2017-2018年内蒙古通辽实验中学高一上学期数学期末试卷(解析版)

2017-2018学年内蒙古通辽实验中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）函数f（x）=+的定义域为（）A．（﹣3，0]B．（﹣3，1]C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0]D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1] 2．（5分）与直线3x﹣4y+5=0关于y轴对称的直线方程是（）A．3x+4y﹣5=0B．3x+4y+5=0C．3x﹣4y+5=0D．3x﹣4y﹣5=0 3．（5分）直线3x+4y﹣2=0和直线6x+8y+1=0的距离是（）A．B．C．D．4．（5分）若点A（0，1），B（，4）在直线l1上，l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为（）A．﹣30°B．30°C．150°D．120°5．（5分）设y1=log0.70.8，y2=log1.10.9，y3=1.10.9，则有（）A．y3＞y1＞y2B．y2＞y1＞y3C．y1＞y2＞y3D．y1＞y3＞y2 6．（5分）经过点A（1，1），并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有（）A．0条B．1条C．2条D．3条7．（5分）若lgx=m，lgy=n，则lg﹣lg（）2的值为（）A．m﹣2n﹣2B．m﹣2n﹣1C．m﹣2n+1D．m﹣2n+2 8．（5分）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其主视图如图所示，该四棱锥侧面积等于（）A．20B．5C．4（+1）D．49．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③m⊂α，n⊂α，m、n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．③④D．①④10．（5分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）11．（5分）已知函数f（x）=是R上的减函数则a的取值范围是（）A．（0，3）B．（0，3]C．（0，2）D．（0，2] 12．（5分）对于函数f（x），如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f （x）与y=log5x的图象的交点个数为（）A．3B．4C．5D．6二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知幂函数f（x）的图象过点，则幂函数f（x）=．14．（5分）不等式的解集是．15．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为．16．（5分）已知函数f（x）的定义域为A，若当f（x1）=f（x2）（x1，x2∈A）时，总有x1=x2，则称f（x）为单值函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单值函数．给出下列命题：①函数f（x）=x2（x∈R）是单值函数；②函数f（x）=2x（x∈R）是单值函数；③若f（x）为单值函数，x1，x2∈A，且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；④函数f（x）=是单值函数．其中的真命题是．（写出所有真命题的编号）三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．（10分）（1）计算：；（2）解方程：．18．（12分）某几何体的三视图，如图所示：（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的表面积S．19．（12分）已知直线l：（2+m）x+（1+2m）y+4﹣3m=0．（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；（2）过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程．20．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求证：AB⊥PE；（3）求三棱锥P﹣BEC的体积．21．（12分）已知圆C的圆心在直线x﹣2y=0上．（1）若圆C与y轴的正半轴相切，且该圆截x轴所得弦的长为2，求圆C的标准方程；（2）在（1）的条件下，直线l：y=﹣2x+b与圆C交于两点A，B，若以AB为直径的圆过坐标原点O，求实数b的值．22．（12分）已知函数．（1）若f（1）=1，写出f（x）的单调区间；（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．2017-2018学年内蒙古通辽实验中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）函数f（x）=+的定义域为（）A．（﹣3，0]B．（﹣3，1]C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0]D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1]【解答】解：由，解得x≤0且x≠﹣3．∴函数f（x）=+的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0]．故选：C．2．（5分）与直线3x﹣4y+5=0关于y轴对称的直线方程是（）A．3x+4y﹣5=0B．3x+4y+5=0C．3x﹣4y+5=0D．3x﹣4y﹣5=0【解答】解：令x=0，则y=，可得直线3x﹣4y+5=0与y轴的交点．令y=0，可得x=﹣，可得直线3x﹣4y+5=0与x轴的交点，此点关于y 轴的对称点为．∴与直线3x﹣4y+5=0关于y轴对称的直线经过两点：，．其方程为：=1，化为：3x+4y﹣5=0．故选：A．3．（5分）直线3x+4y﹣2=0和直线6x+8y+1=0的距离是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得：3x+4y﹣2=0和直线6x+8y+1=0，即直线6x+8y﹣4=0和直线6x+8y+1=0，结合两平行线间的距离公式得：两条直线的距离是d==，故选：B．4．（5分）若点A（0，1），B（，4）在直线l1上，l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为（）A．﹣30°B．30°C．150°D．120°【解答】解：k AB==，故l1的倾斜角为60°，l1⊥l2，所以l2的倾斜角为150°，故选：C．5．（5分）设y1=log0.70.8，y2=log1.10.9，y3=1.10.9，则有（）A．y3＞y1＞y2B．y2＞y1＞y3C．y1＞y2＞y3D．y1＞y3＞y2【解答】解：y1=log0.70.8∈（0，1）；y2=log1.10.9＜0；y3=1.10.9＞1，可得y3＞y1＞y2．故选：A．6．（5分）经过点A（1，1），并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有（）A．0条B．1条C．2条D．3条【解答】解：当直线过原点时，方程为：y=x，即x﹣y=0；当直线不过原点时，设直线的方程为：x+y=k，把点（1，1）代入直线的方程可得k=2，故直线方程是x+y﹣2=0．综上可得所求的直线方程为：x﹣y=0，或x+y﹣2=0，故选：C．7．（5分）若lgx=m，lgy=n，则lg﹣lg（）2的值为（）A．m﹣2n﹣2B．m﹣2n﹣1C．m﹣2n+1D．m﹣2n+2【解答】解：因为lgx=m，lgy=n，所以lg﹣lg（）2==．故选：D．8．（5分）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其主视图如图所示，该四棱锥侧面积等于（）A．20B．5C．4（+1）D．4【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面棱长为2，高h=2，故侧面的侧高为=，故该四棱锥侧面积S=4××2×=4，故选：D．9．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③m⊂α，n⊂α，m、n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【解答】解：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；这符合平面垂直平面的判定定理，正确的命题．②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；可能n∥m，α∩β=l．错误的命题．③m⊂α，n⊂α，m、n是异面直线，那么n与α相交；题目本身错误，是错误命题．④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．是正确的命题．故选：D．10．（5分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【解答】解：因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，故选：C．11．（5分）已知函数f（x）=是R上的减函数则a的取值范围是（）A．（0，3）B．（0，3]C．（0，2）D．（0，2]【解答】解：因为f（x）为R上的减函数，所以x≤1时，f（x）递减，即a﹣3＜0①，x＞1时，f（x）递减，即a＞0②，且（a﹣3）×1+5≥③，联立①②③解得，0＜a≤2．故选：D．12．（5分）对于函数f（x），如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f （x）与y=log5x的图象的交点个数为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的周期性函数，又x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2．根据函数的周期性画出图形，如图，由图可得y=f（x）与y=log5x的图象有4个交点故选：B．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知幂函数f（x）的图象过点，则幂函数f（x）=x﹣1．【解答】解：设幂函数f（x）=x a，∵幂函数f（x）的图象过点，∴，解得：a=﹣1，故f（x）=x﹣1故答案为：x﹣114．（5分）不等式的解集是（﹣2，4）．【解答】解：不等式，化简可得：∴8﹣x2＞﹣2x解得：﹣2＜x＜4．故答案为：（﹣2，4）．15．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为36π．【解答】解：三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r，可得，解得r=3．球O的表面积为：4πr2=36π．故答案为：36π．16．（5分）已知函数f（x）的定义域为A，若当f（x1）=f（x2）（x1，x2∈A）时，总有x1=x2，则称f（x）为单值函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单值函数．给出下列命题：①函数f（x）=x2（x∈R）是单值函数；②函数f（x）=2x（x∈R）是单值函数；③若f（x）为单值函数，x1，x2∈A，且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；④函数f（x）=是单值函数．其中的真命题是②③．（写出所有真命题的编号）【解答】解：由f（x1）=f（x2）（x1，x2∈A）时，总有x1=x2，则f（x）实际上是单调函数．①函数f（x）=x2（x∈R）在（﹣∞，0）上单调递减，（0，+∞）上单调递增，故不是单值函数；②函数f（x）=2x（x∈R）是单调函数，故f（x）=2x（x∈R）是单值函数；③f（x）为单值函数，则f（x）是单调函数，若x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；④函数f（x）=是分段函数，在（﹣∞，0）上单调递减，（0，+∞）上单调递增，故不是单值函数．故答案为：②③．三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．（10分）（1）计算：；（2）解方程：．【解答】解：（1）原式=+（lg 5）0+=+1+=4．…（6分）（2）由方程log3（6x﹣9）=3得：6x﹣9=33=27，∴6x=36=62，∴x=2．经检验，x=2是原方程的解．…（12分）18．（12分）某几何体的三视图，如图所示：（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的表面积S．【解答】解：（1）由题意可知几何体是一个三棱锥与一个四棱柱的组合体，如图：几何体的体积为：=90．（2）几何体的表面积为：3×（4+5）+2×+2×4×6+3×6+2×4×3=138．19．（12分）已知直线l：（2+m）x+（1+2m）y+4﹣3m=0．（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；（2）过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程．【解答】解：（1）证明：∵m（x+2y﹣3）+2x+y+4=0，∴由题意得∴直线l恒过定点M（）．（2）解：设所求直线l1的方程为y﹣=k（x+），直线l1与x轴、y轴交于A、B两点，则A（﹣，0）B（0，）．∵AB的中点为M，∴解得k=．∴所求直线l1的方程为y﹣=（x+），即：30x﹣30y+220=0．所求直线l 1的方程为30x﹣30y+220=0．20．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求证：AB⊥PE；（3）求三棱锥P﹣BEC的体积．【解答】证明：（1）∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE∥BC，又DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC．（2）连接PD，∵DE∥BC，又∠ABC=90°，∴DE⊥AB，又PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB，又PD∩DE=D，PD⊂平面PDE，DE⊂平面PDE，∴AB⊥平面PDE，又PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE．（3）∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，PD⊥AB，PD⊂平面PAB，∴PD⊥平面ABC，∵△PAB是边长为2的等边三角形，∴PD=，∵E是AC的中点，∴．21．（12分）已知圆C的圆心在直线x﹣2y=0上．（1）若圆C与y轴的正半轴相切，且该圆截x轴所得弦的长为2，求圆C的标准方程；（2）在（1）的条件下，直线l：y=﹣2x+b与圆C交于两点A，B，若以AB为直径的圆过坐标原点O，求实数b的值．【解答】解：（1）因为圆C的圆心在直线x﹣2y=0上，所以可设圆心为（2a，a）．因为圆C与y轴的正半轴相切，所以a＞0，半径r=2a．又因为该圆截x轴所得弦的长为2，所以a2+（）2=（2a）2，解得a=1．…（2分）因此，圆心为（2，1），半径r=2．所以圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．…（4分）（2）由直线l：y=﹣2x+b与圆C，消去y，得（x﹣2）2+（﹣2x+b﹣1）2=4．整理得5x2﹣4bx+（b﹣1）2=0．（★）…（5分）由△=（﹣4b）2﹣4×5（b﹣1）2＞0，得b2﹣10b+5＜0（※）…（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=（7分）因为以AB为直径的圆过原点O，可知x1x2+y1y2=0，即x1x2+（﹣2x1+b）（﹣2x2+b）=0．化简得5x1x2﹣2b（x1+x2）+b2=0，即（b﹣1）2﹣2b•+b2=0．整理得2b 2﹣10b +5=0．解得b=．…（9分）当b=时，2b 2﹣10b +5=0，b 2﹣10b +5=﹣b 2．③由③，得b ≠0 从而b 2﹣10b +5=﹣b 2＜0 可见，b=时满足不等式（※）．b=均符合要求．…（10分）22．（12分）已知函数．（1）若f （1）=1，写出f （x ）的单调区间；（2）是否存在实数a ，使f （x ）的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵f （1）=1，∴log 4（a +5）=1，因此a +5=4，a=﹣1，………………（2分） 这时f （x ）=log 4（﹣x 2+2x +3）．由﹣x 2+2x +3＞0得﹣1＜x ＜3，函数定义域为（﹣1，3）． …………（4分） 令g （x ）=﹣x 2+2x +3．则g （x ）在（﹣∞，1）上递增，在（1，+∞）上递减， 又y=log 4x 在（0，+∞）上递增，所以f （x ）的单调递增区间是（﹣1，1），递减区间是（1，3）．…………（6分） （2）假设存在实数a 使f （x ）的最小值为0，则h （x ）=ax 2+2x +3应有最小值1， 因此应有，解得a=．故存在实数a=使f （x ）的最小值等于0．…………（12分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下)x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xx①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-0xx<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-0x。