立体几何之空间向量PPT课件
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高中数学3.2立体几何中的向量方法课件-(共43张PPT)
，即14x＋ 43y＋12z＝0
，
令 y＝2，则 z＝－ 3，∴n＝(0,2，－ 3)．
∵ PD ＝0，23 3，－1，显然 PD ＝
3 3 n.
26
∵ PD ∥n，∴ PD ⊥平面 ABE，即 PD⊥平面 ABE.
探究提高 证明线面平行和垂直问题，可以用 几何法，也可以用向量法，用向量法的关键在 于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定 理及两向量垂直的判定定理。若能建立空间直 角坐标系，其证法较为灵活方便.
7
r 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于r平面 ，则称r这个向量垂直于平r
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
叫做平面 的法向量.
r
l
给定一点Ar 和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
r 完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
17
题型分类 深度剖析
题型一 利用空间向量证明平行问题 例 1 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1
中，M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点．求证： MN∥平面 A1BD.
18
证明 方法一 如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在
直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的
1，得
x
1 2
y 1
r n
(
1
,
1,1),
2
10
思考2：
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平 面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两 直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？ 你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的 位置关系以及它们二面角的大小吗？
空间向量与立体几何复习课ppt课件
一、空间向量及其运算
（一）基本概念 1. 空间向量：空间中具有大小和方向的量 叫做向量． 2. 空间向量也用有向线段表示，并且同向且 等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
3. 向量的模：向量的大小叫向量的长度或 模。即表示向量的有向线段的长度。 4. 单位向量：模是 1 的向量。
5. 零向量：模是 0 的向量。零向量的方向 是任意的。有向线段的起点与终点重合。
a b
2.共面向量定理:如果两个向量 a 、b 不共线,则向 量 p 与向量 a 、b 共面的充要条件是存在唯一的有 序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
3.空间向量基本定理:如果两个向量 a 、b、c 不共面, 则对空间中的任意向量 p ，存在唯一的有序实数对 (x, y , z) 使 p xa yb zc .
(二)、空间角的向量方法：
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法பைடு நூலகம்量分别为 u, v ，则
两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), cos cosa b ；
2
直线 l 与平面 所成角 ( 0 ≤ ≤ ), sin cosa u ；
2
二面角 ─l ─ 的为 ( 0≤ ≤ ), cos cosu v.
中国历史上吸烟的历史和现状、所采 取的措 施以及 由此带 来的痛 苦和灾 难，可 以进一 步了解 吸烟对 人民健 康的危 害，提 高师生 的控烟 意识
理论知识点
一、空间向量及其运算
1、基本概念；
2、空间向量的运算；
3、三个定理；
4、坐标表示。
二、立体几何中的向量方法
1、判断直线、平面间的位置关系； 2、求解空间中的角度； 3、求解空间中的距离。
空间向量在立体几何中的应用 ppt课件
解 建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A(0，0，0)，M(0，a2， 2a)，
C1(－ 23a，a2， 2a)，B(0，a，0)，
故A→MA→＝C1(＝0，(－a2，23a2，a)a2，， 2a)，
B→C1＝(－ 23a，－a2， 2a)．
15
设平面 AMC1 的法向量为 n＝(x，y，z)．
则A→C1·n＝0，∴－ 23ax＋a2y＋ 2az＝0，
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
4
2．空间中的角
角的分类
向量求法
设两异面直线所成的角为θ，它们的方
异面直线 所成的角
21
【变式3】 若 PA⊥平面 ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝ 2，
求二面角 A-PB-C 的余弦值． 解 如图所示建立空间直角坐标系，则
A(0，0，0)，B( 2，1，0)，
C(0，1，0)，P(0，0，1)，
故A→P＝(0，0，1)，A→B＝( 2，1，0)，
C→B＝( 2，0，0)，C→P＝(0，－1，1)，
17
题型三 二面角的求法
【例3】 (12分)如图所示，正三棱柱ABC－ A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中 点，求二面角AA1DB的余弦值．
18
[规范解答]如图所示，取BC中点O，连 结AO.因为△ABC是正三角形，所以 AO⊥BC，因为在正三棱柱ABC — A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所 以AO⊥平面BCC1B1. 取 B1C1 中点为 O1，以 O 为原点，O→B，O→O1，O→A为 x，y，z 轴的 正方向建立空间直角坐标系，则 B(1，0，0)，D(－1，1，0)，
则 A(0，0，0)，M(0，a2， 2a)，
C1(－ 23a，a2， 2a)，B(0，a，0)，
故A→MA→＝C1(＝0，(－a2，23a2，a)a2，， 2a)，
B→C1＝(－ 23a，－a2， 2a)．
15
设平面 AMC1 的法向量为 n＝(x，y，z)．
则A→C1·n＝0，∴－ 23ax＋a2y＋ 2az＝0，
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
4
2．空间中的角
角的分类
向量求法
设两异面直线所成的角为θ，它们的方
异面直线 所成的角
21
【变式3】 若 PA⊥平面 ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝ 2，
求二面角 A-PB-C 的余弦值． 解 如图所示建立空间直角坐标系，则
A(0，0，0)，B( 2，1，0)，
C(0，1，0)，P(0，0，1)，
故A→P＝(0，0，1)，A→B＝( 2，1，0)，
C→B＝( 2，0，0)，C→P＝(0，－1，1)，
17
题型三 二面角的求法
【例3】 (12分)如图所示，正三棱柱ABC－ A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中 点，求二面角AA1DB的余弦值．
18
[规范解答]如图所示，取BC中点O，连 结AO.因为△ABC是正三角形，所以 AO⊥BC，因为在正三棱柱ABC — A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所 以AO⊥平面BCC1B1. 取 B1C1 中点为 O1，以 O 为原点，O→B，O→O1，O→A为 x，y，z 轴的 正方向建立空间直角坐标系，则 B(1，0，0)，D(－1，1，0)，
1.2 空间向量基本定理(共26张PPT)
（2）求异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值．
解：（1） BC
1
BB1 B1C1 BB1 A1C1 A1 B1 a c b
a b a b cos BAA1 11 cos60
a c b
BC1
2
1
1
a cb c ，
，同理可得
―
→
→
―
→
―
跟踪训练 1.如图所示，在平行六面体 ABCD-A′B′C′D′中，AB＝a，AD＝b，AA′
＝c，P 是 CA′的中点，M 是 CD′的中点，N 是 C′D′的中点，点 Q 在 CA′上，
且 CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量.
―
→
→
―
→
―
→
―
(1)AP；(2)AM；(3)AN；(4)AQ.
AB1 BC1
AB1 BC1
2
2
a c a b b a c b b 1，
1
2 3
6
6
．
异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为 6 ．
6
课堂小结
1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基
础．
2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利
5.若{a,b,c}是空间的一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为空间的一个基底.
解:假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),
即a+b=μa+λb+(λ+μ)c.
解：（1） BC
1
BB1 B1C1 BB1 A1C1 A1 B1 a c b
a b a b cos BAA1 11 cos60
a c b
BC1
2
1
1
a cb c ，
，同理可得
―
→
→
―
→
―
跟踪训练 1.如图所示，在平行六面体 ABCD-A′B′C′D′中，AB＝a，AD＝b，AA′
＝c，P 是 CA′的中点，M 是 CD′的中点，N 是 C′D′的中点，点 Q 在 CA′上，
且 CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量.
―
→
→
―
→
―
→
―
(1)AP；(2)AM；(3)AN；(4)AQ.
AB1 BC1
AB1 BC1
2
2
a c a b b a c b b 1，
1
2 3
6
6
．
异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为 6 ．
6
课堂小结
1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基
础．
2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利
5.若{a,b,c}是空间的一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为空间的一个基底.
解:假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),
即a+b=μa+λb+(λ+μ)c.
空间向量在立体几何中的应用PPT优秀课件
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＊对应演练＊
如图，四棱锥P—ABCD中， 底面ABCD为矩形，PD⊥ 底面ABCD，AD=PD， E,F分别为CD,PB的中点. (1)求证：EF⊥平面PAB;
【分析】可用空间向量的坐标运算来证明. 【证明】以A为原点，AB,AD,AP分别为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设AB=a,PA=AD=1,
a 则P(0,0,1),C(a,1,0),E( ,0,0), 2 1 1 D(0,1,0),F(0, 2 , 2 ). 1 1 a (1)AF=(0, , ),EP=(- ,0,1), 2 2 2 a 1 1 EC=( ,1,0),∴AF= EP+ EC, 2 2 2 又AF⊂ 平面PEC,∴AF∥平面PEC.
空间向量在立体几何
考点一
考点二 考点三 考点四
考点五
1.平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的 做平面α的法向量.
方向向量a，则 向量a 叫
2.直线l的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面α的法向
a1a2+b1b2+c1c2=0 u· v=0 量v=(a2,b2,c2),则l∥α ⇔ . ⇔
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(2)PD=（0,1,-1）,CD=(-a,0,0), 1 1 ∴AF· PD=(0, , )· (0,1,-1)=0, 2 2 1 1 AF· CD=(0, , )· (-a,0,0)=0, 2 2 ∴AF⊥PD,AF⊥CD，又PD∩CD=D, ∴AF⊥平面PCD.
【评析】用向量证明线面平行时，最后应说明向量 所在的基线不在平面内.
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＊对应演练＊
如图,在正方体ABCD— A1B1C1D1中,E,F,M分别 为棱BB1,CD,AA1的中点. 证明：
空间向量法解决立体几何问题PPT优秀课件
a
P
B
A
l
P
a
b
Oa
A
因为方向向量与法向量可以确 定直线和平面向量，所以我们可以 利用直线的方向向量和平面的法向 量表示空间直线、平面间的平行、 垂直、夹角等位置关系。
知识点
设直线 l , m 的方向向量为分别为 a , b ，平面 , 的法向量分别为 u , v
1 . l // m a // b a b l // a u a u 0 // u // v u v
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
习题讲解
2、设 u , v 分别是平面 , 的法向量，根据下列条件 判断平面 , 的位置关系。
( 1 ) u ( 2 ,2 ,5 ) ,v ( 6 , 4 ,4 ) ( 2 ) u ( 1 ,2 , 2 ) ,v ( 2 , 4 ,4 )
( 3 ) u ( 2 , 3 ,5 ) ,v ( 3 , 1 , 4 )
n
a α
b
习题讲解
1、已知A（1，0，1），B（0，1，1），C （1，1，0），求平面ABC的一个法向量。
解：设平面ABC的一个法向量 n(x,y,z)， 依题意得：A B ( 1 ,2 ,0 ) ,B C ( 1 ,0 , 1 )
用空间向量表示立体几何中的平行、垂直和夹角PPT优秀课件
探究3：夹角 (0 )
2
线线夹角 l,m的夹角为 ，cos
|
a
b|
| a||b |
线面夹角 l,的夹角为 ， sin |au|
|a||u|
面面夹角 ,的夹角为 ，cos |uv|
|u||v|
三、简单应用
练习1：设直线l，m的方向向量分别
,的夹角为 ，cos |uv|
|u||v|
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。――[怀特曼] 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron]
128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。――[马克吐温] 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。――[约翰·鲁斯金]
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
第11讲 空间向量与立体几何(可编辑PPT)
0,0), 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),
n PD 0, 2 y 2 z 0, 则 即 2 x 0, n DC 0,
不妨令y=1,可得n=(0,1,1).
考点聚焦
栏目索引
因为n· =(0,1,1)· (1,0,0)=0, 所以 n ⊥ AB AB .
高考导航
立空间直角坐标系.
由题意,得A(1,0,0),D(0,0,0),D1(0,0, 3 ),B1(1,1, 3 ), ∴ DB1 =(1,1, 3 ), AD1 =(-1,0, 3 ),
考点聚焦
栏目索引
即B1D⊥BA,B1D⊥BD. 又BA∩BD=B,BA,BD⊂平面ABD, 因此B1D⊥平面ABD. (2)由(1),知E(0,0,3),G ,1, 4 ,F(0,1,4),
a EF 则 EG = ,1,1 , =(0,1,1), 2 所以 =0+2-2=0, EF B1 D · B1 D · EG =0+2-2=0,
栏目索引
高考导航
第11讲
空间向量与立体几何
考情分析
栏目索引
高考导航
总纲目录
栏目索引
总纲目录
考点一 利用向量法证明平行与垂直
高考导航
考点二
考点三
利用空间向量求空间角
立体几何中的探索性问题
考点聚焦
栏目索引
考点一
利用向量法证明平行与垂直 高考导航
设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面α、β的法向量分别为μ
考点聚焦
栏目索引
空间向量与立体几何PPT教学课件
任一点 P ,存在实数 t
使得 AP t AB
P
或AP ta
a
⑶平面
A
空间中平面 的位置可以由 内两
条相交直线(两个不共线向量)来确定.
对于平面 上的任
。
一点 P ,存在有序实数
对 ( x, y) ,使得
b
OP xa yb
O a
2、直线的向量参数方程
l
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一
3、物理的未来在何方？
新理论
新材料
新能源
核聚变
核电站
新世界，新征程
4、我们该如何学好物理？
多观察
多思考
多看教材
（1）求证： AP 是平面 ABCD 的法向量；
（2）求平行四边形 ABCD 的面积．
（1）证明：∵ AP AB (1,2,1)(2,1,4) 0， AP AD (1,2,1)(4,2,0) 0 ，
∴ AP AB，AP AD，又 AB AD A，AP 平 面
，
∴ AB是C平D面
的法向量．
第十三章
《空间向量与立体几何》
立体几何中的向量方法(一)
一、复习目标：1、理解直线的方向向量与平
面的法向量并会求直线的方向向量与平面的法向 量。2、理解和掌握向量共线与共面的判断方法。 3、用向量法会熟练判断和证明线面平行与垂直。
二、重难点：概念与方法的运用
三、教学方法：探析归纳，讲练结合。 四、教学过程
交直线来确定.
对于平面 上的任一点 P ,
b
O a
P
存在有序实数对 ( x, y) ,使得
OP xa yb
这样，点O与向量 a、b 不仅可以确定平面的位 置，还可以具体表示出 内的任意一点。
空间向量与立体几何PPT课件
如图，以点O为原点，建立空间直角坐标 系，
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3， z3)， 由点O在底面上的射影G为△ABC的中心可得
网络构建
专题归纳
高考真题
点 G 的坐标为(x1＋x32＋x3，y1＋y32＋y3，z1＋z32＋z3)．
而O→A＋O→B＋O→C＝(x1＋x2＋x3，y1＋y2＋y3，z1＋z2＋z3)， ∴O→G＝13O→A＋13O→B＋13O→C. 点评：由二维到三维，任意一个向量可以用三个不共面的 向量线性表示，求这样的表示式的常用方法有几何法(即 上面的解法一)和代数法(即引入坐标，上面的解法二)．
网络构建
专题归纳
高考真题
专题二 向量法解决共线、共面问题
向量作为数学运算的一种重要工具，在解决立体几何 问题中有着广泛的应用．如向量共线定理有两方面的应 用：一是利用定理证明向量共线(或三点共线、线线平行)； 二是逆用，即已知两个向量共线，那么其中一个向量必然 可用另一个向量线性表示．
【例2】已知：E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边 AB、BC、CD、DA的中点， 求证：(1)E、F、G、H四点共面； (2)BD∥平面EFGH.
∴以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD′为 z 轴，建立空 间直角坐标系．
∴A′(1，0，2)，E(0，1，1)，F(12，0，0)，G(1，1，12)．
(1)A′ →E＝(－1，1，－1)，D→B＝(1，1，0)，D→E＝(0，1，1)，
网络构建
专题归纳
高考真题
由A′ →E·D→B＝1＋(－1)＝0 ，A′→E·D→E＝1＋(－1)＝0 得：
是 BD、BC 的中点，CA＝CB＝CD＝BD ＝2，AB＝AD＝ 2. (1)求证：AO⊥平面BCD； (2)求点E到平面ACD的距离．
空间向量解立体几何.ppt
1
2
3
正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB中点,求对角线 DB1与CM所成角的余弦值
1
2
3
与平面垂直的向量 称为平面的法向量
线面成角|面面成角|点面距离|线线距离
法向量
1
2
3
1
2
3
在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的 中心,求面OA1D1的法向量
1
2
3
1
2
3
1Hale Waihona Puke 2312
3
在四棱锥S-ABCD中,∠DAB=∠ABC=90°,侧棱SA⊥ 底面AC,SA=AB=BC=1,AD=2,求二面角A-SD-C的大小
1
2
3
1
向量的坐标 向量的数量积 向量的夹角的余弦 向量的模
2
3
向量的垂直 中点坐标公式
向量的平行
平行与垂直的证明 夹角与距离的计算
18级美术专业 2020/2/23
1
向量的坐标 向量的数量积 向量的夹角的余弦 向量的模
2
3
向量的垂直 中点坐标公式
向量的平行
平行与垂直的证明 夹角与距离的计算
1
2
3
向量的坐标 向量的数量积 向量的夹角的余弦 向量的模
1
2
3
1
2
3
向量的垂直 中点坐标公式
向量的平行
1
2
3
1
2
3
平行与垂直的证明 夹角与距离的计算
第八章8.7立体几何与空间向量
∴ P→A⊥ B→D， ∴PA⊥BD.
1
3
(2)取 PA 的中点 M ，连接 DM ，则 M 2，－ 1， 2 .
∵ D→M ＝
3 2， 0，
3 2
， P→B＝ (1， 0，－
3)，
∴
D→M
→ ·PB
＝32×
1＋
0×0＋
23× (－
3) ＝0，
∴ D→M ⊥ P→B，即 DM ⊥ PB.
∵ D→M ·P→A＝32× 1＋ 0× (－ 2)＋
A. 若 l⊥ m，m? α，则 l⊥ α C.若 l∥ α，m? α，则 l ∥m 答案 B
B. 若 l ⊥α， l∥ m，则 m⊥ α D.若 l ∥ α，m∥α，则 l ∥m
解析 对于 A ，由 l ⊥ m 及 m? α，可知 l 与 α的位置关系有平行、相交或在平面内三种，故
A 不正确 .B 正确 .对于 C，由 l ∥ α， m? α知， l 与 m 的位置关系为平行或异面，故 C 不正确 .
1)，
→ CD
＝
1 2，
3 2 ，0
，
n·A→C＝0， 又
n·C→D＝ 0，
x－ z＝ 0，
∴1
3
2x＋ 2 y＝ 0，
令 y＝－ 1，则 x＝ z＝ 3，
1 1·
＝ 2
22，即〈 m，n〉＝ 45°.
∴ 两平面所成二面角为 45°或 180°－ 45°＝ 135°.
题组三 易错自纠
5.直线 l 的方向向量 a＝ (1，－ 3， 5)，平面 α的法向量 n＝(－ 1， 3，－ 5)，则有 ( )
A. l ∥ α
B. l⊥ α
C.l 与 α斜交
D. l? α或 l∥ α
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AB n n
A1 B1
AB n n
N B b
结论1
点 P 到平面的距离可以通过， 在平面内任取一点 A，求向量 PA在 平面的法向量 n 上的投影来解决.
P
d
PA n n
M
O n N A
结论2
异面直线间的距离可以通过， 在两条直线上任意各取一点 A、B， 求向量 AB 在公共法向量 n 上的投影 来解决. A
1 AG GD ， BG ⊥ GC ， 3
z P
GB=GC=2，PG=4，E 是 BC 的中点. ⑴求异面直线 GE 与 PC 所成 的角； ⑵若 F 点是棱 PC 上一点， 且
PF DF⊥GC，求 的值. FC
x B
F
A
G
D
E
C y
建立空间坐标系
利用现有三条两两垂直的直线 注意已有的正、直条件 相关几何知识的综合运用
d AB n n
M a n N B b
已知正方体 ABCD — A1B1C1D1 中，P 是 AD 的中 点. ⑴求点 A1 到平面 PBD1 的距离； ⑵求异面直线 AA1 与 BD1 的距离. x
z D1 A1 C1
B1
?
P
A D B C
y
四种距离的计算
点到平面的距离 直线到与它平行平面的距离 两个平行平面的距离 异面直线的距离
A' B ' a e AB n n
课本P42
如果表示向量 a 的有向线段所在直线 垂直于平面，则称这个向量垂直于平面 ，记作 a ⊥. 如果 a ⊥，那么向量 a 叫做平面的 法向量.l Nhomakorabeaa
P l M
d
O n A
PA n n
B1
B e A1 A
N
b
M
a
A
d
n
n O P
A
二面角的平面角的计算
求二面角的平面角，可以先求组成二面 角的两个半平面的法向量之间的夹角，然后 再确定二面角的大小. n
P A B
m
Q
b
l
已知正方体 ABCD — A1B1C1D1 中，P 是 AD 的中 点. ⑶求直线 AD1 与平 A 面 PBD1 所成角； ⑷求二面角 A— A BD1—P 的大小. x
三种角的计算
异面直线所成的角 直线和平面所成的角 二面角
异面直线所成角的计算
求异面直线 AB 与 CD 所成角 的计算，可以先转化为计算向量 AB 与CD 的夹角，即计算
cos AB, CD AB CD AB CD
斜线与平面所成角的计算
斜线 PA 与平面所 成角的计算，可以先求 向量 PA 与平面 的法向 量 n 之间的夹角( 即斜线 PA 与平面的垂线的夹 角)，然后利用余角关系 求出斜线与平面所成 角.
x
z
C1
A1 D E G A C B y B1
在 四 棱 锥 P A BC D 底 面 为 一 直 角 梯 形 ， BAD 90 ， AD // BC ， AB BC a ， AD 2a 且 PA 底面 ABCD，PD 与底 面成30角. ⑴若 AE PD，E 为垂足， 求证： BE PD； ⑵在⑴的条件下，求异面直 线 AE 与 CD 所成角的大小.
z
P E A B
x
D y C
z A
z P
B
y 正三棱锥
D
C
x A x 正四棱锥 x A D C A1 B y
正三棱柱
z C1
B1
C
y
B
如图，在直三棱柱 ABC —A1B1C1 中， 底面是等腰直角 三角形，∠ACB=90°．侧棱 AA1=2，D、E 分别是 CC1 和 A1B 的中点， 点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的重心 G． ⑴求 A1B 与平面 ABD 所成角 的大小； ⑵求点 A1 到平面 AED 的距 离．
z D1 C1
1
B1
P
D B
C
y
垂直与平行的证明
♣ 直线与平面的平行
♥ 共面向量的充要条件 ♥ 与平面的法向量垂直
♣ 直线与平面的垂直
♥ 垂直于平面内不共线的两个向量
♣ 平面与平面的平行
♥ 两个平面的法向量平行
♣ 平面与平面的垂直
♥ 两个平面的法向量垂直
如图，四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边 形，PG⊥平面 ABCD，垂足 为 G ， G 在 AD 上 ， 且
空间向量
课本P33
已知向量 AB a 和轴 l， e 是 l 上与 l 同方向的单位向量. 作点 A 在 l 上的射影 A’，作点 B 在 l 上的射影 B’，则 A ' B '叫做 向量 AB 在轴上或在 e 方向上的正射影，简 称射影.
A ' B ' AB cos a, e a e