2005年全国高中数学联合竞赛加试试卷及答案

二○○五年全国高中数学联合竞赛 加试试题参考答案及评分标准
说明：
1． 评阅试卷时，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分。

2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准
适当划分档次评分，10分为一个档次，不要再增加其他中间档次。

一、（本题满分50分）
如图，在ABC ∆中，设AB AC >，过A 作ABC ∆的外接圆的切线l .又以A 为圆心,AC 为半径作圆分别交线段AB 于D;交直线l 于E 、F.
证明：直线DE 、DF 分别通过ABC ∆的内心与一个旁心。

（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁心圆的圆心称为旁心）
证明：（１）先证DE 过ABC ∆的内心. 如图，连DE 、DC ，作BAC ∠的平分线分别交DE 于I 、DC 于G ， 连IC ，则由AD AC =，得AG DC ⊥，ID IC =.10 分
又D 、C 、E 在A 上，1
2
IAC DAC IEC ∴∠=∠=∠，∴A 、I 、C 、E 四点共圆，CIE CAE ABC ∴∠=∠=∠，而2CIE ICD ∠=∠，
1
.20
2
ICA ABC ∴∠=∠ 分
11
90,.
22
30AIC IGC ICG ABC ACI ACB I ABC ∴∠=∠+∠=︒+∠∴∠=∠∴∆ 为的内心。

分
（2）再证DF 过ABC ∆的一个旁心。

连FD 并延长交ABC ∠的外角平分线于１Ｉ，连B BI 11
II 、I、，由（1）知，I 为内心，1190,IBI EDI D ∴∠=︒=∠∴、B 、1I 、I 四点共圆，
1111
90(),22BII BDI ADI BAC ADG ADI BAC IDG ∠=∠=︒-∠=∠+∠-∠=∠+∠
A ∴、I 、1I 共线。

150I ABC BC ∴∆ 是的边外的旁心，分
二、（本题满分50分）
设正数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足;;.cy bz a az cx b bx ay c +=+=+=
求函数222
(,,
)
111x y z f x y z x y z
=++
+++的最小值。

解：由条件得，()()()0b az cx b c bx ay c a cy bz a +-++--+-=，即22220,bcx a b c +--=
2222b c a x bc +-∴=，同理，得222222
,.1022a c b a b c y z ac ab
+-+-=
= 分 a 、b 、c 、x 、y 、z 为正数，据以上三式知，222222222,,,b c a a c b a b c +>+>+>故以
a 、
b 、
c 为边长，可构成一个锐角三角形ABC ，cos ,cos ,cos x A y B z C ∴===，问题转化为：
在锐角ABC ∆中，求函数222cos cos cos (cos ,cos ,cos )1cos 1cos 1cos A B C
f A B C A B C =+++++的最小值
.20 分
令cot ,cot ,cot ,u A v B w C ===则2,,,1,1()(),u v w R uv vw wu u u v u w +∈++=+=++且
21v +2()(),1()().30u v v
w w u w v w =+++=+
+ 分
222
322
cos 11cos 1u A u u u A
+∴==
=
=++
332
2
11(),2u u u u v u w =≥-+++同理，
2cos 1cos B B +3211(),2v v u v v w ≥-+++ 2cos 1cos C C
+32
11().402w w u w v w ≥-+++ 分
3333332
2
2
22222222211
()[()(2211
)()]().5022
u v v w u w f u v w u v w u uv v v vw
u v v w u w w u uw w uv vw uw +++∴≥++-++=++--++-+++++-+=++= 分
（取等号当且仅当,u v w ==此时，min 11
,),[(,,)].22
a b c x y z f x y z =====∴= 注：若考生直接令,x y z ==得答案min 1
(,,),2
f x y
z =则只给10分。

三、（本题满分50分）
对每个正整数n ,定义函数0()n f n n ⎧⎪
=⎨⎪⎩
当为平方数，当不为平方数。

（其中[x ]表示不超过x 的最大
整数，{}[]x x x =-）。

试求：
240
1
()k f k =∑的值。

解：对任意a 、,k N +∈若22(1),
k a k <<+则212,a k k ≤-≤
,01,
k θθ=+
<<则
222
1
221k k k
a k a k a k
θθ
+=
=
==<+---，22[].k a k ∴=-让a 跑遍区间 2
2
(,(1))k k +中的所有整数，则{}
2221(1)12[][]k
i k a k k
a i =<<+=∑∑，
于是
2
(1)21
11
2()[
]n n k
a k i k
f a i
+====∑
∑∑ ① 20 分 下面计算
21
2[
]k
i k
i
=∑：画一张22k k ⨯的表，第i 行中，凡是i 的倍数处填写“*”号，则这行的“*”号共[2k i ]个，全表的“*”号共21
2[]k
i k i =∑个；另一方面，按列收集“*”号数：第j 列中，若j 有()
j T 个正因数，则该列便有()j T 个“*”号，故全表的“*”号个数共21()k j j =T ∑个，因此2211
2[]()k
k
i j k
j i ===T ∑∑。

示例如下：
则
2
(1)21
11
()()[(1)(2)](1)[(3)(4)][(21)(2)]n n
k
a k j f a j n n n n +====T =T +T +-T +T ++T -+T ∑
∑∑
②
由此，
2
1615
1
1
()(16)[(21)(2)]k k f k k k k ===-T -+T ∑∑ ③ 30 分
记(21)(2),1,2,15,k a k k k =T -+T = 易得k a 的取值情况如下：
因此，
256
15
1
1
()(16)783k
k k f k k a
===-=∑∑ ④40 分
据定义2(256)(16)0,f f ==又当{}241,
242,255k ∈ ，设215(1630)k r
r =+≤≤，
15153130r r ==<<，
30
31
12r r
≤<<
<，
则{}1,241,242,,255k
=∈ ⑤，从而240
1
()783k f k ==-∑256
1
()78315768.50
k f k ==-=∑ 分。