导热问题的数值解法
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四章节导热问题数值解法
O(h2)
(h)
由式(b)和式(d)消去f (x) 得：
f (x)
f (x)
f
(
x
2h) h2
2
f
(x
h)
O(h2
)
(i)
由式(a)和式(b)消去f (x) 得： f (x) f (x h) f (x h) 2 f (x) O(h3) (j) h2
由(e)式～(j)式分别略去 h 、h2 及 h3 以上各项得一阶、二阶
导数向前、向后及中心差分公式为：
、
一阶导数向前差分：
f (x) f (x h) f (x)
h
一阶导数向后差分： f (x) f (x) f (x h) h
一阶导数中心差分：
f (x) f (x h) f (x h) 2h
3 三种方法的特点 (1) 分析法
a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供 比较依据；
b 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见。
(2) 数值法
在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 强，特别对于 复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低。
(3) 实验法
f (x)
fi ,
f (x h)
f i 1 ,
f (x h)
fi
……
1
x
函数 f（x）在点 x 的一、二阶导数的有限差分表达式分别为：
一阶导数向前差分：fi '
fi1 h
fi
一阶导数向后差分：fi '
fi fi1 h
一阶导数中心差分：fi '
导热问题的数值解法
3 1 2t 1 t t 2 3 4 tm1,n tm,n x x x 0 ( x ) 2 3 2! x m,n 3! x m,n x m,n
两式相加得:
2t tm1,n t m1,n 2tm,n ( 2 ) m,n x 2 0(x 4 ) x t m1,n tm1,n 2t m,n 2t 2 ( 2 ) m,n 0 ( x ) 2 x x 2 tm,n1 tm,n1 2tm,n t 同理 ( 2 ) m,n 2 y y
x x tm, 2 t (2 )t m,1 0 2 3) 对于第二类边界条件
t m1,1 tm1,1
x 0, 取 hx(t tm,1 ) 0 即可
x a 将hxt tm,1 换成q即可, 或取控制容积 , 用热力学定律仿上面方 法求解.
c
边界条件
y
b
t tb
q
0
t h
x a
2t 2t 0 2 2 y y t x0 0 x t xa q x t y0 h(t t ) y y b t tb
2. 区域离散化
有限差分法原理 finite difference 有限元法 finite element
2. 区域离散化 3. 建立节点物理量的代数方程 4. 设立迭代初场 5. 求解代数方程组
6. 解的分析
1. 数学描述
导热问题一般为:
无限长棱柱（如图）导热、 沿高度各截面的温度分布 相同，可简化为二维问题。
( const)
t (t ) 0 t f ( x, y.z )
w y
两式相加得:
2t tm1,n t m1,n 2tm,n ( 2 ) m,n x 2 0(x 4 ) x t m1,n tm1,n 2t m,n 2t 2 ( 2 ) m,n 0 ( x ) 2 x x 2 tm,n1 tm,n1 2tm,n t 同理 ( 2 ) m,n 2 y y
x x tm, 2 t (2 )t m,1 0 2 3) 对于第二类边界条件
t m1,1 tm1,1
x 0, 取 hx(t tm,1 ) 0 即可
x a 将hxt tm,1 换成q即可, 或取控制容积 , 用热力学定律仿上面方 法求解.
c
边界条件
y
b
t tb
q
0
t h
x a
2t 2t 0 2 2 y y t x0 0 x t xa q x t y0 h(t t ) y y b t tb
2. 区域离散化
有限差分法原理 finite difference 有限元法 finite element
2. 区域离散化 3. 建立节点物理量的代数方程 4. 设立迭代初场 5. 求解代数方程组
6. 解的分析
1. 数学描述
导热问题一般为:
无限长棱柱（如图）导热、 沿高度各截面的温度分布 相同，可简化为二维问题。
( const)
t (t ) 0 t f ( x, y.z )
w y
导热问题的数值解法-PPT精选文档
例：一圆形金属棒，长L=0.5m，横截面积为A=0.01m2，其 导热系数为常数1000W/m.℃，无内热源，金属棒两端温度 已给定，分别为100℃、500℃，且不随时间变化，金属棒 径向的温度变化忽略不计。求该金属棒内的温度分布。 解：
t t t q t V 2 2 2 x y z c
导
差分方程的建立－热平衡法 j n
t Q qF F n t t i 1 ,j i ,j Q y 1 i 1 ,j i ,j j y x t t i 1 ,j i ,j Q y 1 i 1 ,j i ,j x
x V y 1 2
n 1
Q t t y 1 f i , j f i , j
Q Q Q Q 0 i 1 , j i , j f i , j i , j 1 i , j i , j 1 i , j
Q i ,j 1 i ,j t t i ,j 1 i ,j y x 1
热
y
m 1 n 1
i, j1 i1 , j
i1 , j i, j1
y
11 导 热 问 题 的 数 值 解 法
i, j
x
i1 , j i, j1
y
稳态导热的有限差分方法
j y
11 导 热 问 题 的 数 值 解 法
i, j
x
2t 2t 2 0 2 x y
0,0
ix
i m
d2t ti 2 ti ti 1 1 2 2 dx x i
2 2 2
No.08 1013 4 导热问题的数值解法
Φ +Φ +Φ +Φ = 0 下 左 右 上
(m,n+1)
∆y
(m-1,n) (m, n) (m+1,n)
(m-1,n)
(m+1,n)
∆y
(m,n-1)
(m,n-1)
y o
∆x
∆x
15
x
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例，此时： 以二维、稳态、有内热源的导热问题为例，此时：
Φi = Φ +Φ +Φ ＋ 右 +Φg = 0 下 左 Φ 上
其节点方程为：
ti +1, j − 2ti , j + ti −1, j
∆x 2
& ti , j +1 − 2ti , j + ti , j −1 Φv ,i , j + + =0 2 ∆y λ
13
(2)热平衡法 (控制容积平衡法)
基本思想： 基本思想 对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得
温度场的代数方程组。它从基本物理现象和基本定律出发，不必事 先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier导热定律即可。 能量守恒： 流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热= 控制体内能的增量 流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热
即：
Φ i + Φ g = Φ st
单位： 单位 [ W ]
注意：
横坐 标节 点编 号 N
(m,n)
n
（m，n）
∆y
y x
纵坐 标节 点编 号
∆x
m
M
8
N
(m,n)
网格( 网格 grid )划分 划分
网格划分方法: 网格划分方法 方法1： 方法 ： 先确定节点， 先确定节点，后定界面 方法2： 方法 ： 先确定界面，后定节点 先确定界面， 均分网格: 均分网格
第4章 导热问题的数值解法(含控制容积)
（1）建立符合实际的物理模型 对实际导热问题的几何、物理性质进行分析，做必要的、 对实际导热问题的几何、物理性质进行分析，做必要的、合 理的简化，建立符合实际的物理模型； 理的简化，建立符合实际的物理模型； （2）建立控制方程及定解条件 根据物理模型建立完整的数学模型， 根据物理模型建立完整的数学模型，即给出导热微分方程和 单值性条件； 单值性条件； 步是导热问题所有求解方法的基础。 第(1)、(2)步是导热问题所有求解方法的基础。 2012-5-9 4
ti−1, j
二方程相加， 二方程相加，得：
ti+1, j − 2ti, j +ti−1, j ∂2t 2 = + 0(∆x2 ) ∂x ∆x2 i, j ti, j+1 − 2ti, j +ti, j−1 ∂2t 2 = + 0(∆y2 ) ∂y ∆y2 i, j
ti, j −ti−1, j ∂2t ∆x ∂3t ∆x2 ∂t + 2 − 3 +...... = ∂x 2 ∂x ∆x ! ∂x i, j i, j ! i, j 3 = ti, j −ti−1, j ∆x + 0(∆x)
2012-5-9 2
§4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内节点离散方程的建立
2012-5-9
3
一、数值解法的基本思想 用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限个离散 称为节点 节点) 点(称为节点)的温度近似值来代替物体内实际连续的温 度分布， 度分布 ， 将连续温度分布函数的求解问题转化为各节 点温度值的求解问题， 点温度值的求解问题 ， 将导热微分方程的求解问题转 化为节点温度代数方程的求解问题。 化为节点温度代数方程的求解问题。 数值解法的基本内容与步骤: 数值解法的基本内容与步骤:
ti−1, j
二方程相加， 二方程相加，得：
ti+1, j − 2ti, j +ti−1, j ∂2t 2 = + 0(∆x2 ) ∂x ∆x2 i, j ti, j+1 − 2ti, j +ti, j−1 ∂2t 2 = + 0(∆y2 ) ∂y ∆y2 i, j
ti, j −ti−1, j ∂2t ∆x ∂3t ∆x2 ∂t + 2 − 3 +...... = ∂x 2 ∂x ∆x ! ∂x i, j i, j ! i, j 3 = ti, j −ti−1, j ∆x + 0(∆x)
2012-5-9 2
§4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内节点离散方程的建立
2012-5-9
3
一、数值解法的基本思想 用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限个离散 称为节点 节点) 点(称为节点)的温度近似值来代替物体内实际连续的温 度分布， 度分布 ， 将连续温度分布函数的求解问题转化为各节 点温度值的求解问题， 点温度值的求解问题 ， 将导热微分方程的求解问题转 化为节点温度代数方程的求解问题。 化为节点温度代数方程的求解问题。 数值解法的基本内容与步骤: 数值解法的基本内容与步骤:
第4章 导热问题的数值解法共30页
若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t tm 1 ,n2 tm ,ntm 1 ,no( x2)
x2m ,n
x2
截断误差
同样可得：
未明确写出的级数余项中
的Δx的最低阶数为2
2t tm ,n 12tm ,ntm ,n 1o( y2)
y2m ,n
y2
28.05.2020 - 8 -
(3) 实验法: 是传热学的基本研究方法，a 适应性不好； b 费用昂贵
数值解法：有限差分法（finite-difference）、 有限元法（finite-element） 、 边界元法（boundary- element）、 分子动力学模拟（MD）
28.05.2020 - 2 -
第4章 导热问题的数值解法——§4-1 导热问题数值求解的基本思
2 例题条件
y
h3t f
W
t0
t2 x 2
t2 y 2
0
x 0, t t0
x H,
t x
h2 (t
tf)
h2t f
y 0,
t y
h1 (t
tf)
yW ,
t y
h3 (t
tf)
h1t f
Hx
二维矩形域内稳态无内热源，
常物性的导热问题
28.05.2020 - 4 -
第4章 导热问题的数值解法———§4-1 导热问题数值求解的基本思想
第4章 导热问题的数值解法———§4-1 导热问题数值求解的基本思想
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例 此时：
Φ 上 Φ 下 Φ 左 ＋ Φ 右 Φ v 0 左Ad dxtyd dxt
罗大雷-导热问题的数值解法
导热问题数值解法初次研究对物理物体的数值求解的基本思想可以概括为：把原有的时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热问题的温度场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上的值。
这些离散点上的被求解物理量的值的集合称为该物理量的数值解。
物理模型在四个输气的管道中间有一个各边长为10厘米的薄铁片，求导热其达到稳态后，这块铁片的温度分布。
四个输气管道里的气体温度是恒值分别为100℃、200℃、500℃、1000℃。
因此，可以看成是二维矩形域内的稳态、无内热源、常物性的导热问题。
建立数学模型描写物理问题的微分方程称为控制方程，导热微分方程为：22220t t xy∂∂+=∂∂ （1）其四个边界分别为第一类边界条件，1234t =1005002001000===℃、t ℃、t ℃、t ℃。
区域离散化用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成许多子区域，以网格线的交点作为需要确定温度值的空间位置，称为节点。
相邻两节点的距离称为步长，记为x ∆、y ∆。
本模型x 、y 方向是各自均分的，各自为100个子区域。
节点的位置以该节点在两个方向上的标号m 、n 来表示。
每一个节点都可以看成是以它为中心的一个小区域的代表，由相邻的两节点连接的中垂线构成。
为叙述方便，我们把节点所代表的小区域称为元体。
数学模型离散化它的建立是数值求解过程中的重要环节，主要有泰勒级数展开法及热平衡法两种，取节点（m ，n ）及其临点为例。
泰勒级数展开法以节点（m ，n ）处的二阶偏导数为例用这种方法来导出其差分表达式。
对节点(1,)m n +及(1,)m n -分别写出函数t 对（m ，n ）的泰勒级数展开式：2233441,,,,,,2342624m n m n m nm nm nm nt x t x t xtt t xx xxx +∂∆∂∆∂∆∂=+∆++++∂∂∂∂ （2）2233441,,,,,,2342624m n m n m n m nm nm nt x t x t xtt t xxxxx-∂∆∂∆∂∆∂=-∆+-++∂∂∂∂ （3）将式（2）、（3）相加得24421,1,,,,24212m n m n m n m nm nt xtt t t x xx+-∂∆∂+=+∆++∂∂ （4） 将（4）式改写成2,2m n t x∂∂的表达式，有21,,1,2,222()m n m n m n m nt t t t O x xx+--+∂=+∆∂∆ （5）这是用三个离散点上的值来计算二阶导数2,2m nt x∂∂的严格的表达式，其中符号2()O x ∆表示未明确写出的级数余项中x ∆的最低阶数为2。
《传热学》第4章-导热问题的数值解法
3
4-2. 节点温度差分方程组的求解方法
导热物体所有内部节点和边界节点温度的差分方程都是线性代 数方程。 n个未知节点温度，n个代数方程式：
a11t1 + a12t2 + L + a1 jt j + L + a1ntn = b1
a21t1 + a22t2 + L + a2 jt j + L + t2ntn = b2
空间步长
4
2) 节点温度差分方程的建立
控制 容积
（1）内部节点温度差分方程
对于常物性、无内热源的无限大平壁 的一维非稳态导热问题
热平衡：在k时刻，单位时间内从相邻控制
容积i-1与i+1分别导入的热流量与之和等于该 控制容积热力学能的增加
Φλ′ + Φλ′′ = dU
节点i 的温度对时间的变化率采用向前差分
≤ε
k及k+1表示迭代次数；
t
(k) max
—第k次迭代得到的最大值
当有接近于零的t时，第三个较好
有时还要同时考虑热流密度收敛
4-3. 非稳态导热问题的数值解法
非稳态导热与稳态导热的主要区别：控制方程中多一个非稳 态项；温度随空间和时间变化
∂t ∂τ
=
a(
∂2t ∂x 2
+
∂2t ∂y 2
)
能量平衡关系：网格单元不仅与相邻的网格单元之间有热量的 导入或导出，网格单元本身的热力学能也随时间发生变化
t t 在用第二个方程计算节M点温度
1 2 时，直接将
依a此n1类t1 推+ an2t2 + L + anjt j + L + anntn = bn
V4-第四章-导热数值解法-2014
为什么要建立边界节点的离散方程？
内节点 边界节点
平直边界节点 边界内节点 边界外节点
一类边界条件：方程组封闭，可直接求解 二类、三类边界条件：边界温度未知，方程组不封闭
将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用qw表示边界上的热流密度或热 流密度表达式。用Φ表示内热源。
边界节点离散方程的推导（热平衡法）：
X方向
tm 1 ,n tm ,n x tm ,n x x 2 t2m ,n 2 x !2 x 3 t3m ,n 3 x !3
tm 1 ,n tm ,n x tm ,n x x 2 t2m ,n 2 x !2 x 3 t3m ,n 3 x !3
2. 整理得到二阶导数的中心差分
Step-5: 节点离散（代数）方程的求解 Gauss-Seidel迭代法
判断迭代是否收敛的准则：
max
t
( i
k
1
)
t
( i
k
)
or
max
or
max
t
( i
k
1)
t
( i
k
)
t
( i
k
)
t
( i
k
1)
t
( i
k
)ห้องสมุดไป่ตู้
t
(k max
)
ε 为允许的偏差，一般取10-3～10-6
tm(ka)x 为k次迭代得到的计算域温度最大值
i t
n
隐式格式 隐式格式：空间离散采用（i+1）时层的值。 隐式格式不存在稳定性问题，对时间步长和空间步长没有限制，但是计算量较大。
作业：4-10 ；4-15
传热学 Heat Transfer
内节点 边界节点
平直边界节点 边界内节点 边界外节点
一类边界条件：方程组封闭，可直接求解 二类、三类边界条件：边界温度未知，方程组不封闭
将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用qw表示边界上的热流密度或热 流密度表达式。用Φ表示内热源。
边界节点离散方程的推导（热平衡法）：
X方向
tm 1 ,n tm ,n x tm ,n x x 2 t2m ,n 2 x !2 x 3 t3m ,n 3 x !3
tm 1 ,n tm ,n x tm ,n x x 2 t2m ,n 2 x !2 x 3 t3m ,n 3 x !3
2. 整理得到二阶导数的中心差分
Step-5: 节点离散（代数）方程的求解 Gauss-Seidel迭代法
判断迭代是否收敛的准则：
max
t
( i
k
1
)
t
( i
k
)
or
max
or
max
t
( i
k
1)
t
( i
k
)
t
( i
k
)
t
( i
k
1)
t
( i
k
)ห้องสมุดไป่ตู้
t
(k max
)
ε 为允许的偏差，一般取10-3～10-6
tm(ka)x 为k次迭代得到的计算域温度最大值
i t
n
隐式格式 隐式格式：空间离散采用（i+1）时层的值。 隐式格式不存在稳定性问题，对时间步长和空间步长没有限制，但是计算量较大。
作业：4-10 ；4-15
传热学 Heat Transfer
第5章-导热数值解法
M-1, m, m+1,
tm
rt m 1 1 2r t m rt m 1 (5 4)
i
i
i
tm
i 1
tm
i
t m 1 2 t m t m 1 a (5 3) 2 x
i
i
i
2 解的稳定性
有的差分格式的计 算结果与真值十分 相近。有的差分格 式的计算结果严重 偏离真值，甚至发 生上下震荡，得不 到结果。
对节点(m+1,n)及(m-1,n)分别写出函数t对 (m,n)的泰勒级数展开式：
t m 1,n
t t t m ,n x 2 x m , n x
2
m ,n
x (A) 2
2
t m 1,n
t t t m ,n x 2 x m ,n x
2
m ,n
三、边界节点离散方程的建立
1. 边界上温度之已知，即给定第一类边界 条件 则 M 2 N 2 为内部节点，可全部 由内部节点方程求出。对每一个节点， 列一个内部节点方程。
M 2 N 2 个内部节点 可列出 M 2 N 2 个方程
可解
三、边界节点离散方程的建立
2. 边界上温度未知，如第二、三类边界条 件或绝热边界条件，须补充列出边界节 点方程。 平直边界第三类边界条件 绝热平直边界
外部角点、内部角点
(1) 平直边界第三类边界条件
y 1
t m 1,n t m ,n x
t m ,n 1 t m ,n x 1 2 y t m ,n1 t m ,n x 1 2 y hy 1 t t m ,n 0 (G )
tm
rt m 1 1 2r t m rt m 1 (5 4)
i
i
i
tm
i 1
tm
i
t m 1 2 t m t m 1 a (5 3) 2 x
i
i
i
2 解的稳定性
有的差分格式的计 算结果与真值十分 相近。有的差分格 式的计算结果严重 偏离真值，甚至发 生上下震荡，得不 到结果。
对节点(m+1,n)及(m-1,n)分别写出函数t对 (m,n)的泰勒级数展开式：
t m 1,n
t t t m ,n x 2 x m , n x
2
m ,n
x (A) 2
2
t m 1,n
t t t m ,n x 2 x m ,n x
2
m ,n
三、边界节点离散方程的建立
1. 边界上温度之已知，即给定第一类边界 条件 则 M 2 N 2 为内部节点，可全部 由内部节点方程求出。对每一个节点， 列一个内部节点方程。
M 2 N 2 个内部节点 可列出 M 2 N 2 个方程
可解
三、边界节点离散方程的建立
2. 边界上温度未知，如第二、三类边界条 件或绝热边界条件，须补充列出边界节 点方程。 平直边界第三类边界条件 绝热平直边界
外部角点、内部角点
(1) 平直边界第三类边界条件
y 1
t m 1,n t m ,n x
t m ,n 1 t m ,n x 1 2 y t m ,n1 t m ,n x 1 2 y hy 1 t t m ,n 0 (G )
导热问题的数值解法一
d dT λ dx dx
T5 = Tr
2 = 0 = λ 1 W / m ⋅K) (
一维稳态常物性导热问题
有限容积积分(内点)
∆x x i-1 i-1/2 i i+1/2 i+1
∫
xi +1/ 2
xi −1/ 2
d dT λ dx dx
dT 0⇒λ dx = dx
对所求变量给出预估值，然后根据离 散方程对其不断改进，直至求得收敛解。
一维稳态常物性导热问题
Jacobi迭代法： 任意点上未知量的更新都用上一轮迭代中 所获得的值来计算
1 (I ) (I ) Ti aiTi + c T = + 1 i i −1 bi
( I +ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
(
)
Gauss-Seidel迭代法： 每一步计算取邻点的最新值
界面导热系数的计算方式
λ= i +1/ 2 λ= i −1/ 2
1 ( λi + λi +1 ) 2 1 ( λi + λi −1 ) 2
算术平均
哪种好？
∆x x i-1 i i-1/2 i+1/2 i+1
λi +1/ 2 =
2 1
λi λi −1/ 2 =
1
+
1
λi +1
1
2
调和平均
λi
+
λi −1
Ti +1 − Ti ⇒ = 1 Ti +1 − Ti 2 ⇒λ = i +1/ 2 1 1 1 1 + + 2λi +1 2λi λi +1 λi
T5 = Tr
2 = 0 = λ 1 W / m ⋅K) (
一维稳态常物性导热问题
有限容积积分(内点)
∆x x i-1 i-1/2 i i+1/2 i+1
∫
xi +1/ 2
xi −1/ 2
d dT λ dx dx
dT 0⇒λ dx = dx
对所求变量给出预估值，然后根据离 散方程对其不断改进，直至求得收敛解。
一维稳态常物性导热问题
Jacobi迭代法： 任意点上未知量的更新都用上一轮迭代中 所获得的值来计算
1 (I ) (I ) Ti aiTi + c T = + 1 i i −1 bi
( I +ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
(
)
Gauss-Seidel迭代法： 每一步计算取邻点的最新值
界面导热系数的计算方式
λ= i +1/ 2 λ= i −1/ 2
1 ( λi + λi +1 ) 2 1 ( λi + λi −1 ) 2
算术平均
哪种好？
∆x x i-1 i i-1/2 i+1/2 i+1
λi +1/ 2 =
2 1
λi λi −1/ 2 =
1
+
1
λi +1
1
2
调和平均
λi
+
λi −1
Ti +1 − Ti ⇒ = 1 Ti +1 − Ti 2 ⇒λ = i +1/ 2 1 1 1 1 + + 2λi +1 2λi λi +1 λi
导热问题数值解法
W
h3 tf h2 tf
y x
t0
h1 tf
H
传输原理
2. 区域离散化 (discretization)
沿x方向和y方向分别以Δx，Δy为间隔把 求解区域划分成很多个小的子区域。 步长：相邻两节点间的距离Δx, Δy。 节点：网格线(边界线)的交点。
( m, n) 节点表示： (m 1, n) (m, n 1) (m 1, n) (m, n 1)
级数展开式分别为：
h2 h3 f ( x h) f ( x) hf ( x) f ( x) f ( x) 2! 3! h2 h3 f ( x h) f ( x) hf ( x) f ( x) f ( x) 2! 3!
工学院机电工程教研室 传输原理
4.2 内节点离散方程的建立方法
数值计算过程的核心内容 . 两种方法: 泰勒级数展开法;
控制容积热平衡法 .
2t 2t 0 2 2 x y
4.2.1 泰勒级数展开法
根据泰勒级数，导出节点（m,n）处二阶偏导数 的差分表达式：
t m 1, n t m , n t m 1, n t m , n t x x t x x
导热问题数值解法
(Numerical Method of Conduction)
工学院机电工程教研室
传输原理
引言
1 求解导热问题的三种基本方法：(1) 理论分析法；(2) 数 值计算 法；(3) 实验法 2 三种方法的基本求解过程 (1) 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接 对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解 称之为分析解，或叫理论解；
工学院机电工程教研室
传热学-第四章-热传导问题的数值解法
23
判断迭代是否收敛的准则：
迭代次数，表示第k次迭代
Monday, March 30, 2020
表示第k次迭代所得计算域内的最大值 当有温度t接近于零的时，选此准则较好
24
例题：
Monday, March 30, 2020
25
Monday, March 30, 20day, March 30, 2020
27
1. 一维非稳态导热的数值求解： 第三类边界条件下，常物性、无内热源无 限大平壁的一维非稳态导热问题为例。
1) 求解域的离散
2) 节点温度差分方程的建立
运用热平衡法可以建立非稳态导热物体内部节点和 边界节点温度差分方程。
Monday, March 30, 2020
29
➢ 两点结论：
(a) 任意一个内部节点n在(i+1)时刻的温度都可以由该节点及 其相邻节点(n-1) 、(n+1)在i 时刻的温度由上式直接求出，不必联 立求解方程组，这是显式差分格式的优点。这样就可以从初始温 度出发依次求出各时刻的节点温度；
(b) 必须满足显式差分格式的稳定性条件，即
物理意义:
15
§4-3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解
第一类边界条件：已知全部边界的温度，作为已知值加入到内节点的离散方程中， 组成封闭的代数方程组，直接求解。
n=N
封闭
(m,n+1)
第二类边界条件或第三类边界 条件：部分边界温度未知。
不封闭
w (m-1,n)
n e
(m,n) s
(m,n-1)
(m+1,n)
y
n=1
m=1
m
x
m=M
Monday, March 30, 2020
导热问题的数值解法
第四章 导热问题的数值解法
4
§4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内部节点离散方程的建立
1物 理 问 题 的 数 值 求 解 过 程
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程
改进初场
是否收敛 否
是 解的分析
第四章 导热问题的数值解法
5
2 例题条件
tm1,n
tm,n
t x
x
m,n
2t x2
m,n
x2 2!
3t x3
m,n
x3 3!
第四章 导热问题的数值解法
9
若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t
tm1,n 2tm,n tm1,n o(x2 )
x2 m,n
x 2
同样可得：
2t tm,n1 2tm,n tm,n1 o(y2 )
代数方程组的求解方法：直接解法、迭代解法
第四章 导热问题的数值解法
24
直接解法：通过有限次运算获得代数方程精确解; 矩阵求逆、高斯消元法
缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性 问题（若物性为温度的函数，节点温度差分方程中的系数不 再是常数，而是温度的函数。这些系数在计算过程中要相应 地不断更新）
25
例如：根据第 k 次迭代的数值 可以求得节点温度：
t1(k)、t2(k)....tn(k)
t1(k1) a11t1(k) a12t2(k) ...... a1ntn(k) b1(k)
在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值）
t2(k1) a21t1(k1) a22t2(k) ...... a2ntn(k) b2(k) t3(k1) a31t1(k1) a32t2(k1) ...... a3ntn(k) b3(k) ....................................................... tn(k1) an1t1(k 1) an2t2(k 1) ...... ann1tn(k11) anntn(k ) bn(k )
第5章-导热数值解法共61页文档
5.0 基本思想和求解步骤
一、基本思想
对把物原理来问在题时进间行、数空值间求坐解标的系基中本连思续想的 可物以理概量括的为场：（如导热物体的温度场）
用有限个离散点上的值的集合来代替 通过求解按一定方法建立起来的关于 这些值的代数方程，来获得离散点上 被求物理量的值
二、求解步骤
结合二维矩形域内稳态、无内热源、常 物性的导热问题，说明求解过程的各个 步骤。
A11 A12 A13 t1 B1 A21 A22 A23t2B2 A31 A32 A33 t3 B3
(K)
2
y
If xy ，则：
2 t m 1 , n t m , n 1 t m , n 1 4 t m , n 0 ( L )
此式为式(H) 在 h0时的特例。
若只考虑（G）x向，则：
y 1 tm 1 ,n tm ,n 0 x 根据对称性，有：
(M )
t m 1 t m 1 ( N ) ( 5 1 5 )
平直边界第三类边界条件 绝热平直边界 外部角点、内部角点
(1) 平直边界第三类边界条件
y 1 t m 1 ,n tm ,n x
x 1 tm ,n 1 tm ,n
2
y
x 1 tm ,n 1 tm ,n
2
y
h y 1 t t m
tm 4 个1 ,n 相 邻tm 控 1 制,n体t向m 内,n 部1 节tm 点,n （ 1m ,4 nt）m ,n 代 表0
的控制体的导热量 = 0
(5 1 )
y1tm1,ntm,n y1tm1,ntm,n
x
x
x1tm,n1tm,n x1tm,n1tm,n 0
y
y
(F)
3. 可求解的条件
导热问题的数值解法
4 建立离散方程的常用方法：
(1) Taylor（泰勒）级数展开法； (2) 多项式拟合法； (3) 控制容积积分法； (4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
(1) 泰勒级数展开法
根据泰勒级数展开式，用节点(i,j)的温度ti,j 来表示节点(i+1,j)而温度ti+1,j
tm1,n
tm,n
• 数值解法的实质 对物理问题进行数值解法的基本思路可以概
括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量 的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上 的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来 的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物 理量的值。该方法称为数值解法。
这些离散点上被求物理量值的集合称为该物 理量的数值解。
同样可得：
2t tm,n1 2tm,n tm,n1 o(y2 )
y2 m,n
y 2
表示未明确写出的
级数余项中的Δ X
的最低阶数为2
根据导热问题的控制方程 ( 导热微分方程 )
2t x2
2t y 2
0
得
tm1,n
2tm,n x2
tm1,n
tm,n1
2 迭代法目前应用较多的是：
1 ）高斯——赛德尔迭代法：每次迭代计算， 均是使用节点温度的最新值。 2 ）用雅可比迭代法：每次迭代计算，均用 上一次迭代计算出的值。
设有一三元方程组：
a11t1 a12t2 a13t3 b1 a21t1 a22t2 a23t3 b2 a31t1 a32t2 a33t3 b3
其中 ai, j （ i=1,2,3 ； j=1,2,3 ）及bi
是已知的系数（均不为零）及常数。
导热数值解法
8
2. 节点温度差分方程组的求解方法
线性代数方程组的求解方法有消元法、矩阵求逆法、 迭代法等，这里仅简单介绍在导热的数值计算中常用 的迭代法中的两种： (1) 简单迭代法
(2) 高斯-塞德尔迭代法
9
(1) 简单迭代法 a1 1t1 a1 2 t 2 a 1 j t j a1n t n b1
（1）对实际导热问题的几何、物理性质进行分析， 做必要的、合理的简化，建立符合实际的物理模型。 （2）根据物理模型建立完整的数学模型，即给出 导热微分方程和单值性条件。 第(1)、(2)步是导热问题所有求解方法的基础。 （3）求解域离散化：用与坐标轴平行的网络线将所 涉及的空间和时间区域划分成有限个子区域，将网络线 的交点作为节点, 每个节点就代表以它为中心的子区域 （控制容积），节点温度就代表子区域的温度。
t i 1, j t i 1, j t i , j 1 t i , j 1 4 t i , j 0
可见，物体内每一个节点温度都等于相邻4个节点温度 的算术平均值。 2) 边界节点温度差分方程 对于具有第三类边界条件的边界 节点 ( i,j )所代表的控制容积，根据 其热平衡
2 B i 6 t i , j 2 B i t 0
7
绝热边界节点：
t i , j 1 t i , j 1 2 t i 1, j 4 t i , j 0
运用有限差分方法可以建立导热 物体所有内部节点和边界节点温度的 差分方程。求解这些差分方程构成一 个线性代数方程组就可以得节点温度 的数值。
y
t i 1, j t i , j
x x t i , j 1 t i , j
2 y
传热学的数值解法
导热问题的数值求解方法数值解法的基本思想是用空间和时间区域内有限个离散点（称为节点）上温度的近似值，代替物体内实际的连续温度分布，然后由导热方程和边界条件推导出各节点温度间的相互关系的代数方程组（称为离散方程），求解此方程组，得到节点上的温度值，此即物体中温度场的解。
只要节点分布的足够稠密，数值解就有足够的精度。
求解导热问题的数值方法有有限差分法及有限元法，近几年又发展了边界元法和有限分析法。
数值方法适用于求解各种导热问题，不管物体的几何形状有多复杂，不管线性或非线性问题，都能使用。
由于计算机的飞速发展，计算技术软件发展也很快，数值方法的的地位越来越重要。
1 数值求解的基本思路及稳态导热内节点离散方程的建立一、 解法的基本思路1、基本思路：数值解法的求解过程可用框图4-1表示。
由此可见：1）物理模型简化成数学模型是基础；2）建立节点离散方程是关键；3）一般情况微分方程中，某一变量在某一坐标方向所需边界条件的个数等于该变量在该坐标方向最高阶导数的阶数。
二、稳态导热中位于计算区域内部的节点离散方程的建立方法1、基本方法方法：①泰勒级数展开法；②热平衡法。
1）泰勒级数展开法如图4-3所示，以节点(m,n)处的二阶偏导数为例，对节点(m+1,n)及(m-1,n)分别写出函数t 对(m,n)点的泰勒级数展开式：对(m+1,n)：+∂∂∆+∂∂∆+∂∂∆+∂∂∆+=+444333,222,,,12462x t x x t x x t x x t x t t n m n m n m n m （a ）对（m-1,n ）：+∂∂∆+∂∂∆-∂∂∆+∂∂∆-=-444333,222,,,12462x t x x t x x t x x t xt t n m n m n m n m （b ）（a ）+（b ）得： +∂∂∆+∂∂∆+=+-+444,222,,1,1122x t x x t x t t t n m n m n m n m 变形为n m x t,22∂∂的表示式得：n m x t,22∂∂)(0222,1,,1x x t t t nm n m n m ∆+∆+-=-+ 上式是用三个离散点上的值计算二阶导数n m x t ,22∂∂的严格表达式，其中：)(02x ∆―― 称截断误差，误差量级为2x ∆在数值计算时，用三个相邻节点上的值近似表示二阶导数的表达式即可，则相应的略去)(02x ∆。
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内部节点：
(m,n+1)
y
(m-1,n)
(m, n)
y
y
x
o x 第四章 导热问题的数值解法
(m,n-1)
x
(m+1,n)
13
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例 此时：
dt
dt
左 A dx y dx
可见：当温度场还没有求出来之前，我们并不知道 dt dx 所以，必须假设相邻节点间的温度分布形式，这里我们 假定温度呈分段线性分布，如图所示
第四章 导热问题的数值解法
14
可见，节点越多，假设的分段线性分布越接近真实的温度布。
此时：
tm-1,n
tm,n
tm+1,n
左
y
dt dx
y tm1,n tm,n
x
右
y tm1,n tm,n
x
(m-1,n) (m,n) (m+1,n)
上
x tm,n1 tm,n
y
下
x tm,n1 tm,n
y
内热源：Φv ΦV Φ xy
第四章 导热问题的数值解法
3
§4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内部节点离散方程的建立
1物 理 问 题 的 数 值 求 解 过 程
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程
改进初场
是否收敛 否
是
解的分析
第四章 导热问题的数值解法
4
2 例题条件
即： i v o
单位：[W]
第四章 导热问题的数值解法
11
i v o i (o ) v
即：从所有方向流入控制体的总热流量 ＋ 控制体内热源生成热 ＝ 控制体内能的增量
注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用
第四章 导热问题的数值解法
12
稳态、无内热源时： 从所有方向流入控制体的总热流量＝0
y2 m,n
y 2
截断误差
未明确写出的级数余项
中的ΔX的最低阶数为2
第四章 导热问题的数值解法
9
对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热 微分方程为：
2t x 2
2t y 2
v
0
其节点方程为：
ti1, j
2ti , j ti1, j
x2
ti , j1
2ti, j
y 2
ti , j1
v,i, j
第四章 导热问题的数值解法
17
4-2 边界节点离散方程的建立及代数 程的求解对于第一类边界条件的热传导问题，处理比较简单，因为 已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点的离 散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。
第四章 导热问题的数值解法
7
(1) 泰勒级数展开法
根据泰勒级数展开式，用节点(i,j)的温度ti,j 来表示节点(i+1,j)而温度ti+1,j
t
2t x2 3t x3
tm1,n
tm,n
x
x
m,n
x2
m,n
2! x3 m,n
3!
用节点(i,j)的温度ti,j来表示节点(i-1,j)的 温度ti-1,j
y
h3t f
t0
二维矩形域内
稳态无内热源，
常物性的导热
h2t f
问题
h1t f
x
第四章 导热问题的数值解法
5
3 基本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、步长
(m,n) N
n
y
y
x x
m
第四章 导热问题的数值解法
二维矩形 域内稳态 无内热源， 常物性的 导热问题
M
6
4 建立离散方程的常用方法：
(1) Taylor（泰勒）级数展开法； (2) 多项式拟合法； (3) 控制容积积分法； (4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
t
2t x2 3t x3
tm1,n
tm,n
x
x
m,n
x2
m,n
2! x3 m,n
3!
第四章 导热问题的数值解法
8
若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t
tm1,n 2tm,n tm1,n o(x2 )
x2 m,n
x 2
同样可得：
2t tm,n1 2tm,n tm,n1 o(y2 )
x2 Φ
第四章 导热问题的数值解法
16
无内热源时：
4tm,n
tm1,n
tm1,n
tm,n1
tm,n1
x 2
Φ
变为：
4tm,n tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1
重要说明：所求节点的温度前的系数一定等于其他 所有相邻节点温度前的系数之和。这一结论也适用 于边界节点。但这里不包括热流(或热流密度)前的 系数。
第四章 导热问题的数值解法
2
(2) 数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实 验法相比成本低
(3) 实验法: 是传热学的基本研究方法，a 适应性不好； b 费用昂贵
数值解法：有限差分法（finite-difference）、 有限元法（finite-element） 、 边界元法（boundary- element）、 分子动力学模拟（MD）
用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方
法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散点上
被求物理量的值；并称之为数值解；
第四章 导热问题的数值解法
1
(3) 实验法 就是在传热学基本理论的指导下，采用对所 研究对象的传热过程所求量的方法
3 三种方法的特点 (1) 分析法 a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算 提供比较依据； b 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见
§4-0 引言
1 求解导热问题的三种基本方法：(1) 理论分析法；(2) 数 值计算 法；(3) 实验法
2 三种方法的基本求解过程
(1) 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接 对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解 称之为分析解，或叫理论解；
(2) 数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的场，
第四章 导热问题的数值解法
15
y tm1,n tm,n y tm1,n tm,n x tm,n1 tm,n x tm,n1 tm,n
x
x
y
y
Φxy 0
x
y
时：tm1,n
tm1,n
tm,n1
tm,n1
4tm,n
x2 Φ 0
4tm,n
tm1,n
tm1,n
tm,n1
tm,n1
0
第四章 导热问题的数值解法
10
(2) 控制容积平衡法(热平衡法)
基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从 而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定 律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier 导热定律即可。
能量守恒：流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热 ＝ 流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量