湖南省2019-2020学年高二上学期12月联考数学试卷
2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(371)
永胜县第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，又(5)0f =，则使()0f x >的的取值范围是（ ）A ．50x -<<或5x >B ．5x <-或5x >C ．55x -<<D ．5x <-或05x <<2． 抛物线y=﹣x 2上的点到直线4x+3y ﹣8=0距离的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．33． 已知函数f （2x+1）=3x+2，且f （a ）=2，则a 的值等于（ ） A ．8B ．1C ．5D ．﹣14． 若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则（ ）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假5． 若函数f （x ）=3﹣|x ﹣1|+m 的图象与x 轴没有交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≥0或m ＜﹣1B ．m ＞0或m ＜﹣1C ．m ＞1或m ≤0D ．m ＞1或m ＜06． 在△ABC 中，sinB+sin （A ﹣B ）=sinC 是sinA=的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也非必要条件7． 已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若+，则x 、y 的值分别为（ ）A ．x=1，y=1B ．x=1，y=C ．x=，y=D ．x=，y=18． 线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是（ ）A ．AB ⊂αB ．AB ⊄αC ．由线段AB 的长短而定D ．以上都不对9． 已知命题p ：∃x ∈R ，cosx ≥a ，下列a 的取值能使“￢p ”是真命题的是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．210．已知函数，函数，其中b ∈R ，若函数y=f （x ）﹣g （x ）恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．11．设复数z 满足z （1+i ）=2（i 为虚数单位），则z=（ ） A ．1﹣i B ．1+i C ．﹣1﹣iD ．﹣1+i12．已知α，β为锐角△ABC 的两个内角，x ∈R ，f （x ）=（）|x ﹣2|+（）|x ﹣2|，则关于x 的不等式f （2x ﹣1）﹣f （x+1）＞0的解集为（ ）A ．（﹣∞，）∪（2，+∞）B ．（，2）C ．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）D ．（﹣，2）二、填空题13．下列关于圆锥曲线的命题：其中真命题的序号 ．（写出所有真命题的序号）．①设A ，B 为两个定点，若|PA|﹣|PB|=2，则动点P 的轨迹为双曲线；②设A ，B 为两个定点，若动点P 满足|PA|=10﹣|PB|，且|AB|=6，则|PA|的最大值为8； ③方程2x 2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线﹣=1与椭圆有相同的焦点．14．对于集合M ，定义函数对于两个集合A ，B ，定义集合A △B={x|f A （x ）fB （x ）=﹣1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，12}，则用列举法写出集合A △B 的结果为 ．15．在极坐标系中，直线l 的方程为ρcos θ=5，则点（4，）到直线l 的距离为 ．16．若直线：012=--ay x 与直线2l ：02=+y x 垂直，则=a .17．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()ln 4f x x x =+-的零点在区间()1k k +，内，则正整数k 的值为________． 18．在ABC ∆中，已知角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且B c C b a sin cos +=，则角B为 .三、解答题19．电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女总计（2）将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2名，求至少有1名女性观众的概率．附：K2=P（K2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.0250.010 0.005 0.001k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.63520．已知A（﹣3，0），B（3，0），C（x0，y0）是圆M上的三个不同的点．（1）若x0=﹣4，y0=1，求圆M的方程；（2）若点C是以AB为直径的圆M上的任意一点，直线x=3交直线AC于点R，线段BR的中点为D．判断直线CD与圆M的位置关系，并证明你的结论．21．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()()3231312f x x k x kx =-+++，其中.k R ∈ （1）当3k =时，求函数()f x 在[]0,5上的值域； （2）若函数()f x 在[]1,2上的最小值为3，求实数k 的取值范围.22．如图，M 、N 是焦点为F 的抛物线y 2=2px （p ＞0）上两个不同的点，且线段MN 中点A 的横坐标为，（1）求|MF|+|NF|的值；（2）若p=2，直线MN 与x 轴交于点B 点，求点B 横坐标的取值范围．23．（本小题满分12分）已知平面向量(1,)a x =，(23,)b x x =+-，()x R ∈. （1）若//a b ，求||a b -；（2）若与夹角为锐角，求的取值范围.24．设椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求椭圆C 的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．永胜县第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】B考点：函数的奇偶性与单调性．【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性，数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，图象关于y 轴对称，单调性在y 轴两侧相反，即在0x >时单调递增，当0x <时，函数单调递减.结合(5)0f =和对称性，可知(5)0f ±=，再结合函数的单调性，结合图象就可以求得最后的解集.12． 【答案】A【解析】解：由，得3x 2﹣4x+8=0．△=（﹣4）2﹣4×3×8=﹣80＜0．所以直线4x+3y ﹣8=0与抛物线y=﹣x 2无交点．设与直线4x+3y ﹣8=0平行的直线为4x+3y+m=0联立，得3x 2﹣4x ﹣m=0．由△=（﹣4）2﹣4×3（﹣m ）=16+12m=0，得m=﹣．所以与直线4x+3y ﹣8=0平行且与抛物线y=﹣x 2相切的直线方程为4x+3y ﹣=0．所以抛物线y=﹣x 2上的一点到直线4x+3y ﹣8=0的距离的最小值是=．故选：A ．【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了两条平行线间的距离公式，是中档题．3． 【答案】B【解析】解：∵函数f （2x+1）=3x+2，且f （a ）=2，令3x+2=2，解得x=0，∴a=2×0+1=1．故选：B．4．【答案】B【解析】解：若命题“p或q”为真，则p真或q真，若“非p”为真，则p为假，∴p假q真，故选：B．【点评】本题考查了复合命题的真假的判断，是一道基础题．5．【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=3﹣|x﹣1|+m的图象与x轴没有交点，∴﹣m=3﹣|x﹣1|无解，∵﹣|x﹣1|≤0，∴0＜3﹣|x﹣1|≤1，∴﹣m≤0或﹣m＞1，解得m≥0或m＞﹣1故选：A．6．【答案】A【解析】解：∵sinB+sin（A﹣B）=sinC=sin（A+B），∴sinB+sinAcosB﹣cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，∴sinB=2cosAsinB，∵sinB≠0，∴cosA=，∴A=，∴sinA=，当sinA=，∴A=或A=，故在△ABC中，sinB+sin（A﹣B）=sinC是sinA=的充分非必要条件，故选：A7．【答案】C【解析】解：如图，++（）．故选C．8．【答案】A【解析】解：∵线段AB在平面α内，∴直线AB上所有的点都在平面α内，∴直线AB与平面α的位置关系：直线在平面α内，用符号表示为：AB⊂α故选A．【点评】本题考查了空间中直线与直线的位置关系及公理一，主要根据定义进行判断，考查了空间想象能力．公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上．9．【答案】D【解析】解：命题p：∃x∈R，cosx≥a，则a≤1．下列a的取值能使“￢p”是真命题的是a=2．故选；D．10．【答案】D【解析】解：∵g（x）=﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣+f（2﹣x），由f（x）﹣+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．作出函数h （x ）的图象如图：当x ≤0时，h （x ）=2+x+x 2=（x+）2+≥，当x ＞2时，h （x ）=x 2﹣5x+8=（x ﹣）2+≥，故当=时，h （x ）=，有两个交点，当=2时，h （x ）=，有无数个交点，由图象知要使函数y=f （x ）﹣g （x ）恰有4个零点，即h （x ）=恰有4个根，则满足＜＜2，解得：b ∈（，4），故选：D ．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．11．【答案】A【解析】解：∵z （1+i ）=2，∴z===1﹣i ．故选：A ．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．12．【答案】B【解析】解：∵α，β为锐角△ABC 的两个内角，可得α+β＞90°，cos β=sin （90°﹣β）＜sin α，同理cos α＜sin β，∴f （x ）=（）|x ﹣2|+（）|x ﹣2|，在（2，+∞）上单调递减，在（﹣∞，2）单调递增，由关于x的不等式f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0得到关于x的不等式f（2x﹣1）＞f（x+1），∴|2x﹣1﹣2|＜|x+1﹣2|即|2x﹣3|＜|x﹣1|，化简为3x2﹣1x+8＜0，解得x∈（，2）；故选：B．二、填空题13．【答案】②③．【解析】解：①根据双曲线的定义可知，满足|PA|﹣|PB|=2的动点P不一定是双曲线，这与AB的距离有关系，所以①错误．②由|PA|=10﹣|PB|，得|PA|+|PB|=10＞|AB|，所以动点P的轨迹为以A，B为焦点的图象，且2a=10，2c=6，所以a=5，c=3，根据椭圆的性质可知，|PA|的最大值为a+c=5+3=8，所以②正确．③方程2x2﹣5x+2=0的两个根为x=2或x=，所以方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率，所以③正确．④由双曲线的方程可知，双曲线的焦点在x轴上，而椭圆的焦点在y轴上，所以它们的焦点不可能相同，所以④错误．故正确的命题为②③．故答案为：②③．【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质，要求熟练掌握圆锥曲线的定义，方程和性质．14．【答案】{1，6，10，12}．【解析】解：要使f A（x）f B（x）=﹣1，必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}={6，10}∪{1，12}={1，6，10，12，}，所以A△B={1，6，10，12}．故答案为{1，6，10，12}．【点评】本题是新定义题，考查了交、并、补集的混合运算，解答的关键是对新定义的理解，是基础题．15．【答案】3．【解析】解：直线l的方程为ρcosθ=5，化为x=5．点（4，）化为． ∴点到直线l 的距离d=5﹣2=3．故答案为：3．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标、点到直线的距离，属于基础题．16．【答案】1 【解析】试题分析：两直线垂直满足()02-12=⨯+⨯a ，解得1=a ，故填：1. 考点：直线垂直【方法点睛】本题考查了根据直线方程研究垂直关系，属于基础题型，当直线是一般式直线方程时，0:1111=++c y b x a l ，0:2222=++c y b x a l ，当两直线垂直时，需满足02121=+b b a a ，当两直线平行时，需满足01221=-b a b a 且1221c b c b ≠，或是212121c c b b a a ≠=，当直线是斜截式直线方程时，两直线垂直121-=k k ，两直线平行时，21k k =，21b b ≠.117．【答案】2 【解析】18．【答案】4π 【解析】考点：正弦定理．【方法点晴】本题考查正余弦定理,根据正弦定理，将所给的含有边和角的等式化为只含有角的等式，再利用三角形的三角和是︒180，消去多余的变量，从而解出B 角.三角函数题目在高考中的难度逐渐增加，以考查三角函数的图象和性质，以及三角形中的正余弦定理为主，在2016年全国卷（ ）中以选择题的压轴题出现.三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）由频率分布直方图中可知：抽取的100名观众中，“体育迷”共有（0.020+0.005）×10×100=25名．可得2×2列联表：非体育迷体育迷合计男30 15 45女45 10 55总计75 25 100将2×2列联表中的数据代入公式计算可得K2的观测值为：k==≈3.030．∵3.030＜3.841，∴我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．（2）由频率分布直方图中可知：“超级体育迷”有5名，从而一切可能结果所组成的基本事件空间Ω={（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}，其中a i（i=1，2，3）表示男性，b j （j=1，2）表示女性．设A表示事件“从“超级体育迷”中任意选取2名，至少有1名女性观众”，则事件A包括7个基本事件：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）．∴P（A）=．【点评】本题考查了“独立性检验基本原理”、古典概率计算公式、频率分布直方图及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．【答案】【解析】解：（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0圆的方程为x2+y2﹣8y﹣9=0…（2）直线CD与圆M相切O、D分别是AB、BR的中点则OD∥AR，∴∠CAB=∠DOB，∠ACO=∠COD，又∠CAO=∠ACO，∴∠DOB=∠COD又OC=OB，所以△BOD≌△COD∴∠OCD=∠OBD=90°即OC⊥CD，则直线CD与圆M相切．…（其他方法亦可）21．【答案】（1）[]1,21;（2）2k ≥.【解析】试题分析：（1）求导，再利用导数工具即可求得正解；（2）求导得()'f x =()()31x x k --，再分1k ≤和1k >两种情况进行讨论；试题解析：（1）解：3k = 时，()32691f x x x x =-++则()()()23129313f x x x x x =-+=--' 令0f x '=得121,3x x ==列表由上表知函数()f x 的值域为[]1,21（2）方法一：()()()()2331331f x x k x k x x k =-++=--'①当1k ≤时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≥，函数()f x 在区间[]1,2单调递增 所以()()()min 31113132f x f k k ==-+++= 即53k =（舍） ②当2k ≥时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≤，函数()f x 在区间[]1,2单调递减所以()()()min 28613213f x f k k ==-++⋅+= 符合题意③当12k <<时,当[)1,x k ∈时，()'0f x <()f x 区间在[)1,k 单调递减 当(],2x k ∈时，()'0f x >()f x 区间在(],2k 单调递增所以()()()322min 313132f x f k k k k k ==-+++= 化简得：32340k k -+= 即()()2120k k +-=所以1k =-或2k =（舍）注：也可令()3234g k k k =-+则()()23632g k k k k k =='-- 对()()1,2,0k g k ∀∈'≤()3234g k k k =-+在()1,2k ∈单调递减所以()02g k <<不符合题意综上所述：实数k 取值范围为2k ≥方法二：()()()()2331331f x x k x k x x k =-++=--'①当2k ≥时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≤，函数()f x 在区间[]1,2单调递减 所以()()()min 28613213f x f k k ==-++⋅+= 符合题意 …………8分 ②当1k ≤时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≥，函数()f x 在区间[]1,2单调递增所以()()min 23f x f <=不符合题意③当12k <<时,当[)1,x k ∈时，()'0f x <()f x 区间在[)1,k 单调递减 当(],2x k ∈时，()'0f x >()f x 区间在(],2k 单调递增 所以()()()min 23f x f k f =<=不符合题意综上所述：实数k 取值范围为2k ≥ 22．【答案】【解析】解：（1）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2=8﹣p ，|MF|=x 1+，|NF|=x 2+， ∴|MF|+|NF|=x 1+x 2+p=8；（2）p=2时，y 2=4x ，若直线MN 斜率不存在，则B （3，0）；若直线MN 斜率存在，设A （3，t ）（t ≠0），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则代入利用点差法，可得y 12﹣y 22=4（x 1﹣x 2）∴k MN =，∴直线MN 的方程为y ﹣t=（x ﹣3），∴B 的横坐标为x=3﹣，直线MN 代入y 2=4x ，可得y 2﹣2ty+2t 2﹣12=0△＞0可得0＜t 2＜12，∴x=3﹣∈（﹣3，3），∴点B 横坐标的取值范围是（﹣3，3）． 【点评】本题考查抛物线的定义，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．【答案】（1）2或2）(1,0)(0,3)-．【解析】试题分析：（1）本题可由两向量平行求得参数，由坐标运算可得两向量的模，由于有两解，因此模有两个值；（2）两向量,a b 的夹角为锐角的充要条件是0a b ⋅>且,a b 不共线，由此可得范围．试题解析：（1）由//a b ，得0x =或2x =-， 当0x =时，(2,0)a b -=-，||2a b -=， 当2x =-时，(2,4)a b -=-，||25a b -=.（2）与夹角为锐角，0a b ∙>，2230x x -++>，13x -<<，又因为0x =时，//a b ， 所以的取值范围是(1,0)(0,3)-.考点：向量平行的坐标运算，向量的模与数量积．【名师点睛】由向量的数量积cos a b a b θ⋅=可得向量的夹角公式，当为锐角时，cos 0θ>，但当cos 0θ>时，可能为锐角，也可能为0（此时两向量同向），因此两向量夹角为锐角的充要条件是0a b a b⋅>且,a b 不同向，同样两向量夹角为钝角的充要条件是0a b a b⋅<且,a b 不反向．24．【答案】【解析】解：（1）将点（0，4）代入椭圆C 的方程得=1，∴b=4，…由e==，得1﹣=，∴a=5，…∴椭圆C的方程为+=1．…（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），…设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，…由韦达定理得x1+x2=3，y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．…由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣，∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…【点评】本题考查椭圆的方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆的方程是关键．。
2019-2020学年湖南省名校联盟高二12月联考数学试题答案
高二数学参考答案解析及给分细则一、选择题（本题共12小题,每小题5分,共60分）1-5：ABBAC 6-10:DDBCA 11-12:AD1、解析：由B {x x 0}，得A B {x x 0}故选A2、解析：由f [f (2)]f (3)log 2(9a )1a 7.故选B3、解析：f (x )3ax 22，又(1)tan4f ，故3a -2=1,得a =1.故选B4、解析：安全区域为图中阴影部分，其面积22214S故概率4144P，故选A5、解析：由57925a a a 有19959()9452a a S a 。
故选C6、解析：122sin()sin(2)22C y xy x横坐标缩短为原来的曲线化为8右移个单位sin 2()sin(2)824y xx1C 即为曲线,故选D7、 解析：建系如图，设拱桥所在抛物线为2(0)xay a点A （2,-2）在抛物线上，得a = -2抛物线方程为22x y当水面宽为h m,由点)h 在抛物线上，得52h ，故水面下降了12m 。
故选 D8、解析：由题意，222()A x a y b 圆为,与渐近线b y x a 交于M 、N 两点， 0090,AM AN MAN 由知故圆心A 到渐近线距离为2b2222222a b e c b a即，故选 B9、解析：如图，四边形PACB 的面积为22PACS SPA故当PA 最小时，S 有最小值 记圆心到直线距离22,22dPC则226PA CA 又2623S,故选C10、解析：4142224444x x y x yyxyxy由23414m m m 知，故选A 11、解析：如图，过点M 作MH ⊥l 于H ， 由题意3PF MF224333MH PM MHp KFPF12323MMMp MHx x y 由定义1232322MFKS，故选A12、解析：如图，当0x时，()1f x x 与()g x 有1个交点，故0x 时()log a f x x 与()g x 有且仅有5个交点，必有1a 且(5)157(7)1f a f ，故选D二、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分） 13、e14、636415、916、2（a -m ）答案解析：13、解析：'''''()2(1)1(1)2(1)(1)xf x f e x f f e f e 由令有 14、解析：法一：可求得1236623*********,,,,12222264a a a a S 法二：记211232222n n n nT a a a a 则22112311222(2)2n n n n T a a a a n两式相减得1112(2)22n nnn a a n由112a 也适合上式，有12n n a ，故661631264S15、解析：几何体的直观图是正四棱锥（如图所示），且高CA 和底面边长为2，在Rt △OAB 中， 由22(2)2R R 有32R， 故249SR16、解析：由已知,如图光线从出发,若先经过双曲线上一点反射,则反射光线相当于光线从设出经过点再到达椭圆上一点反射回到;同理,若先出发经过椭圆上一点反射,则光线沿着直线方向到达双曲线上一点反射后回到,则可知,光线从出发,无论经由那条路线,经过两次反射后必然返回,则讨论光线反射两次后返回的过程,如图,,所以光线经过2次反射后回到左焦点所经过的路径长为2（a-m ）三、解答题 17、解：（1）2000:,10q x R mx mx(或写为：2,10)x R mx mx ……………………4分（2）由p 有：(m +2)(m -1)>0m <-2或m >1 ……………………5分由q 有：若m =0,化为1>0成立 …………………6分若m ≠0,则有040mm ………………………7分∴[0,4)m ……………………………………………8分∵“p q ”为假命题，“q ”为假命题 ∴p 假q 真……………9分∴[2,1][0,4)[0,1]m ………………………………………10分18、解：（1）由正弦定理有：2222ac ac b …………2分由余弦定理 cos B =222222a cb ac……………………4分又(0,)B4B……………………5分（2）由（1）11tan 22a B a……………………6分又22428111(3)()(7)a a a a d a d a d1102a d d dd a …………………………7分 ∴2na n……………………………8分14411122(1)(1)1n n a a n n n n n n 从而………………10分1111111(1)()()()223341n S n n1111nn n …………………………12分19、解：（1）各小组的频率依次为0.1, 0.2, 0.25, 200a , 0.1, 0.05由0.1+0.2+0.25+200a +0.1+0.05=1有a =0.0015…………………………………………………3分 （2）平均金额3000.15000.27000.25900(2000.0015)11000.113000.05x750()元…………………………………………………7分（3）选择方案一：优惠力度为750×（1-80％）=150元………9分 选择方案二：优惠力度为300.1500.21400.251600.32800.13200.05140（元） ……11分故，方案一的优惠力度更大. ……………………12分 20、（1）证明：取AC 的中点O ，连接OS,OB, ∵SA=SC,AB=BC∴AC ⊥SO 且AC ⊥BO. ∴AC ⊥面SBO又SB 面SBO∴AC ⊥SB ………………5分(2)解：由面SAC ⊥面ABC,SO ⊥AC 可得SO ⊥面ABC ………6分故以O 为坐标原点，分别以OA,OB,OS 所在直线为x 轴，y轴，z 轴， 建立如图所示空间直角坐标系： 则A(2,0，0),B(O,23,0),C(-2,0,0),S(0,0,2) ∴,1)∴(3,3,0),(2,3,1)CE CF设(,,)n x y z 为平面EFC 的一个法向量由3300230n CE x y n CF xy z1,3, 1.(1,3,1)x yz n 取则……………………9分又(0,0,2)OS为面ABC 的一个法向量由5cos ,552n OS如图知二面角B-CE-F 的余弦值为5………………………………12分 21、解：（1）由图可知函数2()(1)4f x a x 的图象过点F （-3,0）(3)4401f aa ……………………………3分（2）由（1）知2()(1)4f x x当x =0时，f (0)=3 ∴OC=3,又在Rt △OCD 中，6COD3DOE……………………………………………6分（3）由（2）可知2223OD OC CD 易知矩形草坪面积最大时，Q 在OD 上.如图：(0)3POE23sin23cosQMPN ON32sin3OMQM 又23cos 2sinMN ON OM……………………………8分∴矩形草坪的面积为：223sin (23cos 2sin )12sin cos 43sin 6sin 223cos 223S QM MN43sin(2)236……………………………10分又5023666故，当262即6时，有max23S综上所述，当6时，矩形草坪面积最大………………………12分22、解：（1）由题意知12(2,0),F F2c又离心率22cea 2,2ab 故椭圆C 的方程为22142x y ……………………………………2分（2）证明：设P(x 0,y 0)，则22002x y 由此20001221222y K K x x x（定值）…………………………5分 （3）由（2）知121K K设直线AB 的方程为(2)yk x，则直线CD 方程为1(2)yx k联立22(2)142y k xx y 消去y ，得：2222(12)42440k x k x k记A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)则221212224244,1212k k x x x x kk ………………………………7分∴222121224(1)1()412k ABk x x x x k同理224(1)2k CD k ………………………………………9分 ∴222222111223334(1)4(1)4(1)4k k k AB CD k k k 由题意：123232cos 44ABCDAB CD AB CD F PF 故121132cos()42323232AB CD F PF AB CD AB CD∴o 1245F PF……………………………………12分。
湖南省2019-2020学年高二上学期12月联考物理试卷 PDF版含答案
物理科考生注意：1、本试题共分为18题，共4页，时量90分钟，满分100分，答题前考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号填入相应位置内。
2、客观题请用2B 铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色签字笔书写在答题卷上。
考试结束时交答题卷，试卷请妥善保管。
一、选择题(本题共12小题，每小题4分，共48分。
第1~8小题给出的四个选项中，只有一个选项正确，第9~12小题给出的四个选项中，有多个选项正确，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
)1．一个电流表的满偏电流I g ＝1 mA ，内阻为500 Ω，要把它改装成一个量程为10 V 的电压表，则应在电流表上( )A ．串联一个10 kΩ的电阻B ．并联一个10 kΩ的电阻C ．串联一个9.5 kΩ的电阻D ．并联一个9.5 kΩ的电阻 2．如图所示，两个质量均为m 的完全相同的金属球壳a 与b ，壳层的厚度和质量分布均匀，将它们分别固定于绝缘支座上，两球心间的距离为l ，为球半径的4倍。
若使它们带上等量异种电荷，两球带电量的绝对值均为Q ，那么，a 、b 两球之间的万有引力F 引、库仑力F 库分别为()A ．F 引＝G m 2l 2，F 库＝k Q 2l 2B ．F 引＝G m 2l 2，F 库＞k Q 2l 2C ．F 引≠G m 2l 2，F 库＞k Q 2l2D ．F 引≠G m 2l 2，F 库＜k Q 2l23．关于磁感应强度B 、电流I 、导线长度L 和电流所受磁场力F 的关系，下面说法正确的是( )A ．在B ＝0的地方，F 一定等于零 B ．在F ＝0的地方，B 一定等于零C ．若B ＝1 T ，I ＝1 A ，L ＝1 m ，则F 一定等于1 ND ．若L ＝1 m ，I ＝1 A ，F ＝1 N ，则B 一定等于1 T4．如图所示，甲、乙两带电小球的质量均为m ，所带电荷量分别为＋q 和－q ，两球间用绝缘细线连接，甲球又用绝缘细线悬挂在天花板上，在两球所在空间有方向向左的匀强电场，电场强度为E ，平衡时细线都被拉紧。
湖湘教育三新探索协作体2019-2020学年高二数学12月联考试题
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的左右焦点 F1、F2 恰好是等轴双曲线 E : x2
y2
2
的左右顶点，且椭圆的离心率为
2 2
，P
是双曲线
E
上异于顶点的任意一点，直线
PF1
和
PF2
与椭圆的交点分别记为 A,B 和 C,D．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设直线 PF1、PF2 的斜率分别为 K1，K2，求证：K1·K2 为定值；
21．（12 分）如图，要在河岸 EF 的一侧修建一条休闲式人行道，进行图纸设计时，建立了图中所 示坐标系，其中 E,F 在 x 轴上，且 F(-3,0),道路的前一部分为曲线段 FBC，该曲线段为二次函
数 f (x) a(x 1)2 4 在 x∈[-3,0]时的图像，最高点为 B,道路中间部分为直线段 CD，CD//EF，
点值做代表计算）．
（1）求 a 的值；
（2）试估计购物金额的平均数；
（3）若该商家制订了两种不同的促销方案：
方案一：全场商品打八折；
方案二：全场商品优惠如下表：
购物金额 范围 商家优惠 （元）
[200,400) 30
[400,600) 50
[600,800) [800,1000)
140
160
如果你是购物者，你认为哪种方案优惠力度更大？
且 CD= 3 ，道路的后一段是以 O 为圆心的一段圆弧 DE．
（1）求 a 的值； （2）求 DOE 的大小； （3）若要在扇形区域 ODE 内建一个“矩形草坪”MNPQ,
P 在圆弧 DE 上运动,M、N 在 OE 上,记 POE , 则当 α 为何值时，“矩形草坪”面积最大．
2019-2020学年湖南省名校联盟高二12月联考数学试题
湖南省名校联盟2019—2020学年高二12月联考数学（本试卷共4页，22题，全卷满分：150分，考试用时：120分钟）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交。
一．选择题：共12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{1},{21},x A x x B x 则A ．{0}AB x x B ．A B RC ．{1}A B x xD ．{1}A B x x2．已知函数221log ()(0)()3(0)x x a x f x x ，若f [ f (2) ]=1，则a =A ．-2B ．-7C ．1D ．53．已知曲线3()21f x ax x 在x =1处的切线的倾斜角为4，则a = A ．23B ．1C ．32D ．34．一只小虫在边长为2的正方形内部爬行，到各顶点的距离不小于1时为安全区域，则小虫在安全区域内爬行的概率是 A ．14 B ．4 C ．16D ．65．在等差数列{a n }中，n S 为前n 项和，且7925a a ，则9S 的值为A ．9B ．36C ．45D ．546．已知曲线12:sin(2),:cos 4C y xC y x ，若想要由2C 得到1C ，下列说法正确的是A ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移8个单位．B ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移4个单位．C ．把曲线2C 上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向左平移4个单位． D ．把曲线2C 上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向右平移8个单位．7．如图是抛物线拱形桥，当水面在l 时，拱顶高于水面2m ，水面宽为4m ，当水面宽为时，水位下降了( )m AB ．2C ．1D ．128．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b 的右顶点为A ,以A 为圆心，b 为半径作圆A ,圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，若0AMAN ,则C 的离心率为A．2 BC ．2 D9．已知圆22:(2)2C x y ，点P 在直线20x y 上运动，过点P 向圆C 作切线，切点分别为A 、B,则四边形P ACB 面积的最小值为 AB．C ．D ．410．若两个正实数x,y 满足411xy,对这样的x,y ，不等式234x y m m 恒成立,则实数m 的取值范围是A ．(1,4)B ．(4,1)C ．(,4)(1,)D ．(,1)(4,)11．已知抛物线2:4C y x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ,P 是l 上一点，连接PF 交抛物线于点M ，若3PF MF ,则△MFK 的面积为ABCD ．12．已知函数1(0)()log (0)a x x f x x x ，函数g (x )是偶函数，且(2)()g x g x ，当[0,1]x 时，()21xg x ，若函数y =f (x )-g (x )恰好有6个零点，则a 的取值范围是A ．(5,+∞)B ．(5,6)C ．(4,6)D ．(5,7)二．填空题：本题共4小题，每题5分，满分20分。
2019-2020学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高二上学期12月联考数学试题(解析版)
2019-2020学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高二上学期12月联考数学试题一、单选题1．已知集合{}1A x x =≤，{}21xB x =<，则（ ） A ．{}0A B x x ⋂=< B ．A B R =C ．{}1A B x x ⋃=> D ．{}1A B x x ⋂=≤【答案】A【解析】求出集合B ，然后利用交集和并集的定义判断各选项中集合运算的正误. 【详解】解不等式0212x <=，得0x <，{}0B x x ∴=<， 所以{}0A B x x ⋂=<，{}1A B x x ⋃=≤. 故选：A. 【点睛】本题考查集合交集和并集的计算，同时也考查了指数不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.2．已知函数()()()()221log 030x x a x f x x -⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，若()21f f =⎡⎤⎣⎦，则a =（ ） A ．2- B ．7-C ．1D ．5【答案】B【解析】先计算出()23f =-，然后得出()()231f f f =-=⎡⎤⎣⎦，即可求出实数a 的值. 【详解】()()()()221log 030x x a x f x x -⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，()21233f -∴=-=-，则()()()223log 91f f f a =-=+=⎡⎤⎣⎦，得92a +=，解得7a =-. 故选：B. 【点睛】本题考查分段函数值的计算以及对数方程的求解，解题时要结合自变量的取值选择合适的解析式计算，考查计算能力，属于基础题.3．已知曲线()321f x ax x =-+在1x =处的切线的倾斜角为4π，则a =（ ） A ．23B ．1C ．32D ．3【答案】B【解析】由题意得出()1tan 14f π'==，利用导数运算可求出实数a 的值.【详解】()321f x ax x =-+，()232f x ax '∴=-，又()1tan14f π'==，故321a -=，得1a =． 故选：B. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，涉及了直线的倾斜角与斜率，考查计算能力，属于基础题. 4．一只小虫在边长为2的正方形内部爬行，到各顶点的距离不小于1时为安全区域，则小虫在安全区域内爬行的概率是（ ） A ．14π-B ．4π C ．16π-D ．6π 【答案】A【解析】作出正方形，并作出安全区域，将安全区域的面积与正方形的面积相除可得出所求事件的概率. 【详解】如下图所示，由于小虫到每个顶点的距离不小于1为安全区域，则安全区域为以正方形每个顶点为圆心半径为1的扇形弧以及扇形以外的部分，为图中阴影部分，其面积22214S ππ=⨯-⨯=-，故概率4144P ππ-==-. 故选：A.【点睛】本题为平面区域型几何概率问题，确定事件所围成的区域是解题的关键，考查数形结合思想与计算能力，属于中等题.5．在等差数列{}n a 中，n S 为前n 项和，且7925a a =+，则9S 的值为（ ） A ．9 B ．36C ．45D ．54【答案】C【解析】由等差中项的性质得出7592a a a =+，可得出5a 的值，然后利用等差数列的求和公式以及等差中项的性质可计算出9S 的值. 【详解】759925a a a a =+=+，55a ∴=，因此，()199599452a a S a +===. 故选：C 【点睛】本题考查等差数列求和，充分利用等差中项的性质计算可将问题简化，考查计算能力，属于中等题.6．已知曲线1:sin 24C y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2:cos C y x =，若想要由2C 得到1C ，下列说法正确的是（ ）A ．把曲线2C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移8π个单位 B ．把曲线2C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移4π个单位 C ．把曲线2C 上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向左平移4π个单位 D ．把曲线2C 上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向右平移8π个单位 【答案】D【解析】将曲线2C 的解析式化为sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后利用三角函数图象变换规律可得出结论. 【详解】曲线2C 化为sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将曲线2C 上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），可得到函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将所得函数图象上每点向右平移8π个单位，可得到函数sin 2sin 2824y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，即曲线1C . 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数图象变换，在变换时要保证两个函数名称要一致，结合三角函数图象变换原则来解决问题，考查推理能力，属于中等题.7．如图是抛物线拱形桥，当水面在l 时，拱顶高于水面2m ，水面宽为4m ，当水面宽为时，水位下降了（ ）mA ．B ．2C ．1D ．12【答案】D【解析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系，并设拱桥所在抛物线为()20x ay a =<，根据题意得出点()2,2A -在抛物线上，可求出a的值，并设拱顶高于水面m h ，可知点)h -在抛物线上，代入抛物线方程可解出h的值，由此可得出水面下降的高度. 【详解】建系如图，设拱桥所在抛物线为()20x ay a =<，点()2,2A -在抛物线上，得2a =-， 抛物线方程为22x y =-，当水面宽为m h ，由点)h -在抛物线上，得52h =， 故水面下降了12m . 故选：D.【点睛】本题考查抛物线方程的应用，建立平面直角坐标，将问题转化为抛物线方程来求解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，若0AM AN ⋅=uuu r uuu r，则C 的离心率为（ ） A．2BCD【答案】B【解析】由题意得知AMN ∆为等腰直角三角形，可得出点A到渐近线的距离为2，2=，从而可求出双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的焦距为()20c c >，离心率为c e a=， 由题意，圆A 为()222x a y b -+=，与渐近线by x a=交于M 、N 两点， 由0AM AN ⋅=uuu r uuu r知90MAN ∠=o ，故圆心A，b a c==，即b e =，解得e =故选：B 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，分析三角形的几何性质是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.9．已知圆()22:22C x y -+=，点P 在直线20x y ++=上运动，过点P 向圆C 作切线，切点分别为A 、B ，则四边形PACB 面积的最小值为（ ）A B ．C ．D ．4【答案】C【解析】由题意得出四边形PACB 的面积为2PAC S S ∆==，由勾股定理知，当PC 取最小值时，切线长PA 取最小值，利用圆心到直线l 的距离作为PC 的最小值，并利用勾股定理求出PA 的最小值，从而可得出四边形PACB 的面积S 的最小值. 【详解】如图，四边形PACB 的面积为2PAC S S PA ∆==，故当PA 最小时，S 有最小值，记圆心到直线距离d =PC ≥PA =≥S ∴≥=故选：C.【点睛】本题考查与圆的切线相关的四边形面积的计算，涉及切线长的计算，考查数形结合思想与计算能力，属于中等题.10．若两个正实数x 、y 满足411x y +=，对这样的x 、y ，不等式234x y m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,4-B ．()4,1-C ．()(),41,-∞-+∞UD ．()(),14,-∞-+∞【答案】A 【解析】将代数式41x y +与4x y +相乘，展开后利用基本不等式求出4xy +的最小值为4，由题意得出234m m -<，解此不等式即可.【详解】 由基本不等式得4142224444x x y x y y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4x y =时，等号成立，则4xy +的最小值为4.由题意可得234m m -<，即2340m m --<，解得14-<<m . 因此，实数m 的取值范围是()1,4-. 故选：A 【点睛】本题考查基本不等式恒成立问题，考查了基本不等式中“1”的妙用，同时也涉及了一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.11．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，P 是l 上一点，连接PF 交抛物线于点M ，若3PF MF =，则M FK ∆的面积为（ ）A．3B．3CD．【答案】A【解析】由3PF MF =可计算出点M 的坐标，再利用三角形的面积公式可计算出MFK ∆的面积.【详解】如下图，设点M 的坐标为()00,x y ，抛物线C 的准线方程为1x =-，可设点()1,P p -， 抛物线C 的焦点为()1,0F ，且抛物线的准线与x 轴交于点()1,0K -，3PF MF =，即()()002,31,p x y -=--，()0312x ∴-=，解得013x =，200443y x ==，0y ∴=， 因此，MFK ∆的面积为12233MFK S =⨯⨯=△. 故选：A.【点睛】本题考查抛物线中三角形面积计算，同时也考查了利用向量共线求点的坐标，考查计算能力，属于中等题.12．已知函数()()()10log 0a x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，函数()g x 是偶函数，且()()2g x g x +=，当[]0,1x ∈时，()21x g x =-，若函数()()y f x g x =-恰好有6个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．()5,+∞ B ．()5,6C ．()4,6D ．()5,7【答案】D【解析】作出函数()y g x =与函数()y f x =的图象，可知两函数在区间(),0-∞上有且只有一个交点，则两函数在[)0,+∞上有5个交点，结合图象得出()()5171f f ⎧<⎪⎨>⎪⎩，可得出关于实数a 的不等式组，解出即可. 【详解】如下图所示，当0x <时，函数()1f x x =+与()y g x =有1个交点， 故0x >时()log a f x x =与()y g x =有且仅有5个交点，必有1a >且()()51log 515771log 71a a f a f ⎧<<⎧⎪⇒⇒<<⎨⎨>>⎪⎩⎩. 因此，实数a 的取值范围是()5,7. 故选：D.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，一般转化为两函数的交点个数，结合图象找出一些关键点列不等式组求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.二、填空题13．已知函数()()21xf x xf e '=-，则()1f '=______．【答案】e【解析】对函数()y f x =求导，然后令1x =，可解出()1f '的值. 【详解】由()()21xf x f e ''=- 令1x =有()()()1211f f e f e '''=-⇒=.故答案为：e 【点睛】本题考查导数的计算，考查计算能力，属于基础题.14．已知数列{}n a 满足()21*1232222n n na a a a n N -+++⋅⋅⋅+=∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则6S =______． 【答案】6364【解析】记211232222n n n n T a a a a -=+++⋅⋅⋅+=，利用111,12,2n nn n T n a T T n --=⎧=⎨-≥⎩求出12n n a =，然后利用等比数列的求和公式可求出6S 的值. 【详解】记211232222n n n n T a a a a -=+++⋅⋅⋅+=， 则()221123112222n n n n T a a a a a n ----=+++⋅⋅⋅+=≥两式相减得()1112222n n n n a a n -=⇒=≥，由112a =也适合上式，有12n n a =，故661631264S =-=. 故答案为：6364. 【点睛】本题考查利用作差法求数列通项，同时也考查了等比数列求和，考查计算能力，属于中等题.15．一个几何体的三视图如图，网格中每个正方形的边长为1，若这个几何体的顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为______．【答案】9π【解析】作出正四棱锥的实物图，找出球心的位置，并设其外接球的半径为R ，根据勾股定理列关于R 的等式，求出R 的值，再利用球体的表面积公式可计算出该几何体外接球的表面积. 【详解】几何体的直观图是正四棱锥（如图所示），且高CA 和底面边长为2，设该正四棱锥的外接球球心为O ，则球心O 在AC 上（A 为底面正方形的中心，C 正四棱锥的顶点），在Rt OAB ∆中，2OA CA OC R =-=-，由勾股定理得222OA AB OB +=，即()222R R -=，解得32R =，故四棱锥外接球的表面积为249S R ππ==. 故答案为：9π.【点睛】本题考查球体表面积的计算，同时也考查了利用三视图还原几何体，以及正四棱锥的外接球，找出球心的位置，并利用几何特征建立等式是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.16．光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>与双曲线22222:1x y C m n-=（0m >，0n >）有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过()*2k k N ∈次反射后，首次回到左焦点所经过的路径长为______．【答案】()2a m -【解析】根据题意，可知光线从左焦点出发经过椭圆反射回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点，从而可计算光线经过()2k k N *∈次反射后首次回到左焦点所经过的路径长.【详解】由已知，如图光线从1F 出发，若先经过双曲线上一点B 反射，则反射光线相当于光线从2F 设出经过点B 再到达椭圆上一点A 反射回到1F ；同理，若先出发经过椭圆上一点A 反射，则光线沿着直线2AF 方向到达双曲线上一点B 反射后回到1F ，则可知，光线从1F 出发，无论经由那条路线，经过两次反射后必然返回1F ，则讨论光线反射两次后返回1F 的过程如图，212AF m AF =+，()11211122222BF BA AF a AF AF a m AF AF a m ++=-+=-++=-所以光线经过2次反射后回到左焦点所经过的路径长为()2a m - 故答案为：()2a m -【点睛】本题考查以新定义为素材，考查椭圆、双曲线的定义，考查光线的反射问题，理解定义是解题的关键，考查推理能力，属于难题.三、解答题17．已知命题:p 方程22121x y m m -=+-表示双曲线，命题:q x R ∀∈，210mx mx ++>．（1）写出命题q 的否定“q ⌝”；（2）若命题“p q ∧”为假命题，“q ⌝”为假命题，求实数m 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）[]0,1.【解析】（1）根据全称命题的否定可得出命题q ⌝；（2）先求出命题p 为真命题时实数m 的取值范围，并求出命题p 为真命题时实数m 的取值范围，由题意可知命题p 为假命题，命题q 为真命题，由此可得出实数m 的取值范围. 【详解】（1）由题意可知0:q x R ⌝∃∈，20010mx mx ++≤，（或写为：x R ∃∈，210mx mx ++≤）； （2）若命题p 为真命题，由()()2102m m m +->⇒<-或1m >. 若命题q 为真命题，则x R ∀∈，210mx mx ++>. 若0m =，化为10>成立. 若0m ≠，则有20440m m m m >⎧⇒<<⎨∆=-<⎩，[)0,4m ∴∈. “p q ∧”为假命题，“q ⌝”为假命题 p ∴假q 真，[][)[]2,10,40,1m ∴∈-=.因此，实数m 的取值范围是[]0,1. 【点睛】本题考查全称命题否定的改写，同时也考查了利用复合命题的真假求参数，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.18．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，已知sin sin sin sin a A c C C b B +=．（1）求B ；（2）若等差数列{}n a 的公差不为0，且1tan 2a B =，2a 、4a 、8a 成等比数列，求数列14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n S ． 【答案】（1）4B π=；（2）1nn + 【解析】（1）利用边角互化思想结合余弦定理求出cos B 的值，再由()0,B π∈，可得出角B 的值；（2）设等差数列的公差为d ，则0d ≠，求出11a =，由题意列出关于d 的方程，求出d 的值，利用等差数列{}n a 的通项公式，然后利用裂项求和法可求出数列14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n S ．【详解】（1）由正弦定理有：222a c b +-=，由余弦定理222cos 22a cb B ac +-==，又()0,B π∈ ，4B π∴=； （2）设等差数列的公差为d ，则0d ≠，由（1）11tan 22a B a =⇒=，又()()()2242811137a a a a d a d a d =⇒+=++21a d d ⇒=，0d ≠，12d a ∴==，2n a n ∴=，从而()()14411122111n n a a n n n n n n +===-⋅+++. 11111111223341n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111n n n =-=++. 【点睛】本题考查利用余弦定理求角，同时也考查了裂项求和法，涉及正弦定理边角互化思想的应用以及等差数列中基本量的计算，考查计算能力，属于中等题.19．双十一购物狂欢节，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，目前已成为中国电子商务行业的年度盛事，某商家为了解“双十一”这一天网购者在其网店一次性购物情况，从这一天交易成功的所有订单里随机抽取了100份，按购物金额（单位：元）进行统计，得到如下频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表计算）．（1）求a 的值；（2）试估计购物金额的平均数；（3）若该商家制订了两种不同的促销方案： 方案一：全场商品打八折； 方案二：全场商品优惠如下表：如果你是购物者，你认为哪种方案优惠力度更大？【答案】（1）0.0015a =；（2）750元；（3）方案一的优惠力度更大. 【解析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为1可计算出a 的值； （2）将每个矩形底边的中点值乘以矩形的面积，相加即可得出购物金额的平均数； （3）计算出两种方案的优惠金额，从而得出方案一的优惠力度更大. 【详解】（1）各小组的频率依次为0.1、0.2、0.25、200a 、0.1、0.05. 由0.10.20.252000.10.051a +++++=，有0.0015a =； （2）购物金额的平均数为()3000.15000.27000.259002000.001511000.113000.05750x =⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=（元）；（3）选择方案一：优惠力度为()750180%150⨯-=元 选择方案二：优惠力度为300.1500.21400.251600.32800.13200.05140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.故方案一的优惠力度更大． 【点睛】本题考查频率分布直方图中矩形高的计算，同时也考查了频率直方图中平均数的计算以及方案的选择，考查数据处理的能力，属于中等题.20．在三棱锥S ABC -中，ABC ∆是正三角形，面SAC ⊥面ABC ，4AB =，SA SC ==E 、F 分别是AB 、SB 的中点．（1）证明：AC SB ⊥；（2）求二面角B CE F --的余弦值．【答案】（1）见解析；（2. 【解析】（1）取AC 的中点O ，连接OS 、OB ，由等腰三角形三线合一的性质得出AC SO ⊥且AC BO ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理可证明出AC ⊥面SBO ，从而得出AC SB ⊥；（2）利用面面垂直的性质定理证明出SO ⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，分别以OA 、OB 、OS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法计算出二面角B CE F --的余弦值． 【详解】（1）取AC 的中点O ，连接OS 、OB ，SA SC =，AB BC =，AC SO ∴⊥且AC BO ⊥．又SO CO O =，AC ∴⊥面SBO ，又SB ⊂面SBO ，AC SB ∴⊥；（2）由面SAC ⊥面ABC ，平面SAC 平面ABC AC =，SO AC ⊥，SO ⊂平面SAC ，可得SO ⊥面ABC .故以O 为坐标原点，分别以OA 、OB 、OS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系：则()2,0,0A，()0,B ，()2,0,0C -，()0,0,2S(),0E ∴，()F.()CE ∴=，()CF =，设(),,n x y z =为平面EFC 的一个法向量由300020x n CE n CF x z ⎧⎧+=⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=++=⎪⎩⎩，取1x =，则y =1z =． ()1,3,1n ∴=-. 又()0,0,2OS =为面ABC的一个法向量，由cos ,5n OS ==如图知二面角B CE F --.【点睛】本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，考查推理论证能力与计算能力，属于中等题.21．如图，要在河岸EF 的一侧修建一条休闲式人行道，进行图纸设计时，建立了图中所示坐标系，其中E ，F 在x 轴上，且()3,0F -，道路的前一部分为曲线段FBC ，该曲线段为二次函数()()214f x a x =++在[]3,0x ∈-时的图像，最高点为B ，道路中间部分为直线段CD ，//CD EF ，且CD =，道路的后一段是以O 为圆心的一段圆弧DE ．（1）求a 的值； （2）求DOE ∠的大小；（3）若要在扇形区域ODE 内建一个“矩形草坪”MNPQ ，P 在圆弧DE 上运动，M 、N 在OE 上，记POE α∠=，则当α为何值时，“矩形草坪”面积最大．【答案】（1）1a =-；（2）3DOE π∠=；（3）当6πα=时，矩形草坪面积最大.【解析】（1）将点F 的坐标代入函数()y f x =的解析式，可得出实数a 的值； （2）在函数()y f x =的解析式中令0x =，可求出点C 的坐标，由此得出OC ，可求出tan COD ∠，计算出COD ∠，由此可得出DOE ∠；（3）可得出QM PN α==，2sin MN αα=-，从而得出“矩形草坪”的面积S 关于α的表达式，利用三角恒等变换思想将S 关于α的表达式化简为26S πα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭α的范围，可计算出S 的最大值以及对应的α值. 【详解】（1）由图可知函数()()214f x a x =++的图象过点()3,0F -，()34401f a a ∴-=+=⇒=-；（2）由（1）知()()214f x x =-++，当0x =时，()03f =，3OC ∴=，又CD =Rt OCD ∆中，6COD π∠=，3DOE π∴∠=；（3）由（2）可知OD = 易知矩形草坪面积最大时，Q 在OD 上．如图：03POE παα⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，QM PN α∴==，ON α=，又2sin 3OM α==，2sin MN ON OM αα∴=-=- ∴矩形草坪的面积为：()2sin S QM MN ααα=⋅=-212sin cos 6sin 2226παααααα⎛⎫=-=+-=+- ⎪⎝⎭，又5023666ππππαα<<⇒<+<，故当262ππα+= 即6πα=时，有max S =综上所述，当6πα=时，矩形草坪面积最大．【点睛】本题考查二次函数模型以及三角函数模型的应用，涉及锐角三角函数定义以及三角恒等变换思想的应用，考查计算能力，属于中等题.22．如图，椭圆()2222:10x y a b a b Γ+=>>的左右焦点1F 、2F 恰好是等轴双曲线22:2E x y -=的左右顶点，且椭圆的离心率为2，P 是双曲线E 上异于顶点的任意一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别记为A 、B 和C 、D ．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1K 、2K ，求证：12K K ⋅为定值；（3）若存在点P 满足324AB CD AB CD +=⋅，试求12F PF ∠的大小． 【答案】（1）22142x y +=；（2）定值为1，见解析；（3）1245F PF ∠=. 【解析】（1）设椭圆的焦距为()20c c >，由题意得出c =算出a ，进而求出b 的值，由此可得出椭圆Γ的方程；（2）设点()00,P x y ，可得出22002x y -=，再结合斜率公式可计算出12KK ⋅的值；（3）设直线AB 的方程为(y k x =，可得出直线CD 的方程为(1y x k=，将直线AB 的方程与椭圆Γ的方程联立，利用韦达定理和弦长公式计算出AB ，同理得出CD ，利用平面向量数量积的定义得出1211cos F PF AB CD ⎛⎫⎪∠=+⎪⎭，计算出12cos F PF ∠，即可得出12FPF ∠的大小.【详解】（1）设椭圆的焦距为()20c c >，由题意知()1F ，)2F ，c ∴=又离心率2c e a ==，2a ∴=，故b =Γ的方程为22142x y +=；（2）设()00,P x y ，则22002x y-=，可得22002y x =-，由此20122012y K K x ===-（定值）；（3）由（2）知121K K =，设直线AB的方程为(y k x =+，则直线CD方程为(1y x k=， 联立(22142y k xx y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩消去y ，得：()222212440k x x k +++-=， 记()11,A x y ，()22,B x y ，则212212x x k-+=+，21224412k xx k -=+， ()2241112k AB k+∴=+=+，同理()22412k CD k +=+，()()()222222111223334414141k k k k k k AB CD +++∴+=+==+++. 由题意：123232cos 4AB CD AB CD AB CD F PF +=⋅=∠， 故12113cos 4233AB CDF PF AB CD AB CD⎛⎫+⎪∠==+==⎪⎭，1245F PF ∴∠=.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时考查了双曲线中的定值问题，以及焦点三角形中角的计算，涉及到弦长公式、平面向量数量积定义的应用，考查计算能力，属于中等题.。
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学大联考高三(上)月考数学试卷(二)(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学大联考高三（上）月考数学试卷（二）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x||x|⩽2}，B ={t|1⩽2t ⩽8(t ∈Z)}，则A ∩B =( )A. [−1,3]B. {0,1}C. [0,2]D. {0,1,2}2.已知复数z 满足|z−i|=1，则|z|的取值范围是( )A. [0,1]B. [0,1)C. [0,2)D. [0,2]3.已知p ：f(x)=ln(21−x +a)(−1<x <1)是奇函数，q ：a =−1，则p 是q 成立的( )A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.若锐角α满足sinα−cosα=55，则sin (2α+π2)=( )A. 45B. −35 C. −35或35D. −45或455.某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是( )A. 理科男生多于文科女生B. 文科女生多于文科男生C. 理科女生多于文科男生D. 理科女生多于理科男生6.如图，某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为4cm ，上底面的直径为8cm ，高为4cm ，已知点P 是上底面圆周上不与直径AB 端点重合的一点，且AP =BP ，O 为上底面圆的圆心，则OP 与平面ABC 所成的角的正切值为( )A. 2B. 12C.5D.557.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：y =kx +12与圆C ：x 2+y 2=1交于A ，B 两点，则△AOB 的面积的最大值为( )A. 1B. 12C.32D.348.设函数f(x)=(x 2+ax +b)lnx ，若f(x)≥0，则a 的最小值为( )A. −2B. −1C. 2D. 1二、多选题：本题共3小题，共18分。
2023-2024学年湖南省高二年级上学期9月金太阳联考数学试卷+答案解析(附后)
2023-2024学年湖南省高二年级上学期9月金太阳联考数学试卷✽一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“”的否定是( )A. ²B.C. ，D.2.已知集合( )A. B. C. D.3.若则z的虚部为( )A. B. C. D.4.已知向量，满足，，则( )A. 5B.C. 6D. 135.在正四棱台中，，且三棱锥的体积为1，则该正四棱台的体积为( )A. 2B. 3C.D.6.若则( )A. B.C. D.7.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知则( )A. 5B.C.D. 68.直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是( )A. B.C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知直线下列选项正确的是( )A. 若B. 若C. 直线l 恒过点D. 若直线n 在x 轴上的截距为6，则直线n 的斜截式为10.如图，在菱形ABCD 中，，，将沿直线BD 翻折成不在平面ABCD 内，则A.B. 点 B 到直线PC 的距离为定值C. 当PB 与CD 所成的角为时，二面角的余弦值为D. 当PB 与平面BCD 所成的角最大时，三棱锥外接球的表面积为11.是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.某地8月1日到10日的日均值单位：分别为36，32，38，34，32，88，42，36，30，32，则关于这10天中日均值的说法正确的是( )A. 众数为32B. 第80百分位数是38C. 平均数是40D. 前4天的方差比后4天的方差小12.已知甲盒中有五个相同的小球，标号为1，2，3，4，5，乙盒中有五个相同的小球，标号为3，4，5，6，现从甲、乙两盒中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号相同”，事件“抽取的两个小球标号之和为奇数”，事件“抽取的两个小球标号之和大于8”，则( )A. 事件A 与事件B 是互斥事件 B. 事件A 与事件B 是对立事件C.D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省天壹名校联盟2020届高三12月大联考数学(理)试题答案
理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案DADCBBABACBC1.D 解析：A ＝[－1，2]，B ＝[1，2]，A ∩B ＝[1，2]．2.A 解析：a ·(a －2b )＝a 2－2a ·b ＝1－2×12＝0，故选A ．3.D 解析：A 不单调，B 单调递减，C 是偶函数，D 满足条件．4.C 解析：z ＝1＋3i 1－i ＝（1＋3i ）（1＋i ）2＝－1＋2i ，故选C.5．B 解析：由题意可知m 天后剩下的线段的长度为(12)m ，则(12)m <1100，解得m ≥7，故选B.6．B 解析：由线面间的位置关系易知选B.7．A解析：由已知綈p ：∃x 0∈(－1，1)，f (x 0)＝0为真命题．∵f (x )为增函数，∴f (－1)f (1)＜0，1e－1＜a ＜1＋e ，a ＝0，1，2，3，故选A.8．B 解析：x ＝2020，x ＝2018，x ＝2016，…，x ＝0，x ＝－2，y ＝m 2＋m ＝12，m ＝3，故选B.9．A 解析：设一条渐近线方程为y ＝kx ，则|3k |k 2＋1＝2，解得k 2＝45，∴b 2a 2＝45，c 2a 2＝95，e ＝355.10.C解析：由已知得ω＝2，x ＝φ是f (x )的一条对称轴，且使f (x )取得最值，则3φ＝k π，φ＝π3，f (x )＝cos(2x ＋π3)＝cos[2(x ＋5π12)－π2]，g (x )＝sin2x ＝cos(2x －π2)，故选C ．11.B解析：由已知得直线l 的方程为：y －e x 1－a ＝e x 1－a (x －x 1)，y －x 2＝12x 2(x －x 2)，∴x 1－a ＝12x 2x 1－a （1－x 1）＝x 22，消去e x 1－a整理得x 1＋x 2＝1.12．C解析：如图，EC ＝PE ＝PC ＝332，∴PA ＝PB ＝3，设△PAB 与△ABC 的中心分别为G ，H ，过G ，H 分别作面PAB 与面ABC 的垂线交于点O ，则O 是外接球的球心，连接OE ，则∠OEH ＝30°.∵EH ＝32，∴OE ＝1，R ＝OB ＝OE 2＋BE 2＝132，S ＝4πR 2＝13π.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.314.415.－3016.713．3解析：作出可行域知z ＝2x －y 在点(3，3)处取得最大值3.14．4解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知可得a 1＝9d ，∴a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝（n +8）d .∵a k 是a 1与a 2k 的等比中项，∴a k 2＝a 1a 2k ，即（k +8）2d 2＝9d •（2k +8）d ，化简得k 2﹣2k ﹣8＝0，解得k ＝4（﹣2舍去）.15－30解析：(1＋2x －x )5表示5个因式(1＋2x－x )的乘积，有2个因式都选－x ，其余的3个因式都选1，相乘可得含x 2的项，或者有3个因式选－x ，有1个因式选1x，1个因式选1，相乘可得含x 2的项，故x 2项的系数为C 25＋(－C 35·C 12·2)＝－30.(或将括号里面2项组合起来展开考虑)16.7解析：注意到l 1的倾斜角为30°，如图，设A 在l 2上的射影为M ，A 在l 1上的射影为N .∵AM ＝AF ，∴当A ，F ，N 三点共线时，d 1＋d 2取得最小值，此时AN 与AM 夹角为60°，d 1＝2d 2，∴N 在l 2上，FA ：y ＝－3(x －1)，N (－1，23)，代入l 1解得b ＝7.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．解析：(1)由余弦定理得a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，∴sin A sin B ＝2ac cos B c 2＝2sin A cos B sin C ，∴sin2B ＝sin C ，2B ＝C 或2B ＝π－C ，由2B ＝π－C 得A ＝B ，不符合条件，∴C ＝2B .(5分)(2)由(1)及正弦定理得323＝sin B sin C ＝sin B 2sin B cos B ，∴cos B ＝33＝a 2＋12－92a ·23，解得a ＝1或3(舍)，∴S △ABC ＝12×1×23×63＝ 2.(12分)18．解析：(1)连接A 1C 交AC 1于点O ，连接OD ，则平面A 1BC ∩平面ADC 1＝OD ，∵A 1B ∥平面ADC 1，∴A 1B ∥OD ，∵O 为A 1C 的中点，∴D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∵B 1D ⊥平面ABC ，∴AD ⊥B 1D ，∵BC ∩B 1D ＝D ，∴AD ⊥平面BCC 1B 1，∵AD ⊂平面ADC 1，∴平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1.(6分)(2)建立如图所示空间直角坐标系D xyz ，设AB ＝2，则B (－1，0，0)，A (0，3，0)，B 1(0，0，3)，C 1(2，0，3)，∴BA →＝(1，3，0)，DA →＝(0，3，0)，DC 1→＝(2，0，3)，设平面ADC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )＝0＋3z ＝0，取x ＝－3得n ＝(－3，0，2)，∴|cos<BA →，n >|＝|－32×7|＝2114，即直线AB 与平面ADC 1所成角的正弦值为2114.(12分)19．解析：(1)由y －＝1661ii y=∑＝60得16×(70＋65＋62＋59＋56＋t )＝60，解得t ＝48，∴621ii x=∑＝32＋42＋52＋62＋72＋82＝199，n x －2＝6×5.52＝181.5，代入可得b ^＝1910－1980199－181.5＝－7017.5＝－4，a ^＝y －－b ^x －＝60－(－4)×5.5＝82，∴所求的线性回归方程为y ^＝－4x ＋82.(5分)(2)利用(1)中所求的线性回归方程y ^＝－4x ＋82可得，当x 1＝3时，y ^1＝70；当x 2＝4时，y ^2＝66；当x 3＝5时，y ^3＝62；当x 4＝6时，y ^4＝58；当x 5＝7时，y ^5＝54；当x 6＝8时，y ^6＝50；与销售数据对比可知满足|y ^i －y i |≤1的共有4个“好数据”：(3，70)、(4，65)、(5，62)、(6，59)，由题意知X 的可能取值为1，2，3，P (X ＝1)＝C 22·C 14C 36＝15，P (X ＝2)＝C 12·C 24C 36＝35，P (X ＝3)＝C 02·C 34C 36＝15.∴X 的分布列为X 123P153515数学期望EX ＝1×15＋2×35＋3×15＝2.(12分)20．解析：(1)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由已知得c a ＝22，∴a 2＝2b 2，椭圆C ：x 2＋2y 2＝2b 2，代入直线l 方程整理得(m 2＋2)y 2＋2my ＋1－2b 2＝0，∴y 1＋y 2＝－2m m 2＋2＝－252，y 1y 2＝1－2b 2m 2＋2＝25(1－2b 2)，x 1x 2＝(my 1＋1)(my 2＋1)＝25(2－b 2)，∵OM ⊥ON ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，解得b 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(6分)(2)由(1)知Q (x 2，－y 2)，k PM ＝y 1x 1－2，k PQ ＝－y 2x 2－2，∴k PM －k PQ ＝y 1x 1－2－－y 2x 2－2＝y 1（x 2－2）＋y 2（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2），∵y 1(x 2－2)＋y 2(x 1－2)＝y 1(my 2－1)＋y 2(my 1－1)＝2my 1y 2－(y 1＋y 2)＝0，∴k PM ＝k PQ ，∴P 、M 、Q 三点共线．(12分)21．解析：(1)f ′(x )＝2ln x ＋2－a ，由f ′(x )＝0得x ＝e a －22，当x ＞ea －22时，f ′(x )＞0，当0＜x ＜ea －22时，f ′(x )＜0，∴f (x )在x ＝e a －22处取得最小值f (ea －22)＝1－2e a －22＜0，解得a ＞2－2ln2.∵e a2>ea －22，f (e a 2)＝1>0，∴f (x )在(e a －22，＋∞)上有1个零点；∵a >2－2ln2，∴14a <12<e a －22，f (14a )＝14a (2ln 14a －a )＋1，令14a ＝t ∈(0，12)，则f (t )＝t (2ln t －14t )＋1，f ′(t )＝2(ln t ＋1)，∴f (t )≥f (1e )＝34－2e>0，∴f (14a )>0，∴f (x )在(14a，e a －22)上有1个零点，综上，a 的取值范围是(2－2ln2，＋∞)．(6分)（分参数形结合可酌情给分）(2)由f (x )＝0得2ln x ＋1x ＝a ，令g (x )＝2ln x ＋1x，则x 1，x 2是y ＝g (x )与y ＝a 交点横坐标．g ′(x )＝2x －1x 2＝2x －1x 2，当0＜x ＜12时，g ′(x )＜0，g (x )在(0，12)上是减函数，在(12，＋∞)上是增函数，∴g (x )在x ＝12处取得最小值，∴0＜x 1＜12＜x 2，设h (x )＝g (x )－g (14x )(x ＞12)，∴h ′(x )＝－（2x －1）2x 2＜0，h (x )是减函数，∴h (x )＜h (12)＝0，∴g (x )＜g (14x )，∵x 2＞12，∴g (x 1)＝g (x 2)＜g (14x 2)，∵x 1、14x 2∈(0，12)，g (x )在(0，12)上递减，∴x 1＞14x 2，即4x 1x 2＞1.(12分)22．解析：(1)由ρ2＋42ρcos(θ－π4)－8＝0得ρ2＋4ρcos θ＋4ρsin θ－8＝0，∴x 2＋y 2＋4x ＋4y －8＝0，∴曲线C 的直角坐标方程为(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝16.(4分)(2)将直线l 的参数方程代入C 方程整理得t 2＋2t (sin α＋cos α)－14＝0，t 1＋t 2＝－2(sin α＋cos α)，t 1t 2＝－14＜0，∴||PA |－|PB ||＝||t 1|－|t 2||＝|t 1＋t 2|＝22|sin(α＋π4)|，∵0≤α＜π，∴π4≤α＋π4<5π4，－22<sin(α＋π4)≤1，∴||PA |－|PB ||的取值范围是[0，22]．(10分)23．解析：(1)当x ＞4时，x ＋2＋x －4≤2x ，恒成立，此时x ＞4；当x ＜－2时，－x －2－x ＋4≤2x ，解得x ≥12，此时无解；当－2≤x ≤4时，x ＋2－x ＋4≤2x ，解得x ≥3，此时3≤x ≤4，综上，不等式的解集是[3，＋∞)．(5分)(2)由f (x )≥k |x －1|得|x ＋2|＋|x －4|≥k |x －1|，当x ＝1时，6≥0恒成立，此时k ∈R ，当x ≠1时，k ≤|x ＋2|＋|x －4||x －1|＝|x －1＋3|＋|x －1－3||x －1|＝|1＋3x －1|＋|1－3x －1|，又|1＋3x －1|＋|1－3x －1|≥2，∴k ≤2，综上，k 的取值范围是(－∞，2]．(10分)。
湖南省2019-2020学年高二12月联考数学(理)试题Word版含解析
湖南省2019-2020学年高二12月联考数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.设数列的前项和，则的值为（）A. 15B. 37C. 27D. 642.设命题，则为A. B.C. D.3.若非零向量,满足，则与的夹角为( )A. B. C. D.4.设曲线在点(3,2)处的切线与直线垂直,则( )A. 2B.C.D.5.等比数列中，则的值为( )A. 10B. 20C. 36D. 1286.设都是不等于1的正数，则“”是“”成立的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件7.若，则等于（）A. 2B. 0C.D.8.在等差数列中，，，则数列的前项和的最大值为（）A. B. C. 或 D.9.双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线右支上一点，I是的内心，且，则（）A. B. C. D.10.如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则的长为A. B. 7 C. D. 911.在椭圆上有两个动点，为定点，，则的最小值为( )．A. 4B.C.D. 112.函数的图象关于直线对称，当时，成立，若，则的大小关系是（）A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设等差数列的前项和为，若，则 ________。
14.已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则的面积为__________.15.若关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是______。
16.已知M是内的一点（不含边界），且，，若和的面积分别为则的最小值是______。
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．18.小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)19.已知等差数列的首项，公差，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项．(1) 求数列的通项公式；(2) 设，是否存在，使得对任意的均有总成立？若存在，求出最大的整数；若不存在，请说明理由．20.如图，三棱锥，侧棱，底面三角形为正三角形，边长为，顶点在平面上的射影为，有，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）线段上是否存在点使得⊥平面，如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.21.已知椭圆：（）经过点，离心率为，点为坐标原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的左焦点任作一直线，交椭圆于，两点，求的取值范围.22.已知函数，，其中.（1）讨论的单调性；（2）设函数，当时，若，，总有成立，求实数的取值范围.湖南省2019-2020学年高二12月联考数学（理）试题参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.设数列的前项和，则的值为（）A. 15B. 37C. 27D. 64【答案】B【解析】【分析】根据当时，求解即可得到答案．【详解】由题意得，，故选B．【点睛】本题考查数列的项与前n项和之间的关系，考查变化能力和计算能力，属于基础题．2.设命题，则为A. B.C. D.【答案】C全称性命题的否定是特称性命题，所以选C.3.若非零向量,满足，则与的夹角为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意有，由于两个向量的模相等，故上式化简得.4.设曲线在点(3,2)处的切线与直线垂直,则( )A. 2B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：因为，所以选B.考点：导数几何意义【思路点睛】（1）求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.5.等比数列中，则的值为( )A. 10B. 20C. 36D. 128【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的性质可得，然后根据对数的运算性质可得所求结果．【详解】∵数列为等比数列，且，∴，∴．【点睛】在等比数列的计算问题中，除了将问题转化为基本量的运算外，还应注意等比数列下标和性质的运用，即“若，则”，用此性质进行解题可简化运算，提高运算的效率．6.设都是不等于1的正数，则“”是“”成立的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】又及的到实数的关系，比较后可得结论．【详解】由可得；由得．所以当“”成立时，“”不成立；反之，当“”成立时，“”也不成立，所以“”是“”成立的既不充分也不必要条件．故选D．【点睛】判断条件是条件的什么条件时，一般根据定义进行求解，也可转换为条件和条件对应的集合间的关系进行求解，而对于含有否定性词语的命题，在判定时常转化为其等价命题处理，解题时要注意转化的合理性和准确性，属于基础题．7.若，则等于（）A. 2B. 0C.D.【答案】D【解析】,选D.8.在等差数列中，，，则数列的前项和的最大值为（）A. B. C. 或 D.【答案】A【解析】【分析】由可得，再根据可得，，从而可得前项和的最大值为．【详解】∵等差数列中，，∴，∴，又，∴，，即数列的前15项为正值，从第16项开始为负值．∴数列的前项和的最大值为．故选A．【点睛】求等差数列前n项和最大值的方法：（1）根据题意求出前项和的表达式，然后根据二次函数的知识求解；（2）根据题意求出等差数列中正负项的分界点，根据正项和负项的位置进行判断，即在等差数列中，若，则前项和有最大值；若若，则前项和有最小值．9.双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线右支上一点，I是的内心，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出图形，将用、和表示出来，然后再根据双曲线的定义求解即可得到结论．【详解】如图，设内切圆的半径为．由得，整理得．因为P为双曲线右支上一点，所以，，所以．故选D．【点睛】本题以焦点三角形的内切圆和三角形的面积为载体考查双曲线的定义，解题的关键在于转化，注意将条件中给出的三角形的面积用线段长度表示出来，然后再用定义求解，属于基础题．10.如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则的长为A. B. 7 C. D. 9【答案】C【解析】如下图，作连CE,所以ABDE为矩形，，AB=DE=4，,,选C.11.在椭圆上有两个动点，为定点，，则的最小值为( )．A. 4B.C.D. 1【答案】C【解析】【分析】由题意得，然后转化为椭圆上的点到点的距离的问题处理，根据二次函数的最值可得所求．【详解】由题意得．设椭圆上一点，则，∴，又，∴当时，取得最小值．故选C．【点睛】解答圆锥曲线中的最值问题时，可将所求的最值表示成某一参数的表达式，然后再根据不等式或函数的知识求解，由于解题中要涉及到复杂的计算，所以在解题时要注意计算的合理性，适当运用换元等方法进行求解．12.函数的图象关于直线对称，当时，成立，若，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数的图象关于直线对称可得函数的图象关于直线对称，即函数为偶函数．再根据题意构造函数，则为偶函数，且，故在上单调递减．最后通过比较到y轴距离的大小可得的大小关系．【详解】∵函数的图象关于直线对称，∴函数的图象关于直线对称，即函数为偶函数．设，则为偶函数，又当时，，∴在上单调递减．又，∴，即．故选B．【点睛】本题综合考查函数性质和导数求导法则的应用，解题的关键是根据题意构造函数，然后根据此函数的奇偶性和单调性将比较函数值大小的问题，转化为比较自变量大小的问题．考查转化思想方法的运用和计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设等差数列的前项和为，若，则 ________。
湖南省2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)含答案
湖南省2019－2020学年度高二第一学期期末考试
理科数学
命题人：高二数学备考组
(必修3，选修2－1，选修2－2)
时量：120分钟
满分：100 分(必考试卷Ⅰ)，50分(必考试卷Ⅱ)
得分：____________
必考试卷Ⅰ(满分100分)
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数－i ＋1i
＝A ．－2i B.12
i C ．0 D ．2i 2．在△ABC 的边AB 上随机取一点
P ，记△CAP 和△CBP 的面积分别为S 1和S 2，则
S 1>2S 2的概率是
A.12
B.13
C.14
D.153．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，设AC ′
→＝xAB →＋2yBC →＋3zCC ′→，则x ＋y ＋z ＝A.116 B.56 C.23 D.76
4.0
π(cos x ＋1)dx 等于
A ．1
B ．0
C ．π＋1
D ．π
5．若a ，b 为实数，则“0<ab<1”是“b<1a
”的A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是
A ．870
B ．30
C ．6
D ．3
7．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应。
湖南省天壹名校联盟2020届高三12月大联考 理科数学
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湖南省2019-2020学年高二上学期期末联考数学(理)试题Word版含解析
湖南省2019-2020学年高二上学期期末联考数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知命题p：，，则A. ：，B. ：，C. ：，D. ：，2.命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是A. 若α≠，则tanα≠1B. 若α=，则tanα≠1C. 若tanα≠1，则α≠D. 若tanα≠1，则α=3.椭圆的焦距为A. B. 8 C. D. 12．4.抛物线的准线方程为A. B. C. D.5.双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于1，则点P到另一个焦点的距离等于A. 3B. 5C. 7D. 96.已知向量，2，，使成立的x与使成立的x分别为A. ，B. ，6C. ，D. 6，7.已知，则A. 4B. 6C. 8D. 128.椭圆上的点到直线的最大距离是A. 3B.C.D.9.曲线在点处的切线方程是A. B. C. D.10.如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是A. B. C. D.11.双曲线的两个焦点为，，若P为其图象上一点，且，则该双曲线离心率的取值范围为A. B. C. D.12.如图，平面平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且，G是EF的中点，则点B 到平面AGC的距离为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.命题“若，则”的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中，真命题的个数为______．14.以为渐近线且经过点的双曲线方程为______．15.计算______．16.数1，m，9成等比数列，则圆锥曲线的离心率为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知命题恒成立；命题q：方程表示双曲线．若命题p为真命题，求实数m的取值范围；若命题“”为真命题，“”为假命题，求实数m的取值范围．18.斜率为的直线l经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A、B两点．求该抛物线的标准方程和准线方程；求线段AB的长．19. （2013•重庆）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．20.如图已知四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，底面ABCD，E，F分别为棱BC，AD的中点．若，求异面直线PB和DE所成角的余弦值．若二面角的余弦值为，求四棱锥的体积．21.设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离，O为坐标原点．1求椭圆C的方程；2过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．22.已知函数．当时，讨论函数的单调性；若不等式对于任意成立，求正实数a的取值范围．湖南省2019-2020学年高二上学期期末联考数学（理）试题参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知命题p：，，则A. ：，B. ：，C. ：，D. ：，【答案】C【解析】【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：，的否定是：，，故选：C．【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．2.命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是A. 若α≠，则tanα≠1B. 若α=，则tanα≠1C. 若tanα≠1，则α≠D. 若tanα≠1，则α=【答案】C【解析】因为“若，则”的逆否命题为“若，则”，所以“若α=，则tanα=1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠”.【点评】本题考查了“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力.3.椭圆的焦距为A. B. 8 C. D. 12【答案】C【解析】【分析】由椭圆方程求得的值，再由隐含条件得答案．【详解】由椭圆，可知椭圆焦点在y轴上，又，，．椭圆的焦距为．故选：C．【点睛】本题考查椭圆的方程及简单性质，是基础题．4.抛物线的准线方程为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出抛物线的标准方程，再求抛物线的准线方程．【详解】抛物线的标准方程为，抛物线的准线方程为．故选：C．【点睛】本题考查抛物线的准线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线的简单性质的灵活运用．5.双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于1，则点P到另一个焦点的距离等于A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】D【解析】【分析】将双曲线方程化为标准方程，可得，设到另一个焦点的距离为，根据双曲线的定义可得，从而可得结果.【详解】双曲线化为，可得，，设到另一个焦点的距离为，根据双曲线的定义可得，，即点到另一个焦点的距离等于，故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程、双曲线的定义以及双曲线的简单性质，意在考查对基础知识的理解与灵活应用，属于简单题.6.已知向量，2，，使成立的x与使成立的x分别为A. ，B. ，6C. ，D. 6，【答案】A【解析】，，，，故选A．点睛：设，则（1）存在实数，使，也即（分母均不为0时）；（2）．7.已知，则A. 4B. 6C. 8D. 12【答案】D【解析】【分析】先求导，再代值计算即可．【详解】，则，则，故选：D．【点睛】本题考查了导数的运算和导数值的求法，属于基础题.8.椭圆上的点到直线的最大距离是A. 3B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ），由点到直线的距离公式，计算可得答案．【详解】设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ）则点P到直线的距离d=；故选：D．【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．9.曲线在点处的切线方程是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函数的导数，求出切线方程的斜率，即可得到切线方程．【详解】曲线，解得y′=e x+xe x，所以在点(0,1)处切线的斜率为1．曲线在点（0，1）处的切线方程是：y﹣1=x．即x﹣y+1=0．故选：A．【点睛】本题考查曲线的切线方程的求法，考查计算能力10.如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是A. B. C. D.【答案】D【解析】设，，作差得：，即，所以，所以直线方程为，即。
湖南省2019-2020学年高二12月联考数学(文)试题Word版含解析
湖南省2019-2020学年高二12月联考数学（文）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设数列{a n}的前n项和S n=n3，则a4的值为（）A. 15B. 37C. 27D. 642.椭圆的焦点为F1，F2，p为椭圆上一点，若，则（）A. 3B. 5C. 7D. 93.等差数列{a n}满足，则其前10项之和为( )A. －9B. －15C. 15D. ±154.利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问名不同的大学生是否爱好某项运动，利用列联表，由计算可得.参照附表，得到的正确结论是（）A. 有以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B. 有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”5.函数在区间上的最小值是（）A. -9B. -16C. -12D. 96.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的横坐标为3，则等于（）A. 10B. 8C. 6D. 47.如果数列的前n项和为，则这个数列的通项公式是（）A. B.C. D.8.已知实数，满足：，，则的取值范围是（）A. B. C. D.9.已知．下列四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是（）A. B. C. D.10.若函数在区间上单调递减，则实数t的取值范围是（）A. B. C. D.11.若椭圆与直线交于两点，过原点与线段的中点的直线的斜率为，则的值为（）A. B. C. D.12.在正项等比数列中，存在两项，使得且则的最小值是（）A. B. C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数 (e为自然对数的底数）的图像在点（0,1）处的切线方程是____________14.已知数列中，前项和为，且点在直线上，则=_________________________15.若不等式对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_______________________16.椭圆T：＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆T的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知命题，命题方程表示焦点在轴上的双曲线.（1）命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题“”为真，命题“”为假，求实数的取值范围.18.已知函数，若其导函数的x的取值范围为（1，3）.（1）判断f(x)的单调性（2）若函数f(x)的极小值为－4，求f(x)的解析式与极大值19.某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表1：为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，得到下表2：（1）求关于的线性回归方程；（2）通过（1）中的方程，求出关于的回归方程；（3）用所求回归方程预测到2010年年底，该地储蓄存款额可达多少？（附：对于线性回归方程，其中）20.已知等比数列的公比，且是的等差中项，数列满足，数列的前项和为.(1)求的值.(2)求数列的通项公式.21.已知椭圆的左、右焦点分别为,若椭圆经过点,且的面积为. （1）求椭圆的标准方程;（2）设斜率为的直线与以原点为圆心,半径为的圆交于两点,与椭圆交于两点,且,当取得最小值时,求直线的方程并求此时的值.22.已知函数，其中（1）求的单调区间（2）若，且存在实数，使得对任意实数，恒有成立，求的最大值.湖南省2019-2020学年高二12月联考数学（文）试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设数列{a n}的前n项和S n=n3，则a4的值为（）A. 15B. 37C. 27D. 64【答案】B【解析】【分析】利用，求得数列的通项公式，从而求得.【详解】当时，，故.故选B.【点睛】本小题主要考查已知数列的前项和公式求数列的通项公式.对于已知数列的前项和公式的表达式，求数列的通项公式的题目，往往有两个方向可以考虑，其中一个主要的方向是利用.另一个方向是如果题目给定的表达式中含有的话，可以考虑将转化为，先求得数列的表达式，再来求的表达式.2.椭圆的焦点为F1，F2，p为椭圆上一点，若，则（）A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的定义，由此可求得的值.【详解】根据椭圆的方程可知，根据椭圆的定义，由此可求，故选C.【点睛】本小题主要考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程.解答时要主要椭圆的焦点是在轴上.属于基础题.3.等差数列{a n}满足，则其前10项之和为( )A. －9B. －15C. 15D. ±15【答案】D【解析】由已知(a4＋a7)2＝9，所以a4＋a7＝±3，从而a1＋a10＝±3.所以S10＝×10＝±15.故选D.4.利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问名不同的大学生是否爱好某项运动，利用列联表，由计算可得.参照附表，得到的正确结论是（）A. 有以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B. 有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】B【解析】【分析】根据独立性检验的知识可知有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.【详解】由于计算得，根据独立性检验的知识可知有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故选B.【点睛】本小题主要考查联表，考查独立性检验的知识，根据独立性检验的知识可直接得出结论，属于基础题.5.函数在区间上的最小值是（）A. -9B. -16C. -12D. 9【答案】B【解析】【分析】利用导数求得函数在上的单调区间、极值，比较区间端点的函数值和极值，由此求得最小值.【详解】，故函数在区间上为增函数，在区间上为减函数.，，，故最小值为.所以选B.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的最小值.首先利用函数的导数求得函数的单调区间，利用单调区间得到函数的极值点，然后计算函数在区间端点的函数值，以及函数在极值点的函数值，比较这几个函数值，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值.本小题属于基础题.6.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的横坐标为3，则等于（）A. 10B. 8C. 6D. 4【答案】B【解析】抛物线的焦点坐标为。
2023-2024学年湖南省炎德英才名校联盟高二12月联考(数学)+答案解析(附后)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，则集合A 的元素有________个．湖南省炎德英才名校联盟高二12月联考(数学)A. 4B. 5C. 6D. 72.若复数R ，i 为虚数单位是纯虚数，则实数的值为( )A. 3B.C. 12D. 3.设a ，b 为两条直线，，为两个平面，且“，”，则是的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.若向量与的夹角为锐角，则t 的取值范围为( )A. B. C.D.5.2022年北京将携手张家口举办2022年冬奥会，将使北京成为在历史上首个承办夏奥会与冬奥会的城市，即“双奥之城”．赛会的志愿者报名十分踊跃，某小区有老陈，老欧，小胡，小熊，小刘五人积极报名，其中老陈和老欧都参与了2008年奥运会的志愿者工作．若要从五人中选三人参加培训，每人入选的机会均等，则老陈和老欧至少有一人入选的概率为( )A. B.C. D.6.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆和双曲线的离心率，分别为( )A. ， B. ，C.，D.，7.在正四面体ABCD中，P、Q分别为棱BC、AB中点，则异面直线DP与CQ所成角的余弦值为( )A. B. C. D.8.已知抛物线上两点A、B满足为坐标原点，且A、B分别在对称轴的两侧，则直线AB过定点( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列关于统计或概率的命题，正确的是( )A. 医院体检时抽取被检者血液进行分析，是抽样调查B. 某班进行综合素质打分，由于班级获得了市优秀班级，每人综合素质都加了5分，则加分前后，全班得分的方差不变C. 事件A、B互斥，则有D. 事件A、B相互独立，则有10.已知下面三条直线：，：，：，若三条直线不能围成三角形，则a的取值可以是( )A. B. C. 0 D.11.下列命题中是真命题的有( )A. 已知，则B. 直线的方向向量可取C. 平面内点P到直线l的距离，其中M为直线l上任意一点，为与直线l垂直的向量D. 平面内在上的投影向量为12.在棱长为2的正方体中，O为正方形ABCD的中心，P为棱上的动点，则下列说法正确的是A. 点P为中点时，B. 点P与点A重合时三棱锥外接球体积为C.当P点运动时，三棱锥外接球的球心总在直线上D. 当P为中点时，正方体表面到P点距离为2的轨迹的总长度为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题(含解析)
湖南省2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题时量：120分钟满分：150分得分：______一、选择题（本大题共8个小题每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.）1.已知集合，则A ： B. C. D.2.命题“”的否定为A. B.C. D.3.若幂函数的大致图象如图所示，则A.B.C.2D.14.下列各组函数表示同一函数的是A. B.C. D.5.已知函数，且，则A.2B.7C.25D.446.甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为，乙写错了常数，得到的解集为，那么原不等式的解集为A. B.C. D.7.已知，则的取值范围为{22},{1}A x x B x x =-<=-∣∣……A B ⋂={2}xx -∣…{12}x x -<<∣{12}x x -<∣…{22}xx -<∣ (2),210x x x ∀∈++>R 2,210x x x ∃∈++R (2),210x x x ∀∉++R …2,210x x x ∃∉++>R 2,210x x x ∀∈++R …()2342m y m m x =-+m =1312()2025,()f x x g x ==()()f x g x ==22()(1),()21f s sg t t t =+=++216()4,()4x f x x g x x -=+=-(31)64f x x +=-()8f m =m =x 20x bx c ++<b {16}x x <<∣c {14}x x <<∣{16}xx -<<∣{61}xx -<<∣{32}xx -<<-∣{23}xx <<∣31,24a b a b --+…………42a b -A. B. C. D.8.函数的值域为A. B. C. D.二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.下表是某市公共汽车的票价（单位：元）与里程（单位：km ）之间的函数关系，如果某条线路的总里程为20km ，那么下列说法正确的是2345A. B.若，则C.函数的定义域是 D.函数的值域是10.已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③，则下列说法正确的是A.的单调递增区间为B.C.若，则D.若，则11.若，且，则下列说法正确的是A.的最大值是 B.ab 的最小值是8C.的最小值是 D.的最小值是32三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分.）12.函数的定义域为______．13.已知不等式对任意的恒成立，则的取值范围为______.14.已知区间内有且仅有4个整数，则的取值范围为______.四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）[7,3]-[7,7]-[4,6]-[4,9]-9,()100,9x x f x x x x ⎧+⎪=⎨+>⎪⎩…37,[20,)4⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦35,[10,)8⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦37,[10,)4⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦35,[20,)8⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦y x x 05x <<510x < (1015)x < (1520)x ……()y f x =(6)3f =()3f x =6x =()f x (0,20]()f x {2,3,4,5}R ()f x ,()x f x ∀∈-=R ()f x 12,[0,)x x ∀∈+∞12x x ≠()()()12120x x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦(2)0f -=()f x (,0]-∞(1)(3)f f <-(1)(1)f x f ->(,0)(2,)x ∈-∞⋃+∞()0xf x >(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃0,0a b >>121a b+=a b +3+(1)a b -3+224a b +0()(1)f x x =+-2(3)2(3)40k x k x -+--<x ∈R k [,21]a a -a15.（13分）已知1，b 为方程的两根．（1）求a ，b 的值；（2）求不等式的解集（最终结果用集合的形式表示）.16.（15分）已知集合.（1）当m =1时，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.17.（15分）2024年10月29日，小米SU7 Ultra 量产版正式面世，同时也代表了我国新能源汽车的蓬勃发展，向世界证明了我国新能源与高分子材料的研发实力，再次为人民的日常生活带来了便利，该新能源跑车的轮毂均采用碳纤维材料，而生产特质的碳纤维轮毂需要专门的设备来进行．已知某企业生产这种设备的最大产能为100台．每生产台，年度总利润为（单位；万元），且.（1）当产能不超过40台时，求生产多少台时，每台的平均利润最大；（2）当生产该设备为多少台时，该企业所获年度利润最大？最大利润是多少？18.（17分）已知函数.（1）判断是否有奇偶性，并说明理由；（2）判断在上的单调性，并用定义法进行证明；（3）若方程在上有解，求的取值范围.19.（17分）对于一个集合，如果，且，记为去掉x ，y 后的集合，若有或，我们就称是一个梦想集合．回答下列问题：（1）写出一个常数，使得集合在添加其作为元素后形成新的集合为梦想集合；（2）给定正偶数和，且，判断集合是否为梦想集合，若是，给出证明；若不是，说明理由；（3）证明：不存在有限的梦想集合，满足中的元素均为正实数，且中的元素个数为大于5的奇数．2320ax x -+=321axbx +>+(){}2222210,11x A x m x m m B xx -⎧⎫=-+++<=<⎨⎬+⎩⎭()A B ⋂R ðx A ∈x B ∈m x ()S x 22140200,040()36001700,40100x x x S x x x x ⎧-+-<⎪=⎨--+<⎪⎩ (2)22(),()271x f x g x x mx m x ==-+-+()f x ()f x [0,)+∞1()0g g x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭[1,)+∞m A ,x y A ∀∈x y ≠B A x y B +∈||x y B -∈A {2,3}n k 4n …{1,}A tkt n t =∈Z ∣……A A A2024年秋季高一期中联考数学参考答案题号1234567891011答案CAACBDBAACDADBCD一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.）1.C 【解析】结合数轴易知正确答案是C.2.A 【解析】根据全称量词命题的否定原则，本题答案为A.3.A 【解析】根据幂函数定义可知，，解得或，结合函数图象可知.4.C 【解析】A 选项，定义域为定义域为，两个函数定义域不同，且对应的函数解析式也不同，故A 错误；B 选项，，故定义域为：，由可得定义域为，两个函数定义域不同，故不为同一函数，故B 错误；C选项，两函数定义域均为，虽然字母不同，但函数对应关系均相同，故为同一函数，故C 正确；D 选项，定义域为定义域为，两个函数定义域不同，故不为同一函数，故D 错误；故选：C.5.B 【解析】由函数，可得，所以函数的解析式为-6，所以，解得.6.D 【解析】甲的常数正确，由韦达定理可知，故，乙的常数正确，故，故．所以原不等式为，即，解集为．7.B 【解析】设，所以解得所以，又，所以，故，故选B.8.A 【解析】根据题意当时，，可得，所以，因此可得，由二次函数性质可得当时，最大值，此时；当时，23421m m -+=13m =1m =13m =()2025f x x =,()||g x x =R [0,)+∞3030x x +⎧⎨-⎩……()f x [3,)+∞290x -…()g x (,3][3,)-∞-⋃+∞R ()f x ,()g x R (,4)(4,)-∞⋃+∞(31)64f x x +=-(31)2(31)6f x x +=+-()f x ()2f x x =()268f m m =-=7m =c 16c ⨯=6c =b 14b +=-5b =-2560x x -+<(2)(3)0x x --<{23}xx <<∣42()()()()a b m a b n a b m n a m n b -=-++=+--4,2,m n m n +=⎧⎨-=⎩3,1,m n =⎧⎨=⎩42a b -3()()a b a b =-++31,24a b a b --+…………93()3a b --……7427a b --……9x …()f x x =+t =[0,)t ∈+∞29x t =-22137()924f t t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭12t =()f x x =+374()f x x =+37,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦9x >，当且仅当，即时，等号成立；所以的最小值为20，因此的值域为[20，；综上可得，函数的值域为，故选A.二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.ACD 【解析】，选项A 正确；若，则，选项B 错误；函数的定义域为（0，20]，选项C 正确；函数的值域是，选项D 正确．10.AD 【解析】由条件①可知该函数为偶函数，由条件②可知该函数在）上单调递减，由偶函数图象的对称性知，该函数在上单调递增，选项A 正确；，因为函数在上单调递减，所以，即，选项B 错误；由，有，即，选项C 错误；，当时，函数在上单调递减，，即时；当时，函数在上单调递增，，即时，所以，选项D 正确.11.BCD 【解析】选项时取等号，即的最小值是，选项A 错误；选项B，由，可得，当时等号成立，，即的最小值是8，B 选项正确；选项C ，法，由A 知的最小值是，法仅当C 正确；选项D ，法，当时取等号成立，而，也是当时取等号成立，即，当时等号成立，故的最小值是32，法2：，选项D 正确.100()20f x x x =+= (100)x x=x 10=100(),9f x x x x =+>100(),9f x x x x=+>)+∞()f x 37,[20,)4⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦(6)3f =()3f x =510x <…{2,3,4,5}[0,+∞(,0]-∞(3)(3)f f -=()f x [0,)+∞(3)(1)f f <(1)(3)f f >-(1)(1)f x f ->|1|1x -<02x <<(2)(2)0f f =-=0x >[0,)+∞()0f x >02x <<()0xf x >0x <(,0]-∞()0f x <2x <-()0xf x >(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃122A,()33a b a b a b a b b a ⎛⎫+=+⋅+=+++⎪⎝⎭…12a b =+=+a b +3+121a b+=2ab a b =+…2a b =0,0,0,ab a b ->> …8,ab ab …1:(1)2a b ab a a b a a b -=-=+-=+a b +3+12:a2(1)21,,0,0,20,(1)(2)33222b b b a a b b a b b b b b b -+=∴=>>∴->∴-==-+++--- …2b =221:422a b a b +⨯⨯…2a b =8ab …2a b =224432a b ab +……2a b =224a b +222224(2)4()4(2)432a b a b ab ab ab ab +=+-=-=--…三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.【解析】且.13.（【解析】当时，成立；当时，，解得，综上可得.14.【解析】由题意可得，且区间中有4个整数，易知任意区间的区间长度为，当时，的区间长度为，此时中不可能有4个整数；当时，，其中含有4、5、6、7四个整数，符合题意；当时，的区间长度大于3，若的区间长度，即，若是整数，则区间中含有4个整数，根据可知，则，此时，其中含有5、6、7、8四个整数，符合题意；若不是整数，则区间中含有5、6、7、8四个整数，则必须有且，解得；若时，，其中含有5、6、7、8、9五个整数，不符合题意；若时，的区间长度，此时中有6、7、8、9这四个整数，故，即，结合，得；综上所述，或或，故答案为：.四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.【解析】（1）由题意得1，b 为方程的两根，且，……………………1分由韦达定理可得，……………………………………………………………………3分(,1)(1,2)-∞⋃20x ->10,(,1)(1,2)x x -≠∴∈-∞⋃1,3]-3k =40-<3k <24(3)16(3)0k k ∆=-+-<(1,3)k ∈-(1,3]k ∈-911,55,{4}22⎡⎫⎛⎫⋃⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭1a >[,21]a a -[]a b ，b a -14a <<[,21]a a -2113a a a --=-<[,21]a a -4a =[,21][4,7]a a -=4a >[,21]a a -[,21]a a -1(3,4)a -∈45a <<21a -[,21]a a -21(7,9)a -∈218a -=92a =9[,21],82a a ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦21a -[,21]a a -45a <<8219a <-<952a <<5a =[,21][5,9]a a -=5a >[,21]a a -14a ->[,21]a a -2110a -<112a <5a >1152a <<4a =952a <…1152a <<911,55,{4}22⎡⎫⎛⎫⋃⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭2320ax x -+=0a >321,b b a a+==解得；……………………………………………………………………………………5分（2）由（1）得，则，………………9分等价于，解得，…………………………………………………11分故不等式的解集为.………………………………………………………………13分16.【解析】（1）当时，…………………………2分，………………………………………………………………………………5分或………………………………………………………………………………6分或.……………………………………………………………7分（2），…………………9分，…………………………………………………………………………10分是的充分不必要条件，，………………………………………………12分显然，则由解得．………………………………………15分17.【解析】（1）由题意可得当时，，……………………1分设每台的平均利润为，……………5分当且仅当时取等号……………………………………………………………………………6分故当生产10台时，每台的平均利润最大．…………………………………………………………7分（2）当时，，当时，取最大值，（万元）；……………………………………………………………………………………………………9分当时，，…………………………………………12分当且仅当，即时，等号成立，即（万元），因为……14分故当生产该设备为35（台）时所获利润最大，最大利润为2250（万元）．…………………………15分18.【解析】（1）：由题意可得的定义域为，不关于原点对称，故无奇偶1,2a b ==1,2a b ==33132200212121x x xx x x ++->⇒->⇒>+++(13)(21)0x x -+>1123x -<<1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭1m ={}2320{12}A x x x x x =-+<=<<∣∣{13}B x x =-<< ∣{1A x x =R ∣…ð2}x …(){11A B x x ∴⋂=-<R ∣…ð23}x <…{}22(21)0{[(1)]()0}A x x m x m m x x m x m =-+++<=-+-< ∣∣{1}A x m x m ∴=<<+∣x A ∈ x B ∈A B ∴ÞA ≠∅113m A B m-⎧⇒⎨+⎩，，...Þ...12m -......040x < (2)()2140200S x x x =-+-()100()1402140100S x f x x x x ⎛⎫==-+-= ⎪⎝⎭...10x =040x < (2)()2140200S x x x =-+-35x =()S x (35)2250S =40100x <…36003600()1700170017001580S x x x x x ⎛⎫=--+=-++-+= ⎪⎝⎭…23600x =60x =()1580S x …22501580>()f x (,1)(1,)-∞-⋃-+∞()f x性，为非奇非偶函数．………………………………………………………………………………………2分（2）在上单调递增，证明如下：任取，且……………………3分则，…………………………………………………5分故……8分所以，，故在上单调递增.………………………………………………9分（3）由方程在上有解，可转化为，在上有解．……………………………………………………………………………………………11分令，则转化为方程在上有解，设，则其图象开口向上，对称轴为，………………………………13分①若，即，所以，所以；…………………………………………………………………………………………15分②若，即，所以，所以；综上所述：的取值范围为．…………………………………………………………………17分19.【解析】（1）1或5（写出一个即给4分），给集合增加一个元素1或5得到集合或，由题意可得或均为梦想集合．…………………………………………………5分（2）不是，……………………………………………………………………………………………………6分证明如下：设，取…………………………………………………7分由于为偶数，则．……………………………………………………………………………8分记为集合去掉元素x ，y 后构成的集合，而，易得，且，…………………………………………………………………………………………10分故不是梦想集合．…………………………………………………………………………………………11分（3）利用反证法：假设存在这样的有限集合，使得中元素个数为大于5的奇数，且为梦想集合，则设，且，……………………………………………………12分因为，设为集合去掉元素后构成的集合，所以只能考虑()f x [0,)+∞12,[0,)x x ∈+∞21,x x >211212120,10,10,0x x x x x x x x ->+>+>++>()()()()()()()()()()222221122112122121212121110.111111x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+-++-=-==>++++++()()21f x f x >()f x [0,)+∞1()0g g x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭[1,)+∞()222112270x m x m x x ⎛⎫+-++-= ⎪⎝⎭[1,)+∞1[2,)t x x=+∈+∞()222280t mt m -+-=[2,)t ∈+∞22()2216h t t mt m =-+-t m =22,(2)442160m h m m =-+- (2)260m m --…11m -+…12m …()222,(2)42160m m m >∆=-- (2)16m …44m -……24m <…m [14]-{2,3}{1,2,3}{2,3,5}{1,2,3}{2,3,5}{,2,3,,}A k k k nk = ,2nx nk y k ==n 2ny k A =∈B A 32x y nk A +=∉32x y nk B +=∉||2nx y k B -=∉A A A A A {}12,,,n a a a = 120n a a a <<<< (1,2,,)n k t a a a t n +>= B A ,n k a a n k a a B -∈这个数均属于，且各不相同，均小于，所以……………………………………………………………………………………13分再考虑与，因为，所以，即，所以只能；………………………………………………………………………………14分又因为这个数均属于，且均小于，所以中与其对应，故……………………………………………………………………………16分即，而去掉后的集合为，且，故矛盾，所以不为梦想集合．……………………………………………………………………………17分【评分细则】第（3）小问若用其他方法证明只要逻辑正确均酌情给分．121,,,n n n n a a a a a a ---- 1n -A n a 112,n n n a a a a a --=-211,,n n n a a a a --=-= 1n a -12n a -5n >215122n aa a -->=11212n n n n a a a a a ---+>+>112n n a a---=12n a A -∈111212,,,n n n n a a a a a a ------- 2n -A 1n a -A {}122,,,n a a a -⋯11n k n k a a a ----=11122n n n a aa ----=A 11,2n n a a --B 112n n a a B ---∉A。
湖南省部分学校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题
湖南省部分学校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题一、单选题1．若复数z 满足()43i 5i z +=，则z =（ ） A ．1BC ．3D ．52．若tan 0θ<，则下列三角函数值一定为负值的是（ ） A ．sin θB ．cos θC ．sin2θD ．cos2θ3．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为π,,,,2,13a b c A b c ===，则CA AB ⋅=u u u r u u u r （ ）A ．B C ．1-D ．14．设F 为抛物线2:8C y x =的焦点，点()00,P x y 为C 上一点，过P 作y 轴的垂线，垂足为A ，若3PF PA =，则cos FPA ∠=（ ）A B ．C ．13D ．13-5．某学校开展“国学知识竞赛”，共有“诗经组”，“论语组”，“春秋组”，“礼记组”4个小组参赛，每组10位选手，若该组每位选手的失分不超过6分，该组获得“优秀”称号，则根据每组选手的失分情况，下列小组一定获得“优秀”称号的是（ ） A ．诗经组中位数为3，众数为2 B ．论语组平均数为3，方差为1 C ．春秋组平均数为3，众数为2 D ．礼记组中位数为3，极差为46．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,//,ABCD AD BC AB BC ⊥，4,5,2AB PA BC ===，则异面直线PC 与AD 所成角的余弦值为（ ）A B C ．45D ．9107．函数()()(0,ππ)f x x ωϕωϕ+>-<<的部分图象如图所示，则（ ）A ．π4ϕ=B ．()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()f x 在区间[]2024π,2024π-共有8097个零点D ．()f x 的图象向左平移3π8个单位长度后得到的新图象关于y 轴对称 8．在平面直角坐标系xOy 中，M 为曲线ln xy x=上位于第一象限内的一点，N 为M 在x 轴上的射影，则sin MON ∠的最大值为（ ） AB C ．1eD ．12e二、多选题9．已知,a b 均为正数，则使得“a b >”成立的充分条件可以为（ ） A ．11a b< B ．34a b ->-C ．22a b b ab a +>+D ．()()22ln 2024ln 2024a b +>+10．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，11,,,(0,1)BP BB BQ BC λμλμ==∈u u u r u u u r u u u r u u u u r，则下列说法正确的是（ ）A ．λμ=时，11CB ∥平面1D PQ B ．12λ=时，四面体1APQD 的体积为定值 C ．12μ=时，()0,1λ∃∈，使得1AQ ⊥平面1D PA D ．若三棱锥P CBD -的外接球表面积为414π，则34λ= 11．已知函数()3233a f x x ax axb =--+，其中实数a ，b ∈R ，且0a >，则（ ） A ．当1a =时，()f x 没有极值点B ．当()f x 有且仅有3个零点时，5,93b a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭C ．当113b a =时，()1f x +为奇函数D ．当,3a m b ⎛⎫∈++∞ ⎪⎝⎭时，过点()0,A m 作曲线()f x 的切线有且只有1条三、填空题12．已知某果园中猕猴桃单果的质量M （单位：g ）服从正态分布()2100,N σ，若从该果园中随机挑选4个猕猴桃，则恰有2个单果的质量均不低于100g 的概率为.13．已知数列{}1n a -是首项为23，公比为13的等比数列，且123100n a a a a +++⋅⋅⋅+<，则n的最大值为.14．在锐角ABC V 中，,,a b c 依次为三个内角,,A B C 的对边，已知2222b c a +=，求cos A 的取值范围为.四、解答题15．北京地铁四号线被誉为“学霸地铁”，因为它贯穿了几所国内特别有名的高校，某校5名高中生利用暑假假期去北京游学，他们在动物园站开始乘坐4号线，以下几个站：国家图书馆，魏公村，人民大学，中关村，北京大学为他们的可能参观点，由于时间安排和个人喜好不同，他们各自行动，每人选一个自己最喜欢的景点，每个人在北京大学站下车的概率为13，在其他站下车的概率均为16，且不走回头路，在圆明园站汇合，每个人在各个车站下车互不影响.(1)求在魏公村下车的人数X 的分布列及期望；(2)已知贾同学比李同学先下车，求贾同学在魏公村下车且李同学在北京大学站下车的概率. 16．数列 a n 的前n 项和为12,3,5n S a a ==，当2n ≥时，11211n n n S S S n n n -+=+-+，数列 b n 满足：3n n a b =.(1)证明：数列 b n 是等比数列；(2)记数列n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T .17．如图，AB 是半圆O 的直径，,M N 依次是半圆弧»AB 上的两个三等分点，将ONB V 沿ON翻折到ONP △，使得12PB BM ==P AMNB -.(1)证明：BP ⊥平面PAM ； (2)求二面角A PM N --的正弦值.18．已知函数()()()2e 1,ln 2xf x x axg x x =---=-+.(1)若0x =是()f x 的极大值点，求a 的值；(2)用{}Max ,m n 表示,m n 中的最大值，设函数()()(){}Max ,h x f x g x =，试讨论()h x 零点的个数.注：若()2e 1x x m x x--=，当x →+∞时，()m x →+∞，当0x →时，()1m x →.19．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率e =E 上的点到的距离的最大值为(1)求E 的方程；(2)过Q 的直线l 与E 交于,A B ，记A 关于y 轴的对称点为C . ①试证直线BC 恒过定点P ；②若,B C 在直线2y =上的投影分别为11,B C ，记1111,,PBB PB C PCC V V V 的面积分别为123,,S S S ，求132S S S +的取值范围.。
湖南省部分学校2023-2024学年高二下学期联考数学试卷+答案
高 二 数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，将答题卡上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|(1)(2)0}A x x x =−+≥，{|B x y==，则A B =A ．[1,2]B ．(,2]−∞−C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞2．若直线02:1=+y x l 与直线01:2=+−y kx l 互相垂直，则k 的值为A ．2−B ．1−C ．1D ．23．若函数()cos f x x x =−，则函数()f x 在3x π=处的切线方程为A ．132− −=πx yB ．133+−=πx yC ．132+−−=πx yD ．133−−−=πx y 4．平行六面体1111ABCD A B C D −中，E 为11D C 的中点，设AB = a ，AD =b ，1AA =c ，用a ，b ，c 表示BE，则A ．BE = 12−a +b +cB ．BE = 12−a +12b +cC ．BE = a +12b −cD ．BE = a −b +12c6．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线:2l y x =与抛物线C 在第一象限交于点M ，则||MF =A ．2B ．2C ．D ．47．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n 行黑圈的个数为n a ，白圈的个数为n b ，则下列结论错误．．的是A ．84=aB ．135=bC ．n nn b a a +=+21D ．n n n b a b −=+21二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，. 9．对于实数a ，b ，c ，下列命题中正确的是A ．若0>>b a ，则22bc ac >B ．若0>a ，则21≥+aa C．若cbc a >，则b a >D ．若b a >，1>c ，则b a c c >10．已知直线:320l x ky k −++=，圆C 的方程为222220x y x y +−+−=，则下列表述正确的是A ．当实数k 变化时，直线l 恒过定点(2,3)−B ．当直线l 与直线012=−−y x 平行时，则两条直线的距离为55711．双曲线的光学性质为：1F ，2F 是双曲线的左､右焦点，从2F 发出的光线m 射在双曲线右支上一点P ，经点P 反射后，反射光线n 的反向延长线过1F （如图1）；当P 异于双曲线顶点时，双曲线在点P 处的切线平分21PF F ∠（如图2）.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.若双曲线C 的方程为22221x y a b −=(0,0)a b >>，则下列结论正确的是图1 图2A ．射线n 所在直线的斜率为k ，则−∈a b a b k ,B ．当m n ⊥时，12PF F △的面积为2bC ．当轴 x m ⊥时，若 6021=∠PF F ，则双曲线C 的离心率为3D ．存在点P ，使双曲线C 在点P 处的切线经过原点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．某企业有甲、乙两个工厂共生产一精密仪器1000件，其中甲工厂生产了560件，乙工厂生产了440件，为了解这两个工厂各自的生产水平，质检人员决定采用分层抽样的方法从所生产的产品中随机抽取75件样品，已知该精密仪器按照质量可抽到甲工厂生产的A 等级产品的概率为51，则抽取的B ，C ，D 三个等级中甲工厂生产的产品共有__________件． 13．函数21()(1)ln 2f x x e x e x =−−−的最小值为__________． 14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，11(1)n n n n a a n a a ++−=+，对于任意的[3,3]a ∈−，*n N ∈，不等式at t S n +<22恒成立，则实数t 的取值范围为__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（1）求证：AF DE ⊥；（2）求平面ABC 与平面ADE 的夹角的余弦值．（2）设直线2PF 与椭圆C 交于另一点Q ．已知2PF 被圆222:O x y a +=截得的弦长为3332，求OPQ △的面积．19．已知函数．()613ln 2+−=a x x x f ()0,≠∈a R a .（1）讨论函数()y f x =的单调性；（2）当1=a 时，证明：对任意的0>x ，2()x f x e x <−．高二数学试卷参考答案1.D 【解析】集合()(){}{}12|021|≥−≤=≥+−=x x x x x x A 或，{}{}2|2|≥=−==x x x y x B .所以{}2|≥=x x B A .故选：D33'= =∴πf k ，又13= πf ，所以切点为13，π，求得函数()x f 在3π=x 处的切线方程为−=−331πx y ，即133+ −=πx y .故选：B4.A 【解析】依题意c b AD AA E C C B BB BE ++=−+=++=11111故选：A ．4,2log 21=∴−=c c .故选：C6.B 【解析】由题意得(1,0)F ,2p =，直线x y l 2=：与抛物线C 在第一象限交于点M==x y xy 422，解得10==x x 或， 由于M 在第一象限，故取M 横坐标为1，则22=+=px MF m . 故选：B7.D 【解析】已知n a 表示第n 行中的黑圈个数，设n b 表示第n 行中的白圈个数，则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈，∴112,n n n n n n a a b b a b ++=+=+， 又∵110,1a b ==; 221,1a b ==;332113112a b =×+==+=，; 442328,325a b =×+==+=; 5528521,8513a b =×+==+=.9.BD 【解析】对于A 选项,若0>>b a ，当0=c 时，22bc ac =，故A 错误； 对于B 选项，由条件0>a ，利用基本不等式可得21≥+aa ，故B 正确； 对于C 选项,若0<>c cbc a ，，则b a <，故C 错误； 对于D 选项,因为1>>c b a ，，由指数函数的单调性可知b a c c >，故D 正确； 故选：BD10.ACD 【解析】对于A 选项，由直线l 的方程023=++−k ky x ，可化为()()023=++−x k y ,直线l 恒经过定点()32，−P ，故A 正确；对于B 选项，因直线l 与012=−−y x 平行，则直线l 方程为：082=+−y x ．则两条直线的距离为()559211822=+−−=d ，故B 错误； 对于C 选项，圆C 的方程为022222=−+−+y x y x ，即圆C 的标准方程为()()41122=++−y x ，所以圆心()11−，C ，当kk PC 134=−=，即43−=k 时，直线l 经过圆心()11−，C ，所以圆C 关于直线l 对称，故C 正确；对于D 选项,当2=k 时,圆心()11−，C 到直线l 的距离25511=>=r d ，所以直线l 与圆C 没有公共点，故D 正确;； 故选：ACD11.ABC 【解析】因为双曲线C 的方程为()0,012222>>=−b a b y a x ，所以渐近线方程为x aby ±=， 对于A 选项，因为直线2PF 与双曲线有两个交点，所以−∈a b a b k ,，故A 正确；对于B 选项，由双曲线的定义知，a PF PF 221=−， 若m n ⊥，则222122214c F F PF PF ==+ 因为()2221212122PF PF PF PF PF PF −=+−⋅，所以2122244PF PF c a −=，解得()2222122b a c PF PF =−=，所以221212121b PF PF S F PF F PF ==∆∆的面积, 故B 正确；对于C 选项,当轴x m ⊥时，因为 6021=∠PF F ，c F F 221=，c PF 3341=∴，cPF 3322=∴所以a c PF PF 233221==−，求得3==a c e ，故C 正确；对于D 选项，假设双曲线C 在点P 处的切线经过原点，因为PO 平分12F PF ∠，由角分线定理知，2211OF PF OF PF =,所以21PF PF =,又0221>=−a PF PF ，所以假设不成立.故D 错误； 故选：ABC.12.27 【解析】由分层抽样原则知：从甲工厂抽取了42100056075=×件样品， 设抽取甲工厂生产的A 等级产品有x 件，则5175=x ，解得：15=x ， ∴抽取的D C B ,,三个等级中，甲工厂生产的产品共有271542=−件.故答案为：27.13.22e −【解析】∵函数()()x e x e x x f ln 1212−−−=，()0>x∴()()()()()xe x x x e x e x x e e x xf −+=−−−=−−−=1112'，令()0'=x f ，得e x =， 当()e x ,0∈时，()0'<x f ，()x f 为减函数， 当()∞+∈，e x 时，()0'>x f ，()x f 为增函数， ∴f （x ）在e x =处取极小值，也是最小值， ∴．函数()x f 最小值为()22e ef −=.故答案为：22e −.14.(][)∞+∪−∞−，，44 【解析】数列{}n a 中，(),111+++=−n n n n a a n a a 得1111+=−+n a a nn 当,211,...,111,11212211=−−=−=−≥−−−a a n a a n a a n n n n n 时，得累加得()2 (11)11++−+=−n n a a n ， ()()2112...11+=+++−+=n n n n a n 即，则()+−=+=111212n n n n a n ，当1=n 时符合上式，则2122111 (31)212112<+−=+−++−+−=n n n S n ， 所以2<n S对于任意的[]*,3,3N n a ∈−∈，不等式at t S n +<22， 即at t +≤24恒成立， ∴042≥−+at t ，设()[]3,3,42−∈−+=a at t a f ，可得()() ≥≥−0303f f ，即有 ≥−+≥−−04304322t t t t ，解得44≥−≤t t 或，则实数t 的取值范围是(][)∞+∪−∞−，，44． 故答案为：(][)∞+∪−∞−，，44 15.【解析】（1）因为()−=−=−=⋅=62sin 22cos 2sin 32cos cos sin 32πx x x x x x n m x f ……3分 解得z k k x k ∈+≤≤+,653ππππ， …………5分 所以()x f 的单调递减区间为z k k k ∈++,65,3ππππ． …………6分所以3π=A ， …………8分由余弦定理得()bc c b A bc c b a 3sin 22222−+=−+=()11,652=+∴−+=c b c b …………13分16.【解析】（1）由已知得 =−−+=++631021111d a d a d a a ，所以 ==321d a ，故31na n =− …………3分 22−=n nb S ，①22,211−=≥∴−−n n b S n 时，②，将两式相减得： (12)535533cos =××θ， …………14分（2）由题意知直线l 的斜率不为0，由（1）知2F （1，0），设直线2PF 的方程为()()2211,,,,1y x Q y x P my x +=， 联立直线2PF 与椭圆的方程整理得：()0963413412222=−++⇒ =++=my y m y x my x ， 221221349,346m y y m m y y +−=+−=+， …………8分 所以()()()22222222122123411234363436141m m m m m my y y y mPQ ++=++++=−++=，…………10分 圆422=+y x O ：到l 的距离211md +=， …………12分被圆422=+y x O ：截得的弦长为3332得：+−=21144344m ，解得22=m ， 所以518,33==PQ d ， …………15分 所以533518332121=⋅⋅=⋅=∆d PQ S OPQ ． …………17分 19.【解析】（1）函数()()()0221613ln 2'2>−=−=⇒+−=x ax x a a x x x f a x x x f …1分 当0<a 时，()0f x ′>恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增； …………2分 当0>a 时，令()0)f x x ′<⇒∈+∞，此时()f x单调递减， 令()0(0,f x x ′>⇒∈，此时()f x 单调递增. …………4分 综上可得：当0<a 时，()f x 的增区间为()0,∞+，无减区间； 当0>a 时，()fx 的增区间为，减区间为 +∞. …………6分（2）当1=a 时，()613ln 2+−=x x x f 要证明()2x e x f x −<， 只需证明0613ln >−−x e x ，设()613ln −−=x e x g x ， …………8分 则问题转化为证明对任意的0>x ，()0>x g ，因为()xxe x e x g x x11'−=−=，令()()01>−=x xe x h x ，则显然()x h 是增函数，且0327813232,0122133232>−=−= <−=e e h e h ，所以存在唯一∈32,210x ，使得()00=x h ，即100=x e x ，所以010x e x =得00ln x x −= …………11分 容易知道该方程有唯一解，不妨设为0x ，则0x 满足010x e x =，'由6131−+=x x y 在32,21上单调递减，可知()061332230=−+>x g .因此不等式得证． …………17分。
2019-2020学年人教A版湖南省永州市高二第一学期期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高二第一学期期末数学试卷一、选择题1．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则a+b＝（）A．0 B．1 C．2 D．32．若p：∀x∈R，sin x≤1，则（）A．￢p：∃x0∈R，sin x0＞1 B．￢p：∀x∈R，sin x＞1C．￢p：∃x0∈R，sin x0≥1 D．￢p：∀x∈R，sin x≥13．已知向量＝（1，0，﹣1），＝（1，1，k），且⊥，则k的值是（）A．0 B．1 C．2 D．34．已知函数f（x）＝ax2+2019，且f′（1）＝4，则a的值为（）A．2019 B．2015 C．2 D．5．设双曲线的焦点在x轴上，其渐近线为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．6．一质点做直线运动，经过t秒后的位移为，则速度为零的时刻是（）A．1秒末B．4秒末C．1秒与4秒末D．0秒与4秒末7．已知抛物线y＝ax2的焦点为，则a的值为（）A．B．1 C．﹣1 D．28．如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A．B．C．D．9．若函数f（x）＝e x﹣ax有大于零的极值点，则（）A．a＜1 B．a＞1 C．D．10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．在如图所示的阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD＝AD，点E是PC的中点，则PD与BE所成角的余弦值（）A．B．C．D．11．已知点P是椭圆上的动点，F1、F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且，则的取值范围是（）A．（0，2）B．C．（0，4）D．12．定义在（0，）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f（x）＜f′（x）tan x成立，则（）A．f（）＞f（）B．f（1）＞2f（）•sin1C．f（）＞f（）D．f（）＞f（）二、填空题（本题共4小题）13．已知复数z＝a+bi（a，b∈R），其中i是虚数单位，若复数z在复平面内对应的点在直线y＝﹣x+1上，则a+b的值等于．14．与双曲线有公共焦点，且长轴长为8的椭圆方程为．15．已知p：a﹣1＜x＜a+1，q：e x＞1，若p是￢q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．16．已知抛物线y2＝2px（p＞0），直线l过焦点F且与抛物线交于M、N（点N在x轴的上方，点M在x轴的下方，）点E在x轴上且E在F右侧，若|NF|＝|EF|＝|NE|，且△MNE 的面积为，则p的值为．三、解答题17．已知p：∀x∈[﹣1，1]，x2﹣a≥0，q：∃x0∈R，x02+2ax0+a+2＝0．（1）若p为真命题，求a的取值范围；（2）若p为假命题，q为真命题，求a的取值范围．18．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上的点M（m，1）到焦点F的距离为2．（1）求m，p的值；（2）若m＞0，求过点M且与C只有一个公共点的直线方程．19．已知函数．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）有3个零点，求a的取值范围．20．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，将正方形ABCD沿着线段EF折起，使得∠DFA＝60°，设G为AF的中点．（1）求证：DG⊥平面ABEF；（2）求二面角C﹣BF﹣E的余弦值．21．点P（x，y）与定点F（1，0）的距离和它到直线l：x＝4距离的比是常数．（1）求点P的轨迹方程；（2）记点P的轨迹为C，过F的直线l与曲线C交于点M，N，与抛物线y2＝4x交于点A，B，设D（﹣1，0），记△DMN与△DAB面积分别是S1，S2，求的取值范围．22．已知函数f（x）＝x﹣2，g（x）＝lnx．（1）求函数y＝g（x）在x＝e处的切线方程；（2）若方程f（x）＝g（x）在区间（k，k+1），k∈N上有实根，求k的值；（3）若不等式（x﹣m）（x﹣1）＞x[f（x）﹣g（x）]对任意正实数x恒成立，求正整数m的取值集合．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分，每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂到相应的答题栏内）1．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则a+b＝（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】求出a﹣i的共轭复数，再由复数相等的条件列式求解．解：∵a﹣i与2+bi互为共轭复数，∴a+i＝2+bi，则a＝2，b＝1．∴a+b＝3．故选：D．2．若p：∀x∈R，sin x≤1，则（）A．￢p：∃x0∈R，sin x0＞1 B．￢p：∀x∈R，sin x＞1C．￢p：∃x0∈R，sin x0≥1 D．￢p：∀x∈R，sin x≥1【分析】根据全称命题的否定为特称命题，分别对量词和命题的结论分别进行否定即可求解解：根据全称命题的否定为特称命题可知，∀x∈R，sin x≤1的否定为：∃x∈R，sin x＞1故选：A．3．已知向量＝（1，0，﹣1），＝（1，1，k），且⊥，则k的值是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据⊥时•＝0，列方程求出k的值．解：向量＝（1，0，﹣1），＝（1，1，k），当⊥时，•＝0，即1+0﹣k＝0，解得k＝1．故选：B．4．已知函数f（x）＝ax2+2019，且f′（1）＝4，则a的值为（）A．2019 B．2015 C．2 D．【分析】根据题意，求出函数的导数，令f′（1）＝4，解可得a的值，即可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝ax2+2019，则f′（x）＝2ax，若f′（1）＝4，即2a＝4，解可得a＝2；故选：C．5．设双曲线的焦点在x轴上，其渐近线为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．【分析】利用双曲线的渐近线方程，求出ab关系，然后求解离心率即可．解：双曲线的焦点在x轴上，其渐近线为，可得，所以：b2＝2a2，可得c2＝3a2，双曲线的离心率为：．故选：B．6．一质点做直线运动，经过t秒后的位移为，则速度为零的时刻是（）A．1秒末B．4秒末C．1秒与4秒末D．0秒与4秒末【分析】根据题意，求出S的导数，即可得质点速度的解析式，令v（t）＝0，解可得t 的值，即可得答案．解：根据题意，质点经过t秒后的位移为，则有S′＝t2﹣5t+4，质点的速度的解析式为v（t）＝t2﹣5t+4，令v（t）＝t2﹣5t+4＝0，解可得t＝1或4，即1秒与4秒末质点的速度为0；故选：C．7．已知抛物线y＝ax2的焦点为，则a的值为（）A．B．1 C．﹣1 D．2【分析】抛物线化为标准方程可得焦点坐标，由题意可得a的值．解：抛物线的标准方程为：x2＝，所以焦点坐标为：（0，），由题意可得＝，所以可得a＝1，故选：B．8．如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A．B．C．D．【分析】利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出．解：∵＝＝＝＝故选：A．9．若函数f（x）＝e x﹣ax有大于零的极值点，则（）A．a＜1 B．a＞1 C．D．【分析】由题意可得，f′（x）＝e x﹣a＝0有大于0的根，结合导数与单调性的关系可求．解：由题意可得，f′（x）＝e x﹣a＝0有大于0的根，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在R上单调递增，没有极值；当a＞0时，当x＞lna时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＜lna时，f′（x）＜0，函数单调递减，故当x＝lna时，函数取得极小值，由题意可得，lna＞0，故a＞1．故选：B．10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．在如图所示的阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD＝AD，点E是PC的中点，则PD与BE所成角的余弦值（）A．B．C．D．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PD与BE所成角的余弦值．解：阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD＝AD，点E是PC的中点，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，设PD＝CD＝AD＝2，则P（0，0，2），D（0，0，0），B（2，2，0），E（0，1，1），＝（0，0，﹣2），＝（﹣2，﹣1，1），cos＜＞＝＝＝﹣，∴PD与BE所成角的余弦值为．故选：D．11．已知点P是椭圆上的动点，F1、F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且，则的取值范围是（）A．（0，2）B．C．（0，4）D．【分析】先分别分析点P为上下顶点和左右顶点时的||的值，又因为xy≠0，所以点P不过椭圆的顶点，从而求出||的取值范围．解：如图：，当点P在椭圆的上下顶点时，点M与原点O重合，此时取最小值0；当点P在椭圆的左右顶点时，点M与椭圆焦点F1重合，即，此时||取最大值，最大值||＝，∵xy≠0，∴点P不过椭圆的顶点，∴，故选：A．12．定义在（0，）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f（x）＜f′（x）tan x成立，则（）A．f（）＞f（）B．f（1）＞2f（）•sin1C．f（）＞f（）D．f（）＞f（）【分析】把给出的等式变形得到f′（x）sin x﹣f（x）cos x＞0，由此联想构造辅助函数g（x）＝，由其导函数的符号得到其在（0，）上为增函数，对选项一一加以判断，即可得到答案．解：因为x∈（0，），所以sin x＞0，cos x＞0．由f（x）＜f′（x）tan x，得f（x）cos x＜f′（x）sin x．即f′（x）sin x﹣f（x）cos x＞0．令g（x）＝，x∈（0，），则g′（x）＝＞0．所以函数g（x）＝在x∈（0，）上为增函数，对于A，由于g（）＜g（），即，化简即可判断A错；对于B，由于g（1）＞g（），即，化简即可判断B正确；对于C，由于g（）＜g（），即，化简即可判断C错误；对于D，由于g（）＜g（），即＜，所以＜，即f（）＜f（）．故D错误．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，把答案填入相应的答题栏内）13．已知复数z＝a+bi（a，b∈R），其中i是虚数单位，若复数z在复平面内对应的点在直线y＝﹣x+1上，则a+b的值等于 1 ．【分析】根据复数的几何意义求出对应点的坐标，将点的坐标代入直线进行求解即可．解：复数z＝a+bi（a，b∈R），对应的坐标为（a，b），∵复数z在复平面内对应的点在直线y＝﹣x+1上，∴b＝﹣a+1，即a+b＝1，故答案为：1．14．与双曲线有公共焦点，且长轴长为8的椭圆方程为+＝1 ．【分析】由双曲线方程求得椭圆的半焦距，再由已知求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求．解：由双曲线，得c＝，设椭圆方程为（a＞b＞0），则2a＝8，a＝4，c＝3，∴b2＝a2﹣c2＝7．∴椭圆方程为：．故答案为：．15．已知p：a﹣1＜x＜a+1，q：e x＞1，若p是￢q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1] ．【分析】求出命题p，q的等价条件，利用p是￢q的充分不必要条件，转化为p对应集合是￢q对应集合的真子集，即可求出a的取值范围．解：∵p：a﹣1＜x＜a+1，q：e x＞1，∴q：x＞0；∴￢q：x≤0；又∵p是￢q的充分不必要条件，∴（a﹣1，a+1）⫋（﹣∞，0]；即a+1≤0；解得：a≤﹣1则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．故答案为：（﹣∞，﹣1]．16．已知抛物线y2＝2px（p＞0），直线l过焦点F且与抛物线交于M、N（点N在x轴的上方，点M在x轴的下方，）点E在x轴上且E在F右侧，若|NF|＝|EF|＝|NE|，且△MNE 的面积为，则p的值为 3 ．【分析】由题意可知直线l的斜率为，所以直线l的方程为：y＝（x﹣），与抛物线方程联立，求出交点M，N的坐标，再结合△MNE的面积是12，即可求出p的值．解：∵|NF|＝|EF|＝|NE|，∴△EFN为等边三角形，∴直线l的倾斜角为600，∴直线l的斜率为，∴直线l的方程为：y＝（x﹣），联立方程，消去y得：12x2﹣20px+3p2＝0，解得：，，∴，∴，∴，∴，由抛物线的定义可知．|EF|＝|NF|＝x N+＝2p，∴S△MNE＝＝＝＝12，∴p＝3，故答案为：3．三、解答题（本大题共6小题，共计70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知p：∀x∈[﹣1，1]，x2﹣a≥0，q：∃x0∈R，x02+2ax0+a+2＝0．（1）若p为真命题，求a的取值范围；（2）若p为假命题，q为真命题，求a的取值范围．【分析】（1）由于命题p：“∀x∈[﹣1，1]，x2﹣a≥0”，只要x∈[﹣1，1]时，a≤（x2）min即可；（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤0，命题q为真命题时，△＝4a2﹣4（a+2）≥0，解得a的取值范围．由于命题p是假命题，命题q为真命题，列出不等式组解出即可．解：（1）∵若命题p为真命题，即∀x∈[﹣1，1]，x2﹣a≥0∴a≤x2恒成立；∴a≤（x2）min，∴a≤0．∴a的取值范围是（﹣∞，0]．（2）∵若q为真命题，∴则△≥0⇒4a2﹣4（a+2）≥0∴a≥2或a≤﹣1又∵p为假命题，由（1）可得∴a＞0；若p为假命题，q为真命题，则；∴a≥2；综上，a的范围为[2，+∞）．18．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上的点M（m，1）到焦点F的距离为2．（1）求m，p的值；（2）若m＞0，求过点M且与C只有一个公共点的直线方程．【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，解方程可得p，将M 的坐标代入抛物线的方程，可得m；（2）可得M（2，1），讨论直线的斜率k存在，设出直线方程，联立抛物线方程，运用判别式为0，可得k，考虑直线的斜率不存在，即可得到所求直线方程．解：（1）抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F（0，），准线方程为y＝﹣，由抛物线的定义得，，解得p＝2，所以抛物线的方程为x2＝4y，代入点M（m，1），可解得m＝±2．（2）当斜率k存在时，设过点M（2，1）的直线方程为y﹣1＝k（x﹣2），联立，消元得x2﹣4kx+8k﹣4＝0，△＝16k2﹣32k+16＝0，得k＝1，所以直线方程为y＝x﹣1，当斜率不存在时，x＝2，所以过点M且与C只有一个公共点的直线方程为y＝x﹣1或x＝2．19．已知函数．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）有3个零点，求a的取值范围．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解函数的单调区间；（2）结合（1）中单调性的讨论及函数的性，转化为函数图象的交点，可求．解：（1）∵f'（x）＝x2﹣2x﹣3，令f'（x）＝0，得x＝﹣1或3可知，x∈（﹣∞，﹣1）时，f'（x）＞0；x∈（﹣1，3）时，f'（x）＜0；x∈（3，+∞）时，f'（x）＞0；故，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增；在（﹣1，3）上单调递减；在（3，+∞）上单调递减（2）令f（x）＝0，有设，g'（x）＝x2﹣2x﹣3，由（1）得g（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增；在（﹣1，3）上单调递减；在（3，+∞）上单调递减，g（3）＝﹣9，结合g（x）的图象可知，y＝g（x）与y＝﹣a有3个交点，故所以a的范围为20．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，将正方形ABCD沿着线段EF折起，使得∠DFA＝60°，设G为AF的中点．（1）求证：DG⊥平面ABEF；（2）求二面角C﹣BF﹣E的余弦值．【分析】（1）根据题意，由EF⊥平面ADF，得EF⊥DG，再根据△ADF是等边三角形，AF ⊥DG，再根据线面垂直的判定定理证明即可；（2）设BE中点为Q，连结GQ，则GA，GQ，GD两两垂直，不妨设AB＝4，以G为原点，以GA，GQ，GD为坐标轴建立空间直角坐标系，求出平面CBF和平面BFE的法向量，利用夹角公式求出结果．解：（1）证明：∵E，F分别为正方形ABCD的边BC，AD的中点，∴EF⊥DF，EF⊥AF，又DF⊂平面ADF，AF⊂平面ADF，AF∩DF＝F，∴EF⊥平面ADF，∵DG⊂平面ADF，∴EF⊥DG，∵AF＝DF，∠DFA＝60°，∴△ADF是等边三角形，∵G为AF的中点，∴AF⊥DG，又EF⊥DG，EF⊂面ABEF，AF⊂面ABEF，EF∩AF＝F，∴DG⊥平面ABEF．（2）设BE中点为Q，连结GQ，则GA，GQ，GD两两垂直，不妨设AB＝4．以G为原点，以GA，GQ，GD为坐标轴建立空间直角坐标系如图：则G（0，0，0），A（1，0，0），B（1，4，0）.，F（﹣1，0，0），∴，，设平面BCF的法向量为，则，令z＝2，得，而为平面BEF的一个法向量，∴，故二面角C﹣BF﹣E的余弦值为．21．点P（x，y）与定点F（1，0）的距离和它到直线l：x＝4距离的比是常数．（1）求点P的轨迹方程；（2）记点P的轨迹为C，过F的直线l与曲线C交于点M，N，与抛物线y2＝4x交于点A，B，设D（﹣1，0），记△DMN与△DAB面积分别是S1，S2，求的取值范围．【分析】（1）根据题意，利用两点之间的距离公式．即可求得P的轨迹方程；（2）分类讨论，当直线AB的斜率存在时，设直线l的方程，代入椭圆及抛物线方程，利用弦长公式，求得|AB|和|MN|，根据＝，利用函数的性质，即可求得的取值范围．解：（1）依题意有，化简得：3x2+4y2＝12，故P的轨迹方程为．（2）依题意，①当l不垂直于x轴时，设l的方程是y＝k（x﹣1）（k≠0），联立，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，；联立得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，设M（x3，y3），N（x4，y4），则，，，则，②当l垂直于x轴时，易知|AB|＝4，，此时，综上，的取值范围是．（设l：x＝my+1相应给分；用其他方法的相应给分）22．已知函数f（x）＝x﹣2，g（x）＝lnx．（1）求函数y＝g（x）在x＝e处的切线方程；（2）若方程f（x）＝g（x）在区间（k，k+1），k∈N上有实根，求k的值；（3）若不等式（x﹣m）（x﹣1）＞x[f（x）﹣g（x）]对任意正实数x恒成立，求正整数m的取值集合．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；（2）结合导数可求函数的单调性，然后结合函数的性质及零点判定定理可求；（3）由已知不等式进行分离参数后转化为求解函数的最值，结合导数可求．解：（1）∵又因为g（e）＝1，所以切线方程为（2）记h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x﹣lnx﹣2，方程f（x）＝g（x）有实根等价于h（x）有零点，因为，当x∈（0，1）时，h'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，可知h（1）＝﹣1为极小值，又因为所以，h（x）在（0，1）上存在一个零点x1，此时k＝0又因为h（3）＝3﹣ln3﹣2＝1﹣ln3＜0，h（4）＝2﹣2ln2＞0，所以，h（x）在（3，4）上存在一个零点x2，此时k＝3综上，k＝0或3（3）不等式（x﹣m）（x﹣1）＞x[f（x）﹣g（x）]对任意正实数x恒成立，即（x﹣m）（x﹣1）＞x（x﹣lnx﹣2），x＞0恒成立，当x＝1时，上式显然成立，此时m∈R当0＜x＜1时，上式化为，令，则，由（2）可知，函数h（x）在（0，1）上单减，且存在一个零点x1，此时h（x1）＝x1﹣lnx1﹣2＝0，即lnx1＝x1﹣2，当x∈（0，x1）时，s'（x）＞0；x∈（x1，1）时，s'（x）＜0，所以s（x）有极大值即最大值，于是m＞x1当x＞1时，不等式化为，同理可得m＜x2综上可知，x1＜m＜x2，又因为x1∈（0，1），x2∈（3，4），所以正整数m的取值集合为{1，2，3}．。