高考数学大一轮复习第六章课时跟踪检测三十四二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题练习文48

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(全国通用)高考数学大一轮复习第六篇不等式第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题习题

第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题选题明细表知识点、方法题号二元一次不等式(组)表示的平面区域1,4,9含参数的线性规划3,5,6,7,10,12目标函数的最值2,8,13,14,15线性规划的实际应用11基础对点练(时间:30分钟)1.不等式组所表示的平面区域是( D )解析:画出直线x=2,在平面上取直线的右侧部分(包含直线本身);再画出直线x-y=0,取直线的右侧部分(包含直线本身),两部分重叠的区域就是不等式组表示的平面区域.故选D.2.(2016·某某卷)若变量x,y满足则x2+y2的最大值是( C )(A)4 (B)9(C)10 (D)12解析: 作出不等式组表示的可行域如图所示,由x2+y2表示可行域内的点(x,y)到原点的距离平方可知,点A(3,-1)满足条件,即x2+y2的最大值为32+(-1)2=10.故选C.3.(2016·某某模拟)已知函数f(x)=log a x(a>1)的图象经过区域则a的取值X 围是( C )(A)(1,] (B)(,+∞)(C)[,+∞) (D)(2,+∞)解析: 作出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示.联系函数f(x)=log a x(a>1)的图象,能够看出,当图象经过区域的边界点A(3,3)时,a可以取到最小值,而显然只要a大于,函数f(x)=log a x(a>1)的图象必然经过区域内的点.则a的取值X围是[,+∞).故选C.4.(2015·某某校级三模)若A为不等式组表示的平面区域,则a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为( D )(A)9(B)3(C)(D)解析: 如图,不等式组表示的平面区域是△AOB,动直线x+y=a(即y=-x+a)在y轴上的截距从-2变化到1.知△ACD是斜边为3的等腰直角三角形,△OEC是直角边为1的等腰直角三角形,所以区域的面积S=S△ACD-S△OEC=×3×-×1×1=.5.(2014·某某卷)x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( D )(A)或-1 (B)2或(C)2或1 (D)2或-1解析:线性约束条件对应的可行域如图所示:目标函数z=y-ax化为y=ax+z,当a>0时,要使其取得最大值的最优解不唯一,需动直线y=ax+z与2x-y+2=0平行或重合,此时a=2;同理当a<0时,需动直线y=ax+z与x+y-2=0平行或重合,此时a=-1,故选D.6.(2016·某某章丘期末)若实数x,y满足不等式组且x+y的最大值为9,则实数m等于( C )(A)-2 (B)-1(C)1 (D)2解析: x-my+1=0恒过点(-1,0),旋转直线x-my+1=0可知可行域只可能是△ABC,且x+y的最大值只在点C处取得,联立方程组得C(,)(若m=,则与2x-y-3=0平行,不可能),(x+y)max=+=9,解得m=1.故选C.7.(2016·某某某某名校联考)已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a等于( A )(A)(B)(C)1 (D)2解析: 根据约束条件画出可行域,如图,由图可知当直线z=2x+y经过点B时,z最小,由解得所以z min=2×1-2a=1,解得a=.故选A.8.导学号 18702285已知x,y满足则的取值X围是( C )(A)[0,] (B)[2,] (C)[1,] (D)[0,]解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.因为==1+,表示区域内的点与(4,2)连线的斜率.斜率最小值为0,点(-3,-4)与M(4,2)连线斜率最大为=.所以的取值X围为[1,].故选C.9.若点P(m,3)到直线4x-3y+1=0的距离为4,且点P在不等式2x+y<3表示的平面区域内,则m=.解析:由题意可得解得m=-3.答案:-310.(2016·某某模拟)若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的取值X围是.解析: 由题意,由可求得交点坐标为(1,2),要使直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件则点(1,2)在可行域内,如图所示,可得m≤1.答案:(-∞,1]11.导学号 18702284某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电、劳力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如下表所示:产品限额资源甲产品(每吨)乙产品(每吨)资源限额(每天)煤(t) 9 4 360电(kW·h) 4 5 200劳力(个) 3 10 300利润(万元) 6 12问:每天生产甲、乙两种产品各多少吨,获得利润总额最大?解:设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨,获得利润z万元.依题意可得约束条件利润目标函数z=6x+12y.如图,作出可行域,作直线l:6x+12y=0,把直线l向右上方平移至l1位置,直线经过可行域上的点M时z=6x+12y取最大值.解方程组得M(20,24).所以生产甲种产品20 t,乙种产品24 t,才能使此工厂获得最大利润.能力提升练(时间:15分钟)12.(2016·某某八校联考)已知变量x,y满足约束条件若z=x-2y的最大值与最小值分别为a,b,且方程x2-kx+1=0在区间(b,a)上有两个不同实数解,则实数k的取值X围是( C )(A)(-6,-2) (B)(-3,2)(C)(-,-2)(D)(-,-3)解析: 作出可行域,如图所示,则目标函数z=x-2y在点(1,0)处取得最大值1,在点(-1,1)处取得最小值-3,所以a=1,b=-3,从而可知方程x2-kx+1=0在区间(-3,1)上有两个不同实数解.令f(x)=x2-kx+1,则⇒-<k<-2,故选C.13.导学号 18702286如果实数a,b满足条件:则的最大值是.解析: 根据约束条件画出可行域,如图,表示可行域内的点与原点(0,0)连线的斜率,设z的几何意义表示可行域内点P与原点O(0,0)连线的斜率,易知当直线OP过点B(,)时,取最大值,最大值为3,直线OP过点A(1,1)时,取最小值,最小值为1,所以∈[1,3].所以===2-因为∈[1,3].所以的最大值为.答案:14.(2014·某某卷)当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值X 围是.解析:可行域如图所示,则A(1,0),B(2,1),C(1,),设z=ax+y,即得1≤a≤.答案:[1,]15.导学号 18702287变量x,y满足(1)假设z1=4x-3y,求z1的最大值;(2)设z2=,求z2的最小值;(3)设z3=x2+y2,求z3的取值X围.解: 作出可行域如图中阴影部分,联立易得A(1,),B(1,1),C(5,2).(1)z1=4x-3y⇔y=x-,易知平移y=x至过点C时,z1最大,且最大值为4×5-3×2=14.(2)z2=表示可行域内的点与原点连线的斜率大小,显然直线OC斜率最小.故z2的最小值为.(3)z3=x2+y2表示可行域内的点到原点距离的平方,而2=OB2<OA2<OC2=29.故z3∈[2,29].好题天天练1.(2015·某某卷)设实数x,y满足则xy的最大值为( A )(A)(B)(C)12 (D)16解题关键:判断xy取得最大值的点,并分类讨论确定最大值.解析: 先画出可行域,再将xy转化为矩形面积S,求S的最大值.表示的可行域如图中阴影部分所示.令S=xy,不妨设在点M(x0,y0)处S取得最大值,且由图象知点M(x0,y0)只可能在线段AD,AB,BC上.①当M(x0,y0)在线段AD上时,x0∈[-2,0],此时S=xy≤0;②当M(x0,y0)在线段AB上时,x0∈[0,2],S=xy=x·=x(7-)=-+7x=-(x-7)2+,当x0=2时,wordS max=-(2-7)2+=-+=12;③当M(x0,y 0)在线段BC上时,x 0∈[2,4],S=xy=x·(10-2x)=-2x2+10x=-2(x-)2+,当x0=时,S max =.综上所述,xy的最大值为.2.导学号 18702288设实数x,y满足则z=-的取值X围是.解析: 由于表示可行域内的点(x,y)与原点(0,0)的连线的斜率,如图,求出可行域的顶点坐标A(3,1),B(1,2),C(4,2),则k OA=,k OB=2,k OC=,可见∈[,2],令=t,则z=t-在[,2]上单调递增,所以z∈[-,].答案:[-,]11 / 11。

高一二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题知识点+例题+练习含答案

1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.(1)画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：①直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；②特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于Ax ＋By ＋C >0或Ax ＋By ＋C <0，则有①当B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方； ②当B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方． (3)最优解和可行解的关系：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( √ )(3)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × ) (4)不等式x 2－y 2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y 轴的两块区域．( √ )1．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0解析两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0，又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域． 2．(教材改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是________．答案 ③解析用特殊点代入，比如(0,0)，容易判断为③. 3．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是________．答案 2解析因为直线x －y ＝－1与x ＋y ＝1互相垂直，所以如图所示的可行域为直角三角形，易得A (0,1)，B (1,0)，C (2,3)，故AB ＝2，AC ＝22，其面积为12×AB ×AC ＝2.4．(2015·北京改编)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为________．答案 2解析可行域如图所示．目标函数化为y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (0,1)时，z 取得最大值2.5．(教材改编)投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨)．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧200x ＋300y ≤1 400，200x ＋100y ≤900，x ≥0，y ≥0解析用表格列出各数据A B 总数产品吨数 x y 资金 200x 300y 1 400 场地200x100y900所以不难看出，x ≥0，y ≥0,200x ＋300y ≤1 400,200x ＋100y ≤900.题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1 不含参数的平面区域问题例1 (1)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的________．(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于________．答案 (1)③ (2)43解析 (1)(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出平面区域后，只有③符合题意．(2)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A (0，43)，B (1,1)，C (0,4)，则△ABC 的面积为12×1×83＝43.命题点2 含参数的平面区域问题例2 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是____________________________________________________________．答案 73解析不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52. 当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73.思维升华 (1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解．(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为________． (2)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为________．答案 (1)[3，＋∞) (2)1解析 (1)直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1,2)时，k 最小，此时k CM ＝2－(－1)1－0＝3，因此k ≥3，即k ∈[3，＋∞)．(2)由于x ＝1与x ＋y －4＝0不可能垂直，所以只有可能x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直或x ＝1与kx －y ＝0垂直．①当x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直时，k ＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求． ②当x ＝1与kx －y ＝0垂直时，k ＝0，检验不符合要求．题型二求目标函数的最值问题命题点1 求线性目标函数的最值例3 (2014·广东)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝________. 答案 6解析画出可行域，如图阴影部分所示．由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，∴A (－1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴B (2，－1)．当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n .当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6. 命题点2 求非线性目标函数的最值例4 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2.(1)若z ＝yx ，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围．解由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1,2)， ∴k OB ＝21＝2，即z min ＝2，∴z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．因此x 2＋y 2的值最小为OA 2(取不到)，最大值为OB 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0,1)， ∴OA 2＝(02＋12)2＝1，OB 2＝(12＋22)2＝5，∴z 的取值范围是(1,5]．引申探究1．若z ＝y －1x －1，求z 的取值范围．解 z ＝y －1x －1可以看作过点P (1,1)及(x ，y )两点的直线的斜率．∴z 的取值范围是(－∞，0)．2．若z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3.求z 的最大值、最小值．解 z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3 ＝(x －1)2＋(y －1)2＋1，而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1,1)与Q (x ，y )的距离的平方，(PQ 2)max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2， (PQ 2)min ＝(|1－1＋1|12＋(－1)2)2＝12，∴z max ＝2＋1＝3，z min ＝12＋1＝32.命题点3 求线性规划的参数例5 已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.答案 12解析作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a (x －3)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ， ∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.思维升华 (1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值． (2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有： ①x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离，(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；②yx 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． (3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足条件．(1)(2015·无锡一模)在直角坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域的面积为32，则t 的值为________．(2)(2014·安徽改编)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为________．答案 (1)1 (2)2或－1 解析 (1)不等式组⎩⎨⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x ＝t ，解得交点B (t ，t ＋1)，在y ＝x ＋1中，令x ＝0得y ＝1，即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C (0,1)，由平面区域的面积S ＝(1＋t ＋1)×t 2＝32，得t 2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3(不合题意，舍去)．(2)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.题型三线性规划的实际应用例6 某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y .由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．思维升华解线性规划应用问题的一般步骤： (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答．(2015·陕西改编)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元.甲乙原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128答案 18解析设每天甲、乙的产量分别为x 吨，y 吨，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2,3)．则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．8．含参数的线性规划问题的易错点典例已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝________.易错分析题目给出的区域边界“两静一动”，可先画出已知边界表示的区域，分析动直线的位置时容易出错，没有抓住直线x ＋y ＝m 和直线y ＝－x 平行这个特点；另外在寻找最优点时也容易找错区域的顶点．解析显然，当m <2时，不等式组表示的平面区域是空集；当m ＝2时，不等式组表示的平面区域只包含一个点A (1,1)．此时z min ＝1－1＝0≠－1. 显然都不符合题意．故必有m >2，此时不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m所表示的平面区域如图所示，平面区域为一个三角形区域，其顶点为A (1,1)，B (m －1,1)，C (m ＋13，2m －13)．由图可知，当直线y ＝x －z 经过点C 时，z 取得最小值，最小值为m ＋13－2m －13＝2－m3.由题意，得2－m3＝－1，解得m ＝5.答案 5温馨提醒 (1)当约束条件含有参数时，要注意根据题目条件，画出符合条件的可行域．本题因含有变化的参数，可能导致可行域画不出来． (2)应注意直线y ＝x －z 经过的特殊点．[方法与技巧]1．平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)．2．求最值：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．3．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．4．利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题． [失误与防范]1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2．在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距zb 取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距zb 取最大值时，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值．A 组专项基础训练(时间：30分钟)1．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有________个．答案 1解析由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5,0)，且其斜率k ＝－2<k AB ＝－43，即直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点A (5,0)．2．若点(m,1)在不等式2x ＋3y －5>0所表示的平面区域内，则m 的取值范围是________．答案 m >1解析由2m ＋3－5>0，得m >1.3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________．答案 3解析由线性约束条件画出可行域(如图所示)．由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，12z 的几何意义是直线y ＝－12x ＋12z 在y 轴上的截距，要使z 最小，需使12z 最小，易知当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (1,1)时，z 最小，最小值为3.4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a ，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是______________．答案 (0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ 解析不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图(阴影部分)，求得A ，B 两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫23，23和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a 取值范围是0＜a ≤1或a ≥43.5．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是________元．答案 2 800解析设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，则根据题意得x 、y 的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12.设获利z 元，则z ＝300x ＋400y . 画出可行域如图．画直线l ：300x ＋400y ＝0，即3x ＋4y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线过点M 时，目标函数取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即M 的坐标为(4,4)，∴z max ＝300×4＋400×4＝2 800(元)．6．若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为________．答案 1解析在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x的图象及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1.7．(2015·枣庄模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4x ＋3y ≤4，y ≥0，则ω＝y ＋1x的最小值是________．答案 1解析作出不等式组对应的平面区域如图，ω＝y ＋1x 的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (0，－1)所在直线的斜率，由图象可知当P 位于点D (1,0)时，直线AP 的斜率最小，此时ω＝y ＋1x 的最小值为－1－00－1＝1.8．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是__________．答案 [－53，5)解析画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是[－53，5)．9．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如表：a b (万吨) c (百万元)A 50% 1 3 B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO 2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．答案 15解析设购买铁矿石A 、B 分别为x 万吨，y 万吨，购买铁矿石的费用为z (百万元)，则⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝3x ＋6y ，由⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ＝1.9，x ＋0.5y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.记P (1,2)，画出可行域可知，当目标函数z ＝3x ＋6y 过点P (1,2)时，z 取到最小值15. 10．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为10，则a 2＋b 2的最小值为________．答案2513解析因为a >0，b >0，所以由可行域得，如图，当目标函数过点(4,6)时z 取最大值，∴4a ＋6b ＝10.a 2＋b 2的几何意义是直线4a ＋6b ＝10上任意一点到点(0,0)的距离的平方，那么其最小值是点(0,0)到直线4a ＋6b ＝10距离的平方，则a 2＋b 2的最小值是2513.B 组专项能力提升(时间：20分钟)11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a ，b ，且方程x 2－kx ＋1＝0在区间(b ，a )上有两个不同实数解，则实数k 的取值范围是__________．答案 (－103，－2)解析作出可行域，如图所示，则目标函数z ＝x －2y 在点(1,0)处取得最大值1，在点(－1,1)处取得最小值－3， ∴a ＝1，b ＝－3，从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3,1)上有两个不同实数解．令f (x )＝x 2－kx ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)>0，f (1)>0，－3<k2<1，Δ＝k 2－4>0⇒－103<k <－2.12．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1所确定的平面区域内的动点，Q 是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP →＋OQ →|的最小值为________．答案55解析在直线2x ＋y ＝0上取一点Q ′，使得Q ′O →＝OQ →，则|OP →＋OQ →|＝|OP →＋Q ′O →| ＝|Q ′P →|≥|P ′P →|≥|BA →|，其中P ′，B 分别为点P ，A 在直线2x ＋y ＝0上的投影，如图．因为|AB →|＝|0＋1|12＋22＝55，因此|OP →＋OQ →|min ＝55.13．设平面点集A ＝{(x ，y )|(y －x )·(y －1x )≥0}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为________．答案 π2解析平面点集A 表示的平面区域就是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ≥0，y －1x ≥0与⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤0，y －1x≤0表示的两块平面区域，而平面点集B 表示的平面区域为以点(1,1)为圆心，以1为半径的圆及圆的内部，作出它们表示的平面区域如图所示，图中的阴影部分就是A ∩B 所表示的平面图形．由于圆和曲线y ＝1x 关于直线y ＝x 对称，因此，阴影部分所表示的图形面积为圆面积的12，即为π2.14．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为________．答案 37解析由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界．∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1. 显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6.∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37.15．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.16．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．答案 6解析作出图形可知，△ABF 所围成的区域即为区域D ，其中A (0,1)是z 在D 上取得最小值的点，B ，C ，D ，E ，F 是z 在D 上取得最大值的点，则T 中的点共确定AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BF 共6条不同的直线．。

高考数学一轮复习第6章不等式6.2二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题习题理

x＋y≥1，
5．(2018·石家庄质检)若 x，y 满足mx－y≤0，
且
3x－2y＋2≥0，
z＝3x－y 的最大值为 2，则实数 m 的值为( )
1
2
A.3
B.3
C．1
D．2
解析若 z＝3x－y 的最大值为 2，则此时目标函数为 y ＝3x－2，直线 y＝3x－2 与 3x－2y＋2＝0 和 x＋y＝1 分别交于 A(2,4)，B34，14，mx－y＝0 经过其中一点，所以 m＝2 或 m＝13，当 m＝13时，经检验不符合题意，故 m＝2，选 D.
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6．2 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
[基础送分提速狂刷练] 一、选择题 1．(2018·唐山模拟)已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线 3x－2y－a＝0 的两侧，则 a 的取值范围为( ) A．(－24,7) B．(－7,24) C．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 解析根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)<0.即(a＋ 7)(a－24)<0，解得－7<a<24.故选 B.
－15≤k≤35，
所以－15≤k≤0，故选 D.
8 ． (2018·南昌十校一模 ) 已知不等式组
2x－y－2≥0，
3x＋y－8≤0， x＋2y－1≥0，
则 z＝x＋y 1的最大值与最小值的比值为(
)
A．－2
B．－12
C．－83
D．－13
解析
2x－y－2≥0，
如图所示，不等式组3x＋y－8≤0， x＋2y－1≥0
x＋y－2≥0，
6．若变量 x，y 满足约束条件x－2y＋6≥0， x≤2，

高考数学一轮复习课时规范练32 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题理北师大版-北师大版高

课时规X练32 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础巩固组1.若点(m,1)在不等式2x+3y-5>0所表示的平面区域内,则m的取值X围是()A.m≥1B.m≤1C.m<1D.m>12.(2018某某某某舒城中学仿真(三),3)若x,y满足则z=x+2y的最大值为()A.8B.7C.2D.13.(2018某某阳春一中模拟,4)若实数x,y满足不等式组则z=x2+y2的取值X围是()A.,2B.[0,2]C.D.[0,]4.(2018某某某某高三质监(二),6)已知动点M(x,y)满足线性条件定点N(3,1),则直线MN斜率的最大值为()A.1B.2C.3D.45.(2018某某某某沂水一中三模,11)已知实数x,y满足的取值X围为()A.-3,B.-3,C.-3,D.-6.(2018某某某某四模,6)已知实数x,y满足的取值X围是()A.(0,1)B.(0,1]C.[1,+∞)D.,+∞7.(2018某某某某联考,9)已知实数x,y满足:若目标函数z=ax+y(其中a为常数)仅在处取得最大值,则a的取值X围是()A.(-1,1)B.(-1,0)C.(0,1)D.{-1,1}8.(2018某某某某联考)已知实数x,y满足且(k-1)x-y+k-2≥0恒成立,则实数k的最小值是.9.(2018某某某某质检,15)若直线ax+y=0将平面区域Ω=划分成面积为1∶2的两部分,则实数a的值等于.10.(2018某某红河一模,14)已知则z=2x-y的取值X围是.11.(2018海淀区二模,13)A,B两个居民小区的居委会欲组织本小区的中学生利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动.两个校区每位同学的往返车费及服务老人的人数如下表:A小区B小区往返车费3元 5元服务老人的人数5人 3人根据安排,去敬老院的往返总车费不能超过37元,且B小区参加献爱心活动的同学比A小区的同学至少多1人,则接受服务的老人最多有人.综合提升组12.(2018某某某某二模,6)已知点P(m,n)在不等式组表示的平面区域内,则实数m 的取值X围是()A.[-5,5]B.[-5,-5]C.[-5,1]D.[-5,1]13.(2018某某某某测试八,5)已知f(x)=x2+ax+b,0≤f(1)≤1,9≤f(-3)≤12,则z=(a+1)2+(b+1)2的最小值为()A. B. C. D.114.(2018某某某某一模,7)已知不等式ax-2by≤2在平面区域{(x,y)||x|≤1且|y|≤1}上恒成立,则动点P(a,b)所形成平面区域的面积为()A.4B.8C.16D.3215.(2018某某某某一联,14)已知平面区域Ω:夹在两条斜率为-2的平行直线之间,则这两条平行直线间的最短距离为.创新应用组16.(2018某某一模,7)设不等式组表示的平面区域为D,若圆C:(x+1)2+y2=r2(r>0)不经过区域D上的点,则r的取值X围为()A.(0,)∪(,+∞)B.(,+∞)C.(0,)D.[]17.(2018某某某某调研,10)若x,y满足|x-1|+2|y+1|≤2,则M=2x2+y2-2x的最小值为()A.-2B.C.4D.-参考答案课时规X练32 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.D由2m+3-5>0,得m>1.2.B作出题设约束条件可行域,如图△ABC内部(含边界),作直线l:x+2y=0,把直线l向上平移,z增加,当l过点B(3,2)时,z=3+2×2=7为最大值.故选B.3.B绘制不等式组表示的平面区域如图所示,目标函数表示坐标原点到可行域内点的距离的平方,则目标函数在点(0,0)处取得最小值:z min=02+02=0,目标函数在点A(1,1)处取得最大值:z max=12+12=2,故x2+y2的取值X围是[0,2].故选B.4.C画出线性条件表示的可行域,由可得M(2,-2),由可行域可知当M 取(2,-2)时,直线MN的斜率最大值为=3,故选C.5.A先作出不等式组对应的可行域,如图所示,解方程组得A,2,=表示可行域内的点(x,y)到原点的直线的斜率,所以当点在A点时,斜率最大==,没有最小值,无限接近直线3x+y-6=0的斜率-3,所以的取值X围为-3,.故选A.6.D的几何意义为可行域内的点到原点的距离,画出可行域,根据几何图像中的距离,结合点到直线的距离公式,即可求出X围.根据题意作出可行域:此区域为开放区域,所以距离可以无限大,由图像可知最近距离为原点到直线x+y-1=0的距离,所以由点到直线距离公式可得:最短距离d==.故选D.7.A构造二次函数f(t)=t2-t,由函数的单调性可知,f(x)≤f(y),得到自变量离轴越远函数值越大,故≤-y,且0≤y≤,得到可行域为如图所示,直线斜率为-a,由图像可得到-1<-a<1即-1<a<1.故选A.8.4画出表示的可行域,如图,直线(k-1)x-y+k-2=0过定点(-1,-1),若(k-1)x-y+k-2≥0恒成立,可行域在直线下面,当直线过(0,2)时,k-1有最小值=3,k最小值为4,故答案为4.9.或- 绘制不等式组表示的平面区域如图所示,由题意可知,该平面区域的面积:S=×OB×AC=×1×2=1,直线ax+y=0的斜率为k=-a,当a<0时,如图所示,联立方程组:可得D,,此时S△OCD=×1×=,解得a=,由对称性可知,a=-也满足题意.综上可得:实数a的值等于或-.10.[-6,2]由z=2x-y⇒y=2x-z,则z表示直线y=2x+b在y轴上截距的相反数.如图,易知当直线过点A时直线在y轴上的截距最小为-2,z取最大值为2;当直线过点B时直线在y轴上的截距最大为6,z取最小值为-6.所以,z=2x-y的取值X围是[-6,2].11.35设A,B两小区参加活动同学的人数分别为x,y,受到服务的老人人数为z,则z=5x+3y,且作出可行域,如图平移直线z=5x+3y,由图可知,当直线z=5x+3y过点M(4,5)时,z最大,∴当x=4,y=5时,z取得最大值为35,即接受服务的老人最多有35人,故答案为35.12.C作出约束条件所表示的平面区域,如图所示,由解得A(1,7),且点B(-5,0),又因为点P(m,n)在不等式组所表示的平面区域内,所以实数m的取值X围是[-5,1],故选C.13.B因为0≤f(1)≤1,9≤f(-3)≤12,所以作可行域,则z=(a+1)2+(b+1)2,其几何意义是可行域内点到定点A(-1,-1)距离的平方,其最小值为A到直线x+y+1=0距离的平方,即z min=2=,选B.14.A令z=ax-2by.∵不等式ax-2by≤2在平面区域{(x,y)||x|≤1且|y|≤1}上恒成立,∴函数z=ax-2by在可行域要求的条件下,z max=2恒成立,画出平面区域{(x,y)||x|≤1且|y|≤1},如图所示:当直线ax-2by-z=0过点(1,1)或点(1,-1)或(-1,1)或(-1,-1)时,有:点P(a,b)形成的图形是图中的菱形MNTS.∴所求的面积S=2××4×1=4,故选A.15.画出可行域如下图所示,由图可知,两平行线最短距离为点A(0,2)到直线2x+y-5=0的距离,即d==.16.A作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△MNP及其内部,其中M(1,1),N(2,2),P(1,3).∵圆C:(x+1)2+y2=r2(r>0)表示以C(-1,0)为圆心,半径为r的圆,∴由图可得,当半径满足r<CM或r>CP时,圆C不经过区域D上的点,∵CM==,CP==,∴当0<r<或r>时,圆C不经过区域D上的点,故选A.17.D令t=x,+2|y+1|≤2,作出可行域,如图所示.A(,0),B(-,-1),M=t2+y2-t=t-2+y2-表示可行域上的动点到定点,0的距离的平方,然后减去,故其最小值为定点,0到直线AB的距离的平方减去.AB:y=t-,定点,0到直线AB的距离:=,∴M=t2+y2-t=t-2+y2-≥-=-,故选D.。

(文)大一轮复习课件第六章不等式、推理与证明第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题

解析：设旅行社租用A型客车x辆，B型客车y 辆，租金为z，则线性约束条件为
x＋y≤21， y－x≤7， 36x＋60y≥900， x，y∈N.
目标函数为z＝1 600x
＋2 400y．画出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点N(5,12)时，有最小值zmin＝36 800(元)．答案：C
[演练冲关]
x－y＋2≥0， 1．(2017·海口调研)已知实数x，y满足x＋y－4≥0，
4x－y－4≤0.
则z＝
3x－y的取值范围为
()
A．0，152 C．2，152
B．[0,2] D．2，83
解析：画出题中的不等式组表示的平面区域 (阴影部分)及直线3x－y＝0，平移该直线，平移到经过该平面区域内的点A(1,3)(该点是直线x－y＋2＝0与x＋y－4＝0的交点)时，相应直线在x轴上的截距达到最小，此时z＝3x－y取得最小值 3×1－3＝0；平移到经过该平面区域内的点B85，152(该点是直线4x－y－4＝0与x＋y－4＝0的交点)时，相应直线在x轴上的截距达到最大，此时z＝3x－y取得最大值3× 85 － 152 ＝ 152 ，因此 z的取值范围是0，152，选A．答案：A
2．(易错题)若满足条件 xx＋－yy－≥20≤，0， y≥a
的整点(x，y)恰有9个，其
中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为 ( )
A．－3
B．－2
C．－1
解析：不等式组所表示的平面区域如图中
D．0
阴影部分，当a＝0时，只有4个整点
(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a＝－1时，
数多个，也可能没有．
3．在通过求直线的截距
z b
的最值间接求出z的最值时，要注

高三数学一轮复习课时作业6：7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一、选择题1．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥1，x ＋y ≥1，1＜x ≤a ，目标函数z ＝x ＋2y 的最大值为10，则实数a 的值为( )A ．2 B.83C ．4D ．82．已知点P (a ，b )与点Q (1,0)在直线2x ＋3y －1＝0的两侧，且a ＞0，b ＞0，则w ＝a －2b 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－23，12B.⎝⎛⎭⎫－23，0 C.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫－23，12 3．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无数个，则实数a 的取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3，－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1} 4．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2≤1，x ＋y ≤1，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．『－2，1』B ．『－1,1』C ．『－2，2』D ．『－1，2』 5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ，b ＞0)的最大值是12，则a 2＋b 2的最小值是( )A.613B.365 C.65D.36136．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z ＝( )A ．4 650元B ．4 700元C ．4 900元D ．5 000元二、填空题7．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，2x ＋y ≤6，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是__________．8．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥2x －4，x ＋2y ≥2，则目标函数z ＝3x －2y 的最大值为__________．9．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≤2，2x ＋y －2≥0，则目标函数z ＝x 2＋y 2的最小值为__________．三、解答题10．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x ，y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？11．某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个和55个，所用原料为A ，B 两种规格金属板，每张面积分别为2 m 2与3 m 2.用A 种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B 种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A ，B 两种规格金属板各取多少张才能完成计划，并使总的用料面积最省？12．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．答案一、选择题 1．『解析』不等式组所表示的平面区域如图所示：由图可知，当x ＝a ，y ＝a －1时，z 取得最大值，所以a ＋2(a －1)＝10，解得a ＝4.『答案』C2．『解析』由已知，(2a ＋3b －1)(2×1＋3×0－1)＜0,2a ＋3b －1＜0，画出⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3b －1＜0，a ＞0，b ＞0的区域及直线a －2b ＝0，如图所示．平移w ＝a －2b ，当其经过点A ⎝⎛⎭⎫12，0时，w max ＝12－2×0＝12；当其经过点B ⎝⎛⎭⎫0，13时，w min ＝0－2×13＝－23，又因为可行域的边界为虚线，所以应选D.『答案』D3．『解析』作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14表示的区域如图所示．由z ＝ax ＋y 得：y ＝－ax ＋z .当－a ＞0时，平行直线的倾斜角为锐角，从第一个图可看出，a ＝－1时，线段AC 上的所有点都是最优解；当－a ＜0时，平行直线的倾斜角为钝角，从第二个图可看出，当a ＝3时，线段BC 上的所有点都是最优解．故选B.『答案』B4．『解析』因为x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2≤1，x ＋y ≤1，y ≥0，所以得到可行域如图所示．目标函数y ＝x －z 过点A (1,0)在y 轴上的截距最小，此时z max ＝1；过点B ⎝⎛⎭⎫－22，22时，目标函数y ＝x －z 在y 轴上的截距最大，此时z min ＝－ 2.所以z ∈『－2，1』．『答案』A5．『解析』满足约束条件的区域如图所示，目标函数z＝ax＋by(a，b＞0)在过点A(4,6)时，z取得最大值12，即12＝4a＋6b,6＝2a＋3b.而a2＋b2的最小值表示(a，b)与(0,0)两点间距离的平方的最小值，∴d2＝624＋92＝3613.『答案』D6．『解析』设派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则⎩⎪⎨⎪⎧10x＋6y≥72x＋y≤122x＋y≤190≤x≤8，x∈N0≤y≤7，x∈N，目标函数z＝450x＋350y，画出可行域如图，当目标函数经过A(7,5)时，利润z最大，为4 900元．『答案』C二、填空题7．『解析』平面区域如图中的阴影部分，直线2x ＋y ＝6交x 轴于点A (3,0)，交直线x ＝1于点B (1,4)，当直线x ＋y ＝a 与直线2x ＋y ＝6在线段AB (不包括线段端点)时，此时不等式组所表示的区域是一个四边形．将点A 的坐标代入直线x ＋y ＝a 的方程得3＋0＝a ，即a ＝3，将点B 的坐标代入直线x ＋y ＝a 的方程得a ＝1＋4＝5，故实数a 的取值范围是(3,5)．『答案』(3,5)8．『解析』约束条件满足的区域如图所示，z ＝3x －2y ，y ＝32x －z2，要求z 的最大值，即将直线y ＝32x 平移到B 点处－z2最小，所以z 最大，所以目标函数在点B (2,0)处取得最大值为6.『答案』69．『解析』画出可行域，如图所示，z ＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点(0,0)的距离，由图得，距离的最小值为原点(0,0)到直线2x ＋y －2＝0的距离d ＝25＝255.『答案』255 三、解答题 10．『解析』(1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及其右下方的点的集合，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及其右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及其左方的点的集合．所以，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x ∈⎣⎡⎦⎤－52，3，y ∈『－3,8』． (2)由图形及不等式组知⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤y ≤x ＋5，－52≤x ≤3，且x ∈Z ，当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点；当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点；当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点；当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点；当x ＝－1时，1≤y ≤4时，有4个整点；当x ＝－2时，2≤y ≤3时，有2个整点；∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)． 11．『解析』设A ，B 两种金属板各取x 张、y 张，用料面积为z ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，x ，y ∈N 目标函数z ＝2x ＋3y .作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示．z ＝2x ＋3y 变成y ＝－23x ＋z 3，得斜率为－23，在y 轴上截距为z3，且随z 变化的一组平行直线．当直线z ＝2x ＋3y 过可行域上点M 时，截距最小，z 最小，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ＝55，3x ＋6y ＝45，得M 点的坐标为(5,5)．此时z min ＝2×5＋3×5＝25(m 2)．答：两种金属板各取5张时，用料面积最省． 12．『解析』由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.作出(x ，y )的可行域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫1，225. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)．(1)∵z ＝y x ＝y －0x －0.∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29.故z 的取值范围是『2,29』．(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝（－3－5）2＋（2－2）2＝8.故z 的取值范围是『16,64』．。

高考数学一轮复习 6.2二元一次不等式(组)与简单的线性

【与名师对话】2016版高考数学一轮复习 6.2二元一次不等式（组）与简单的线性规划课时跟踪训练文一、选择题1．若点(1,3)和(－4，－2)在直线2x ＋y ＋m ＝0的两侧，则m 的取值范围是( ) A ．m <－5或m >10 B ．m ＝－5或m ＝10 C ．－5<m <10D ．－5≤m ≤10解析：由题意可得(2×1＋3＋m )[2×(－4)－2＋m ]<0，即(m ＋5)(m －10)<0，∴－5<m <10. 答案：C2．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于4，则a 的值为( )A ．－5B ．3C ．5D ．7解析：直线ax －y ＋1＝0过点(0,1)，由图可知可行域为由点A (1,0)，B (1，a ＋1)，C (0,1)组成的三角形的内部(包括边界)，且a >－1，则其面积等于12(a ＋1)＝4，解得a ＝7.故选D.答案：D3．(2014·广东卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤80≤x ≤40≤y ≤3，则z ＝2x ＋y 的最大值等于( )A ．7B ．8C ．10D ．11解析：作出可行域如图所示，结合目标函数可知，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z 的值最大．于是，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4x ＋2y ＝8得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝2，则z max ＝2x ＋y ＝10，故选C.答案：C4．(2015·黄冈模拟)当实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0x ＋2y ≤2时，恒有ax ＋y ≤2成立，则实数a 的取值集合是( )A ．(0,1]B ．(－∞，1]C ．(－1,1]D ．(1,2)解析：由约束条件画出可行域，直线ax ＋y ＝2恒过定点(0,2)，由题意可行域恒在直线ax ＋y ＝2的下方，显然当a ≤0时成立，当a >0时，直线即为x 2a＋y 2＝1，其在x 轴的截距2a ≥2⇒0<a ≤1，综上可得a ≤1.故选B.答案：B5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝mx ＋y 的最大值为8，则m 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．－2解析：画出可行域．由z ＝mx ＋y ，得y ＝－mx ＋z .结合选项，若m ＝－2或m >0，则y ＝－mx ＋z ，过A (1,4)取最大值，即m ＋4＝8，m ＝4.故选A.答案：A6．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3解析：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝ax －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －12y ＝a ＋12，代入x ＋ay ＝7中，解得a ＝3或－5，当a ＝－5时，z ＝x ＋ay 的最大值是7；当a ＝3时，z ＝x ＋ay 的最小值是7，故选B.答案：B 二、填空题7．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤3，x －2y ≤1，则z ＝x ＋4y 的最大值为__________．解析：画出x ，y 的可行域如图阴影区域．由z ＝x ＋4y ，得y ＝－14x ＋z 4.先画出直线y ＝－14x ，再平移直线y ＝－14x ，当经过点B (1,1)时，z ＝x ＋4y 取得最大值为5. 答案：58．(2015·河南省十所名校高三联考)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，x ≥1，x ＋y －3≤0对应的平面区域为D ，直线y ＝k (x ＋1)与区域D 有公共点，则k 的取值范围是________．解析：在坐标平面内准确画出线性约束条件所表示的可行域，如图阴影部分BCD ，易得D (1,2)．而直线y ＝k (x ＋1)恒过点E (－1,0)，当过D 点时斜率k 取得最大值1，过B 点时取得最小值0，故k ∈[0,1]．答案：[0,1]9．(2014·浙江卷)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则x ＋y 的取值范围是__________．解析：由不等式组可画出变量满足的可行域，求出三个交点坐标分别为(1,0)，1，32，(2,1)，代入z ＝x ＋y ，可得1≤z ≤3.答案：[1,3] 三、解答题10．已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，求4x －3y 的最大值和最小值．解：不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，表示的区域如图所示．可观察出4x －3y 在A 点取到最大值，在B 点取到最小值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23＝0，4x ＋y ＋10＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－6，则A (－1，－6)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝2.则B (－3,2)，因此4x －3y 的最大值和最小值分别为14，－18.11．当x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0，(k 为负常数)时，能使z ＝x ＋3y 的最大值为12，试求k 的值．解：在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示)．当直线y ＝－13x ＋13z 经过区域中的点A 时，截距最大．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＋k ＝0，得x ＝y ＝－k3.∴点A 的坐标为－k3，－k3.则z 的最大值为－k 3＋3－k 3＝－43k ，令－4k3＝12，得k ＝－9.∴所求实数k 的值为－9.12．某公司计划2014年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟的广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？解：设该公司在甲、乙两个电视台所做广告时间分别为x 分钟、y 分钟，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y . 二元一次不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图阴影部分所示．作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0，即3x ＋2y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100，y ＝200.∴点M 的坐标为(100,200)．∴z ＝3 000x ＋2 000y ＝700 000(元)，即在甲、乙两个电视台的广告时间分别为100分钟、200分钟时，收益最大，最大为70万元．。

高考数学大一轮温习6.3二元一次不等式组与简单的线性计划问题课时作业理

课时作业39 二元一次不等式(组)与简单的线性计划问题一、选择题1．(2014·广东卷)若变量x ，y 知足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值别离为m 和n ，则m －n ＝( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：画出如图阴影部份所示的可行域，易知z ＝2x ＋y 在点(2，－1)与(－1，－1)处别离取得最大值m ＝3和最小值n ＝－3，∴m －n ＝6，选C.答案：C2．(2014·湖北卷)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0肯定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2肯定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机抽取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )解析：由题意作图，如图所示，Ω1的面积为12×2×2＝2，图中阴影部份的面积为2－12×22×22＝74，则所求的概率P＝742＝78，选D.答案：D3．若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封锁区域，则2x－y的最小值是( ) A．－6 B．－2C．0 D．2解析：由题中条件画出封锁区域如图中阴影部份所示．结合图形知，z＝2x－y在A(－2,2)处取得最小值，且z min＝2×(－2)－2＝－6.答案：A4．(2014·安徽卷)x，y知足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－2≤0，x－2y－2≤0，2x－y＋2≥0.若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )或－1 B．2或12C．2或1 D．2或－1解析：画出如图阴影部份所示的可行域，z＝y－ax表示的直线向上移动取到最大值，z ＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则当a>0时，z＝y－ax与2x－y＋2＝0平行．所以a ＝2，而当a<0时，z＝y－ax与x＋y－2＝0平行，所以a＝－1，综上a＝2或－1.答案：D5．(2014·福建卷)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49解析：由题意，画出可行域Ω，圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，所以b ＝1.所以圆心在直线y ＝1上，求得与直线x －y ＋3＝0，x ＋y －7＝0的两交点坐标别离为A (－2,1)，B (6,1)，所以a ∈[－2,6]．所以a 2＋b 2＝a 2＋1∈[1,37]，所以a 2＋b 2的最大值为37.故选C. 答案：C6．某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量别离为36人和60人，租金别离为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：设旅行社租A 型车x 辆，B 型车y 辆，租金为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y ＝800(2x＋3y )．由题中条件可得约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ∈N 36x ＋60y ≥900x ＋y ≤21y －x ≤7据此画出可行域如图中阴影部份区域内的整数点．令z ′＝2x ＋3y ，结合图形知z ′＝2x ＋3y 在A (5,12)处取得最小值，且最小值为2×5＋3×12＝46，∴z 的最小值为800×46＝36 800.答案：C 二、填空题7．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，2x ＋y≤6，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是________．解析：平面区域如图中的阴影部份，直线2x ＋y ＝6交x 轴于点A (3,0)，交直线x ＝1于点B (1,4)，当直线x ＋y ＝a 与直线2x ＋y ＝6的交点在线段AB (不包括线段端点)上时，此时不等式组所表示的区域是一个四边形．将点A 的坐标代入直线x ＋y ＝a 的方程得3＋0＝a ，即a ＝3，将点B 的坐标代入直线x ＋y ＝a 的方程得a ＝1＋4＝5，故实数a 的取值范围是(3,5)．答案：(3,5)8．若变量x ，y 知足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，则x ＋y 的最大值为________．解析：由题中约束条件画出可行域如图中阴影部份所示．结合图形知，z ＝x ＋y 在A (4,2)处取得最大值，且z max ＝4＋2＝6. 答案：69．实数x ，y 知足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部份所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得B 点坐标为(7,9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.答案：21 三、解答题10．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为极点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)写出表示区域D 的不等式组．(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程别离为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为：⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)按照题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]<0，即(14－a )(－18－a )<0，得a 的取值范围是－18<a <14. 故a 的取值范围是(－18,14)．11．变量x ，y 知足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．解：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图阴影部份所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫1，225.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)．(1)∵z ＝y x ＝y －0x －0，∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝5－(－3)＝8.∴16≤z ≤64.1．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1所肯定的平面区域内的动点，Q 是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP →＋OQ →|的最小值为( )D ．1解析：在直线2x ＋y ＝0上取一点Q ′，使得Q ′O →＝OQ →，则|OP →＋OQ →|＝|OP →＋Q ′O →|＝|Q ′P →|≥|P ′P →|≥|BA →|，其中P ′，B 别离为点P ，A 在直线2x ＋y ＝0上的投影，如图：因为|AB →|＝|0＋1|12＋22＝55，因此|OP →＋OQ →|min ＝55，故选A.答案：A2．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 知足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( )A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 3解析：由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝|OA →||OB →|·cos〈OA →，OB →〉＝2知〈OA →，OB →〉＝π3.不妨设OA →＝(2,0)，OB →＝(1，3)，OP →＝(x ，y )， ∵OP →＝λOA →＋μOB →，∴(x ，y )＝λ(2,0)＋μ(1，3)，则⎩⎨⎧x ＝2λ＋μ，y ＝3μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝y 3，λ＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －y 3.由|λ|＋|μ|≤1得|3x －y |＋|2y |≤2 3. 作可行域如图阴影部份所示．则所求面积S ＝2×12×4×3＝4 3.答案：D3．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0.令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共肯定________条不同的直线．解析：由区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，画出可行域如图阴影部份所示．经平移可知目标函数z ＝x ＋y 在A (0,1)处取得最小值，在线段BC 处取得最大值，而集合T 表示z ＝x ＋y 取得最大值或最小值时的整数点，在取最大值时线段BC 上共有5个整点，别离为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故T 中的点共肯定6条不同的直线．答案：64．已知实数x ，y 知足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x －1，x ≤3，x ＋5y ≥4，则x 2y的最小值是________．解析：可行域如图阴影部份所示，令x 2y ＝k ，所以y ＝x 2k.当k <0时抛物线的开口向下，不合条件．当k >0时，有两种情况：当k 取最小值即抛物线过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.所以x 2y 的最小值是92；当抛物线y ＝x 2k 与直线x －y －1＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫32<x <3相切时，联立方程组消掉y 取得x 2－kx ＋k ＝0，∴Δ＝k 2－4k ＝0，∴k ＝4，此时x 2y 的最小值是4.综上可知x 2y的最小值是4.答案：4。

高考数学总复习课时跟踪检测36二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题

高考数学总复习课时跟踪检测36二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．(2012 ·三明模拟 ) 已知点 ( － 3，－ 1) 和点 (4 ，－ 6) 在直线 3 － 2 y－＝ 0 的双侧，则x aa 的取值范围为 ()A ． ( －24,7)B ． ( － 7,24)C ． ( －∞，－ 7) ∪ (24 ，＋∞ )D ． ( －∞，－ 24) ∪ (7 ，＋∞)x ≤2，2 ( x ，y ) 知足 y ≥1，则 2x＋ y 取最小值时的最优解是 ()．已知实数对x － y ≥0，A ．6B ．3C ． (2,2)D ． (1,1)x ＋ 2y ≥2，3．(2012 ·山东高考 ) 设变量 x ，y 知足拘束条件2x ＋ y ≤4，则目标函数 z ＝ 3x4x － y ≥－ 1，－ y 的取值范围是 () 33A. －2，6B. －2，－ 1 C ． [ －1,6] D.－ 6， 32x － y ≤0，4．在不等式组 x ＋ ≥0，确立的平面地区中，若＝＋ 2 的最大值为3，则z axyy ≤ a的值是()A ．1B ．2C ．3D ．42x － y ＋2≥0，5 (2012 ·石家庄质检 ) 已知点 Q (5,4) ，动点 P ( x y ) 知足 x ＋ y －2≤0，则 | PQ |．，y －1≥0，的最小值为 ()A ．5 B.43C ．2D ．76 ．(2013 ·烟台模拟) 已知 A (3 ， 3) ， O 是坐标原点，点P ( x ， y ) 的坐标知足3x－y≤0，uuur uuurx－3y＋2≥0，Z 的取值范围是(设 Z 为OA在OP上的投影，则) y≥0，A．[－ 3， 3] B．[ － 3,3]C．[ － 3，3] D ．[ －3， 3 ]7．(2013 ·成都月考 ) 若点( 3)到直线 4x － 3 ＋1＝ 0 的距离为4，且点P在不等式P m,y2x＋y＜ 3 表示的平面地区内，则m＝________.y－2≤0，8．(2012 ·“江南十校”联考) 已知x，y知足x＋3≥0，则x2＋y2的最大值为x－ y－1≤0，________．9．(2012 ·上海高考) 知足拘束条件| x| ＋ 2| y| ≤2的目标函数z ＝ y－ x 的最小值是________．x－ y＋5≥0，10．画出不等式组x＋ y≥0，表示的平面地区，并回答以下问题：x≤3(1) 指出x，y的取值范围；(2) 平面地区内有多少个整点？11．某玩具生产企业每日计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100 个，生产一个卫兵需 5 分钟，生产一个骑兵需7 分钟，生产一个伞兵需 4 分钟，已知总生产时间不超出10小时．若生产一个卫兵可获收益 5 元，生产一个骑兵可获收益 6 元，生产一个伞兵可获收益3 元．(1) 用每日生产的卫兵个数x 与骑兵个数 y 表示每日的收益W(元)；(2)如何分派生产任务才能使每日的收益最大，最大收益是多少？x－4y＋3≤0，12．变量x、y知足3x＋5y－25≤0，x≥1.y(1)设 z＝x，求 z 的最小值；(2)设 z＝ x2＋ y2，求 z 的取值范围．x ＋ 2y ≥0， 1．(2012 ·龙岩阶段性检测 ) 在平面直角坐标系中，不等式组 2x － y ≥0， a ＞ 0x ≤ a表示的平面地区的面积为5，直线－＋＝ 0 过该平面地区，则的最大值是 ________．mx y mm 2．(2012 ·济南质检 ) 已知实数 x ， y 知足 |2 x ＋ y ＋1| ≤|x ＋ 2y ＋ 2| ，且－ 1≤ y ≤1，则 z ＝ 2x ＋ y 的最大值为 ()A ． 6B ． 5C ．4D ．－3x ＋ y ≥1，．若 x ， y 知足拘束条件 x － y ≥－ 1，32x － y ≤2，11(1) 求目标函数 z ＝ 2x － y ＋ 2的最值．(2) 若目标函数 z ＝ ax ＋ 2y 仅在点 (1,0) 处获得最小值，求a 的取值范围．[答题栏]1._________2._________3._________4._________5._________6._________B 级 1.______ 2.______7. __________ 8. __________ 9. __________答案课时追踪检测 ( 三十六 )A 级1． B 2.D 3.A 4.A5．选 A 不等式组所表示的可行域如下图，直线 AB 的方程为 x ＋ y －2＝ 0，过 Q 点且与直线 AB 垂直的直线为 y － 4＝ x － 5，3 1即 x － y － 1＝ 0，其与直线 x ＋ y － 2＝ 0 的交点为 2， 2 ，而 B (1,1) ，3A (0,2) ，由于 2＞ 1，因此点 Q 在直线 x ＋ y －2＝ 0 上的射影不在线段 AB 上，则 | PQ | 的最小值即为点 Q 到点 B 的距离，故 | PQ |min ＝5－ 12＋4－ 12＝ 5.6. 选 B 拘束条件所表示的平面地区如图．uuuruuurOA 在 OP 上的投uuur uuur影为 | OA | ·cos θ ＝ 2 3cos θ( θ 为 OA 与 OP ―→的夹角 ) ，∵∠ xOA ＝30°，∠ xOB ＝60°，∴ 30°≤ θ≤150°，∴ 2 3cosθ∈ [ － 3,3] ．|4 m－ 9＋ 1|＝ 4，7．分析：由题意可得52m＋ 3＜ 3，解得 m＝－3.答案：－ 38．分析：作出如下图的可行域．x2＋ y2表示可行域内的点到原点的距离的平方，易知在点A(－223，－ 4) 处取最大值 ( － 3) ＋ ( －4) ＝ 25.9.分析：由题意知拘束条件表示的可行域为如下图的菱形地区，因此当 x＝2，y＝0时，目标函数 z＝ y－ x 获得最小值－2.答案：－ 210．解： (1) 不等式x－y＋5≥0表示直线x－ y＋5＝0上及右下方的点的会合． x＋ y≥0表示直线x＋ y＝0上及右上方的点的集合， x≤3表示直线x＝3上及左方的点的会合．x－ y＋5≥0，因此，不等式组x＋ y≥0，表示的平面地区如图所x≤3示．5联合图中可行域得x∈ －2，3，y∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组知－x≤ y≤ x＋5，－2≤x≤3，且x∈ Z.当 x＝3时，－3≤ y≤8，有12个整点；当 x＝2时，－2≤ y≤7，有10个整点；当 x＝1时，－1≤ y≤6，有8个整点；当x＝0时，0≤ y≤5，有6个整点；当 x＝－1时，1≤ y≤4，有4个整点；当 x＝－2时，2≤ y≤3，有2个整点；因此平面地区内的整点共有2＋ 4＋ 6＋ 8＋ 10＋ 12＝ 42( 个 ) ．11．解： (1) 依题意每日生产的伞兵个数为100－x－y，因此收益 W＝5x＋6y＋3(100－ x－y)＝2x＋3y＋ 300.(2 ) 拘束条件为5 x ＋7 ＋4100－－y≤600，y x100－x－y≥0，x≥0， y≥0， x∈Z， y∈Z，x＋3y≤200，整理得x＋ y≤100，x≥0， y≥0， x∈Z，y∈Z，目标函数为W＝2x＋3y＋300，如下图，作出可行域．初始直线 l 0：2x＋3y＝0，平移初始直线经过点A时， W有最大值．x＋3y＝200，x＝50，最优解为 A(50,50)，由得x＋ y＝100，y＝50，因此max＝550(元)．W答：每日生产卫兵50 个，骑兵50 个，伞兵 0 个时收益最大，为550 元．x－4y＋3≤0，12.解：由拘束条件 3x＋ 5y－25≤0，作出(x，y)的可x≥1行域如下图．x＝1，由3x＋ 5y－ 25＝0，22解得A1，5.x＝1，由解得 C(1,1)．x－4y＋3＝0，x－4y＋3＝0，由解得 B(5,2)．3x＋ 5y－ 25＝0，(1) z＝y＝y－0表示的几何意义是可行域中的点与原点O连线的斜率. x x－02察看图形可知z min＝ k OB＝.5(2)z＝x2＋ y2的几何意义是可行域上的点到原点 O的距离的平方．联合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d ＝| OC|＝2，d＝| OB|＝ 29.min max故 z 的取值范围为[2,29]．B 级a 1．分析：平面地区如下图，A( a, 2a)，B a，－2.∴S△OAB＝1×5a×a＝ a2＝5，2 24∴a＝2，即 A(2,4)， B(2，－1)．又 mx－ y＋ m＝0过定点(－1,0)，5即y ＝＋，斜率的最大值为过A44点时的值为＝ . mx m m2－－134答案：32.选 B |2 x＋y＋1| ≤|x＋ 2y＋ 2| 等价于 (2 x＋y＋ 1) 2≤(x＋ 2y ＋2) 2，即x2≤(y＋ 1) 2，即 | x| ≤|y＋ 1|. 又－ 1≤y≤1，作出可行域如图暗影部分所示．则当目标函数过 C(2,1)时获得最大值，因此 z max＝2×2＋1＝5.3．解： (1) 作出可行域如图，可求得A(3,4)， B(0,1)，C(1,0)．1 1平移初始直线2x－ y＋2＝0，过A(3,4)取最小值－2，过 C(1,0)取最大值 1.∴ z 的最大值为1，最小值为－ 2.(2)直线 ax＋2y＝ z 仅在点(1,0)处获得最小值，由图象可a知－ 1<－ <2，2解得－ 4<a<2.故所求 a 的取值范围为(－4,2)．。

江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测三十四二元一次不等式组与简单的线性规划问题理含解析苏教版

课时跟踪检测（三十四）二元一次不等式组与简单的线性规划问题一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·江阴期中)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y ≥0，x ≤3所表示的平面区域的面积是________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中△ABC 所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，x ＋y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，即A (－1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x －y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝5，即B (3,5)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x ＋y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3，即C (3，－3)．则BC ＝5－(－3)＝8，点A 到直线x ＝3的距离d ＝3－(－1)＝4，故S △ABC ＝12×8×4＝16.答案：162．(2018·南京、盐城一模)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥0，则目标函数z ＝x－y 的最小值为________．解析：作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，作出直线y ＝x ，则当目标函数y ＝x －z 过点C (1,4)时，z min ＝－3.答案：－33．(2019·泰州中学高三学情调研)已知点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则z ＝yx的最大值为________．解析：作出满足约束条件的平面区域如图中阴影部分所示．z ＝yx表示过平面区域的点(x ，y )与(0,0)的直线的斜率，由图知当直线过点A 时斜率最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝4，得A (1,3)，显然直线过点A (1,3)时，z 取得最大值，z max ＝3.答案：34．(2019·四川德阳月考)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最大值为________．解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0作出可行域如图中阴影部分，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x －y －3＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5，则B (4,5)，将目标函数z ＝2x ＋3y 变形为y ＝－23x＋z3. 由图可知，当直线y ＝－23x ＋z3过B 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，为2×4＋3×5＝23.答案：235．(2018·昆山期中)若点(a,1)在直线y ＝－2x ＋2的下方，则实数a 的取值范围是________．解析：因为直线y ＝－2x ＋2下方的点的坐标满足不等式y ＜－2x ＋2，又点(a,1)在直线y ＝－2x ＋2的下方，所以1＜－2a ＋2，解得a ＜12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，126．(2018·昆明七校调研)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤4，x ＋y ≥0.则z ＝x ＋3y 的最小值为________．解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线x ＋3y ＝0，如图，平移直线y ＝－x3，当直线经过点(4，－4)时，在y 轴上的截距达到最小，此时z ＝x ＋3y 取得最小值4＋3×(－4)＝－8.答案：－8二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·苏州期末)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x －1，x ≤3，x ＋y ≥4，则目标函数z ＝2x －y 的最大值是________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x －y ＝0，平移直线2x －y ＝0，当直线过点A 时，z ＝2x －y 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x ＋y ＝4，得A (3,1)，所以z max ＝5.答案：52．(2019·宿迁调研)已知点P (x ，y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0所表示的平面区域内运动，则 x 2＋y 2的最小值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示.x 2＋y 2的几何意义是可行域内的点与坐标原点O 的距离，由图知，点O (0,0)到直线x ＋2y －2＝0的距离是x 2＋y 2的最小值，其最小值为|－2|1＋22＝255. 答案：2553．(2018·徐州二模)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4，x ≥0所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中△ABC 所示，解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4，得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，又直线y ＝kx ＋43过点C 且把△ABC 的面积平分，所以直线y ＝kx ＋43过AB 的中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52，所以k ＝52－4312＝73. 答案：734．(2018·湖南东部六校联考)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，y ≥x ，x ＋y ≤2(a ＜1)，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的4倍，则a ＝______.解析：如图所示，平移直线2x ＋y ＝0，可知在点A (a ，a )处z 取最小值，即z min ＝3a ，在点B (1,1)处z 取最大值，即z max ＝3，所以12a ＝3，即a ＝14.答案：145．(2019·南通模拟)甲、乙两种食物的维生素含量如表：100,120单位，则混合物质量的最小值为________kg.解析：由题意，设混合物中甲为x kg ，乙为y kg ，混合物为z ＝x ＋y ，则得约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ≥100，5x ＋2y ≥120，x ＞0，y ＞0，作出其平面区域如图所示，平移直线x ＋y ＝0，可知当直线经过点A 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝100，5x ＋2y ＝120，解得x ＝20，y ＝10，即A (20,10)，所以z min ＝x ＋y ＝30.答案：306．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，y ≤3，x ≤3，则z ＝5－(x 2＋y 2)的最大值为________．解析：作出满足约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，求目标函数z ＝5－(x 2＋y 2)的最大值，即求x 2＋y 2的最小值．由几何意义知就是求可行域内的点P (x ，y )到原点距离的最小值．易知点O 到直线x ＋y －3＝0的距离最短，为322，所以z max ＝5－⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＝12.答案：127．(2019·靖江模拟)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，将z ＝y －ax 化为y ＝ax ＋z ，z 相当于直线y ＝ax ＋z 的纵截距，由题意可得，当y ＝ax ＋z 与2x －y ＋2＝0或与x ＋y －2＝0平行时符合题意，故a ＝2或－1.答案：2或－18．(2018·启东中学测试)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y －1≤0，x －a ≥0，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪y x －2≤12恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，yx －2表示区域内的点(x ，y )与定点A (2,0)连线的斜率k ，由图易知BC 与y轴重合时，|k |≤k AC ＝12，此时a ＝0，当BC 向右移动时，|k |≤k AC ＜12，此时a ≤1，综上，a∈[0,1]．答案：[0,1]9．已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(1)求u ＝x －2y 的最大值和最小值； (2)求z ＝yx ＋5的最大值和最小值．解：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．(1)由⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23＝0，4x ＋y ＋10＝0得点B 的坐标为(－1，－6)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0得点C 的坐标为(－3,2)，平移直线u ＝x －2y 可知，直线过C 点时，z 取最小值，过B 点时，z 取最大值．所以u min ＝－3－2×2＝－7，u max ＝－1－2×(－6)＝11. (2)z ＝yx ＋5＝y －0x －－，求z 的最大值和最小值，即是求可行域内的点(x ，y )与点(－5,0)连线斜率k 的最大值和最小值．设点M 的坐标为(－5,0)，由(1)知点B 的坐标为(－1，－6)，点C 的坐标为(－3,2)，所以k max ＝k MC ＝2－0－3－－＝1，k min ＝k MB ＝－6－0－1－－＝－32，所以yx ＋5的最大值是1，最小值是－32. 10．(2019·苏北四市调研)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1)z ＝x ＋2y －4的最大值； (2)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (3)z ＝2y ＋1x ＋1的取值范围．解：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，并求出顶点坐标分别为A (3,1)，B (1,3)，C (7，9)．(1)作出直线x ＋2y ＝0，平移该直线，当直线经过点C 时，z 取得最大值，z max ＝7＋2×9－4＝21.(2)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到定点M (0，5)的距离的平方，由图知点M 到直线x －y ＋2＝0的距离的平方为所求z 的最小值，所以z min ＝⎝⎛⎭⎪⎫|－5＋2|22＝92.(3)z ＝2y ＋1x ＋1＝2·y ＋12x ＋1的几何意义是可行域内的动点P (x ，y )与定点D ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12连线斜率的2倍．由图象可知，k DB ＝74，k DA ＝38，即38≤k ≤74，所以34≤z ≤72，故z 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，72.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·无锡期末)已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，2x －y ≤c ，目标函数z ＝3x ＋y 的最小值为5，则c 的值为________．解析：作出不等式组满足的可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋y ＝0，平移该直线，当直线经过点A 时，z 取得最小值．联立⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝5，x ＝2，解得A (2，－1)，代入y ＝2x －c ，得c ＝5.答案：52．(2018·南通调研)已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.若z ＝x 2＋y 2，则z 的取值范围是________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0得C (1,1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y －25＝0，x －4y ＋3＝0得B (5,2)．z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝OC ＝2，d max ＝OB ＝29，故z 的取值范围是[2,29]．答案：[2,29]3．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？解：设甲、乙两种原料分别用10x g 和10y g ，总费用为z ，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ≥35，10x ＋4y ≥40，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋2y ，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，得到斜率为－32，在y 轴上的截距为z2，随z 变化的一族平行直线．由图可知，当直线y ＝－32x ＋z 2经过可行域上的点A 时，截距z2最小，即z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋4y ＝40，5x ＋7y ＝35得A ⎝⎛⎭⎪⎫145，3，所以z min＝3×145＋2×3＝725.所以当使用甲种原料145×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)时，费用最省．。

高三数学(文)一轮复习课时作业1.6.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题含答案

一、选择题1．设变量x，y满足约束条件错误!则目标函数z＝2x＋3y＋1的最大值为( )A．11 B．10 C．9 D．8.5解析：画出不等式组表示的平面区域如图，由目标函数得y＝－错误!x＋错误!,根据目标函数的几何意义，显然当直线y＝－错误!x＋错误!在y轴上的截距最大时z最大,故在图中的点A处目标函数取得最大值，点A(3,1），所以z max＝2×3＋3×1＋1＝10.答案：B2．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组错误!给定．若M(x，y)为D上的动点,点A的坐标为（错误!，1），则z＝错误!·错误!的最大值为( ）A．3 B．4 C．3错误!D．4错误!解析：画出区域D如图所示,而z＝错误!·错误!＝错误!x＋y，∴y＝－2x＋z,令l0：y＝－错误!x，平移直线l0，相应直线过点（错误!，2）时，截距z有最大值，故z max＝错误!×错误!＋2＝4。

答案：B3．已知向量a＝(x＋z,3)，b＝（2,y－z)，且a⊥b，若x，y满足不等式|x|＋|y｜≤1,则z的取值范围为( )A．［－2,2］B．[－2,3］C．［－3,2］D．[－3，3］解析：因为a⊥b，所以a·b＝0,所以2x＋3y＝z,不等式｜x|＋｜y|≤1可转化为错误!，由图可得其对应的可行域为边长为错误!,以点(1，0），（－1,0），(0,1）,（0，－1)为顶点的正方形，结合图象可知当直线2x＋3y＝z过点（0，－1）时z有最小值－3,当过点(0，1)时z有最大值3。

所以z的取值范围为[－3，3］．答案：D4．若不等式组错误!所表示的平面区域被直线y＝kx＋错误!分为面积相等的两部分,则k的值是（)A。

错误!B。

错误! C.错误!D。

错误!解析：由题目所给的不等式组可知，其表示的平面区域如图所示，这里直线y＝kx＋错误!只需要经过线段AB的中点D即可，此时D点的坐标为(错误!，错误!），代入即可解得k的值为错误!。

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课时跟踪检测 (三十四) 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A ．32 B ．23 C ．43D ．34解析：选C 平面区域如图所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4.得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43， |BC |＝4－43＝83．所以S △ABC ＝12×83×1＝43．2．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )解析：选C (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出图形可知选C ．3．(2016·四川德阳月考)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最大值为( )A ．7B ．8C ．22D ．23解析：选 D 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0作出可行域如图中阴影部分，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x －y －3＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5，则B (4,5)，将目标函数z＝2x ＋3y 变形为y ＝－23x ＋z3．由图可知，当直线y ＝－23x ＋z3过B 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，为2×4＋3×5＝23．4．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 5．(2017·昆明七校调研)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤4，x ＋y ≥0.则z ＝x ＋3y 的最小值为________．解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线x ＋3y ＝0，如图，平移直线y ＝－x3，当直线经过点(4，－4)时，在y 轴上的截距达到最小，此时z ＝x ＋3y 取得最小值4＋3×(－4)＝－8．答案：－8二保高考，全练题型做到高考达标1．(2015·福建高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于( )A ．－52B ．－2C ．－32D ．2解析：选A 作可行域如图，由图可知，当直线z ＝2x －y 过点A 时，z 值最小．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x ＋2y ＝0得点A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，z min ＝2×(－1)－12＝－52．2．设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π解析：选D 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以AB 为直径的圆的面积的最大值S ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4π．3．(2016·浙江高考)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．6解析：选C 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC 为矩形，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0得C (2，－2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0得D (－1,1)．所以|AB |＝|CD |＝＋2＋－2－2＝32．故选C ．4．(2017·湖南东部六校联考)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，y ≥x ，x ＋y ≤2(a ＜1)，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( )A ．211 B ．14 C ．12D ．112解析：选B 如图所示，平移直线2x ＋y ＝0，可知在点A (a ，a )处z 取最小值，即z min ＝3a ，在点B (1,1)处z 取最大值，即z max ＝3，所以12a ＝3，即a ＝14．5．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表植面积(单位：亩)分别为( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,50解析：选B 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x ，y 亩，则总利润z ＝4×0．55x ＋6×0．3y－1．2x －0．9y ＝x ＋0．9y ．此时x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0.画出可行域如图，得最优解为A (30,20)．6．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0，x ＋y ≥a ，x ≤2.表示的区域为一个三角形，则实数a 的取值范围为________．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0，x ≤2表示的区域如图所示．易求得A (2,5)．画出直线l ：x ＋y ＝a ．由题意及图可得a ＜7．答案：(－∞，7)7．(2017·河南六市联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m .如果目标函数z ＝x －y的最小值为－1，则实数m ＝________．解析：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：y ＝x ，平移l 可知，当直线l 经过A 时符合题意，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.又A (2,3)在直线x ＋y＝m 上，∴m ＝5．答案：58．(2017·西安质检)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤1，xy ≥0，则2x ＋y 的取值范围为________．解析：作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x ＋y ＝0，经过点(1,0)时，2x ＋y 取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1,0)时，2x ＋y 取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x ＋y 的取值范围为[－2,2]．答案：[－2,2]9．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示． (1)写出表示区域D 的不等式组．(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0．原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]＜0，即(14－a )(－18－a )＜0，解得－18＜a ＜14．故a 的取值范围是(－18,14)．10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1．所以z 的最大值为1，最小值为－2．(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－a2＜2，解得－4＜a＜2．故所求a 的取值范围为(－4,2)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·通化一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x 3a ＋y 4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32，则a 的值为________．解析：∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋y ＋x ＋1，而y ＋1x ＋1表示过点(x ，y )与(－1，－1)连线的斜率，易知a >0，作出可行域如图所示，由题意知y ＋1x ＋1的最小值是14，即⎝⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1min ＝0－－3a －－＝13a ＋1＝14⇒a ＝1．答案：12．(2016·天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A 种原料200吨，肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解：(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y ．考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，它的图象是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线，z3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．根据x ，y 满足的约束条件，由图②可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)，所以z max ＝2×20＋3×24＝112．答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．敬请批评指正。

高考数学大一轮复习第六章课时跟踪检测三十四二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题练习文48

(全国通用)高考数学大一轮复习 第六篇 不等式 第3节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题习题

高一 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题知识点+例题+练习 含答案