专题：等差等比数列2 导学案 河北省枣强中学2020届高三文科数学二轮复习

高三年级 文科数学导学案使用日期：20年2 月 23 日 编号： 08一:【新知导学】 1.知识回顾：(1)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列；S n ＝mq n －m (m 为常数，m ≠0，q ≠0)⇔{a n }是等比数列． (2)等差数列中S n 和a n 的关系：S n ＝n (a 1＋a n )2，即a n ＝2S nn －a 1；等比数列中S n 与a n 的关系：S n ＝a 1－a n q1－q，即a n q ＝a 1－(1－q )S n . (3)在等差数列中，当项数为偶数2n 时，有S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n；当项数为奇数2n －1时，有S奇－S 偶＝a n ，S 偶S 奇＝n －1n . (4)在等比数列中，当项数为偶数2n 时，S 偶S 奇＝q . 二:【课堂探究】1. 典例精析：例1：(2016·高考全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98D ．97反思感悟：变式训练1： (2015·高考全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( ) A.172B.192 课题：等差等比数列2C ．10D ．12类型二：等比数列的性质例2 (2015·高考全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12 D ．18变式训练2：(2017·高考全国卷Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝__________.类型三：等差、等比数列的综合运算例3 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．642．已知在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2与a 8的等比中项为8，则4a 3＋a 7取最小值时，首项a 1等于( )A ．8B ．4C ．2D ．13．S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若S 4＝S 2＋2，则S 6的最小值为________．．反思感悟：变式训练3：1已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______.. ．2.【2016高考江苏卷】已知{}n a 是等差数列，{S }n 是其前n 项和.若21253,S =10a a +=-，则9a 的值是 ▲ .3、【2016高考新课标1卷】设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2 …a n 的最大值为 ．课堂练习1在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝34，a 2·a n －1＝64，且前n 项和S n ＝62，则项数n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．72．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝4，a 2＋a 4＝2，则log 2⎝⎛⎭⎫S 2 016a 2 016＋1＝( ) A ．2 015 B ．2 016 C ．22 015D ．22 0163．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 015，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 016的值等于( ) A ．－2 015 B ．2015 C ．2016D ．0五:【课后作业】参考答案【新知导学】 1.知识回顾：前n 项和公式变形(1)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列；S n ＝mq n －m (m 为常数，m ≠0，q ≠0)⇔{a n }是等比数列． (2)等差数列中S n 和a n 的关系：S n ＝n (a 1＋a n )2，即a n ＝2S nn －a 1；等比数列中S n 与a n 的关系：S n ＝a 1－a n q1－q，即a n q ＝a 1－(1－q )S n . (3)在等差数列中，当项数为偶数2n 时，有S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n；当项数为奇数2n －1时，有S奇－S 偶＝a n ，S 偶S 奇＝n －1n . (4)在等比数列中，当项数为偶数2n 时，S 偶S 奇＝q . 二:【课堂探究案】2. 典例精析：例1：(2016·高考全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98D ．97[解析] 通性通法 利用基本量，建立方程求解． ∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98.故选C. 提速方法 利用性质，求a 5和公差d . ∵{a n }是等差数列，∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.在等差数列{a n }中，a 5，a 10，a 15…，a 100成等差数列，且公差d ′＝a 10－a 5＝8－3＝5. 故a 100＝a 5＋(20－1)×5＝98.故选C. [答案] C反思感悟：变式训练1： (2015·高考全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( ) A.172 B.192 C ．10D ．12解析：由S 8＝4S 4得 8a 1＋8×72d ＝4×⎝⎛⎭⎫4a 1＋4×32d ，∵d ＝1，∴a 1＝12. ∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192 . B类型二：等比数列的性质例2 (2015·高考全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12D ．18[解析] 通性通法 直接利用等比数列的通项公式，结合已知条件求出q 后求解． ∵a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)， 将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝12，故选C.提速方法 根据等比数列的性质，结合已知条件求出a 4，q 后求解．∵a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 24＝4(a 4－1)，∴a24－4a4＋4＝0，∴a4＝2.又∵q3＝a4a1＝214＝8，∴q＝2，∴a2＝a1q＝14×2＝12，故选C.[答案] C反思感悟：变式训练2：(2017·高考全国卷Ⅲ)设等比数列{a n}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝__________. 解析：设等比数列{a n}的公比为q，则a1＋a2＝a1(1＋q)＝－1，a1－a3＝a1(1－q2)＝－3，两式相除，得1＋q1－q2＝13，解得q＝－2，a1＝1，所以a4＝a1q3＝－8.答案：－8类型三：等差、等比数列的综合运算例3 设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝3，S4＝15，则S6＝()A．31B．32C．63 D．64解析：在等比数列{a n}中，S2、S4－S2、S6－S4也成等比数列，故(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，则(15－3)2＝3(S6－15)，解得S6＝63.答案：C2．已知在各项均为正数的等比数列{a n}中，a2与a8的等比中项为8，则4a3＋a7取最小值时，首项a1等于()A．8 B．4C．2 D．1解析：在等比数列{a n}中，设公比为q，易知a2a8＝a3a7，∵a2与a8的等比中项为8，∴a2a8＝64，∴4a3＋a7≥24a3a7＝24a2a8＝32，当且仅当4a3＝a7时等号成立，即4a1q2＝a1q6，∴4＝q4.①又a2a8＝64＝a21q8，②∴联立①②可解得a1＝2，故选C.答案：C3．S n为等比数列{a n}的前n项和，若S4＝S2＋2，则S6的最小值为________．解析：由题意，得a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝a1＋a1q＋2，整理得(a1＋a1q)q2＝2，即S2·q2＝2.因为q2>0，所以S 2>0.由等比数列的性质，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列，所以(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4)，所以S 6＝(S 4－S 2)2S 2＋S 4＝22S 2＋S 2＋2≥24S 2·S 2＋2＝6，当且仅当4S 2＝S 2，即S 2＝2时等号成立，所以S 6的最小值为6. 答案：6 ．反思感悟：变式训练3：1已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______.. 【答案】6【解析】∵{}n a 是等差数列，∴35420a a a +==，40a =，4136a a d -==-，2d =-， ∴616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-=，故填：6．2.【2016高考江苏卷】已知{}n a 是等差数列，{S }n 是其前n 项和.若21253,S =10a a +=-，则9a 的值是 ▲ .【答案】20.【解析】由510S =得32a =，因此2922(2d)33,23620.d d a -+-=-⇒==+⨯=3、【2016高考新课标1卷】设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2 …a n 的最大值为 ． 【答案】64【解析】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠，由1324105a a a a +=⎧⎨+=⎩得2121(1)10(1)5a q a q q ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩.所以2(1)1712(1)22212118()22n n n n n n nn a a a a q --++++-==⨯=L L ，于是当3n =或4n =时，12n a a a L 取得最大值6264=.课堂练习1在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝34，a 2·a n －1＝64，且前n 项和S n ＝62，则项数n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2a n －1＝a 1a n ＝64，又a 1＋a n ＝34，解得a 1＝2，a n ＝32或a 1＝32，a n ＝2.当a 1＝2，a n ＝32时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ＝2－32q 1－q ＝62，解得q ＝2.又a n ＝a 1q n －1，所以2×2n －1＝2n ＝32，解得n ＝5.同理，当a 1＝32，a n ＝2时，由S n ＝62，解得q ＝12.由a n ＝a 1q n －1＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝2，得⎝⎛⎭⎫12n －1＝116＝⎝⎛⎭⎫124，即n －1＝4，n ＝5.综上，项数n 等于5，故选B. 答案：B2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝4，a 2＋a 4＝2，则log 2⎝⎛⎭⎫S 2 016a 2 016＋1＝( )A ．2 015B ．2 016C ．22 015D ．22 016解析：设公比为q ，则q ＝a 2＋a 4a 1＋a 3＝12， ∴S 2 016a 2 016＝a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12 2 0161－12a 1×⎝⎛⎭⎫12 2 015＝2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12 2 016⎝⎛⎭⎫12 2 015＝22 016－1， ∴log 2⎝⎛⎭⎫S 2 016a 2 016＋1＝log 222 016＝2 016.答案：B3．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 015，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 016的值等于( ) A ．－2 015 B ．2015 C ．2016D ．0解析：设数列{a n }的公差为d ，S 12＝12a 1＋12×112d ，S 10＝10a 1＋10×92d ，所以S 1212＝12a 1＋12×112d12＝a 1＋112d .S 1010＝a 1＋92d ，所以S 1212－S 1010＝d ＝2， 所以S 2 016＝2 016×a 1＋2 015×2 0162d ＝0. 答案：D。