锐角三角函数课件 (2)

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锐角三角函数(第2课时)(课件)九年级数学下册(北师大版)

c
sin
A
=
∠A的对边
斜边
斜边
a =c
b
A
c
cos
A
=
∠A的邻边
斜边
=
b c
斜边
b邻 A 边
谢谢~
B1 A1
B2 A1
B1 A1
B2 A1
B1
（3）如果改变B2在梯子A1B1上的位置呢？
由此你可得出什么结论？
B2
（4）如果改变梯子A1B1的倾斜角的大小呢？
由此你可得出什么结论？
C1 C2
A1
探究新知
（1）Rt△B1A1C1 ∽ Rt△B2A1C2.
（2）相等
∵ Rt△B1A1C1 ∽ Rt△B2A1C2，
=
a c
tan A a a c sin A b c b cos A
若∠A+∠B=90°；一个锐角的正弦等于它余角的余弦，sinA=cosB；一个锐角的余弦等于它余角的正弦；
cosA=sinB.
探究新知
锐角三角函数之间的关系:
(1)同一个角:①商的关系:tanA= sin A ；②平方
关系:sin2A+cos2A=1.
A
B
斜边
∠A的对边
┌ ∠A的邻边 C
结论：在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与斜边的比, ∠A的邻边与斜边的比也随之确定.
探究新知
核心知识点一：正弦、余弦的定义
想一想：如图.
（1）直角三角形A1B1C1和直角三角形A1B2C2有什么关系？
（2）A1C1 和 A1C2 有什么关系？ B1C1 和 B2C2 呢？
探究新知
• 定义中应该注意的几个问题: 1.sinA,cosA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). 2.sinA,cosA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦 (习惯省去 “∠”号). 3.sinA,cosA 是一个比值，是直角边与斜边之比.注意比的顺序

中考数学第四单元三角形第22课时锐角三角函数2

.
[答案] (1) 2 (2)- 2 (3)2 (4) 3-1
4
2019/8/9
遇上你是缘分，祝你学业有成，金
6
榜题名。万事如意！开心每一天！
课前双基巩固
4.[九下 P85 复习题 28 第 11 题改编] 如图 22-1,折叠矩形 ABCD 的一边 AD,使点 D 落在 BC 边的点 F 处.已知折痕 AE=5 5 cm,且 tan∠EFC=3.则
遇上你是缘分，祝你学业有成，金
12
榜题名。万事如意！开心每一天！
课堂考点探究
4.[2018·德州] 如图 22-4,在 4×4 的正方形方格图形中,小正方
形的顶点称为格点,△ ABC 的顶点都在格点上,则∠BAC 的正
弦值是
.
[答案]
5 5
[解析] 因为 AC=2 5,BC= 5,AB=5,
所以 AC2+BC2=AB2,所以∠ACB=90°, 所以 sin∠BAC=��= 5.
B.
3 2
C.1 D. 3
6.在△ ABC 中,AB=2,AC=3,∠B=45°,则 sinC 的值是
.
[答案] 5.B
6.
2 3
2019/8/9
遇上你是缘分，祝你学业有成，金
9
榜题名。万事如意！开心每一天！
课堂考点探究
探究一求锐角三角函数值
【命题角度】 (1)已知直角三角形的边长,直接求锐角三角函数值; (2)在网格中求锐角三角函数值. 例 1 [2019·原创] 如图 22-2,在 Rt△ ABC 中,∠BAC=90°,
∴BD=6 3.在 Rt△ ACD 中,tanA=3,CD=6,
4

《锐角三角函数》课件

锐角三角函数图像与性质
正弦函数图像及性质
周期性
振幅
相位
图像特点
正弦函数具有周期性，周期为2π。
正弦函数的相位表示函数在水平方向上的移动，通过调整相位可以得到不同位置的正弦波。
正弦函数的振幅为1，表示函数在垂直方向上的波动范围。
正弦函数的图像是一条连续的、平滑的曲线，呈现周期性的波动。
余弦函数图像及性质
202X
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《锐角三角函数》ppt课件
汇报日期
汇报人姓名
目录
锐角三角函数基本概念
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锐角三角函数图像与性质
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锐角三角函数运算规则
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锐角三角函数在实际问题中应用
乘法运算规则
两个锐角三角函数的除法运算，通常转化为同角三角函数的除法运算，再利用同角三角函数的基本关系式进行化简。
除法运算规则
按照先乘除后加减的运算顺序进行乘除混合运算，注意运算过程中的化简和约分。
乘除混合运算规则
复合运算规则
复合函数的定义域
复合函数的值域
复合函数的单调性
复合函数的周期性
01
02
03
钝角三角函数定义
探讨了钝角三角函数的性质，如取值范围、增减性等，以及与锐角三角函数的异同点。
钝角三角函数的性质
介绍了在直角情况下，一些特殊角的三角函数值，如0°、30°、45°、60°、90°等，以及如何利用这些特殊值进行计算和证明。
直角情况下的特殊值
感谢观看
THANKS
渐近线与间断点
02

锐角的三角函数PPT

余弦函数的符号为cos，表示为cos(θ)，其中θ为锐角。
02
余弦函数的图像是一条周期为2π的余弦曲线，表示在直角三角形中，邻边的长度与斜边的长度的比值在[-1,1]之间周期性变化。
04
正切函数的定义
01
正切函数：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)
02
正切函数的定义域：(0, π/2)
余弦函数的值域：[-1, 1]
余弦函数的图像：一个周期为2π的周期函数，图像关于y轴对称
余弦函数的奇偶性：偶函数，f(x) = f(-x)
余弦函数的单调性：在[0, π/2]上是增函数，在[π/2, π]上是减函数
余弦函数的导数：f'(x) = -sin(x)
正切函数的性质
01
02
03
04
05
值域：正弦函数的值域是[-1, 1]
奇偶性：正弦函数是奇函数，即f(x) = -f(-x)
周期性：正弦函数的周期是 2π，即f(x + 2π) = f(x)
最值：正弦函数的最大值是1，最小值是-1
图像：正弦函数的图像是一条正弦曲线，关于原点对称
余弦函数的性质
定义：余弦函数是直角三角形中的一个角与对边和斜边的比值
03
正切函数的值域：(0, ∞)
04
正切函数的图像：在平面直角坐标系中，正切函数的图像是一条以原点为中心的对称曲线，在y轴右侧的部分为单调递增，在y轴左侧的部分为单调递减。
Part Two
锐角三角函数的性质
正弦函数的性质
定义：正弦函数是直角三角形中的一个角（锐角）的正弦值与对边长度的比值
06
正切函数是锐角三角函数中的一种，表示在一个直角三角形中，对边（opposite）的长度与邻边（adjacent）的长度之比。

人教新课标版初中九下28.1锐角三角函数(2)ppt课件

1+ 3 2
B.
1+ 2 2
C.
2+ 3 2
D． D．
2
3 ．如图 2 所示， AB 是斜靠在墙上的长梯， AB 与地面的夹角为 α ，当梯顶 A 下滑 1m 至 A ′ 时，梯脚 B 滑至 B′ ， A′ B′ 与地面的夹角为 β ，若 tanα = tan α A． A ． 4m
电子教案目标呈现教材分析教学流程同步演练课后练习
复习引入探索新知反馈练习拓展提高小结作业
1.我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正 1.我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？为什么可以这样定义它? 弦的？为什么可以这样定义它? 在上一节课中我们知道，如图所示， 2. 在上一节课中我们知道，如图所示，在 Rt△ABC中 C=90° 当锐角A确定时， Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A确定时，的对边与斜边的比就随之确定了, ∠A的对边与斜边的比就随之确定了,现在要其他边之间的比是否也确定了呢？问：其他边之间的比是否也确现教材分析教学流程同步演练课后练习
复习引入探索新知反馈练习拓展提高小结作业范例
例 1：如图，在 Rt△ ABC 中， ∠ C=90° ， BC= 6， sinA= ： △ ° ，求 cosA、 tanB 的值．、
B 斜的c A ∠A的的的b ∠A的的的a C
电子教案目标呈现教材分析教学流程同步演练课后练习
复习引入探索新知反馈练习拓展提高小结作业探究

北师大版九年级下册数学1.1锐角三角函数第2课时课件

函数转移或构建到特殊的直角三角形中，再借助数形结合求解.
合作探究
1.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，则sin A＝
A＝
1 .

，tan
合作探究
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，
MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cos B的值.
合作探究
解:在Rt△AMN中，由勾股定理可得MN＝ − ＝，
则sin∠ABC等于

.
合作探究
B等于(
A.
已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝B )B. NhomakorabeaC.

，则sin

D.1
方法归纳交流通常已知边的比值，不能直接求三角函数
值，可采用设辅助未知数“k”来解决.
合作探究
如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC＝1，sin

B＝，求菱形的边长.
是(
A )
A.
B.
C.
D.
2.在△ABC中，∠C＝90°，cos
8 .

A＝，AB＝10，则BC＝

合作探究
＝

在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，则cos B
.
如图，P是∠α的边OA上一点，且P点坐标为(3，4)，
则sin α＝

，cos α＝

.
合作探究
变式训练
如图，△ABC的顶点都在正方形网格中的格点上，
∴cos

∠AMN＝＝，

∵∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠AMN＝90°，
∴∠B＝∠AMN，

初中数学九年级上册23.1锐角的三角函数(第2课时) 30 45 60 角的三角函数值课件

做一做
w要能记住有多好
洞察力与内秀
特殊角的三角函数值表
三角函数锐角α
正弦sinα
余弦cosα
正切tanα
300
1
2
3
3
2
3
450
2
2
2 2
1
600
3
1
3
2
2
w这张表还可以看出许多知识之间的内在联系呢?
例题欣赏
行家看“门道”
w例1 计算: w(1)sin300+cos450;(2) sin2600+cos2600+tan450.
因此更一般地有 :
si9n 0 0 c o , s
c9 o0 0 s s i,n
例题欣赏
行家看“门道”
w例3 在Rt△ABC中,∠C=900 , sinA=1/3,求cosB的值。
解:略。
随堂练习
知识的运用
课本119页第2题（1）、（2）。
w老师期望:只要勇敢地走向黑板来展示自己,就是英雄!
w解:略。
w老师提示:
Sin2600表示 (sin600)2,
cos2600表示 (cos600)2,其余类推.
例题欣赏
行家看“门道”
例2:(1)已知sinA=1/2,则锐角A=____; (2)已知3tanA-√3=0,则锐角A=____;
解:略。
随堂练习
知识的运用
w计算: (1)sin600-cos450;
身体健康，常以为别人在注意你，或希望别人注意你的人，会生活的比较烦恼。
学习进步！
w一个锐角的正弦,等于它的余角的余弦
B
(或一个锐角的余弦等于它的余角的正弦);

九年级数学《锐角三角函数》课件

h
A
α
l
C
展示评讲
坡比（坡度）：坡面的竖直高度h与水平长 B
度l的比叫做坡面的~ 即：i h
l
i h:l
h
A
l
C
正切：如图，在Rt∆ABC中，我们把锐角A
的对边与邻边的比叫做∠A的正切，即
B
tan
A
A的对边 A的邻边
BC AC
a b
ha
注意：tanA还可以写成tan∠A或A α tanα或tan∠BAC或tan∠1
锐角三角函数
引入新课
汽车爬坡能力是衡量汽车性能的一个重要标志，很明显，若汽车所爬坡面越陡，汽车爬坡能力越强. 即：坡角越大，坡面就越陡.
B
h
A αl
C
学习目标
1、理解并掌握正切的定义，明确角与线段的比的关系； 2、会利用正切的定义求任意一个锐角的正切值； 3、利用坡度和坡比的概念解决实际问题。
自学思考
1、水平长度一定时，坡角与什么因素有关呢？
竖直高度越大，坡面越陡，坡角越大
2、竖直高度一定时，坡角与什么因素有关呢？
水平长度越小，坡面越陡，坡角越大
3、水平长度与竖直高度都不同时，坡角与什么因素有关呢？
竖直高度与水平长度的比值越大，坡面越陡，坡角越大
展示评讲三角函数：在直角三角形中
B
lb
C
当堂检测
1、(25分)在∆ABC中，AC=5，BC=4，AB=3，则tanA= ，
tanB=
.
2、(25分)在∆ABC中，∠C=90度，AB=2BC，则
tanA= ，
tanB=
.
ห้องสมุดไป่ตู้
3、(25分)如3 图1所示为某拦水坝的横截面，迎水坡AB的

26.1 锐角三角函数 - 第2课时课件(共21张PPT)

例3 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5，BC=12.求sinA，cosA，tanA的值.
归纳
在直角三角形中，锐角α的对边与邻边的比、邻边与斜边的比以及对边与邻边的比，都是唯一确定的；当锐角α变化时，相应的值也会发生相应的变化. 我们把锐角α的正弦、余弦和正切统称为α的三角函数. 为方便起见，今后将（sinα）2，（cosα）2，（tanα）2分别记作sin2α，cos2α，tan2α.
随堂练习
1．△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cosA＝，则AC的长是______．2．已知A为锐角，tanA＝，则sinA＝___ ,cosA=_____ ．3．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且cosα＝，AB＝4，则AD的长为_____．
6
4．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，求sin∠ECM.
定义中应该注意的几个问题:1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).2.sinA,cosA,tanA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦,正切 (习惯省去“∠”号).3.sinA,cosA,tanA 是一个比值.注意比的顺序.且sinA,cosA,tanA均大于0,无单位.4.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.5.角相等,则其三角函数值相等;两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.
解：设正方形ABCD的边长为4x，由勾股定理可知，∵M是AD的中点，BE=3AE，∴AM＝DM＝2x,AE＝x,BE＝3x．∴EM2=AM2+AE2=(2x)2+x2=5x2∴CM2=DM2+DC2=(2x)2+(4x)2=20x2∴EC2=BC2+BE2=(4x)2+(3x)2=25x2∴EC2=EM2+CM2 由勾股定理逆定理可知，△EMC为直角三角形.∴sin∠ECM= = = .

浙教版九年级下册锐角三角函数的计算(第2课时)课件

的天桥两端修建40m长的斜道。请问这条斜道的倾斜角是
多少?（如下图所示）
在Rt△ABC中，
sinA＝
∠A是多少度呢？
前面我们学习了特殊角30°，45°，60°的三角函
数值，一些非特殊角(如17°56°89°等)的三角函数
值又怎么求呢？
这一节课我们就学习借助计算器来完成这个任务.
获取新知
一起探究
已知三角函数值求角度，要用到sin，cos，tan的
第1章解直角三角形
1.2 第2课时锐角三角函数的计算（2）
特殊角三角函数值
三角函数
角度
0°
3 0° 45 ° 6 0° 9 0°
sinα
0
1
2
2
2
3
2
1
cosα
1
3
2
2
2
1
2
0
tanα
0
3
3
1
3
不存在
cotα
不存在
3
1
3
3
0
随着人民生活水平的提高，私家小轿车越来越多，为
了交通安全及方便行人推车过天桥，某市政府要在10 m高
∴∠AOC＝5044’21.01”∴∠AOB≈11.480
⌒ 11.48×1000π
≈200.3(m).
∴AB＝
180
答:弯道长约为200.3m.
随堂演练
20020'4"
1.(1)sinA=0.3475 ,则A=
(精确到1")
(2)cosA=0.4273,则A= 64042'13"
(精确到1")
3
（1）sinβ＝0.4511.（2）cosβ=0.7875. （3）

28.1锐角三角函数(第2课时)

BC AB AC 13 12 5 BC 5 B sin A AB 13
2 2 2 2
12
13
A
AC 12 cos A AB 13
倍速课时学练
BC 5 tan A AC 12
AC 12 sin B AB 13 BC 5 cos B AB 13 AC 12 tan B BC 5
B
解：∵
BC sin A AB
A
6
BC 5 AB 6 10 sin A 3
又
C
AC AB2 BC2 102 62 8
倍速课时学练
AC 4 AC 4 cos A , tan B AB 5 BC 3
练
习
1. 分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值． C 解：由勾股定理
2. 在Rt△ABC中，如果各边长都扩大2倍，那么锐角A的正弦值、余弦值和正切值有什么变化？
解：设各边长分别为a、b、c，∠A的三个三角函数分别为
a b a sin A ， A ， A cos tan c c b
则扩大2倍后三边分别为2a、2c
cos A
斜边

c
把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即
A的对边 a tan A A的邻边 b
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
例题示范
3 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sinA＝ 5 ，求 cosA、tanB的值．
义务教育课程标准实验教科书
九年级下册
28.1锐角三角函数（第2课时）

25.1锐角三角函数(第2课时)课件

B
D
C
1、如图所示，已知△ABC中∠C＝90°， sinB=3/5,点D在BC边上，且∠ ADC= 45°， AC=6，求∠BAD的正切值。
A
E B C
D
2、直角三角形纸片的两直角边长分别是6、8，现将△ABC如图那样折叠，使点A和点B重合，折痕为DE，求∠CBE的正切值。
C 8 6 A B B D 6 A C
2. 在Rt△ABC中，如果各边长都扩大2倍，那么锐角A的正弦值、余弦值和正切值有什么变化？解：设各边长分别为a、b、c，∠A的三个三角函数分别为
a b a sin A ， A ， A cos tan c c b
则扩大2倍后三边分别为2a、2b、2c
B
2a a sin A 2c c 2b b cos A 2c c 2a a tan A 2b b
BC 6 3 cos B AB 10 5
4. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cos∠DAC, （1）求证：AC=BD；
12 （2）若 sin C ，BC=12，求AD的长。在△ABC中， ∠ C=90度，若∠ ADC=45度，BD=2DC，求tanB及sin∠BAD. A
BC 8k 8 sin A , AB 17 k 17 BC 8k 8 tan A AC 15k 15
例题示范
例2：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90° B 1.求证：sinA=cosB，sinB=cosA 2.求证：tan A
sin A cos A
sin 2 A sin A sin A
E 8
AC 4 AC 4 cos A , tan B AB 5 BC 3

锐角三角函数(第二课时)课件

a2 b2 c2
A
sin A a ,sin B b
cБайду номын сангаас
c
sin2 A sin2 B a 2 b 2 c c
a2 b2 c2
1
B
c
a
┌
b
C
1、300,450,600角的三角函数值 2、三角函数值的计算与应用
老师提示:
Sin2600表示 (sin600)2,
cos2600表示 (cos600)2, 其余类推.
1、 sin 12 sin 1为锐角
解：原式= sin 1 sin 1
sin 1 sin 1 0
2：已知tanA·tan20°=1 求∠A。
解：因为tanA·tan200=1 所以∠A=900－200=700
tan B 3：已知：
求∠A，∠B的度数。
3 2sin A
2
3 0,
2
解： tan B 3 2sin A 3 0
tan B 3 0，2sin A 3 0
即tan B 3,sin A 3 2
A 600 , B 600
4：已知2cos 2A－1=0,求∠A
解： 2 cos2 A 1 0 cos2 A 1 2 cos A 1 2 22 A 450
BcoCs=B6=，__则3__si_n_B_=.________， 5
C
5
A
2、在Rt△ABC中，∠C=900，
AB=3，BC=2，求tanA的值。
5
10 6
B
3
tan A 5 2
2
C
B
300角的各类三角函数值的探索
2
B
1
30°
A

人教版数学九年级上册课件：锐角三角函数(二)

28.1.2 锐角三角函数
——余弦正切
晚修预习
预习课本62-64页，尝试：（1）理解余弦、正切的概念并能根据概念正确进行计算；（2）完成导学案134页。
复习与探究：
在 RtABC 中，C 90
B 1.锐角正弦的定义
c
A
b
a ∠A的正弦： sinA A的对边 BC a
斜边 AB c
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=2，
AB=3，求∠A，∠B的正弦、余弦、正切值．
B
解：在RtABC中， AC AB2 BC2 32 22 5,
3
2
A
C
sin A BC 2，cos A AC 5 ，tan A BC 2 2 5 .
BC=6，sin A 3 ，求cosA和tanB的值． B
5
6
解：sin A BC ， AB
A
C
AB BC 6 5 10. sin A 3
又AC AB2 BC2 102 62 8,
cos A AC 4 ，tan B AC 4 .
AB 5
BC 3
C
1、如图, ∠C=90°CD⊥AB.
AB 3
AB 3
AC 5 5
sin B AC 5 ，cosB BC 2，tan B AC 5 .
AB 3
AB 3
BC 2
延伸：由上面的计算，你能猜想∠A，∠B的正弦、余弦值有什么规律吗？
结论：一个锐角的正弦等于它余角的余弦，或一个锐角的余弦等于它余角的正弦。
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
C
2、当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定。此时，其他边之间的比是否也随之确定？为什么？

【2014秋开学】华师大版九年级数学上24.3.1锐角三角函数(2)课件

1 2sin 60 4 cos 30 3 tan 45 ； 2 3cos 45 tan 30 2 cot 60 .
2 , 2
2.在△ABC中,A和B都是锐角,且sinA= tan B
倍课时学练
3 , 那么, 这个三角形的形状是什么样 3 的啊 ?(锐角三角形, 还是直角三角形, 或是钝角三角形啊 ?)
2
AB 2 sin B cos B 1 2 AB 我的证明方法和你的一样吗？如果一样的
2 2
倍速课时学练
话，那么tanB cotB=1,你也能根据相同的方法，利用锐角三角函数的定义得出结论吧？从以上就可以看出定义的作用了--
特殊角的三角函数值
30°
sin A cos A tanA
.则有：
倍速课时学练
B的对边 AC sin B (B的正弦函数）斜边 AB B的邻边 BC cos B （B的余弦函数）斜边 AB B的对边 AC tan B （B的正切函数） B的邻边 BC B的邻边 BC cot B （B的余切函数） B的对边 AC
3.在Rt△ABC中, C 90 , 斜边AB是直角边AC的 3倍,则cosB为多少啊?
3 4.你能根据sinA= , 求出锐角A的其余的三个 5 3 三角函数值吗 ? 若是知道 tan A , 你能求出这 5 个时候锐角A的其余的三个三角函数值吗 ?
倍速课时学练
5.拔高题 :已知一个三角形的三边长正好为 sin A、 1 、cosA，且A为锐角。现在，我想问的是这个三角形的形状是什么啊？根据这些条件你能判断出来吗？仔细考虑一下吧，看看能不能自己做出来？
倍速课时学练

28章锐角三角函数全章ppt课件

问题（1）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度．
问题（1）可以归结为：在Rt △ABC中，已知∠A＝75°，斜
边AB＝6，求∠A的对边BC的长．
B
由 sin A BC 得 AB
BC AB sin A 6sin 75
由计算器求得 sin75°≈0.97
α
A
C
所以 BC≈6×0.97≈5.8
因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m
对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC＝2.4，斜边AB＝6，求锐角a的度数
由于
B
cos a AC 2.4 0.4
AB 6
tan A BC 8k 8 AC 15k 15
例题示范
例3：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90° B
1.求证：sinA=cosB，sinB=cosA
2.求证：tan A sin A ;tan A 1
cos A
tan B
3.求证：sin2 A cos2 A 1
A
C
sin2 A sin A sin A
如图，Rt△ABC中，直角边AC、BC小于斜边AB，
sin A BC ＜1
AB
sin B AC AB
＜1
A
C
所以0＜sinA ＜1, 0＜sinB ＜1, 如果∠A ＜ ∠B,则BC＜AC , 那么0＜ sinA ＜sinB ＜1
探究
精讲
如图，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，当锐角A确定时，∠A 的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？

1.1.2锐角三角函数(公开课课件)

B
B．cosA的值越大，梯子越陡
C．sinA的值越大，梯子越陡
┌
A
C
D．陡缓程度与∠A的函数值无关
随堂练习
4.如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，
那么AB的长为 _______ 20 3
，AC＝4，
随堂练习
5 ．如图，点P（6，a）在反比例函数的图象上，PH⊥x轴于点H，连接OP，则sin∠OPH的值为________．
注意
sinA，cosA中常省去角的符号“∠”。但∠BAC的正弦和余弦表示为: sin∠BAC，cos∠BAC。∠1的正弦和余弦表示为: sin∠1，cos∠1.
sinA，cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长没有必然的关系。
2 三角函数的定义
• 锐角 A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数.当锐角 A 变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化.
随随单堂堂练击练习习此处编辑母版标题样式
4.AD是△ABC的中线，tanB＝1
求•：单（•击二1此级）处B编C辑的母长版；文本样式 5
，cosC＝2
2
（2）∠A• D三•级C四的级正弦值．
• 五级
，A2C＝
正弦、余弦和正切之间的关系
拓展提升
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，cosA= 4 ，AC = 8，
当堂小结 1. 在 Rt△ABC 中
sin A cos B，tan A sin A cos A
2. 梯子的倾斜程度与 sinA 和 cosA 的关系：sinA 的值越大，梯子越陡；cosA 的值越小，梯子越陡.
则
cosA
25
=____5__.
┌

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sin B 4 , cosB 3 , tan B 4
5
5
3
2.在Rt△ABC中,∠C=900,BC=20, sin A 4 .
5
求:△ABC的周长.
B
解：sin A BC AB

AB

BC sin A

20 4

25
5
┐
C
A
AC AB2 BC2 252 202 15
BC AC
和 B1C1有什么关系?
AC1
(3)如果梯子的倾斜角不变，
只改变B在梯子上的位置呢?
C1
想一想
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三角形ABC有什么关系?
B
(2)
BC AB
和
B1C1 AB1
,
AC AB
和AC1
AB1
,
BC AC
和 B1C1有什么关系?
AC1
(3)如果梯子的倾斜角不变，
5.如图, ∠C=90°CD⊥AB.
()()()
sin B .
()()()
A
C
┌ DB
6.在上图中,若BD=6,CD=12.求cosA的值.
7.如图,分别根据图(1) 和图(2)求∠A的三个三角函数值.
0〈cosα〈1 ，
例1 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°AB=5,BC=3, 求 ∠A, ∠B的正弦,余弦和正切.
观察以上计算结果,你发现了什么?若AC=5,BC=3呢?
B 解：在Rt△ABC中,
AC AB2 BC2 52 32 4
A
C 因此 sin A 3
sin A cos B
铅直高度
水平宽度
梯子在上升变陡的过程中，倾斜角，铅直高度与梯子的比,水平宽度与梯子的比,铅直高度与水平宽度的比,都发生了什么变化？
铅直高度
水平宽度
梯子在上升变陡的过程中，倾斜角，铅直高度与梯子的比,水平宽度与梯子的比,铅直高度与水平宽度的比,都发生了什么变化？
铅直高度
┌
A
B
200 0 6 120
A
1.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.
求: sinB,cosB,tanB.
5
5
解：过点A作AD垂直于BC于D.
B
┌ 6D
C
∵AB=AC=5 ∴BD=1/2BC=3
在Rt△ABD中 AD AB2 BD2 52 32 4
的比＿越＿大＿＿＿
铅直高度水平宽度
想一想
B

A
C
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三角形ABC有什么关系?
(2)
BC 和
AB
B1C1 AB1
,
AC 和
AB
AC1,
AB1
BC AC
和 B1C1有什么关系?
AC1
(3)如果梯子的倾斜角不变，
只改变B在梯子上的位置呢?
C1
想一想
B
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三角形ABC有什么关系?

只改变B在梯子上的位置呢?
A
C
C1
想一想
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三角形ABC有什么关系?
B
BC B1C1 AC AC1 BC
(2) AB 和 AB1 , AB 和AB1 , AC 和B1C1有什么关系?
AC1
A
(3)如果梯子的倾斜角不变，
只改变B在梯子上的位置呢?
C C1
结论：由相似三角形的性质得，只要∠A不变，那
塔
垂
身
直
中
中
心
心
线
线
Ө
如果要你根据上述信息，用“塔身中心线与垂直中心线所成的角Ө（如图）“来描述比萨斜塔的倾斜程度，你能完成吗？
从数学角度看，上述问题就是：已知直角三角形的某些边长，求其锐角的度数，对于直角三角形，我们知道三边之间的关系和两个锐角之间的关系，但我们不知道”边角之间的关系“，因此，这一问题的解答需要学习新的知识。
(2)
BC AB
和 B1C1
AB1
,
AC AB
和
AC1
AB1 ,
BC AC
和 B1C1有什么关系?
AC1
A
C
(3)如果梯子的倾斜角不变，
只改变B在梯子上的位置呢?
C1
想一想
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三角形ABC有什么关系?
B
A
C
BC B1C1 AC AC1
(2)AB和 AB1, AB 和 AB1 ,
10m
10m
（上升变陡的过程中，倾斜角，铅直高度与梯子的比,水平宽度与梯子的比,铅直高度与水平宽度的比,都发生了什么变化？
铅
直
高
倾斜角
度
水平宽度
梯子在上升变陡的过程中，倾斜角，铅直高度与梯子的比,水平宽度与梯子的比,铅直高度与水平宽度的比,都发生了什么变化？
定值，叫做∠A的正切，记作
tanA。
注意：三角函数的定义，必须在直角三角形中.
定义
B
sinA
∠A的对边
斜边
斜边
∠A的对边 cosA
∠A的邻边斜边
A ∠A的邻边 C
tanA
∠A的对边 ∠A的邻边
1。锐角A的正弦、余弦、和正切叫做∠A的锐角三角函
数2。锐角的三角函数的值都是正实数，并且 0〈sin α〈1，
5
cos A sin B
cosA 4 5
tan A tan B 1
tan A 3 4
sin B 4 5
cosB 3 5
tan B 4 3
例2 如图:在Rt△ABC中,∠B=900,AC=200,sinA=0.6.
求:BC的长.
C
解：
s in
A
BC
200
AC
BC AC sin A
么都有：
BC B1C1
AB = AB1
AC = AC1
AB AB1
BC B1C1 AC = AC1
B1
即在直角三角形中，当锐角A
B
取一定度数时，不管三角形的大
小如何，∠A的对边与斜边的比是
一个固定值，叫做∠A的正弦，记
作sinA；邻边与斜边的比是一个
A
C
C1
固定值，叫做∠A的余弦，记作 cosA；对边与邻边的比是一个固
因此，△ABC的周长=25+20+15=60
3.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时
扩大100倍,sinA的值（ C ） A.扩大100倍 B.缩小100倍
B
C.不变
D.不能确定
┌
A
C
4.已知∠A,∠B为锐角
(1)若∠A=∠B,则sinA = sinB;
(2)若sinA=sinB,则∠A = ∠B.
水平宽度
梯子在上升变陡的过程中，倾斜角，铅直高度与梯子的比,水平宽度与梯子的比,铅直高度与水平宽度的比,都发生了什么变化？
铅直高度
水平宽度
梯子越陡——倾斜角＿越＿＿大＿＿
倾斜角越大——铅直高度与梯子的比＿越＿＿大＿＿倾斜角越大——水平宽度与梯子的比＿越＿＿小＿＿
倾斜角越大——铅直高度与水平宽度