan β ＝2tan α tan β
tan
tan β ＝
2
tan2
∴原式＝ sin 2 cos
cos 2 sin ＝ sin 2 +cos2α ＝ sin2 α · 1 2 tan 2
sin
tan
tan
+cos2
α
＝ 2sin α cos α· 1 2 tan 2 tan
2
2
2
3. 如图， ABCD是半圆 O的内接等腰梯形，其中 AB为半圆直径， AB＝ 2，设∠ COB＝α ，梯形 的周长为 l ，求 l 的最大值 .
第三章 三角恒等变换 两角和与差的三角函数单元测试 【课内四基达标】 一、 1.B 2.C 3.A 4.C 5.C 6.B 7.A 8.A 9.D 10.C
2019-2020学年高中数学 3.1.1两角和与差的余弦习题新人教B版必修4.doc
2019-2020学年高中数学 3.1.1两角和与差的余弦习题新人教B 版必修41、 计算① cos105︒ ②cos15︒ ③cos 5πcos 103π-sin 5πsin 103π 解：①cos105︒=cos(60︒+45︒)=cos60︒cos45︒-sin60︒sin45︒ =46222232221-=⋅-⋅ ②cos15︒ =cos(60︒-45︒)=cos60︒cos45︒+sin60︒sin45︒ =46222232221+=⋅+⋅ ③cos5πcos 103π-sin 5πsin 103π= cos(5π+103π)=cos 2π=0 2、已知sin α=53，cos β=1312求cos(α-β)的值 解：∵sin α=53>0，cos β=1312>0 ∴α可能在一、二象限，β在一、四象限若α、β均在第一象限，则cos α=54，sin β=135 cos(α-β)=656313553131254=⋅+⋅ 若α在第一象限，β在四象限， 则cos α=54，sin β=-135 cos(α-β)=6533)135(53131254=-⋅+⋅ 若α在第二象限，β在一象限， 则cos α=-54，sin β=135 cos(α-β)=6533135531312)54(-=⋅+⋅- 若α在第二象限，β在四象限， 则cos α=-54，sin β=-135 cos(α-β)=6563)135(531312)54(-=-⋅+⋅- 3、已知cos(2α-β)=-1411,sin (α-2β)=734,且4π<α<2π,0<β<4π, 求cos(α+β)的值。
分析：已知条件中的角与所求角虽然不同，但它们之间有内在联系，即(2α-β)-(α-2β)=α+β由α、β角的取值范围，分别求出2α-β、α-2β角的正弦和余弦值，再利用公式即可求解。
解：∵40,24πβπαπ<<<<, ∴4π<2α-β<π,- 4π<α-2β<2π, 由cos(2α-β)=-1411得，sin (2α-β)=1435; 由sin (α-2β)=734得，cos(α-2β)=71。
数学必修4优化训练：3.1.1两角和与差的余弦 含解析 精品
第3章 三角恒等变换3.1 两角和与差的三角函数 3.1.1 两角和与差的余弦5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.若sin （2π+α）=-54，α∈（2π，π），则cos （3π-α）=_______________.思路解析：由诱导公式得sin （2π+α）=cos α=-54，又α∈（2π，π），所以sin α=53.所以cos （3π-α）=cos 3πcos α+sin 3πsin α=21×（-54）+23×53=10433-.答案:10433- 2.计算cos （α-35°）cos （25°+α）+sin （α-35°）sin （25°+α）=____________. 思路解析：逆用两角差的余弦公式可得到结果. 原式=cos(α-35°-25°-α)=cos(-60°)=21. 答案:21 10分钟训练（强化类训练,可用于课中）1.已知sin α=53，cos β=1312，求cos （α-β）的值. 解：∵sin α=53＞0，cos β=1312＞0，∴α可能在一、二象限，β在一、四象限.若α、β均在第一象限，则cos α=54，sin β=135，cos （α-β）=54·1312+53·135=6563. 若α在第一象限，β在第四象限，则cos α=54，sin β=-135，cos （α-β）=54·1312+53·(-135)=6533. 若α在第二象限，β在第一象限，则cos α=-54，sin β=135，cos （α-β）=（-54）·1312+53·135=-6533.若α在第二象限，β在第四象限，则cos α=-54，sin β=-135，cos （α-β）=（-54）·1312+53·（-135）=-6563.2.计算sin33°cos27°+sin57°cos63°的值.思路解析：从整体出发，对局部进行三角变换，出现特殊值是求值常用的方法.题目中都是非特殊角，不能直接计算，可将sin33°化为cos57°,cos63°化为sin27°，再逆用两角和的余弦公式，则迎刃而解. 解：原式=cos57°cos27°+sin57°sin27°=cos(57°-27°)=cos30°=23. 3.已知cos α=71，cos （α+β）=-1411，且α、β∈（0，2π），求cos β的值.思路解析：本题的解法要求观察并分析出角和角之间的关系β=（α+β）-α，再利用两角差的余弦公式展开，求出结果.这种“变角”的技巧在三角函数求值以及证明中常用，因为变角后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或证明.要注意，避免出现将cos （α+β）展开，通过解方程54cos β-53sin β=53求cos β这种复杂方法. 解:由于α，β∈（0，2π），cos α=71，cos （α+β）=-1411，则sin α=α2cos 1-=2)71(1-=734, sin （α+β）=22)1411(1)(cos 1--=+-βα=1435. 所以cos β=cos ［（α+β）-α］=cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α=-1411×71+1435×734=21. 4.已知sin α+sin β=53，cos α+cos β=54，求cos （α-β）的值. 思路解析：本题是一道综合题，由于cos （α-β）=cos αcos β+sin αsin β，欲求cos （α-β）的值，只需求出cos αcos β+sin αsin β的值，而要得到两组同名三角函数乘积，需将条件两式平方，再相加即得cos αcos β+sin αsin β的结果. 解：①sin α+sin β=53， ②cos α+cos β=54. ①式平方得sin 2α+2sin αsin β+sin 2β=259， ②式平方得cos 2α+2cos αcos β+cos 2β=2516.以上两式相加，得2+2（cos αcos β+sin αsin β）=1, 即2+2cos （α-β）=1， 得到cos （α-β）=-21. 5.求cos80°cos35°+cos10°cos55°的值.解： cos80°cos35°+cos10°cos55°=cos80°cos35°+cos （90°-80°）cos （90°-35°）=cos80°cos35°+sin80°sin35°=cos （80°-35°）=cos45°=22. 6.已知cos （α-β）=-54，cos （α+β）=54，且（α-β）∈（2π，π），（α+β）∈（23π，2π），求cos2β的值.思路解析：此题主要考查灵活“变角”的技巧.由分析可知2β=（α+β）-（α-β）. 解：由于cos （α-β）=-54，cos （α+β）=54，且（α-β）∈（2π，π），（α+β）∈（23π，2π），可得sin （α-β）=53，sin （α+β）=-53， 所以cos2β=cos ［（α+β）-（α-β）］=cos （α+β）·cos （α-β）+sin （α+β）·sin （α-β）=54·（-54）+（-53）·53=-1. 志鸿教育乐园过路费甲同学要回坐位，但被乙同学挡着路，乙同学向甲同学说：“此路是我开，此树是我栽，我想从此过，留下买路财！”这时老师站在门外说：“刷卡可以吗？” 30分钟训练（巩固类训练,可用于课后） 1.(2005 上海)若cos α=71,α∈(0,2π),则cos(α+3π)=_________________. 思路解析：∵α∈(0,2π), ∴sin α=4911-=734,cos(α+3π)=cos αcos 3π-sin αsin 3π=71×21-734×23=-1411.答案:-14112.设α∈(0,2π),若sin α=53,则2cos(α+4π)等于( )A.57 B.51 C.-57 D.-51思路解析：∵α∈(0,2π),若sin α=53，∴cos α=54.∴2cos(α+4π)=2(cos αcos 4π-sin αsin 4π)=51.答案:B3.sin163°sin223°+sin253°sin313°等于( )A.-21 B.21 C.-23 D. 23思路解析：sin163°sin223°+sin253°sin313°＝sin163°sin223°+cos(90°-253°)cos(90°-313°) ＝cos163°cos223°+ sin163°sin223° ＝cos(223°-163°) ＝cos60°=21. 答案:B4.（2005 广东）化简f(x)=cos(316+k π+2x)+cos(316-k π-2x)+23sin(3π+2x)(x ∈R ,k ∈Z ),并求函数f(x)的值域和最小正周期.解:f(x)=cos(2k π+3π+2x)+cos(2k π-3π-2x)+23sin(3π+2x) =cos(3π+2x)+cos(3π+2x)+23sin(3π+2x)=2cos(3π+2x)+23sin(3π+2x)=4［cos(3π+2x)cos 3π+sin(3π+2x)sin 3π］=4cos2x.∴f(x)∈［-4,4］,T=22π=π. ∴f(x)的值域是［-4,4］，最小正周期是π. 5.化简315sinx+35cosx. 解：原式=65（23sinx+21cosx ）=65（sin60°sinx+cos60°cosx ） =65cos （60°-x ）.6.已知sin α+sin β+sin γ=0，且cos α+cos β+cos γ=0. 求证：cos （α-β）=-21. 证明：由已知可得sin α+sin β=-sin γ， cos α+cos β=-cos γ.两式平方相加得到2+2cos （α-β）=1. 所以cos （α-β）=-21.得证. 7.如图3-1-1，平面直角坐标系中，已知OA =（cos80°，sin80°），OB =（cos20°，sin20°），求|AB |.若AB 中点是C ，那么|OC |呢？图3-1-1 思路解析：这道题属于向量和三角函数的综合问题. 解:AB =（cos20°-cos80°，sin20°-sin80°）,|AB |=2)80sin 20(sin )80cos 20(cos ︒-︒+︒-︒=2222280sin 80sin 20sin 80cos 20cos 220cos ︒+︒︒+︒+︒-︒ =)80sin 20sin 80cos 20(cos 211︒︒+︒︒-+ =)2080cos(22︒-︒- =︒-60cos 22 =1.可知△AOB 是等边三角形，可求得|OC |=23. 8.已知sin α+sin β=22，求cos α+cos β的取值范围. 思路解析：本题用到了平方关系：sin 2α+cos 2α=1，这一关系在三角函数运算中经常用到. 解：由于sin α+sin β=22， 等式两边平方可知，sin 2α+2sin αsin β+sin 2β=21. ① 设cos α+cos β=m,平方可知，cos 2α+2cos αcos β+cos 2β=m 2. ② ①+②得sin 2α+2sin αsin β+sin 2β+cos 2α+2cos αcos β+cos 2β=m 2+21, 整理，有m 2=23+2cos （α-β）. 又由于cos （α-β）∈［-1，1］，所以m 2∈［-21，27］，即得0≤m 2≤27. 解得-214≤m ≤214. 所以-214≤cos α+cos β≤214. 9.已知0<β<4π,4π<α<43π,cos(4π-α)=53,sin(43π+β)=135,求sin(α+β)的值.思路解析：注意到(43π+β)-(4π-α)=2π+(α+β)，可先求cos ［2π+(α+β)］.对给值求值问题，要认真观察分析题目中的条件和结论中各个角度之间的关系，实现由已知到未知的代换.解：∵4π<α<43π,∴-2π<4π-α<0.∴sin(4π-α)=-54.又∵0<β<4π,∴43π<43π+β<π.∴cos(43π+β)=-1312.∴sin(α+β)=cos ［2π-(α+β)］=-cos ［2π+(α+β)］=-cos ［(43π+β)-(4π-α)］=-［(-1312)×53+135(-54)］=6556.。
高中数学人教版必修四课后练习(含解析)：3.1.1两角差的余弦公式
班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________
♒♒♒♒♒♒♒课后练习 · 练习案♒♒♒♒♒♒♒
基础过关
1．已知 A. 2．sin A.0 3．在△ABC 中，若 A.锐角三角形 4．已知 B.钝角三角形 B. cos 的值是 B.— C. D.2sin ，则此三角形的形状为 C.直角三角形 ，则 ; D.不确定 的值为_______. ， C. ，则 cos(α−β)= D.1
6． 方法一 由 cos α=- ,π<α<
由 π<α< 因此,α-β=
,0<β< 可得- <-β<0, <α-β< .
,
方法二 由 cos α=- ,π<α< 由 tan β= ,0<β< ,得 sin β= β=()× -(- )× =- .
,得 sin α=,cos β=
.
,所以 sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin
均为锐角，且
5．化简下列各式:(1) cos x+ sin x= (2) cos x+sin x= . ;
(3)cos x+sin x=
6．(2012· 扬州检测)设 cos α=- ,tan β= ,π<α<
,0<β< ,求 α-β 的值.
7．巳知 cos(α−β)cosα+sin(α−β)sinα=m，且 β 为第三象限角，求 sinβ. 8．已知 ，α∈(0，π)， ， 是第三象限角，求 的值.
由 π<α< 因此,α-β= 7．解：
,0<β< 可得- <-β<0, <α-β< .
高中数学 3.1.1 两角差的余弦公式习题1 新人教A版必修4
3.1.1两角差的余弦公式1．化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)·sin(α＋15°)的结果为( )A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：原式＝cos(45°－α＋α＋15°)＝cos 60°＝12.答案：A2．不满足sin αsin β＝22－cos αcos β的一组α，β值是( ) A ．α＝π2，β＝π4B ．α＝2π3，β＝5π12C ．α＝2π3，β＝π12D ．α＝π4，β＝π2解析：因为sin αsin β＝22－cos αcos β，所以cos (α－β)＝22.经检验C 中的α，β不满足，故选C.答案：C3．已知△ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，若a ＝(cos A ，sin A )，b ＝(cos B ，sin B )，且a·b ＝1，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：因为a·b ＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝cos(A －B )＝1，且A 、B 、C 是三角形的内角，所以A ＝B ，即△ABC 一定是等腰三角形． 答案：B4．化简求值：cos 80°·cos 35°＋cos 10°·cos 55°＝________.解析：原式＝cos 80°·cos 35°＋sin 80°·sin 35°＝cos(80°－35°)＝cos 45°＝22.答案：225．已知cos⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＝18，则cos α＋3sin α的值为________．解析：cos⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＝cosπ3cos α＋sinπ3sin α＝12cos α＋32sin α＝12(cos α＋3sin α)＝18.∴cos α＋3sin α＝14.答案：146．已知sin α＝45，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，cos β＝－513，β是第三象限角，求cos(α－β)．解：∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，∴cos α＝－35.又β在第三象限且cos β＝－513，∴sin β＝－1213.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－35×⎝⎛⎭⎪⎫－513＋45×⎝⎛⎭⎪⎫－1213＝1565－4865＝－3365.7．化简：2cos 10°－sin 20°cos 20°.解：原式＝－－sin 20°cos 20°＝2cos 30° cos 20°＋2sin 30°sin 20°－sin 20°cos 20°＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°cos 20°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.8．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝513，0<θ<π3，则cos θ等于( ) A.53＋1226 B.12－5313 C.5＋12326D.6＋5313解析：∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，∴θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1213. 又cos θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6－π6＝53＋1226.答案：A9．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0和cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos (α－β)的值是( )A.12 B.32 C ．－12D ．－32解析：由已知得，－sin γ＝sin α＋sin β，① －cos γ＝cos α＋cos β，②①2＋②2得，1＝1＋1＋2sin αsin β＋2cos αcos β， 化简得cos αcos β＋sin αsin β＝－12，即cos(α－β)＝－12.答案：C10．函数f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x 的最小正周期是______．解析：由于f (x )＝cos 2x cos π6＋sin 2x sin π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以T ＝2π2＝π.答案：π11．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝453，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值是______． 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝32cos α＋32sin α ＝453， 12cos α＋32sin α＝45， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝45.答案：4512．若cos (α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角，且α<β，求α＋β的值．解：∵0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0,0<2α<π.∴由cos(α－β)＝55， 得sin(α－β)＝－255，由cos 2α＝1010， 得sin 2α＝31010.∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)] ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝1010×55＋31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－22.又α＋β∈(0，π)， ∴α＋β＝3π4.13．已知△ABC 中，sin(A ＋B )＝45，cos B ＝－23，求cos A .解：∵cos B ＝－23，∴B 为钝角，且sin B ＝53. ∴A ＋B 为钝角． ∵sin(A ＋B )＝45，∴cos(A ＋B )＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35.∴cos A ＝cos[(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B ＝－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋45×53＝6＋4515.1．应用两角差余弦公式的三个注意点(1)在差角的余弦公式中，α，β既可以是单角，也可以是复角． (2)要注意诱导公式的应用．(3)公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择． 2．应用两角差余弦公式解决的两类问题(1)给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值)，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．(2)“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找区间)；③确定角的值． 确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
数学人教b版高一必修4：3.1.1两角和与差的余弦作业含解析
双基达标 (限时20分钟)1．计算cos 80°cos 20°＋sin 80°·sin 20°的值为 ( )．A.22B.32C.12 D ．－22答案 C2．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin α＝35，则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝ ( )．A.75 B.15 C ．－75D ．－15 解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝35，∴cos α＝45.∴2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αcos π4＋sin αsin π4＝cos α＋sin α＝45＋35＝75. 答案 A3．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为( )． A.π6 B.π4 C.3π4D.5π6解析 ∵0<α<β<π2， ∴－π2<α－β<0,0<2α<π，∴由cos(α－β)＝55，得sin (α－β)＝－255， 由cos 2α＝1010，得sin 2α＝31010.∴cos(α＋β)＝cos []2α－(α－β) ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝1010×55＋31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－22. 又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4. 答案 C4．计算12sin 60°＋32cos 60°＝________. 解析 原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60° ＝cos(60°－30°)＝cos 30°＝32. 答案 325．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝18，则cos α＋3sin α的值为________．解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos π3cos α＋sin π3sin α ＝12cos α＋32sin α ＝12()cos α＋3sin α＝18，故cos α＋3sin α＝14. 答案 146．已知sin α＝－45，sin β＝513，且180°<α<270°，90°<β<180°，求cos(α－β)． 解 因为sin α＝－45，180°<α<270°， 所以cos α＝－35.因为sin β＝513，90°<β<180°，所以cos β＝－1213. 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513 ＝3665－2065＝1665.综合提高 (限时25分钟)7．下列式子中正确的个数是( )．①cos(α－β)＝cos α－cos β；②cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β；③cos(π2－α)＝cos α；④cos(π2＋α)＝cos α.A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①②③④都错． 答案 A8．不满足sin αsin β＝22－cos αcos β的一组α，β值是 ( )．A ．α＝π2，β＝π4 B ．α＝2π3，β＝5π12 C ．α＝2π3，β＝π12D ．α＝π4，β＝π2解析 因为sin αsin β＝22－cos αcos β，所以cos(α－β)＝22，经检验C 中的α，β不满足，故选C.答案 C9．若α为锐角，且cos α＝255，则cos (π4－α)＝________. 解析 由α为锐角，且cos α＝255，可得sin α＝55.于是cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin αsin π4＝22×255＋22×55＝31010.答案3101010．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin ()α＋β＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.解析 ∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，∴α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，又sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，∴cos(α＋β)＝1－sin 2(α＋β)＝45，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－ 1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－513.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1213＝－5665.答案 －566511．已知α、β为锐角，且cos α＝45，cos(α＋β)＝－1665，求cos β的值． 解 ∵0<α，β<π2，∴0<α＋β<π. 由cos(α＋β)＝－1665，得sin(α＋β)＝6365. 又∵cos α＝45，∴sin α＝35. ∴cos β＝cos [](α＋β)－α ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1665×45＋6365×35＝513. 12．(创新拓展)已知cos (α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，求角β的值．解 由cos (α－β)＝－1213，且π2<α－β<π， 得到sin(α－β)＝513，由cos(α＋β)＝1213，且3π2<α＋β<2π，得到sin(α＋β)＝－513.于是cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝1213×(－1213)＋(－513)×513＝－1. 由于π2<α－β<π，所以－π<β－α<－π2，与3π2<α＋β<2π相加得到， π2<2β<3π2.故2β＝π，从而β的值为π2.。
人教版高中数学高一-3.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 同步练习一(新人教A版必修四)
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式第1题． 已知15sin 17θ=，θ是第二象限角，求cos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭π的值．第２题． 已知2sin 3α=-，3,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，3cos 4β=，3,22βπ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，求()cos βα-的值．第３题．化简sin119sin181sin91sin 29-等于（ ）Ａ．12 Ｂ．12-Ｄ． 答案：Ｂ第４题． tan15cos15+等于（ ）Ａ．2Ｂ．2Ｃ．4答案：Ｃ第５题．化简22cos8++的结果是（ ） Ａ．2sin 4 Ｂ．2sin 44cos4- Ｃ．2sin 4- Ｄ．4cos42sin 4-答案：Ｄ第６题．化简22πsin cos 2sin 2242ααα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的结果为（ ）Ａ．2sin α+Ｂ．2αＣ．2Ｄ．π24α⎛⎫++ ⎪⎝⎭答案：Ｃ第7题．化简tan10tan 20tan 20tan60tan60tan10++···的值等于（ ）20Ｂ．tan10Ｃ．2Ｄ．1答案：Ｄ第8题．设θ是三角形的最小内角，且2222cos sin cos sin 12222a a a θθθθ+--=+，则a 的取值范围是（ ） Ａ．3a <- Ｂ．3a -≤ Ｃ．1a <- Ｄ．1a -≤答案：Ｂ第9题．若a (tan 25tan 353)=+，，b (1tan 25tan 35)=，·，则a b =· ．第10题．化简2cos4cos2cos 3x x x -= ． 答案：2sin x -第11题． 1tan151tan165+=+．第12题．若A B ，是锐角三角形ABC 的内角，则tan tan A B 的值 1．（填“大于”、“小于”、“等于”）． 答案：大于第13题．若1sin cos 2αβ=，则cos sin αβ的取值范围是 ． 答案：1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，第14题．求证：2cos 1sin 24cot tan 22θθθθ=-．证明：原式左边2cos cot tan22θθθ=-22cos cos cos cos sin122sin 2sin cos 22θθθθθθθθ==- 21sin 1cos sin cos 2cos 2θθθθθ==· 1sin 24θ==右边，∴原式得证．第15题．已知1tan 23α=，求tan α的值．答案：3- 由1tan 23α=得22tan 11tan 3αα=-．这是一个关于tan α的方程，解此方程可求得tan α的值．体现方程思想的运用．第16题． 已知3cos 5α=，0α<<π，求cos 6απ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．答案：410+．第17题． 已知2sin 3α=，3cos 4β=-，,2αθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π，3,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ，求()cos αβ-的值．第18题．已知3πtan 2π42θθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，求22cos sin 12π4θθθ+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．解：由22tan 3tan 21tan 4θθθ==-， 得1tan 3θ=或tan 3θ=-．ππ2θ<<，∴只有tan 3θ=-符合题意．22cos sin 1cos sin 2πcos sin 4θθθθθθθ+-+∴=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭1tan 11tan 2θθ+==--．第19题．已知tan tan αβ，是一元二次方程22(42)230mx m x m +-+-=的两个不等实根，求函数2()53tan()4f m m m αβ=+++的值域．解：由已知，有12tan tan m m αβ-+=，23tan tan 2m mαβ-=·， 24tan()3mαβ-∴+=． 又由0∆>，知10(0)2m ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭，，∞，2224()534(1)33mf m m m m -∴=++=++·． 当10(0)2m ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭，，∞时()f m 在两个区间上都为单调递增，故所求值域为134(4)4⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，∞．第20题．已知3sin 5α=-，α是第四象限角，求sin 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭π，cos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭π，tan 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭π的值．答案：解：由3sin 5α=-，α是第四象限角，得4cos 5α===，所以3sin 35tan 4cos 45ααα-===-．于是有sin sin cos cos sin 444ααα⎛⎫-=-⎪⎝⎭πππ4355⎛⎫=- ⎪⎝⎭10=cos cos cos sin sin 444ααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭πππ432525⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭=tan tantan 14tan 41tan 1tan tan 4ααααα--⎛⎫-== ⎪+⎝⎭+πππ 3147314--==-⎛⎫+- ⎪⎝⎭．第21题． 已知12sin 13θ=-，θ是第三象限角，求cos 6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭π的值．答案：1226-．第22题．已知tan 3α=，求tan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭π的值． 答案：2-．第23题．在ABC △中，4cos 5A =，tan 2B =，求()tan 22A B +的值． 答案：解法１：在ABC △中，由 4cos 5A =，0A <<π，得3sin 5A ===．所以，sin 353tan cos 544A A A ==⨯=， 22322tan 244tan 21tan 7314A A A ⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭． 又tan 2B =，所以 222tan 224tan 21tan 123B B B ⨯===---． 于是 tan 2tan 2tan(22)1tan 2tan 2A BA B A B++=-244473244117173-==⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭．解法２：在ABC △中，由4cos 5A =，0A <<π，得3sin 5A ===．所以 sin 353tan cos 544A A A ==⨯=． 又tan 2B =，所以 tan tan tan()1tan tan A BA B A B ++=-3243124⨯=-⨯ 112=-．于是 ()tan(22)tan 2A B A B +=+⎡⎤⎣⎦()()2tan 1tan A B A B +=-+211221112⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭44117=．第24题． 已知()()1cos cos sin sin 3αββαββ+++=，且3,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ，求cos 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭π的值．答案：818-．由已知得1cos 3α=，于是有sin 3α=-，sin 29α=-，7cos 29α=-．。
高中数学3.1和角公式3.1.1两角和与差的余弦优化训练新人教B版必修4(2021学年)
高中数学3.1 和角公式3.1.1 两角和与差的余弦优化训练新人教Ｂ版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学 3.1 和角公式 3.1.1 两角和与差的余弦优化训练新人教B版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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３。
1。
1 两角和与差的余弦５分钟训练（预习类训练,可用于课前)１。
(高考全国卷Ⅰ,文１)已知向量a 、b 满足｜a |=1，｜ｂ|＝4,且ａ·b =2，则a 与b 的夹角为( )A 。
6π Ｂ。
4π Ｃ.3πD 。
2π 解析：∵ａ·b =|a ｜|b ｜ｃos 〈a ,b 〉,2=1×4cｏs 〈ａ,b 〉, ∴ｃo ｓ〈a ，b 〉=21，＜a ，b ＞=3π． 答案:C2.(高考湖北卷，理1)已知向量a =（3，１)，b 是不平行于ｘ轴的单位向量,且ａ·b =3，则ｂ等于（ ） A 。
（23,21) B.（21,23)C.（41,433） D.(1,0） 解析:Ａ答案中的b 不满足a ·b ＝3,C 答案中的b 不是单位向量,D 答案中的ｂ平行于x 轴,所以淘汰A 、Ｃ、Ｄ,而B 答案满足题设所有条件。
答案:B３.不查表求值：cos8０°cｏs20°+sin８0°sin20°=＿____＿___＿___. 解析:原式=c ｏs(8０°-２0°)＝cos ６0°＝21. 答案:214.化简：ｃos （x+ｙ)c ｏs （x —ｙ）—sin （ｘ+y ）ｓin(ｘ－y)＝＿_______＿_＿＿__. 解析:原式=c ｏｓ［（x ＋ｙ)+(x —y)]＝ｃｏs2ｘ． 答案：cos2x１０分钟训练(强化类训练，可用于课中)１。
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单元练习
§3.1.1 两角和与差的余弦公式
【学习目标、细解考纲】
1、 经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数间的联系；
2、 用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用；
3、 能用余弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等变形。
【知识梳理、双基再现】
1、_______;____________________)cos(_______;
____________________)cos(=-=+βαβα
【小试身手、轻松过关】
1．________15cos = ; _________105cos = 。
2、__;__________1211
cos =π .________________)1217
cos(=-π
.
______________)cos(____,__________)cos(),2,0(,53cos ),,2(,1715
sin 3=+=-∈=∈=βαβαπ
ββππ
αα那么、4．已知)23,(,1312
cos ππθθ∈-=，那么.____________)4cos(的值等于π
θ+
【基础训练、锋芒初显】
5、)cos(),cos(),23,(,43cos ),,2(,32
sin βαβαπ
πββππ
αα-+∈-=∈=求已知
6、在,cos cos sin sin B A B A ABC <∆中，若则ABC ∆是（ ）
A 、锐角三角形
B 、钝角三角形
C 、直角三角形
D 、不确定
7、ααπ
αcos ,1715
)3cos(为钝角，求已知=-
单元练习
8、ABC ∆中，sinA =,53cosB=135
,求cosC 的值。
【举一反三、能力拓展】
9、
8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin ⋅-⋅+
10、（2004全国）设()4cos(2,53
sin ),2,0(=+=∈π
ααπ
α则若
） A 、57 B 、51 C 、57- D 、－51
【名师小结、感悟反思】
1、 注意解题过程中角的变换，对角进行适当处理。
2、 在求角的三角函数值时，要依据角的范围确定范围。
§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
§3.1.1 两角和与差的余弦公式
【小试身手、轻松过关】
1、46
2,426-+ 2、--426+,42
6- 3、3512 35
28
- 4、 2627- 【基础训练、锋芒初显】
5、 6、B 7、 8、6516
【举一反三、能力拓展】
9、2－3 （提示7o =15o -8o ） 10、B
;127253+12
7
253-343815cos ±=α。