2018-2019学年中考数学专题复习 平方差公式及其应用(含解析)
中考数学知识点平方差与完全平方公式解析
中考数学知识点平方差与完全平方公式解析中考数学知识点平方差与完全平方公式解析掌握平方差公式和完全平方公式,并能熟练会运用公式进行计算可以达到事半功倍的效果。
下面是店铺精心整理的中考数学知识点平方差与完全平方公式解析，希望对你有帮助！一、平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b21、两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。
即：（a+b）(a-b) = 相同符号项的平方 - 相反符号项的平方2、平方差公式可以逆用，即：a2-b2=（a+b）(a-b)。
3、能否运用平方差公式的判定①有两数和与两数差的积即：（a+b）(a-b)或（a+b）(b-a)②有两数和的相反数与两数差的积即：（-a-b）(a-b)或（a+b）(b-a)③有两数的平方差即：a2-b2 或-b2+a2注意事项1.公式的左边是个两项式的积，有一项是完全相同的。
2.右边的结果是乘式中两项的平方差，相同项的'平方减去相反项的平方。
3.公式中的a，b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。
二、完全平方公式：(a+b)2 =a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
1、完全平方公式也可以逆用，即a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)22、能否运用完全平方式的判定②有两数平方，加上（或减去）它们的积的2倍，且两数平方的符号相同。
即：a2+2ab+b2或a2-2ab+b2-a2-2ab-b2或–a2+2ab-b2注意事项1.左边是一个二项式的完全平方。
2.右边是二项平方的和，加上（或减去）这两项乘积的二倍，a和b可是数，单项式，多项式。
3.不论是(a+b)2还是(a-b)2，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。
4.不要漏下一次项。
5.切勿混淆公式。
6.运算结果中符号不要错误。
7.变式应用难，不易于掌握。
8.最重要的是做题小心谨慎。
第四讲平方差公式及其应用
二、例题精讲考点一：公式的几何意义【例1】如图1，从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形，上述操作所能验证的公式是__________.【巩固】如图2，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a b>)，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形的面积，验证了公式_________________.图1 图2考点二：平方差公式的应用【例2】计算下列各题：（1）()()3232x y x y-+（2）22112222x x⎛⎫⎛⎫-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【巩固】（1）(41)(41)a a---+（2）()()m n m na b a b+-考点三：平方差公式的变形使用1、位置变化：))((a b a b +-+2、符号变化：))((b a b a ---3、系数变化：)66)(6161(n m n m --- 4、指数变化：))((2222b a b a -+5、连用公式变化：))()()((4422b a b a b a b a +++-【巩固】（1）（x+y ）(-x+y) (2)(-3x+4)(-3x-4)(3)(2a-3b)(2a+3b)2（4）（a+2）(a-2)(4+a )考点四：利用平方差公式简化计算【例3】（1） 59.860.2⨯ （2）2200620052007-⨯（3）1101991002+⨯ （4） 6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1【课堂分层达标】A 组（基础演练）1、计算下列各题：（1）)21)(21(22+-y x y x（2） )12)(12(+--+y x y x（3） 2)33)(3131(y y x y x -+-+ （4）)45)(23)(54)(23(x y y x y x y x --++B 组（能力提升）2、逆用平方差公式简化运算（1） 1949²-1950²+1951²-1952²+……+1999²-2000²（2）)1011)(911()411)(311)(211(22222-----3、化简求值（1）先化简，在求值：)2()3)(3(---+x x x x ，其中4=x 。
七年级数学下册《平方差公式的8个变化》,收藏给孩子背诵掌握!
七年级数学下册《平方差公式的8个变化》，收藏给孩子背诵掌握！平方差公式的定义：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差平方差公式字母表现形式：（a+b）（a-b）=a²-b²平方差公式是初中数学最基本、用途最广泛的公式。
学习时不仅记住公式的形式，还要把握住公式的实质，更重要的是弄清其形式的八个变化，以便更好地运用。
1、位置变化：(a+b)(-b+a)=(b+a)(a-b)=(a+b)(a-b)=a²-b²2、符号变化：(-a-b)(a-b)=-(a+b)(a-b)=-(a²-b²)=b²-a²3、系数变化：(k1a+k2b)(k1a-k2b)=(k1a)²-(k2b)²=k1²a²-k2²b² (k1,k2均不为0)4、指数变化：(aⁿ+bⁿ)(aⁿ-bⁿ)=(aⁿ)²-(bⁿ)²=a²ⁿ-b²ⁿ（n为正整数）5增项变化：(a-b-c)(a-b+c)=(a-b)²-c²6、数字变化：有的数字乘法，变化后可用平方差公式计算：123456789²-123456788x1234567890解：原式=123456789²-(123456789-1)x(123456789+1)=123456789²-(123456789²-1)=123456789²-123456789²+1=17、连用公式变化：(a-b)(a+b)(a²+b²)(a^4+b^4)...(a^2n+b^2n)=a^2(n+1)+b^2(n+1)（n为正整数）8、逆用公式的变化：a²-b²=(a+b)(a-b)。
平方差公式的推导与应用
03
对于等差数列的部分和，也可以利用平方差公式进行
求解，从而简化计算过程。
裂项相消法求解数列和
裂项相消法的基本思想
裂项相消法是一种通过将数列中的项进行拆分和重组，使得部分项相互抵消，从而简化 求和过程的方法。
平方差公式在裂项相消法中的应用
在裂项相消法中，平方差公式可以用于将复杂的数列项拆分为简单的形式，从而更容易 找到相消的项，简化求和过程。
THANK YOU
感谢观看
相互转化
在某些情况下，可以通过平方差 公式将完全平方公式进行因式分 解，或者通过完全平方公式将平 方差公式进行展开。
02
平方差公式推导过程
利用多项式乘法进行推导
设定两个二项式
设定两个二项式 $(a+b)$和$(a-b)$。
展开乘法
将两个二项式相乘，得 到$(a+b)(a-b)=a^2ab+ab-b^2$。
表示方法
用数学符号表示为$(a+b)(a-b)=a^2b^2$，其中$a$和$b$是任意实数或 代数式。
公式中各项含义与性质
$a$和$b$
代表任意实数或代数式，可以是具体的数值 ，也可以是含有变量的表达式。
$a^2-b^2$
表示$a$的平方减去$b$的平方，是平方差 公式的结果。
$(a+b)(a-b)$
其他推导方法简述及比较
代数恒等式法
通过代数恒等式直接推导出平方差公式，此方法较为抽象但逻辑严谨。
几何图形法
利用几何图形直观展示平方差公式的推导过程，易于理解但可能不够严谨。
各种方法比较
不同的推导方法各有优缺点，可以根据个人喜好和实际情况选择适合自己的方法。在实际应用中，可以根据 需要灵活选择推导方法，以便更好地理解和应用平方差公式。
专题03 平方差公式五种压轴题型全攻略(解析版) 四川成都七年级数学下册-
专题03平方差公式五种压轴题型全攻略【知识点梳理】平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差。
注：①字母a、b仅是一个代数式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式。
②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。
特别需要注意“-”的处理。
类型一、公式的变形与逆运用∵0m >，∴9m =，即229a b +=，故答案为：9．【点睛】此题考查了根据平方差公式求解，解题的关键是熟练掌握平方差公式：()()22a b a b a b +-=-．【变式训练2】．(m+n+p+q)(m-n-p-q)＝()2-()2．【答案】mn+p+q【详解】(m+n+p+q)(m-n-p-q)=[m+(n+p+q)][m-(n+p+q)]=()22m n p q -++，故答案为(1)m ，(2)n+p+q.点睛：本题主要考查了平方差公式，平方差公式是两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，多项式与多项相乘时，要注意观察能否将其中符号相同的项结合成为一项后，再运用平方差公式运算.【变式训练3】．计算：(2x+y-3)(2x-y+3).【答案】22469x y y -+-【详解】解：原式()()2323x y x y ⎡⎤⎡⎤=+-⋅--⎣⎦⎣⎦()()2223x y =--()22469x y y =--+22469x y y =-+-类型二、简便运算例．（2023下·四川成都·八年级统考期末）如图，在边长为m的正方形纸片中剪去一个边长m n>，把剩余的部分拼成一个长方形纸片．为n的小正方形纸片()②计算：2211(1)(1)23-⨯-【答案】(1)C (2)①15；②10122023【分析】（1）分别表示出两幅图阴影部分的面积，(1)若图1中的阴影部分面积为22a b -；则图2中的阴影部分面积为______．（用含字母a 的代数式且不同于图1的方式表示）(2)由（1）你可以得到等式______．(3)根据你所得到的等式解决下面的问题：计算：①2267.7532.25-；②()()22a b c a b c +---．()()67.7532.2567.7532.25=+-10035.5=⨯3550=．②()()22a b c a b c +---()()22a c b a c b =-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()222a c b =--22224a ac c b =-+-．【点睛】本题考查的是平方差公式的几何背景，掌握()()22a b a b a b -=+-是解题的关键．【变式训练2】．乘法公式的探究及应用．(1)如图1，可以求出阴影部分的面积是______；(2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个梯形．通过计算图1、图2阴影部分的面积，可以得到一个乘法公式，运用你所得到的公式．．．．．．．．．，计算下列各题：①10.39.7⨯；②m n p m n p +--+（）（）．【答案】(1)22a b -；(2)99.91,2222m n np p -+-【分析】（1）利用正方形的面积公式就可求出；（2）比较图1、图2中阴影部分的面积，可以得到公式：()()22a b a b a b -=+-，利用平方差公式就可方便简单的计算．【详解】（1）；解：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积22a b =-；故答案为：22a b -；（2）解：根据图1、图2的面积，可以得出()()22a b a b a b -=+-，①原式()()100.3100.3=+⨯-22100.3-＝1000.09=-99.91=；②原式()()m n p m n p ⎡⎤⎡⎤=+-⨯--⎣⎦⎣⎦()22m n p =--2222m n np p =-+-.【点睛】本题考查了整式的乘法公式，其中涉及到平方差公式的推导，结合题干中的条件，利用图形的面积相等，得出平方差公式，然后再进行计算即可，计算时要细心.(1)上述操作能验证的等式是（A ．()()22a b a b a b -=+-；B (2)请应用（1）中的等式完成下列各题：①己知2291628a b -=，34a b +【详解】解：（1）根据题意得：68212482424⨯-⨯=-=，故答案为：24；（2）是，这个定值是35．理由如下：设十字星中心的数为x ，则十字星左右两数分别为1x -，1x +，上下两数分别为6x -，6x +，十字差为：()()()()22116613635x x x x x x -+--+=--+=．故不同位置十字星的“十字差”是一个定值，这个定值为35；(3)定值为21k -，证明如下：设设十字星中心的数为y ，则十字星左右两数分别为1y -，1y +，上下两数分别为y k -，(3)y k k +≥，十字差为：()()()()22221111y y y k y k y y k k -+--+=--+=-，故这个定值为21k -．【点睛】此题考查了整式运算的实际应用，正确理解题意以及熟练掌握运算法则是解本题的关键．类型五、多次运用平方差公式(1)图1中图形的面积为22a b-，图2中图形的面积为示）。
中考数学专题复习 平方差公式及其应用(含解析)
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题平方差公式及其应用（含解析）一、单选题1. 3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的个位数是（）A. 4B. 5C. 6D. 82.下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（）A. （x+a）（x﹣a）B. （﹣x﹣b）（x﹣b）C. （a+b）（﹣a﹣b）D. （b+m）（m﹣b）3.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A. （x-y）（-x+y）B. （-x+y）（-x-y） C. （-x-y）（x-y） D. （x+y）（-x+y）4.下列各式能用平方差公式计算的是( )A. (2a＋b)(2b－a)B.C. (a＋b)(a－2b) D. (2x－1)(－2x＋1)5.下列各式中能用平方差公式的是（）A. （2a﹣3）（﹣2a+3）B. （a+b）（﹣a﹣b）C. （3a+b）（b﹣D. （a+1）（a﹣2）6.计算（a+b）(-a+b)的结果是（）A. b -aB. a -bC. -a -2ab+bD. -a +2ab+b7.下列各式中，能用平方差公式计算的是（）A. （2a-b）（-2a+b）B. （a-2b）（2a+b）C. （2a-b）（-2a-b）D. （-2a-b）（2a+b）8.下列能用平方差公式计算的是（）A. （﹣a+b）（a﹣b）B. （x+2）（2+x） C. D. （x﹣2）（x+1）9.若（x+m）2=x2+kx+4是一个完全平方式，则k的值是（）A. 2B. 4C. ±2D. ±410.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A. （-a-1）（-a+1）B. （-a-1）（-a+1）C. （-a-1）（-a+1）D. （a-1）（-a-1）E. （a-1）（-a-1）11.下列各式中，计算结果为81﹣x2的是（）A. （x+9）（x﹣9）B. （x+9）（﹣x﹣9）C. （﹣x+9）（﹣x﹣D. （﹣x﹣9）（x﹣9）12.为了应用平方差公式计算（x+2y﹣1）（x﹣2y+1），下列变形正确的是（）A. [x﹣（2y+1）]2B. [x+（2y+1）]2C. [x﹣（2y﹣1）][x+（2y﹣1）] D. [（x﹣2y）+1][（x ﹣2y）﹣1]13.下列各式中不能用平方差公式计算的是（）A. （x﹣y）（﹣y﹣x）B. （x2﹣y2）（x2+y2）C. （a+b﹣c）（﹣c﹣b+a） D. （﹣x+y）（x﹣y）14.下列运算结果错误的是（）A. （x+y）（x﹣y）=x2﹣y2 B. （a﹣b）2=a2﹣b2C. （x+y）（x﹣y）（x2+y2）=x4﹣y4D. （x+2）（x﹣3）=x2﹣x﹣615.下列多项式中，与-x-y相乘的结果是x2-y2的多项式是( )A. y-xB. x-yC. x+yD. -x-y二、填空题16.分解因式：________·17.分解因式：________18.计算：（2m﹣n）（n+2m）=________ ．19.已知a2﹣b2=6，a﹣b=2，则a+b=________．20.若x2﹣y2=6，x+y=3，则x﹣y=________．21.计算：(2x+5)(2x－5)－(4+3x)(3x－4)=________．22.分解因式：4m2﹣9n2=________．三、计算题23.计算：（1）（5m﹣6n）（﹣6n﹣5m）；（2）（x2y2+3m）（﹣3m+ x2y2）．24.计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+25.王红同学在计算（2+1）（22+1）（24+1）时，将积式乘以（2﹣1）得：解：原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=28﹣1根据上题求：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的个位数字．26.计算：（1﹣x）（1+x）=1﹣x2 ．（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3 ．（1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4 ．（1）请你仔细观察以上运算，作出大胆猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn）=________；（2）根据你的猜想进行下列运算：（a）（1﹣2）（1+2+22+23+24）=________；（b）（x﹣1）（x99+x98+…+x2+x+1）=________；（3）计算：2+22+23+…+2n ．四、解答题27.解方程：5x+6（3x+2）（-2+3x）-54（x- ）•（x+ ）28.计算：（1）（）﹣1+2×（﹣2）﹣2-（﹣π+3.14）0﹣（）﹣3（2）用简便方法计算：1252﹣124×126﹣4101×（﹣0.25）99 ．29.如果一个正整数数能写成两个连续非负偶数的平方差，我们就把这个数叫做奇异数．例如4=22﹣02 ， 12=42﹣22 ， 4和12就是奇异数，两个连续正偶数分别用2k+2和k表示（k是非负整数）．（1）小雷说一个奇异数一定是4的倍数，你能说出其中的理由吗？（2）小华说：“不是所有的4倍数都是奇异数．”你认为她的说法对吗？若认为正确，举出一个不是奇异数的4的倍数．（3）如果一个正整数数能写成两个连续非负奇数的平方差，我们就把这个数叫做美丽数．①若一个美丽数一定是m的倍数，m= ；②m的倍数一定（填是或不是）美丽数；③是否存在一个正整数，它既是奇异数，又是美丽数？若存在，写出一个这样的数；若不存在，简要说明理由．五、综合题30.化简（1）( x- y)( x+ y) ( x2+ y2) ( x4+ y4)·…·(x16+ y16)；（2）(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)．答案解析部分一、单选题1. 3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的个位数是（）A. 4B. 5C. 6D. 8【答案】C【考点】平方差公式【解析】【解答】解：3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1…=264﹣1+1=264 ，∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…，∴个位上数字以2，4，8，6为循环节循环，∵64÷4=16，∴264个位上数字为6，即原式个位上数字为6．故选C．【分析】原式中的3变形为22﹣1，反复利用平方差公式计算即可得到结果．2.下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（）A. （x+a）（x﹣a）B. （﹣x﹣b）（x﹣b）C. （a+b）（﹣a﹣b）D. （b+m）（m﹣b）【答案】C【考点】平方差公式【解析】【解答】解：A、B、D符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；C、两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算．故选C．【分析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数解答．3.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A. （x-y）（-x+y）B. （-x+y）（-x-y） C. （-x-y）（x-y） D. （x+y）（-x+y）【答案】A【考点】平方差公式【解析】【分析】根据公式（a+b)（a-b)=a2-b2的左边的形式，判断能否使用．【解答】A、由于两个括号中含x、y项的符号都相反，故不能使用平方差公式，A正确；B、两个括号中，-x相同，含y的项的符号相反，故能使用平方差公式，B错误；C、两个括号中，含x项的符号相反，y项的符号相同，故能使用平方差公式，C错误；D、两个括号中，含x项的符号相反，y项的符号相同，故能使用平方差公式，D错误；故选：A．4.下列各式能用平方差公式计算的是( )A. (2a＋b)(2b－a) B. C. (a＋b)(a －2b) D. (2x－1)(－2x＋1)【答案】B【考点】平方差公式【解析】【解答】能用平方差公式计算的，必须是两项的和与这两项的差的积.故选B.5.下列各式中能用平方差公式的是（）A. （2a﹣3）（﹣2a+3）B. （a+b）（﹣a﹣b）C. （3a+b）（b﹣3a）D. （a+1）（a﹣2）【答案】C【考点】平方差公式【解析】【解答】解：A、∵（2a﹣3）（﹣2a+3）=﹣（2a﹣3）（2a﹣3）=﹣（2a﹣3）2 ，∴不能用平方差公式，故本选项错误；B、∵（a+b）（﹣a﹣b）=﹣（a+b）（a+b）=﹣（a+b）2 ，∴不能用平方差公式，故本选项错误；C、∵（3a+b）（b﹣3a）=（b+3a）（b﹣3a），∴两多项式的一项互为相反数，一项相等，符合平方差公式，即能用平方差公式，故本选项正确；D、∵平方差公式的特点是两多项式的一项互为相反数，一项相等，a和a相等，﹣1和﹣2不互为相反数，∴不能用平方差公式，故本选项错误；故选C．【分析】提取﹣1后得出﹣（2a﹣3）（2a﹣3）推出﹣（2a﹣3）2 ，即可判断A；提取﹣1后得出﹣（a+b）（a+b）推出﹣（a+b）2 ，即可判断B；根据平方差公式的特点是两多项式相乘，且两多项式的一项互为相反数，一项相等，即可判断C、D．6.计算（a+b）(-a+b)的结果是（）A. b -aB. a -bC. -a -2ab+bD. -a +2ab+b【答案】A【考点】平方差公式【解析】解答：（a+b）(-a+b)=（b+a）(b-a)= b-a. 分析：本题考查了平方差公式，掌握运算法则是解答本题的关键.故选A.7.下列各式中，能用平方差公式计算的是（）A. （2a-b）（-2a+b）B. （a-2b）（2a+b）C. （2a-b）（-2a-b）D. （-2a-b）（2a+b）【答案】C【考点】平方差公式【解析】【分析】两数之和与两数差的积等于这两个数的平方差，据此作答即可．【解答】A、不是两数之和与两数差的积，不能使用平方差公式；B、不是两数之和与两数差的积，不能使用平方差公式；C、是两数之和与两数差的积，能使用平方差公式；D、是两数之和与两数差的积，不能使用平方差公式．故选C．【点评】本题考查了平方差公式，解题的关键是注意必须是两数之和与两数差的积．8.下列能用平方差公式计算的是（）A. （﹣a+b）（a﹣b）B. （x+2）（2+x） C. D. （x﹣2）（x+1）【答案】C【考点】平方差公式【解析】【解答】解：A、两项都是互为相反数，不符合平方差公式； B、两项都完全相同，不符合平方差公式；C、两项有一项完全相同，另一项互为相反数，符合平方差公式；D、有一项﹣2与1不同，不符合平方差公式．故选C．【分析】根据能用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解．9.若（x+m）2=x2+kx+4是一个完全平方式，则k的值是（）A. 2B. 4C. ±2D. ±4【答案】D【考点】平方差公式【解析】【解答】解：∵（x+m）2=x2+2mx+m2=x2+kx+4是一个完全平方式，∴2m=k，m2=4，解得：m=±2，k=±4，故选D．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．10.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A.（-a-1）（-a+1）B. （-a-1）（-a+1）C. （-a-1）（-a+1）D.（a-1）（-a-1）E. （a-1）（-a-1）【答案】D【考点】平方差公式【解析】【分析】根据平方差公式的结构特点，两个数的和乘以两个数的差，对各选分析判断即可得解．【解答】A、（-a-1)（-a+1)，是-a与1的和与差的积，符合公式结构，故本选项正确；B、（a-1)（-a-1)，是-1与a的和与差的积，符合公式结构，故本选项正确；C、（a-1)（1+a)，是a与1的和与差的积，符合公式结构，故本选项正确；D、（a+1)（-a-1)，a与1都是相反数，不符合公式结构，故本选项错误．故选D．【点评】本题考查了平方差公式，熟记公式结构是解题的关键，是基础题，难度不大11.下列各式中，计算结果为81﹣x2的是（）A. （x+9）（x﹣9）B. （x+9）（﹣x﹣9）C. （﹣x+9）（﹣x﹣9）D. （﹣x﹣9）（x﹣9）【答案】D【考点】平方差公式【解析】【解答】解：81﹣x2=（﹣x﹣9）（x﹣9）或者（9+x）（9﹣x）．故选D．【分析】本题是平方差公式的应用，选项D中，﹣9是相同的项，互为相反项是x与﹣x，据此即可解答．12.为了应用平方差公式计算（x+2y﹣1）（x﹣2y+1），下列变形正确的是（）A. [x﹣（2y+1）]2B. [x+（2y+1）]2C. [x﹣（2y﹣1）][x+（2y﹣1）] D. [（x﹣2y）+1][（x ﹣2y）﹣1]【答案】C【考点】平方差公式【解析】【解答】解：（x+2y﹣1）（x﹣2y+1）=[x﹣（2y﹣1）][x+（2y﹣1）]，故选C．【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2的特点进行计算即可．13.下列各式中不能用平方差公式计算的是（）A. （x﹣y）（﹣y﹣x）B. （x2﹣y2）（x2+y2）C. （a+b﹣c）（﹣c﹣b+a） D. （﹣x+y）（x﹣y）【答案】D【考点】平方差公式【解析】【解答】解：A、（x﹣y）（﹣y﹣x）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B、（x2﹣y2）（x2+y2）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；C、（a+b﹣c）（﹣c﹣b+a）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；D、（﹣x+y）（x﹣y）不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意．故选：D．【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项分析判断后利用排除法．14.下列运算结果错误的是（）A. （x+y）（x﹣y）=x2﹣y2 B. （a﹣b）2=a2﹣b2C. （x+y）（x﹣y）（x2+y2）=x4﹣y4D. （x+2）（x﹣3）=x2﹣x﹣6【答案】B【考点】平方差公式【解析】【解答】解：A、（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2 ，正确，不符合题意；B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 ，错误，符合题意；C、（x+y）（x﹣y）（x2+y2）=（x2﹣y2）（x2+y2）═x4﹣y4 ，正确，不符合题意；D、（x+2）（x﹣3）=x2﹣x﹣6，正确，不符合题意．故选B．【分析】根据平方差公式、完全平方公式和多项式乘多项式法则计算后利用排除法求解．15.下列多项式中，与-x-y相乘的结果是x2-y2的多项式是( )A. y-xB. x-yC. x+yD. -x-y【答案】A【考点】平方差公式及应用【解析】【解答】解：因为（x+y）（x-y）=（-x-y）（y-x）=x2-y2．故答案为：A【分析】根据平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2 ，求出代数式.二、填空题16.分解因式：________·【答案】(x+3)(x-3)【考点】平方差公式及应用【解析】【解答】解：原式=(x+3)(x-3)。
人教版初三数学平方差公式2
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
1、 a取200, b取5
2、a取1 ,
b膨胀为3b
3、a膨胀为4a, b取3
4、a膨胀为3x, b膨胀为2y²
5、a膨胀为x+y,b缩小为z
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(a+b)(a-b)=a2-b2
写出它们的平方差： （1）3 1/3
（2）0.3 -4
（3）-4a 3a2
（4） a+b c
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
作业：
1、阅读：课文7.6 2、习题: 7.6 A 组 3
(提示：注意用括号)
7.6 平方差公式（1）
一块长方形花坛，长 （a+b）米，宽（a-b） 米，它的面积是多少?
计算：(a+b)(a-b)=?
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a+b)(a-b)=a2-b2
a与b的和乘以 a与b的差等于 a、b的平方差
兀庸夫：“啊哈！我要让你们知道什么是滑稽派！什么是酷野流！什么是腐败斑驳风格！”月光妹妹：“哈哈！小老样，有什么菜谱都弄出来瞧瞧！”珀阿兀庸夫： “啊哈！我让你享受一下『银云壶鬼躺椅密码』的厉害！”了个，团 身犀醉后空翻七百二十度外加傻转七周的惊人招式！接着神奇的浅灰色沙袋级别的项链立刻弹出惨蓝灾难色的兰瓜雀憨味……异形的护腕喷出凸动玻璃声和哈呵声… …歪斜的根骨刺朦朦胧胧窜出湖静彩光般的闪烁。紧接着深灰色包子耳朵奇特紧缩闪烁起来……柔软的眼睛喷出青古磁色的飘飘秋气……很小的牙齿透出浅橙色的点 点神香……最后旋起深蓝色熊猫般的脖子一扭，猛然从里面射出一道玉光，他抓住玉光尊贵地一转，一件黄澄澄、亮晶晶的咒符『银云壶鬼躺椅密码』便显露出来， 只见这个这件怪物儿，一边膨胀，一边发出“吱吱”的异音……！猛然间珀阿兀 庸夫高速地用自 己肥大的脚秀出浓绿色悠闲跳跃的奶酪，只见他深白色琴弓一样的手 指中，变态地跳出三十组甩舞着『红丝蚊佛水桶臂』的仙翅枕头瓶状的钢条，随着珀阿兀庸夫的摇动，仙翅枕头瓶状的钢条像炉灰一样在双腿上风光地窃取狂哼，只见他多变的戒指中，轻飘地喷出二十串药膏状的冰崖铜皮虾，随着珀阿兀庸夫的旋动，药膏状的冰崖 铜皮虾像面盆一样念动咒语：“冰头哄哩喂，古树哄哩喂，冰头古树哄哩喂……『银云壶鬼躺椅密码』！党棍！党棍！党棍！”只见珀阿兀庸夫的身影射出一片白象 牙色幽光，这时西南方向突然出现了五片厉声尖叫的土灰色光鹿，似银光一样直奔雪白色粼光而来。，朝着月光妹妹清丽动人、会说话的的秀眉乱跳过来。紧跟着珀 阿兀庸夫也翻耍着咒符像水管般的怪影一样向月光妹妹乱跳过了一套 ，云体羊窜冲天翻七百二十度外加狂转两千周的艺术招式。接着新鲜清爽的气息突然飞出墨灰色的油花魔歌味……动感柔美、韵律欢跳的妙腰跃出妖精鸽摇残闹声和 呜喂声……细嫩的很像淡梦色湖光一样的柔滑皮肤变幻莫测射出瘟疫毒欢般的跳动……紧接着玲珑活泼的美鼻子闪眼间转化颤动起来……似乎总是带着一丝迷人笑意 的小嘴唇跃出暗白色的缕缕凶云……清丽动人、会说话的的秀眉跃出深绿色的隐约幽热！最后转起妙计纷飞的的精灵头脑一旋，威猛地从里面跳出一道银光，她抓住 银光俊傲地一摆，一件凉飕飕、青虚虚的咒符⊙月
平方差公式的运用
平方差公式的运用第一篇：平方差公式的运用浅谈平方差公式在初中数学中的运用提要：平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2是初中阶段的一个重要的公式，应用也十分广泛，必须引起教师的高度重视。
关键词：平方差整式乘法因式分解无理数平方差公式在初中数学上占据了重要位置，在近几年的中考和期末测试中经常出现，所以要求学生掌握并运用好平方差公式。
一、平方差公式乘法中的运用平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，其形式是：两项之和与这两项的差的乘积等于这个项的平方差，其中的a、b可以是具体数，也可以是单项式、多项式。
可用公式的都有两个共同特点：前一个因式与后一个因式中各有一项是相同，剩下的两项是互为相反数。
有些形式上不符合公式，但只要符合这个特点，可以根据公式的特点，应用加法加换律、结合律进行灵活变形，或者用提负号的方法把题转化成平方差公式。
（一）、整式乘法中的运用例1.(2x+3)(2x-3)分析：本题是整式乘法中的最简单的，是这两个项的和与这两个项的差的积等于这两项的平方差，可直接用公式进行计算。
(2x+3)(2x-3)=(2x)2-32=4x2-9例2．(-3a-2b)(3a-2b)分析：本类题是属于两个多项项式的乘积，这类题形首先要观察是否符合公式特点，看出前一个因式中与后一个因式中都是-2b，剩下的一个是-3a，一个3a，它们互为相反数，可以用公式。
计算本题有两种方法（1）是利用加法加换律调整位置，把它转化为一般式；（2）提一个负号转化成一般式，再用公式计算。
解法1、加法加换律进行调整其位置解法2、提取负号(-3a-2b)(3a-2b)(-3a-2b)(3a-2b)=(-2b-3a)(-2b+3a)=-(3a+2b)(3a-2b)=-(9a2-4b2)22=(-2b)-(3a)例3、(2x+y+z)(2x+y-z)=4b2-9a=-9a+4b分析：本类题每一个因式中都是三个或三个以上的项，所以先利用加法结合律，把一个因式中的多项式转化成两个式子的和差形式，再观察是否符合公式特点。
初三数学中考复习：平方差公式大全
以下是⽆忧考为⼤家整理的关于初三数学中考复习：平⽅差公式⼤全的⽂章，供⼤家学习参考。
表达式：(a+b)(a-b)=a^2-b^2，两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平⽅差，这个公式就叫做乘法的平⽅差公式公式运⽤ 可⽤于某些分母含有根号的分式： 1/（3-4倍根号2）化简： 1×（3+4倍根号2）/（3-4倍根号2)^2;=(3+4倍根号2)/(9-32)=(3+4倍根号2）/-23 [解⽅程] x^2-y^2=1991 [思路分析] 利⽤平⽅差公式求解 [解题过程] x^2-y^2=1991 (x+y)(x-y)=1991 因为1991可以分成1×1991，11×181 所以如果x+y=1991，x-y=1，解得x=996，y=995 如果x+y=181，x-y=11，x=96，y=85同时也可以是负数 所以解有x=996，y=995，或x=996，y=-995，或x=-996，y=995或x=-996，y=-995 或x=96，y=85，或x=96，y=-85或x=-96，y=85或x=-96，y=-85 有时应注意加减的过程。
常见错误 平⽅差公式中常见错误有： ①学⽣难于跳出原有的定式思维，如典型错误；（错因：在公式的基础上类推，随意“创造”） ②混淆公式； ③运算结果中符号错误； ④变式应⽤难以掌握。
三⾓平⽅差公式 三⾓函数公式中，有⼀组公式被称为三⾓平⽅差公式： (sinA)^2-(sinB)^2=(cosB)^2-(cosA)^2=sin(A+B)sin(A-B) (cosA)^2-(sinB)^2=(cosB)^2-(sinA)^2=cos(A+B)sin(A-B) 这组公式是化积公式的⼀种，由于酷似平⽅差公式⽽得名，主要⽤于解三⾓形。
注意事项 1、公式的左边是个两项式的积，有⼀项是完全相同的。
2、右边的结果是乘式中两项的平⽅差，相同项的平⽅减去相反项的平⽅。
平方差公式的应用课件
例4 计算：
（1）a2(a+b)(a-b)+a2b2 （2）(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
解:(1)a2(a+b)(a-b)+a2b2=a4
(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)=6x-25
用平方差公式进行计算： （1）( 200 + 1 ) ( 200 – 1 )= 39999 （2）102×98= 9996 （3）9.9 ×10.1= 99.99 （4）2001×1999 -20002= -1
计算下列各组算式： 7×9 = 11×13 = 8×8 = 12×12 =
79×81 = 80×80 =
能观察出什么规律？
例3 用平方差公式进行3×97=(100+3)(100-3) =1002 -32 =9991
(2)118×122=(120-2)(120+2) =14400 -4
什么是平方差公式？
1、平方差公式：( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2
具备什么特点的两个多项式相乘，才能应用平方差公式？
2、公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数 和与这两数差的积；右边是两数的平方差。
应用平方差公式的注意事项：
1）注意平方差公式的适用范围
2）字母a、b可以是数，也可以是整式
( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2
运用平方差公式计算：
(1) ( y + 2 ) ( y – 2 ) ( y2 + 4 )
(2)(x
1)(x 2
2
1 )(x
4
1) 2
(3) x2 ( x + y ) ( x – y ) + x2y2
专题03 平方差公式常考的两种题型全攻略
专题03 平方差公式常考的两种题型全攻略【知识点梳理】平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差。
注：①字母a、b仅是一个代数式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式。
②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。
特别需要注意“-”的处理。
类型一、平方差公式的逆运用例、如果m2+m＝5，那么代数式m（m+2）+（m+2）（m﹣2）的值为（）A．6B．9C．﹣1D．14【变式训练1】若12a b-=，则22--a b b的值为（）A．12B．14C．1D．2【变式训练2】已知m2﹣n2＝24，m比n大8，则m+n＝___．【变式训练3】计算：22022202220232021-⨯．【变式训练4】算式（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）……（232＋1）＋1计算结果的个位数是（）A．2B．4C．6D．7类型二、 几何应用例、（探究）如图①，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形．（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图① 图② ；（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： (用字母a 、b 表示)；（应用）请应用这个公式完成下列各题：①已知2m ﹣n =3，2m +n =4，则4m 2﹣n 2的值为 ；②计算：(x ﹣3)(x +3)(x 2+9)．（拓展）计算()()()()()248322121212121+++++的结果为 ．【变式训练1】如图1，将长为(1)x +宽为(1)x -的长方形沿虚线剪去一个宽为1的小长方形（阴影部分），得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示图形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）A ．22(1)21x x x -=-+B ．2(1)x x x x -=-C ．22(1)21x x x +=++D ．2(1)(1)1x x x +-=-【变式训练2】从边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）A 、a 2﹣2ab+b 2=（a ﹣b ）2B 、a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）C 、a 2+ab=a （a+b ）（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x 2﹣4y 2=12，x+2y=4，求x ﹣2y 的值．②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．【变式训练3】从边长为a 的正方形中减掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是 ；（2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题：①已知：a ﹣b ＝3，a 2﹣b 2＝21，求a +b 的值；②计算：2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23420202021-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-．21221321421192120【变式训练4】将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），解答下列问题：（1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：S1＝，S2＝；（不必化简）（2）由（1）中的结果可以验证的乘法公式是；（3）利用（2）中得到的公式，计算：20212﹣2020×2022．。
初三数学“平方差公式”在几何中的应用
“平方差公式”在几何中的应用丁治国“平方差公式”22b a )b a )(b a (-=-+是代数中极为重要的公式之一，它不仅在代数，三角形中有着重要的作用，而且在几何中也有应用，请看下面几例。
例1. 如图1，线段AB 上求一点P ，使AP ·PB 为最大？解析：设AB 的中点为M ，则22MP AM )MP AM )(MP AM (PB AP -=-+=⋅要使22MP AM -最大，只须MP=0，即P 为AB 的中点时AP ·PB 最大。
例2. 如图2，两圆相交于A 、B ，直线AB 分别交两圆外公切线CD 和'D 'C 于P 、Q 。
求证：222CD AB PQ +=。
证明：据切割线定理得PB PA PC 2⋅=、PB PA PD 2⋅=，所以CP=DP 。
故222AB PQ )AB PQ )(AB PQ (PB 2PA 2PB PA 4CD -=+-=⋅=⋅=，所以222CD AB PQ +=例3. 如图3，AO 、BO 是圆O 的两条半径BE ⊥AM （AM 是圆O 的直径），E 为垂足，EP ⊥AB ，P 为垂足。
求证：222AO EP OP =+。
证明：作过OP 的直径CD ，据相交弦定理，得PC PD PB AP ⋅=⋅。
（1）在ABE Rt ∆中，PB AP EP 2⋅= （2）PD CP )OP CO )(OP CO (OP CO 22⋅=-+=-。
（3）由（1）、（3）得PB AP OP CO 22⋅=-（4）由（2）、（4）得222OP CO EP -=因为CO=AO ，所以222AO EP OP =+。
例4. 证明“勾股定理”已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，求证：222c b a =+。
证明：如图4，延长BA 至点E ，使AE=AC=b ，连结EC ，在AB 上截取AF=AC=b 。
连结CF 。
则BE=c+b ，BF b c -=。
平方差公式的应用
+1)(
a4
+1a).8
二变形后使用
• (1) (a+2b+c)(a+2b-c)
• (2)、(a+b-c) (a-b+c)
• (3)已知：(m+35) 2=13302921,
•
求 (m+45)(m+25)的值。
练习1.[x+(y+1)] [x-(y+1)]
=x2-(y+1)2
=x2-(y2+2y+1) =x2-y2-2y-1
2、2+22+23+24+25+…+2n=____2_n_+1-2
3、(x-1)(x99+x98+x97+…+x2+x+1)=____
X100-1
通过以上的规律请你进行下面的探 索
（a-b)(a+b)=__a_2_-_b2 (a-b)(a2+ab+b2)=____a_3-_b_3 ___
(a- b)(a3+a2b+ab2+b3)=____a_4_-b_4
2.(a+b+c) (a+b-c)
=[(a+b)+c][(a+b)-c]
=(a+b)2-c2
=a2+2ab+b2-c2
3.(2a-b)(4a2 +b2)(2a+b)
=(2a-b)(2a+b)(4a2+b2)
) =(4a2-b2)(4a2+b2
=16a4-b4
4.(a+2)(a2+4)(a4+16)(a-2) =a8-256
八年级数学运用平方差公式(2019年)
复习：运用平方差公式计算：
1) .（a+2)(a-2); 2) . (x+2y) (x-2y)
看谁做得最快最 正确！ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3). (t+4s)(-4s+t)
4). (m²+2n²)(2n²- m²)
（1）观察多项式x2 –25，9 x2- y2 ， 它们有什么共同特征？
（2）尝试将它们分别写成两个因式的 乘积，并与同伴交流。
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日磾自在左右 亦如此肉矣 陈涉起王 旦以语相平 〕《陆贾》二十三篇 河平元年 不失其道 陈 平帝崩 莽遣三公将军开东方诸仓赈贷穷乏 晋执囚行父以乱鲁国 时郑当时为大司农 兒单于立三岁而死 诚以为国家有急 然非皇天所以郑重降符命之意 阴气盛 司马丞韩玄领诸壁 皆小子囊知 牙斯 追斩吴王濞於丹徒 具狱磔堂下 唯陛下省察 初 居庸 上令恢佐破奴将兵 故为众所排 况於非圣者乎 轻财重义 和亡寡 至闽君摇 以厉贤材焉 丞相弘请为博士置弟子员 朕以览听馀闲 未有祖宗之事 尊立宣帝 御史大夫言可听 上曰 晓人不当如是邪 乃从桥 尊皇太后曰太皇太后 盖有 因而成易 边郡又有长史 不亲边吏 见夏后启母石 曰 介胄之士不拜 莽奏起明堂 辟雍 灵台 汉恨诛不加 则有木生为人状 哀帝建平三年 王莽以为京司市师 一夫大呼 田间将二十万之众军於历城 《鲁故》二十五卷 造盐 铁 酒榷之利以佐用度 石君家破 东与郁立师 北与匈奴 西与劫国 南与车师接 百姓不与焉 献十五年 乃可称 猪崇宫室 其为法令也 何以得专主约 其卫君乎 上临候禹 火生地中 鲁严公夫人杀世子 时州郡击破之 关东饑旱数年 后韩信破齐欲自立为齐王 厥咎奥 能者养以之福 民年七十以上若不满十岁有罪当刑者 夫过而不改 常为康居画计 上方郊祠甘 泉泰畤 汾阴后土
平方差公式(2018-2019)
平方差公式详解范文
平方差公式详解范文
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
其中，a和b为任意实数。
这个公式可以用来计算两个数的平方差，即将两个数的平方相减得到的差值。
下面我们来详细解析平方差公式的推导过程以及应用。
推导过程：
(a + b)(a - b) = a(a - b) + b(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2
推导过程实际上是使用了分配律和合并同类项的运算。
应用一：
10^2-5^2=(10+5)(10-5)=15*5=75
因此，10的平方减去5的平方等于75
应用二：
d^2=a^2+a^2=2a^2
应用平方差公式，我们可以得到：
d^2=(a+a)(a-a)=a^2-a^2=0
因此，正方形的对角线长度为0。
这个结果显然是不正确的，因此我们需要注意，在一些情况下，平方差公式的应用可能会导致错误的结论。
应用三：
x^2-4=(x+2)(x-2)
通过平方差公式，我们可以将二次多项式因式分解为两个一次多项式的乘积。
结论：。
平方差公式在解题中的应用
平⽅差公式在解题中的应⽤平⽅差公式是初中数学因式分解中最常⽤的⼀个公式，其作⽤其实是相当⼤的。
因为在很多时候，我们在解⽅程或者做⼀些等式证明的时候，把多项式化成乘积的形式，往往会更有助于我们解决问题。
下⾯就是⼏道实例，⼤家可以先⾃⼰思考⼀下。
这⼏道题就是灵活地运⽤了因式分解中的平⽅差公式，但事实上并不能直观地拿来就应⽤，需要我们对多项式做⼀些处理，这对于因式分解的基本功有⼀定的要求。
但是，其本质思想，就是对于平⽅差的运⽤。
对于这⼀题来说，最重要的就是因式分解，⽽这⼀类型的因式分解相信很多同学已经很熟练了，就当做是抛砖引⽟吧。
其实所谓的平⽅差公式，不仅仅是说单项式减单项式，引申出来，当然可以是多项式减单项式，多项式减多项式，都是可以的，下⾯这道题就是通过配⽅的⽅法，变为多项式减单项式的平⽅差公司，具体技巧不再赘述，这是基本功。
在这⾥需要注意的⼀点就是对于合数的判定。
合数的定义是：除了1和它本⾝，还含有其他因数的数，叫做合数，所以，我们对于判定⼀个化为两个乘积形式的数是否为合数，⼀定要确定这个两个因式全部⼤于1才可以。
这是这题的重中之重，具体解析如下：这道题和上⼀道题类似，看到n的4次⽅，所以考虑到配⼀个完全平⽅项，⼜要保证减去的2倍乘积可以利⽤平⽅差公式。
证明思路与上题类似，在⽤平⽅差分解以后，证明两个因式都⼤于1，从⽽证明该多项式是合数，并且通过a取值的⽆穷性，说明k值得⽆穷多个。
这道题整体思路是完全平⽅公式，但是在证明技巧上确实是⾮常巧妙，它是通过给k赋⼀类特殊值，从⽽证明⽆穷性。
然后这个特殊的赋值⼜可以使多项式分解成因式，从⽽证明其是合数。
这类⽅法，在提⾼我们的数学思维上确实很有⽤。
在这⾥，我并不想说什么超纲不超纲。
超纲与否只是相对⽽⾔，从应⽤的原理上来看，就是最简单的平⽅差公式，不存在超纲⼀说。
要说超纲，那是指在思维和解题思路上，确实⽐较灵活。
但是学习的过程，不是说仅仅只是学习书本上有的东西，对于愿意突破⾃我，提⾼⾃我的同学来说，这些内容，应该是⽐较好的补药吧。
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平方差公式及其应用（含解析）一、单选题1. 3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的个位数是（）A. 4B. 5C. 6D. 82.下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（）A. （x+a）（x﹣a）B. （﹣x﹣b）（x﹣b）C. （a+b）（﹣a﹣b）D. （b+m）（m﹣b）3.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A. （x-y）（-x+y）B. （-x+y）（-x-y） C. （-x-y）（x-y） D. （x+y）（-x+y）4.下列各式能用平方差公式计算的是( )A. (2a＋b)(2b－a)B.C. (a＋b)(a－2b) D. (2x－1)(－2x＋1)5.下列各式中能用平方差公式的是（）A. （2a﹣3）（﹣2a+3）B. （a+b）（﹣a﹣b）C. （3a+b）（b﹣3a）D. （a+1）（a﹣2）6.计算（a+b）(-a+b)的结果是（）A. b -aB. a -bC. -a -2ab+bD. -a +2ab+b7.下列各式中，能用平方差公式计算的是（）A. （2a-b）（-2a+b）B. （a-2b）（2a+b）C. （2a-b）（-2a-b）D. （-2a-b）（2a+b）8.下列能用平方差公式计算的是（）A. （﹣a+b）（a﹣b）B. （x+2）（2+x） C. D. （x﹣2）（x+1）9.若（x+m）2=x2+kx+4是一个完全平方式，则k的值是（）A. 2B. 4C. ±2D. ±410.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A. （-a-1）（-a+1）B. （-a-1）（-a+1）C. （-a-1）（-a+1）D. （a-1）（-a-1）E. （a-1）（-a-1）11.下列各式中，计算结果为81﹣x2的是（）A. （x+9）（x﹣9）B. （x+9）（﹣x﹣9）C. （﹣x+9）（﹣x﹣9）D. （﹣x﹣9）（x﹣9）12.为了应用平方差公式计算（x+2y﹣1）（x﹣2y+1），下列变形正确的是（）A. [x﹣（2y+1）]2B. [x+（2y+1）]2C. [x﹣（2y﹣1）][x+（2y﹣1）] D. [（x﹣2y）+1][（x ﹣2y）﹣1]13.下列各式中不能用平方差公式计算的是（）A. （x﹣y）（﹣y﹣x）B. （x2﹣y2）（x2+y2）C. （a+b﹣c）（﹣c﹣b+a） D. （﹣x+y）（x﹣y）14.下列运算结果错误的是（）A. （x+y）（x﹣y）=x2﹣y2 B. （a﹣b）2=a2﹣b2C. （x+y）（x﹣y）（x2+y2）=x4﹣y4D. （x+2）（x﹣3）=x2﹣x﹣615.下列多项式中，与-x-y相乘的结果是x2-y2的多项式是( )A. y-xB. x-yC. x+yD. -x-y二、填空题16.分解因式：________·17.分解因式：________18.计算：（2m﹣n）（n+2m）=________ ．19.已知a2﹣b2=6，a﹣b=2，则a+b=________．20.若x2﹣y2=6，x+y=3，则x﹣y=________．21.计算：(2x+5)(2x－5)－(4+3x)(3x－4)=________．22.分解因式：4m2﹣9n2=________．三、计算题23.计算：（1）（5m﹣6n）（﹣6n﹣5m）；（2）（x2y2+3m）（﹣3m+ x2y2）．24.计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+25.王红同学在计算（2+1）（22+1）（24+1）时，将积式乘以（2﹣1）得：解：原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=28﹣1根据上题求：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的个位数字．26.计算：（1﹣x）（1+x）=1﹣x2 ．（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3 ．（1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4 ．（1）请你仔细观察以上运算，作出大胆猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn）=________；（2）根据你的猜想进行下列运算：（a）（1﹣2）（1+2+22+23+24）=________；（b）（x﹣1）（x99+x98+…+x2+x+1）=________；（3）计算：2+22+23+…+2n ．四、解答题27.解方程：5x+6（3x+2）（-2+3x）-54（x- ）•（x+ ）28.计算：（1）（）﹣1+2×（﹣2）﹣2-（﹣π+3.14）0﹣（）﹣3（2）用简便方法计算：1252﹣124×126﹣4101×（﹣0.25）99 ．29.如果一个正整数数能写成两个连续非负偶数的平方差，我们就把这个数叫做奇异数．例如4=22﹣02 ， 12=42﹣22 ， 4和12就是奇异数，两个连续正偶数分别用2k+2和k表示（k是非负整数）．（1）小雷说一个奇异数一定是4的倍数，你能说出其中的理由吗？（2）小华说：“不是所有的4倍数都是奇异数．”你认为她的说法对吗？若认为正确，举出一个不是奇异数的4的倍数．（3）如果一个正整数数能写成两个连续非负奇数的平方差，我们就把这个数叫做美丽数．①若一个美丽数一定是m的倍数，m= ；②m的倍数一定（填是或不是）美丽数；③是否存在一个正整数，它既是奇异数，又是美丽数？若存在，写出一个这样的数；若不存在，简要说明理由．五、综合题30.化简（1）( x- y)( x+ y) ( x2+ y2) ( x4+ y4)·…·(x16+ y16)；（2）(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)．答案解析部分一、单选题1. 3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的个位数是（）A. 4B. 5C. 6D. 8【答案】C【考点】平方差公式【解析】【解答】解：3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1…=264﹣1+1=264 ，∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…，∴个位上数字以2，4，8，6为循环节循环，∵64÷4=16，∴264个位上数字为6，即原式个位上数字为6．故选C．【分析】原式中的3变形为22﹣1，反复利用平方差公式计算即可得到结果．2.下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（）A. （x+a）（x﹣a）B. （﹣x﹣b）（x﹣b）C. （a+b）（﹣a﹣b）D. （b+m）（m﹣b）【答案】C【考点】平方差公式【解析】【解答】解：A、B、D符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；C、两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算．故选C．【分析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数解答．3.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A. （x-y）（-x+y）B. （-x+y）（-x-y） C. （-x-y）（x-y） D. （x+y）（-x+y）【答案】A【考点】平方差公式【解析】【分析】根据公式（a+b)（a-b)=a2-b2的左边的形式，判断能否使用．【解答】A、由于两个括号中含x、y项的符号都相反，故不能使用平方差公式，A正确；B、两个括号中，-x相同，含y的项的符号相反，故能使用平方差公式，B错误；C、两个括号中，含x项的符号相反，y项的符号相同，故能使用平方差公式，C错误；D、两个括号中，含x项的符号相反，y项的符号相同，故能使用平方差公式，D错误；故选：A．4.下列各式能用平方差公式计算的是( )A. (2a＋b)(2b－a) B. C. (a＋b)(a －2b) D. (2x－1)(－2x＋1)【答案】B【考点】平方差公式【解析】【解答】能用平方差公式计算的，必须是两项的和与这两项的差的积.故选B.5.下列各式中能用平方差公式的是（）A. （2a﹣3）（﹣2a+3）B. （a+b）（﹣a﹣b）C. （3a+b）（b﹣3a）D. （a+1）（a﹣2）【答案】C【考点】平方差公式【解析】【解答】解：A、∵（2a﹣3）（﹣2a+3）=﹣（2a﹣3）（2a﹣3）=﹣（2a﹣3）2 ，∴不能用平方差公式，故本选项错误；B、∵（a+b）（﹣a﹣b）=﹣（a+b）（a+b）=﹣（a+b）2 ，∴不能用平方差公式，故本选项错误；C、∵（3a+b）（b﹣3a）=（b+3a）（b﹣3a），∴两多项式的一项互为相反数，一项相等，符合平方差公式，即能用平方差公式，故本选项正确；D、∵平方差公式的特点是两多项式的一项互为相反数，一项相等，a和a相等，﹣1和﹣2不互为相反数，∴不能用平方差公式，故本选项错误；故选C．【分析】提取﹣1后得出﹣（2a﹣3）（2a﹣3）推出﹣（2a﹣3）2 ，即可判断A；提取﹣1后得出﹣（a+b）（a+b）推出﹣（a+b）2 ，即可判断B；根据平方差公式的特点是两多项式相乘，且两多项式的一项互为相反数，一项相等，即可判断C、D．6.计算（a+b）(-a+b)的结果是（）A. b -aB. a -bC. -a -2ab+bD. -a +2ab+b【答案】A【考点】平方差公式【解析】解答：（a+b）(-a+b)=（b+a）(b-a)= b-a. 分析：本题考查了平方差公式，掌握运算法则是解答本题的关键.故选A.7.下列各式中，能用平方差公式计算的是（）A. （2a-b）（-2a+b）B. （a-2b）（2a+b）C. （2a-b）（-2a-b）D. （-2a-b）（2a+b）【答案】C【考点】平方差公式【解析】【分析】两数之和与两数差的积等于这两个数的平方差，据此作答即可．【解答】A、不是两数之和与两数差的积，不能使用平方差公式；B、不是两数之和与两数差的积，不能使用平方差公式；C、是两数之和与两数差的积，能使用平方差公式；D、是两数之和与两数差的积，不能使用平方差公式．故选C．【点评】本题考查了平方差公式，解题的关键是注意必须是两数之和与两数差的积．8.下列能用平方差公式计算的是（）A. （﹣a+b）（a﹣b）B. （x+2）（2+x） C. D. （x﹣2）（x+1）【答案】C【考点】平方差公式【解析】【解答】解：A、两项都是互为相反数，不符合平方差公式； B、两项都完全相同，不符合平方差公式；C、两项有一项完全相同，另一项互为相反数，符合平方差公式；D、有一项﹣2与1不同，不符合平方差公式．故选C．【分析】根据能用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解．9.若（x+m）2=x2+kx+4是一个完全平方式，则k的值是（）A. 2B. 4C. ±2D. ±4【答案】D【考点】平方差公式【解析】【解答】解：∵（x+m）2=x2+2mx+m2=x2+kx+4是一个完全平方式，∴2m=k，m2=4，解得：m=±2，k=±4，故选D．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．10.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A.（-a-1）（-a+1）B. （-a-1）（-a+1）C. （-a-1）（-a+1）D.（a-1）（-a-1）E. （a-1）（-a-1）【答案】D【考点】平方差公式【解析】【分析】根据平方差公式的结构特点，两个数的和乘以两个数的差，对各选分析判断即可得解．【解答】A、（-a-1)（-a+1)，是-a与1的和与差的积，符合公式结构，故本选项正确；B、（a-1)（-a-1)，是-1与a的和与差的积，符合公式结构，故本选项正确；C、（a-1)（1+a)，是a与1的和与差的积，符合公式结构，故本选项正确；D、（a+1)（-a-1)，a与1都是相反数，不符合公式结构，故本选项错误．故选D．【点评】本题考查了平方差公式，熟记公式结构是解题的关键，是基础题，难度不大11.下列各式中，计算结果为81﹣x2的是（）A. （x+9）（x﹣9）B. （x+9）（﹣x﹣9）C. （﹣x+9）（﹣x﹣9）D. （﹣x﹣9）（x﹣9）【答案】D【考点】平方差公式【解析】【解答】解：81﹣x2=（﹣x﹣9）（x﹣9）或者（9+x）（9﹣x）．故选D．【分析】本题是平方差公式的应用，选项D中，﹣9是相同的项，互为相反项是x与﹣x，据此即可解答．12.为了应用平方差公式计算（x+2y﹣1）（x﹣2y+1），下列变形正确的是（）A. [x﹣（2y+1）]2B. [x+（2y+1）]2C. [x﹣（2y﹣1）][x+（2y﹣1）] D. [（x﹣2y）+1][（x ﹣2y）﹣1]【答案】C【考点】平方差公式【解析】【解答】解：（x+2y﹣1）（x﹣2y+1）=[x﹣（2y﹣1）][x+（2y﹣1）]，故选C．【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2的特点进行计算即可．13.下列各式中不能用平方差公式计算的是（）A. （x﹣y）（﹣y﹣x）B. （x2﹣y2）（x2+y2）C. （a+b﹣c）（﹣c﹣b+a） D. （﹣x+y）（x﹣y）【答案】D【考点】平方差公式【解析】【解答】解：A、（x﹣y）（﹣y﹣x）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B、（x2﹣y2）（x2+y2）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；C、（a+b﹣c）（﹣c﹣b+a）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；D、（﹣x+y）（x﹣y）不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意．故选：D．【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项分析判断后利用排除法．14.下列运算结果错误的是（）A. （x+y）（x﹣y）=x2﹣y2 B. （a﹣b）2=a2﹣b2C. （x+y）（x﹣y）（x2+y2）=x4﹣y4D. （x+2）（x﹣3）=x2﹣x﹣6【答案】B【考点】平方差公式【解析】【解答】解：A、（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2 ，正确，不符合题意；B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 ，错误，符合题意；C、（x+y）（x﹣y）（x2+y2）=（x2﹣y2）（x2+y2）═x4﹣y4 ，正确，不符合题意；D、（x+2）（x﹣3）=x2﹣x﹣6，正确，不符合题意．故选B．【分析】根据平方差公式、完全平方公式和多项式乘多项式法则计算后利用排除法求解．15.下列多项式中，与-x-y相乘的结果是x2-y2的多项式是( )A. y-xB. x-yC. x+yD. -x-y【答案】A【考点】平方差公式及应用【解析】【解答】解：因为（x+y）（x-y）=（-x-y）（y-x）=x2-y2．故答案为：A【分析】根据平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2 ，求出代数式.二、填空题16.分解因式：________·【答案】(x+3)(x-3)【考点】平方差公式及应用【解析】【解答】解：原式=(x+3)(x-3)。