第三章 输运现象与分子动理学理论的非平衡态理论 4
第三章输运现象与分子动理学理论的非平衡态理论
第三章 输运现象与分子动理学理 论的非平衡态理论¾ 黏性现象的宏观规律 ¾ 扩散现象的宏观规律 ¾ 热传导现象的宏观规律 ¾ 对流传热 ¾ 气体分子平均自由程 ¾ 气体分子碰撞的概率分布 ¾ 气体黏性系数的导出 ¾ 稀薄气体中的输运过程在第二章中已利用分子动理学理论讨论了处于平衡态的 理想气体的微观过程。
本章将讨论非平衡态气体的微观过程，特别是那些在接 近平衡态时的非平衡态过程。
典型例子是气体的黏性、 热传导与扩散现象，统称为输运现象。
当然，首先应对 这些输运现象的宏观规律作较系统的介绍。
§ 3.1 黏性现象的宏观规律§3.1.1 层流与牛顿黏性定律 （一） 层流流体在河道、沟槽及管道内的流动情况相当复杂，它与流 速有关，与管道、沟槽的形状及表面情况有关，也与流体 本身的性质及温度、压强等因素有关。
实验发现，流体在流速较小 时将做分层平行流动，流体 质点轨迹是有规则的光滑曲 线，不同质点轨迹线不相互 混杂，这样的流动称为层流。
直圆管中流体流速分布: 直圆管中流体达到稳定流动时，虽然平均流速箭头的包 络面为平面，但是真正的流速箭头的包络面不是平面。
因为在管壁上的一层流体的流速为零。
直圆管中流体的 流速分布如图所示，流速箭头的包络面为抛物面。
平均流速雷诺数: 一般用雷诺数来判别流体能否处于层流状态。
雷诺数 Re 是一种无量纲因子，它可表示为： Re = ρvrη其中 ρ、v、r 分别为流体的密度、流速及管道半径， η 为流体黏度。
有关雷诺数及它的导出见选读材料3-1量纲分析法简介。
层流是发生在流速较小，更确切些说是发生在雷诺数较 小时的流体流动。
对于直圆管中的流动，当雷诺数超过 2 300 左右时流体流动成为湍流。
（二）湍流湍流是流体的不规则运动，是一种宏观的随机现象。
湍 流中流体流速随时间和空间坐标作随机的紊乱变化。
热学 第3章 输运现象与分子动理论的非平衡态理论
第三章输运现象与分子动理论的非平衡态理论（气体内的输运过程）§3.0 近平衡态的驰豫和输运过程一、驰豫过程1．在均匀且恒定的外部条件约制下，热力学系统稍偏离平衡态时，发生的向平衡态趋近的过程——驰豫过程。
（1）趋近平衡的原因：分子间相互碰撞。
（2）偏离方式（以经典气体为例）分子速度偏离麦克斯韦分布，温度、密度、速度偏离。
（3）驰豫时间：偏离麦氏分布——τ小；其余较小（可以引入局域流速，局域温度、局域密度的概念）2．三个守恒量：动量、能量、粒子数（无化学反应情形）二、输运过程由于气体分子热运动和碰撞，使内部某种不均匀性消失，从而将某种量转移，使气体内部趋于平衡的现象。
1．分子类型：无引力刚球模型§3.1 粘滞现象的宏观规律（P106）一、层流（laminar flow）1．平行分层流动的流体。
（1）流速较小（质点定向流动）v u <<（2）相邻质点轨迹稍有差别，不同质点轨迹不混杂。
（3）分层平行流动3．层流与湍流（turbulent folow ）湍流：流速随时间和空间变，流体不规则运动，是一种宏观的随机现象。
雷诺数e R vrρη=。
1880年前后，英国的实验流体力学家雷诺（O.Reynolds ）用长管力的均匀流动来研究产生湍流的过程。
（参见：赵凯华.罗蔚茵编著.力学）发现湍流的临介速度v 总与无量纲的组合ηρvl的一定数值相对应。
后人（索末菲）把这个无量纲的组合参数命名为“雷诺数”。
(a)、(b) 图分别表示了在水流中的层流与湍流流动的情况；(c) 图表示了一枝香烟的烟雾，烟雾中的下段（竖直流动部分）是层流流动 在流体力学方程中，R e 数值的增减能引起多样的转折，令人叹为观止！理查德.费因曼因此发出感慨：很难设想方程式中丢了什么，只是除了小雷诺数外，我们今天的数学能力还不会解它。
所以仅把流体力学方程式写出来，还不能消除流体流动带给我们的魅力、惊讶和神秘感。
[理学]输运现象
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§3-1
黏性现象的宏观规律
当系统各部分的宏观物理性质如流速、温 度或密度不均匀时，系统就处于非平衡态。在 不受外界干预时，系统总要从非平衡态自发地 向平衡态过渡，这种过渡为输运过程。
一、层流与牛顿黏性定律 在流动过程中，相邻质点的轨迹彼此稍 有差别，不同流体质点的轨迹不相互混杂， 这样的流动为层流。层流发生在流速较小时.
互扩散是发生在混合气体中，自扩散是互扩散的一 种特例。它是一种使发生互扩散的两种气体分子的差异 尽量变小，使它们相互扩散的速率趋于相等的互扩散过 程。例如同位素之间的互扩散。
二、菲克定律
d dM D dtA dz
dt时间内通过面积 为A的气体质量
（3.11）
二、菲克定律
d dM D dtA dz 一维粒子流密度 JN（单位时间内在单位
截面上扩散的粒子数）与粒子数密度梯度
dn 成正比。 dz D为扩散系数，单位为 m2s-1 。负号表示粒 子向粒子数密度减少的方向扩散。若在与扩散方 向垂直的流体截面上 粒子流密度JN 处处相等。
dn JN D dz
量密度梯度的关系
dM d D A dt dz
(3-11)
上式表示单位时间内气体扩散的总质量与质
流体作层流时，通过任一平行流速的截面 两侧的相邻两层流体上作用有一对阻止它们相 对滑动的切向作用力与反作用力，使流动快的 一层流体减速，这种力为黏性力（内摩擦力）
z
u0 B
df´
dA df u=u(z)
C
u=0
x
对于面积为 dA 的相邻流体层来说，作用在上一层流 体的阻力 df´必等于作用于下一层流体 df 的加速力。
第三章输运现象与分子动理学理论的非平稳态理论
第三章输运现象与分子动理学理论的非平稳态理论3－1 氢气在，时的平均自由程为×m，求氢分子的有效直径。
解：由＝得：＝代入数据得：（m）3－2 氮分子的有效直径为，求其在标准状态下的平均自由程和持续两次碰撞间的平均时刻。
解：＝代入数据得：－（m）＝代入数据得：＝（s）3－3 氧分子的有效直径为×m，求其碰撞频率，已知：（1）氧气的温度为300K，压强为；（2）氧气的温度为300K，压强为×atm解：由＝得＝＝代入数据得：＝×（）（）3－4 某种气体分子在时的平均自由程为。
（1）已知分子的有效直径为，求气体的压强。
（2）求分子在的路程上与其它分子的碰撞次数。
解：（1）由得：代入数据得：（2）分子走路程碰撞次数（次）3－5 假设在下，痒分子的平均自由程为，在什么压强下，其平均自由程为？设温度维持不变。
解：由得3－6 电子管的真空度约为HG，设气体分子的有效直径为，求时单位体积内的分子数，平均自由程和碰撞频率。
解：（2）（3）假设电子管中是空气，那么3－7 今测得温度为压强为时，氩分子和氖分子的平均自由程别离为和，问：（1）氩分子和氖分子的有效直径之比是多少？（2）时，为多大？（3）时，为多大？解：（1）由得：（2）假设氩分子在两个状态下有效直径相等，由得：（3）设氖气分子在两个状态下有效直径相等，与（2）同理得：3－8 在气体放电管中，电子不断与气体分子相碰撞，因电子的速度远远大于气体分子的平均速度，因尔后者能够以为是静止不动的。
设电子的“有效直径”比起气体分子的有效直径来能够忽略不计。
（1）电子与气体分子的碰撞截面为多大？（2）证明：电子与气体分子碰撞的平均自由程为：，n为气体分子的数密度。
解：（1）因为电子的有效直径与气体分子的有效直径相较，能够忽略不计，因此可把电子看成质点。
又因为气体分子可看做相对静止，因此凡中心离电子的距离等于或小于的分子都能与电子相碰，且碰撞截面为：（2）电子与气体分子碰撞频率为：（为电子平均速度）3－9 设气体分子的平均自由程为试证明：一个分子在持续两次碰撞之间所走路程至少为x的概率是解：依照（）式知在个分子中自由程大于x的分子占总分子数的比率为＝由概率概念知：关于一个分子，自由程大于x的概率为，故一个分子持续两次碰撞之间所走路程至少为x的概率是。
分子动理论的非平衡态理论
（2）测出这样的流体中速度梯度du/dz处处相等，切向面积相等时，
du f dA dz
( 3.1 )
图3.3 在平直的沟槽中低速流动的流体
由（3.1）式知，黏度η的单位为称它为泊,以P表示。它与气体 的性质和状态有关。 viscosity coeffient，
（1）达到稳定流动时，每层流体的合力为零，每一层流体的截面 积相等，各层所受到的方向相反的黏性力均相等。 流体层所受到的黏性力大小是与速度梯度成正比。这说明黏性力的 大小与及切向面积A成正比。 （3）相邻两层流体中，相对速度较大的流体总是受到阻力，即速 度较大一层流体受到的黏性力的方向总与流动速度方向相反。这个 黏性力的大小为f，以dA表示所取的截面积，以du/dz 表示所在处 的速度梯度，速度梯度处处相等。且黏性力的大小与及切向面积A 成正比。比例系数为η，称为流体的黏度或黏性系数、黏滞系数 （coefficient of viscosity）
的方向相反的黏性力均相等。实验又测出在这样的流体中
的du/dz速度梯度是处处相等。而且在切向面积相等时流 体层所受到的黏性力的大小是与流体流动的 du/dz速度梯 度的大小成正比的。
设下板静止：u（0）=0；上板沿Z轴最大匀速运动；各层流体 流速u（z）是z的函数。
①受力分析：流速不大，流体将作层流。取在z=z0，一分界 面，面积是dA， dA将流体分成两部分，下面流速小的 流体层对上面流速大的流体施加向后的黏性力df’ ；上面 的对下面的施加向前的黏性力d f 。
定向运动动量。结果使流动较快的一层流体失去了定向动量， 流动较慢的一层流体获得到了定向动量，黏性力由此而产生的。 最后需说明，以上讨论的仅是常压下的气体。对于压强非常低 的气体以及所有的液体，其微观机理都不相同。
第三章运输现象与分子动理学理论的非平衡态理论
习题解答第三章输运现象与分子动理学理论的非平衡态理论3.1.1 分析：如图所示，为圆盘与平板间液柱，盘以转动，由于粘滞力作用于液面沿切向「，则作用于圆盘，：、「为一对作用力和反作用力。
液柱du边缘各点线速度也沿轴线向下减少，形成梯度丄。
解：（1）盘受力矩（粘滞力的矩，使盘… 二;变小，某瞬间与悬丝转矩平衡）丄::一-（/盘转惯量，二角加速度）M - la - mR2M = fR =出，且出或丄（1）（2）牛顿粘滞定律別_险_曲_ 0 dzAz d A=7^即: (2)3.1.2 分析：如图为题述装置的正视图。
当外面以.；〕旋转，由于被测气体的粘滞性，使内筒表面受切向粘滞力 ., 产生力矩G,当柱体静止不动时，该力矩与悬丝形变（扭转）矩平衡。
在内、外筒间，「—；岸处取厚度为厂的圆柱体（被测气体），其柱面积为，则此时作用于该柱面气体的切向力dn du * *j= 7——A 二马一2TT Ldt dr(7- = 2 押duConst分离变量得：2吨％胡:乡内摩擦矩为积分:3.1.3油滴在空气中下落时，受重力与空气浮力作用:f = v(p-p f)g = ~^{p-p'}g (1)合力一即作用于油滴（球体）切向的粘滞力（相等）按（3.9 ）式「—当、'三:时，‘一d二为收尾速度6叽工二:圖“通（1）= （2）: :(2)3.1.4R22(P - P')g T （1）由上题结论19x1.62x10^x(0.2+0.04)72x(5.00 xl03-l r29)x 9.8&二竺= 01*1(2)雷诺数.当-：■时「与粘滞力无关故空气相对于尘埃运动是层流。
层流间应存在分子(微粒)热运动而交流动量, 作用于层间切向存在内摩擦力(粘滞力)。
3.1.5 解：粘滞系数为「从. 缓慢流动(可认为是匀速地)，从动力学观点看，应有外力来抵消流体的粘滞力，此外来力就本问题而言是A、B液柱的压强差二•，由图依题提供的参数可得: 二 (1), 莎二1加也设工内通过细管的液体体积为— (2)dV _由泊肃叶(Poiseuille )定律：-花■［辿空丄M2二空二严h h 4班住24?}La~如NOT 1、( 2)式中为泌内流过L的流体体积，朋与d卩符号相反。
第三章 输运现象与分子动理学理论的非平衡态理论
( R ) R
黏性力对扭丝作用的合力矩：
A L
R
R+δ ω
R 2R 3 L G 2RL R
所以，气体的黏度为：
G 3 2R L
10
（二）泊萧叶定律与管道流阻
1、泊萧叶定律 （P112）
对水平直圆管，当不可压缩的黏性流体在管内的流 动呈层流时，有如下关系：
第三章
输运现象与分子动理学理论的非 平衡态理论
非平衡态：
系统各部分物理性质 (如流速、温度、密度)不均匀。
近平衡态的非平衡态 输运过程：包括：内摩擦（黏性）；热传导；扩散现象
系统从非平衡态自发向平衡态(物理性质均匀)过渡的过程。
本章概述：输运过程的宏观规律、微观分析
1
第三章
输运现象与分子动理学理论的非 平衡态理论
17
推论： 若在与扩散方向垂直的流体截面上的 JN 处处相等，
则单位时间内扩散的总质量：
dM d D A dt dz
18
3、气体扩散的微观机理 （P117） 是在无外场且存在同种粒子的粒子数密度 空间不均匀性的情况下，由于分子热运动所产 生的宏观粒子迁移或质量迁移。
注意：与压强不均匀产生的流动的区别
一、黏性现象的宏观规律 二、扩散现象的宏观规律 三、热传导现象的宏观规律 四、对流传热 五、气体分子平均自由程 六、气体输运系数的导出 七、稀薄气体中的输运过程
2
一、
黏性现象的宏观规律
（一）层流与牛顿黏性定律
1、层流/湍流 （P106）
层流：在流动过程中，相邻质点的轨迹线彼此仅稍有差 别，不同流体质点的轨迹线不相互混杂
6、切向动量流密度 P110）
du J p dz
第三章(分子动力论-非平衡态)
切向动量流密度
切向动量流密度:单位时间内,单位横截面上, 切向动量流密度:单位时间内,单位横截面上,相 邻流体层之间所转移的沿流体切向的动量
dp 1 Jp = dt A
f =
dp dt
f = Jp A
f = η du A dz
du J p = η dz
气体黏性的微观机理
常压下气体黏性来自于流体层之间的定向动量转移 常压下气体黏性来自于流体层之间的定向动量转移 定向动量
《热 学》 第三章 输运过程 2
黏性定律
牛顿黏性定律
在稳恒层流中, 在稳恒层流中,黏性力与 速度的梯度成正比
f = η du A dz
20℃ ℃ η(mPas) mPa 空气 水 甘油
第三章 输运过程
黏性系数
速度分布对外力的响应系数 单位: 单位:Pas 旋转黏度计
《热 学》
0.018 1.0 1410
《热 学》 第三章 输运过程 12
傅立叶定律
傅立叶定律- 傅立叶定律-热传导的唯象规律
热流(单位时间内通过的热量) 热流(单位时间内通过的热量)与温度梯度成正比
热流 热流密度 dT Q = κ A dz dT JT = κ dz
κ:热导系数 单位:W/(mK) 单位:
热传导现象的微观解释
当存在温度梯度时, 当存在温度梯度时,作热运动的分子在交换分子对 的同时交换不同的平动动能
热导系数κ 热导系数κ
《热 学》 第三章 输运过程 22
扩散系数
交换净粒子数
1 1 n n J N = v [n( z0 λ ) n( z0 + λ )] = v n( z0 ) λ n( z0 ) + λ 6 6 z z 1 n n = vλ = D 3 z z
热学-输运现象与分子动理学理论的非平衡态理论
被地面反射回外空间的长波 辐射，被大气中能够吸收长波 辐射的气体如二氧化碳等吸收 后再次反射回地面，从而保证 了地球热量不大量散失，如果 该过程过强，就会造成温室效 应。
流速较小的流体在平直圆管内流动时，流体作分层 平行流动，流体质点的轨迹是有规则的光滑曲线。并不 相互混杂，这样的流动叫层流。
二、湍流 湍流是局部速度和压力等
力学量在时间和空间中发生不 规则脉动的流体流动。
普 通 物 理－－热 学
普 通 物 理－－热 学
三、稳恒层流中的黏性现象
在流速不同的相邻两流层接触面上产生的一对阻碍它 们相对流动的力，使快的一层减速，慢的一层加速，这 种现象叫黏性现象，这种力叫黏性力，也叫内摩擦力。
本
§3.2 扩散现象的宏观规律
§3.3 热传导现象的宏观规律
章
§3.4 辐射传热
§3.5 对流传热
目
§3.6 气体分子平均自由程
录
§3.7 气体分子碰撞的概率分布 §3.8 气体输运系数的导出
§3.9 稀薄气体的输运过程
普 通 物 理－－热 学
§3.1 黏性现象的宏观规律
3.1.1 层流和牛顿黏性定律 一、层流
普 通 物 理－－热 学
雷诺数
雷诺数Re是一种无量纲因子，它可表示为： Re =vr /
其中 、v、r分别为流体的密度、流速及管道半径， η 为流体黏度
一般用雷诺数来判别流体能否处于层流状态。 层流是发生在流速较小，更确切些说是发生在雷 诺数较小时的流体流动，对于直圆管中流动，当雷诺 数超过2300左右时流体流动成为湍流。
03 输运现象
宏观输运规律
JK
du
dz
JT
dT
dz
dn J N D dz
输运系数恒为正值， 与气体性质和状态 有关
1 v
3
1 3
vCV ,m
D 1v
3 15
共同点：
1、三种输运都是系统中存在不均匀现象 --- --- 梯度。 2、三种输运过程都是朝着减小不均匀程度的方向进行， 即由非平衡态趋向平衡态。
玻 璃
大地 MM22
或
薄
膜
（1
M
B 1
）M
B 1
M
B 1
致使能量从温度 高的表面向温度 低的表面迁移
13
§3.5 对流传热
一、自然对流 大气环流、人的体温调节、太阳能热水器
二、牛顿冷却定律
•
Q hA(T T0 )
应用：集成 电路的散热
T0为环境温度，T为热源温度，A为热 源表面积，h为热适应系数。
第三章 输运现象与分子动理学理论的 非平衡态理论
一、黏性现象的宏观规律
二、扩散现象的宏观规律
三、热传导现象的宏观规律
*四、辐射传热
*五、对流传热
六、气体分子平均自由程 *七、气体分子碰撞的概率分布 八、气体输运系数的导出 九、稀薄气体的输运过程
2022/3/23
§3.1 黏性现象的宏观规律
一、层流与牛顿黏性定律
1 6
nv
•各层流都处于平衡态，分子无规则运动的平均速率 v 都相同
•不考虑外力场的影响，分子数密度ｎ均匀分布
•分子进入某层后，只一次碰撞就“舍弃”原有动量，“获
得”该层内动量
推导：
在时间dt内，通过ds面向下方的 分子数:
第三章 输运现象与分子动理学理论的非平衡态理09共92页文档
2、掌握钢球模型下的平均自由程和碰撞频率的概念， 深刻理解其物理意义。
3、理解描述三种输送过程 的系数的统计含义和统计 方法，将理论和实践相比较，了解理论的正确性和 近似性。
重点和难点： 、 z 是重点，输送过程的微观机制和
V lS Qlimlim vS
t 0t t 0 t
流量单位: m3/s 13
泊肃叶 (Jean-Lous-Marie Poiseuille 1799~1869)
•
• 法国生理学家 他长期研究血液在血管内的流动。他发表过一系列 关于血液在动脉和静脉内流动的论文。其中1840~1841年发表的 论文《小管径内液体流动的实验研究》对流体力学的发展起了重
Re vr
Ⅰ、当Re<2000，流体状态为层流； Ⅱ、当Re>3000，流体状态为湍流； Ⅲ、当2000<Re<3000，或出现层流，或出现湍流， 依赖于环境(如管道直径和方向改变，外来的轻微振动都 易促成湍流的产生)，此为过度区；
6、 非
1、其速度梯度与互相垂直的黏性力间不呈线性 函数关系，如血液、泥浆、橡胶等。
牛
顿
2、其黏性系数会随着时间而变的，如：油漆等
流
凝胶物质。
体
3、对形变具有部分弹性恢复作用，如沥青等黏
弹性物质。
7、气体黏性微观机 理
气体的黏性是由于流速不同的流 层之间的定向 动量的迁移所引起的。
11
选学内容（开始）
§3.1.2 泊肃叶定律 管道流阻
1、流量：在 t 时间间隔内,通过流管某横截面 S 的流体的体积为 V ，V和t 之比当t→ 0 时的极 限，称为该横截面上的流量。 若流管的各条流线平行，且横截面上各点流速相等， 取与这些流线垂直的横截面，以 v 表示该横截面上 的流速，用Q 表示流量，则有
第三章 输运现象与分子动理学理论的非平衡态理论 4
1 u 1 u ΔA f nvΔAm ( 2 ) nvm 3 z 6 z
牛顿黏性定律：
f
du A dz
1 1 nmv v 3 3
二、讨论： 1. 与分子数密度n、压强P无关：
二、讨论：
1. 与分子数密度n、压强P无关： 1 v 1 mv pure nmv nmv 3 v12 n 3 3 2 可见气体的黏性与分子数密度及气体压强无关。
z=z0平面将气体分为A、B两层， 沿z轴方向存在温差。
A B
( z0 )
z z0
z z0
( z0 )
z z0
在 z z0 这两层对应的温度及分子平均动能为
T ( z0 )
( z0 )
对宏观量 的变化作级数展开后取一级近似： 根据基本出发点2， ( z0 ) ( z0 ) ( z0 ) ( z0 )
§3.8 气体输运系数的导出 气体分子的运动速度可表示为： u v V
热运动速度 定向运动速度
宏观看来，一个小的区域内分子的平均速度就是该处气体 的定向运动速度。 气体分子动理论： 气体分子总有杂乱无章的热运动
任意截面S两侧交换分子；
ΔS
若沿S面法线方向有某种物理量存在不均匀性，
1 P nv At[mu ( z0 ) mu ( z0 )] 6
动量定理：P 等于A层A 面元所受的黏性力的冲量f t，即：
1 f Δt nvΔAΔt[mu( z0 ) mu( z0 )] 6 1 f nvΔA[mu( z0 ) mu( z0 )] 6
第三章 输运现象
三 扩散现象（纯扩散）
d
dM D( dz )zo dsdt
D 为扩散系数
数量级 105
pi nikT
dn dN D( dz )zo dsdt
z
高密度
质
量
流
低密度
热学（thermal physics）
扩散现象
dM
( 1 6
nBv
1 6
n A v)zo
m
dsdt
简化假设
=-
1 6
v(
d
dz
)z0
宏观规律
输运
粘滞现象 速度分布 热传导现象 温度分布
分子数
扩散现象 分布
dK=-(
du dz
)
z0
dsdt
dQ
(
dT dz
)z0
dsdt
d
dM D( dz )zo dsdt
动量 能量 质量
热学（thermal physics）
理论结果与实验比较*
1、 D与气体状态参量的关系
与温度的关系
1 4km T1/ 2 T1/ 2 3
dA
df
u=u(z)
Bx u=0
热学（thermal physics）
对于面积为 dA 的相邻流体层来说，作用在上
一层流体的阻力 df´必等于作用于下一层流体 df
的加速力。 牛顿黏性（viscosity）定律
在相邻两层流体中，相对速度较大的流体总 是受到阻力，即速度较大一层流体受到的黏性力 的方向总与速度梯度方向相反，故
d3 V 3
NA
NA
凝聚状态
d= 3 3b
2 NA
范德瓦耳斯修正
d
3输运现象
1 nAv A dSdt 6
dt时间内通过B经过dS进入A的分子数
1 nB vB dSdt 6
A,B两部分交换一对分子引起的动量改变 =（A处分子定向动量 - B处分子定向动量） 假设分子经过1次碰撞就被同化。 经过dS前分子最后一次碰撞发生的位置 距dS的平均距离为。
dk mu z0 mu z0 du 2m dz z0
x
二、导热
气体内部温度不同而发 生的现象 实验表明：
y TA TB
TA S TB
A
B
z
dT dT q dQ dSdt dz z 0 dz z 0
为热导率，单位为W· -1· -1，负号表示热 m K
量从高温处传向低温处
三、扩散 气体分子数密度不均匀而发生的现象 实验表明
3 2 k3 T 2 D m p 3
2.输运系数之间的关系
1 v 3 1 cV v 3 1 D v 3
1 cv
D
1
3.输运系数的数量级 理论给出300 K时氮气的粘滞系数是4.2×105 (Pa s),而实验值是1.78×10-5 (Pa s)。 理论给出273K时氩气的导热系数为1.47×10-2 （W/m K）,而室温下的实验值为1.62×10-2 （W/m K）。
二、导热现象的微观解释
1 d dQ nvdSdt 2 6 dz z0 i k BT 2 1 i dT dQ nv k B dSdt 3 2 dz z0
1 nM i dT v R dSdt 3 NA 2M dz z0 1 dT cV v dSdt 3 dz z0
分子动理学理论的平衡态理论
第三章 输运现象与分子动理学理论的非平衡态理论教学目的与要求：理解粘性现象、热传导现象和扩散现象所遵循的宏观规律及其输运性质，理解理想气体三种输运现象的微观解释；掌握分子间平均碰撞频率和气体分子平均自由程的概念；了解气体输运系数的导出；了解稀薄气体中的输运过程。
教学方法：课堂讲授。
注意引导学生从宏观和微观两方面理解三种输运现象。
教学重点：粘性现象、热传导现象和扩散现象所遵循的宏观规律，理想气体三种输运现象的微观解释，分子间平均碰撞频率，气体分子平均自由程。
教学时数：12 主要教学内容：第一节 粘性现象的宏观规律一、牛顿粘性定律 层流 1、层流/湍流层流：在流动过程中，相邻质点的轨迹线彼此仅稍有差别，不同流体质点的轨迹线不相互混杂。
条件：流速较小，更确切说是雷诺数较小 湍流：流体的不规则运动 条件：雷诺数较大2、稳恒层流中的黏性现象（内摩檫现象）流体作层流时，通过任一平行于流速的截面两侧的相邻两层流体上作用有一对阻止它们相对“滑动”的切向作用力与反作用力，使流动较快的一层流体减速，流动较慢的一层流体加速。
这种力称为黏性力（内摩擦力） 最后，各层流体的流速不再随时间变化。
3、牛顿黏性定律各量含义：u ：流体速度（分子的定向运动速度）Adzduf ⋅⋅-=ηdu/dz ：速度梯度，稳恒层流中处处相等 A ：切向面积负号：相对速度较大的流体总是受到阻力 η：黏度（黏性系数）单位：帕斯卡秒（Pa.s ） 1Pa.s= 1N.s.m-2= 1Kg. m-1.s-1 黏度与流体的流动性质、温度有关。
数量级（P 110表3.1）：空气，常温10-5；水，10-3， 4、非牛顿流体（1）其速度梯度与互相垂直的黏性力间不呈线性函数关系，如血液、泥浆、橡胶等。
（2）其黏性系数会随着时间而变的，如：油漆等凝胶物质。
（3）对形变具有部分弹性恢复作用，如沥青等黏弹性物质。
5、气体黏性微观机理常压下气体的黏性是由流速不同的流体层之间的定向动量的迁移产生的。
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若沿S面法线方向有某种物理量存在不均匀性，
S 截面两侧分子的某种物理性质就不同；
S 面两侧交换分子的结果就使得某种物理量沿S法线传输
S 热传导现象： 面两侧沿法线方向不均匀的物理量是温度。
设S 两侧交换分子对。 此时分子热运动的能量就不同。
高温侧分子的热运动能量大，低温侧分子热运动的能量小。 交换分子对的结果使热运动能量从高温侧传到低温侧，即： 热量从高温侧传到低温侧，此即气体的热传导。 因此气体的热传导过程是一种能量输运过程，
A
z
z0
B
u
了动量的输运及黏性力。
根据动量的A 面元交换的分子对使A层气体增加
的规则流动动量等于在宏观上A层气体经A 面元所受冲量f dt 为简单，做如下假设：
为简单，做如下假设： 1. 由A层穿过z=z0平面到达B层的分子来自 z z0 那一层, 由B层穿过z=z0平面到达A层的分子来自 z z0 那一层。 即所有通过z=z0平面的分子在 通过z0平面前的最后一次碰撞发 生在 z z0 这两层的位臵。 2. A、B两层在t 时间内通过z=z0平面 上的面元A交换的分子数均为：
z z
A、B两层在t 时间内通过z=z0平面上的面元A交换的分子数均为
1 nvΔAΔt 6
( z0 ) ( z0 )
z
( z0 ) ( z0 )
1 nvΔAΔt 6
z
A、B两层在t 时间内通过z=z0平面上的面元A交换的分子数均为
u小
可见，黏性现象传输的是定向运动动量，
传输的方向是定向动量减小的方向。
在非平衡态下，当存在某种物理量的不均匀性时，由于分子 热运动和分子碰撞，气体分子的动量、能量、质量等物理量沿一 定方向传输，这就是气体的输运现象。 这几种输运现象遵循的基本规律是傅立叶定律 JT
du 牛顿黏性定律 J p dz dn 以及菲克定律 J N D dz dT dz
z=z0平面将气体分为A、B两层， 沿z轴方向存在温差。
A B
( z0 )
z z0
z z0
( z0 )
z z0
在 z z0 这两层对应的温度及分子平均动能为
T ( z0 )
( z0 )
对宏观量 的变化作级数展开后取一级近似： 根据基本出发点2， ( z0 ) ( z0 ) ( z0 ) ( z0 )
§3.8 气体输运系数的导出 气体分子的运动速度可表示为： u v V
热运动速度 定向运动速度
宏观看来，一个小的区域内分子的平均速度就是该处气体 的定向运动速度。 气体分子动理论： 气体分子总有杂乱无章的热运动
任意截面S两侧交换分子；
ΔS
若沿S面法线方向有某种物理量存在不均匀性，
因而单位时间从单位截面通过的热流密度：
1 JT nv [ ( z0 ) ( z0 )] 6
1 1 nv [ ( z0 ) ( z0 ) ] nv 6 z z 3 z
对气体中的输运现象作微观解释的两个基本出发点： 1. 气体必须足够稀薄，满足条件 d
气体分子的平均自由程 分子的有效直径
气体中主要发生的是两个分子间的碰撞，因而 气体又不能太稀薄，
1 2n
有效。
要求从处于非平衡态的气体中取出任意小体积元V 满足：
3 从宏观看它很小，即： V L ，L是气体容器的线度。
因而空间宏观不均匀性都不大，有：
dT T dz
du u dz
dn n dz
近似结论： ① 所讨论的气体满足局域平衡假设， 因而可对宏观量(u,n,T)等的变化作级数展开后取一级近似。 ② 一次碰撞同化假设： 不论分子碰撞前的平均数值怎样，经过一次碰撞后就具有在新 的碰撞地点的平均动能、平均定向动量及平均粒子数密度。
黏性现象：S 面两侧的定向运动速度不均匀。 假设S 面上方分子的定向运动速度大，
u大
ΔS
即上方分子定向运动的动量大。 S 面两侧交换分子对的结果使分子定向 S 运动的动量由上方传到下方。 面上方气层的定向动量减小。 动量定理知： 上方气体层受到了一个与定向运动动量反向的力，即阻力。 同理，S 面下方空气层的定向动量增加。 该层气体受到了一个与定向运动动量同向的力，即拉力。 这一对力就是黏性力， 他们阻碍两层气体的相对滑移。
对宏观量u的变化作级数展开后取一级近似： 根据基本出发点2，
u( z0 ) u( z0 ) u( z0 ) u( z0 ) u z u z
1 f nvΔA[mu( z0 ) mu( z0 )] 6
u u( z0 ) u( z0 ) z u u( z0 ) u( z0 ) z
预言与n、P无关，是气体分子动理论的一个突出成就 2. 是温度的函数： T 0.5 ① 刚性分子： ② 非刚性分子： T 3. 可利用
2 3 km
0.7
1 2
T
T
测定气体分子碰撞截面及
气体分子有效直径的数量级。
1 1 4. nmv v 3 3
2 3
km
T
1 2
T
1 2
T 0.5 ① 刚性分子：
② 非刚性分子： 与温度T有关： T 因而实际上黏度系数的变化要快些，近似有： T
2 3. 可利用 3 km
0.7
1 2
T
T
测定气体分子碰撞截面及
气体分子有效直径的数量级。
1. 与粒子数密度n、压强P无关。
1 P nv At[mu ( z0 ) mu ( z0 )] 6
动量定理：P 等于A层A 面元所受的黏性力的冲量f t，即：
1 f Δt nvΔAΔt[mu( z0 ) mu( z0 )] 6 1 f nvΔA[mu( z0 ) mu( z0 )] 6
1 u 1 u ΔA f nvΔAm ( 2 ) nvm 3 z 6 z
牛顿黏性定律：
f
du A dz
1 1 nmv v 3 3
二、讨论： 1. 与分子数密度n、压强P无关：
二、讨论：
1. 与分子数密度n、压强P无关： 1 v 1 mv pure nmv nmv 3 v12 n 3 3 2 可见气体的黏性与分子数密度及气体压强无关。
1 nvΔAΔt 6
z
A B
PB mu( z0 )
z z0
z z0
PA mu( z0 )
z z0
3. 一次碰撞同化假设： A、B两层分子在z0面交换分子对时所具有的动量分别为：
mu( z0 ) 及 mu( z0 )
平均讲： 由A层到B层的分子来自于 z z0 一层, 具有的流动动量为 PA mu( z0 ) 由B层到A层的分子来自于 z z0 一层, 具有的流动动量为 PB mu( z0 ) 到PB失去PA 。
z
A B
z z0
PB mu( z0 )
z z0
PA mu( z0 )
z z0
y
u
A、B两层每交换一对分子，A层沿y方向的规则流动动量得 沿y方向的规则流动动量沿z轴正方向的净增量为: Pi PB PA mu( z0 ) mu( z0 )
其中的输运系数、、D 对于系统由非平衡态趋向平衡态的速 率有重要意义， 是表示气体热物理性质的基本物理量。 获取输运系数的主要方式： 1. 实验测定； 2. 从气体分子动理论的基本物理图象出发，对这几种输运现象作 出恰当的微观解释，从理论上得到这些输运系数与气体分子热运 动和相互作用力性质之间的关系，并与实验数据比较，得到输运 系数与气体温度和压强的一般关系式。
t 时间内通过z=z0平面上的面元A交换的分子对使A层沿y方向
的规则流动动量沿z轴正方向的净增量为:
1 P nv At[mu ( z0 ) mu ( z0 )] 6
t 时间内通过z=z0平面上的面元A交换的分子对使A层沿y方向
的规则流动动量沿z轴正方向的净增量为:
的适用条件为： L d
其中L为容器线度 5. 公式推导中使用了多个近似条件或结论，这在物理中常用, 即在不影响数量级的情况下作简化近似是必要的。
§3.8.2 气体热传导系数与扩散系数 一、气体的热传导系数： z 1. 公式推导： 气体热传导是在热运动过程中交 换分子对的同时传输了能量。
n大
ΔS
n小
子从密度大的地方传输到密度小的地方。 因此扩散过程是输运分子本身的过程，是输运物质的过程， 也是输运质量的过程。 S 热传导现象： 面两侧沿法线方向不均匀的物理量是温度。 此时分子热运动的能量就不同。只考虑单纯的热传导。 设气体内没有宏观粒子流，相同时间内经S 面由一侧到另一 侧的分子数等于反向运动的分子数， 即S 两侧交换分子对。
传输的是分子热运动的能量。 黏性现象：S 面两侧的定向运动速度不均匀。
为了单纯考虑黏性现象，假定气体中各处分子数密度、温度 都相同。 S 面两侧仅交换分子对而没有净的分子流动。
若沿S面法线方向有某种物理量存在不均匀性， S 截面两侧分子的某种物理性质就不同；
S 面两侧交换分子的结果就使得某种物理量沿S法线传输
从微观看它很大，即：V 3 ，因而统计规律仍然有效。 总之，要求气体满足：