振动叠加的理论、实验及其数值计算
工程力学中的振动分析如何进行？
工程力学中的振动分析如何进行？在工程力学的广袤领域中，振动分析是一个至关重要的课题。
无论是桥梁的设计、机械装备的研发，还是建筑物的抗震性能评估，都离不开对振动现象的深入理解和精准分析。
那么，工程力学中的振动分析究竟是如何进行的呢？要进行振动分析，首先得明确什么是振动。
简单来说，振动就是物体在平衡位置附近做往复运动。
这种往复运动可以是周期性的，也可以是非周期性的。
而在工程力学中，我们通常更关注周期性的振动，因为它们具有更明显的规律和特征。
在振动分析中，有几个关键的概念需要先搞清楚。
比如振幅，它指的是物体振动时偏离平衡位置的最大距离；频率，是指单位时间内振动的次数；周期，则是完成一次振动所需要的时间。
这三个概念相互关联，通过简单的数学关系可以相互转换。
接下来，我们来谈谈振动分析的方法。
常见的有理论分析、实验研究和数值模拟三种。
理论分析是通过建立数学模型来描述振动系统的行为。
对于一些简单的振动系统，比如单自由度的弹簧振子，我们可以利用牛顿第二定律和胡克定律等基本物理定律，推导出其运动方程，然后求解方程得到振动的特性，如振幅、频率和相位等。
但对于复杂的多自由度系统，理论分析往往会变得非常困难，甚至无法进行精确求解。
实验研究则是通过实际测量来获取振动系统的特性。
在实验中，我们会使用各种传感器，如加速度传感器、位移传感器等，来采集振动信号。
然后，通过对这些信号进行处理和分析，得到振动的相关参数。
实验研究的优点是直观、可靠，可以真实地反映实际系统的振动情况。
但实验研究也有其局限性，比如成本较高、实验条件难以控制、无法完全模拟实际工作环境等。
数值模拟是近年来发展迅速的一种振动分析方法。
它利用计算机软件，对振动系统进行建模和仿真。
通过数值计算的方法求解振动方程，得到系统的振动响应。
数值模拟的优点是可以处理复杂的几何形状和边界条件，能够快速地对不同的设计方案进行评估和优化。
但数值模拟的结果也依赖于模型的准确性和计算方法的合理性，如果模型不准确或者计算参数设置不当，可能会导致结果的偏差。
动力学与控制-多自由度系统数值计算(2)振型叠加法
则有
} [C p ]{ } [ K ]{} {Q(t )} [ M p ]{ {Q(t )} [ ]T {F (t )}
(0)} [ M p ]1[ ]T {x 0 } { (0)} [ M p ]1[ ]T {x0 }, {
由于系统已经解耦，可以逐方程根据前述直接积分 法求出主坐标下的响应，然后换算出物理响应。这 种基于模态变换的响应算法，称为振型叠加法(模态 叠加法)。
i 1 s
1
于是
} {x} [ F ]{P (t )} [ F ][ M ]{ x
2 i
i {i }
s
如果以[L]确定的变换仅用于计算加速度，即 L } } [ L ]{ { x 则
L } {x} [ F ]{P (t )} [ F ][ M ][ L ]{ s 1 i [ F ]{P (t )} 2 {i }
10
(k )
小组练习
• 4组：设计自由度数目较多的算例，用模态叠
加法计算系统的响应(考虑全部模态、部分模 态的模态位移法以及部分模态的模态加速度法 三种情形)。 时间：第周上课前完成
11
2
振型叠加法
振型截断法就是仅使用[L]近似地计算响应，一般可 分为振型位移法和振型加速度法两类。 • 振型位移法 假定已经求得系统的前s阶固有频率i及其对应的主 振型{i}(i=1,2,…,s)，引入变换 {x} [ L ]{ L } 代入作用力方程，有
L } [C pL ]{ L } [ K pL ]{ L } [ L ]T {P(t )} [ M pL ]{
i 1
i
7
8
单自由度系统的线性力法
对于单自由度振动系统
第4章-多自由度系统振动分析的数值计算方法(25页)
第4章 多自由度系统振动分析的数值计算方法用振型叠加法确定多自由度系统的振动响应时，必须先求得系统的固有频率和主振型。
当振动系统的自由度数较大时，这种由代数方程求解系统固有特性的计算工作量很大，必须利用计算机来完成。
在工程中，经常采用一些简单的近似方法计算系统的固有频率及主振型，或将自由度数较大的复杂结构振动问题简化为较少阶数的振动问题求解，以得到实际振动问题的近似分析结果。
本章将介绍工程上常用的几种近似解法，适当地选用、掌握这类实用方法，无论对设计研究或一般工程应用都将是十分有益的。
§4.1 瑞利能量法瑞利（Rayleigh ）能量法又称瑞利法，是估算多自由系统振动基频的一种近似方法。
该方法的特点是：①需要假定一个比较合理的主振型；②基频的估算结果总是大于实际值。
由于要假设主振型，因此，该方法的精度取决于所假设振型的精度。
§4.1.1 第一瑞利商设一个n 自由度振动系统，其质量矩阵为[]M 、刚度矩阵为[]K 。
多自由度系统的动能和势能一般表达式为{}[]{}{}[]{}/2/2TTT x M x U x K x ⎫=⎪⎬=⎪⎭&& (4.1.1)当系统作某一阶主振动时，设其解为{}{}(){}{}()sin cos x A t x A t ωαωωα=+⎫⎪⎬=+⎪⎭&(4.1.2)将上式代入式（4.1.1），则系统在作主振动时其动能最大值max T 和势能最大值max U 分别为{}[]{}{}[]{}2max max /2/2TTT A M A U A K A ω⎫=⎪⎬=⎪⎭(4.1.3)根据机械能守恒定律，max max T U =，即可求得{}[]{}{}[]{}()2I TTA K A R A A M A ω== (4.1.4)其中，()I R A 称为第一瑞利商。
当假设的位移幅值列向量{}A 取为系统的各阶主振型{}i A 时，第一瑞利商就给出各阶固有频率i ω的平方值，即{}[]{}{}[]{}2(1,2,,)Ti i i Ti i A K A i n A M A ω==L(4.1.5)在应用上式时，我们并不知道系统的各阶主振型{}i A ，只能以假设的振型{}A 代入式（4.1.4），从而求出的相应固有频率i ω的估计值。
《振动理论》课件
振动控制通过控制振动源和结构减少振动对系统的影响其他应用领域
振动理论在航空航天、车辆工程和建筑工程等领域 中有广泛应用
总结
• 振动理论在工程领域中具有重要的应用价值 • 随着科学技术的发展，振动理论仍在不断完善和优化 • 未来的发展趋势包括更精确的模拟和更高效的数值计算方法
2 混沌和奇异吸引子
非线性系统的振动可能表现出混沌和奇异吸 引子行为
3 周期倍增
周期倍增是非线性振动出现周期性振幅倍增 现象
4 分岔与现象分析
分岔是非线性系统参数变化时振动解的结构 突变现象
应用实例
振动传感器
用于测量和监测机械设备振动状态的传感器
振动测量及分析
通过振动测量和分析了解设备运行状态和故障诊断
《振动理论》PPT课件
振动理论是研究物体在特定条件下的振动现象及其应用的学科。本课件将介 绍振动理论的基本概念、解析解和数值解法，以及其在实际应用中的重要性。
概述
• 振动理论是研究物体在特定条件下的振动现象及其应用 • 常见的振动现象包括机械振动、声学振动和电子振动等 • 振动理论的应用广泛，涵盖领域包括建筑工程、机械制造和航天航空等
单自由度振动
定义及简介
单自由度振动是指系统中只有一个自由度参与振 动的情况
阻尼、弹性及质量对运动的影响
阻尼、弹性系数和质量是影响振动运动特性的重 要参数
系统模型及运动方程
用微分方程描述单自由度振动系统的运动
解析解及其特点
解析解提供了一种可精确计算振动响应的方法
多自由度振动
1
定义及简介
多自由度振动研究系统中具有多个自由
系统模型及运动方程
2
度参与振动的情况
用一组微分方程描述多自由度振动系统
物理实践：波的叠加和干涉
实验误差：分 析实验误差产 生的原因，提 高实验的准确 性和可靠性。
结论：总结实 验结果，得出 波的干涉现象 的结论，理解 干涉在生产和 生活中的应用。
波的干涉理论解释
波动方程和干涉项
波动方程：描述波在空间中传播的数学模型 干涉项：描述两个或多个波相互作用的数学表达式 相位差：影响干涉结果的重要因素 干涉模式：描述波干涉后形成的图案和特征
波动干涉：当两 个或多个波源的 波在空间中以波 的形式传播并相 遇时，它们相互 作用产生加强或 减弱的现象。
干涉现象的产生条件
两个或多个波源
频率相同
具有稳定的相位差
叠加区域存在相互 加强或相互抵消的 现象
干涉现象在生活中的应用
光学干涉：用于制造高精度光 学仪器，提高测量精度
声学干涉：在音乐厅中利用声 波干涉改善音质
声学干涉在环境监测领域的应用：如噪声控制、空气质量监测等
THANK YOU
汇报人：XX
干涉相长和相消的条件
相长干涉：当两 列波的相位差等 于波长的整数倍 时，波峰与波峰 叠加，波谷与波 谷叠加，振幅增 强
相消干涉：当两 列波的相位差等 于半波长的奇数 倍时，波峰与波 谷叠加，振幅相 互抵消
条件总结：相长 干涉时，两列波 的频率相同、相 位差恒定；相消 干涉时，频率和 相位差均无要求
波的干涉现象
干涉现象的定义和分类
干涉现象的定义： 当两个或多个波 源的波在空间重 叠时，它们相互 作用产生加强或 减弱的现象。
干涉现象的分类： 根据干涉的条件 和表现形式，干 涉现象可以分为 线性干涉和波动 干涉两类。
线性干涉：当两 个波源的波在空 间中以直线传播 并相遇时，它们 相互作用产生加 强或减弱的现象。
共振结构的理论分析和实验研究
共振结构的理论分析和实验研究共振是指在某个特定频率下的振动或波动强烈地增强或受到强烈抑制的现象，共振结构则是指一种通过在物体表面或内部特定位置放置共振器件实现的控制振动或声波传播的方法。
共振结构在研究和应用中具有广泛的实用价值，如用于声学应用、结构动力学中的能量吸收、传感器技术、及各种物理实验的装置中等。
一、共振结构的理论分析共振结构的理论分析是指通过理论方法对共振结构的振动特性进行分析，如固有频率、共振增强、能量消耗、热分解等。
数值计算方法是对共振结构进行理论分析的基本方法之一，它通过有限元、边界元、声能量法等方法，对共振结构的振动场进行模拟计算，从而得到共振结构的振动机理，如共振特征频率、共振效应的增强、振幅分布等。
其中，有限元方法是一种计算力学领域中最常用的数值方法，它通过将问题离散化为多个小单元进行数值计算，可以计算位移、应力、应变等力学量的分布和变化规律，从而得到共振结构的理论振动特性。
边界元法是一种处理有界区域内边界问题的数值方法，它主要应用于中高频场合的计算，计算速度相对有限元法要快，对于大区域的有界区域处理也较为方便。
声能量法是一种处理声波传递问题的数值方法，它主要应用于半波长场合的计算以及低频传递问题的计算。
与理论方法不同的是，实验方法通过对已制备好的共振结构进行实际测试，从实验数据中得出共振结构的振动特性，如共振频率、共振效应等。
实验方法的优点在于对共振结构的仿真计算结果有一定的验证，但是由于实验条件的复杂性，实验结果仅对特定情况下的共振结构有效。
二、共振结构的实验研究共振结构的实验研究主要包括振动实验、声学实验、电磁实验等。
振动实验是通过在共振结构中施加一定的力，对共振结构的振动进行实验研究。
例如将悬挂在支点上的共振器上打上一定的振动，可以观察共振器的振动模式和频率，从而比较真实地得到振动特性。
声学实验是对共振结构进行声波实验萃取其共振特性。
例如在扬声器内设置共振腔，通过在共振腔内放置共振器，可以使声音效果更为突出，或者在墙壁上设置共振器芯板，可以改善空间的音质和声场分布。
振幅计算方法
振幅计算方法一、引言振幅是描述波动或振动幅度的物理量，它能够反映出一个振动系统的强度和能量大小。
在物理学、工程学以及其他相关学科中，振幅的计算是非常重要的，它可以用来衡量各种振动现象的特征和性质。
本文将介绍几种常见的振幅计算方法。
二、简单振动的振幅计算方法简单振动是指一个物体以恒定的频率在一个固定位置上做往复运动的现象。
对于简单振动，其振幅可以通过以下公式进行计算：振幅 = 最大位移 - 平衡位置其中，最大位移是指物体在振动过程中离开平衡位置的最大距离，平衡位置是指物体在没有受到外力作用时所处的位置。
通过测量最大位移和平衡位置的数值，即可计算出简单振动的振幅。
三、复杂振动的振幅计算方法复杂振动是指一个物体在多个频率的作用下同时进行的振动现象。
对于复杂振动，其振幅的计算方法则更加复杂。
一种常见的计算方法是利用傅里叶级数展开，将复杂振动分解为多个简单振动的叠加。
然后，通过对每个简单振动的振幅进行计算，再进行叠加，即可得到复杂振动的振幅。
四、声音振动的振幅计算方法声音是一种机械波，其振动也可以用振幅来描述。
对于声音振动，其振幅的计算方法与简单振动类似，可以通过测量声音波峰和波谷之间的距离，再除以2得到振幅的大小。
此外，还可以利用声压级计算振幅，声压级是描述声音强度的物理量，可以通过测量声音的压力差来计算振幅。
五、电磁振动的振幅计算方法电磁振动是指电场和磁场在空间中进行的振动现象。
对于电磁振动，其振幅的计算方法与复杂振动类似，可以利用傅里叶级数展开，将电磁振动分解为多个简单振动的叠加。
然后，通过对每个简单振动的振幅进行计算，再进行叠加，即可得到电磁振动的振幅。
六、结论通过以上的介绍，我们可以看到，振幅计算是描述振动现象的重要方法之一。
不同类型的振动，其振幅的计算方法也有所不同。
对于简单振动，可以直接通过测量最大位移和平衡位置来计算振幅；而对于复杂振动、声音振动和电磁振动，需要利用傅里叶级数展开等方法进行计算。
实振型分解反应谱法
实振型分解反应谱法
1.振型分解原理
实振型分解反应谱法是一种基于结构振动特性的地震反应分析方法。
该方法将结构振动响应分解为若干个振型（模态）的叠加，从而在各个振型上单独求解地震反应。
2.反应谱理论
反应谱理论是研究结构在地震作用下的动力反应的重要工具。
它通过分析地震动输入的加速度、速度和位移反应谱，来描述结构在不同地震动频率下的响应。
3.地震动输入
地震动输入是地震反应分析的基础，包括地震动的峰值加速度、峰值速度和峰值位移等参数。
这些参数决定了结构在地震作用下的动力响应。
4.结构动力特性
结构动力特性包括结构的自振频率、阻尼比和振型等参数。
这些参数反映了结构在地震作用下的动力响应特性，是进行实振型分解反应谱法分析的基础。
5.阻尼模型
阻尼模型用于描述结构在振动过程中的能量耗散机制。
在实振型分解反应谱法中，通常采用阻尼比来描述结构在不同频率下的阻尼效应。
6.数值计算方法
实振型分解反应谱法的数值计算方法包括有限元法、有限差分法等。
这些方法通过离散化结构振动方程，求解结构在地震作用下的动力响应。
7.计算结果分析
通过对实振型分解反应谱法的计算结果进行分析，可以了解结构在不同地震动频率下的响应特征，从而评估结构的抗震性能。
8.工程应用
实振型分解反应谱法在工程结构抗震设计中得到广泛应用，可以用于评估结构的抗震性能、优化结构设计等方面。
同时，该方法也可以用于研究结构在地震作用下的动力响应和损伤机理。
《2024年双参数弹性地基上正交各向异性矩形薄板振动的辛叠加方法》范文
《双参数弹性地基上正交各向异性矩形薄板振动的辛叠加方法》篇一一、引言在工程和物理领域，正交各向异性矩形薄板振动的研究具有广泛的应用背景。
特别是在双参数弹性地基上，这种振动的分析变得尤为复杂。
传统的数值方法和解析方法在处理这类问题时，往往面临计算量大、精度低等挑战。
本文提出了一种基于辛叠加方法的双参数弹性地基上正交各向异性矩形薄板振动分析方法，旨在解决上述问题，提高计算精度和效率。
二、问题描述与模型建立双参数弹性地基上正交各向异性矩形薄板的振动问题，涉及到复杂的物理过程和数学模型。
首先，我们需要建立薄板的物理模型，包括各向异性的材料属性、双参数弹性地基的力学特性等。
其次，根据薄板的几何尺寸和边界条件，建立振动问题的数学模型。
该模型将振动问题转化为偏微分方程的求解问题。
三、辛叠加方法的原理辛叠加方法是一种基于辛几何的数值分析方法，具有较高的计算精度和稳定性。
该方法通过将振动问题分解为一系列简单的子问题，利用辛几何的性质进行求解，最后将各个子问题的解进行叠加，得到原问题的解。
在双参数弹性地基上正交各向异性矩形薄板振动问题中，辛叠加方法可以有效地降低问题的复杂度，提高计算效率。
四、辛叠加方法的应用在双参数弹性地基上正交各向异性矩形薄板振动问题的分析中，我们首先将薄板划分为若干个小的子区域，每个子区域内的振动问题可以简化为一个简单的子问题。
然后，利用辛叠加方法求解每个子问题，得到子问题的解。
最后，将各个子问题的解进行叠加，得到原问题的解。
在求解过程中，我们需要考虑薄板的各向异性材料属性、双参数弹性地基的力学特性等因素对振动问题的影响。
五、结果分析与讨论通过辛叠加方法，我们得到了双参数弹性地基上正交各向异性矩形薄板振动的解。
通过对解的分析，我们可以得到薄板在不同频率下的振动特性、振型分布等信息。
与传统的数值方法和解析方法相比，辛叠加方法具有更高的计算精度和效率。
此外，我们还讨论了各向异性材料属性、双参数弹性地基的力学特性等因素对振动问题的影响，为实际工程中的应用提供了理论依据。
第5章多自由度系统的数值计算方法
第5章多自由度系统的数值计算方法在工程实践中，我们经常会遇到多自由度系统（Multiple Degree of Freedom，简称MDOF）的问题，例如振动台、建筑结构等。
这些系统通常由多个自由度所组成，因此其运动方程会比单自由度系统更加复杂。
因此，我们需要使用数值计算方法来求解这些系统。
在本章中，我们将介绍两种常见的数值计算方法，包括直接积分法和模态叠加法。
一、直接积分法直接积分法，也称为时步法或时间积分法，是一种常用的求解MDOF系统的数值计算方法。
它的基本原理是将多自由度系统的运动方程转换为一组一阶常微分方程。
然后，利用数值积分方法，如欧拉法、Runge-Kutta法等，对这组常微分方程进行求解，得到系统的运动响应。
直接积分法的主要步骤如下：1.确定系统的运动方程：根据多自由度系统的动力学原理，可以得到系统的运动方程。
一般来说，这个方程是非线性方程，通常需要进行线性化处理。
2.将运动方程转化为一阶常微分方程组：将系统的运动方程进行适当的变换，将其转化为一组一阶常微分方程。
这样，就可以使用数值积分方法对其进行求解。
3. 选择数值积分方法：选择适合系统的数值积分方法，例如欧拉法、Runge-Kutta法等。
这些方法的基本思想是将微分方程转化为差分方程，通过迭代来逼近准确解。
4.进行数值计算：根据选择的数值积分方法，进行迭代计算，得到系统的运动响应。
尽管直接积分法是一种广泛应用的数值计算方法，但也存在一些问题。
例如，随着自由度的增加，计算量会大大增加。
此外，由于数值积分方法的局限性，可能会出现数值不稳定、数值发散等问题。
二、模态叠加法模态叠加法是求解MDOF系统的另一种常用数值计算方法。
该方法基于模态分析的思想，将MDOF系统的运动方程转化为一组无耦合的一自由度系统的运动方程。
然后，按照模态响应的叠加原理，将各个模态的响应相加，得到系统的总体响应。
模态叠加法的主要步骤如下：1.确定系统的模态参数：通过模态分析方法，可以得到系统的模态参数，包括模态频率、振型等。
多自由度系统振动
的方法。
传递矩阵法适用于线性时不变系 统，能够处理多自由度系统的振
动问题，计算效率较高。
传递矩阵法的精度取决于系统参 数和边界条件的准确性，对于复 杂系统和非线性问题，需要采用
其他方法进行求解。
模态叠加法
模态叠加法是一种基于模态展开的数值 计算方法，通过将系统的振动表示为一 系列模态的线性组合，求解每个模态的
振动方程，得到系统的动态特性。
模态叠加法适用于线性时不变系统，能 够处理多自由度系统的振动问题，计算
精度较高。
模态叠加法需要选择合适的模态数目和 模态提取方法，对于大规模系统和复杂
未来研究方向
深入研究多自由度系统振动的 非线性特性，探索更精确的数
学模型和数值模拟方法。
针对复杂多自由度系统，研究 多因素耦合振动和多场耦合振
动的理论和方法。
发展多自由度系统振动主动控 制和智能控制技术，提高系统 振动控制精度和响应速度。
将多自由度系统振动理论应用 于实际工程领域，解决重大装 备和结构的振动问题，提高其 稳定性和安全性。
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02
它涉及到多个振动子之间的相互 作用和耦合，其动力学行为比单 自由度系统更为复杂。
研究背景和意义
随着科技的发展，多自由度系统在许多领域中得到了广泛应用，如大型机械装备、 精密仪器、高层建筑等。
由于多自由度系统在受到外部激励或内部参数变化时，会产生复杂的振动行为，这 不仅会影响系统的性能和稳定性，还可能引发安全问题。
航天器振动控制
总结词
振动学知识点总结归纳
振动学知识点总结归纳一、振动学基础知识1.1 振动的基本概念振动是物体在某一平衡位置附近来回作周期性运动的现象。
当物体在平衡位置周围出现微小偏离时，物体受到恢复力的作用，使其朝着平衡位置运动，从而形成振动。
1.2 振动的分类振动可分为自由振动和受迫振动。
自由振动是指物体在没有外力作用下的振动，而受迫振动是指物体受到外力作用下的振动。
1.3 振动的描述振动可以通过振幅、周期、频率等指标进行描述。
振幅是指振动过程中物体偏离平衡位置的最大距离，周期是指物体完成一次完整振动所需的时间，频率是指单位时间内振动的次数。
1.4 振动的动力学方程物体在振动过程中受到恢复力和阻尼力的作用，可以通过动力学方程进行描述。
动力学方程可以用来描述物体的振动规律，求解物体的振动响应。
二、单自由度系统2.1 单自由度系统的基本模型单自由度系统是指只有一个自由度可以发生振动的系统，它是振动学研究的基本模型之一。
单自由度系统的受力分析和振动方程可以通过牛顿定律和动能定理进行推导。
2.2 单自由度系统的自由振动单自由度系统在没有外力作用下的振动是自由振动，它可以通过解振动方程得到振动的时间变化规律。
自由振动的特点是振幅不变，频率固定。
2.3 单自由度系统的受迫振动单自由度系统受到外力作用时会发生受迫振动，外力的作用使得系统产生特定的振动响应。
受迫振动可以通过傅立叶分析和频谱分析进行研究，得到系统的振动响应特性。
2.4 单自由度系统的阻尼振动单自由度系统在振动过程中会受到阻尼力的作用，阻尼振动是指系统在振动过程中能量不断减少的现象。
阻尼振动的特点是振幅逐渐减小，频率不变。
2.5 单自由度系统的参数对振动的影响单自由度系统的质量、刚度和阻尼等参数对振动的影响是振动学研究的重要内容。
通过改变系统的参数，可以调控系统的振动特性，实现对系统振动的控制和优化。
三、多自由度系统3.1 多自由度系统的基本概念多自由度系统是指具有多个自由度可以发生振动的系统，它是振动学研究的扩展和深化。
胡海岩主编机械振动基础课后习题解答第2章习题
胡海岩主编---机械振动基础课后习题解答_第2章习题第2章习题含答案习题2-1 定常力作用下的单自由度系统1. 一个单自由度系统的质量m=2kg，刚度k=1000N/m，阻尼系数c=10N·s/m。
试求该系统的固有频率、阻尼比和振动的稳定性。
解：根据公式，该系统的固有频率可计算为：ωn = √(k/m) = √(1000/2) ≈ 22.36 rad/s阻尼比可计算为：ξ = c/(2√(mk)) = 10/(2√(2×1000)) ≈ 0.158振动的稳定性取决于阻尼比ξ的大小。
当ξ<1时，系统为欠阻尼；当ξ=1时，系统为临界阻尼；当ξ>1时，系统为过阻尼。
2. 一个单自由度系统的质量m=5kg，刚度k=500N/m，阻尼系数c=20N·s/m。
试求该系统的固有频率、阻尼比和振动的稳定性。
解：根据公式，该系统的固有频率可计算为：ωn = √(k/m) = √(500/5) = 10 rad/s阻尼比可计算为：ξ = c/(2√(mk)) = 20/(2√(5×500)) ≈ 0.141振动的稳定性取决于阻尼比ξ的大小。
当ξ<1时，系统为欠阻尼；当ξ=1时，系统为临界阻尼；当ξ>1时，系统为过阻尼。
习题2-2 强迫振动的幅值和相位1. 一个单自由度系统的质量m=3kg，刚度k=2000N/m，阻尼系数c=30N·s/m。
给定的外力F(t) = 10sin(5t)N。
试求该系统在稳态时的振动幅值和相位。
解：首先求解系统的强迫响应，即对外力F(t)进行拉氏变换：F(s) = L{F(t)} = L{10sin(5t)} = 10L{sin(5t)} = 10×(5/(s^2+25))根据公式，系统的强迫响应可计算为：X(s) = F(s)/((s^2+ωn^2)+2ξωns)其中，ωn=√(k/m)为系统的固有频率，ξ=c/(2√(mk))为系统的阻尼比。
模态叠加法算法理论及其编程实现
模态叠加法算法理论及其编程实现模态叠加法（Modal Superposition Method）是一种广泛应用于结构动力学计算中的数值分析方法，用于求解结构物的自由振动和响应。
该方法基于弹性力学原理，将结构物的振动模态进行叠加求解，得到结构物的整体振动响应。
模态叠加法的理论基础是振动理论和线性时变系统的特性。
在模态叠加法中，首先需要进行模态分析，即求解结构物的固有振动模态。
固有振动模态是结构物在无外界扰动的情况下自发振动的模式，可以通过有限元方法等手段进行求解。
固有振动模态是结构物的基础振动形态，通过线性组合这些基础振动形态，可以得到任意时刻结构物的振动情况。
在模态叠加法中，结构物的振动可以表示为各个模态振动的叠加。
每个模态表示一个固有振动模态，由振形函数和频率确定。
假设有n个模态，则结构物的振动响应可以表示为：\[u(t)=\sum_{i=1}^{n} A_{i}\sin(\omega_{i}t+\phi_{i})\]其中，A_i为振幅，\omega_i为频率，\phi_i为初始相位。
模态叠加法的关键是确定各个模态的振幅和初始相位。
确定各个模态的振幅和初始相位可以通过结构物的初始条件和激励情况来确定。
当结构物受到初始条件的影响时，振动模态的振幅和初始相位可以由初始条件确定。
当结构物受到外界激励时，振动模态的振幅和初始相位可以由结构物的动态响应计算得到。
根据叠加原理，结构物的振动响应可以表示为各个模态响应的叠加。
通过求解每个模态的振动响应，再进行叠加，可以得到结构物的整体振动响应。
在进行模态叠加法的编程实现时，一般可以采用以下步骤：1.进行结构物的模态分析，求解固有振动模态。
2.根据激励情况和初始条件，确定各个模态的振幅和初始相位。
3.对每个模态进行振动响应分析，求解振动模态的振动响应。
4.将各个模态的振动响应进行叠加，得到结构物的整体振动响应。
在实际编程实现中，可以利用数值计算软件或编程语言来实现模态叠加法。
波的叠加原理与驻波现象
振动方向：在波的叠加区域，合成 振动的方向取决于各列波的振动方 向和相位。
振动速度和加速度：合成振动的速 度和加速度也是各列波单独产生的 速度和加速度的矢量和。
波的干涉现象
定义：两个或多个波在空间相遇时，产生相互加强或减弱的现象 条件：频率相同、相位差恒定 结果：形成稳定的加强区和减弱区 应用：干涉仪、双缝干涉实验等
波的叠加原理与驻波现 象
汇报人：XXX
目录
波的叠加原理
01 波动能量 04 驻波现象
02 波的传播介质 05 波动方程
03
波的叠加原理
多个波在同一直线上传播时，它们的振幅相加，产生新 的波。
波的独立传播特性：每个波独立传播，不受其他波的影响。
波的独立传播条件：各波源产生的波在同一直线上传播，且波速相同。
波动能量的计算
波动能量的定义：指在波动过程中， 介质中质点振动的动能和势能之和。
波动能量的计算公式： E=1/2mv^2+1/2Iω^2，其中E为能 量，m为质量，v为速度，I为转动 惯量，ω为角频率。
波动能量的物理意义：表示介质在 单位时间内所吸收或释放的能量。
波动能量的影响因素：波速、波长、 频率和介质的性质等。
干涉现象的应用
电子显微镜： 利用干涉现象 提高成像质量
光学仪器：通 过干涉现象提
高测量精度
量子力学：干 涉现象是量子 力学中的重要
概念
医学成像：干 涉现象在医学 成像技术中有
广泛应用
驻波现象
驻波的形成
两个或多个波源产生的振动波在同一直线上传播时相互作用 波源的频率相同或相近，振动方向相同 波源的初相位相同或相差整数倍的整数倍 波源振幅不同，最大振幅的波节位置不同
叠加原理适用于的计算
叠加原理适用于的计算叠加原理是一种基本的物理原理，在多个领域中都有广泛的应用。
以下是叠加原理在一些领域中的应用：声波传播和声学：在声学中，叠加原理适用于声波的传播。
根据叠加原理，当多个声源同时发出声波时，它们的声波将在空间中相互叠加。
这种叠加现象被用于解释声波的干涉、衍射和相长干涉等现象，并用于设计声学设备如扬声器和麦克风。
电磁场理论和光学：在电磁场理论中，叠加原理适用于电磁场的传播。
根据叠加原理，当多个电磁波在空间中同时存在时，它们的电场和磁场会相互叠加。
在光学中，叠加原理被用于解释光的干涉、衍射和偏振等现象，并用于设计光学器件如光栅、透镜和干涉仪。
电路分析：在电路分析中，叠加原理被用于分析复杂的电路。
根据叠加原理，可以将电路中的各个元件的响应分解为不同部分的响应，再将它们叠加起来得到整个电路的响应。
这使得电路分析更加简化和直观。
力学和波动：在力学和波动中，叠加原理被用于求解线性系统的响应。
根据叠加原理，可以将外力或初始条件不同的多个系统的响应分别求解，然后将它们叠加起来得到整个系统的响应。
这种方法被广泛应用于求解机械振动、声波传播和波动现象等问题。
信号处理和通信：在信号处理和通信中，叠加原理被用于处理多个信号的混合。
根据叠加原理，可以将多个信号的频谱进行叠加，从而得到混合信号的频谱。
这种方法被广泛应用于语音信号处理、图像处理和无线通信等领域。
量子力学：在量子力学中，叠加原理是基本的原理之一、根据叠加原理，当一个量子粒子处于多个态时，它的波函数可以表示为这些态的线性组合。
这种叠加现象被用于解释量子力学中的干涉和叠加态等现象，并在量子计算和量子通信等领域中有着重要的应用。
总结起来，叠加原理是一种基本的物理原理，在声学、光学、电路分析、力学、波动、信号处理和量子力学等多个领域中具有广泛的应用。
它为我们理解和解决各种物理问题提供了一种重要的工具和方法。
震动实验：研究物体的震动现象以及震动对物体的影响
震动实验的发展 历程
震动实验的研究历史 可以追溯到古代，随 着科学技术的发展， 现代震动实验方法也 在不断完善和发展。 通过对比古代与现代 的实验方法，我们可 以看到人类对震动现 象认识的不断深化， 实验技术的不断进步， 为我们更好地探索物 体震动的奥秘提供了 有力支持。
震动实验的应用领域
建筑工程
● 06
第六章 总结与展望
震动实验的意义 与价值
震动实验在物理学、 工程学、生物学等领 域具有重要意义与价 值。通过震动实验， 我们可以深入研究物 体的震动现象，探索 震动对物体的影响， 为科学研究与工程应 用提供重要参考。
震动实验的不足与挑战
01 问题存在
实验设备不足
02 挑战问题
数据处理方法不够准确
震动现象的重要性
工程领域
工程结构的抗震 设计
生物学
生物体对外界刺 激的响应
物理学
振动理论与波动 现象
地质学
地震波传播及地 壳运动研究
震动实验的意义
振动频率研 究
探索物体振动特 性及共振现象
受力情况观 察
研究物体在震动 状态下的受力情
况
结构性质探 索
深入了解物体的 结构与性质
振幅分析
了解振幅对物体 影响的重要性
成本。
验证数值模拟结果与实验 结果的一致性和准确性。 提高实验数据的可靠性和
可信度。
参数分析
分析数值模拟中的参数对 振动行为的影响。 探索振动实验中的变量和 因素。
震动实验数据的 处理与分析
在震动实验中，数据 的处理与分析至关重 要。通过对振动实验 数据的分析，可以了 解物体的振动特性， 如振动频率、振幅、 振动模式等。这些重 要信息对于研究振动 现象、改进产品设计 具有重要意义。
管道弯管振动理论计算公式
管道弯管振动理论计算公式引言。
管道弯管振动是工程中常见的问题，它会对管道系统的稳定性和安全性产生影响。
因此，对管道弯管振动进行理论计算是非常重要的。
本文将介绍管道弯管振动的理论计算公式，并对其进行详细分析和讨论。
1. 管道弯管振动的影响因素。
管道弯管振动受到多种因素的影响，包括管道材料、管道直径、管道壁厚、流体密度、流速、管道长度等。
其中，管道弯管的几何形状和弯曲半径对振动特性有着重要的影响。
此外，流体的流动状态也会对管道弯管振动产生影响。
因此，在进行振动理论计算时，需要综合考虑这些因素。
2. 管道弯管振动的理论计算公式。
管道弯管振动的理论计算公式可以通过流体力学和结构力学的理论基础推导而得。
一般而言，管道弯管振动可分为自由振动和受迫振动两种情况。
自由振动是指在没有外力作用下，管道弯管由于初始扰动而产生的振动。
受迫振动是指在外力的作用下，管道弯管产生的振动。
自由振动的理论计算公式可以表示为：\[ f_n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} \]其中，\( f_n \)为自由振动的固有频率，\( k \)为弹簧系数，\( m \)为质量。
受迫振动的理论计算公式可以表示为：\[ F = m \cdot a \]其中，\( F \)为受迫振动的外力，\( m \)为质量，\( a \)为加速度。
3. 管道弯管振动的实例分析。
为了更好地理解管道弯管振动的理论计算公式，我们可以通过一个实例来进行分析。
假设一个直径为10cm的钢质管道弯管，弯曲半径为1m，流体密度为1000kg/m³，流速为10m/s。
我们可以通过上述理论计算公式来计算其自由振动的固有频率和受迫振动的外力。
首先，我们可以计算管道弯管的质量。
管道的质量可以表示为：\[ m = \rho \cdot V \]其中，\( \rho \)为流体密度，\( V \)为管道的体积。
代入已知数值可得：\[ m = 1000 \times \pi \times (0.1)^2 \times 1 = 31.42kg \]然后，我们可以计算管道弯管的弹簧系数。
机械振子叠加态
机械振子叠加态
机械振子的叠加态是指机械振子处于两种或多种不同的振动模式之间的状态，即机械振子同时具有多个振动频率或振动模式的叠加。
在这种情况下，机械振子的振动状态可以通过各种振动模式的叠加来描述，而不是单一的振动模式。
机械振子的叠加态可能由多种因素引起，其中包括以下几点：
1.外部激励：外部力或激励源可以同时作用于机械振子的不同部位或方向，导致机械振子在多个振动模式下同时振动。
例如，在施加多频率的声波或振动源时，机械振子可能同时响应于多个频率的振动。
2.非线性效应：在一些情况下，机械振子的振动可能会受到非线性效应的影响，例如振动幅度较大或振动频率较高时。
这种情况下，机械振子可能同时表现出多种振动模式的叠加。
3.多模态结构：某些机械振子具有多模态结构，即具有多个自然振动频率或振动模式。
在这种情况下，机械振子可能同时处于多个振动模式的叠加态。
机械振子的叠加态具有重要的物理意义和应用价值，例如在多频率振动传感器、振动能量收集器等领域具有重要应用。
因此，对机械振子叠加态的研究有助于深入理解振动系统的动态特性，并推动相关领域的发展和应用。
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形是 封 闭 的 ，只 不过从 外形 上看 不封 闭 而 已。此 时
频率之 比应 如此计算 （ 以初相差为零为例 ） ：从右
上 角 的点 （ ，１ 开 始 沿 李 萨 如 图线 顺 时 针 运 动 ， １ ）
到左上角点 （ ，１ 倒 回来逆时针再 回到初始点 一１ ） （ ，１ 结束 ，刚好是一个 闭合 的李 萨如 图线。这 １ ） 样计算经过最右端 （ ＝１ 和最高点 （ １ 的次数 ） Ｙ＝ ） 即为切点数之 比刚好为 ３４ ： ，其 中（ ，１ 点经过两 ０ ）
动实验 ） ，主要 是 教 材上 的 图像 是 静止 的 ，不 方 便
学生理 解 。通 过 Ｍａ ａ ｌ ｆ ｂ的绘 图 功 能 得 到 振 动 和 波
动叠加 的过程 ，从而帮助学生理解该知识点。
１ 界 面 设 计
新 建 一 个 Ｇ Ｉ 序 ，然 后 在 Ｇ Ｉ 主 界 面 上 Ｕ程 Ｕ 的
的状 况 。并且 差异 量越 大 ，变化应 越快 ，此 情 况刚 好和实验 中观察到的现象是一致的。当差异量从一
△‘ Ｐ＝０
△‘ ｌ２ ｐ＝ ／ Ｏ
△‘ ｔ ４ ｐ＝， ｒ ／
一
１
０
１
—１
０
１
÷
—１ ０
△‘ ｒ ３ ｐ＝，／ ｒ
△‘ Ｐ＝２ ｒ３ ｒ ／
图 １ 程序 主界 面以及平行 叠加的拍现象
２ 简 谐振动合成 的计算
许 多 文献讲 述 简谐振 动合 成 时 ，分为 同 等，形成界 面 图 形 。如图 １ 所示 。界面里每一个对 象（ 按钮或数据
框） 都将在 同时产生的 Ｍ文件里产生一个 回调 函数
以使学生生动地 了解物理现象 的形成过程。还可以
针对一些实验进行实验仿真 ，使学生实际实验前能 就能掌握调节技巧或进行仿 真实验 以减 少实验成
本 ，并能让学生更好地理解和掌握大学物理 的理论
和实 验 内容 。
振动和波动是大学物理以及物理实验的重要 内 容 ，但学生通常对振动合成的结果理解不够 ，比如 垂直 合成 的李 萨 如 图形 （ 波 器 实验 ） 示 和驻 波 （ 振 弦
李萨如图形应是稳定的。但实际实验观察到的实验
信号 图形 一般 都不 稳定 ，成旋 转状 ，跟初 相差 连续
比（ ２时 ， Ｎ ： ） 李萨如图形在 方向和Ｙ Ⅳ 方向的切点
数 之 比刚好 等于 它们 频 率 比的倒数 （ ２Ｎ ） ｉ ： １ 。当合 ｖ 成李 萨如 图形 的两个 振动 的 频率 固定时 ，改 变它们
中图分类号 ： Ｐ １ ４—３ ；Ｔ ３ １９ Ｔ ３ ；０ ９ Ｐ ９ ． 文献标志码 ：Ａ 文章编号 ：１７ ４ ５ （０ １０ ０６ — ３ ６２－ ５ ０ ２ １ ）４— ０ １ ０
Ｔｈ ｏ ｙ， Ｅｘ ｅ ｉ ｅ ｔａ ｄ Ｎｕ ｅ ｃ ｌＣａｃ ｌ ｔ ｎ ｏ ｂ ａ ｉｎ Ｓ ｐ ｒ ｏ ｉ ｏ ｅｒ ｐ ｒｍ ｎ ｎ ｍ ｒ ａ ｌｕ ａ ｉ ｆＶｉ ｒ ｔｏ ｕ ｅ ｐ ｓｔ ｎ ｉ ｏ ｉ
通 过 Ｍａｌ ｔｂ可 以设 计 人 机 交 互 的 图 形 界 面 程 ａ
语句实现 ，选 中叠加方向后 ，某变量被赋值 ，然后
用条件判断语句进行该方向叠加的计算并绘图。
ｎ 。‘ 。 … ÷ 萎
序【， １ 该软件具有 强大 的计 算 和绘 图功能 ，还 可 ｊ
生成 动画 ，特别 适用 于 物理 和物 理实 验 的教学 ，可
变化 出 现 的 图 样 差 不 多。作 者 查 阅 了 相 关 文 献 Ｊ ，虽然 有些 文献 提及 该 问题 ，但 并 没 有将 该
问题 解 释清楚 。为此 ，本文 对这 一 问题进 行讨 论 ：
的初相差会使李萨如图形发 生改变，例如输入 ， Ｙ方 向 的频率 比为 ３ ４ ： ，改 变 两 信号 的初 相 差 变 化
实际上用示波器实验观察李萨如图形时 ，固定
一
个信号源的频率 ，调节另一信号频率 ，当两个频
率 的 比值 为 较 小 的 整 数 比 时 ，就 可 看 到 李 萨 如 图 形 ，由于两信 号 的初 相 差 应 为恒 定 的 ，根 据 理 论 ，
时刻振子的位置从而得到李萨如图形，可先 ｈｌ ｏ ｏ ｎ ｄ 李萨如图形 ，然后利用 ｆ 循环画出各个时刻 的点。 ０ ｒ 当输入到 和 Ｙ 向的两个信号 的频率 比为正整数 方
ａ ｄ ｅ ｐ ｒｍｅ ｔ ｌ ｎ ｘ ｅ ｉ ｎ ａ ｙ，ａ ｈ ａ ｉ ｈ ｙ ｗ ｒ ｉ ｌｔ ｄ ｂ ｆ ｂ ｓ ｆ ｒ ．Ｔ ｅ ｐ ａ ｅ ｄ ｆ ｒ ｎ ｅ ａ ｄ ｔ ｅ ｄｆ ｒ ｎ ｅ ｏ ｑ ｅ ｃ ｆ ｌ ｔ ｅ ｓ ｍｅ ｔ ｔ ｍｅ ｔ ｅ ｅ ｓｍｕ ａｅ ｙ Ｍａ ａ ｏ ｔ ｅ ｅ ｌ ｗａ ｈ ｈ ｓ ｉ ｅ ｃ ｎ ｈ ｉ ｅ ｃ ｆｆ ｕ ｎ ｙ ｏ ｅ ｅ ｅ ｒ
从零到 ２ ，观 察 到 的李 萨如 图形 会 发 生 转 动 ，如
图 ２所示 。
由于信号 的初 相差 恒定 ，与合 成 李萨 如 图形 的 形 状有 关 ，但 并 不 会 使 其 旋转 ，为使 问题 简单 化 ， 假设 两 信号 的初相 位均 为零 ，参 与合 成 的两信 号为 １ ｏ（ ＂ Ｃ） ２ ｏ（ －Ｉ ｔ ，两 信号 的频 ＝ｃｓ２ｒ ｏ ， ＝ｃｓ２ｒ ） ｒ ｔ Ｎｄ ｒ 』 ｖ
第９ 卷
第 ４期
实验科学与技术
Ｅ ｐ ｒ ｎ ｃｅ ｃ ｎ ｅ ｈ ｏｏ ｙ ｘ ｅｉ ｍｅ ｔ ｉｎ ｅ ａ ｄ Ｔ ｃ ｎ ｌ ｇ Ｓ
Ｖ０． ｏ ４ １９ Ｎ ．
Ａｕ ｕ ｔ２ ｇ ｓ． ０１ １
２ １ 年 ８月 ０１
振动叠加 的理论 、实验及 其数值计算
ｓ ｎｌ ｆ ｅｃ ｎＬｓ － ｕ ｇｒ ｅ ａ ｚｄｉ ｔｅｒ ｄｂ ｕ ｒ ａ ｃ ｃｌｔｎｍ ｔ ｄ ａｄｔｅｒａｏ ｆｏａｏ ｆ ｉ ｉ ａ’Ｓｉ ｕ ｎｅｏ ｉ ａ ｏｓ ｕｅｗ ｒ ａ ｌ ｅ ｏｙａ ｙｎｍｅ ｃ ａ ｕａ ｏ ｅ ｏ ， ｓｎｏ ｔ ｉ ｏ ｓ ｇ ｎ ｌ ｓｊ ｆ ｉ ｅｎ ｙ ｎｈ ｎ ｉｌ ｌ ｉ ｈ ｎ ｈｅ ｒ ｔｎ Ｌ － ｓ－ ｕ ｇｒ ａ ｘｌｉ ｄ ａ ｏｓｆ ｕｅｗ ｓ ｐａ ｅ ． ｊ ｉ ｅ ｎ Ｋｅ ｏｄ ： ｂａｏ ｐｒ ｓｉｎ ｂａ ｐｅｏ ｅｏ ； ｉ ａｊｕ ｇｒ；ｐａｅｄ ｅｅｃ ｙｗ ｒｓ ｖ ｒｔｎｓｅ ｐ ｉｏ ； ｅｔ ｈｎ ｍ ｎｎ Ｌｓ － ｓｆ ｕ ｉ ｉ ｕ ｅ ｔ ｓ ｏ ｉ ｅ ｈｓ ｉ ｒｎｅ ｆ
张世功 ，刘大卫，邰贵江
（ 贵州大学 理学 院，贵阳 ５ ０２ ） ５０ ５
摘要： 讨论 了 动叠加 的 问题 ，从理论和 实验上研 究了振动 叠加的拍现 象和李 萨如 图形 ，并利 用 Ｍ Ｔ Ａ 振 Ａ Ｌ Ｂ软件 模拟 了拍 现 象和 李萨如 图形 ；针对 实验 中李 萨如 图形 的旋转情 况，从理 论和数值计算上 分析 了初相差 变化 以及信 号频 率的相对微 小差 异对图形稳 定程度的影响 ，从而解释其转动 的原因。 关 键 词 ：振动 叠加 ； 拍现 象 ；李萨如 图形；初相差
Ａ ｓｒｃ：Ｔ ｅｐｏｌ ｆ ｉｒｔ ｎｓｐｒｏｉｏ ａ ｉ ｕｓｄ ｅｔ ｈｎｍｅｏ ｎ ｉ ａｊｕ ｇｒ ｅｅｉ ｅｔａｅ ｅｒｔ ａｙ ｂ ｔａｔ ｈ ｒｂ ｍ ｏ ｂａ ｏ ｅ ｐｓｉｎｗｓｄｓ ｓｅ ．Ｂ ａ ｅｏ ｎｎａｄＬｓ － ｓ ｕｅｗ ｒ ｎ ｓｇｔｄ ｈｏｅ ｃｌ ｅ ｖ ｉ ｕ ｔ ｃ ｐ ｓ ｏ ｆ ｉ ｖ ｉ ｔ ｉ ｌ
作者 简介 ：张世功 （ ９ ９一） １７ ，男，硕 士研 究生 ，讲 师 ，研
究方向 ：超 声波 。
・
６ ２・
实验科学 与技术
２ １ 年 ８月 ０１
起从而观察到拍现象。而垂直方向的合成 ，则合成 李萨如图形 ，如果频率相同则合成直线或 者椭 圆， 与初相差有关 ；而如果频率不 同，随相位差的变化 合成为不闭合的曲线或者复杂的闭合回路 。
振动合成 的李萨如 图形
但旋转方向与原来 的旋转方 向相反。为了证实该现 象 ，可以将某个时刻的频率与理想信号有微小差异
（ 偏大 和偏 小 ） 的两 个 振 子 位 置 画 出 ，如 果 两 个 位
另 外初 相差 为 ４ｒ３以及 ２ｒ ，李 萨 如 图形 ｒ ／ ｘ时
与初 相 差为零 时一 致 。 由此 可知 ，初 相差 变 化 ２ ｒ ｘ，
进行计算或赋值 ，针对叠加 的方 向，可以利用条件
收稿 日期 ：２ １ ０ ０—１ —１ １ ０
成和垂 直合成 ２部 分。相 同方 向的合成 ，频率相 同，得到的结果依然是简谐振动 ，只是合振动的振 幅和初相位会有所变化 ；而频率不 同时，当频率差 远小于频率和时，会形成拍现象 ，如图 ｌ 如示 ，实 验上可 以将两个信号 同时显示在示波器并叠加在一
△‘ ｐ＝３ ｘ／ ０ ９ ｒ２
个较小的负值 向一个较小的正值过渡变化时 ，李萨 如 图形先 旋转 变慢 ，到 刚好 稳 定 不旋 转 （ 时 ＝ 此 Ⅳ 名，实 验 中 一 般 难 以 实 现 ） ２ ，然 后 又 转 动 加 快 ，
图 ２ 不同初相差的两个频率 比为 ３４的 ：
Ｚ Ａ Ｇ Ｓ ｉ ｏ ｇ ＬＵ Ｄ —ｅ ， Ａ ｕ－ａｇ Ｈ Ｎ ｈ－ ｎ ， Ｉ ａｗ ｉ Ｔ Ｉ ｉ ｉ ｇ Ｇ ｊｎ
（ ｏｌｇ ｆＳｉ ｃ ，Ｇｕ ｈ ｕＵ ｉｅｓｙ ｕｙｎ ， ５ ０ ５ ｈｎ ） Ｃ ｌ ｅｏ ｃｅ ｅ ｅ ｎ ｉ ｏ ｎｖｒｉ ，Ｇ ｉ ｇ ５ ０ ２ ，Ｃ ｉａ ｚ ｔ ａ
置的偏 向方向不 同，则可说 明频率偏大和偏小 的李
萨如 图形 的旋转 方 向是相反 的。
李 萨如 图形 刚 好 变 化一 周 （ 几 周 ） 或 ，应 该 注 意 的 是 当两 信 号 的初 相 差 为 某 些 值 （ ，， ３ ， ３等 ０ ｔ ，２ｒ ｒ ／ ｒ ／