11年高考数学总复习教学(期望与方差)2

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高中数学——期望方差学习

一、基本知识概要：1、期望的定义：则称Eξ=x1P1+x2P2+x3P3+…+x n P n+…为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望。

它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。

若η=aξ+b(a、b为常数)，则η也是随机变量，且Eη=aEξ+b。

E(c)= c特别地，若ξ～B(n，P)，则Eξ=n P2、方差、标准差定义：Dξ=(x1-Eξ)2·P1+(x2-Eξ)2·P2+…+(x n-Eξ)2·P n+…称为随机变量ξ的方差。

Dξ的算术平方根ξD=δξ叫做随机变量的标准差。

随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。

且有D(aξ+b)=a2Dξ,可以证明Dξ=Eξ2- (Eξ)2。

若ξ～B(n，p)，则Dξ=npq，其中q=1-p.3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。

考点一期望与方差例1：设随机变量ξ具有分布P(ξ＝k)＝15，k＝1,2,3,4,5，求E(ξ＋2)2，(21)Dξ-，(1)σξ-．例2：有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指数其中ξ和η分别表示甲、乙两建材厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下，比较甲、乙两建材厂材料哪一种稳定性较好．考点二离散型随机变量的分布、期望与方差例3：如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落到A或B或C。

已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的。

某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为1，2，3等奖。

（Ⅰ）已知获得1，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，90%。

记随机变量ξ为获得k（k=1，2，3）等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望Eξ；（Ⅱ）若有3人次（投入1球为1人次）参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求P(η=2).2、某同学参加3门课程的考试。

高考数学复习点拨期望与方差中的最值问题

1 / 1 期望与方差中的最值问题期望与方差中的最值问题，主要与函数、不等式等知识相联系，因此在解答时，要善于把有关期望与方差的最值问题转化为相关的函数、不等式等知识的最值问题进行求解.解答此类最值问题的途径主要是：①利用均值不等式；②利用二次函数的最值；③利用函数的单调性.下面举例说明.例1 设一次试验成功的概率为p ，进行100次重复试验，当p =________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________.解析：224p q n D npq n ξ+⎛⎫== ⎪⎝⎭≤，等号在12p q ==时成立，此时，25D ξ=，5σξ=．例2 （1）如果1~203B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求使()P k ξ=取最大值的k 的值．（2）一般地，如果~()B n p ξ，，其中01p <<，讨论当k 由0增加到n 时，()P k ξ=的变化情况，k 取什么值时，()P k ξ=取得最大值？解：（1）设1~203B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，考查不等式1201120202012(1)201331()121233k k k k k k C P k k P k k C ξξ+--+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+-⎝⎭⎝⎭==⨯=+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，得6k ≤，所以当6k ≤时，(1)()P k P k ξξ=+=≥；当6k >时，(1)()P k P k ξξ=+<=．其中当6k =时，(1)()P k P k ξξ=+==，所以当6ξ=，7时，()P k ξ=取最大值．（2）一般地，如果~()B n p ξ，，其中01p <<，考查不等式(1)1()P k P k ξξ=+=≥，如果111(1)1()1k k n k n k k n k n C p q P k n k p P k C p q k qξξ++---=+-==⨯=+≥，得()(1)p n k q k -+≥，所以(1)1k np q n p -=+-≤． ①如果(1)n p +是正整数，那么(1)1n p +-也是正整数，此时，可以使(1)1k n p =+-，1(1)k n p +=+，且(1)()P k P k ξξ=+==，即当k 取(1)n p +或(1)1n p +-时()P k ξ=取最大值．②如果(1)n p +不是正整数，那么不等式(1)1()P k P k ξξ=+=≥不可能取等号．所以，对任何k ，(1)()P k P k ξξ=+≠=，所以，当1(1)k n p +<+的最大整数为[(1)]n p +·，∴当[(1)]k n p =+时，()P k ξ=取得最大值．。

高考数学离散型随机变量的期望及方差解答题

高考数学离散型随机变量的期望与方差解答题考点预测和题型解析在高考中，离散型随机变量的期望与方差试题的出题背景大多数源于课本上，有时也依赖于历年的高考真题、资料中的典型题例为背景，涉及主要问题有：产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞赛，研究性问题、旅游，交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、信息，投资，路线等问题。

属于基础题或中档题的层面。

高考中一定要尽量拿满分。

● 考题预测离散型随机变量的期望与方差涉及到的试题背景有：产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞赛，研究性问题、旅游，交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、信息，投资，路线等问题。

从近几年高考试题看，离散型随机变量的期望与方差问题还综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识主要考查能力。

● 复习建议1．学习概率与统计的关键是弄清分布列,期望和方差在统计中的作用. 离散型随机变量的分布列的作用是：（1）可以了解随机变量的所有可能取值；（2）可以了解随机变量的所有取值的概率；（3）可以计算随机变量在某一范围内取值的概率。

2．离散型随机变量的分布列从整体上全面描述了随机变量的统计规律。

3．离散型随机变量的数学期望刻画的是离散型随机变量所取的平均值，是描述随机变量集中趋势的一个特征数。

4．离散型随机变量的方差表示了离散型随机变量所取的值相对于期望的集中与分散程度。

● 知识点回顾1．离散型随机变量的期望：（1）若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 ++++=n n p x p x p x E 2211ξ为ξ的数学期望（平均值、均值）简称为期望。

① 期望反映了离散型随机变量的平均水平。

② ξE 是一个实数，由ξ的分布列唯一确定。

③ 随机变量ξ是可变的，可取不同值。

④ ξE 是不变的，它描述ξ取值的平均状态。

（2）期望的性质：① C C E =)(为常数）C ( ② b aE b a E +=+ξξ)( 为常数）b a ,(③ 若),(~p n B ξ，则np E =ξ （二项分布）④ 若),(~p k g ξ，则pE 1=ξ （几何分布） 2．离散型随机变量的方差（1）离散型随机变量的方差：设离散型随机变量ξ可能取的值为,,,,,21 n x x x 且这些值的概率分别为 ,,,,,321n p p p p则称 +-+-=222121)()(p E x p E x D εεε…+-+n n p E x 2)(ε…；为ξ 的方差。

高三数学新课标总复习期望和方差、正态分布

ξ==g，k k P)(注意：常见分布列的期望和方差，不必写出分布列，直接用公式计算即可且使目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 达到最小的x ，y .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上截距z2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆．【新方法、新技巧练习与巩固】一、选择题1．设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人三次上班途中遇红灯的次数的期望为( )A ．0.4B ．1.2C ．0.43D ．0.62．(2015·太原高三期中)已知随机变量X 的分布列为X 1 2 3 P0.20.40.4则E (6X ＋8)的值为( ) A ．13.2 B ．21.2 C ．20.2D ．22.23．如果X ～B (20，p )，当p ＝12且P (X ＝k )取得最大值时，k 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．114．设随机变量X 服从正态分布N (3,4)，若P (X <2a －3)＝P (X >a ＋2)，则a ＝( ) A ．3 B.53 C ．5D.73 5．(2015·芜湖一模)若X ～B (n ，p )，且E (X )＝6，D (X )＝3，则P (X ＝1)的值为( )A．3×2－2B．2－4C．3×2－10D．2－86．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100 B．200C．300 D．400二、填空题7．(2015·温州十校联考)一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X，则X的数学期望是______．8．若随机变量X的概率分布密度函数是φμ，σ(x)＝122π·e－(x＋2)28(x∈R)，则E(2X－1)＝________.9．已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，则任意取出的3件产品中次品数的均值为______．10．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为23，则此人得分的数学期望与方差分别为______________．三、解答题11．(2015·忻州联考)现有一游戏装置如图，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物等可能地向左、右两边落下．游戏规则为：若小球最终落入A槽，得10张奖票；若落入B槽，得5张奖票；若落入C槽，得重投一次的机会，但投球的总次数不超过3次．(1)求投球一次，小球落入B槽的概率；(2)设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．12．(2015·昆明模拟)气象部门提供了某地区今年六月份(30天)的日最高气温的统计表如下：日最高气温t(单位：℃)t≤2222＜t≤2828＜t≤32t＞32天数612Y Z由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32 ℃的频率为0.9.发电机最多可运行台数 1 2 3若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？3．某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N (168,16)．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm 和184 cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160,164)，第2组[164,168)，…，第6组[180,184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况； (2)求这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人数；(3)在这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人中任意抽取2人，将该2人中身高排名(从高到低)在全市前130名的人数记为X ，求X 的数学期望．参考数据：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6， P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4， P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.答案一、选择题1．解析：选B ∵途中遇红灯的次数X 服从二项分布，即X ～B (3,0.4)，∴E (X )＝3×0.4＝1.2.2．解析：选B 由随机变量的期望公式可得E (X )＝1×0.2＋2×0.4＋3×0.4＝2.2，E (6X ＋8)＝6E (X )＋8＝6×2.2＋8＝21.2.3．解析：选C 当p ＝12时，P (X ＝k )＝C k 20⎝⎛⎭⎫12k ·⎝⎛⎭⎫1220－k ＝C k 20·⎝⎛⎭⎫1220，显然当k ＝10时，P (X ＝k )取得最大值．。

高中数学教案——离散型随机变量的期望与方差第二课时

课题：1．2离散型随机变量的期望与方差（二）教学目的：1了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差．2.了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差教学重点：离散型随机变量的方差、标准差教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题授课类型：新授课课时安排：2课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据1x ，2x ，…，n x 中，各数据与它们的平均值x 得差的平方分别是21)(x x -，22)(x x -，…，2)(x x n -，那么[12nS =21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n - 叫做这组数据的方差教学过程：一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一5.6. i 127.二项分布:ξ～B (n ，p )，并记k n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．8.几何分布： g (k ，p )= 1k qp -，其中k ＝0,1,2,…， p q -=1．9.则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望．10. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平11 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 12. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)(13.若ξB （n,p ），则E ξ=np二、讲解新课：1. 方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么, ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．2. 标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．3.方差的性质：（1）ξξD a b a D 2)(=+；（2）22)(ξξξE E D -=；（3）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p ) 4.其它：⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛三、讲解范例：例1．设随机变量ξ的分布列为求D ξ 解：（略）121-n D 21n E 2=ξ+=ξ 例2．已知离散型随机变量1ξ的概率分布为离散型随机变量2ξ的概率分布为求这两个随机变量期望、均方差与标准差解：47177127111=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ； 471)47(71)42(71)41(2221=⨯-+⋅⋅⋅+⨯-+⨯-=ξD ；11==ξσξD 4713.4718.3717.32=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ； 2ξD =0.04, 2.022==ξσξD .点评：本题中的1ξ和2ξ都以相等的概率取各个不同的值，但1ξ的取值较为分散，2ξ的取值较为集中．421==ξξE E ，41=ξD ，04.02=ξD ，方差比较清楚地指出了2ξ比1ξ取值更集中．1σξ＝2，2σξ=0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差例3. 甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平解：180.290.6100.29E ξ=⨯+⨯+⨯=221(89)0.2(99)0.6D ξ=-⨯+-⨯+（10-9）4.02.02=⨯；同理有.0,922==ξξD E由上可知，21ξξE E =，1D D ξξ<所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些．点评：本题中，1ξ和2ξ所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同．21ξξE E ==9，这时就通过1ξD =0.4和2ξD =0.8来比较1ξ和2ξ的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况例4．A 、B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：A 机床B 机床问哪一台机床加工质量较好解： E ξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,E ξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.它们的期望相同，再比较它们的方差D ξ1=（0-0.44）2×0.7+（1-0.44）2×0.2+（2-0.44）2×0.06+（3-0.44）2×0.04=0.6064,D ξ2=（0-0.44）2×0.8+（1-0.44）2×0.06+（2-0.44）2 ×0.04+（3-0.44）2×0.10=0.9264.∴D ξ1< D ξ2 故A 机床加工较稳定、质量较好.四、课堂练习：1 .已知()~,,8, 1.6B n p E D ξξξ==，则,n p 的值分别是（）A ．1000.08和；B ．200.4和；C ．100.2和；D ．100.8和答案：1.D2. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件．解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则P （ξ=0）=43129= 当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则 P （ξ=1）=449119123=⨯ 当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则 P （ξ=2）=2209109112123=⨯⨯ 当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P （ξ=3）=220199101112123=⨯⨯⨯ 所以，E ξ=10322013220924491430=⨯+⨯+⨯+⨯ 3. 有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求E ξ，D ξ分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξB （200，1%），从而可用公式：E ξ=np ，D ξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξB （200，1%）因为E ξ=np ，D ξ=npq ，这里n=200，p=1%，q=99%，所以，E ξ=200×1%=2,D ξ=200×1%×99%=1.984. 设事件A 发生的概率为p ，证明事件A 在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4分析：这是一道纯数学问题．要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列．求出方差D ξ=P(1-P)后，我们知道D ξ是关于P(P ≥0)的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论证明：因为ξ所有可能取的值为0，1且P （ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p,所以，E ξ=0×(1-p)+1×p=p则 D ξ=（0-p ）2×(1-p)+(1-p) 2×p=p(1-p) 412)p 1(p 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤ 5. 有A 、B 两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：其中ξA 、ξB 分别表示A 、B 两种钢筋的抗拉强度．在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A 、B 两种钢筋哪一种质量较好分析：两个随机变量ξA 和ξB &都以相同的概率0．1，0．2，0．4，0．1，0．2取5个不同的数值．ξA 取较为集中的数值110，120，125，130，135；ξB 取较为分散的数值100，115，125，130，145．直观上看，猜想A 种钢筋质量较好．但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性解：先比较ξA 与ξB 的期望值，因为E ξA =110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,E ξB =100×0.1+115×0.2+125×0.4十130×0.1+145×0.2=125.所以，它们的期望相同．再比较它们的方差．因为D ξA =(110-125)2×0.1+(120-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(135-125) 2×0.2=50， D ξB =(100-125)2×0.1+(110-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(145-125) 2×0.2=165.所以，D ξA < D ξB .因此，A 种钢筋质量较好6. 在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？分析：这是同学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等．一般来说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题．本题的“不考虑获利”的意思是指：所收资金全部用于奖品方面的费用解：设一张彩票中奖额为随机变量ξ，显然ξ所有可能取的值为0，5，25，100依题2.02000100500255054000E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ 答：一张彩票的合理价格是0．2元．五、小结：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ；④根据方差、标准差的定义求出ξD 、σξ.若ξ～B (n ，p )，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和 2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要六、课后作业：1.设ξ～B(n 、p)且E ξ=12 D ξ=4，求n 、p解：由二次分布的期望与方差性质可知E ξ=np D ξ= np （1－p ） ∴⎩⎨⎧=-=4)1(12p np np ∴⎪⎩⎪⎨⎧==3218p n 2.已知随机变量ξ服从二项分布即ξ~B(6、31)求b (2；6，31) 解：p(ξ=2)=c 62(31)2(32)4 3.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ和η，已知ξ和 η的分布列如下：（注得分越大，水平越高）试分析甲、乙技术状况解：由0.1+0.6+a+1⇒a=0.3 0.3+0.3+b=1⇒a=0.4∴Eξ=2.3 , Eη=2.0Dξ=0.81 , Dη=0.6七、板书设计（略）八、课后记：。

高考数学专题--概率及期望与方差

高考数学专题--概率及期望与方差高考数学专题：概率、期望和方差本专题旨在建立知识网络，明确内在联系。

在浙江新高考中，该专题涉及面广，往往以生活中的热点问题为依托，考查方式十分灵活，背景容易创新。

基于上述分析，本专题按照“古典概型”和“随机变量及其分布”两个方面分类进行引导，以强化突破。

突破点1：古典概型核心知识提炼：1.古典概型问题的求解技巧：1) 直接列举：对于一些常见的古典概型问题，可以将事件发生的所有结果逐一列举出来，然后进行求解。

2) 画树状图：对于一些特殊的古典概型问题，直接列举可能会出错。

通过画树状图，列举过程更具有直观性和条理性，可以避免重复和遗漏。

3) 逆向思维：对于较复杂的古典概型问题，如果直接求解比较困难，可以利用逆向思维，先求其对立事件的概率，然后得到所求事件的概率。

4) 活用对称：对于一些具有一定对称性的古典概型问题，通过列举基本事件个数结合古典概型的概率公式来处理反而比较复杂，利用对称思维可以快速解决。

2.求概率的两种常用方法：1) 将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率。

2) 如果一个较复杂的事件的对立面的分类较少，可以考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”。

它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率。

高考真题回访：1.(浙江高考) 从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是多少？解析：所取的3个球中至少有1个白球的对立事件是“所取的3个球都不是白球”，因此所求的概率是P=1-3/10=7/10.2.(浙江高考) 在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖。

甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是多少？解析：记“两人都中奖”为事件A，设中一、二等奖及不中奖分别记为1、2、0.甲、乙抽奖结果有(1,2)、(1,0)、(2,1)、(2,0)、(0,1)、(0,2)，共6种。

其中甲、乙都中奖有(1,2)、(2,1)两种，所以P(A)=2/6=1/3.3.(浙江高考) 从3男3女共6名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等），这2名都是女同学的概率等于多少？解析：女同学有3名，所以从中选出2名的组合数是C(3,2)=3.因此，这2名都是女同学的概率是3/15=1/5.生k次的概率为二项分布概率公式：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，C(n,k)表示从n个元素中取k个元素的组合数，p 表示单次试验中事件A发生的概率，(1-p)表示事件A不发生的概率，n表示独立重复试验的次数，X表示事件A在n次试验中发生的次数。

高考数学一轮复习第11章计数原理和概率第9课时随机变量的期望与方差课件理

第9课时随机变量的期望与方差
12/11/2021
…2018 考纲下载… 1．了解离散型随机变量的数学期望、方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求它的期望、方差． 2．离散型随机变量的期望与方差在现实生活中有着重要意义，因此求期望、方差是应用题的命题方向．请注意期望与方差是随机变量最重要的两个特征数，它们所表示的意义具有很大的实用价值，是高考的热点之一．高考的主要题型有两种：一是求期望值和方差；二是有关的应用题．
A．平均数为 19，方差为 4 B．平均数为 17，方差为 3 C．平均数为 17，方差为 8 D．平均数为 19，方差为 8 【解析】设 X＝x＋1，则 η＝2x－1＝2X－3，所 E(η)＝2E(X) －3＝17，D(η)＝4D(X)＝8. 【答案】 C
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(3)已知随机变量 X＋Y＝8，若 X～B(10，0.6)，则 E(Y)，D(Y)
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(3)一次英语测验由 50 道选择题构成，每道有 4 个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得 3 分，选错或不选均不得分，满分 150 分，某学生选对每一道题的概率为 0.7，求该生在这次测试中的成绩的均值与方差．
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【解析】 (1)E(X)＝x1p1＋x2p2＋x3p3＋…＋x6p6＝3.5， E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝10. D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(x6－E(X))2p6 ＝16[(1－3.5)2＋(2－3.5)2＋…＋(6－3.5)2] ＝17.5×16＝3152.
次数 X 的均值是( )
55
40
A. 6
B. 3
50 C. 3
D．10

期望值和方差的公式

期望值和方差的公式一、期望值概念：期望值是随机变量取值与其概率的加权平均，用来表示随机变量的平均取值。

1.离散型随机变量的期望值：设X是一个离散型随机变量，其取值为x1,x2,...,xn，对应的概率分别为p1,p2,...,pn，则随机变量X的期望值E(X)定义为：E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn2.连续型随机变量的期望值：设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则随机变量X 的期望值E(X)定义为：E(X) = ∫xf(x)dx性质：1.期望值的线性性质：对于任意的常数a和b，以及随机变量X和Y，有：E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)2.期望值的保序性：如果随机变量X的取值总是大于等于随机变量Y的取值，则有：E(X)≥E(Y)二、方差概念：方差是用来度量随机变量与其期望值之间的偏离程度或波动程度。

1.离散型随机变量的方差：设X是一个离散型随机变量，其取值为x1,x2,...,xn，对应的概率分别为p1,p2,...,pn，则随机变量X的方差Var(X)定义为：Var(X) = E((X - E(X))^2) = (x1 - E(X))^2*p1 + (x2 -E(X))^2*p2 + ... + (xn - E(X))^2*pn2.连续型随机变量的方差：设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则随机变量X 的方差Var(X)定义为：Var(X) = E((X - E(X))^2) = ∫(x - E(X))^2f(x)dx性质：1.方差的线性性质：对于任意的常数a和b，以及随机变量X和Y，有：Var(aX + bY) = a^2Var(X) + b^2Var(Y)2.方差的非负性：对于任意的随机变量X，有：Var(X) ≥ 03.方差的可加性：对于独立随机变量X和Y，有：Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)三、期望值和方差的计算公式1.对离散型随机变量的期望值和方差的计算公式：（1）期望值：E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn（2）方差：Var(X) = (x1 - E(X))^2*p1 + (x2 - E(X))^2*p2 + ... + (xn -E(X))^2*pn2.对连续型随机变量的期望值和方差的计算公式：（1）期望值：E(X) = ∫xf(x)dx（2）方差：Var(X) = ∫(x - E(X))^2f(x)dx总结：期望值和方差是概率论中重要的概念，用于描述随机变量的分布特征。

期望方差完美知识点试题教案

期望方差完美知识点试题教案一、教学目标1. 让学生理解期望和方差的定义及性质。

2. 培养学生运用期望和方差解决实际问题的能力。

3. 引导学生掌握期望和方差的计算方法。

二、教学内容1. 期望的定义及性质2. 方差的定义及性质3. 期望和方差的计算方法4. 期望和方差在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：期望和方差的定义、性质及计算方法。

2. 难点：期望和方差在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解期望和方差的定义、性质及计算方法。

2. 利用案例分析，引导学生运用期望和方差解决实际问题。

3. 开展小组讨论，培养学生合作学习的能力。

五、教学过程1. 导入新课：通过提问方式引导学生回顾离散型随机变量的期望和方差的概念。

2. 讲解期望的定义及性质：结合实例讲解期望的定义，阐述期望的性质。

3. 讲解方差的定义及性质：结合实例讲解方差的定义，阐述方差的性质。

4. 讲解期望和方差的计算方法：引导学生掌握期望和方差的计算方法。

5. 案例分析：选取实际问题，引导学生运用期望和方差进行分析。

6. 小组讨论：让学生分组讨论，分享各自的应用实例和心得。

8. 布置作业：设计具有针对性的习题，巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对期望和方差概念的理解程度。

2. 作业批改：检查学生对期望和方差的计算方法的掌握情况。

3. 案例分析报告：评估学生在实际问题中运用期望和方差的能力。

七、教学拓展1. 介绍期望和方差在其它领域的应用，如金融、统计等。

2. 引导学生探讨期望和方差在实际问题中的局限性。

八、教学反思2. 根据学生的反馈，调整教学方法和策略。

九、课后作业a. X = 1 + 2 + 3 + + 10b. X = 2 ×3 ×4 ××102. 习题二：某班级有50名学生，已知身高服从正态分布，平均身高为170cm，标准差为5cm。

求该班级身高的期望和方差。

2011年高考数学总复习提能拔高限时训练：总体期望值和方差的估计(练习详细答案)大纲人教版

提能拔高限时训练54 总体期望值和方差的估计一、选择题 1．期中考试后,班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M.如果把M 当成一个同学的分数,与原来的40个分数一起,算出这41个分数的平均值为N,那么NM为（） A ．4140 B ．1 C ．4041 D ．2 解析：设40个人的数学总分为z ＝40M,且z ＝41N －M. 由40M ＝41N －M,得M ＝N.故选B ．答案：B 2．一组数据中的每一个数据都减去80,得一组新数据,若这组数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来一组数据的平均数和方差分别是（）A ．81.2,4.4B ．78.8,4.4C ．81.2,84.4D ．78.8,75.6解析：由平均数与方差公式：n x x x x n +++= 21,s 2＝nx x x x x x n 22221)()()(-++-+- ,知在每一个数都减去80后,平均数也减去80,而方差不变,所以答案为A ．答案：A3．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是（）A ．70,25B ．70,50C ．70,1.04D ．65,25 解析：易得x 没有改变,x ＝70, 而75]48)10050[(48122482222212=-++++++=x x x x s , ]48)7080[(481'22482222212x x x x s -++++++=50257548200175]48)3001150012484875[(48122=-=-=-+-+⨯x x . 答案：B4．有一笔统计资料,共有11个数据如下（不完全以大小排列）：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11,x,已知这组数据的平均数为6,则这组数据的方差为（）A ．6B ．6C ．66D ．6.5解析：由1111987655442x++++++++++＝6,得x ＝5.∴s 2＝111（42＋22＋22＋12＋12＋12＋22＋32＋52＋12）＝1166＝6.故选A ．答案：A5．设有两组数据x 1,x 2,…,x n 与y 1,y 2,…,y n ,它们的平均数分别是x 和y ,则新的一组数据2x 1－3y 1＋1,2x 2－3y 2＋1,…,2x n －3y n ＋1的平均数是（）A ．2x －3yB ．2x －3y ＋1C ．4x －9yD ．4x －9y ＋1 解析：∵y ny y y x n x x x nn =+++=+++ 2121,,∴n y x y x y x n n )132()132()132(2211+-+++++++1321)(3)(22121+-=++++-+++=y x ny y y n x x x n n .答案：B6．某商贩有600千克苹果出售,有以下两个出售方案：①分成甲级200千克,每千克售价2.40元,乙级400千克,每千克售价1.20元; ②分成甲级400千克,每千克售价2.00元,乙级200千克,每千克售价1.00元. 两种出售方案的平均价格分别为1x 和2x ,则（）A ．1x ＞2xB ．1x ＝2xC ．1x ＜2xD ．1x 与2x 的大小不确定解析：1x ＝6001（200×2.40＋400×1.20）＝1.60,2x ＝6001（400×2.00＋200×1.00）≈1.67,∴x 1＜x 2. 答案：C 7．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩,统计如下表,则这100人成绩的标准差为（）分数 5 4 3 2 1 人数 20 10 30 30 10 A ．3 B ．5102 C ．3 D ．58解析：这100人成绩的平均数为3100101302303104205=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x ,方差为1001［（5－3）2×20＋（4－3）2×10＋（3－3）2×30＋（2－3）2×30＋（1－3）2×10］＝58, ∴标准差为510258=. 答案：B8．已知一组数据a 1,a 2,a 3,a 4的平均数是1,且a 12＋a 22＋a 32＋a 42＝20,则这组数据的方差为（）A ．1B ．5C ．4D ．20 解析：由1＝44321a a a a +++,得s 2＝41［（a 1－1）2＋（a 2－1）2＋（a 3－1）2＋（a 4－1）2］＝41［（a 12＋a 22＋a 32＋a 42）－2（a 1＋a 2＋a 3＋a 4）＋4］＝41×（20－8＋4）＝4. 答案：C9．已知正数a 1,a 2,a 3,a 4,a 5的平均数是x 2,将这些数据都减去x 后得到的新数据的平均数是6,则x 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．25 解析：∵x 2＝554321a a a a a ++++,x x x a x a x a x a x a -=-+-+-+-+-=2543215)()()()()(6.∴x＝3或x ＝－2（舍去）. 答案：B10．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次,三人的测试成绩如下表：甲的成绩环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5乙的成绩环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6丙的成绩环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4 s 1、s 2、s 3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有（） A ．s 3＞s 1＞s 2 B ．s 2＞s 1＞s 3 C ．s 1＞s 2＞s 3 D ．s 2＞s 3＞s 1 解析：∵5.8205)10987(=⨯+++=甲x ,25.120])5.810()5.89()5.88()5.87[(5222221=-+-+-+-⨯=s ;5.8204)98(6)107(=⨯++⨯+=乙x ,45.120])5.89()5.88(4)5.810()5.87[(6222222=-+-⨯+-+-⨯=s ;5.8206)98(4)107(=⨯++⨯+=丙x ,05.120])5.89()5.88(6)5.810()5.87[(4222223=-+-⨯+-+-⨯=s ,由s 22＞s 12＞s 32,得s 2＞s 1＞s 3. 答案：B 二、填空题11．电池厂从某日生产的电池中抽取10个进行寿命测试,得到数据如下（小时）：30,35,25,25,30,34,26,25,29,21,则该电池的平均寿命估计为______________. 解析：281028010213530==+++=x .答案：28小时12．下图为80辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图,则时速在［50,60）的汽车大约有______________辆.解析：本题为已知频率分布直方图求频数的问题,时速在［50,60）的汽车大约有80×0.03×10＝24（辆）. 答案：2413．已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总体的中位数为10.5,若要使该总体的方差最小,则a,b 的取值分别是____________. 解析：∵总体的个体数是10,且中位数是10.5, ∴2ba +＝10.5, 即a ＋b ＝21.∴总体的平均数是10.要使总体的方差最小,只要（a －10）2＋（b －10）2最小,即（a －10）2＋（b －10）2≥21)220(22=-+b a , 当且仅当a ＝b 时取“＝”.∴a＝b ＝10.5. 答案：10.5,10.514．为了科学地比较考试的成绩,有些选择性考试常常会将考试分数转化为标准分,转化关系式为sxx z -=（其中x 是某位学生的考试分数,x 是该次考试的平均分,s 是该次考试的标准差,z 称为这位学生的标准分）.转化为标准分后可能出现小数和负数,因此,又常常再将z 分数作线性变换转化成其他分数.例如某次学生选拔考试采用的是T 分数,线性变换公式是T ＝40z ＋60.已知在这次考试中某位考生的考试分数是85分,这次考试的平均分是70分,标准差是25,则该考生的T 分数为______. 解析：由已知53257085=-=z , ∴40×53＋60＝24＋60＝84,即该考生成绩的T 分数为84. 答案：84 三、解答题15．甲、乙两厂四个季度上缴利税的情况如下表：季度一二三四甲厂 70 50 80 40 乙厂 55 65 55 65试分析两厂上缴利税的情况.解：甲、乙两厂上缴利税的季平均值分别为41=甲x ×（70＋50＋80＋40）＝60, 41=乙x ×（55＋65＋55＋65）＝60;甲、乙两厂上缴利税的方差为s 甲2＝41×［（70－60）2＋（50－60）2＋（80－60）2＋（40－60）2］＝250, s 乙2＝41×［（55－60）2＋（65－60）2＋（55－60）2＋（65－60）2］＝25.经上述结果分析，两厂上缴利税的季平均值相同，但甲厂比乙厂波动大，导致它们生产出现的差异大，乙厂不同季节的缴税量比较接近平均值，生产稳定，而甲厂不稳定. 16．假定下述数据是甲、乙两个供货商的交货天数：甲：10,9,10,10,11,11,9,11,10,10; 乙：8,10,14,7,10,11,10,8,15,12.估计两个供货商交货情况,并求哪个供货商交货时间短一些,哪个供货商交货时间较具有一致性与可靠性. 解：101=甲x ×（10＋9＋10＋10＋11＋11＋9＋11＋10＋10）＝10.1, s 甲2＝101×［（10－10.1）2＋（9－10.1）2＋（10－10.1）2＋（10－10.1）2＋（11－10.1）2＋（11－10.1）2＋（9－10.1）2＋（11－10.1）2＋（10－10.1）2＋（10－10.1）2］＝0.49. 用类似的方法求出乙x ＝10.5,s 乙2＝6.05.显然x 乙＞x 甲,s 乙2＞s 甲2,因此,甲供货商交货时间短一些,甲供货商交货时间较具有一致性与可靠性. 教学参考例题志鸿优化系列丛书【例1】某班40人随机分成两组,第一组18人,第二组22人.两组学生在某次数学检测中的成绩如下表：分组平均成绩标准差第一组 90 6 第二组 80 4求全班的平均成绩及标准差.解：设全班的平均成绩为x,全班成绩的方差为s 2,则 s 12＝181［（x 12＋x 22＋…＋x 182）－18×902］＝36, s 22＝221［（x 192＋x 202＋…＋x 402）－22×802］＝16,∴x ＝401（90×18＋80×22）＝84.5,s 2＝401［（x 12＋x 22＋…＋x 182）＋（x 192＋x 202＋…＋x 402）－40·x 2］＝401［18×（36＋8 100）＋22×（16＋6 400）－40×41692］＝401×1 990＝49.75, ∴s＝2199≈7.05. 【例2】某一组数据：x 1,x 2,…,x n （x 1＜x 2＜…＜x n ）的算术平均值为10.若去掉其中最大的一个,余下数据的算术平均值为9.若去掉其中最小的一个,余下数据的算术平均值为11. （1）求出第一个数取x 1关于n 的表达式及第n 个数x n 关于n 的表达式; （2）若x 1,x 2,…,x n 都是正整数.试求第n 个数x n 的最大值,并举出满足题目要求且x n 取到最大值的一组数据.解：（1）依条件得⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=+++=+++-③),1(11②),1(9①,103212121n x x x n x x x n x x x n n n ①－②得x n ＝n ＋9.①－③得x 1＝11－n.（2）由于x 1是正整数,故x 1＝11－n ≥1⇒1≤n ≤10, 故x n ＝n ＋9≤19;当n ＝10时,x 1＝1,x 10＝19,x 2＋x 3＋…＋x 9＝80.此时x 2＝6,x 3＝7,x 4＝8,x 5＝9,x 6＝11,x 7＝12,x 8＝13,x 9＝14.。

期望方差(完美知识点试题)教案

教师姓名学生姓名学管师学科数学年级上课时间月日__ : -- _ _ : 课题教学目标教学重难点教学过程1．离散型随机变量及其分布列⑴离散型随机变量如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母,,X Y表示．如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．⑵离散型随机变量的分布列将离散型随机变量X所有可能的取值ix与该取值对应的概率ip(1,2,,)i n=列表表示：…………我们称这个表为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．2．几类典型的随机分布⑴两点分布如果随机变量X的分布列为其中01p<<，1q p=-，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布．二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X为任意抽取一件产品得到的结果，则X的分布列满足二点分布．两点分布又称01-分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布．⑵超几何分布一般地，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件()n N≤，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为C C()Cm n mM N MnNP X m--==(0m l≤≤，l为n和M中较小的一个)．我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式求出X取不同值时的概率()P X m=，从而列出X的分布列．⑶二项分布1．独立重复试验知识内容数学期望如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()C (1)k k n kn n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =． 2．二项分布若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n kn P X k p q-==，其中0,1,2,,k n =．于是得到X 的分布列… ………由于表中的第二行恰好是二项展开式001110()C C C C n n n kk n k n n n n n n q p p q p qp q p q --+=++++各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作~(,)X B n p ．二项分布的均值与方差：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．⑷正态分布1．概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为X 的概率密度曲线．曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．正态变量概率密度曲线的函数表达式为22()21()2πx f x eμσσ--=⋅，x ∈R ，其中μ，σ是参数，且0σ>，μ-∞<<+∞．式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ．正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布． ⑶重要结论：①正态变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%．②正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．⑷若2~()N ξμσ，，()f x 为其概率密度函数，则称()()()xF x P x f t dt ξ-∞==⎰≤为概率分布函数，特别的，2~(01)N ξμσ-，，称221()2t x x e dt φ--∞=⎰π为标准正态分布函数． ()()x P x μξφσ-<=．标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．3．离散型随机变量的期望与方差1．离散型随机变量的数学期望定义：一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能的取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，则1122()n n E x x p x p x p =+++，叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望（简称期望）．离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平． 2．离散型随机变量的方差一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，则2221122()(())(())(())n n D X x E x p x E x p x E x p =-+-++-叫做这个离散型随机变量X的方差．离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．()D X 的算术平方根()D x 叫做离散型随机变量X 的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．3．X 为随机变量，a b ，为常数，则2()()()()E aX b aE X b D aX b a D X +=++=，； 4．典型分布的期望与方差：⑴二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np ．⑵二项分布：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．⑶超几何分布：若离散型随机变量X 服从参数为N M n ，，的超几何分布，则()nME X N=，2()()()(1)n N n N M M D X N N --=-．4．事件的独立性如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，即(|)()P B A P B =，这时，我们称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．如果事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，那么这n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯，并且上式中任意多个事件i A 换成其对立事件后等式仍成立．5．条件概率对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“(|)P B A ”来表示．把由事件A 与B 的交（或积），记做D A B =（或D AB =）．【例1】投掷1枚骰子的点数为ξ，则ξ的数学期望为（）A ．3B ．3.5C ．4D ．4.5【例2】同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（）A ．20B ．25C ．30D ．40【例3】从123456，，，，，这6个数中任取两个，则两数之积的数学期望为．【例4】一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中率为0.6，现共有4颗子弹，命中后尚余子弹数目ξ的期望为（）A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4【例5】一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c （a 、b 、()01c ∈，），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则ab 的最大典例分析值为（）A ．148B ．124C ．112D ．16【例6】甲乙两人独立解出某一道数学题的概率依次为1212()P P P P >，，已知该题被甲或乙解出的概率为0.8，甲乙两人同时解出该题的概率为0.3，求：⑴12P P ，； ⑵解出该题的人数X 的分布列及EX ．【例7】甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响．求签约人数ξ的数学期望．【例8】某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：周销售量 2 3 4 频数205030⑴根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；⑵已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望．【例9】某项考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率均为23，科目B 每次考试成绩合格的概率均为12．假设各次考试成绩合格与否均互不影响．在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望E ξ．【例10】某同学如图所示的圆形靶投掷飞镖，飞镖落在靶外（环数记为0）的概率为0.1，飞镖落在靶内的各个点是椭机的．已知圆形靶中三个圆为同心圆，半径分别为30cm 、20cm 、10cm ，飞镖落在不同区域的环数如图中标示．设这位同学投掷一次一次得到的环数这个随机变量X ，求X 的分布列及数学期望．【例11】某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45、35、25，且各轮问题能否正确回答互不影响． ⑴ 求该选手被淘汰的概率；⑵ 该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．（注：本小题结果可用分数表示）【例12】在某次测试中，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为0.4，0.5，0.8，在测试过程中，甲、乙、丙能否达标彼此间不受影响．⑴求甲、乙、丙三人均达标的概率；⑵求甲、乙、丙三人中至少一人达标的概率；⑶设X 表示测试结束后达标人数与没达标人数之差的绝对值，求X 的概率分布及数学期望EX ．【例13】在1，2，3，…，9这9个自然数中，任取3个数．⑴ 求这3个数中恰有1个是偶数的概率；⑵ 设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．【例14】甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为12，乙、丙面试合格的概率都是13，且面试是否合格互不影响．求：⑴ 至少有1人面试合格的概率；⑵ 签约人数X 的分布列和数学期望．【例15】某公司“咨询热线”电话共有8路外线，经长期统计发现，在8点到10点这段时间内，外线电话同时打入情况如下表所示：电话同时打入个数ξ12345678概率P0 0 ⑴若这段时间内，公司只安排了2位接线员（一个接线员一次只能接一个电话）． ①求至少一种电话不能一次接通的概率；②在一周五个工作日中，如果至少有三个工作日的这段时间（8点至10点）内至少一路电话不能一次接通，那么公司的形象将受到损害，现用该事件的概率表示公司形象的“损害度”，求上述情况下公司形象的“损害度”．⑵求一周五个工作日的这段时间（8点至10点）内，电话同时打入数ξ的期望．【例16】某先生居住在城镇的A 处，准备开车到单位B 处上班，若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率，如图．（例如：A C D →→算作两个路段：路段AC 发生堵车事件的概率为110，路段CD 发生堵车事件的概率为115）．记路线A C F B →→→中遇到堵车次数为随机变量X ，求X 的数学期望()E X ．【例17】如图所示，甲、乙两只小蚂蚁分别位于一个单位正方体的A 点和1C 点处，每只小蚂蚁都可以从每一个顶点处等可能地沿各条棱向每个方向移动，但不能按原路线返回．如：甲在A 时可沿AB ，AD ，1AA 三个方向移动，概率都是13，到达B 点时，可沿BC ，1BB 两个方向移动，概率都是12．已知小蚂蚁每秒钟移动的距离为1个单位．⑴如果甲、乙两只小蚂蚁都移动1秒，则它们所走的路线是异面直线的概率是多少？ ⑵若乙蚂蚁不动，甲蚂蚁移动3秒后，甲、乙两只小蚂蚁间的距离的期望值是多少？【例18】某地有A 、B 、C 、D 四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A 到过疫区．B 肯定是受A 感染的．对于C ，因为难以断定他是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是12．同样也假定D 受A 、B 和C 感染的概率都是13．在这种假定之下，B 、C 、D 中直接．．受A 感染的人数X 就是一个随机变量．写出X 的分布列（不要求写出计算过程），并求X 的均值（即数学期望）．【例19】 A B ，两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是123A A A ，，，B 队队员是123B B B ，，，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：对阵队员 A 队队员胜的概率 A 队队员负的概率1A 对1B2A 对2B 3A 对3B现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分．设A 队、B 队最后总分分别为ξη，．求ξη，的期望．【例20】连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i 次得到的点数为i a ，若存在正整数k ，使126k a a a ++=，则称k 为你的幸运数字．⑴求你的幸运数字为4的概率；⑵若1k =，则你的得分为6分；若2k =，则你的得分为4分；若3k =，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字则记0分．求得分ξ的分布列和数学期望．【例21】最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万块钱投资理财，提出了三种方案：第一种方案：将10万块钱全部用来买股票．据分析预测：投资股市一年可能获利40%，也可能亏损20%（只有这两种可能），且获利的概率为12；第二种方案：将10万块钱全部用来买基金．据分析预测：投资基金一年可能获利20%，也可能损失10%，也可能不赔不赚，且三种情况发生的概率分别为311555，，；第三种方案：将10万块钱全部存入银行一年，现在存款利率为4%，存款利息税率为5%．针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方法，并说明理由．【例22】某柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案二，预计当年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案，第二年与第一年相互独立．令(12)i i ξ=，表示方案i 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．⑴写出12ξξ，的分布列；⑵实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？⑶不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元；两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？【例23】某电器商由多年的经验发现本店出售的电冰箱的台数ξ是一个随机变量，它的分布列1()(1212)12P k ξξ===，，，，设每售出一台电冰箱，该台冰箱可获利300元，若售不出则囤积在仓库，每台需支付保管费100元/月，问：该电器商月初购进多少台电冰箱才能使自己的月平均收入最大？【例24】某鲜花店每天以每束2.5元购入新鲜玫瑰花并以每束5元的价格销售，店主根据以往的销售统计得到每天能以此价格售出的玫瑰花数ξ的分布列如表所示，若某天所购进的玫瑰花未售完，则当天未售出的玫瑰花将以每束1.5元的价格降价处理完毕．⑴若某天店主购入玫瑰花40束，试求该天其从玫瑰花销售中所获利润的期望；⑵店主每天玫瑰花的进货量x （3050x ≤≤，单位：束）为多少时，其有望从玫瑰花销售中获取最大利润?课后小结上课情况：课后需再巩固的内容：配合需求：家长_________________________________ 学管师_________________________________组长签字。

高中数学复习学案(第70讲)离散型随机变量的期望与方差人教版选修2

题目第一章概率与统计离散型随机变量的期望与方差选修Ⅱ高考要求了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差知识点归纳1平均数的计算方法（1）如果有n 个数据x 1，x 2，…，x n ，那么x =n1（x 1+x 2+…+x n ）叫做这n 个数据的平均数，x 读作“x 拔”（2）当一组数据x 1，x 2，…，x n 的各个数值较大时，可将各数据同时减去一个适当的常数a ，得到x 1′=x 1－a ，x 2′=x 2－a ，…，x n ′=x n －a ，那么，x =x ' +a（3）加权平均数：如果在n 个数据中，x 1出现f 1次，x 2出现f 2次，…，x k 出现f k 次（f 1+f 2+…+f k =n ），那么x =nf x f x f x kk +++ 22112方差的计算方法（1）对于一组数据x 1，x 2，…，x n ， s 2=n1［（x 1－x ）2+（x 2－x ）2+…+（x n －x ）2］叫做这组数据的方差，而s 叫做标准差（2）方差公式: s 2=n1［（x 12+x 22+…+x n 2）－n x 2］（3）当一组数据x 1，x 2，…，x n 中的各数较大时，可以将各数据减去一个适当的常数a ，得到x 1′=x 1－a ，x 2′=x 2－a ，…，x n ′=x n －a则s 2=n1［（x 1′2+x 2′2+…+x n ′2）－n 2x '］ 3数学期望: ξ x 1 x 2 … x n … Pp 1p 2…p n…则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望．4 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平5 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 6 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)( 7 方差:ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…．衡量数据波动大小的量方差越大数据波动越大 8 标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．9方差的性质：ξξD a b a D 2)(=+；22()()D E E ξξξ=- 10二项分布的期望：二项分布:ξ～B (n ，p )，并记kn k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．p q -=1ξ 01 … k … nPnn q p C 00111-n n q p C … kn k k n q p C - …q p C n n nE ξ=np, =ξD np (1-p )11几何分布的期望和方差：几何分布： g (k ，p )= 1k qp -，其中k ＝0,1,2,…， p q -=1．ξ 1 23…k … Pp pq2q p …1k q p -…112(1)3(1)(1)k E p p p p p kp p ξ-=⋅+-+-++-+令 112(1)(1)n n S p p p np p -=⋅+-++-(1)n p S -=11(1)(1)(1)(1)n n p p n p p np p --++--+-1(1)(1)(1)(1)n n n n S p S p p p p p np p ---=+-++---1(1)(1)1(1)nn n p pS p np p p --=⋅---- 1(1)(1)n n p np p =---- 1lim n n E S p ξ→∞== ，2221()()pD E E pξξξ-=-=如：某射击手击中目标的概率为p 求从射击开始到击中目标所需次数ξ的期望、方差就是1E pξ=，21pD pξ-=题型讲解例1 x 是x 1，x 2，…，x 100的平均数，a 是x 1，x 2，…，x 40的平均数，b 是x 41，x 42，…，x 100的平均数，则下列各式正确的是A x =1006040ba +B x =1004060b a + C x =a +b D x =2ba +分析：这100个数的平均数是a +b 还是21（a +b ），这都很容易让人误解我们可以从概率或加权平均数的角度来思考解：因为x 1+x 2+…+x 40＝40a ，x 41+x 42+…+x 100 =60b ，所以x 1+x 2+…+x 100＝（x 1+x 2+…+x 40）+（x 41+x 42+…+x 100）＝ 40a+60b故x 1，x 2，…，x 100的平均数 x =1100（40a+60b ）=10040a +10060b答案：A例2 一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出两个，则其中含红球个数的数学期望是_____________解：同时取出的两个球中含红球数 ξ 的概率分布为P (ξ = 0) =252203C C C =101, P (ξ = 1) =251231C C C =106, P (ξ = 2) =250232C C C =103 E ξ =106106101210⨯+⨯+⨯=56, 所以应填 56 例3 甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t / hm 2）品种第1年第2年第3年第4年第5年甲 98 99 101 10 102 乙941031089798其中产量比较稳定的小麦品种是解：∵x 甲 = 15( 98 + 99 + 101 + 10 + 102) = 100，x 乙= 15( 94 + 103 + 108 + 97 + 98) = 100; 2s 甲= 1 5( 982 + … + 1022) – 102= 002， 2s 乙= 1 5( 942 + … + 982) – 102 = 0244 > 002∴2s 甲<2s 乙，故产量比较稳定的小麦是甲品种例4 对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度的数据如下：甲：27，38，30，37，35，31；乙：33，29，38，34，28，36根据以上数据，试判断他们谁更优秀分析:根据统计知识可知，需要计算两组数据的x 与2s ，然后加以比较，最后再作出判断解: 33)313537303827(61=+++++=甲x ， 2222221[(2733)(3833)(3033)(3733)(3533)(3133)]5s =-+-+-+-+-+-2甲 19418.85=⨯= 33)362834382933(61=+++++=乙x ，22222221[(3333)(2933)(3833)(3433)(2833)(3633)]5s =-+-+-+-+-+-乙 17615.25=⨯= ∴乙甲x x =，s s >22乙甲，由此可以说明，甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀例5 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所出次品数分别为ξ，η，且ξ和η的分布列为：ξ0 1 2η0 1 2P106101 103 P105 103 102 试比较这两名工人谁的技术水平更高解：7.0103210111060=⨯+⨯+⨯=ξE 7.0102210311050=⨯+⨯+⨯=ηE∴ηξE E =，说明两人出的次品数相同，可以认为他们技术水平相当又()()()81.01037.021017.011067.00222=⨯-+⨯-+⨯-=ξD ()()()61.01027.021037.011057.00222=⨯-+⨯-+⨯-=ηDηξD D >∴，说明工人乙的技术比较稳定 ∴可以认为工人乙的技术水平更高例6 若随机事件A 在1次实验中发生的概率为()01p p <<，用随机变量ξ表示A 在1次实验中发生的次数①求方差ξD 的最大值；②求ξξE D 12-的最大值解：随机变量ξ的所有可能取值为0,1，并且有(1),(0)1P p P p ξξ====-()011E p p p ξ∴=⨯-+⨯=()()()222011D p p p p p p ξ=-⋅-+-⋅=- ①221124D p p p ξ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭01p << ∴当12p =时，ξD 取得最大值，最大值为41②21122D p E p ξξ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭ ∴当22p =时，取得最大值，最大值为222-小结：求ξE 和ξD 的关键是求ξ的可能取值的每一个值及相对应的概率学生练习1随机变量⎪⎭⎫⎝⎛21,6~B ξ，则()==2ξP 答案：64152已知某离散型随机变量ξ的数学期望67=ξE ，ξ的分布列如下： ξ 0 123Pa31 61 b则=a 答案：31，61 3设()8.0,10~B ξ，23+=ξη，则=ηD 答案：1444口袋中有5只球，编号为5,4,3,2,1，从中任取3球，以ξ表示取出的球的最大号码，则E ξ＝（） A 、4 B 、5 C 、45 D 、475 答案：C5如果⎪⎭⎫⎝⎛41,15~B ξ，则使()k P =ξ的最大的k 值是（） A 、3 B 、4 C 、4或5 D 、3或4答案：D6盒中装有8个乒乓球，其中6个新的，2个旧的，从盒中任取2个使用，用完后放回盒中，此时盒中旧球个数ξ是一个随机变量，请写出以下ξ的分布ξ2 3 4 P答案：28,73,281 7若随机变量ξ的分布列如下表，则ξE 的值为ξ0 1 2 3 4 5Px 2 x 3 x 7 x 2 x 3x答案：98一个筒中放有标号分别为0,1,2,…,9的十根竹签，从中任取一根，记所取出的竹签上的号数为ξ①写出ξ的分布列②分别求“⎪⎭⎫ ⎝⎛∈25,21ξ”，“7>ξ”，“65.3≤≤ξ”的概率ξ0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P01010101010101010101②02 02 039A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1，A 2，A 3，B 队队员是B 1，B 2，B 3，对阵队员 A 队队员胜的概率A 队队员负的概率A 1对B 1 32 31 A 2对B 2 52 53 A 3对B 352 53 现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A 队、B 队最后所得总分分别为ξ，η （1）求ξ，η的概率分布；（2）求ηξE E ,答案：（1）()2530==ξP ，()521==ξP ，()75282==ξP ，()7583==ξP ， ()7580==ηP ，()75281==ηP ，()522==ηP ，()2533==ηP ，（2）1522=ξE ， 1523=ηE10A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1、A 2、A 3，B 队队员是B 1、B 2、B 3 按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：对阵队员 A 队队员胜的概率A 队队员负的概率A 1对B 1 23 1 3 A 2对B 2 2 5 3 5 A 3对B 32 53 5现按表中对阵方式出场, 每场胜队得1分, 负队得0分设A 队、B 队最后总分分别为 ξ、η(Ⅰ) 求 ξ、η 的概率分布； (Ⅱ) 求E ξ、E η分析：本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力解：(Ⅰ) ξ、η 的可能取值分别为3, 2, 1, 0 P (ξ = 3) =758525232=⨯⨯ （即A 队连胜3场）P (ξ = 2) =7528525231525332535232=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ （即A 队共胜2场） P (ξ = 1) =527530525331535231535332==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ （即A 队恰胜1场） P (ξ = 0) =253759535331==⨯⨯ （即A 队连负3场）根据题意知 ξ + η = 3，所以P (η = 0) = P (ξ = 3) = 875， P (η = 1) = P (ξ = 2) = 2875， P (η = 2) = P (ξ = 1) = 2 5，P (η = 3) = P (ξ = 0) = 3 25(Ⅱ) E ξ =15222535275287580123=⨯+⨯+⨯+⨯ ；因为ξ + η = 3，所以E η = 3 – E ξ =1523课前后备注。

高二数学期望、方差人教版知识精讲

高二数学期望、方差人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：期望、方差二. 重点、难点： 1.其中1、2……n 表示的所有可能性 P 1P 2……n P 为所对应可能的概率0≥i P121=++ P P2. 期望++++=n n P x P x P x E 2211ξ3. 方差222121)()()()(ξξξξξE E P E x P E x D n n -=+-++⋅-= 4. 若b a +=ξη 则b aE E +=ξηξηD a D 2=5. 典型分布：0—1分布，二项分布，几何分布等【典型例题】[例1] 一接待中心，有A 、B 、C 、D 四部热线，已知某一时刻A 、B 占线的概率均为0.5，C 、D 占线的概率均为0.4，各部是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有ξ部占线，试求随机变量ξ的概率分布和它的期望。

3.0)()()()()()()()()1(=+⋅⋅+⋅== D P C P B P A P D P C P B P A P P ξ（四项） 37.0)()()()()2(=+⋅⋅⋅== D P C P B P A P P ξ（六项） 2.0)3(==ξP （四项）04.04.04.05.05.0)()()()()4(=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==D P C P B P A P P ξ 8.104.042.0337.023.0109.00=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=ξE[例2] 随机变量ξ的分布列为P （k =ξ）45ak =（=k 1，2……5）则=<<)2521(ξP 。

1)5()1(==++=ξξP P∴145545245=+++a a a 13=a 3=a51152151)2()1()2521(=+==+==<<ξξξP P P[例3] 随机变量ξ的分布列为13.051016.02=++++aa a 02715502=-+a a53=a 或109-=a （舍）∴34.06.012.006.032.0=++--=ξE[例4] 一盒中有9个正品和3个次品，每次取一测试，不放回在取出一个正品前已取出的废品数为ξ，求期望、方差。

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华侨城中学2011年高考数学总复习教学案复习内容：离散型随机变量的均值与方差、正态分布【知识与方法】1、设ξ是服从二项分布B (n ，p )的随机变量，又E (ξ)＝15，D (ξ)＝454，则n 与p 的值为 ( )A ．60，34B ．60，14C ．50，34D ．50，142、如果ξ是离散型随机变量，η＝3ξ＋2，那么 ( )A ．E η＝3E ξ＋2，D η＝9D ξB ．E η＝3E ξ，D η＝3D ξ＋2C ．E η＝3E ξ＋2，D η＝9E ξ＋4 D ．E η＝3E ξ＋4，D η＝3D ξ＋23、设两个正态分布N (μ1，21σ)(σ1＞0)和N (μ2，22σ)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1＜μ2，σ1＜σ2B ．μ1＜μ2，σ1＞σ2C ．μ1＞μ2，σ1＜σ2D ．μ1＞μ2，σ1＞σ24、在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．5、已知随机变量X 服从正态分布N (0，σ2)，且P (－2≤X ≤0)＝0.4，则P (X ＞2)＝________. 6、已知随机变量ξ的分布列为：其中m ，n ∈[0,1)，且E (ξ)＝16，则m ，n 的值分别为________．7、有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取到次品的个数，则E (X )等于________． 8、已知随机变量ξ的分布列为：若E (ξ)＝158，则D (ξ)等于________． 9、设随机变量ξ服从二项分布，即ξ～B (n ，p )，且E ξ＝3，p ＝17，则n ＝________，D ξ＝________.10、“好运”出租车公司按月将某辆车出租给司机，按照规定：无论是否出租，该公司每月都要负担这辆车的各种管理费100元，如果在一个月内该车被租的概率是0.8，租金是2 600元，那么公司每月对这辆车收入的期望值为________元．【理解与应用】11、为拉动经济，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及数学期望．12、某果园要将一批水果用汽车从所在城市甲运至销售商所在城市乙．已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且运费由果园承担．若果园恰能在约定日期(×月×日)将水果送到，则销售商一次性支付给果园20万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给果园1万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给果园1万元．为保证水果新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送水果．已知下表内的信息：(1)(2)假设你是果园的决策者，你选择哪条公路运送水果有可能让果园获得的毛利润更多？注：毛利润＝销售商支付给果园的费用－运费．华侨城中学2011年高考数学总复习教学案复习内容：离散型随机变量的均值与方差、正态分布【知识与方法】1、(2010·长沙模拟)设ξ是服从二项分布B (n ，p )的随机变量，又E (ξ)＝15，D (ξ)＝454，则n 与p的值为( )A ．60，34B ．60，14C ．50，34D ．50，14解析：由ξ～B (n ，p )，有E (ξ)＝np ＝15，D (ξ)＝np (1－p )＝454，∴p ＝14，n ＝60.答案：B 2、如果ξ是离散型随机变量，η＝3ξ＋2，那么( )A ．E η＝3E ξ＋2，D η＝9D ξB ．E η＝3E ξ，D η＝3D ξ＋2C ．E η＝3E ξ＋2，D η＝9E ξ＋4 D ．E η＝3E ξ＋4，D η＝3D ξ＋2 答案：A3、设两个正态分布N (μ1，21σ)(σ1＞0)和N (μ2，22σ)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1＜μ2，σ1＜σ2B ．μ1＜μ2，σ1＞σ2C ．μ1＞μ2，σ1＜σ2D ．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：μ反映正态分布的平均水平，x ＝μ是正态曲线的对称轴，由图知μ1＜μ2，σ反映正态分布的离散程度，σ越大，曲线越“矮胖”，表明越分散，σ越小，曲线越“高瘦”，表明越集中，由图知σ1＜σ2.答案：A4、在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．解析：在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)，正态分布图象的对称轴为x ＝1，ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，可知，随机变量ξ在(1,2)内取值的概率与ξ在(0,1)内取值的概率相同，也为0.4，这样随机变量ξ在(0,2)内取值的概率为0.8.答案：0.85、已知随机变量X 服从正态分布N (0，σ2)，且P (－2≤X ≤0)＝0.4，则P (X ＞2)＝________. 解析：∵P (－2≤X ≤0)＝0.4，∴P (－2≤X ≤2)＝0.8，∴P (X ＞2)＝P (X ＜－2)＝0.1.答案：0.16、已知随机变量ξ的分布列为其中m ，n ∈[0,1)，且E (ξ)＝6，则m ，n 的值分别为________．解析：由p 1＋p 2＋…＋p 6＝1，得m ＋n ＝712，由E (ξ)＝16，得12－m ＝16，∴m ＝13，n ＝14.答案：13，147、有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取到次品的个数，则E (X )等于________．解析：X ＝0时，P ＝27210C C；X ＝1时，P ＝1173210C C C；X ＝2时，P ＝23210C C，∴E (X )＝0×27210C C ＋1×1173210C C C ＋2×23210C C ＝7×3＋2×3C 210＝35.答案：358、已知随机变量ξ的分布列为若E (ξ)＝158，则D (ξ)等于________．解析：由分布列的性质得x ＋y ＝0.5，又E (ξ)＝158，所以2x ＋3y ＝118x ＝18，y ＝38.所以D (ξ)＝(1－1582×12＋(2－1582×18＋(3－158)2×38＝5564.答案：55649、设随机变量ξ服从二项分布，即ξ～B (n ，p )，且E ξ＝3，p ＝17，则n ＝________，D ξ＝________.解析：由已知⎩⎪⎨⎪⎧E ξ＝np ，D ξ＝np (1－p )，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝17n ，D ξ＝649n .∴n ＝21，D ξ＝12649＝187. 10、(2010·南平模拟)“好运”出租车公司按月将某辆车出租给司机，按照规定：无论是否出租，该公司每月都要负担这辆车的各种管理费100元，如果在一个月内该车被租的概率是0.8，租金是2 600元，那么公司每月对这辆车收入的期望值为________元．解析：设公司每月对这辆车收入为X 元，则其分布列为：故E (X )＝(－100)×0.2＋2 500×0.811、(2009·重庆高考)为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及数学期望．解：记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i ，B i ，C i ，i＝1,2,3.由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立，A i ，B j ，C k (i ，j ，k ＝1,2,3，且i ，j ，k 互不相同)相互独立，且P (A i )＝12，P (B i )＝13，P (C i )＝16.(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率P ＝3！P (A 1B 2C 3)＝6P (A 1)P (B 2)P (C 3)＝6×12×13×16＝16.(2)法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，η～B (3，13)，且ξ＝3－η，所以P (ξ＝0)＝P (η＝3)＝33C (13)3＝127，P (ξ＝1)＝P (η＝2)＝23C (13)2(23)＝29， P (ξ＝2)＝P (η＝1)＝13C (13)(23)2＝49，P (ξ＝3)＝P (η＝0)＝03C (233＝827.故ξ的分布列为：ξ的数学期望E (ξ)＝0×127＋1×9＋2×9＋3×272.法二：记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件D i ，i ＝1,2,3.由已知，D 1，D 2，D 3相互独立，且P (D i )＝P (A i ＋C i )＝P (A i )＋P (C i )＝12＋16＝23，所以ξ～B (3，23)，即P (ξ＝k )＝3C k(23)k (13)3－k ，k ＝0,1,2,3.故ξ的分布列是：ξ的数学期望E (ξ)＝3×23＝2.12、某果园要将一批水果用汽车从所在城市甲运至销售商所在城市乙．已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且运费由果园承担．若果园恰能在约定日期(×月×日)将水果送到，则销售商一次性支付给果园20万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给果园1万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给果园1万元．为保证水果新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送水果．已知下表内的信息：(1)记汽车走公路Ⅰ时果园获得的毛利润为ξ(单位：万元)，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；(2)假设你是果园的决策者，你选择哪条公路运送水果有可能让果园获得的毛利润更多？注：毛利润＝销售商支付给果园的费用－运费．解：(1)汽车走公路Ⅰ时，不堵车时果园获毛利润ξ＝20－1.6＝18.4万元；堵车时果园获得的利润ξ＝20－1.6－1＝17.4万元．则果园获得毛利润ξ的分布列为：E(ξ)＝18.4×910＋17.4×110＝18.3(万元)．(2)设汽车走公路Ⅱ时果园获得的毛利润为η.不堵车时果园获的毛利润η＝20－0.8＋1＝20.2万元；堵车时果园获的毛利润η＝20－0.8－2＝17.2万元．故汽车走公路Ⅱ时果园获得的毛利润η的分布列为：E(η)＝20.2×12＋17.2×12＝18.7(万元)．∵E(ξ)<E(η)，∴选择公路Ⅱ运送水果有可能让果园获得的毛利润更多．。