【数学】2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 课件1(人教A版必修3)
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人教A版高中数学必修三课件高一：2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征.pptx
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
-2-
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Z D 重难聚焦 HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
1.掌握众数、中位数、平均数、标准差、方差的定义和特征. 2.会求众数、中位数、平均数、标准差、方差,并能用来解决有 关问题.
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题型一 题型二 题型三 题型四
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典例透析
IANLITOUXI
方差的应用 【例2】 甲、乙两台包装机同时包装质量为200克的糖果,从中 各抽出10袋,测得其实际质量分别如下(单位:克): 甲:203 204 202 196 199 201 205 197
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典例透析
IANLITOUXI
1.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 剖析:(1)在样本数据的频率分布直方图中,众数的估计值就是最 高矩形上端中点的横坐标. (2)在频率分布直方图中,中位数左右两侧的直方图的面积相等, 但是因为样本数据的频率分布直方图只是直观地表明分布的特征, 因而从直方图本身得不出原始的数据内容,所以由频率分布直方图 得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数的值不一致. (3)平均数显然是频率分布直方图的“重心”.在频率分布直方图中, 平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小 矩形底边中点的横坐标之和.
5 21 000
工人
3 000 10 30 000
学徒
1 000 1 1 000
合计
35 700 23 107 000
(1)指出这个问题中的众数、中位数、平均数. (2)这个问题中,平均数能客观地反映该工厂人员的月工资水平吗? 为什么?
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2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
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IANLITOUXI
1.掌握众数、中位数、平均数、标准差、方差的定义和特征. 2.会求众数、中位数、平均数、标准差、方差,并能用来解决有 关问题.
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方差的应用 【例2】 甲、乙两台包装机同时包装质量为200克的糖果,从中 各抽出10袋,测得其实际质量分别如下(单位:克): 甲:203 204 202 196 199 201 205 197
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1.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 剖析:(1)在样本数据的频率分布直方图中,众数的估计值就是最 高矩形上端中点的横坐标. (2)在频率分布直方图中,中位数左右两侧的直方图的面积相等, 但是因为样本数据的频率分布直方图只是直观地表明分布的特征, 因而从直方图本身得不出原始的数据内容,所以由频率分布直方图 得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数的值不一致. (3)平均数显然是频率分布直方图的“重心”.在频率分布直方图中, 平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小 矩形底边中点的横坐标之和.
5 21 000
工人
3 000 10 30 000
学徒
1 000 1 1 000
合计
35 700 23 107 000
(1)指出这个问题中的众数、中位数、平均数. (2)这个问题中,平均数能客观地反映该工厂人员的月工资水平吗? 为什么?
高中数学 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课件 新人教A版必修3
频率 （乙）
0.4 0.3 0.2 0.1
O 4 5 6 7 8 9 10 环数
甲的成绩比较分散，极差较大，乙的 成绩相对集中，比较稳定.
1、标准差
思考: 反映样本数据的分散程度的大小,
最常用的统计量是标准差, 一般用s表示. 假设 样本数据x1, x2, …, xn的平均数为, 则标准差的 计算公式是：
(1)平均来说甲队比乙队防守技术好； (2)乙队比甲队技术水平更稳定； (3)甲队有时表现很差，有时表现又非常 好； (4)乙队很少不失球。
关于统计的有关性质及规律
（1）若x1, x2,...,xn的平均数为x,那么mx1 a, mx2 a,...,mxn a的平均数是_____;
（2）数据x1, x2,...,xn与数据x1 a, x2 a,..., xn a的方差_____;
有两位射击运动员在一次设计测试中 各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙9578768 6 77
如果你是教练，你应当如何对这次射 击情况作出评价？如果这是一次选拔性考 核，你应当如何作出选择？
思考：甲、乙两人射击的平均成绩相等， 观察两人成绩的频率分布条形图，你能说明 其水平差异在那里吗？
（3）若x1, x2,...,xn的方差为s2, 那么ax1,ax2, ...,axn的方差为_____.
s≥0，标准差为0的样本数据都相等.
【例1】画出下列四组样本数据的条形图, 说明它们的异同点.
（1）5，5，5，5，5，5，5，5，5 （2）4，4，4，5，5，5，6，6，6 （3）3，3，4，4，5，6，6，7，7 （4）2，2，2，2，5，8，8，8，8
2. 标准差的一个应用
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征1 课件(人教A版必修3)
27
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[知识拓展]
数据组x1，x2，„，xn的平均数为 x ，方差
为s2，标准差为s，则数据组ax1＋b，ax2＋b，„，axn＋b(a， b为常数)的平均数为a x ＋b，方差为a2s2，标准差为as.
28
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[答案] D
35
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(2)电池厂从某日生产的电池中抽取10个进行寿命测试， 得数据如下(单位：小时)：30,35,25,25,30,34,26,25,29,21，则 该日生产电池的平均寿命估计为( A．27 C．29 B．28 D．30 )
[答案] B
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第二章
2．2.2 用样本的数字 特征估计总体的数字特征
1
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课前自主预习
随堂应用练习 方法警示探究 思路方法技巧 课后强化作业 探索延拓创新
2
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课前自主预习
3
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温故知新 上一节我们学习了用图表来组织样本数据，并且还学习 了用样本的频率分布估计总体分布．为了更好地把握总体的 规律，我们还需要对总体的数字特征进行研究．
4
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在初中，我们已经学过平均数描述了数据的 平均 水平， 定量地反映了数据的集中趋势所处的水平．我们也知道可以 用样本的平均数去估计总体的平均水平，而样本数据的方 差、标准差则反映了数据的离散程度．方差或标准差越 小 ， 数据越集中，总体越均衡；方差或标准差越 大 ，数据越分 散，总体越不均衡．而中位数则是指样本数据按从小到大(或 从大到小)的顺序排列后，处于 中间 位置的一个量，当样本数 据个数为奇数时， 中间一个数据 就是中位数，它是样本数
《2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征》课件1-优质公开课-人教A版必修3精品
( x1 x ) ,( x2 x ) ,,( xn x )
2 2
2
那么我们用它们的平均数，即
1 s [( x1 x )2 ( x2 x )2 ( xn x ) 2 ] n
2
来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组 数据的方差，一组数据方差越大，则这组数据40 0.30 0.20 0.10 月均用水量/t
0.5
1 1.5 2 2.5 3
3.5 4
4.5
说明: 2.03这个中位数的估计值,与样本的中位数值2.0不 一样,这是因为样本数据的频率分布直方图,只是直 观地表明分布的形状,但是从直方图本身得不出原 始的数据内容,所以由频率分布直方图得到的中位 数估计值往往与样本的实际中位数值不一致.
（i=1，2，……，n）； S3 算出 ( xi x )2 （i=1，2，…，n）； S4 算出 ( xi （ i=1 x )2 ，2，…，n）这n个数的平均数，即为 样本方差s2； S5 算出方差的算术平方根，即为样本标准差s.
例2. 计算数据5，7，7，8，10，11的标准差.
5+7+7+8+10+11 解：S1 x= ——————— =8 6
数据 xi 5 7
S1 x 8 8
S2 xi－x －3 －1
S3 (xi－x)2 9 1
7
8 10 11
S4 s2 =
8
8 8 8
－1
0 2 3
1
0 4 9
所以这组数据的标准差是2.
9+1+1+0+4+9 ——————— =4； S5 . s 4 2 6
例3. 从某灯泡厂生产的一批灯泡中随机地抽取10只 进行寿命测试，得数据如下（单位：h）: 1458，1395，1562，1614，1351，1490，1478，1382， 1536，1496
【课件】人教版必修3 2.2.2-1用样本数字特征估计总体数字特征 课件
x甲思7， 考x乙 7 1：在一次射击选拔赛中，甲、乙 两名运动员各射击10次，每次命中的环 数如下： 甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 x甲7， x乙 甲7 、乙两人本次射击的平均成绩分 别为多少环？
x甲 7， x乙 7
思考2：甲、乙两人射击的平均成绩相等，观 察两人成绩的频率分布条形图，你能说明其 水平差异在那里吗？
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同， 又 s2甲>s2乙， 所以乙机床加工零件的质量更稳定．
小结作业
1.用样本的数字特征估计总体的数字特征， 是指用样本的众数、中位数、平均数和标准 差等统计数据，估计总体相应的统计数据.
2.平均数对数据有“取齐”的作用，代表一 组数据的平均水平.标准差描述一组数据围绕 平均数波动的幅度.在实际应用中，我们常综 合样本的多个统计数据，对总体进行估计， 为解决问题作出决策.
2.2 用样本估计总体
２.2.2用样本的数字特征估计总体的 数字特征
第一课时
知识探究（一）：众数、中位数和平均数
思考1：在初中我们学过众数、中位数和 平均数的概念，这些数据都是反映样本 信息的数字特征，对一组样本数据如何 求众数、中位数和平均数？
思考2：在城市居民月均用水量样本数据 的频率分布直方图中，你认为众数应在 哪个小矩形内？由此估计总体的众数是 什么？
频率
0.4 0.3 0.2 0.1
（甲）
O 4 5 6 7 8 9 10 环数
频率 （乙）
0.4 0.3 0.2 0.1
O 4 5 6 7 8 9 10 环数
甲的成绩比较分散，极差较大，乙的 成绩相对集中，比较稳定.
思考3：对于样本数据x1，x2，…，xn， 设想通过各数据到其平均数的平均距离 来反映样本数据的分散程度，那么这个 平均距离如何计算？
人教版高中数学-2 用样本的数字特征估计总体的数字特征-(共20张PPT)教育课件
在当今社会，大家都生活得匆匆忙忙， 比房子 、比车 子、比 票子、 比小孩 的教育 、比工 作，往 往被压 得喘不 过气来 。而另 外总有 一些人 会运用 自己的 心智去 分辨哪 些快乐 或者幸 福是必 须建立 在比较 的基础 上的， 而哪些 快乐和 幸福是 无需比 较同样 可以获 得的， 然后把 时间花 在寻找 甚至制 造那些 无需比 较就可 以获得 的幸福 和快乐 ，然后 无怨无 悔地生 活，尽 情欢乐 。一位 清洁阿 姨感觉 到快乐 和幸福 ，因为 她刚刚 通过自 己的双 手还给 路人一 条清洁 的街道 ；一位 幼儿园 老师感 觉到快 乐和幸 福，因 为他刚 给一群 孩子讲 清楚了 吃饭前 要洗手 的道理 ；一位 外科医 生感觉 到幸福 和快乐 ，因为 他刚刚 从死神 手里抢 回了一 条人命 ；一位 母亲感 觉到幸 福和快 乐，因 为他正 坐在孩 子的床 边，孩 子睡梦 中的脸 庞是那 么的安 静美丽 ，那么 令人爱 怜。。 。。。 。
众数：直方图中面积最高矩形 “中点”的横坐标 中位数：左右两边直方图的面积相等. 平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩
形底边中点的横坐标之和.
练习1：某班50名学生在一次百米测试中，成绩全
部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成5组：
13,14, 14,15 17,18
下图为按上述分组得到的频率分布直方图：
结论：平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面 积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。
思考：频率分布直方图中估计的众数与原始
数据中的众数是否会有不同，为什么？
在频率分布直方图，我们只能直观地 看出数据的大概分布情况，从直方图本身得 不出原始数据的每一个值，可以说已经损失 一些样本的具体信息。
用直方图估计三个特征数的要点
人教A版高中数学必修三2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课件
１．标准差
s
1 n
[(x1
x)2
(
x2
x)2
(xn x)2 ]
标准差较大，数据的离散程度较大；标 准差较小，数据的离散程度较小。
２．方差
从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方 （即方差）来代替标准差，作为测量样本数据 分散程度的工具：
s2
1 n
[(
x1
x)2
( x2
x)2
(xn x)2 ]
2.平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数 据的平均水平.
小试牛刀
甲乙两机床同时加工直径为100厘米的零件, 为检验质量从中抽取6件,测量的数据为: 甲: 99，100，98，100，100，103 乙：99，100，102，99，100，100
分别计算两组数据的平均数。
2.2.2 用样本的数字特征 估计总体的数字特征
众数：最高矩形的中点的横坐标 中位数：中位数左边和右边的直方图的
面积相等，由此估计中位数的值 平均数：等于频率分布直方图中每个小
矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐 标之和
例1为了了解某班学生每周做家务劳动的
时间，某综合实践小组对该班50名学生 进行了调查，有关数据如下：
每周做家 0 务的时间
第2课时
创设情境
在一次射击选拔比赛中，甲、乙两名运动员各 射击10次，命中环数如下﹕
甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4； 乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7. 观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的
更稳定些吗？如果你是教练，选哪位选手去参 加正式比赛？
探究新知
从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较 高？
课堂小结
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)课件人教新课标
____2____(克)(用数字作答)． 【解析】x ＝125＋124＋121＋123＋127＝124， s2＝1[(125－124)2＋(124－1524)2＋(121－124)2
5＋(123－124)2＋(127－124)2]＝4，
s＝2.
全优82页限时规范训练
5．随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们 的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图．
分析：先画出数据的直方图，根据样本数 据算出样本数据的平均数，利用标准差的 计算公式即可算出每一组数据的标准差。
见课本76页例题图 四组数据的平均数都是５.０，标准差分别为： ０.００，０.８２，１.４９，２.８３。 他们有相同的平均数，但他们有不同的标准差， 说明数据的分散程度是不一样的。
4．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下(单位： 克)125,124,121,123,127，则该样本标准差s＝
样本数据的标准差的算法：
1、算出样本数据的平均数。 2、算出每个样本数据与样本数据平均数的差 3、算出n个平方数的平均数，即为样本方差。 4、算出平均数的算术平方根，即为样本标准
差。 5、其计算公式为：
s
1 n
[(
x1
x)2
(
x2
x)2
(xn x)2]
标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较
2.2.2 用样本的数字特征 估计总体的数字特征
复习： 众数、中位数、平均数的概念
众数：在一组数据中，出现次数最多 的数据叫做这组数据的众数．
中位数：将一组数据按大小依次排列， 把处在最中间位置的一个数据（或最中 间两个数据的平均数）叫做这组数据的 中位数．
平均数: 一组数据的算术平均数,即
x=
5＋(123－124)2＋(127－124)2]＝4，
s＝2.
全优82页限时规范训练
5．随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们 的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图．
分析：先画出数据的直方图，根据样本数 据算出样本数据的平均数，利用标准差的 计算公式即可算出每一组数据的标准差。
见课本76页例题图 四组数据的平均数都是５.０，标准差分别为： ０.００，０.８２，１.４９，２.８３。 他们有相同的平均数，但他们有不同的标准差， 说明数据的分散程度是不一样的。
4．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下(单位： 克)125,124,121,123,127，则该样本标准差s＝
样本数据的标准差的算法：
1、算出样本数据的平均数。 2、算出每个样本数据与样本数据平均数的差 3、算出n个平方数的平均数，即为样本方差。 4、算出平均数的算术平方根，即为样本标准
差。 5、其计算公式为：
s
1 n
[(
x1
x)2
(
x2
x)2
(xn x)2]
标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较
2.2.2 用样本的数字特征 估计总体的数字特征
复习： 众数、中位数、平均数的概念
众数：在一组数据中，出现次数最多 的数据叫做这组数据的众数．
中位数：将一组数据按大小依次排列， 把处在最中间位置的一个数据（或最中 间两个数据的平均数）叫做这组数据的 中位数．
平均数: 一组数据的算术平均数,即
x=
高中数学(人教版A版必修三)配套课件：2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(一)
知识点二 中位数 定义 将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或 最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数. 特点 (1)排序后找中位数；(2)中位数只有一个；(3)中位数不一定是这组 数据中的数.(4)在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个 体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的 直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值.(5)中位数是样本数据 所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，能更好地反映一组数 据的中等水平， 当一组数据的个别数据偏大或偏小时，用中位数来描述该 组数据的集中趋势比较合适.
超级记忆法-记忆规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆规律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常宝贵的，不要全部用来玩手机哦~ TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数
都不具有的性质.也正因如此，与众数、中位数比较起来，平均数可以反
映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响
较大，使平均数在估计时可靠性降低.
答案
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题型探究
重点难点 个个击破
类型一 众数、中位数和平均数的计算
例 1 样本(x1，x2，…，xn)的平均数为 x ，样本(y1，y2，…，ym)的平均数为
人教A版高中数学必修三222用样本的数字特征估计总体的数字特征课件1共30张
上面表里的 17个数据可看成是按从小到大的顺序排 列的，其中第 9个数据1.70 是最中间的一个数据，即这 组数据的中位数是 1.70 ；
这组数据的平均数是
答：17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是 1.75 （米）、 1.70 （米）、1.69 （米）.
二 、众数、中位数、平均数与频率分布直 方图的关系
0.5
1 1.5 2 2.5 3
3.5 4
月均用水量 /t
4.5
2、在样本中，有 50％的个体小于或等于中 位数，也有 50％的个体大于或等于中位数 ，因此， 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图 的面积应该相等 ，由此可以估计中位数的值。下图 中虚线代表居民月均用水量的中位数的估计值，此 数据值为 2.02t.
3. 可以从频率分布直方图中估计平均数
平均数的估计值 =频率分布直方图中每个小矩形的面积 乘以小矩形底边中点的横坐标之和
0.25 ×0.04+0.75 ×0.08+1.25 ×0.15+1.75 ×0.22+2.25 × 思考0.255：+2平.75均数×是0.1频4+率3.分25布×直方图的“重心”，在城市居 0民.0月6+均3.用75水×量0样.04本+4数.2据5 的×频0.率02分=2布.02直（方图t ）中. ，各个小矩形 的重平心均在数哪是里2.0？2.从直方图估计总体在各组数据内的平均数 分别为多少？
在频率分布直方图中，每个小矩形的面积表示什么？中位 数左右两侧的直方图的面积应有什么关系？
在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，从
左至右各个小矩形的面积分别是 0.04 ，0.08 ，0.15 ，0.22 ， 0.25 ，0.14 ，0.06 ，0.04 ，0.02. 由此估计总体的中位数 是什么？
这组数据的平均数是
答：17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是 1.75 （米）、 1.70 （米）、1.69 （米）.
二 、众数、中位数、平均数与频率分布直 方图的关系
0.5
1 1.5 2 2.5 3
3.5 4
月均用水量 /t
4.5
2、在样本中，有 50％的个体小于或等于中 位数，也有 50％的个体大于或等于中位数 ，因此， 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图 的面积应该相等 ，由此可以估计中位数的值。下图 中虚线代表居民月均用水量的中位数的估计值，此 数据值为 2.02t.
3. 可以从频率分布直方图中估计平均数
平均数的估计值 =频率分布直方图中每个小矩形的面积 乘以小矩形底边中点的横坐标之和
0.25 ×0.04+0.75 ×0.08+1.25 ×0.15+1.75 ×0.22+2.25 × 思考0.255：+2平.75均数×是0.1频4+率3.分25布×直方图的“重心”，在城市居 0民.0月6+均3.用75水×量0样.04本+4数.2据5 的×频0.率02分=2布.02直（方图t ）中. ，各个小矩形 的重平心均在数哪是里2.0？2.从直方图估计总体在各组数据内的平均数 分别为多少？
在频率分布直方图中，每个小矩形的面积表示什么？中位 数左右两侧的直方图的面积应有什么关系？
在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，从
左至右各个小矩形的面积分别是 0.04 ，0.08 ，0.15 ，0.22 ， 0.25 ，0.14 ，0.06 ，0.04 ，0.02. 由此估计总体的中位数 是什么？
最新新课标人教A版高中数学必修三2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课件教学讲义ppt课件
想一想：某次数学期中考试，毛毛同学得了78分。
全班共30人，其他同学的成绩为1个100分， 4个90 分， 22个80分, 以及一个2分和一个10分。毛毛计 算出全班的平均分为77分，所以毛毛回家告诉妈妈 说，他这次成绩处于班级“中上水平”。这种说法 对吗？
探究：课本 P73
你认为“我们单位的收入水平比别的 单位高”这句话应当怎么解释？
如何从频率分布直方图中估计平均数 ？
频率 /组距
0.50 0.40
0.25 0.22
0.30 0.20
0.15
0.14
0.08
0.10
0.06
. . 0.04
.
..
. . . . 0.04 0.02
o
0.25
0.5
0.75
1 1.5 2
1.25 1.75
2.5
2.25 2.75
3
3.25
3.5
3.75
况下是一个优点，但它对极端值的不敏感有时也会成 为缺点，你能举例说明吗？
对极端值不敏感有利的例子:
考察100位居民的月均用水量表中的数据，如果把 最后一个数据错写成22，并不会对样本中位数产生影 响也就是说对极端数据不敏感的方法能够有效地预防 错误数据的影响，而在实际应用中人为操作的失误经 常造成错误数据。
0.04
0.04
0.02
o
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t
分总析结：：在在样本频数率据分中布，直有5方0%图的中个2体，.0小2把于频或率等分于中布位直数方，图也划有5分0%左的个右体两大
于个或面等积于相中位等数的，分因界此线，在与频x轴率分交布点直的方横图坐中，标中称位为数中左位边和数右。边的直方图
全班共30人，其他同学的成绩为1个100分， 4个90 分， 22个80分, 以及一个2分和一个10分。毛毛计 算出全班的平均分为77分，所以毛毛回家告诉妈妈 说，他这次成绩处于班级“中上水平”。这种说法 对吗？
探究：课本 P73
你认为“我们单位的收入水平比别的 单位高”这句话应当怎么解释？
如何从频率分布直方图中估计平均数 ？
频率 /组距
0.50 0.40
0.25 0.22
0.30 0.20
0.15
0.14
0.08
0.10
0.06
. . 0.04
.
..
. . . . 0.04 0.02
o
0.25
0.5
0.75
1 1.5 2
1.25 1.75
2.5
2.25 2.75
3
3.25
3.5
3.75
况下是一个优点，但它对极端值的不敏感有时也会成 为缺点，你能举例说明吗？
对极端值不敏感有利的例子:
考察100位居民的月均用水量表中的数据，如果把 最后一个数据错写成22，并不会对样本中位数产生影 响也就是说对极端数据不敏感的方法能够有效地预防 错误数据的影响，而在实际应用中人为操作的失误经 常造成错误数据。
0.04
0.04
0.02
o
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t
分总析结：：在在样本频数率据分中布，直有5方0%图的中个2体，.0小2把于频或率等分于中布位直数方，图也划有5分0%左的个右体两大
于个或面等积于相中位等数的，分因界此线，在与频x轴率分交布点直的方横图坐中，标中称位为数中左位边和数右。边的直方图
数学：2.2.2-1《用样本数字特征估计总体数字特征》课件(新人教A版必修3)
数学：2.2.2-1《用样本数字特征 估计总体数字特征》课件(新人教
A版必修3)
问题提出
1.对一个未知总体，我们常用样本的频率分 布估计总体的分布，其中表示样本数据的频 率分布的基本方法有哪些？
2.美国NBA在2006——2007年度赛季中，甲、 乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中 的得分情况如下： 甲运动员得分：12，15，20，25，31，31，
0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75 ×0.22+2.25×0.25+2.75×0.14+3.25× 0.06+3.75×0.04+4.25×0.02=2.02（t）.
平均数是2.02.
平均数与中位数相等，是必然还是巧合？
思考7：从居民月均用水量样本数据可知，该 样本的众数是2.3，中位数是2.0，平均数是 1.973，这与我们从样本频率分布直方图得出 的结论有偏差，你能解释一下原因吗？
直方图中，各个小矩形的重心在哪里？从直
方图估计总体在各组数据内的平均数分别为
多少？
频率 组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t
0.25，0.75，1.25，1.75，2.25，
2.75，3.25，3.75，4.25.
思考6：根据统计学中数学期望原理，将频率 分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底 边中点的横坐标之积相加，就是样本数据的 估值平均数. 由此估计总体的平均数是什么？
2.平均数对数据有“取齐”的作用，代表一 组数据的平均水平.标准差描述一组数据围绕 平均数波动的幅度.在实际应用中，我们常综 合样本的多个统计数据，对总体进行估计， 为解决问题作出决策.
A版必修3)
问题提出
1.对一个未知总体，我们常用样本的频率分 布估计总体的分布，其中表示样本数据的频 率分布的基本方法有哪些？
2.美国NBA在2006——2007年度赛季中，甲、 乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中 的得分情况如下： 甲运动员得分：12，15，20，25，31，31，
0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75 ×0.22+2.25×0.25+2.75×0.14+3.25× 0.06+3.75×0.04+4.25×0.02=2.02（t）.
平均数是2.02.
平均数与中位数相等，是必然还是巧合？
思考7：从居民月均用水量样本数据可知，该 样本的众数是2.3，中位数是2.0，平均数是 1.973，这与我们从样本频率分布直方图得出 的结论有偏差，你能解释一下原因吗？
直方图中，各个小矩形的重心在哪里？从直
方图估计总体在各组数据内的平均数分别为
多少？
频率 组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t
0.25，0.75，1.25，1.75，2.25，
2.75，3.25，3.75，4.25.
思考6：根据统计学中数学期望原理，将频率 分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底 边中点的横坐标之积相加，就是样本数据的 估值平均数. 由此估计总体的平均数是什么？
2.平均数对数据有“取齐”的作用，代表一 组数据的平均水平.标准差描述一组数据围绕 平均数波动的幅度.在实际应用中，我们常综 合样本的多个统计数据，对总体进行估计， 为解决问题作出决策.
高中数学 2.2.2(一)用样本的数字特征估计总体的数字特征(一)课件 新人教A版必修3
目
开 (2)若董事长、副董事长的工资提升后,职工月工资的平均数为
关
x
＝30
000＋20
000＋3
500×2＋3
000＋2 33
500×5＋2
000×3＋1
500×20
＝10833500≈3 288(元)．
中位数是1 500元，众数是1 500元．
第十六页，共26页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更 高效
点，因此，每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的
本
乘积之和为平均数．
课
时 问题 4 从居民月均用水量样本数据可知，该样本的众数是
栏
目
2.3，中位数是 2.0，平均数是 1.973，这与我们从样本频率分
开
关
布直方图得出的结论有偏差，你能解释一下原因吗？
答 因为样本数据频率分布直方图只是直观地表明分布的
本
课
名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下：
时
栏 目
甲运动员得分：12,15,20,25,31,30, 36,36,37,39,44,49；乙运动
开 关
员得分：8,13,14,16,23,26, 28,38,39,51,31,39.如果要求我们根
据上面的数据，估计、比较甲，乙两名运动员哪一位发挥
人数
23234111
本
课
分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数．
时 栏
解 在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即
目
开 关
这组数据的众数是1.75.上面表里的17个数据可看成是按从
小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个
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频率分布直方图如下：
频率
组距
中位数
0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 月均用水量 /t 4.5
0.5
1 1.5 2 2.5 3
3.5 4
说明: 2.03这个中位数的估计值,与样本的中位数值2.0 不一样,这是因为样本数据的频率分布直方图,只 是直观地表明分布的形状,但是从直方图本身得不 出原始的数据内容,所以由频率分布直方图得到的 中位数估计值往往与样本的实际中位数值不一致.
使用函数型计算器或计算机的Excel软件求样本的平
均数x和样本的标准差。
解：按键
MODE 2 (进入统计计算状态)
SHIFT Scl = 将计算器存储器设置成初始 状态
1458 DT 1395 DT 1562 DT 1614 DT 1351 DT 1490 DT 1478 DT 1382 DT 1536 DT 1496 DT
继续按下表按键 按键 显示结果
SHIFT
x
=
=
1476.2 78.7309342
SHIFT xσn
Байду номын сангаас
解2：打开Excel工作表，在一列输入数据，如将10个数据输入A1 到A10单元格中.（1）利用求和∑计算它们的和；（2）用函数 AVERAGE(A1:A10)求它们的平均数；（3）用函数VARPA(A1:A10) 求它们的方差；（4）用开方函数Sqrt(方差)计算它们的标准差.
（i=1，2，……，n）； S3 算出 ( xi x )2 （i=1，2，…，n）； S4 算出 ( xi x ) 2 （i=1，2，…，n）这n个数的平均数， 即为样本方差s2； S5 算出方差的算术平方根，即为样本标准差s。
例2. 计算数据5，7，7，8，10，11的标准差.
5+7+7+8+10+11 解：S1 x= ——————— =8 6
（1）指出这个问题中周工资的众数、中位数、平均数 （2）这个问题中，工资的平均数能客观地反映该厂 的工资水平吗？为什么？
分析：
（1）众数为200，中位数为220，平均数为300。 （2）因平均数为300，由表格中所列出的数据可 见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均 数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂 的工资水平。
数据 xi 5 7
S1 x 8 8
S2 xi－x －3 －1
S3 (xi－x)2 9 1
7
8 10 11
S4 s2 =
8
8 8 8
－1
0 2 3
1
0 4 9
9+1+1+0+4+9 ——————— =4； S5 . s 4 2 6
所以这组数据的标准差是2.
例3. 从某灯泡厂生产的一批灯泡中随机地抽取10只 进行寿命测试，得数据如下（单位：h）: 1458，1395，1562，1614，1351，1490，1478，1382， 1536，1496
四、标准差
（2）标准差：我们把数据的方差的算术平方根叫做 这组数据的标准差，它也是一个用来衡量一组数据的 波动大小的重要的量。
计算标准差的算法： s
1 [( x1 x ) 2 ( x2 x )2 ( xn x )2 ] n
S1 算出样本数据的平均数x； S2 算出每个样本数据与样本平均数的差 xi x
这组数据的平均数是
答：17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是 1.75（米）、1.70（米）、1.69（米）.
二 、众数、中位数、平均数与频率分布直 方图的关系
1、众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩 形的中点的横坐标。 例如，在上一节调查的100位居民的月均用水量的 问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出， 月均用水量的众数是2.25t.如图所示：
四、标准差
平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是， 平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断，难 以概括样本数据的实际状态，而数据的离散程度可 以用极差、方差或标准差来描述。 为了表示样本数据的单位表示的波动幅度，通常要求 出样本方差或者它的算术平方根.
四、标准差
（1）方差：设在一组数据，x1，x2，…，xn中，各数 据与它们的平均数x的差的平方分别是
( x1 x ) , ( x2 x ) ,, ( xn x )
2 2
2
那么我们用它们的平均数，即
1 s [( x1 x )2 ( x2 x )2 ( xn x )2 ] n
2
来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组 数据的方差，一组数据方差越大，则这组数据波动 越大。
频率分布直方图如下：
频率
组距
众数（最高的矩形的中 点）
0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 月均用水量 /t 4.5
0.5
1 1.5 2 2.5 3
3.5 4
2、在样本中，有50％的个体小于或等于中
位数，也有50％的个体大于或等于中位数，因此， 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图 的面积应该相等，由此可以估计中位数的值。下图 中虚线代表居民月均用水量的中位数的估计值，此 数据值为2.02t.
第二章 统计 2.2.2 用样本的数字特征估计 总体的数字特征
一、众数、中位数、平均数
1、众数 在一组数据中，出现次数最多的数据叫做 这一组数据的众数。 2、中位数 将一组数据按大小依次排列，把处在最 中间位置的一个数据（或两个数据的平均数）叫做 这组数据的中位数。
3、平均数
(1)x = 1/n(x1+x2+……+xn)
3. 可以从频率分布直方图中估计平均数 平均数的估计值=频率分布直方图中每个小矩形的面积 乘以小矩形底边中点的横坐标之和
三、众数、中位数、平均数的简单应用
例1. 人员 周工资 人数 合计 某工厂人员及工资构成如下： 经理 2200 1 2200 管理人员 250 6 1500 高级技工 220 5 1100 工人 200 10 2000 学徒 合计 100 1 23 100 6900
练习: 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高 的17名运动员的成绩如下表所示：
成绩 (单位： 米)
1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 2 3 2 3 4 1 1 1
人数
分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数
解：在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最 多，即这组数据的众数是1.75． 上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排 列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这 组数据的中位数是1.70；
解：（1）计算得x甲=7，x乙=7；
s甲=1.73，s乙=1.10.
（2）由（1）知，甲、乙两人平均成绩相等，但s乙<s甲，这表 明乙的成绩比甲的成绩稳定一些，从成绩的稳定性考虑，可 以选乙参赛。 （3）标准差和频率直方图的关系 从标准差的定义可知，如果样本各数据都相等，则标准差 得0，这表明数据没有波动幅度，数据没有离散性；若个体的 值与平均数的差的绝对值较大，则标准差也较大，表明数据 的波动幅度也很大，数据的离散程度很高，因此标准差描述 了数据对平均数的离散程度。